파생 상품 2 4. 파생 상품을 찾는 방법은 무엇입니까? 솔루션의 예

거듭제곱 함수의 도함수 공식 도출(x의 a 거듭제곱) x의 근으로부터 도함수가 고려됩니다. 거듭제곱 함수의 미분 공식 고차. 파생 상품 계산의 예.

콘텐츠

또한보십시오: 거듭제곱 함수와 근, 공식 및 그래프
거듭제곱 함수 그래프

기본 공식

x의 a 거듭제곱 미분은 a 곱하기 x 마이너스 1 거듭제곱과 같습니다.
(1) .

x의 n제곱근을 m제곱으로 미분하면 다음과 같습니다.
(2) .

거듭제곱 함수의 미분 공식 유도

사례 x > 0

지수 a를 갖는 변수 x의 거듭제곱 함수를 생각해 보세요.
(3) .
여기서 a는 임의적이다 실수. 먼저 사례를 고려해 보겠습니다.

함수 (3)의 도함수를 찾기 위해 전력 함수의 속성을 사용하고 이를 다음 형식으로 변환합니다.
.

이제 다음을 사용하여 파생 상품을 찾습니다.
;
.
여기 .

공식 (1)이 입증되었습니다.

x의 n차 근을 m차로 미분하는 공식 유도

이제 다음 형식의 루트인 함수를 생각해 보세요.
(4) .

도함수를 찾기 위해 근을 거듭제곱 함수로 변환합니다.
.
공식 (3)과 비교하면 다음과 같습니다.
.
그 다음에
.

공식 (1)을 사용하여 우리는 미분을 찾습니다.
(1) ;
;
(2) .

실제로는 (2)식을 외울 필요가 없습니다. 먼저 근을 거듭제곱 함수로 변환한 다음 공식 (1)을 사용하여 해당 도함수를 찾는 것이 훨씬 더 편리합니다(페이지 끝에 있는 예 참조).

사례 x = 0

이면 변수 x =의 값에 대해 검정력 함수가 정의됩니다. 0 . x =에서 함수 (3)의 도함수를 찾아봅시다. 0 . 이를 위해 파생물의 정의를 사용합니다.
.

x =로 대체하자 0 :
.
이 경우, 미분이란 에 대한 우극한을 의미합니다.

그래서 우리는 다음을 발견했습니다:
.
이것으로부터 , .
에 , .
에 , .
이 결과는 공식 (1)에서도 얻습니다.
(1) .
따라서 공식 (1)은 x =에도 유효합니다. 0 .

케이스x< 0

함수 (3)을 다시 고려해보세요:
(3) .
상수 a의 특정 값에 대해서는 변수 x의 음수 값에 대해서도 정의됩니다. 즉, a를 유리수라 하자. 그러면 기약분수로 표현될 수 있습니다:
,
여기서 m과 n은 공약수가 없는 정수입니다.

n이 홀수이면 변수 x의 음수 값에 대해서도 검정력 함수가 정의됩니다. 예를 들어, n = 3 그리고 m = 1 x의 세제곱근이 있습니다.
.
변수 x의 음수 값에 대해서도 정의됩니다.

정의된 상수 a의 유리수 값에 대한 거듭제곱 함수(3)의 미분을 찾아보겠습니다. 이를 위해 x를 다음 형식으로 표현해 보겠습니다.
.
그 다음에 ,
.
우리는 도함수의 부호 외부에 상수를 배치하고 복소 함수를 미분하는 규칙을 적용하여 도함수를 찾습니다.

.
여기 . 하지만
.
그때부터
.
그 다음에
.
즉, 공식 (1)은 다음에 대해서도 유효합니다.
(1) .

고차 파생 상품

이제 전력 함수의 고차 도함수를 찾아보겠습니다.
(3) .
우리는 이미 1차 도함수를 찾았습니다.
.

도함수의 부호 밖에서 상수 a를 취하면 2차 도함수를 찾을 수 있습니다.
.
마찬가지로, 우리는 3차와 4차의 파생 상품을 찾습니다.
;

.

