공간 내 선의 평행성. (2019)

이번 단원에서는 공간의 평행선 주제에 대한 기본 정의와 정리를 제공합니다.
수업 시작 부분에서 우리는 공간에서 평행선의 정의를 고려하고 공간의 모든 지점을 통해 주어진 평행선 하나만 그릴 수 있다는 정리를 증명할 것입니다. 다음으로 평면과 교차하는 두 개의 평행선에 대한 정리를 증명합니다. 그리고 그것의 도움으로 우리는 세 번째 선에 평행한 두 선에 대한 정리를 증명할 것입니다.

주제: 선과 평면의 평행성

교훈: 공간의 평행선. 세 줄의 평행성

우리는 이미 면적계에서 평행선을 연구했습니다. 이제 공간에서 평행선을 정의하고 해당 정리를 증명해야 합니다.

정의: 공간의 두 선이 동일한 평면에 있고 교차하지 않는 경우 평행하다고 합니다(그림 1).

평행선 지정: a || 비.

1. 평행선이라고 불리는 선은 무엇입니까?

2. 주어진 두 개의 평행선과 교차하는 모든 선이 동일한 평면에 있음을 증명하십시오.

3. 선이 선과 교차합니다. AB그리고 기원전직각으로. 선이 평행합니까? AB그리고 기원전?

4. 기하학. 10-11학년: 학생들을 위한 교과서 교육 기관(기본과 프로필 수준) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5판, 수정 및 확장 - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : 아픈.

이 기사에서는 3차원 공간에서 직선의 개념을 이해하고 옵션을 고려합니다. 상대 위치직선과 공간에서 직선을 정의하는 주요 방법에 대해 살펴 보겠습니다. 더 나은 이해를 위해 그래픽 일러스트레이션을 제공합니다.

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공간의 직선은 개념이다.

공간에서 평행선의 정의를 내린 후에는 중요성 때문에 직선의 방향 벡터에 대해 이야기해야 합니다. 이 선이나 이 선과 평행한 선에 있는 0이 아닌 벡터를 선의 방향 벡터라고 합니다. 직선의 방향 벡터는 공간에서 직선과 관련된 문제를 풀 때 매우 자주 사용됩니다.

마지막으로 3차원 공간의 두 선이 교차할 수 있습니다. 공간에 있는 두 선이 같은 평면에 있지 않으면 왜곡이라고 합니다. 공간에서 두 선의 상대적 위치는 교차하는 선 사이의 각도 개념으로 이어집니다.

공간에서 직선을 정의하는 방법.

공간에서 직선을 고유하게 결정하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 주요 내용을 나열해 보겠습니다.

우리는 공리를 통해 직선이 두 점, 단 한 점을 통과한다는 것을 알고 있습니다. 따라서 공간의 두 지점을 표시하면 해당 지점을 통과하는 직선을 명확하게 결정할 수 있습니다.

3차원 공간에 직각 좌표계를 도입하고 두 점의 좌표를 표시하여 직선을 지정하면 주어진 두 점을 통과하는 직선에 대한 방정식을 만들 수 있는 기회가 있습니다.

공간에서 선을 정의하는 두 번째 방법은 정리에 기초합니다. 주어진 선 위에 있지 않은 공간의 모든 점을 통과하면 주어진 선과 평행한 선이 하나만 통과합니다.

따라서 선(또는 이 선의 세그먼트)과 그 위에 있지 않은 점을 지정하면 주어진 선과 평행하고 주어진 점을 통과하는 선을 고유하게 정의하게 됩니다.

선이 통과하는 점과 방향 벡터를 지정할 수 있습니다. 이를 통해 직선을 명확하게 결정할 수도 있습니다.

고정된 직사각형 좌표계를 기준으로 직선이 이러한 방식으로 지정되면 공간에서 직선의 표준 방정식과 공간에서 직선의 매개변수 방정식을 즉시 작성할 수 있습니다.

공간에서 선을 정의하는 다음 방법은 입체 측정의 공리를 기반으로 합니다. 두 평면에 공통점이 있으면 두 평면의 모든 공통점이 있는 공통 직선이 있습니다.

따라서 두 개의 교차 평면을 정의함으로써 공간에서 직선을 고유하게 정의합니다.

공간에서 선을 정의하는 또 다른 방법은 정리에서 따릅니다(이 기사 끝에 나열된 책에서 이에 대한 증거를 찾을 수 있습니다): 평면과 그 안에 있지 않은 점이 주어지면 단일 선이 통과합니다. 이 지점을 통과하고 수직으로 주어진 비행기.

