상수의 변형. 송시

강의 44. 2차 ​​선형 불균일 방정식. 임의의 상수를 변경하는 방법. 상수 계수를 갖는 2차 선형 불균일 방정식. (특별한 오른쪽).

사회 변화. 국가와 교회.

사회 정책볼셰비키는 주로 계급적 접근 방식에 따라 결정되었습니다. 1917년 11월 10일 법령에 따라 계급 제도가 파괴되고 혁명 이전 계급, 칭호 및 상이 폐지되었습니다. 판사 선거가 확립되었습니다. 시민국가의 세속화가 이루어졌다. 무상교육과 의료가 확립되었다(1918년 10월 31일 법령). 여성에게는 남성과 동등한 권리가 부여되었습니다(1917년 12월 16일 및 18일 법령). 결혼 법령은 시민 결혼 제도를 도입했습니다.

1918년 1월 20일 인민위원회의 법령에 따라 교회는 국가와 교육 시스템에서 분리되었습니다. 교회 재산의 대부분이 압수되었습니다. 모스크바 총대주교와 올 루스의 티콘(1917년 11월 5일 선출)은 1918년 1월 19일 소련의 권력을 저주하고 볼셰비키에 맞서 싸울 것을 촉구했습니다.

선형 불균일 2차 방정식을 고려해보세요.

이러한 방정식의 일반적인 해의 구조는 다음 정리에 의해 결정됩니다.

정리 1.일반적인 해결책은 그렇지 않습니다. 동차방정식(1)은 이 방정식의 일부 특정 해와 해당 균질 방정식의 일반 해의 합으로 표시됩니다.

증거. 금액임을 입증해야 합니다.

있다 일반 솔루션방정식 (1). 먼저 함수 (3)이 방정식 (1)의 해임을 증명해 보겠습니다.

대신 방정식 (1)에 합계를 대체 ~에, 우리는

방정식 (2)에 대한 해법이 있으므로 첫 번째 괄호 안의 표현식은 동일하게 0과 같습니다. 방정식 (1)에 대한 해가 있으므로 두 번째 괄호 안의 표현식은 다음과 같습니다. 에프엑스(f(x)). 그러므로 평등(4)은 동일성이다. 따라서 정리의 첫 번째 부분이 입증되었습니다.

두 번째 진술을 증명해 보겠습니다. 식 (3)은 다음과 같습니다. 일반적인방정식 (1)에 대한 해법. 우리는 초기 조건이 충족되도록 이 표현식에 포함된 임의의 상수를 선택할 수 있음을 증명해야 합니다.

숫자가 무엇이든 x 0 , y 0그리고 (만약 x 0기능이 있는 지역에서 가져온 것입니다. 1, 2그리고 에프엑스(f(x))마디 없는).

형태로 표현될 수 있음을 알 수 있습니다. 그러면 조건 (5)에 따라 다음과 같이 됩니다.

이 시스템을 풀고 결정합시다. C 1그리고 C 2. 시스템을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

이 시스템의 행렬식은 다음 함수에 대한 Wronski 행렬식입니다. 1시에그리고 2시에그 시점에 x=x0. 이러한 함수는 조건에 따라 선형 독립이므로 Wronski 행렬식은 0이 아닙니다. 따라서 시스템 (6)은 확실한 해결책 C 1그리고 C 2, 즉. 그런 의미도 있어요 C 1그리고 C 2, 식 (3)은 주어진 초기 조건을 만족하는 식 (1)의 해를 결정합니다. Q.E.D.

불균일 방정식에 대한 부분해를 구하는 일반적인 방법으로 넘어가겠습니다.

균질 방정식 (2)의 일반 해법을 작성해 보겠습니다.

우리는 다음을 고려하여 형식 (7)에서 불균일 방정식 (1)에 대한 특정 솔루션을 찾을 것입니다. C 1그리고 C 2아직 알려지지 않은 기능처럼 엑스.

평등을 차별화합시다 (7):

원하는 기능을 선택해 보세요 C 1그리고 C 2평등이 유지되도록

이 추가 조건을 고려하면 1차 도함수는 다음과 같은 형식을 취합니다.

이제 이 표현을 미분하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

방정식 (1)을 대체하면 다음과 같습니다.

처음 두 괄호 안의 표현식은 0이 됩니다. 왜냐하면 y 1그리고 y 2– 균질 방정식의 해. 따라서 마지막 평등은 다음과 같은 형식을 취합니다.