이것으로부터 다음이 분명해진다. 임의의 n차 도함수다음과 같은 형식을 갖습니다:
.

그것을주의해라 만약 a가 자연수 이면 n번째 도함수는 상수입니다.
.
그러면 모든 후속 파생 상품은 0과 같습니다.
,
에 .

파생 상품 계산의 예

예

함수의 도함수를 구합니다:
.

근을 거듭제곱으로 변환해 보겠습니다.
;
.
그러면 원래 함수는 다음과 같은 형식을 취합니다.
.

거듭제곱의 파생물 찾기:
;
.
상수의 미분은 0입니다.
.

유도체

수학 함수의 미분(미분)을 계산하는 것은 고등 수학을 풀 때 매우 일반적인 문제입니다. 간단한 (기본) 수학 함수의 경우 이는 매우 간단한 문제입니다. 기본 함수에 대한 파생 테이블이 오랫동안 컴파일되어 쉽게 액세스할 수 있기 때문입니다. 그러나 복잡한 수학적 함수의 도함수를 찾는 것은 쉬운 일이 아니며 종종 상당한 노력과 시간이 필요합니다.

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기억하기 매우 쉽습니다.

자, 멀리 가지 말고 바로 살펴보자 역함수. 지수 함수의 역함수는 무엇입니까? 로그:

우리의 경우 기본은 숫자입니다.

이러한 로그(즉, 밑이 있는 로그)를 "자연"이라고 하며 이에 대해 특별한 표기법을 사용합니다. 대신 씁니다.

그것은 무엇과 같습니까? 물론, .

자연로그의 미분도 매우 간단합니다.

예:

1. 함수의 미분을 찾아보세요.
2. 함수의 미분은 무엇입니까?

답변: 지수 및 자연 로그는 미분 관점에서 볼 때 독특하게 단순한 함수입니다. 다른 밑수를 사용하는 지수 함수와 로그 함수는 서로 다른 도함수를 갖게 되며, 이를 미분 규칙을 살펴본 후 나중에 분석할 것입니다.

차별화 규칙

무슨 규칙이요? 또 새로운 용어가 또?!...

분화파생상품을 찾는 과정입니다.

그게 다야. 이 과정을 한 단어로 뭐라고 부를 수 있을까요? 미분 아님... 수학자들은 미분을 함수의 동일한 증분이라고 부릅니다. 이 용어는 라틴어 Differentia(차이)에서 유래되었습니다. 여기.

이러한 모든 규칙을 도출할 때 and와 같은 두 가지 기능을 사용합니다. 또한 증분에 대한 수식이 필요합니다.

총 5가지 규칙이 있습니다.

상수는 도함수 기호에서 제외됩니다.

만약 - 어떤 상수(상수)라면.

분명히 이 규칙은 차이점에도 적용됩니다.

그것을 증명해 봅시다. 그대로 두거나 더 간단하게 하세요.

예.

함수의 도함수를 찾습니다:

1. 어느 시점에서;
2. 어느 시점에서;
3. 어느 시점에서;
4. 그 시점에.

솔루션:

1. (도함수는 모든 점에서 동일합니다. 왜냐하면 선형 함수, 기억하다?);

제품의 파생물

여기에서는 모든 것이 비슷합니다. 새로운 함수를 도입하고 그 증가분을 찾아보겠습니다.

유도체:

예:

1. 함수의 파생물을 찾아보세요.
2. 한 점에서 함수의 도함수를 구합니다.

솔루션:

지수 함수의 파생

이제 당신의 지식은 지수뿐만 아니라 모든 지수 함수의 도함수를 찾는 방법을 배우기에 충분합니다. (아직 잊어버렸나요?)

그렇다면 숫자는 어디에 있습니까?

우리는 이미 함수의 도함수를 알고 있으므로 함수를 새로운 기반으로 줄여보겠습니다.

이를 위해 간단한 규칙을 사용합니다: . 그 다음에:

글쎄, 그것은 효과가 있었다. 이제 도함수를 구해 보세요. 이 함수가 복잡하다는 사실을 잊지 마세요.

일어난?

여기에서 직접 확인해 보세요.

