세그먼트에 대한 직선의 방정식을 찾습니다. 세그먼트의 선 방정식 - 설명, 예, 문제 해결 두 점을 통과하는 선의 방정식

임무는 세그먼트 끝의 주어진 좌표를 사용하여 세그먼트를 통과하는 직선을 구성하는 것입니다.

우리는 세그먼트가 퇴화되지 않았다고 믿습니다. 길이가 0보다 큽니다(그렇지 않으면 물론 이를 통과하는 직선이 무한히 많습니다).

2차원 케이스

세그먼트를 지정해 보겠습니다. 즉 끝의 좌표 , , 가 알려져 있습니다.

빌드에 필요 평면의 선의 방정식, 이 세그먼트를 통과합니다. 직선 방정식에서 계수 , 를 구합니다.

주어진 세그먼트를 통과하는 필수 트리플은 다음과 같습니다. 무한히 많은: 세 가지 계수 모두에 0이 아닌 임의의 숫자를 곱하면 동일한 직선을 얻을 수 있습니다. 그러므로 우리의 임무는 이러한 세 쌍둥이 중 하나를 찾는 것입니다.

다음 계수 세트가 적합한지 확인하는 것은 쉽습니다(이러한 표현식과 점의 좌표를 직선의 방정식으로 대체함으로써).

정수 케이스

직선을 구성하는 이 방법의 중요한 장점은 끝점의 좌표가 정수인 경우 결과 계수도 다음과 같다는 것입니다. 정수. 어떤 경우에는 실수를 전혀 사용하지 않고 기하학적 연산을 수행할 수 있습니다.

그러나 작은 단점이 있습니다. 동일한 라인에 대해 서로 다른 삼중 계수를 얻을 수 있습니다. 이를 방지하되 정수 계수에서 벗어나지 않으려면 다음 기술을 사용할 수 있습니다. 배급. 숫자의 최대 공약수 , , 를 찾아 세 계수를 모두 나눈 다음 부호를 정규화합니다. 또는 인 경우 세 계수 모두에 를 곱합니다. 결과적으로, 우리는 동일한 선에 대해 동일한 세 개의 계수를 얻을 것이라는 결론에 도달할 것이며, 이를 통해 선의 동일성을 쉽게 확인할 수 있습니다.

실질가치사례

함께 일할 때 실수항상 오류를 인지하고 있어야 합니다.

우리가 얻은 계수는 원래 좌표의 차수이며 계수는 이미 그 제곱의 차수입니다. 이는 이미 상당히 큰 숫자일 수 있으며, 예를 들어 선이 교차할 때 선이 더 커지므로 원래 순서 좌표에서도 큰 반올림 오류가 발생할 수 있습니다.

따라서 실수로 작업할 때 소위 수행하는 것이 좋습니다. 표준화직접적: 즉, 다음과 같은 계수를 만드는 것입니다. . 이렇게 하려면 숫자를 계산해야 합니다.

그리고 세 개의 계수 , , 를 모두 이것으로 나눕니다.

따라서 계수의 순서는 더 이상 입력 좌표의 순서에 의존하지 않으며 계수는 입력 좌표와 동일한 순서가 됩니다. 실제로 이는 계산 정확도를 크게 향상시킵니다.

마지막으로 언급하자면 비교직선 - 결국 동일한 직선에 대해 정규화한 후에는 두 개의 삼중항 계수만 얻을 수 있습니다. 따라서 부호를 고려하여 추가 정규화를 수행하면(또는 이면 곱함) 결과 계수는 고유합니다.

우리는 "평면 위의 선의 방정식"섹션을 계속 연구하고 이번 기사에서는 "세그먼트의 선의 방정식"이라는 주제를 검토합니다. 우리는 세그먼트의 선 방정식의 형태, 이 방정식에 의해 제공되는 직선의 구성, 선의 일반 방정식에서 세그먼트의 선 방정식으로의 전환을 순차적으로 고려할 것입니다. 이 모든 것에는 문제 해결의 예와 분석이 수반됩니다.

평면에 직교좌표계 O x y가 있다고 가정합니다.

직교 좌표계 O x y의 평면 위의 직선은 x a + y b = 1 형식의 방정식으로 제공됩니다. 여기서 a와 b는 0이 아닌 실수이며 그 값은 O x 및 O y 축의 직선에 의해 절단된 세그먼트의 길이입니다. 세그먼트의 길이는 원점을 기준으로 계산됩니다.

