삼각형 각도의 합입니다. 삼각형 각도의 합 정리

정리. 삼각형의 내각의 합은 두 개의 직각과 같습니다.

삼각형 ABC를 살펴보겠습니다(그림 208). 내부 각도를 숫자 1, 2, 3으로 표시하겠습니다.

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

예를 들어 AC에 평행한 직선 MN인 B와 같은 삼각형의 일부 꼭지점을 그려 보겠습니다.

정점 B에서는 ∠4, ∠2, ∠5의 세 가지 각도를 얻었습니다. 그 합은 직선이므로 180°와 같습니다.

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

그러나 ∠4 = ∠1은 평행선 MN, AC 및 시컨트 AB를 갖는 내부 횡각입니다.

∠5 = ∠3 - 평행선 MN, AC 및 시컨트 BC를 갖는 내부 횡각입니다.

이는 ∠4와 ∠5가 동등한 ∠1과 ∠3으로 대체될 수 있음을 의미합니다.

따라서 ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°입니다. 정리가 입증되었습니다.

2. 삼각형의 외각의 성질.

실제로 삼각형 ABC(그림 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3뿐만 아니라 ∠ВСD에서도 ∠1 및 ∠2에 인접하지 않은 이 삼각형의 외부 각도도 180°와 같습니다. - ∠3 .

따라서:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

따라서 ∠1 + ∠2= ∠BCD입니다.

삼각형의 외각의 유도된 속성은 삼각형의 외각이 삼각형에 인접하지 않은 삼각형의 각 내각보다 크다는 것만 명시한 삼각형의 외각에 대해 이전에 입증된 정리의 내용을 명확히 합니다. 이제 외부 각도는 인접하지 않은 두 내부 각도의 합과 동일하다는 것이 확인되었습니다.

3. 각도가 30°인 직각삼각형의 성질.

직각 삼각형 ACB의 각도 B를 30°로 설정합니다(그림 210). 그러면 다른 예각은 60°가 됩니다.

다리 AC가 빗변 AB의 절반과 같다는 것을 증명해 보겠습니다. 다리 AC를 직각 C의 꼭지점 너머로 확장하고 세그먼트 AC와 동일한 세그먼트 CM을 따로 설정해 보겠습니다. 점 M을 점 B에 연결해 보겠습니다. 결과 삼각형 ВСМ는 삼각형 ACB와 같습니다. 삼각형 ABM의 각 각도는 60°이므로 이 삼각형은 정삼각형입니다.

다리 AC는 AM의 절반과 같고, AM은 AB와 같기 때문에 다리 AC는 빗변 AB의 절반과 같습니다.

어제에 이어서:

기하학 동화를 바탕으로 한 모자이크를 가지고 놀아 봅시다.

옛날 옛적에 삼각형이있었습니다. 너무 비슷해서 서로의 복사본일 뿐입니다.
그들은 어떻게든 일직선으로 나란히 서 있었습니다. 그리고 키가 다 똑같았으니까-
그런 다음 그들의 상단은 눈금자 아래에서 같은 수준에 있었습니다.

삼각형은 넘어지고 머리 위에 서는 것을 좋아했습니다. 그들은 맨 윗줄에 올라가서 곡예사처럼 모퉁이에 섰습니다.
그리고 우리는 이미 알고 있습니다. 그들이 상의를 정확히 일직선으로 서 있을 때,
그러면 그들의 발바닥도 자를 따라갑니다. 왜냐하면 누군가가 같은 키라면 거꾸로도 같은 키이기 때문입니다!

그들은 모든 면에서 동일했습니다. 키도 같았고 밑창도 같았습니다.
측면의 슬라이드(하나는 더 가파르고 다른 하나는 더 평평함)의 길이는 동일합니다.
그리고 그들은 같은 기울기를 가지고 있습니다. 글쎄, 그냥 쌍둥이야! (다른 옷을 입은 경우에만 각각 고유한 퍼즐 조각이 있음).