공식은 지수의 미분과 매우 유사한 것으로 밝혀졌습니다. 그대로 유지되었으며 변수가 아닌 숫자일 뿐인 요소만 나타났습니다.

예:
함수의 도함수를 찾습니다:

답변:

이것은 계산기 없이는 계산할 수 없는 숫자, 즉 더 이상 적을 수 없는 숫자일 뿐입니다. 간단한 형태로. 그러므로 답변에는 이런 형태로 남겨둡니다.

여기에 두 함수의 몫이 있으므로 해당 미분 규칙을 적용합니다.

이 예에서는 다음 두 함수의 곱입니다.

로그 함수의 파생

여기에서도 비슷합니다. 여러분은 이미 자연 로그의 미분을 알고 있습니다.

따라서 밑이 다른 임의의 로그를 찾으려면 다음과 같이 하십시오.

우리는 이 로그를 밑수로 줄여야 합니다. 로그의 밑을 어떻게 바꾸나요? 다음 공식을 기억하시기 바랍니다.

이제 대신 다음과 같이 작성하겠습니다.

분모는 단순히 상수(변수가 없는 상수)입니다. 파생 상품은 매우 간단하게 얻습니다.

지수 함수와 로그 함수의 미분은 통합 상태 시험에서는 거의 발견되지 않지만 이를 아는 것이 불필요한 것은 아닙니다.

복잡한 함수의 파생물입니다.

무슨 일이야?" 복잡한 기능"? 아니요, 이것은 로그도 아니고 아크탄젠트도 아닙니다. 이러한 함수는 이해하기 어려울 수 있습니다(로그가 어렵다고 생각되면 "로그" 주제를 읽으면 괜찮을 것입니다). 그러나 수학적 관점에서 "복소수"라는 단어는 "어려움"을 의미하지 않습니다.

작은 컨베이어 벨트를 상상해 보십시오. 두 사람이 앉아서 어떤 물건을 가지고 어떤 행동을 하고 있습니다. 예를 들어, 첫 번째는 초콜릿 바를 포장지로 감싸고, 두 번째는 리본으로 묶습니다. 그 결과는 리본으로 포장되고 묶인 초콜릿 바인 복합물입니다. 초콜릿 바를 먹으려면 반대 단계를 역순으로 수행해야 합니다.

유사한 수학적 파이프라인을 만들어 보겠습니다. 먼저 숫자의 코사인을 찾은 다음 결과 숫자를 제곱합니다. 그래서 우리에게 숫자(초콜릿)가 주어지고, 나는 그것의 코사인(포장지)을 찾은 다음, 내가 얻은 것을 제곱합니다(리본으로 묶습니다). 무슨 일이에요? 기능. 이것은 복잡한 함수의 예입니다. 값을 찾기 위해 변수를 사용하여 직접 첫 번째 작업을 수행한 다음 첫 번째 결과로 두 번째 작업을 수행합니다.

다시 말해서, 복잡한 함수는 인수가 다른 함수인 함수입니다.: .

우리의 예에서는 .

동일한 단계를 역순으로 쉽게 수행할 수 있습니다. 먼저 제곱을 한 다음 결과 숫자의 코사인을 찾습니다. 결과가 거의 항상 다를 것이라고 추측하기 쉽습니다. 복잡한 기능의 중요한 특징: 작업 순서가 변경되면 기능도 변경됩니다.

두 번째 예: (같은 것). .

우리가 마지막으로 수행하는 작업이 호출됩니다. "외부" 기능, 그리고 먼저 수행된 작업 - 그에 따라 "내부" 기능(비공식적인 이름입니다. 자료를 간단한 언어로 설명하기 위해서만 사용합니다.)

어떤 기능이 외부 기능이고 어떤 기능이 내부 기능인지 스스로 결정해 보세요.

