이번 글에서는 원이 내접할 수 있는 다각형의 면적을 이 원의 반지름을 통해 표현하는 방법에 대해 이야기하겠습니다. 모든 다각형이 원에 들어갈 수 있는 것은 아니라는 점을 바로 주목할 가치가 있습니다. 그러나 이것이 가능하다면 그러한 다각형의 면적을 계산하는 공식은 매우 간단해집니다. 이 기사를 끝까지 읽거나 첨부된 비디오 튜토리얼을 시청하면 다각형에 내접된 원의 반경으로 다각형의 면적을 표현하는 방법을 배울 수 있습니다.

내접원의 반경을 기준으로 한 다각형 면적 공식

다각형을 그려보자 ㅏ 1 ㅏ 2 ㅏ 3 ㅏ 4 ㅏ 5, 반드시 정확하지는 않지만 원이 새겨질 수 있는 것입니다. 내접원은 다각형의 모든 면에 닿는 원이라는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 그림에서는 녹색 원으로 되어 있고 중심이 지점에 있습니다. 영형:

여기서는 5각형을 예로 들었습니다. 그러나 실제로 이것은 그다지 중요하지 않습니다. 추가 증명은 6각형과 8각형 모두에 유효하고 일반적으로 임의의 "곤"에 대해 유효하기 때문입니다.

내접원의 중심을 다각형의 모든 꼭지점과 연결하면 주어진 다각형의 꼭지점 개수만큼 삼각형으로 나누어집니다. 우리의 경우에는 삼각형 5개입니다. 점을 연결하면 영형다각형의 변과 내접원의 접선의 모든 점을 사용하면 5개의 세그먼트를 얻게 됩니다(아래 그림에서는 세그먼트입니다). 오 1 , 오 2 , 오 3 , 오 4 및 오 5) 이는 원의 반경과 동일하고 그려지는 다각형의 측면에 수직입니다. 접촉점에 그려진 반경이 접선에 수직이기 때문에 후자가 사실입니다.

외접 다각형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 대답은 간단합니다. 결과로 생성되는 모든 삼각형의 면적을 더해야 합니다.

삼각형의 면적이 얼마인지 생각해 봅시다. 아래 그림에서는 노란색으로 강조 표시되어 있습니다.

베이스 제품의 절반과 같습니다. ㅏ 1 ㅏ 2 ~ 높이 오 1이 이 베이스에 그려졌습니다. 그러나 우리가 이미 알고 있듯이 이 높이는 내접원의 반지름과 같습니다. 즉, 삼각형 면적에 대한 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다. , 어디 아르 자형- 내접원의 반경. 나머지 모든 삼각형의 면적도 비슷하게 구합니다. 결과적으로 다각형의 필요한 면적은 다음과 같습니다.

이 합계의 모든 측면에서 괄호를 빼낼 수 있는 공통 요소가 있음을 알 수 있습니다. 결과는 다음과 같습니다.

즉, 괄호 안에 남는 것은 단순히 다각형의 모든 변의 합, 즉 둘레의 합입니다. 피. 이 공식에서 대부분의 경우 표현식은 다음과 같이 간단히 대체됩니다. 피그리고 그들은 이 문자를 "반경계"라고 부릅니다. 결과적으로 최종 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

즉, 반지름이 알려진 원이 내접되는 다각형의 면적은 이 반지름과 다각형의 둘레의 절반을 곱한 것과 같습니다. 이것이 우리가 목표로 한 결과입니다.

마지막으로 그는 원이 항상 삼각형에 내접할 수 있다는 점을 지적할 것입니다. 이는 다각형의 특별한 경우입니다. 따라서 삼각형의 경우 이 공식은 항상 적용될 수 있습니다. 변이 3개 이상인 기타 다각형의 경우 먼저 원이 내접될 수 있는지 확인해야 합니다. 그렇다면 안심하고 사용해도 됩니다 간단한 공식이를 사용하여 이 다각형의 면적을 찾습니다.