따라서 함수 (7)은 다음과 같은 경우 불균일 방정식 (1)의 해가 됩니다. C 1그리고 C 2식 (8)과 (9)를 만족시킨다. 방정식 (8)과 (9)로부터 방정식 시스템을 만들어 보겠습니다.

이 시스템의 행렬식은 선형 독립 해에 대한 Wronski 행렬식이므로 y 1그리고 y 2방정식 (2)이면 0이 아닙니다. 따라서 시스템을 해결하면 다음 두 가지 특정 기능을 모두 찾을 수 있습니다. 엑스:

이 시스템을 풀면 , 통합의 결과로 를 얻습니다. 다음으로, 발견된 함수를 공식에 대체하고 임의의 상수가 있는 불균일 방정식에 대한 일반적인 해를 구합니다.

불균일한 문제를 해결하기 위해 임의 상수의 변형 방법이 사용됩니다. 미분방정식. 이 수업은 이미 해당 주제에 어느 정도 정통한 학생들을 대상으로 합니다. 이제 막 원격 제어에 익숙해지기 시작한 경우, 즉 당신이 찻주전자라면 첫 번째 레슨부터 시작하는 것이 좋습니다. 1차 미분방정식. 솔루션의 예. 그리고 이미 마무리했다면 방법이 어렵다는 선입견을 버리시기 바랍니다. 간단하기 때문이죠.

임의의 상수를 변경하는 방법은 어떤 경우에 사용됩니까?

1) 임의 상수의 변화 방법을 사용하여 문제를 해결할 수 있습니다. 1차 선형 불균일 DE. 방정식이 1차이므로 상수도 1입니다.

2) 임의 상수의 변화 방법은 일부 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 선의 불균일 방정식두 번째 주문. 여기서 두 가지 상수가 달라집니다.

수업이 두 문단으로 구성된다고 가정하는 것이 논리적입니다. 그래서 저는 이 문장을 썼고, 약 10분 동안 실용적인 예로 원활하게 전환하기 위해 또 어떤 영리한 쓰레기를 추가할 수 있을지 고통스럽게 고민했습니다. 그런데 왠지 휴일이 지나면 아무 생각도 없어요. 아무 것도 남용한 것 같지는 않지만요. 그러므로 바로 첫 번째 단락으로 넘어가겠습니다.

임의의 상수를 변화시키는 방법
1차 선형 불균일 방정식의 경우

임의 상수의 변형 방법을 고려하기 전에 해당 기사를 숙지하는 것이 좋습니다. 1차 선형 미분 방정식. 그 수업에서 우리는 연습했어요 첫 번째 솔루션불균일한 1차 DE. 이 첫 번째 솔루션은 다음과 같습니다. 교체 방법또는 베르누이 방법(혼동하지 마세요. 베르누이 방정식!!!)

이제 우리는 볼 것입니다 두 번째 해결책- 임의의 상수를 변화시키는 방법. 나는 세 가지 예만 제시할 것이며 위에서 언급한 교훈에서 그 예를 선택하겠습니다. 왜 그렇게 적습니까? 실제로 두 번째 방법의 솔루션은 첫 번째 방법의 솔루션과 매우 유사하기 때문입니다. 또한 내 관찰에 따르면 임의 상수를 변경하는 방법은 대체 방법보다 덜 자주 사용됩니다.

실시예 1

(강의의 예 2번과 다름 1차 선형 불균일 미분방정식)

해결책:이 방정식은 선형 불균일하며 다음과 같은 친숙한 형식을 갖습니다.

첫 번째 단계에서는 더 간단한 방정식을 풀어야 합니다.
즉, 우리는 어리석게 오른쪽을 재설정하고 대신 0을 씁니다.
방정식 내가 전화할게 보조 방정식.

이 예에서는 다음 보조 방정식을 풀어야 합니다.

우리 앞에 분리 방정식, 그 해결책이 더 이상 어렵지 않기를 바랍니다.

따라서:
– 보조 방정식의 일반적인 해.

두 번째 단계에서는 우리는 교체할 것이다일부 상수 지금은"x"에 의존하는 알 수 없는 함수:

따라서 메소드의 이름 - 상수를 변경합니다. 또는 상수는 우리가 지금 찾아야 하는 함수일 수도 있습니다.