답변:내부 함수와 외부 함수를 분리하는 것은 변수를 변경하는 것과 매우 유사합니다. 예를 들어 함수에서

1. 우리는 어떤 행동을 먼저 수행할 것인가? 먼저 사인을 계산한 다음 이를 세제곱해 봅시다. 이는 내부 기능이지만 외부 기능임을 의미합니다.
   그리고 원래 기능은 구성입니다.
2. 내부: ; 외부: .
   시험: .
3. 내부: ; 외부: .
   시험: .
4. 내부: ; 외부: .
   시험: .
5. 내부: ; 외부: .
   시험: .

변수를 변경하고 함수를 얻습니다.

자, 이제 초콜릿 바를 추출하고 파생 상품을 찾아보겠습니다. 절차는 항상 반대입니다. 먼저 외부 함수의 도함수를 찾은 다음 결과에 내부 함수의 도함수를 곱합니다. 원래 예와 관련하여 다음과 같습니다.

다른 예시:

이제 공식 규칙을 공식화해 보겠습니다.

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

간단해 보이죠?

예를 들어 확인해 보겠습니다.

솔루션:

1) 내부: ;

외부: ;

2) 내부: ;

(지금쯤 잘라내려고 하지 마세요! 코사인 아래에서는 아무 것도 나오지 않습니다. 기억하시나요?)

3) 내부: ;

외부: ;

이것이 3단계 복합 함수라는 것이 즉시 분명해집니다. 결국 이것은 그 자체로 이미 복잡한 함수이고 여기서 루트도 추출합니다. 즉, 세 번째 작업을 수행합니다(초콜릿을 포장지에 넣습니다). 서류 가방에 리본이 달려 있습니다). 하지만 두려워할 이유가 없습니다. 우리는 이 기능을 평소와 같은 순서로 끝부터 "풀기"할 것입니다.

즉, 먼저 루트를 구별한 다음 코사인을 구별하고 괄호 안의 표현식만 구별합니다. 그런 다음 우리는 그것을 모두 곱합니다.

이러한 경우에는 작업에 번호를 매기는 것이 편리합니다. 즉, 우리가 아는 것을 상상해 봅시다. 이 표현식의 값을 계산하기 위해 작업을 어떤 순서로 수행합니까? 예를 살펴보겠습니다:

작업이 나중에 수행될수록 해당 기능은 더 "외부"가 됩니다. 일련의 작업은 이전과 동일합니다.

여기서 중첩은 일반적으로 4레벨입니다. 행동 과정을 결정합시다.

1. 과격한 표현. .

2. 루트. .

3. 사인. .

4. 광장. .

5. 종합해보면:

유도체. 주요 사항에 대해 간략하게

함수의 파생- 인수의 극소 증가에 대한 인수 증가에 대한 함수 증가의 비율:

기본 파생상품:

차별화 규칙:

상수는 도함수 기호에서 제외됩니다.

합계의 미분:

제품의 파생 상품:

몫의 파생물:

복잡한 함수의 파생:

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

1. 우리는 "내부" 함수를 정의하고 그 파생물을 찾습니다.
2. 우리는 "외부" 함수를 정의하고 그 파생물을 찾습니다.
3. 첫 번째 점과 두 번째 점의 결과를 곱합니다.

지수함수(e의 x승)와 지수함수(a의 x승)의 미분에 대한 공식 증명 및 유도. e^2x, e^3x 및 e^nx의 도함수 계산 예. 고차 파생 상품에 대한 공식.

콘텐츠

또한보십시오: 지수 함수 - 속성, 공식, 그래프
지수, e의 x 거듭제곱 - 속성, 공식, 그래프

기본 공식

지수의 미분은 지수 자체와 같습니다(e의 x 거듭제곱 미분은 e의 x 거듭제곱과 같습니다).
(1) (e x )' = e x.

밑이 a인 지수 함수의 도함수는 함수 자체에 a의 자연 로그를 곱한 것과 같습니다.
(2) .

지수는 밑이 다음 극한인 e와 같은 지수 함수입니다.
.
여기서는 자연수일 수도 있고 실수일 수도 있습니다. 다음으로, 지수의 도함수에 대한 공식(1)을 유도합니다.

지수 미분 공식 유도

e의 x제곱 지수를 고려하세요.
y = 엑엑스 .
이 기능은 모든 사람을 위해 정의되었습니다. 변수 x에 대한 도함수를 찾아보겠습니다. 정의에 따르면 미분은 다음과 같은 한계입니다.
(3) .