따라서 직선을 결정하려면 원하는 직선이 수직인 평면과 이 직선이 통과하는 점을 지정하면 됩니다.

도입된 직교 좌표계에 대해 이러한 방식으로 선이 지정되면 주어진 평면에 수직인 주어진 점을 통과하는 선의 방정식에 대한 기사의 재질을 아는 것이 유용할 것입니다.

서지.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. 기하학. 7~9학년: 일반 교육 기관용 교과서.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. 기하학. 10-11학년 중등학교를 위한 교과서입니다.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. 더 높은 수학. 1권: 요소 선형대수학분석 기하학.
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저작권: 영리한학생

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공간의 두 선은 서로 다른 방식으로 위치할 수 있습니다. 우선, 두 직선이 공통점을 갖는 경우가 발생할 수 있습니다. 그렇다면 그들은 분명히 같은 평면에 누워 있습니다. 실제로 그러한 평면을 구성하려면 표시된 선 (그림 323)의 교차점 A와 선에 각각 취한 점 C와 B의 세 점을 통해 그리는 것으로 충분합니다. 각 선에 두 개의 공통점이 있으면 평면에는 두 선이 모두 포함됩니다.

이제 이 선들에 공통점이 없도록 하세요. 평행성의 정의는 선이 동일한 평면에 속한다고 규정하기 때문에 이것이 평행하다는 것을 의미하지는 않습니다. 직선의 위치에 대한 문제를 해결하기 위해 예를 들어 직선 중 하나를 통과하는 평면 K를 그리고 다른 직선 위에 임의로 점 A를 그리면 두 가지 경우가 가능합니다.

1) 구성된 평면에는 두 번째 직선 전체가 포함됩니다(그림 324). 이 경우 직선은 동일한 평면에 속하며 교차하지 않으므로 평행합니다.

2) 평면 X는 점 A에서 선과 교차합니다. 그러면 두 선이 같은 평면에 있지 않습니다. 이러한 선을 교차선이라고 합니다(그림 325).

따라서 두 선의 상대적 위치에는 세 가지 주요 가능한 경우가 있습니다.

1. 선들은 같은 평면에 놓여 있고 교차합니다.

2. 두 선은 같은 평면에 있고 평행합니다.

3. 직선은 교차합니다. 즉, 동일한 평면에 있지 않습니다.

예. 정육면체의 12개 모서리에서 한 쌍의 직선을 만들 수 있습니다. 이 중 24쌍은 교차하고, 24쌍은 교차하고, 18쌍은 평행선 쌍입니다. 독자는 모델이나 도면을 통해 이것이 올바른지 확인할 수 있습니다.

공간에서는 평행선의 가정이 여전히 유효하다는 점에 유의하십시오.

선 밖의 한 점을 지나면 그 점과 평행한 선은 단 하나만 존재합니다.

실제로 직선과 그 외부에 주어진 점은 주어진 직선에 평행한 원하는 직선이 놓여야 하는 평면을 결정하며, 그 고유성은 평행선 가정에서 비롯됩니다.

평행선의 속성과 관련된 두 가지 잘 알려진 면적 측정 제안은 공간의 경우에 대한 특별한 정당화가 필요하다는 점에 유의하십시오(문단 232 참조).

두 선이 세 번째 선과 평행하면 서로 평행합니다. 각각 평행하고 방향이 동일한 두 각도는 동일합니다.

두 번째 제안과 관련하여 우리는 교차선 사이의 각도 정의가 이를 기반으로 한다는 점에 주목합니다. 두 교차선 사이의 각도는 두 선 사이의 각도이며 임의의 점 M을 통해 그려지는 두 선 사이의 각도입니다. 정의는 각도가 점 M의 선택과 무관하다는 가정에 기초합니다(문단 232 참조).

주어진 점에서 선 위로 떨어진 수선은 주어진 점에서 주어진 선에 직각으로 그려지고 그 선과 교차하는 직선으로 이해됩니다. 선 위에 있지 않은 점을 통해 그 점에 수직인 단일 점을 그릴 수 있습니다.

실제로 필요한 수직선은 주어진 선과 점에 의해 정의된 평면에 있어야 하므로 면적 측정법의 조항이 적용 가능합니다. 그러나 선 위에 있는 한 점에서 무한한 수의 수직선을 그릴 수 있습니다. 이 선을 통해 그려진 각 평면에 하나씩.