- 삼각형의 변이 동일한 곳은 어디입니까? 같은 모서리는 어디인가요?

삼각형들은 머리를 숙이고 서 있다가 미끄러져 내려와 맨 아래 줄에 누우기로 결정했습니다.
그들은 미끄러지고 언덕 아래로 미끄러졌습니다. 하지만 슬라이드는 똑같습니다!
그래서 그들은 틈새없이 아래쪽 삼각형 사이에 정확히 맞고 아무도 누구도 옆으로 밀지 않았습니다.

우리는 삼각형을 둘러보다가 흥미로운 특징을 발견했습니다.
각도가 모이는 곳마다 세 각도가 모두 확실히 만날 것입니다.
가장 큰 각도는 "머리 각도"이며 가장 예각이고 세 번째는 중간 크기의 각도입니다.
그들은 심지어 어느 것이 어느 것인지 즉시 알 수 있도록 색깔 있는 리본을 묶었습니다.

그리고 삼각형의 세 각을 합치면,
하나의 큰 각도, 즉 열린 책의 표지와 같은 "열린 모서리"를 구성합니다.

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이를 회전 각도라고 합니다.

모든 삼각형은 여권과 같습니다. 세 개의 각이 합쳐지면 펼친 각과 같습니다.
누군가 당신의 문을 두드립니다: - Knk-knock 나는 삼각형이야, 밤을 보내게 해주세요!
그리고 당신은 그에게 말해요 - 각의 합을 확장된 형태로 보여주세요!
그리고 이것이 진짜 삼각형인지 사기꾼인지는 즉시 분명해집니다.
확인 실패 - 180도 돌아서 집에 가세요!

180° 회전한다는 것은 뒤로 돌아서라는 뜻이다.
반대 방향으로 가세요.

"옛날 옛적에"가 아닌 더 친숙한 표현으로 같은 내용을 표현하면 다음과 같습니다.

OX 축을 따라 삼각형 ABC의 평행 이동을 수행해 보겠습니다.
벡터하다 AB밑변 AB의 길이와 같습니다.
삼각형의 꼭지점 C와 C1을 통과하는 선 DF
OX 축에 수직이기 때문에 OX 축에 평행합니다.
세그먼트 h와 h 1(동일한 삼각형의 높이)은 동일합니다.
따라서 삼각형 A 2 B 2 C 2의 밑변은 밑변 AB와 평행합니다.
길이가 동일합니다 (정점 C 1이 C에 대해 AB 양만큼 이동하기 때문에).
삼각형 A 2 B 2 C 2와 ABC는 세 변이 같습니다.
따라서 직선을 이루는 각도 ∠A 1 ∠B ∠C 2 는 삼각형 ABC의 각도와 같습니다.
=> 삼각형 내각의 합은 180°

움직임(“번역”)을 사용하면 소위 증명이 더 짧고 명확해집니다.
어린이도 모자이크 조각을 이해할 수 있습니다.

하지만 전통적인 학교는:

평행선에서 잘라낸 내부 교차 각도의 동일성을 기반으로

이것이 왜 그런지에 대한 아이디어를 제공한다는 점에서 가치가 있습니다.
왜삼각형 내각의 합은 역각과 같다?

그렇지 않으면 평행선은 우리 세계에 익숙한 속성을 갖지 않기 때문입니다.

정리는 양방향으로 작동합니다. 평행선의 공리로부터 다음과 같습니다.
십자형 거짓말 각도와 수직 각도의 평등, 그리고 그로부터 삼각형 각도의 합.

그러나 그 반대도 마찬가지입니다. 삼각형의 각이 180°인 한 평행선이 있습니다.
(선 위에 있지 않은 점을 통해 주어진 선의 고유한 선 ||을 그릴 수 있습니다).
어느 날, 펼쳐진 각도와 각도의 합이 같지 않은 삼각형이 세상에 나타난다면 -
그러면 평행한 것들은 더 이상 평행하지 않을 것이고, 온 세상은 구부러지고 비뚤어질 것입니다.

삼각형 패턴의 줄무늬가 서로 겹쳐 배치된 경우 -
타일이 있는 바닥처럼 반복되는 패턴으로 전체 필드를 덮을 수 있습니다.

육각형, 마름모형 등 다양한 모양을 그리드에서 추적할 수 있습니다.
별 모양의 다각형을 만들고 다양한 쪽모이 세공 마루를 얻으세요

쪽모이 세공 마루로 평면을 타일링하는 것은 재미있는 게임일 뿐만 아니라 관련된 수학적 문제이기도 합니다.

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모든 사각형은 직사각형, 정사각형, 마름모 등이므로
두 개의 삼각형으로 구성될 수 있으며,
각각, 사각형 각도의 합: 180° + 180° = 360°

동일한 이등변삼각형은 서로 다른 방식으로 정사각형으로 접혀집니다.
2부분으로 구성된 작은 정사각형. 평균 4. 그리고 8개 중 가장 큰 것입니다.
6개의 삼각형으로 구성된 그림에는 몇 개의 도형이 있습니까?

삼각형 내각의 합이 180도라는 것을 증명할 수 있나요? 그리고 가장 좋은 답변을 얻었습니다

Top_ed[전문가]의 답변
아주 아주 오래 전에 이미 입증된 것을 왜 증명해야 할까요?
유클리드 기하학의 고전 정리인 삼각형 각도 합 정리는 다음과 같이 말합니다.
삼각형의 내각의 합은 180°입니다.
ABC를 임의의 삼각형으로 둡니다. 꼭지점 B를 통과하여 선 AC와 평행한 선을 그립니다. 점 A와 D가 선 BC의 반대쪽에 놓이도록 점 D를 표시해 보겠습니다.
각도 DBC와 ACB는 횡단 BC와 평행선 AC 및 BD에 의해 형성된 내부 교차 각도와 합동입니다. 따라서 삼각형의 꼭지점 B와 C의 각도의 합은 각도 ABD와 같습니다.
삼각형의 세 각의 합은 ABD와 BAC의 합과 같습니다. 이는 평행 AC, BD 및 시컨트 AB에 대한 단면 내각이므로 그 합은 180°입니다. 정리가 입증되었습니다.

답변 보리스카(c)[전문가]
할 수 있지만 어떻게 기억이 나지 않습니다))

답변 무라쉬키나[전문가]
할 수 있다. 긴급한 일인가요? ? 5학년 시험을 치르고 있나요? ? :))

답변 오리 세미킨[전문가]
1. 공간의 기하학적 구조에 따라 다릅니다. 리만 평면 > 180, 정사각형. 로바체프스키< 180. На Эвклидовой - равенство.
2. 꼭지점을 통해 한 변에 평행한 선을 그리고 두 변과 추가 선에 의해 형성된 십자형 각도를 검사합니다. 결과 각도(180)는 삼각형의 세 각도의 합과 같습니다.

증명은 본질적으로 단 하나의 평행선만 그릴 수 있다는 사실에 의존합니다. 그렇지 않은 기하학이 많이 있습니다.

답변 유리[전문가]
입증된 것을 왜 입증합니까?)) 새로운 것을 원한다면 사각형을 두 부분으로 자르십시오))

답변 니콜라이 예브게니예비치[전문가]
나는 할 수 없다.

답변 알렉스 브리치카[전문가]
예, 여기서는 증명할 것이 없습니다. 서로 각도를 추가하기만 하면 됩니다.

답변 답변 2개[전문가]

안녕하세요! 다음은 귀하의 질문에 대한 답변이 포함된 주제입니다. 삼각형 각도의 합이 180도임을 증명할 수 있습니까?