이 표현식을 알려진 표현식으로 변환해 보겠습니다. 수학적 성질그리고 규칙. 이를 위해서는 다음과 같은 사실이 필요합니다.
ㅏ)지수 속성:
(4) ;
비)로그의 성질:
(5) ;
안에)로그의 연속성과 연속 함수의 극한 속성:
(6) .
여기에 한계가 있는 함수가 있는데 이 한계는 양수입니다.
G)두 번째 주목할만한 한계의 의미는 다음과 같습니다.
(7) .

이러한 사실을 극한(3)에 적용해 보겠습니다. 우리는 속성 (4)를 사용합니다:
;
.

대체를 해보자. 그 다음에 ; .
지수의 연속으로 인해,
.
따라서 , . 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:
.

대체를 해보자. 그 다음에 . 에 , . 그리고 우리는:
.

로그 속성(5)을 적용해 보겠습니다.
. 그 다음에
.

속성 (6)을 적용해 보겠습니다. 양의 극한이 있고 로그가 연속적이므로 다음과 같습니다.
.
여기서도 두 번째를 사용했습니다. 놀라운 한계(7). 그 다음에
.

따라서 우리는 지수의 미분에 대한 공식 (1)을 얻었습니다.

지수 함수의 미분 공식 유도

이제 우리는 차수 a를 밑으로 하는 지수 함수의 도함수에 대한 공식 (2)를 유도합니다. 우리는 그것을 믿습니다. 그런 다음 지수 함수
(8)
모든 사람을 위해 정의되었습니다.

식 (8)을 변형해 보겠습니다. 이를 위해 지수 함수와 로그의 속성을 사용합니다.
;
.
그래서 우리는 식 (8)을 다음과 같은 형태로 변형했습니다.
.

e의 x 거듭제곱에 대한 고차 도함수

이제 더 높은 차수의 파생 상품을 찾아 보겠습니다. 먼저 지수를 살펴보겠습니다.
(14) .
(1) .

우리는 함수 (14)의 도함수가 함수 (14) 자체와 같다는 것을 알 수 있습니다. (1)을 미분하면 2차 및 3차 도함수를 얻을 수 있습니다.
;
.

이는 n차 도함수가 원래 함수와 동일하다는 것을 보여줍니다.
.

지수 함수의 고차 도함수

이제 밑이 a인 지수 함수를 생각해 보세요.
.
우리는 1차 도함수를 찾았습니다.
(15) .

(15)를 미분하면 2차 및 3차 도함수를 얻을 수 있습니다.
;
.

각 미분은 원래 함수의 곱셈으로 이어진다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 n차 도함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
.

또한보십시오:

정의를 따르면 한 지점에서 함수의 미분은 함수 Δ 증분 비율의 한계입니다. 와이인수 증분 Δ 엑스:

모든 것이 명확한 것 같습니다. 하지만 이 공식을 사용하여 함수의 도함수를 계산해 보세요. 에프(엑스) = 엑스 2 + (2엑스+ 3) · 이자형 엑스죄 엑스. 정의에 따라 모든 작업을 수행하면 몇 페이지의 계산 후에는 잠들게됩니다. 따라서 더 간단하고 효과적인 방법이 있습니다.

우선, 우리는 다양한 기능 중에서 소위 기본 기능을 구별할 수 있다는 점에 주목합니다. 이는 상대적으로 간단한 표현으로, 그 파생어가 오랫동안 계산되고 표로 작성되었습니다. 이러한 함수는 파생 함수와 함께 기억하기 매우 쉽습니다.

기본 함수의 도함수

기본 기능은 아래 나열된 모든 기능입니다. 이러한 함수의 파생어는 암기해야 합니다. 게다가 암기하는 것도 전혀 어렵지 않습니다. 그래서 초등학생입니다.

따라서 기본 함수의 파생물은 다음과 같습니다.