Sergey Valerievich가 준비한 자료

학교에서 수학과 기하학을 공부한 사람이라면 누구나 이러한 과학을 적어도 표면적으로는 알고 있습니다. 그러나 시간이 지나 실천하지 않으면 지식은 잊어버리게 됩니다. 많은 사람들은 기하학적 계산을 공부하는 데 시간을 낭비했다고 생각합니다. 그러나 그들은 틀렸다. 기술 작업자는 기하학적 계산과 관련된 일상 작업을 수행합니다. 다각형의 면적을 계산할 때 이 지식은 생활에도 적용됩니다. 적어도 토지 면적을 계산하려면 필요합니다. 그럼 다각형의 넓이를 구하는 방법을 알아봅시다.

다각형 정의

먼저 다각형이 무엇인지 정의해 봅시다. 평평해요 기하학적 도형, 이는 세 개 이상의 직선이 교차하여 형성된 것입니다. 또 다른 간단한 정의: 폴리곤은 닫힌 폴리라인입니다. 당연히 선이 교차하면 교차점이 형성되며 그 수는 다각형을 구성하는 선의 수와 같습니다. 교차점을 꼭지점이라고 하며, 직선으로 이루어진 선분을 다각형의 변이라고 합니다. 다각형의 인접한 세그먼트가 동일한 직선 위에 있지 않습니다. 연속되지 않은 선분은 공통점을 통과하지 않는 선분입니다.

삼각형 면적의 합

다각형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 다각형의 면적은 다각형의 선분이나 변의 교차점에 의해 형성된 평면의 내부입니다. 다각형은 삼각형, 마름모, 정사각형, 사다리꼴과 같은 도형의 조합이므로 면적을 계산하는 보편적인 공식이 없습니다. 실제로 가장 보편적인 방법은 다각형을 더 간단한 그림으로 나누는 방법으로, 그 영역을 찾는 것이 어렵지 않습니다. 이 간단한 도형의 면적의 합을 더하면 다각형의 면적이 구해집니다.

원의 영역을 통해

대부분의 경우 다각형은 규칙적인 모양을 가지며 변과 각도가 동일한 도형을 형성합니다. 이 경우 내접원이나 외접원을 이용하면 면적을 계산하는 것은 매우 간단합니다. 원의 면적을 알고 있는 경우 다각형의 둘레를 곱한 다음 결과 제품을 2로 나누어야 합니다. 결과는 해당 다각형의 면적을 계산하는 공식입니다. S = ½∙P∙r., 여기서 P는 원의 면적이고 r은 다각형의 둘레입니다.

다각형을 "편리한" 모양으로 나누는 방법은 기하학에서 가장 널리 사용되는 방법으로 다각형의 면적을 빠르고 정확하게 찾을 수 있습니다. 보통 중학교 4학년에서는 이런 방법을 공부한다.

기하학 문제는 종종 다각형의 면적을 계산해야 합니다. 또한 익숙한 삼각형부터 상상할 수 없는 수의 꼭지점을 가진 n각형에 이르기까지 상당히 다양한 모양을 가질 수 있습니다. 또한 이러한 다각형은 볼록하거나 오목할 수 있습니다. 각 특정 상황에서 시작한다고 되어있다 모습수치. 이렇게 하면 문제를 해결하는 최적의 방법을 선택할 수 있습니다. 그림이 정확할 수 있으므로 문제 해결이 크게 단순화됩니다.

다각형에 관한 작은 이론

세 개 이상의 교차 선을 그리면 특정 도형이 형성됩니다. 다각형은 바로 그녀입니다. 교차점 수에 따라 정점 수는 명확해집니다. 그들은 결과 그림에 이름을 부여합니다. 그것은 수:

그러한 수치는 확실히 두 가지 입장으로 특징지어질 것입니다:

1. 인접한 변은 동일한 직선에 속하지 않습니다.
2. 인접하지 않은 것에는 공통점이 없습니다. 즉, 교차하지 않습니다.

어떤 정점이 이웃하고 있는지 이해하려면 해당 정점이 같은 쪽에 속하는지 확인해야 합니다. 그렇다면 이웃입니다. 그렇지 않으면 대각선이라고 불리는 세그먼트로 연결될 수 있습니다. 정점이 3개 이상인 다각형에서만 수행할 수 있습니다.

어떤 유형이 존재합니까?

모서리가 4개보다 많은 다각형은 볼록하거나 오목할 수 있습니다. 후자의 차이점은 정점 중 일부가 다각형의 임의의 측면을 통해 그려진 직선의 반대쪽에 있을 수 있다는 것입니다. 볼록한 경우 모든 꼭지점은 항상 직선의 같은 쪽에 위치합니다.

학교 기하학 과정에서는 대부분의 시간을 볼록한 도형에 할애합니다. 따라서 문제는 볼록 다각형의 면적을 찾는 것이 필요합니다. 그런 다음 외접원의 반경을 나타내는 공식이 있으며 이를 통해 모든 그림에 대해 원하는 값을 찾을 수 있습니다. 다른 경우에는 명확한 해결책이 없습니다. 삼각형의 경우 공식은 하나이지만 정사각형이나 사다리꼴의 경우 공식은 완전히 다릅니다. 도형이 불규칙하거나 꼭지점이 많은 상황에서는 단순하고 친숙한 형태로 나누는 것이 관례입니다.

도형에 꼭지점이 3개 또는 4개 있으면 어떻게 해야 합니까?

첫 번째 경우에는 삼각형으로 나타나며 다음 공식 중 하나를 사용할 수 있습니다.

• S = 1/2 * a * n, 여기서 a는 측면, n은 높이입니다.
• S = 1/2 * a * b * sin (A), 여기서 a, b는 삼각형의 변이고, A는 알려진 변 사이의 각도입니다.
• S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), 여기서 c는 삼각형의 변이고, 이미 표시된 두 개에 대해 p는 반 둘레, 즉, 세 변의 합을 2로 나눈 값입니다.

4개의 꼭지점을 가진 도형은 평행사변형으로 판명될 수 있습니다.

• S = a * n;
• S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), 여기서 d 1과 d 2는 대각선이고 α는 둘 사이의 각도입니다.
• S = a * in * sin(α).

사다리꼴 면적 공식: S = n * (a + b) / 2, 여기서 a와 b는 밑면의 길이입니다.

꼭짓점이 4개 이상인 정다각형은 어떻게 해야 하나요?

우선, 그러한 수치는 모든 측면이 동일하다는 사실이 특징입니다. 또한 다각형의 각도는 동일합니다.

이러한 그림 주위에 원을 그리면 그 반경은 다각형 중심에서 꼭지점 중 하나까지의 세그먼트와 일치합니다. 따라서 임의의 수의 꼭지점을 가진 정다각형의 면적을 계산하려면 다음 공식이 필요합니다.

Sn = 1/2 * n * R n 2 * sin (360°/n), 여기서 n은 다각형의 정점 수입니다.

특별한 경우에 유용한 것을 쉽게 얻을 수 있습니다.

1. 삼각형: S = (3√3)/4 * R 2 ;
2. 정사각형: S = 2 * R 2 ;
3. 육각형: S = (3√3)/2 * R 2.

숫자가 잘못된 상황

다각형이 규칙적이지 않고 이전에 알려진 수치에 속할 수 없는 경우 다각형의 면적을 찾는 방법에 대한 솔루션은 알고리즘입니다.

• 교차하지 않도록 삼각형과 같은 단순한 모양으로 나눕니다.
• 공식을 사용하여 면적을 계산합니다.
• 모든 결과를 더하세요.

문제가 다각형의 정점 좌표를 제공하는 경우 어떻게 해야 합니까?

즉, 그림의 측면을 제한하는 각 점에 대해 일련의 숫자 쌍이 알려져 있습니다. 일반적으로 첫 번째는 (x 1 ; y 1), 두 번째는 (x 2 ; y 2)로 작성되며 n 번째 꼭지점은 다음과 같은 값 (x n ; y n)을 갖습니다. 그런 다음 다각형의 면적은 n 항의 합으로 결정됩니다. 각각은 다음과 같습니다: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). 이 표현식에서 i는 1부터 n까지 다양합니다.

결과의 부호는 그림의 순회에 따라 달라진다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 위의 공식을 사용하여 시계방향으로 이동하면 답은 음수가 됩니다.

샘플 작업

상태. 정점의 좌표는 (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5) 값으로 지정됩니다. 다각형의 면적을 계산해야 합니다.

해결책. 위의 공식에 따르면 첫 번째 항은 (1.8 + 0.6)/2 * (3.6 - 2.1)과 같습니다. 여기서는 두 번째 및 첫 번째 지점에서 Y 및 X 값을 가져오면 됩니다. 간단한 계산을 하면 1.8이라는 결과가 나옵니다.

두 번째 항도 비슷하게 구해집니다: (2.2 + 1.8)/2 * (2.3 - 3.6) = -2.6. 이러한 문제를 해결할 때 음수를 두려워하지 마십시오. 모든 것이 제대로 진행되고 있습니다. 이것은 계획된 것입니다.

세 번째 항(0.29), 네 번째 항(-6.365), 다섯 번째 항(2.96)에 대한 값도 비슷한 방식으로 구합니다. 그러면 최종 면적은 1.8 + (-2.6) + 0.29 + (-6.365) + 2.96 = - 3.915입니다.

체크무늬 종이에 다각형을 그리는 문제 해결을 위한 조언

가장 흔히 당황스러운 점은 데이터에 셀 크기만 포함되어 있다는 것입니다. 그러나 더 이상 정보가 필요하지 않은 것으로 나타났습니다. 이 문제를 해결하기 위한 권장 사항은 그림을 여러 개의 삼각형과 직사각형으로 분할하는 것입니다. 그들의 면적은 변의 길이로 계산하기가 매우 쉽고, 그 후 쉽게 합산될 수 있습니다.

그러나 종종 더 간단한 접근 방식이 있습니다. 직사각형에 그림을 그리고 면적을 계산하는 것으로 구성됩니다. 그런 다음 불필요한 것으로 판명된 요소의 면적을 계산합니다. 총 가치에서 이를 뺍니다. 이 옵션에는 때때로 약간 적은 수의 작업이 포함됩니다.

\[(\Large(\text(지역에 대한 기본 사실)))\]

다각형의 면적은 주어진 다각형이 평면에서 차지하는 부분을 나타내는 값이라고 할 수 있습니다. 면적 측정 단위는 한 변이 \(1\)cm, \(1\)mm 등인 정사각형의 면적입니다. (단위 평방). 그러면 면적은 각각 cm\(^2\), mm\(^2\) 단위로 측정됩니다.

즉, 도형의 넓이는 주어진 도형에 단위 정사각형이 몇 배나 들어가는지를 수치로 나타내는 양이라고 할 수 있습니다.

영역 속성

1. 모든 다각형의 면적은 양수입니다.

2. 동일한 다각형은 동일한 면적을 갖습니다.

3. 다각형이 여러 개의 다각형으로 구성된 경우 해당 영역은 이러한 다각형 영역의 합과 같습니다.

4. \(a\) 변이 있는 정사각형의 면적은 \(a^2\) 와 같습니다.

\[(\Large(\text(직사각형과 평행사변형의 면적)))\]

정리: 직사각형의 면적

\(a\) 및 \(b\) 변이 있는 직사각형의 면적은 \(S=ab\) 와 같습니다.

증거

그림과 같이 직사각형 \(ABCD\)을 변 \(a+b\)이 있는 정사각형으로 만들어 보겠습니다.

이 정사각형은 직사각형 \(ABCD\), 또 다른 동일한 직사각형, 변 \(a\) 및 \(b\)가 있는 두 개의 정사각형으로 구성됩니다. 따라서,

\(\begin(여러 줄*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \왼쪽 오른쪽 화살표\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \오른쪽 화살표 S_(\text(pr-k) )=ab \end(여러줄*)\)

정의

평행사변형의 고도는 평행사변형의 꼭지점에서 이 꼭지점을 포함하지 않는 변(또는 변의 연장선)까지 그린 수직입니다.
예를 들어, 높이 \(BK\) 는 \(AD\) 변에 속하고 높이 \(BH\) 는 \(CD\) 변의 연속에 속합니다.

정리: 평행사변형의 면적

평행사변형의 면적은 높이와 이 높이가 그려지는 변의 곱과 같습니다.

증거

그림과 같이 수직선 \(AB"\)과 \(DC"\)를 그려보겠습니다. 이 수직선은 평행사변형 \(ABCD\) 의 높이와 같습니다.

그러면 \(AB"C"D\) 는 직사각형이므로 \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) 입니다.

직각 삼각형 \(ABB"\)과 \(DCC"\)는 합동입니다. 따라서,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\text(삼각형의 넓이)))\]

정의

삼각형의 고도가 그려지는 변을 삼각형의 밑변이라고 부를 것입니다.

정리

삼각형의 면적은 밑변과 이 밑변에 그려진 고도의 곱의 절반과 같습니다.

증거

\(S\)를 삼각형 \(ABC\)의 면적이라고 하자. \(AB\) 변을 삼각형의 밑변으로 삼고 높이 \(CH\) 를 그려보겠습니다. 그것을 증명해보자 \ 그림과 같이 삼각형 \(ABC\)를 평행사변형 \(ABDC\)으로 만들어 보겠습니다.

삼각형 \(ABC\)와 \(DCB\)는 세 변이 동일합니다(\(BC\)는 공통 변이고 \(AB = CD\) 및 \(AC = BD\)는 평행사변형의 반대 변입니다. \ (ABDC\ ))이므로 면적이 동일합니다. 따라서 삼각형 \(ABC\)의 면적 \(S\)는 평행사변형 \(ABDC\) 면적의 절반과 같습니다. 즉 \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdot CH\).

정리

두 개의 삼각형 \(\triangle ABC\)과 \(\triangle A_1B_1C_1\)의 높이가 같으면 해당 영역은 해당 높이가 그려지는 밑면과 관련됩니다.

결과

삼각형의 중앙값은 삼각형을 동일한 면적의 두 개의 삼각형으로 나눕니다.

정리

두 개의 삼각형 \(\triangle ABC\)와 \(\triangle A_2B_2C_2\)가 각각 동일한 각도, 그 면적은 이 각도를 형성하는 변의 곱으로 관련됩니다.

증거

\(\angle A=\angle A_2\) 로 설정합니다. 그림(점 \(A_2\)과 정렬된 점 \(A\))에 표시된 대로 이러한 각도를 결합해 보겠습니다.

높이 \(BH\) 와 \(C_2K\) 를 찾아봅시다.

\(AB_2C_2\) 및 \(ABC_2\) 삼각형의 높이가 \(C_2K\) 이므로 다음과 같습니다. \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

\(ABC_2\) 및 \(ABC\) 삼각형의 높이 \(BH\)는 동일하므로 다음과 같습니다. \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

마지막 두 등식을 곱하면 다음을 얻습니다. \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( 또는 ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

피타고라스의 정리

직각 삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 다리 길이의 제곱의 합과 같습니다.

그 반대도 마찬가지입니다. 삼각형에서 한 변의 길이의 제곱이 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같으면 그러한 삼각형은 직각입니다.

정리

정사각형 정삼각형다리 제품의 절반과 같습니다.

정리: 헤론의 공식

\(p\)를 삼각형의 반주라고 하고 \(a\) , \(b\) , \(c\)를 변의 길이라고 하면 그 넓이는 다음과 같습니다. \

\[(\Large(\text(마름모와 사다리꼴의 면적)))\]

논평

왜냐하면 마름모는 평행사변형이므로 동일한 공식이 적용됩니다. 마름모의 면적은 높이와 이 높이가 그려지는 변의 곱과 같습니다.

정리

대각선이 수직인 볼록 사각형의 면적은 대각선 곱의 절반과 같습니다.

증거

사변형 \(ABCD\) 을 생각해 보세요. \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\)를 나타내자:

이 사변형은 네 개의 직각삼각형으로 구성되어 있으므로 그 넓이는 이 삼각형들의 넓이의 합과 같습니다.

\(\begin(여러 줄*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(여러 줄*)\)

결과 : 마름모 영역

마름모의 면적은 대각선의 곱의 절반과 같습니다. \

정의

사다리꼴의 높이는 한 밑면의 꼭대기에서 다른 밑면까지 그어진 수직선입니다.

정리 : 사다리꼴의 면적

사다리꼴의 면적은 밑면과 높이의 합의 절반을 곱한 것과 같습니다.

증거

\(BC\) 와 \(AD\) 를 밑으로 하는 사다리꼴 \(ABCD\) 를 생각해 보세요. 그림과 같이 \(CD"\parallel AB\)를 그려보겠습니다.

그러면 \(ABCD"\)는 평행사변형입니다.

\(BH"\perp AD, CH\perp AD\)도 수행해 보겠습니다(\(BH"=CH\)는 사다리꼴의 높이입니다).

그 다음에 \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

왜냐하면 사다리꼴은 평행사변형 \(ABCD"\)과 삼각형 \(CDD"\)으로 구성되며, 그 면적은 평행사변형과 삼각형의 면적의 합과 같습니다. 즉, 다음과 같습니다.

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

1.1 고대의 면적 계산

1.2 "영역", "다각형", "다각형 영역" 개념을 연구하는 다양한 접근 방식

1.2.1 면적의 개념. 영역 속성

1.2.2 폴리곤의 개념

1.2.3 다각형의 면적 개념. 기술적 정의

1.3 다각형 면적에 대한 다양한 공식

1.4 다각형 면적에 대한 공식 도출

1.4.1 삼각형의 면적. 헤론의 공식

1.4.2 직사각형의 면적

1.4.3 사다리꼴의 면적

1.4.4 사각형의 넓이

1.4.5 범용 공식

1.4.6 n-gon의 면적

1.4.7 정점 좌표로부터 다각형의 면적 계산

1.4.8 픽의 공식

1.5 직각삼각형의 다리로 구성된 정사각형 면적의 합에 관한 피타고라스의 정리

1.6 삼각형의 균등 배열. Bolyay-Gerwin 정리

1.7 유사 삼각형의 면적 비율

1.8 면적이 가장 넓은 그림

1.8.1 사다리꼴 또는 직사각형

1.8.2 광장의 놀라운 특성

1.8.3 다른 모양의 단면

1.8.4 면적이 가장 넓은 삼각형

제2장. 수학 수업에서 다각형 영역을 연구하는 방법론적 특징

2.1 주제별 계획수학에 대한 심층적 인 연구를 통해 수업에서 가르치는 특징

2.2 수업 진행 방법론

2.3 실험 작업 결과

결론

문학

소개

"다각형 영역"이라는 주제는 학교 수학 과정의 필수적인 부분이며 이는 매우 자연스러운 일입니다. 결국, 역사적으로 기하학의 출현 자체는 한 모양 또는 다른 모양의 토지 플롯을 비교할 필요성과 관련이 있습니다. 그러나 이 주제를 다룰 수 있는 교육 기회가 있다는 점에 유의해야 합니다. 고등학교완전히 사용되는 것과는 거리가 멀다.

학교에서 수학을 가르치는 주요 임무는 학생들이 수학에 필요한 수학적 지식과 기술 시스템을 강력하고 의식적으로 숙달하도록 보장하는 것입니다. 일상 생활회원별 노동활동 및 활동 현대 사회관련 학문을 공부하고 계속 교육을 받기에 충분합니다.

주요 문제를 해결하는 것과 함께 수학에 대한 심층적인 연구에는 학생들이 주제에 대한 지속 가능한 관심을 형성하고 자신의 능력을 식별하고 개발하는 것이 포함됩니다. 수학적 능력, 수학과 관련된 직업에 대한 오리엔테이션, 대학 공부 준비.

적격 작품일반 교육 학교 수학 과정의 내용과 이 과정에 바로 인접하고 주요 이념적 노선을 따라 심화되는 여러 추가 질문이 포함됩니다.

추가 질문을 포함시키는 데는 서로 관련된 두 가지 목적이 있습니다. 한편으로 이것은 과정의 주요 섹션과 함께 수학을 좋아하는 학생들의 관심과 능력 개발을 만족시키기 위한 기반을 만드는 것입니다. 메인 코스의 내용 격차를 줄여 심층 연구 내용에 필요한 무결성을 제공합니다.

적격 저작물은 서문, 두 장, 결론 및 인용 문헌으로 구성됩니다. 첫 번째 장에서는 다각형 영역 연구의 이론적 기초를 논의하고, 두 번째 장에서는 영역 연구의 방법론적 특징을 직접적으로 다룹니다.

제1장 다각형 영역 연구를 위한 이론적 기초

1.1고대 면적의 계산

면적 측정과 관련된 기하학적 지식의 시작은 수천년의 깊이에서 사라졌습니다.

4~5천년 전에도 바빌로니아인들은 직사각형과 사다리꼴의 면적을 정사각형 단위로 결정할 수 있었습니다. 정사각형은 동일한 변, 동일한 각도 및 직각, 대칭 및 일반적인 형태의 완벽함과 같은 많은 놀라운 특성으로 인해 오랫동안 면적 측정의 표준으로 사용되어 왔습니다. 정사각형은 만들기 쉬우며 평면을 틈 없이 채울 수도 있습니다.

안에 고대 중국면적의 측정은 직사각형이었습니다. 석공은 집의 직사각형 벽 면적을 결정할 때 벽의 높이와 너비를 곱했습니다. 이것은 기하학에서 허용되는 정의입니다. 직사각형의 면적은 인접한 변의 곱과 같습니다. 이 두 변은 모두 동일한 선형 단위로 표현되어야 합니다. 그들의 곱은 해당 정사각형 단위로 표현되는 직사각형의 면적입니다. 예를 들어, 벽의 높이와 너비를 데시미터 단위로 측정하면 두 측정값을 곱한 값이 제곱 데시미터로 표시됩니다. 그리고 각 직면 뗏목의 면적이 제곱 데시미터인 경우 결과 제품은 클래딩에 필요한 타일 수를 나타냅니다. 이는 면적 측정의 기초가 되는 진술에서 따릅니다. 교차하지 않는 도형으로 구성된 도형의 면적은 해당 면적의 합과 같습니다.

4,000년 전 고대 이집트인들은 직사각형, 삼각형, 사다리꼴의 면적을 측정하기 위해 우리가 사용하는 것과 거의 동일한 기술을 사용했습니다. 삼각형의 밑면을 반으로 나누고 높이를 곱했습니다. 사다리꼴의 경우 평행한 변의 합을 반으로 나누고 높이 등을 곱합니다. 면적을 계산하려면

변이 있는 사각형(그림 1.1), 공식(1.1)이 사용되었습니다.

저것들. 반대쪽의 합의 절반을 곱했습니다.

이 공식은 모든 사변형에 대해 명백히 올바르지 않습니다. 특히 모든 마름모의 면적은 동일합니다. 한편, 그러한 마름모의 면적은 꼭지점의 각도 크기에 따라 달라지는 것이 분명합니다. 이 공식은 직사각형에만 적용됩니다. 도움을 받으면 각도가 직각에 가까운 사변형의 면적을 대략 계산할 수 있습니다.

면적을 결정하려면

이집트인들이 대략적인 공식을 사용한 이등변삼각형(그림 1.2):
(1.2) 그림. 1.2 이 경우의 오차는 작을수록 삼각형의 변과 높이의 차이가 작을수록, 즉 꼭지점 (및 )이 에서 높이의 밑변에 가까울수록 입니다. 이것이 대략적인 공식 (1.2)가 꼭지점에서 상대적으로 작은 각도를 갖는 삼각형에만 적용 가능한 이유입니다.

그러나 고대 그리스인들은 이미 다각형의 면적을 정확하게 찾는 방법을 알고 있었습니다. 그의 요소에서 Euclid는 "그림"이라는 단어 자체로 하나 또는 다른 닫힌 선으로 둘러싸인 평면의 일부를 이해하기 때문에 "영역"이라는 단어를 사용하지 않습니다. 유클리드는 면적을 측정한 결과를 숫자로 표현하지 않고 서로 다른 도형의 면적을 서로 비교한다.

다른 고대 과학자들과 마찬가지로 유클리드는 일부 인물을 같은 크기의 다른 인물로 변환하는 작업을 다룹니다. 부품이 다르게 배열되어도 교차하지 않으면 합성 그림의 면적은 변경되지 않습니다. 따라서 예를 들어 직사각형 면적에 대한 공식을 기반으로 다른 그림의 면적에 대한 공식을 찾는 것이 가능합니다. 따라서 삼각형은 같은 크기의 직사각형이 형성될 수 있는 부분으로 나누어집니다. 이 구조에서 삼각형의 면적은 밑변과 높이의 곱의 절반과 같습니다. 이러한 재절단을 통해 평행사변형의 면적은 밑면과 높이의 곱과 같고 사다리꼴의 면적은 밑면과 높이의 합의 절반의 곱이라는 것을 알 수 있습니다. .

석공이 벽에 타일을 붙여야 할 때 복잡한 구성, 클래딩에 사용되는 타일 수를 세어 벽의 면적을 결정할 수 있습니다. 물론 일부 타일은 클래딩의 가장자리가 벽의 가장자리와 일치하도록 부서져야 합니다. 작업에 사용된 모든 타일의 수는 초과된 벽 면적을 추정하고, 깨지지 않은 타일의 수는 부족한 벽 면적을 추정합니다. 셀의 크기가 작아질수록 폐기물의 양이 줄어들고, 타일 수에 따라 결정되는 벽 면적이 점점 더 정확하게 계산됩니다.

주로 응용적인 성격의 작품을 쓴 후기 그리스 수학자이자 백과사전가 중 한 사람은 1세기에 살았던 알렉산드리아의 헤론(Heron of Alexandria)입니다. N. 이자형. 뛰어난 엔지니어로서 그는 "기계공 헤론"이라고도 불렸습니다. 그의 작품 "Dioptrics"에서 Heron은 다양한 기계와 실제 측정 도구를 설명합니다.

Heron의 책 중 하나는 "기하학"이라고 불리며 일종의 공식과 그에 상응하는 문제의 모음입니다. 여기에는 정사각형, 직사각형 및 삼각형의 면적을 계산하는 예가 포함되어 있습니다. 변을 기준으로 삼각형의 면적을 찾는 것에 대해 Heron은 다음과 같이 썼습니다. “예를 들어 삼각형의 한 변의 길이는 13개의 측정 코드, 두 번째는 14, 세 번째는 15입니다. 영역을 찾으려면 다음을 수행하십시오. 다음과 같이. 13, 14, 15를 더하세요. 42가 될 것입니다. 이 중 절반은 21이 됩니다. 여기서 세 변을 하나씩 빼세요. 먼저 13을 빼면 8이 남고, 14가 남으면 7이 남고, 마지막으로 15가 남으면 6이 남습니다. 이제 곱하면 21 곱하기 8은 168이 되고, 이것을 7번 하면 1176이 되고, 이것을 6번 더 하면 7056이 됩니다. 여기에서 제곱근은 84가 됩니다. 이것은 삼각형 영역에 얼마나 많은 측정 코드가 있을 것인지입니다.”