안에 원래의불균일 방정식 교체를 해보자:

대체하자 방정식에 :

제어점 – 왼쪽의 두 항은 취소됩니다.. 이것이 발생하지 않으면 위의 오류를 찾아야 합니다.

치환 결과, 분리가능한 변수를 갖는 방정식이 얻어졌다. 변수를 분리하고 통합합니다.

참으로 축복받은 일입니다. 지수들도 취소했습니다.

발견된 함수에 "일반" 상수를 추가합니다.

~에 최종 단계교체한 내용을 기억해 봅시다.

방금 함수를 찾았습니다!

따라서 일반적인 해결책은 다음과 같습니다.

답변:일반적인 해결책:

두 가지 해를 인쇄해 보면 두 경우 모두 동일한 적분을 찾았다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 유일한 차이점은 솔루션 알고리즘에 있습니다.

이제 좀 더 복잡한 문제에 대해 두 번째 예에 대해서도 설명하겠습니다.

실시예 2

미분방정식의 일반해 찾기
(강의 예제 번호 8과 다름 1차 선형 불균일 미분방정식)

해결책:방정식을 다음 형식으로 줄여보겠습니다. :

우변을 재설정하고 보조 방정식을 풀어보겠습니다.

보조 방정식에 대한 일반적인 솔루션:

불균일 방정식에서 우리는 다음과 같이 대체합니다.

제품 차별화 규칙에 따르면:

대체하자 원래의 불균일 방정식으로:

왼쪽의 두 항은 상쇄되며 이는 우리가 올바른 길을 가고 있음을 의미합니다.

부분별로 통합해보자. 부품 통합 공식의 맛있는 문자가 이미 솔루션에 포함되어 있으므로 예를 들어 "a" 및 "be" 문자를 사용합니다.

이제 교체를 기억해 봅시다.

답변:일반적인 해결책:

그리고 한 가지 예는 독립적인 결정:

실시예 3

주어진 초기 조건에 대응하는 미분 방정식의 특정 해를 구합니다.

,
(강의의 예 4번과 다름 1차 선형 불균일 미분방정식)
해결책:
이 DE는 선형 불균일합니다. 우리는 임의의 상수를 변화시키는 방법을 사용합니다. 보조 방정식을 풀어 보겠습니다.

변수를 분리하고 통합합니다.

일반 솔루션:
불균일 방정식에서 우리는 다음과 같이 대체합니다.

대체를 수행해 보겠습니다.

따라서 일반적인 해결책은 다음과 같습니다.

주어진 초기 조건에 해당하는 특정 솔루션을 찾아 보겠습니다.

답변:개인 솔루션:

수업 마지막에 제시된 솔루션은 과제를 완료하기 위한 예시가 될 수 있습니다.

임의의 상수를 변화시키는 방법
선형 불균일 2차 방정식의 경우
일정한 계수를 갖는

2차 방정식에서 임의의 상수를 변화시키는 방법이 쉽지 않다는 의견을 자주 들어왔습니다. 그러나 나는 다음과 같이 가정합니다. 아마도 이 방법은 자주 발생하지 않기 때문에 많은 사람들에게 어려운 것처럼 보입니다. 그러나 실제로는 특별한 어려움이 없습니다. 결정 과정은 명확하고 투명하며 이해할 수 있습니다. 그리고 아름답습니다.

이 방법을 익히려면 우변의 형태에 따라 특정 해를 선택하여 불균일한 2차 방정식을 풀 수 있는 것이 바람직합니다. 이 방법은 기사에서 자세히 설명합니다. 불균일한 2차 DE. 상수 계수를 갖는 2차 선형 불균일 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

위 강의에서 다룬 선택 방법은 우변에 다항식, 지수, 사인, 코사인이 포함된 제한된 수의 경우에만 작동합니다. 그런데 예를 들어 오른쪽에 분수, 로그, 탄젠트가 있으면 어떻게 해야 할까요? 이러한 상황에서는 상수를 변경하는 방법이 구출됩니다.

실시예 4

2차 미분방정식의 일반해 구하기

해결책:이 방정식의 우변에는 분수가 있으므로 특정 솔루션을 선택하는 방법이 작동하지 않는다고 즉시 말할 수 있습니다. 우리는 임의의 상수를 변화시키는 방법을 사용합니다.

뇌우의 징후는 없습니다. 솔루션의 시작은 완전히 평범합니다.

우리는 찾을 것이다 일반 솔루션적절한 질의방정식:

특성 방정식을 작성하고 풀어 봅시다.


– 켤레 복소수 근이 얻어지므로 일반적인 해는 다음과 같습니다.

일반 솔루션 기록에주의하십시오. 괄호가 있으면 여십시오.

이제 우리는 1차 방정식과 거의 동일한 트릭을 수행합니다. 즉, 상수를 변경하고 이를 알 수 없는 함수로 대체합니다. 즉, 불균일의 일반적인 해결책우리는 다음과 같은 형태의 방정식을 찾을 것입니다:

어디 - 지금은알 수 없는 기능.

가정 쓰레기 처리장처럼 보이지만 이제 모든 것을 정리하겠습니다.

미지수는 함수의 파생물입니다. 우리의 목표는 도함수를 찾는 것이며, 찾은 도함수는 시스템의 첫 번째 방정식과 두 번째 방정식을 모두 만족해야 합니다.

“그리스인”은 어디에서 왔는가? 황새가 그들을 데려옵니다. 이전에 얻은 일반적인 솔루션을 살펴보고 다음과 같이 작성합니다.

파생 상품을 찾아 보겠습니다.

왼쪽 부분이 처리되었습니다. 오른쪽에는 무엇이 있나요?

는 원래 방정식의 우변입니다. 이 경우에는 다음과 같습니다.

계수는 2차 도함수의 계수입니다.

실제로는 거의 항상 그렇습니다. 우리의 예도 예외는 아닙니다.

모든 것이 명확해졌습니다. 이제 시스템을 만들 수 있습니다.

일반적으로 시스템이 해결됩니다. Cramer의 공식에 따르면표준 알고리즘을 사용합니다. 유일한 차이점은 숫자 대신 함수가 있다는 것입니다.

시스템의 주요 결정 요인을 찾아 보겠습니다.

2x2 행렬식이 어떻게 밝혀지는지 잊어버린 경우 다음 단원을 참조하세요. 행렬식을 계산하는 방법은 무엇입니까?링크는 수치심 게시판으로 연결됩니다 =)

따라서 이는 시스템에 고유한 솔루션이 있음을 의미합니다.

파생상품 찾기:

하지만 그게 전부는 아닙니다. 지금까지 우리는 도함수만 찾았습니다.
기능 자체는 통합을 통해 복원됩니다.

두 번째 함수를 살펴보겠습니다.

여기에 "일반" 상수를 추가합니다.

풀이의 마지막 단계에서 우리는 불균일 방정식에 대한 일반적인 풀이를 어떤 형태로 찾고 있었는지 기억합니까? 이것에서:

필요한 기능이 방금 발견되었습니다!

남은 것은 대체를 수행하고 답을 적는 것입니다.

답변:일반적인 해결책:

원칙적으로 대답은 괄호를 확장했을 수 있습니다.

답변에 대한 완전한 확인은 수업에서 논의된 표준 계획에 따라 수행됩니다. 불균일한 2차 DE. 그러나 다소 무거운 파생상품을 찾아 번거로운 대체작업을 수행해야 하기 때문에 검증이 쉽지 않을 것이다. 이런 디퓨저를 풀다 보면 불편한 기능이 있습니다.

실시예 5

임의의 상수를 변경하여 미분 방정식 풀기

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 사실 오른쪽에도 분수가 있습니다. 기억하자 삼각법 공식, 그런데 솔루션 중에 적용해야 합니다.

임의의 상수를 변화시키는 방법은 가장 보편적인 방법이다. 풀 수 있는 모든 방정식을 풀 수 있습니다. 우변의 형태에 따라 특정 해를 선택하는 방법. 질문이 생깁니다. 거기에서도 임의의 상수를 변경하는 방법을 사용하지 않는 이유는 무엇입니까? 대답은 분명합니다. 수업 시간에 논의된 특정 솔루션을 선택하는 것입니다. 불균일한 2차 방정식, 솔루션 속도를 크게 높이고 기록을 단축합니다. 행렬식과 적분에 대한 번거로움이 없습니다.

두 가지 예를 살펴보겠습니다. 코시 문제.

실시예 6

주어진 초기 조건에 해당하는 미분 방정식의 특정 해를 구합니다.

,

해결책:다시 분수와 지수 흥미로운 장소.
우리는 임의의 상수를 변화시키는 방법을 사용합니다.

우리는 찾을 것이다 일반 솔루션적절한 질의방정식:



– 다른 실제 근이 얻어지므로 일반적인 해결책은 다음과 같습니다.

불균일의 일반 솔루션우리는 다음 형식의 방정식을 찾습니다. 여기서 – 지금은알 수 없는 기능.

시스템을 만들어 보겠습니다.

이 경우:
,
파생상품 찾기:
,

따라서:

Cramer의 공식을 사용하여 시스템을 풀어 보겠습니다.
이는 시스템에 고유한 솔루션이 있음을 의미합니다.

통합을 통해 기능을 복원합니다.

여기서 사용됨 미분 부호 아래에 함수를 포함시키는 방법.

통합을 통해 두 번째 기능을 복원합니다.

이 적분은 해결되었습니다. 변수 교체 방법:

교체 자체에서 우리는 다음과 같이 표현합니다.

따라서:

이 적분을 찾을 수 있습니다 완전한 제곱 추출 방법, 그러나 디퓨저를 사용한 예에서는 분수를 확장하는 것을 선호합니다. 방법 불확실한 계수 :

두 기능이 모두 발견되었습니다.

결과적으로, 불균일 방정식에 대한 일반적인 해는 다음과 같습니다.

초기 조건을 만족하는 특정 해를 찾아보자 .

기술적으로 솔루션 검색은 기사에서 논의된 표준 방식으로 수행됩니다. 2차 불균일 미분방정식.

잠깐만요, 이제 우리는 발견된 일반 솔루션의 파생물을 찾을 것입니다:

이것은 정말 수치스러운 일입니다. 단순화할 필요는 없으며 방정식 시스템을 즉시 만드는 것이 더 쉽습니다. 초기 조건에 따르면 :

찾은 상수값을 대입해보자 일반적인 해결책:

대답에서 로그는 약간 압축될 수 있습니다.

답변:개인 솔루션:

보시다시피 적분과 도함수에서는 어려움이 발생할 수 있지만 임의 상수의 변형 방법에 대한 알고리즘 자체에서는 어려움이 발생할 수 있습니다. 당신을 위협한 것은 내가 아니라 모두 쿠즈네초프의 수집품입니다!

휴식을 위해 직접 해결하기 위한 최종적이고 간단한 예:

실시예 7

코시 문제 해결

,

예제는 간단하지만 창의적입니다. 시스템을 만들 때 결정하기 전에 주의 깊게 살펴보세요 ;-),




결과적으로 일반적인 해결책은 다음과 같습니다.

초기 조건에 해당하는 특정 해를 구해 봅시다. .



발견된 상수 값을 일반 솔루션으로 대체해 보겠습니다.

답변:개인 솔루션:

임의 상수의 변이 방법, 즉 라그랑주 방법은 1차 선형 미분 방정식과 베르누이 방정식을 푸는 또 다른 방법입니다.

1차 선형 미분 방정식은 y'+p(x)y=q(x) 형식의 방정식입니다. 오른쪽에 0이 있으면: y'+p(x)y=0, 이는 선형입니다. 질의 1차 방정식. 따라서 우변이 0이 아닌 방정식 y'+p(x)y=q(x)는 다음과 같습니다. 이질적인 1차 선형 방정식.

임의의 상수를 변화시키는 방법(라그랑주법) 다음과 같습니다:

1) 우리는 동차방정식 y'+p(x)y=0: y=y*에 대한 일반적인 해를 찾고 있습니다.

2) 일반적인 해법에서는 C를 상수가 아니라 x의 함수로 간주합니다. C = C(x). 일반해(y*)'의 도함수를 구하고 y*와 (y*)'에 대한 결과 표현식을 초기 조건에 대입합니다. 결과 방정식에서 함수 C(x)를 찾습니다.

3) 균질 방정식의 일반 해법에서 C 대신 발견된 표현식 C(x)를 대체합니다.

임의의 상수를 변경하는 방법의 예를 살펴보겠습니다. 에서와 동일한 작업을 수행하고 솔루션의 진행 상황을 비교하고 얻은 답변이 일치하는지 확인하겠습니다.

1) y'=3x-y/x

방정식을 표준 형식으로 다시 작성해 보겠습니다(방정식이 선형임을 확인하기 위해서만 표기 형식이 필요한 Bernoulli의 방법과는 다릅니다).

y'+y/x=3x(I). 이제 우리는 계획대로 진행합니다.

1) 동차방정식 y'+y/x=0을 푼다. 이것은 분리가능한 변수를 갖는 방정식이다. y'=dy/dx를 상상해 보십시오. 대체: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. 방정식의 양변에 dx를 곱하고 xy≠0으로 나눕니다: dy/y=-dx/x. 다음을 통합해 보겠습니다.

2) 균질 방정식의 일반 해법 결과에서 C는 상수가 아니라 x의 함수인 C=C(x)로 간주됩니다. 여기에서

결과 표현식을 조건 (I)로 대체합니다.

방정식의 양쪽을 통합해 보겠습니다.

여기서 C는 이미 새로운 상수입니다.

3) C=C(x), 즉 y=C(x)/x를 가정한 균질 방정식 y=C/x의 일반 해법에서 C(x) 대신 발견된 표현식 x³를 대체합니다. +C: y=(x³ +C)/x 또는 y=x²+C/x. 베르누이의 방법으로 풀 때와 같은 답을 얻었습니다.

답: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

여기서 방정식은 이미 표준 형식으로 작성되어 있으므로 변환할 필요가 없습니다.

1) 동차 선형 방정식 y'+y=0을 푼다: dy/dx=-y; dy/y=-dx. 다음을 통합해 보겠습니다.

보다 편리한 표기법을 얻기 위해 C의 거듭제곱을 새로운 C로 취합니다.

이 변환은 도함수를 더 쉽게 찾을 수 있도록 수행되었습니다.

2) 선형 균질 방정식의 일반 해법 결과에서 C는 상수가 아니라 x의 함수인 C=C(x)로 간주됩니다. 이 조건에서

결과 표현식 y 및 y'를 조건으로 대체합니다.

방정식의 양변에 다음을 곱합니다.

부품별 적분 공식을 사용하여 방정식의 양쪽을 적분하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

여기서 C는 더 이상 함수가 아니라 일반적인 상수입니다.

3) 동차방정식의 일반해에서

찾은 함수 C(x)를 다음과 같이 대체합니다.

베르누이의 방법으로 풀 때와 같은 답을 얻었습니다.

임의의 상수를 변화시키는 방법도 풀이에 적용 가능합니다.

y'x+y=-xy².

방정식을 표준 형식인 y'+y/x=-y² (II)로 가져옵니다.

1) 동차방정식 y'+y/x=0을 푼다. dy/dx=-y/x. 방정식의 양변에 dx를 곱하고 y로 나눕니다: dy/y=-dx/x. 이제 다음을 통합해 보겠습니다.

결과 표현식을 조건 (II)로 대체합니다.

단순화하자:

우리는 C와 x에 대해 분리 가능한 변수를 사용하여 방정식을 얻었습니다.

여기서 C는 이미 일반 상수입니다. 통합 과정에서 표기법에 과부하가 걸리지 않도록 C(x) 대신 단순히 C를 썼습니다. 그리고 마지막에는 C(x)와 새로운 C를 혼동하지 않기 위해 C(x)로 돌아왔습니다.

3) 동차 방정식 y=C(x)/x의 일반 해법에서 찾은 함수 C(x)를 다음과 같이 대체합니다.

베르누이법으로 풀었을 때와 같은 답을 얻었습니다.

자가 테스트 예:

1. 방정식을 표준 형식인 y'-2y=x로 다시 작성해 보겠습니다.

1) 동차방정식 y'-2y=0을 푼다. y'=dy/dx, 따라서 dy/dx=2y, 방정식의 양쪽에 dx를 곱하고 y로 나누어 적분합니다.

여기에서 우리는 y를 찾습니다:

y 및 y'에 대한 표현식을 조건으로 대체합니다(간결하게 하기 위해 C(x) 대신 C를 사용하고 C"(x) 대신 C'를 사용함).

우변의 적분을 찾기 위해 부품별 적분 공식을 사용합니다.

이제 u, du 및 v를 공식에 대체합니다.

여기서 C=const.

3) 이제 동질성을 솔루션으로 대체합니다.

라그랑주 상수의 변이법을 이용하여 상수 계수를 갖는 고차의 선형 불균일 미분방정식을 푸는 방법이 고려된다. 라그랑주 방법은 동차 방정식에 대한 기본 해법 시스템이 알려진 경우 모든 선형 비동차 방정식을 푸는 데에도 적용할 수 있습니다.

콘텐츠

참조:

라그랑주 방법(상수의 변형)

임의의 n차 상수 계수를 갖는 선형 비균질 미분 방정식을 생각해 보세요.
(1) .
1차 방정식에서 고려한 상수의 변화 방법은 고차 방정식에도 적용 가능합니다.

솔루션은 두 단계로 수행됩니다. 첫 번째 단계에서는 우변을 버리고 동차방정식을 푼다. 결과적으로 우리는 n개의 임의 상수를 포함하는 해를 얻습니다. 두 번째 단계에서는 상수를 변경합니다. 즉, 우리는 이러한 상수가 독립변수 x의 함수라고 믿고 이러한 함수의 형태를 찾습니다.

여기서는 상수 계수를 갖는 방정식을 고려하고 있지만 라그랑주 방법은 선형 불균일 방정식을 푸는 데에도 적용 가능합니다.. 그러나 이를 위해서는 동차방정식의 기본 해법을 알아야 합니다.

1단계. 동차방정식 풀기

1계 방정식의 경우와 마찬가지로 먼저 동차 방정식의 우변을 0으로 동일시하는 일반 해를 찾습니다.
(2) .
이 방정식의 일반적인 해법은 다음과 같습니다.
(3) .
다음은 임의의 상수입니다. - 이 방정식에 대한 기본 해 시스템을 형성하는 동차 방정식(2)의 n 선형 독립 해.

2단계. 상수의 변형 - 상수를 함수로 대체

두 번째 단계에서는 상수의 변화를 다룰 것입니다. 즉, 상수를 독립 변수 x의 함수로 대체합니다.
.
즉, 우리는 원래 방정식 (1)에 대한 해를 다음과 같은 형태로 찾고 있습니다.
(4) .

(4)를 (1)에 대입하면 n개의 함수에 대해 하나의 미분 방정식을 얻습니다. 이 경우 이러한 함수를 추가 방정식과 연결할 수 있습니다. 그런 다음 n개의 함수를 결정할 수 있는 n개의 방정식을 얻습니다.추가 방정식을 작성할 수 있습니다.

제안된 솔루션(4)을 원래 방정식(1)에 대체하려면 형식(4)에 작성된 함수의 처음 n 차의 도함수를 찾아야 합니다. 우리는 합계와 곱의 차별화 규칙을 사용하여 (4)를 차별화합니다.
.
멤버들을 그룹화해보자. 먼저, 의 파생어가 있는 항을 적고 다음의 파생어가 있는 항을 적습니다.

.
함수에 첫 번째 조건을 적용해 보겠습니다.
(5.1) .
그러면 에 대한 1차 도함수 표현식은 더 간단한 형식을 갖게 됩니다.
(6.1) .

동일한 방법을 사용하여 2차 도함수를 찾습니다.

.
함수에 두 번째 조건을 적용해 보겠습니다.
(5.2) .
그 다음에
(6.2) .
등. 안에 추가 조건, 함수의 도함수를 포함하는 항을 0과 동일시합니다.

따라서 함수에 대해 다음과 같은 추가 방정식을 선택하면:
(5.k) ,
그러면 에 대한 1차 도함수는 가장 간단한 형태를 갖게 됩니다:
(6.k) .
여기 .

n번째 도함수를 구합니다:
(6.n)
.

원래 방정식(1)으로 대체하면 다음과 같습니다.
(1) ;






.
모든 함수가 방정식 (2)를 충족한다는 점을 고려해 보겠습니다.
.
그런 다음 0을 포함하는 항의 합은 0이 됩니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:
(7) .

그 결과 시스템을 갖추게 되었습니다. 선형 방정식파생상품의 경우:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

이 연립방정식을 풀면서 우리는 도함수를 x의 함수로 표현하는 것을 찾습니다.
.
통합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

더 이상 x에 의존하지 않는 상수는 다음과 같습니다. (4)를 대체하면 원래 방정식에 대한 일반적인 해를 얻을 수 있습니다. 파생 상품의 값을 결정하기 위해 계수 a i가 일정하다는 사실을 결코 사용하지 않았습니다. 그렇기 때문에라그랑주 방법은 모든 선형 불균일 방정식을 푸는 데 적용 가능합니다.

, 동종 방정식 (2)에 대한 기본 해법 시스템이 알려진 경우.

예


상수변동법(라그랑주)을 사용하여 방정식을 푼다.

예제 솔루션 > > > 참조:
상수 변화 방법(라그랑주)으로 1차 방정식 풀기
베르누이 방법을 사용하여 고차 방정식 풀기