이름	기능	유도체
끊임없는	에프(엑스) = 씨, 씨 ∈ 아르 자형	0(예, 0입니다!)
유리수 지수를 사용한 거듭제곱	에프(엑스) = 엑스 N	N · 엑스 N − 1
공동	에프(엑스) = 죄 엑스	코사인 엑스
코사인	에프(엑스) = 왜냐하면 엑스	-죄 엑스(마이너스 사인)
접선	에프(엑스) = TG 엑스	1/코사인 2 엑스
코탄젠트	에프(엑스) = CTG 엑스	- 1/죄 2 엑스
자연로그	에프(엑스) = 로그 엑스	1/엑스
임의 로그	에프(엑스) = 로그 ㅏ 엑스	1/(엑스에 ㅏ)
지수 함수	에프(엑스) = 이자형 엑스	이자형 엑스(아무것도 바뀌지 않았다)

기본 함수에 임의의 상수를 곱하면 새 함수의 도함수도 쉽게 계산됩니다.

(씨 · 에프)’ = 씨 · 에프 ’.

일반적으로 상수는 도함수의 부호에서 제외될 수 있습니다. 예를 들어:

(2엑스 3)' = 2 · ( 엑스 3)' = 2 3 엑스 2 = 6엑스 2 .

분명히 기본 기능을 서로 추가하고, 곱하고, 나누는 등 훨씬 더 많은 기능을 수행할 수 있습니다. 이것이 더 이상 특별히 기본적이지는 않지만 특정 규칙에 따라 차별화되는 새로운 기능이 나타나는 방식입니다. 이러한 규칙은 아래에서 설명됩니다.

합과 차이의 미분

기능을 부여하자 에프(엑스) 그리고 g(엑스), 그 파생물이 우리에게 알려져 있습니다. 예를 들어 위에서 설명한 기본 기능을 사용할 수 있습니다. 그러면 다음 함수의 합과 차의 미분을 찾을 수 있습니다.

1. (에프 + g)’ = 에프 ’ + g ’
2. (에프 − g)’ = 에프 ’ − g ’

따라서 두 함수의 합(차)의 도함수는 도함수의 합(차)과 같습니다. 더 많은 용어가 있을 수 있습니다. 예를 들어, ( 에프 + g + 시간)’ = 에프 ’ + g ’ + 시간 ’.

엄밀히 말하면 대수학에는 '뺄셈'이라는 개념이 없습니다. '부정적 요소'라는 개념이 있습니다. 그러므로 차이점은 에프 − g합계로 다시 쓸 수 있습니다. 에프+ (−1) g, 그러면 합계의 미분 공식 하나만 남습니다.

에프(엑스) = 엑스 2 + 죄 x; g(엑스) = 엑스 4 + 2엑스 2 − 3.

기능 에프(엑스)는 두 가지 기본 함수의 합이므로 다음과 같습니다.

에프 ’(엑스) = (엑스 2 + 죄 엑스)’ = (엑스 2)' + (죄 엑스)’ = 2엑스+ 왜냐하면 x;

우리는 함수에 대해서도 비슷하게 추론합니다. g(엑스). (대수학의 관점에서) 이미 세 가지 용어가 있습니다.

g ’(엑스) = (엑스 4 + 2엑스 2 − 3)’ = (엑스 4 + 2엑스 2 + (−3))’ = (엑스 4)’ + (2엑스 2)’ + (−3)’ = 4엑스 3 + 4엑스 + 0 = 4엑스 · ( 엑스 2 + 1).

답변:
에프 ’(엑스) = 2엑스+ 왜냐하면 x;
g ’(엑스) = 4엑스 · ( 엑스 2 + 1).

제품의 파생물

수학은 논리적 과학이므로 많은 사람들은 합계의 도함수가 도함수의 합과 같으면 곱의 도함수는 다음과 같다고 믿습니다. 스트라이크">파생상품의 곱과 같습니다. 하지만 망할! 제품의 파생상품은 완전히 다른 공식을 사용하여 계산됩니다. 즉:

(에프 · g) ’ = 에프 ’ · g + 에프 · g ’

공식은 간단하지만 종종 잊어버립니다. 그리고 학생뿐만 아니라 학생도 마찬가지입니다. 결과적으로 문제가 잘못 해결되었습니다.