우리가 알고 있듯이, 직선의 방정식에 의해 주어진 직선에 속하는 임의의 점의 좌표는 이 직선의 방정식을 만족합니다. 점 a, 0, 0, b는 a a + 0 b = 1 ⇔ 1 ‚ 1 및 0 a + b b = 1 ⇔ 1 ‚ 1이므로 이 직선에 속합니다. 점 a, 0 및 b, 0은 좌표축 O x 및 O y에 위치하며 원점에서 a 및 b 단위로 제거됩니다. 세그먼트 길이를 플롯할 방향은 숫자 a와 b 앞에 나타나는 기호에 따라 결정됩니다. "-" 기호는 세그먼트의 길이가 좌표축의 음수 방향으로 플롯되어야 함을 의미합니다.

개략도에 고정된 직교 좌표계 O x y를 기준으로 직선을 배치하여 위의 모든 내용을 설명하겠습니다. 세그먼트 x a + y b = 1의 직선 방정식은 데카르트 좌표계 O x y에서 직선을 구성하는 데 사용됩니다. 이렇게 하려면 축에 점 a, 0 및 b, 0을 표시한 다음 눈금자를 사용하여 이 점들을 선으로 연결해야 합니다.

그림은 숫자 a와 b가 다음과 같은 경우를 보여줍니다. 다양한 표지판, 따라서 세그먼트의 길이는 좌표축의 서로 다른 방향으로 표시됩니다.

예를 살펴보겠습니다.

실시예 1

직선은 x 3 + y - 5 2 = 1 형식의 세그먼트로 된 직선 방정식으로 제공됩니다. 직교 좌표계 O x y의 평면에 이 선을 구성하는 것이 필요합니다.

해결책

세그먼트의 직선 방정식을 사용하여 직선이 통과하는 점을 결정합니다. 이것은 3, 0, 0, - 5 2입니다. 표시하고 선을 그어 봅시다.

선의 일반 방정식을 세그먼트의 선 방정식으로 축소

주어진 선 방정식에서 세그먼트의 선 방정식으로 전환하면 다양한 문제를 더 쉽게 해결할 수 있습니다. 선의 완전한 일반 방정식을 가짐으로써 선분의 방정식을 얻을 수 있습니다.

평면 위의 직선의 완전한 일반 방정식은 A x + B y + C = 0입니다. 여기서 A, B 및 C는 0이 아닙니다. 숫자 C를 평등의 오른쪽으로 옮기고 결과 평등의 양쪽을 – C로 나눕니다. 동시에 x와 y의 계수를 분모에 보냅니다.

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

마지막 전환을 수행하기 위해 p q = 1 q p, p ≠ 0, q ≠ 0 등식을 사용했습니다.

결과적으로 우리는 직선 A x + B y + C = 0의 일반 방정식에서 세그먼트 x a + y b = 1의 직선 방정식으로 전환했습니다. 여기서 a = - C A, b = - C.B.

다음 예를 살펴보겠습니다.

실시예 2

직선 x - 7 y + 1 2 = 0의 일반 방정식을 사용하여 세그먼트의 직선 방정식으로 전환해 보겠습니다.

해결책

등호 x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 의 오른쪽으로 1초 이동합니다.

등식의 양변을 - 1 2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1로 나눕니다.

결과 평등을 다음으로 변환합시다. 올바른 유형: 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 ⇔ x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

우리는 세그먼트의 직선 방정식을 얻었습니다.

답변: x - 1 2 + y 1 14 = 1

직선이 평면 위 선의 표준 또는 매개변수 방정식에 의해 제공되는 경우 먼저 선의 일반 방정식으로 이동한 다음 세그먼트의 선 방정식으로 이동합니다.

세그먼트의 선 방정식에서 선의 일반 방정식으로 이동하는 것은 간단합니다. x a + y b = 1 형식의 세그먼트로 선 방정식의 오른쪽에서 반대쪽으로 단위를 왼쪽으로 옮깁니다. 부호를 사용하여 미지수 x와 y 앞의 계수를 선택합니다.

x a + y b = 1 ⇔ x a + y b - 1 = 0 ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0

우리는 평면 위의 다른 유형의 선 방정식으로 갈 수 있는 일반 방정식을 얻습니다. 우리는 "선의 일반 방정식을 다른 유형의 선 방정식으로 축소"라는 주제에서 전환 과정을 자세히 논의했습니다.

실시예 3

세그먼트의 직선 방정식은 x 2 3 + y - 12 = 1 형식입니다. 평면 위에 직선의 일반방정식을 쓰는 것이 필요하다.

해결책

이전에 설명한 알고리즘에 따라 작동합니다.

x 2 3 + y - 12 = 1 ⇔ 1 2 3 x + 1 - 12 y - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 2 x - 1 12 y - 1 = 0

답: 3 2 x - 1 12 y - 1 = 0

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평면 위의 직선 방정식.
방향 벡터는 직선입니다. 법선 벡터

비행기의 직선은 가장 간단한 것 중 하나입니다 기하학적 모양, 그 이후로 당신에게 친숙한 주니어 수업, 오늘 우리는 분석 기하학 방법을 사용하여 이를 처리하는 방법을 배울 것입니다. 재료를 익히려면 직선을 만들 수 있어야 합니다. 직선, 특히 좌표의 원점을 통과하는 직선과 좌표축에 평행한 직선을 정의하는 방정식이 무엇인지 알 수 있습니다. 이 정보는 매뉴얼에서 찾을 수 있습니다 기본 함수의 그래프 및 속성, matan용으로 만들었지만 다음 섹션은 선형 함수그것은 매우 성공적이고 상세한 것으로 밝혀졌습니다. 그러므로 사랑하는 찻주전자 여러분, 먼저 거기에서 몸을 따뜻하게 하세요. 또한, 이에 대한 기본적인 지식이 필요합니다. 벡터, 그렇지 않으면 자료에 대한 이해가 불완전해질 것입니다.

이번 단원에서는 평면 위에 직선의 방정식을 만드는 방법을 살펴보겠습니다. 나는 실용적인 예를 (아주 단순해 보이더라도) 무시하지 말 것을 권합니다. 왜냐하면 고등 수학의 다른 섹션을 포함하여 미래에 필요할 기본적이고 중요한 사실과 기술을 제공할 것이기 때문입니다.

각도 계수를 사용하여 직선 방정식을 작성하는 방법은 무엇입니까?
어떻게 ?
직선의 일반 방정식을 사용하여 방향 벡터를 찾는 방법은 무엇입니까?
점과 법선 벡터가 주어지면 직선의 방정식을 작성하는 방법은 무엇입니까?

그리고 우리는 시작합니다:

기울기가 있는 직선의 방정식

직선 방정식의 잘 알려진 "학교" 형식은 다음과 같습니다. 기울기가 있는 직선의 방정식. 예를 들어, 방정식으로 직선이 주어지면 그 기울기는 다음과 같습니다. 고려해 봅시다 기하학적 의미이 계수와 그 값이 선의 위치에 어떻게 영향을 미치는지:

기하학 과정에서 다음이 입증되었습니다. 직선의 기울기는 다음과 같습니다. 각도의 탄젠트양의 축 방향 사이그리고 이 줄: , 각도는 시계 반대 방향으로 "나사 풀림"입니다.

그림을 어수선하게 하지 않기 위해 두 개의 직선에 대해서만 각도를 그렸습니다. "빨간색" 선과 그 기울기를 고려해 봅시다. 위에 따르면: ("알파" 각도는 녹색 호로 표시됩니다). 각도 계수가 있는 "파란색" 직선의 경우 동일성이 적용됩니다("베타" 각도는 갈색 호로 표시됨). 그리고 각도의 탄젠트를 알고 있으면 필요한 경우 쉽게 찾을 수 있습니다. 그리고 코너 자체사용하여 역함수– 아크탄젠트. 그들이 말했듯이 삼각법 테이블이나 마이크로 계산기가 손에 있습니다. 따라서, 각도 계수는 가로축에 대한 직선의 기울기 정도를 나타냅니다..

다음과 같은 경우가 가능합니다:

1) 기울기가 음수인 경우: 대략적으로 말하면 선은 위에서 아래로 이동합니다. 그림의 "파란색" 및 "라즈베리" 직선이 그 예입니다.

2) 기울기가 양수이면 선은 아래에서 위로 향합니다. 예 - 도면의 "검은색" 및 "빨간색" 직선.

3) 기울기가 0이면 방정식은 다음과 같은 형식을 취하며 해당 직선은 축과 평행합니다. 예를 들어 "노란색" 직선이 있습니다.

4) 축에 평행한 선군(축 자체를 제외하고는 도면에 예가 없음)의 경우 각도 계수 존재하지 않는다 (90도 접선은 정의되지 않음).

절대값의 기울기 계수가 클수록 직선 그래프의 기울기가 더 가파르게 됩니다..

예를 들어 두 개의 직선을 생각해 보세요. 따라서 여기서 직선의 기울기가 더 가파르게 됩니다. 모듈을 사용하면 기호를 무시할 수 있으며 우리는 다음에만 관심이 있음을 상기시켜 드리겠습니다. 절대값각도 계수.

결과적으로 직선은 직선보다 가파릅니다. .

반대로, 절대값의 기울기 계수가 작을수록 직선은 더 평평해집니다..

직선의 경우 부등식이 참이므로 직선이 더 평평해집니다. 타박상이나 충격을받지 않도록 어린이 미끄럼틀.

이것이 왜 필요한가요?

고통을 연장하십시오. 위의 사실을 알면 실수, 특히 그래프를 구성할 때의 오류(그림이 "분명히 잘못된 것"으로 판명되는 경우)를 즉시 확인할 수 있습니다. 당신이하는 것이 좋습니다 곧바로예를 들어 직선은 매우 가파르고 아래에서 위로 향하고, 직선은 매우 평평하며 축에 가깝게 눌려 위에서 아래로 향한다는 것이 분명했습니다.

기하학 문제에서는 여러 개의 직선이 나타나는 경우가 많기 때문에 어떻게든 지정하는 것이 편리합니다.

명칭: 직선은 작은 라틴 문자로 지정됩니다: . 널리 사용되는 옵션은 자연 아래 첨자와 동일한 문자를 사용하여 지정하는 것입니다. 예를 들어, 방금 본 다섯 줄은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. .

모든 직선은 두 점에 의해 고유하게 결정되므로 다음 점으로 표시할 수 있습니다. 등. 지정은 점이 선에 속한다는 것을 분명히 의미합니다.

이제 조금 워밍업할 시간입니다.

각도 계수를 사용하여 직선 방정식을 작성하는 방법은 무엇입니까?

특정 선에 속하는 점과 이 선의 각도 계수를 알고 있으면 이 선의 방정식은 다음 공식으로 표현됩니다.

실시예 1

점이 주어진 선에 속한다는 것이 알려진 경우 기울기가 있는 선에 대한 방정식을 작성하십시오.

해결책: 공식을 이용하여 직선의 방정식을 구성해보자 . 이 경우:

답변:

시험간단하게 이루어집니다. 먼저, 결과 방정식을 보고 기울기가 올바른지 확인합니다. 둘째, 점의 좌표는 이 방정식을 만족해야 합니다. 이를 방정식에 연결해 보겠습니다.

올바른 동등성이 얻어집니다. 이는 점이 결과 방정식을 만족한다는 것을 의미합니다.

결론: 방정식이 올바르게 발견되었습니다.

좀 더 까다로운 예 독립적인 결정:

실시예 2

축의 양의 방향에 대한 경사각이 이고 점이 이 직선에 속한다는 것을 알고 있으면 직선에 대한 방정식을 작성하십시오.

어려운 점이 있으면 다시 읽어보세요. 이론적 자료. 더 정확하게 말하면, 더 실용적으로는 많은 증거를 생략합니다.

마지막 종소리가 울리고 졸업식이 끝났습니다. 모국어 학교 문 밖에는 분석 기하학 그 자체가 우리를 기다리고 있습니다. 농담은 끝났어... 아니면 이제 막 시작했을 수도 있습니다 =)

우리는 익숙한 사람에게 향수를 불러일으키며 펜을 흔들고 직선의 일반적인 방정식을 알게 됩니다. 분석 기하학에서는 이것이 정확히 사용되는 것입니다:

일반 방정식직선은 형태를 갖고 있다: , 숫자는 어디에 있나요? 동시에 계수는 동시에방정식이 의미를 잃기 때문에 0과 같지 않습니다.

양복을 입고 방정식을 기울기 계수와 연결해 봅시다. 먼저 모든 용어를 왼쪽으로 이동해 보겠습니다.

"X"가 있는 용어가 맨 앞에 와야 합니다.

원칙적으로 방정식의 형식은 이미 이지만 수학적 에티켓 규칙에 따라 첫 번째 항(이 경우)의 계수는 양수여야 합니다. 표지판 변경:

이 기술적 특징을 기억하세요!첫 번째 계수(가장 자주)를 양수로 만듭니다!

분석기하학에서 직선의 방정식은 거의 항상 일반적인 형태로 표현됩니다. 글쎄, 필요한 경우 각도 계수를 사용하여 "학교"형태로 쉽게 줄일 수 있습니다 (세로 축에 평행 한 직선 제외).

무엇인지 스스로에게 물어보자 충분한직선을 만드는 법을 아시나요? 두 가지 점. 그러나 이 어린 시절 사건에 대한 자세한 내용은 나중에 화살표 규칙을 따릅니다. 각 직선에는 "적응"하기 쉬운 매우 구체적인 경사가 있습니다. 벡터.

직선에 평행한 벡터를 그 직선의 방향 벡터라고 합니다.. 모든 직선에는 무한한 수의 방향 벡터가 있으며 모든 직선은 동일 선상에 있을 것입니다(동방향인지 아닌지 - 중요하지 않음).

방향 벡터를 다음과 같이 표시하겠습니다.

그러나 하나의 벡터로는 직선을 구성하는 데 충분하지 않습니다. 벡터는 자유로우며 평면의 어떤 점에도 연결되지 않습니다. 그러므로 그 선에 속하는 어떤 점을 추가적으로 아는 것이 필요하다.

점과 방향 벡터를 사용하여 직선 방정식을 작성하는 방법은 무엇입니까?

선에 속하는 어떤 점과 이 선의 방향 벡터를 알고 있는 경우 , 이 선의 방정식은 공식을 사용하여 컴파일될 수 있습니다:

때때로 그것은 불린다. 표준 방정식직접 .

언제해야 할 일 좌표 중 하나는 0이므로 아래의 실제 예를 통해 이해하겠습니다. 참고로- 둘 다 동시에 0 벡터는 특정 방향을 지정하지 않으므로 좌표는 0과 같을 수 없습니다.

실시예 3

점과 방향 벡터를 사용하여 직선의 방정식을 작성합니다.

해결책: 공식을 이용하여 직선의 방정식을 구성해 봅시다. 이 경우:

비율의 속성을 사용하여 분수를 제거합니다.

그리고 우리는 방정식을 다음과 같이 가져옵니다. 일반적인 모습:

답변:

일반적으로 이러한 예에서는 그림을 그릴 필요가 없지만 이해를 돕기 위해 다음을 수행합니다.

도면에서 우리는 시작점, 원래 방향 벡터(평면의 어느 지점에서나 플롯할 수 있음) 및 구성된 직선을 볼 수 있습니다. 그런데 많은 경우 각도 계수가 있는 방정식을 사용하여 직선을 구성하는 것이 가장 편리합니다. 방정식을 형태로 변환하고 다른 점을 선택하여 직선을 구성하는 것은 쉽습니다.

단락 시작 부분에서 언급했듯이 직선에는 무한한 수의 방향 벡터가 있으며 모두 동일 선상에 있습니다. 예를 들어, 저는 다음과 같은 세 가지 벡터를 그렸습니다. . 어떤 방향 벡터를 선택하든 결과는 항상 동일한 직선 방정식이 됩니다.

점과 방향 벡터를 사용하여 직선의 방정식을 만들어 보겠습니다.

비율 해결:

양변을 -2로 나누고 다음과 같은 익숙한 방정식을 얻습니다.

관심 있는 사람들은 같은 방식으로 벡터를 테스트할 수 있습니다. 또는 다른 동일선상 벡터.

이제 역 문제를 해결해 보겠습니다.

직선의 일반 방정식을 사용하여 방향 벡터를 찾는 방법은 무엇입니까?

매우 간단합니다:

일반 방정식으로 직선이 주어지면 벡터는 이 직선의 방향 벡터입니다.

직선의 방향 벡터를 찾는 예:

이 명령문을 사용하면 무한한 수 중에서 하나의 방향 벡터만 찾을 수 있지만 더 이상 필요하지 않습니다. 어떤 경우에는 방향 벡터의 좌표를 줄이는 것이 좋습니다.

따라서 방정식은 축에 평행한 직선을 지정하고 결과 방향 벡터의 좌표를 편리하게 -2로 나누어 방향 벡터로 정확하게 기본 벡터를 얻습니다. 논리적.

마찬가지로 방정식은 축에 평행한 직선을 지정하고 벡터의 좌표를 5로 나누어 단위 벡터를 방향 벡터로 얻습니다.

이제 해보자 예제 3 확인. 예제가 올라왔으므로 그 안에서 점과 방향 벡터를 사용하여 직선의 방정식을 컴파일했음을 상기시켜드립니다.

첫째로, 직선 방정식을 사용하여 방향 벡터를 재구성합니다. – 모든 것이 괜찮습니다. 원래 벡터를 받았습니다(어떤 경우에는 결과가 원래 벡터와 동일선상에 있는 벡터일 수 있으며 이는 일반적으로 해당 좌표의 비례로 쉽게 알 수 있습니다).

둘째, 점의 좌표는 방정식을 만족해야 합니다. 우리는 이를 방정식으로 대체합니다.

올바른 평등이 이루어졌는데, 우리는 이에 매우 만족합니다.

결론: 작업이 올바르게 완료되었습니다.

실시예 4

점과 방향 벡터를 사용하여 직선의 방정식을 작성합니다.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 정답과 정답은 강의 마지막에 있습니다. 방금 설명한 알고리즘을 사용하여 확인하는 것이 좋습니다. 가능하다면 항상 초안을 확인하십시오. 100% 피할 수 있는 실수를 저지르는 것은 어리석은 일입니다.

방향 벡터의 좌표 중 하나가 0인 경우 매우 간단하게 진행하십시오.

실시예 5

해결책: 우변의 분모가 0이므로 수식은 적합하지 않습니다. 탈출구가 있습니다! 비율의 속성을 사용하여 공식을 형식으로 다시 작성하고 나머지는 깊은 틀에 따라 굴러갔습니다.

답변:

시험:

1) 선의 방향 벡터를 복원합니다.
– 결과 벡터는 원래 방향 벡터와 동일 선상에 있습니다.

2) 점의 좌표를 방정식에 대입합니다.

올바른 평등이 얻어집니다.

결론: 작업이 올바르게 완료되었습니다.

어떤 경우에도 작동하는 범용 버전이 있다면 왜 공식에 신경을 써야 할까요?라는 질문이 생깁니다. 두 가지 이유가 있습니다. 먼저, 공식은 분수의 형태입니다. 훨씬 더 잘 기억된다. 둘째, 만능 공식의 단점은 다음과 같습니다. 혼란스러울 위험이 크게 증가합니다.좌표를 대체할 때.

실시예 6

점과 방향 벡터를 사용하여 직선의 방정식을 작성합니다.

이것은 스스로 해결하는 예입니다.

유비쿼터스적인 두 가지 요점으로 돌아가 보겠습니다.

두 점을 사용하여 직선의 방정식을 작성하는 방법은 무엇입니까?

두 점을 알고 있는 경우 이 점을 통과하는 직선의 방정식은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

실제로 이것은 일종의 공식이며 그 이유는 다음과 같습니다. 두 점을 알고 있으면 벡터는 주어진 선의 방향 벡터가 됩니다. 수업 중 인형용 벡터우리는 가장 간단한 문제, 즉 두 점에서 벡터의 좌표를 찾는 방법을 고려했습니다. 이 문제에 따르면 방향 벡터의 좌표는 다음과 같습니다.

메모 : 포인트를 "교환"할 수 있고 공식을 사용할 수 있습니다. 이러한 솔루션은 동일합니다.

실시예 7

두 점을 사용하여 직선의 방정식을 작성합니다. .

해결책: 우리는 다음 공식을 사용합니다.

분모를 결합하면 다음과 같습니다.

그리고 덱을 섞으세요:

이제 분수를 없애야 할 때입니다. 이 경우에는 양변에 6을 곱해야 합니다.

괄호를 열고 방정식을 떠올려보세요.

답변:

시험이는 명백합니다. 초기 점의 좌표는 결과 방정식을 충족해야 합니다.

1) 점의 좌표를 다음과 같이 대체합니다.

진정한 평등.

2) 점의 좌표를 다음과 같이 대체합니다.

진정한 평등.

결론: 선의 방정식이 올바르게 작성되었습니다.

만약에 적어도 하나의 점이 방정식을 만족하지 않으면 오류를 찾으십시오.

이 경우 직선을 구성하고 점이 해당 직선에 속하는지 확인하기 때문에 그래픽 검증이 어렵다는 점은 주목할 가치가 있습니다. , 그렇게 간단하지는 않습니다.

솔루션의 몇 가지 기술적 측면을 더 언급하겠습니다. 아마도 이 문제에서는 거울 공식을 사용하는 것이 더 유리할 것입니다. 그리고, 같은 지점에서 방정식을 만들다:

분수 수가 적습니다. 원하는 경우 끝까지 솔루션을 수행할 수 있으며 결과는 동일한 방정식이어야 합니다.

두 번째 요점은 최종 답을 보고 더 단순화할 수 있는지 알아보는 것입니다. 예를 들어 방정식을 얻는 경우 2로 줄이는 것이 좋습니다. – 방정식은 동일한 직선을 정의합니다. 그러나 이것은 이미 대화 주제입니다. 선의 상대적 위치.

답변을 받은 후 예 7에서는 만일을 대비하여 방정식의 모든 계수가 2, 3 또는 7로 나누어지는지 확인했습니다. 그러나 대부분의 경우 이러한 감소는 솔루션 중에 이루어집니다.

실시예 8

두 점을 지나는 선의 방정식을 쓰세요 .

이는 계산 기술을 더 잘 이해하고 연습할 수 있는 독립적인 솔루션의 예입니다.

이전 단락과 유사: 수식에 있는 경우 분모 중 하나(방향 벡터의 좌표)가 0이 되면 이를 형식으로 다시 작성합니다. 다시 한 번 그녀가 얼마나 어색하고 혼란스러워 보이는지 확인하십시오. 우리는 이미 이 문제를 실제로 해결했기 때문에 실제 사례를 제시하는 데에는 큰 의미가 없다고 생각합니다(5, 6번 참조).

직접 법선 벡터(법선 벡터)

정상이란 무엇입니까? 간단한 말로, 법선은 수직입니다. 즉, 선의 법선 벡터는 주어진 선에 수직입니다. 분명히 모든 직선은 무한한 수(방향 벡터 포함)를 가지며 직선의 모든 법선 벡터는 동일선상에 있습니다(동일한 방향이든 아니든 차이는 없습니다).

가이드 벡터를 사용하는 것보다 이를 처리하는 것이 훨씬 쉽습니다.

직선이 직각 좌표계의 일반 방정식으로 주어지면 벡터는 이 직선의 법선 벡터입니다.

방향 벡터의 좌표를 방정식에서 조심스럽게 "제거"해야 하는 경우 법선 벡터의 좌표를 간단히 "제거"할 수 있습니다.

법선 벡터는 항상 선의 방향 벡터와 직교합니다. 다음을 사용하여 이들 벡터의 직교성을 검증해 보겠습니다. 내적:

방향 벡터와 동일한 방정식을 사용하여 예를 들어 보겠습니다.

한 점과 법선 벡터가 주어지면 직선의 방정식을 구성하는 것이 가능합니까? 직감적으로 느껴집니다. 가능합니다. 법선 벡터가 알려진 경우 직선 자체의 방향이 명확하게 정의됩니다. 이는 각도가 90도인 "강체 구조"입니다.

점과 법선 벡터가 주어지면 직선의 방정식을 작성하는 방법은 무엇입니까?

선에 속하는 특정 점과 이 선의 법선 벡터를 알고 있으면 이 선의 방정식은 다음 공식으로 표현됩니다.

여기에서는 분수와 기타 놀라움없이 모든 것이 해결되었습니다. 이것이 우리의 법선 벡터입니다. 그를 사랑해. 그리고 존경합니다 =)

실시예 9

점과 법선 벡터가 주어졌을 때 직선의 방정식을 작성하세요. 선의 방향 벡터를 찾습니다.

해결책: 우리는 다음 공식을 사용합니다.

직선의 일반 방정식이 얻어졌습니다. 확인해 보겠습니다.

1) 방정식에서 법선 벡터의 좌표를 "제거"합니다. – 예, 실제로 원래 벡터는 조건에서 얻어졌습니다(또는 동일선상 벡터를 얻어야 합니다).

2) 점이 방정식을 만족하는지 확인해 봅시다:

진정한 평등.

방정식이 올바르게 구성되었음을 확인한 후 작업의 더 쉬운 두 번째 부분을 완료합니다. 직선의 방향 벡터를 꺼냅니다.

답변:

그림에서 상황은 다음과 같습니다.

훈련 목적으로 독립적으로 해결하기 위한 유사한 작업:

실시예 10

점과 법선 벡터가 주어졌을 때 직선의 방정식을 작성하세요. 선의 방향 벡터를 찾습니다.

수업의 마지막 섹션에서는 덜 일반적이지만 중요한 유형의 평면 선 방정식에 대해 다룹니다.

세그먼트의 직선 방정식.
파라메트릭 형태의 선 방정식

세그먼트의 직선 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 여기서 는 0이 아닌 상수입니다. 일부 유형의 방정식은 이 형식으로 표현할 수 없습니다(예: 직접 비례)(자유 항은 0이고 우변에 1을 얻을 수 있는 방법이 없기 때문입니다).

이것은 비유적으로 말하면 "기술적" 유형의 방정식입니다. 일반적인 작업은 선의 일반 방정식을 세그먼트의 선 방정식으로 표현하는 것입니다. 어떻게 편리합니까? 세그먼트의 선 방정식을 사용하면 선과 좌표축의 교차점을 빠르게 찾을 수 있으며 이는 일부 고등 수학 문제에서 매우 중요할 수 있습니다.

선과 축의 교차점을 찾아봅시다. "y"를 재설정하면 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. 원하는 포인트가 자동으로 획득됩니다: .

축도 마찬가지 – 직선이 세로축과 교차하는 지점.

형식의 선 방정식 , 여기서 에이그리고 비– 0이 아닌 일부 실수가 호출됩니다. 세그먼트의 직선 방정식. 이 이름은 숫자의 절대값이기 때문에 우연이 아닙니다. 에이그리고 비직선이 좌표축에서 잘라내는 세그먼트의 길이와 같습니다. 황소그리고 아야각각(세그먼트는 원점부터 계산됩니다) 따라서 세그먼트의 선 방정식을 사용하면 도면에서 이 선을 쉽게 구성할 수 있습니다. 이렇게 하려면 평면의 직사각형 좌표계에 좌표를 사용하여 점을 표시하고 눈금자를 사용하여 직선으로 연결해야 합니다.

예를 들어, 형식의 세그먼트에서 방정식으로 주어진 직선을 구성해 보겠습니다. 점을 표시하고 연결하세요.

세그먼트 내 선 방정식 기사에서 평면 위 선 방정식 유형에 대한 자세한 정보를 얻을 수 있습니다.

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대수학 및 분석 기하학. 행렬의 개념, 행렬에 대한 연산 및 속성

행렬의 개념은 행렬과 그 속성에 대한 연산이다.. 행렬은 할 수 없는 숫자들로 구성된 직사각형 표이고.. 그리고 행렬 덧셈은 요소별 연산이다..

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미분성의 정의
도함수를 구하는 작업을 함수의 미분이라고 합니다. 함수가 특정 지점에서 유한 도함수를 갖는 경우 어떤 지점에서 미분 가능하다고 합니다.

미분의 법칙
결과 1. 상수 요소는 도함수의 부호에서 제거될 수 있습니다.

파생어의 기하학적 의미. 탄젠트 방정식
직선의 경사각 y = kx+b는 위치에서 측정한 각도입니다.

한 점에서 함수 미분의 기하학적 의미
점 A와 B가 각각 좌표를 갖도록 함수 y = f(x) 그래프의 시컨트 AB를 고려해 보겠습니다.

해결책
모든 사람을 위해 정의된 기능 실수. (-1; -3)은 접선 지점이므로

극한의 필요조건과 극한의 충분조건
증가하는 함수의 정의. 함수 y = f(x)는 구간 X에서 증가합니다.

함수의 극값에 대한 충분한 부호
함수의 최대값과 최소값을 찾으려면 세 가지 중 하나를 사용할 수 있습니다. 충분한 징후극한. 가장 일반적이고 편리한 것이 첫 번째입니다.

정적분의 기본 속성. 속성 1. 파생물 정적분상한에서 변수 대신 통합되는 피적분 함수와 같습니다.

뉴턴-라이프니츠 공식(증명 있음)
뉴턴-라이프니츠 공식. 함수 y = f(x)가 구간에서 연속이고 F(x)가 이 구간에서 함수의 역도함수 중 하나라고 가정하면 방정식은 다음과 같습니다.

세그먼트의 선 방정식

직선의 일반방정식은 다음과 같습니다.

세그먼트의 직선 방정식. 해당 좌표축에서 직선이 절단되는 세그먼트는 어디에 있습니까?

일반 방정식으로 주어진 직선을 구성합니다.

이를 통해 세그먼트별로 이 선의 방정식을 구성할 수 있습니다.

평면에서 선의 상대적 위치입니다.

진술 1.

직선의 순서로 방정식으로 표현하면 다음과 같습니다.

다음을 위해서는 우연의 일치가 필요하고 충분합니다.

증명: 일치하며 방향 벡터는 동일 선상에 있습니다. 즉:

이 직선으로 점 M 0을 취한 다음:

첫 번째 방정식에 (2)를 곱하고 두 번째 방정식에 추가하면 다음을 얻습니다.

따라서 식 (2), (3), (4)는 동일합니다. (2)가 만족되면 시스템의 방정식 (*)은 해당 직선이 일치합니다.

진술 2.

방정식(*)으로 주어진 선과 는 평행하며 다음과 같은 경우에만 일치하지 않습니다.

증거:

일치하지 않더라도:

즉, Kronecker-Capelli 정리에 따르면 일관성이 없습니다.

이는 다음과 같은 경우에만 가능합니다.

즉, 조건 (5)가 충족되는 경우이다.

첫 번째 동일성(5)이 충족되면 - 두 번째 동일성을 충족하지 못하면 시스템의 비호환성(*)이 발생합니다. 선은 평행하고 일치하지 않습니다.

참고 1.

극좌표계.

평면의 한 점을 고정하고 이를 극이라고 부르겠습니다. 극에서 나오는 광선을 극축이라고 합니다.

세그먼트 길이를 측정하기 위한 척도를 선택하고 점을 중심으로 시계 반대 방향으로 회전하는 것이 양수로 간주된다는 데 동의합시다. 어떤 점을 고려하십시오 주어진 비행기, 극까지의 거리를 표시하고 이를 극 반경이라고 부릅니다. 극축이 일치하도록 회전해야 하는 각도는 극축으로 표시되고 호출됩니다.

정의 3.

점의 극좌표는 극 반경과 극 각도입니다.