일. 함수의 도함수 찾기: 에프(엑스) = 엑스 3코사인 x; g(엑스) = (엑스 2 + 7엑스- 7) · 이자형 엑스 .

기능 에프(엑스)는 두 가지 기본 함수의 산물이므로 모든 것이 간단합니다.

에프 ’(엑스) = (엑스 3코 엑스)’ = (엑스 3)' 왜냐하면 엑스 + 엑스 3 (cos 엑스)’ = 3엑스 2코 엑스 + 엑스 3 (− 죄 엑스) = 엑스 2 (3cos 엑스 − 엑스죄 엑스)

기능 g(엑스) 첫 번째 승수는 조금 더 복잡하지만 일반적인 구성표는 변경되지 않습니다. 분명히, 함수의 첫 번째 요소는 g(엑스)는 다항식이고 그 도함수는 합의 도함수입니다. 우리는:

g ’(엑스) = ((엑스 2 + 7엑스- 7) · 이자형 엑스)’ = (엑스 2 + 7엑스- 7)' · 이자형 엑스 + (엑스 2 + 7엑스- 7) ( 이자형 엑스)’ = (2엑스+ 7) · 이자형 엑스 + (엑스 2 + 7엑스- 7) · 이자형 엑스 = 이자형 엑스· (2 엑스 + 7 + 엑스 2 + 7엑스 −7) = (엑스 2 + 9엑스) · 이자형 엑스 = 엑스(엑스+ 9) · 이자형 엑스 .

답변:
에프 ’(엑스) = 엑스 2 (3cos 엑스 − 엑스죄 엑스);
g ’(엑스) = 엑스(엑스+ 9) · 이자형 엑스 .

마지막 단계에서 도함수는 인수분해됩니다. 공식적으로는 이를 수행할 필요가 없지만 대부분의 도함수는 자체적으로 계산되지 않고 함수를 검사하기 위해 수행됩니다. 즉, 도함수는 0과 동일해지고 부호가 결정되는 등의 작업이 수행됩니다. 그러한 경우에는 표현식을 인수분해하는 것이 더 좋습니다.

두 가지 기능이 있는 경우 에프(엑스) 그리고 g(엑스), 그리고 g(엑스) ≠ 0 관심 있는 집합에 대해 새로운 함수를 정의할 수 있습니다. 시간(엑스) = 에프(엑스)/g(엑스). 이러한 함수의 경우 파생물을 찾을 수도 있습니다.

약하진 않죠? 마이너스는 어디에서 왔습니까? 왜 g 2? 그리고 이렇게! 이것은 가장 복잡한 공식 중 하나입니다. 병 없이는 알아낼 수 없습니다. 따라서 구체적인 예를 들어 연구하는 것이 좋습니다.

일. 함수의 도함수 찾기:

각 분수의 분자와 분모에는 기본 함수가 포함되어 있으므로 몫의 도함수에 대한 공식만 있으면 됩니다.

전통에 따르면 분자를 인수분해해 보겠습니다. 이렇게 하면 답이 크게 단순화됩니다.

복잡한 함수가 반드시 0.5km 길이의 공식일 필요는 없습니다. 예를 들어, 다음 기능을 수행하는 것으로 충분합니다. 에프(엑스) = 죄 엑스그리고 변수를 교체하세요 엑스, 말하자면, 에 엑스 2 + ln 엑스. 그것은 잘 될 것이다 에프(엑스) = 죄 ( 엑스 2 + ln 엑스) - 이것은 복잡한 기능입니다. 파생 상품도 있지만 위에서 설명한 규칙을 사용하여 찾는 것은 불가능합니다.

어떻게 해야 하나요? 이러한 경우 복잡한 함수의 도함수에 대한 변수와 공식을 바꾸는 것이 도움이 됩니다.

에프 ’(엑스) = 에프 ’(티) · 티', 만약에 엑스로 대체됩니다 티(엑스).

일반적으로 이 공식을 이해하는 상황은 몫의 미분보다 훨씬 더 슬프습니다. 그러므로 구체적인 예를 들어 설명하는 것이 더 좋습니다. 상세 설명모든 단계.

일. 함수의 도함수 찾기: 에프(엑스) = 이자형 2엑스 + 3 ; g(엑스) = 죄 ( 엑스 2 + ln 엑스)

함수에 있는 경우 에프(엑스) 표현식 2 대신 엑스+ 3은 쉬울 거예요 엑스, 그러면 우리는 기본 함수를 얻습니다. 에프(엑스) = 이자형 엑스. 그러므로 우리는 교체를 합니다: let 2 엑스 + 3 = 티, 에프(엑스) = 에프(티) = 이자형 티. 다음 공식을 사용하여 복잡한 함수의 미분을 찾습니다.

에프 ’(엑스) = 에프 ’(티) · 티 ’ = (이자형 티)’ · 티 ’ = 이자형 티 · 티 ’

그리고 지금 - 주의! 역 교체를 수행합니다. 티 = 2엑스+ 3. 우리는 다음을 얻습니다:

에프 ’(엑스) = 이자형 티 · 티 ’ = 이자형 2엑스+ 3 (2 엑스 + 3)’ = 이자형 2엑스+ 3 2 = 2 이자형 2엑스 + 3

이제 기능을 살펴보자 g(엑스). 당연히 교체해야죠 엑스 2 + ln 엑스 = 티. 우리는:

g ’(엑스) = g ’(티) · 티’ = (죄 티)’ · 티’ = 왜냐하면 티 · 티 ’

역방향 교체: 티 = 엑스 2 + ln 엑스. 그 다음에:

g ’(엑스) = 왜냐하면 ( 엑스 2 + ln 엑스) · ( 엑스 2 + ln 엑스)' = cos ( 엑스 2 + ln 엑스) · (2 엑스 + 1/엑스).

그게 다야! 마지막 표현식에서 볼 수 있듯이 전체 문제는 미분합 계산으로 축소되었습니다.

답변:
에프 ’(엑스) = 2 · 이자형 2엑스 + 3 ;
g ’(엑스) = (2엑스 + 1/엑스) 왜냐하면 ( 엑스 2 + ln 엑스).

나는 수업에서 “파생상품”이라는 용어 대신 “소수”라는 단어를 자주 사용합니다. 예를 들어, 합의 획은 획의 합과 같습니다. 그게 더 명확해? 글쎄요.

따라서 미분 계산은 위에서 설명한 규칙에 따라 동일한 스트로크를 제거하는 것으로 귀결됩니다. 마지막 예로, 유리수 지수를 사용하여 도함수로 돌아가 보겠습니다.

(엑스 N)’ = N · 엑스 N − 1

그 역할을 아는 사람은 거의 없습니다. N분수일 수도 있습니다. 예를 들어 루트는 다음과 같습니다. 엑스 0.5. 뿌리 아래에 멋진 것이 있다면 어떨까요? 다시 말하지만, 결과는 복잡한 기능이 될 것입니다. 그들은 그러한 구성을 다음과 같이 제공하는 것을 좋아합니다. 테스트그리고 시험.

일. 함수의 도함수를 구합니다:

먼저, 유리수 지수를 갖는 거듭제곱으로 근을 다시 작성해 보겠습니다.

에프(엑스) = (엑스 2 + 8엑스 − 7) 0,5 .

이제 교체 작업을 수행합니다. 엑스 2 + 8엑스 − 7 = 티. 다음 공식을 사용하여 파생 상품을 찾습니다.

에프 ’(엑스) = 에프 ’(티) · 티 ’ = (티 0.5)' · 티’ = 0.5 · 티−0.5 · 티 ’.

역 교체를 해보겠습니다. 티 = 엑스 2 + 8엑스− 7. 우리는:

에프 ’(엑스) = 0.5 · ( 엑스 2 + 8엑스− 7) −0.5 · ( 엑스 2 + 8엑스− 7)' = 0.5 (2 엑스+ 8) ( 엑스 2 + 8엑스 − 7) −0,5 .

마지막으로, 뿌리로 돌아가서: