확률 이론에서 p a 는 무엇입니까? 확률론과 수리통계의 기초

엄마가 액자를 씻어놨어

긴 끝에 여름 방학이제 천천히 더 높은 수학으로 돌아가 빈 Verdov 파일을 엄숙하게 열어 새 섹션 만들기를 시작할 시간입니다. 첫 번째 줄은 쉽지 않다는 것을 인정하지만 첫 번째 단계는 절반이므로 모두가 소개 기사를주의 깊게 연구하고 나면 주제를 마스터하는 것이 2 배 더 쉬울 것입니다! 나는 전혀 과장하지 않습니다. …내년 9월 1일 전날, 1학년과 입문서가 기억납니다… 글자는 음절을 형성하고, 음절은 단어를 형성하고, 단어는 짧은 문장을 형성합니다. 엄마가 틀을 씻으셨어요. 터버와 수학 통계를 익히는 것은 읽는 법을 배우는 것만큼 쉽습니다! 그러나 이를 위해서는 이 단원의 주제인 주요 용어, 개념 및 지정은 물론 몇 가지 특정 규칙을 알아야 합니다.

하지만 먼저 시작(계속, 완료, 적절하게 메모)에 대한 축하를 받아주세요. 학년그리고 선물을 받아요. 최고의 선물은 책이고, 독립적 인 일나는 다음 문헌을 추천합니다.

1) 그무르만 V.E. 확률이론과 수리통계

전설적인 지도 시간, 10번 이상의 재인쇄를 거쳤습니다. 이 책은 명료성과 자료의 매우 간단한 표현으로 구별되며 첫 번째 장은 이미 6-7학년 학생들이 완전히 접근할 수 있다고 생각합니다.

2) 그무르만 V.E. 확률 이론 및 수리 통계 문제 해결 가이드

자세한 예와 문제가 포함된 Vladimir Efimovich의 솔루션 북입니다.

필연적으로인터넷에서 두 책을 모두 다운로드하거나 종이 원본을 얻으십시오! 60년대와 70년대 버전도 작동하므로 인형에게는 더욱 좋습니다. "인형에 대한 확률론"이라는 표현은 다소 우스꽝스럽게 들리지만 거의 모든 것이 초등학생에 국한되어 있기 때문에 산술 연산. 그러나 그들은 장소를 건너뜁니다. 파생상품그리고 적분, 그러나 이것은 장소에만 있습니다.

나는 동일한 프레젠테이션의 명확성을 달성하려고 노력할 것입니다. 그러나 내 강좌의 목표는 다음과 같습니다. 문제 해결이론적 계산은 최소한으로 유지됩니다. 따라서, 상세한 이론, 정리의 증명(정리-정리!)이 필요하다면 교과서를 참고하시기 바랍니다. 글쎄, 누가 원해? 문제 해결 방법을 배우다확률론과 수리통계학 가능한 가장 짧은 시간에, 나를 따라오세요!

시작하기에 충분합니다 =)

기사를 읽으면서 고려된 유형의 추가 작업에 대해 (적어도 간략하게) 알아가는 것이 좋습니다. 페이지에서 고등 수학을 위한 기성 솔루션솔루션 예시가 포함된 해당 PDF가 게시됩니다. 상당한 지원도 제공될 예정 IDZ 18.1 랴부슈코(더 간단하게) 그리고 Chudesenko의 컬렉션에 따라 IDZ를 해결했습니다.(더 어렵다).

1) 양두 개의 이벤트가 발생하고 해당 이벤트가 호출됩니다. 또는이벤트 또는이벤트 또는두 이벤트를 동시에. 해당 이벤트의 경우 호환되지 않는, 마지막 옵션이 사라집니다. 즉, 발생할 수 있습니다 또는이벤트 또는이벤트 .

이 규칙은 예를 들어 사건과 같이 더 많은 수의 용어에도 적용됩니다. 무슨 일이 일어날까 적어도 하나이벤트에서 , ㅏ 이벤트가 호환되지 않는 경우 – 그럼 딱 한 가지, 딱 한 가지이 금액의 이벤트: 또는이벤트 , 또는이벤트 , 또는이벤트 , 또는이벤트 , 또는이벤트 .

많은 예가 있습니다:

이벤트(주사위를 던지면 5점이 나오지 않습니다)가 나타나는 것입니다. 또는 1, 또는 2, 또는 3, 또는 4, 또는 6점.

이벤트(드롭됩니다. 더 이상은 없어두 점) 1이 나타날 것이라는 것입니다 또는 2포인트들.

이벤트 (짝수의 포인트가 있을 것입니다)이 나타나는 것입니다 또는 2 또는 4 또는 6점.

덱에서 레드카드(하트)를 뽑는 이벤트입니다. 또는탬버린) 및 이벤트 – "그림"이 추출됩니다(잭 또는숙녀 또는왕 또는에이스).

좀 더 흥미로운 것은 공동 이벤트의 경우입니다.

이벤트는 덱에서 클럽을 뽑는 것입니다. 또는일곱 또는일곱 개의 클럽 위에 주어진 정의에 따르면, 적어도 뭔가- 또는 임의의 클럽 또는 임의의 7개 또는 그 "교차점" - 7개의 클럽. 이 이벤트가 12개의 기본 결과(9개의 클럽 카드 + 3개의 나머지 7개)에 해당한다는 것을 쉽게 계산할 수 있습니다.

이벤트는 내일 12시에 올 것이라는 것입니다 요약 가능한 공동 이벤트 중 적어도 하나, 즉:

– 아니면 비만 오거나 천둥번개만 치거나 태양만 있을 것입니다.
– 또는 몇 가지 사건 쌍만 발생합니다(비 + 뇌우/비 + 태양/뇌우 + 태양).
– 또는 세 가지 이벤트가 모두 동시에 나타납니다.

즉, 이벤트에는 7개의 가능한 결과가 포함됩니다.

사건 대수학의 두 번째 기둥은 다음과 같습니다.

2) 작품두 개의 이벤트를 호출하고 이러한 이벤트의 공동 발생으로 구성된 이벤트를 호출합니다. 즉, 곱셈은 어떤 상황에서 다음이 발생함을 의미합니다. 그리고이벤트 , 그리고이벤트 . 더 많은 수의 사건에 대해서도 비슷한 진술이 적용됩니다. 예를 들어, 작품은 특정 조건에서 그것이 일어날 것임을 암시합니다. 그리고이벤트 , 그리고이벤트 , 그리고이벤트 , …, 그리고이벤트 .

두 개의 동전을 던지는 테스트를 생각해 보세요. 그리고 다음 이벤트:

– 첫 번째 동전에 앞면이 나타납니다.
– 첫 번째 동전은 앞면이 나올 것입니다.
– 두 번째 동전에 앞면이 나타납니다.
– 두 번째 동전의 앞면이 나올 것입니다.

그 다음에:
그리고두 번째) 머리가 나타납니다.
– 이벤트는 두 코인 모두에서 (1일에) 그리고 2일에는 앞면이 됩니다.
– 이벤트는 첫 번째 동전이 앞면이 되는 것입니다. 그리고두 번째 동전은 뒷면입니다.
– 이벤트는 첫 번째 동전이 앞면이 되는 것입니다. 그리고두 번째 동전에는 독수리가 있습니다.

이벤트가 있어서 쉽게 볼 수 있어요 호환되지 않는 (예를 들어 동시에 2개의 앞면과 2개의 뒷면이 될 수 없기 때문입니다)그리고 형태 전체 그룹 (고려했기 때문에 모두두 개의 동전을 던지면 가능한 결과). 다음 이벤트를 요약해 보겠습니다. 이 항목을 어떻게 해석합니까? 매우 간단합니다. 곱셈은 논리적 연결을 의미합니다. 그리고, 그리고 추가 – 또는. 따라서 그 금액은 인간이 이해할 수 있는 언어로 쉽게 읽을 수 있습니다. “두 개의 머리가 나타날 것입니다. 또는머리 두 개 또는첫 번째 동전은 앞면이 나올 것입니다. 그리고 2번째 꼬리에 또는첫 번째 동전은 앞면이 나올 것입니다. 그리고두 번째 동전에는 독수리가 있다"

이것은 때의 예였습니다. 한 번의 테스트에서여러 개체가 관련됩니다(이 경우에는 동전 두 개). 실제 문제의 또 다른 일반적인 계획은 다음과 같습니다. 재시험 중 , 예를 들어, 같은 주사위를 연속으로 3번 굴릴 때입니다. 데모로 다음 이벤트를 고려하십시오.

– 첫 번째 던지면 4점을 얻습니다.
– 두 번째 던지면 5점을 얻습니다.
– 세 번째 던지면 6점을 얻습니다.

그럼 이벤트는 첫 번째 던지면 4점을 얻을 수 있다는 거죠 그리고두 번째 던지면 5점을 얻습니다. 그리고세 번째 롤에서는 6점을 얻습니다. 분명히 큐브의 경우 동전을 던지는 것보다 훨씬 더 많은 조합(결과)이 있을 것입니다.

...그들이 잘 이해하지 못할 수도 있다는 점은 이해합니다. 흥미로운 예, 그러나 이는 문제에서 자주 발생하는 일이며 탈출구가 없습니다. 동전, 큐브, 카드 한 벌 외에도 다양한 색상의 공이 담긴 항아리, 목표물을 향해 총을 쏘는 익명의 여러 사람, 끊임없이 몇 가지 세부 사항을 작성하는 지칠 줄 모르는 일꾼이 여러분을 기다리고 있습니다 =)

사건의 확률

사건의 확률 확률론의 핵심 개념이다. ...완전히 논리적인 일이지만 어딘가에서 시작해야 했습니다 =) 정의에 대한 몇 가지 접근 방식이 있습니다.

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확률의 기하학적 정의 ;
확률의 통계적 정의 .

이 기사에서는 교육 과제에서 가장 널리 사용되는 확률의 고전적 정의에 중점을 둘 것입니다.

명칭. 특정 사건의 확률은 대문자 라틴 문자로 표시되며 사건 자체는 일종의 주장으로 작용하여 괄호 안에 표시됩니다. 예를 들어:

또한 소문자는 확률을 나타내는 데 널리 사용됩니다. 특히, 번거로운 이벤트 지정과 확률 지정을 버릴 수 있습니다. 다음 스타일을 선호합니다::

– 동전 던지기에서 앞면이 나올 확률;
– 주사위를 굴려 5점이 나올 확률;
– 클럽 슈트의 카드가 덱에서 뽑힐 확률입니다.

이 옵션은 솔루션 기록을 크게 줄일 수 있으므로 실제 문제를 해결할 때 널리 사용됩니다. 첫 번째 경우와 마찬가지로 여기서는 "말하는" 아래 첨자/위 첨자를 사용하는 것이 편리합니다.

내가 방금 위에 적어 놓은 숫자를 모두가 오랫동안 추측해 왔으며 이제 그 결과가 어떻게 나왔는지 알아 보겠습니다.

확률의 고전적 정의:

특정 테스트에서 사건이 발생할 확률을 비율이라고 합니다. 여기서:

– 총 수모든 사람 똑같이 가능, 초등학교이 테스트의 결과는 전체 이벤트 그룹;

- 수량 초등학교결과, 유리한 이벤트.

동전을 던지면 앞면이나 뒷면이 빠질 수 있습니다. 이러한 이벤트가 형성됩니다. 전체 그룹, 따라서 총 결과 수입니다. 동시에, 그들 각자는 초등학교그리고 똑같이 가능. 이벤트는 결과(앞면)에 의해 선호됩니다. 확률의 고전적 정의에 따르면: .

마찬가지로, 주사위를 던진 결과 기본적으로 동등하게 가능한 결과가 나타나 완전한 그룹을 형성할 수 있으며 이벤트는 단일 결과(5가 굴림)에 의해 선호됩니다. 그 이유는 다음과 같습니다. 이것은 허용되지 않습니다 (머리 속으로 백분율을 추정하는 것은 금지되어 있지 않지만).

단위의 분수를 사용하는 것이 관례입니다., 그리고 분명히 확률은 . 게다가 이면 이벤트는 다음과 같습니다. 불가능한, 만약에 - 믿을 수 있는, 그리고 그렇다면 우리는 무작위의이벤트.

! 문제를 해결하는 동안 다른 확률 값을 얻는다면 오류를 찾아보세요!

확률을 결정하는 고전적 접근 방식에서는 정확히 동일한 추론을 통해 극단값(0과 1)을 얻습니다. 10개의 빨간 공이 들어 있는 특정 항아리에서 무작위로 공 1개를 꺼냅니다. 다음 이벤트를 고려하십시오.

단일 시험에서는 가능성이 낮은 사건이 발생하지 않습니다..

이것이 바로 이 사건의 확률이 가령 0.00000001이라면 복권에서 대박을 터뜨릴 수 없는 이유입니다. 예, 그렇습니다. 특정 순환에서 유일한 티켓을 가진 사람은 바로 당신입니다. 그러나 티켓 수가 많고 그림이 많다고 해서 별로 도움이 되지는 않습니다. ...이 사실을 다른 사람에게 말하면 거의 항상 "하지만 누군가가 승리합니다."라는 대답을 듣게 됩니다. 좋습니다. 그러면 다음 실험을 해보겠습니다. 오늘이나 내일 복권을 구매해 주세요(지체하지 마세요!). 그리고 만약 당신이 이기면... 적어도 10킬로루블 이상이면 꼭 가입하세요. 왜 이런 일이 일어났는지 설명하겠습니다. 물론 백분율로 =) =)

그러나 반대되는 원칙이 있기 때문에 슬퍼할 필요가 없습니다. 어떤 사건의 확률이 1에 매우 가까우면 단일 시행에서 거의 확실한일어날 것이다. 따라서 낙하산으로 점프하기 전에 두려워 할 필요가 없으며 반대로 미소 지으십시오! 결국 두 낙하산이 모두 실패하려면 완전히 상상할 수 없는 환상적인 상황이 발생해야 합니다.

이 모든 것이 서정적이지만 이벤트 내용에 따라 첫 번째 원칙은 쾌활하고 두 번째 원칙은 슬프다. 또는 둘 다 평행합니다.

아마도 지금은 그것으로 충분할 것입니다. 수업 시간에는 고전적인 확률 문제우리는 공식을 최대한 활용할 것입니다. 이 기사의 마지막 부분에서 우리는 한 가지 중요한 정리를 고려할 것입니다.

완전한 그룹을 형성하는 사건의 확률의 합은 1과 같습니다.. 대략적으로 말하면, 이벤트가 완전한 그룹을 형성하면 100% 확률로 그 중 하나가 발생합니다. 가장 간단한 경우에는 반대 이벤트에 의해 완전한 그룹이 형성됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

– 동전을 던지면 앞면이 나옵니다.
– 동전 던지기의 결과는 앞면이 됩니다.

정리에 따르면:

이러한 사건이 똑같이 가능하고 확률도 동일하다는 것은 절대적으로 분명합니다. .

확률이 동일하기 때문에 동일하게 가능한 사건을 종종 호출합니다. 똑같이 가능성이 있는 . 그리고 중독 정도를 결정하기 위한 혀 트위스터가 있습니다 =)

큐브의 예: 사건은 반대이므로 .

고려중인 정리는 반대 사건의 확률을 빠르게 찾을 수 있다는 점에서 편리합니다. 따라서 5가 나올 확률을 알고 있으면 5가 나오지 않을 확률을 쉽게 계산할 수 있습니다.

이는 다섯 가지 기본 결과의 확률을 요약하는 것보다 훨씬 간단합니다. 그런데 기본 결과의 경우 이 정리도 적용됩니다.
. 예를 들어, 가 범인이 목표물을 맞출 확률이라면 는 그가 빗나갈 확률입니다.

! 확률 이론에서는 문자를 다른 목적으로 사용하는 것은 바람직하지 않습니다.

지식의 날을 기념하여 묻지 않겠습니다 숙제=) 그러나 다음 질문에 답할 수 있는 것이 매우 중요합니다.

– 어떤 종류의 이벤트가 있나요?
– 사건의 우연과 균등가능성이란 무엇인가?
– 이벤트의 호환성/비호환성이라는 용어를 어떻게 이해합니까?
– 완전한 사건 그룹, 반대 사건이란 무엇입니까?
– 사건의 덧셈과 곱셈은 무엇을 의미하나요?
– 확률의 고전적 정의의 본질은 무엇인가?
– 완전한 그룹을 형성하는 사건의 확률을 추가하는 정리가 유용한 이유는 무엇입니까?

아니요, 아무것도 벼락치기할 필요가 없습니다. 이것은 확률 이론의 기본에 불과합니다. 즉, 여러분의 머리에 빠르게 들어갈 수 있는 일종의 입문서입니다. 그리고 이것이 가능한 한 빨리 일어나기 위해서는 수업에 익숙해지는 것이 좋습니다

현실이나 상상 속에서 일어나는 사건은 3가지 그룹으로 나눌 수 있습니다. 반드시 일어날 특정 사건, 불가능한 사건, 무작위 사건 등이 있습니다. 확률 이론은 무작위 사건을 연구합니다. 일어날 수도 있고 일어나지 않을 수도 있는 사건. 이 기사는 다음에서 발표됩니다. 간단히 말해서수학 통합 상태 시험(프로필 수준)의 작업 4에 포함될 확률 이론 공식 및 확률 이론 문제 해결의 예.

왜 확률 이론이 필요한가?

역사적으로 이러한 문제에 대한 연구의 필요성은 17세기 도박의 발전과 전문화, 카지노의 출현과 관련하여 발생했습니다. 이것은 자체 연구와 연구가 필요한 실제 현상이었습니다.

카드 놀이, 주사위, 룰렛은 유한한 수의 동일하게 가능한 이벤트가 발생할 수 있는 상황을 만들었습니다. 특정 사건의 발생 가능성에 대한 수치적 추정이 필요했습니다.

20세기에는 이 하찮아 보이는 과학이 소우주에서 일어나는 근본적인 과정을 이해하는 데 중요한 역할을 한다는 것이 분명해졌습니다. 생성되었습니다 현대 이론확률.

확률 이론의 기본 개념

확률 이론의 연구 대상은 사건과 그 확률입니다. 사건이 복잡하다면 확률을 쉽게 찾을 수 있는 간단한 구성요소로 나눌 수 있습니다.

사건 A와 B의 합을 사건 C라고 하며, 이는 사건 A, 사건 B, 또는 사건 A와 B가 동시에 발생했다는 사실로 구성됩니다.

사건 A와 사건 B의 곱은 사건 C이며, 이는 사건 A와 사건 B가 모두 발생했음을 의미합니다.

사건 A와 B가 동시에 발생할 수 없으면 양립 불가능하다고 합니다.

사건 A가 일어날 수 없으면 불가능하다고 합니다. 이러한 이벤트는 기호로 표시됩니다.

사건 A가 일어날 것이 확실하다면 사건 A를 확실하다고 합니다. 이러한 이벤트는 기호로 표시됩니다.

각 사건 A를 숫자 P(A)와 연관시키십시오. 이 숫자 P(A)를 다음 조건이 일치하는 경우 사건 A의 확률이라고 합니다.

중요한 특수 사례는 균등하게 확률이 높은 기본 결과가 있고 이러한 결과 중 임의의 결과가 이벤트 A를 형성하는 상황입니다. 이 경우 확률은 공식을 사용하여 입력할 수 있습니다. 이렇게 도입된 확률을 고전적 확률이라고 합니다. 이 경우 속성 1~4가 충족된다는 것이 입증될 수 있습니다.

수학 통합시험에 출제되는 확률론 문제는 주로 고전적 확률과 관련이 있습니다. 이러한 작업은 매우 간단할 수 있습니다. 특히 확률 이론의 문제는 간단합니다. 데모 옵션. 유리한 결과의 개수를 쉽게 계산할 수 있으며 모든 결과의 개수가 조건에 바로 표시됩니다.

우리는 공식을 사용하여 답을 얻습니다.

확률 결정에 관한 수학 통합 상태 시험 문제의 예

테이블 위에는 20개의 파이가 있습니다. 5개는 양배추, 7개는 사과, 8개는 쌀입니다. 마리나는 파이를 갖고 싶어합니다. 그녀가 떡을 가져갈 확률은 얼마인가?

해결책.

동일한 확률로 20개의 기본 결과가 있습니다. 즉, 마리나는 20개의 파이 중 하나를 선택할 수 있습니다. 하지만 마리나가 쌀 파이를 선택할 확률, 즉 A가 쌀 파이를 선택할 확률을 추정해야 합니다. 이는 유리한 결과(쌀을 곁들인 파이 선택)의 수가 8개에 불과하다는 것을 의미합니다. 그러면 확률은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

독립적이고 반대적이며 임의적인 사건

그러나 열린 항아리더 복잡한 작업이 발생하기 시작했습니다. 그러므로 확률 이론에서 연구되는 다른 문제에 독자의 관심을 집중시키겠습니다.

사건 A와 B는 각각의 확률이 다른 사건의 발생 여부에 의존하지 않는 경우 독립이라고 합니다.

사건 B는 사건 A가 일어나지 않았다는 것입니다. 사건 B는 사건 A와 반대입니다. 반대 사건의 확률은 1에서 직접 사건의 확률을 뺀 값과 같습니다. 즉, .

확률 덧셈과 곱셈 정리, 공식

임의의 사건 A와 B의 경우, 이들 사건의 합에 대한 확률은 결합 사건의 확률을 제외한 확률의 합과 같습니다. 즉, .

독립 사건 A와 B의 경우, 이들 사건이 발생할 확률은 확률의 곱과 같습니다. 즉, 이 경우에는 .

마지막 2개의 진술은 확률의 덧셈과 곱셈의 정리라고 불립니다.

결과 수를 계산하는 것이 항상 그렇게 간단한 것은 아닙니다. 어떤 경우에는 조합 공식을 사용해야 합니다. 가장 중요한 것은 특정 조건을 만족하는 사건의 수를 세는 것입니다. 때로는 이러한 종류의 계산이 독립적인 작업이 될 수 있습니다.

6개의 빈 자리에 6명의 학생이 앉을 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 첫 번째 학생은 6자리 중 하나를 차지하게 됩니다. 이러한 각 옵션은 두 번째 학생이 자리를 잡을 수 있는 5가지 방법에 해당합니다. 세 번째 학생에게는 4자리, 네 번째 자리에는 3자리, 다섯 번째 자리에는 2자리가 남아 있으며, 여섯 번째 학생이 남은 자리를 차지하게 됩니다. 모든 옵션의 수를 찾으려면 기호 6으로 표시된 제품을 찾아야 합니다! "6팩토리얼"이라고 읽습니다.

일반적인 경우 이 질문에 대한 답은 n 요소의 순열 수에 대한 공식으로 제공됩니다.

이제 학생들의 또 다른 경우를 고려해 보겠습니다. 빈 자리 6개에 학생 2명이 앉을 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 첫 번째 학생은 6자리 중 하나를 차지하게 됩니다. 이러한 각 옵션은 두 번째 학생이 자리를 잡을 수 있는 5가지 방법에 해당합니다. 모든 옵션의 개수를 찾으려면 해당 제품을 찾아야 합니다.

일반적으로 이 질문에 대한 답은 k개 요소에 대한 n개 요소의 배치 수에 대한 공식으로 제공됩니다.

우리의 경우에는 .

그리고 이 시리즈의 마지막 사례. 6명 중에서 3명의 학생을 선택할 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 첫 번째 학생은 6가지 방법으로, 두 번째 학생은 5가지 방법, 세 번째 학생은 네 가지 방법으로 선택할 수 있습니다. 그런데 이 선택지들 중에서 같은 학생 3명이 6번이나 등장합니다. 모든 옵션의 수를 찾으려면 값을 계산해야 합니다. 일반적으로 이 질문에 대한 답은 요소별 요소 조합 수에 대한 공식으로 제공됩니다.

우리의 경우에는 .

확률을 결정하기 위해 수학 통합 상태 시험의 문제를 해결하는 예

작업 1. 편집자 컬렉션에서. 야쉬첸코.

접시에는 30개의 파이가 있습니다. 3개는 고기, 18개는 양배추, 9개는 체리입니다. 사샤는 무작위로 파이 하나를 선택합니다. 그가 체리를 갖게 될 확률을 구해보세요.

.

답: 0.3.

작업 2. 편집자 컬렉션에서. 야쉬첸코.

전구 1,000개를 배치할 때마다 평균 20개가 불량입니다. 배치에서 무작위로 가져온 전구가 작동할 확률을 구하십시오.

해결책: 작동하는 전구의 수는 1000-20=980입니다. 그러면 배치에서 무작위로 가져온 전구가 작동할 확률은 다음과 같습니다.

답: 0.98.

학생 U가 수학 시험에서 9개 이상의 문제를 정확하게 풀 확률은 0.67입니다. U가 8개 이상의 문제를 올바르게 풀 확률은 0.73입니다. U가 정확히 9개의 문제를 올바르게 풀 확률을 구하세요.

수직선을 상상하고 그 위에 점 8과 9를 표시하면 “U. 정확히 9개의 문제를 정확하게 푼다'는 조건에 'U. 8개 이상의 문제를 올바르게 푼다'라는 조건은 적용되지 않지만, 'U. 9개 이상의 문제를 정확하게 해결할 것입니다.”

다만, “U. 9개 이상의 문제를 올바르게 해결합니다.”라는 조건이 “U. 8개 이상의 문제를 올바르게 해결하겠습니다.” 따라서 이벤트를 지정하면 “U. 정확히 9개의 문제를 정확하게 해결해 드립니다." - A를 통해, "U. 8개 이상의 문제를 정확하게 풀어드립니다." - B를 통해, "U. C를 통해 9개 이상의 문제를 올바르게 해결할 수 있습니다. 해당 솔루션은 다음과 같습니다.

답: 0.06.

기하학 시험에서 학생은 시험 문제 목록 중 하나의 질문에 답합니다. 이것이 삼각법 문제일 확률은 0.2입니다. 이것이 외부 각도에 대한 질문일 확률은 0.15입니다. 이 두 가지 주제에 동시에 관련된 질문은 없습니다. 학생이 시험에서 이 두 가지 주제 중 하나에 대한 질문을 받을 확률을 구하십시오.

어떤 이벤트가 있는지 생각해 봅시다. 두 가지 호환되지 않는 이벤트가 제공됩니다. 즉, 질문은 "삼각법" 주제 또는 "외각" 주제와 관련됩니다. 확률 정리에 따르면, 호환되지 않는 사건의 확률은 각 사건의 확률의 합과 같습니다. 이러한 사건의 확률의 합을 구해야 합니다. 즉, 다음과 같습니다.

답: 0.35.

방은 세 개의 램프가 달린 랜턴으로 밝혀졌습니다. 1년 안에 램프 하나가 꺼질 확률은 0.29입니다. 일년 중 적어도 하나의 램프가 꺼지지 않을 확률을 구하십시오.

가능한 이벤트를 고려해 봅시다. 우리에게는 세 개의 전구가 있는데, 각 전구는 다른 전구와 독립적으로 꺼질 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다. 이는 독립적인 사건입니다.

그런 다음 해당 이벤트에 대한 옵션을 표시합니다. 다음 표기법을 사용해 보겠습니다. - 전구가 켜져 있습니다. - 전구가 꺼졌습니다. 그리고 바로 옆에서 사건의 확률을 계산하겠습니다. 예를 들어, "전구가 다 탔습니다", "전구가 켜져 있습니다", "전구가 켜져 있습니다"라는 세 가지 독립적인 이벤트가 발생한 이벤트의 확률은 다음과 같습니다. 켜져 있음”은 “전구가 켜져 있지 않음” 이벤트와 반대되는 이벤트가 발생할 확률로 계산됩니다.

소개

우리의 개념이 약해서가 아니라 우리가 이해할 수 없는 것이 많습니다.
그러나 이러한 것들은 우리의 개념 범위에 포함되지 않기 때문입니다.
코즈마 프루트코프

중등 전문 분야에서 수학을 공부하는 주요 목표 교육 기관학생들에게 수학을 어느 정도 사용하는 다른 프로그램 분야를 공부하고, 실용적인 계산을 수행하는 능력, 논리적 사고의 형성 및 개발에 필요한 일련의 수학적 지식과 기술을 제공하는 것입니다.

이 연구에서는 프로그램과 중등 직업 교육의 국가 교육 표준 (러시아 연방 교육부. M., 2002)에서 제공하는 수학 "확률 이론 및 수리 통계의 기초"섹션의 모든 기본 개념을 제공합니다. )이 지속적으로 도입되고 주요 정리가 공식화되지만 대부분은 입증되지 않았습니다. 주요 문제와 이를 해결하기 위한 방법, 그리고 이를 실제 문제 해결에 적용하는 기술을 고찰한다. 프레젠테이션에는 자세한 설명과 다양한 예시가 함께 제공됩니다.

방법론적 지침은 학습 중인 자료에 대한 초기 숙지, 강의 노트 작성, 실제 수업 준비, 습득한 지식, 기술 및 능력 통합을 위해 사용될 수 있습니다. 또한, 이 매뉴얼은 대학생들이 이전에 공부한 내용을 빠르게 기억할 수 있도록 하는 참고 도구로도 유용할 것입니다.

작업이 끝나면 학생들이 자기 제어 모드에서 수행할 수 있는 예제와 작업이 있습니다.

이 지침은 파트타임 및 풀타임 학생을 대상으로 합니다.

기본 개념

확률 이론은 대량 무작위 사건의 객관적인 패턴을 연구합니다. 이는 관측 결과를 수집, 기술 및 처리하는 방법 개발을 다루는 수학적 통계의 이론적 기초입니다. 관찰(테스트, 실험)을 통해, 즉 넓은 의미의 경험, 현실 세계 현상에 대한 지식이 발생합니다.

그의 실제 활동우리는 결과를 예측할 수 없고 그 결과가 우연에 달려 있는 현상에 자주 직면합니다.

무작위 현상은 시행 횟수에 대한 발생 횟수의 비율로 특징지어질 수 있으며, 모든 시행의 동일한 조건에서 각 현상이 발생할 수도 있고 발생하지 않을 수도 있습니다.

확률론은 무작위적인 현상(사건)을 연구하고, 그것이 집단적으로 반복될 때 패턴을 식별하는 수학의 한 분야입니다.

수학적 통계는 과학적 기반의 결론을 얻고 결정을 내리기 위해 통계 데이터를 수집, 체계화, 처리 및 사용하는 방법을 연구하는 수학의 한 분야입니다.

이 경우 통계 데이터는 우리가 관심을 갖고 있는 연구 대상의 특성에 대한 정량적 특성을 나타내는 일련의 숫자로 이해됩니다. 통계 데이터는 특별히 고안된 실험과 관찰의 결과로 얻어집니다.

본질적으로 통계 데이터는 많은 무작위 요인에 따라 달라지므로 수학적 통계는 이론적 기초인 확률 이론과 밀접한 관련이 있습니다.

I. 확률. 확률의 덧셈과 곱셈의 이론

1.1. 조합론의 기본 개념

조합론이라고 불리는 수학 분야에서는 집합 고려 및 이러한 집합 요소의 다양한 조합 구성과 관련된 몇 가지 문제가 해결됩니다. 예를 들어, 0, 1, 2, 3,:, 9 등 10개의 서로 다른 숫자를 조합하여 조합하면 143, 431, 5671, 1207, 43 등과 같은 서로 다른 숫자를 얻게 됩니다.

이러한 조합 중 일부는 숫자 순서(예: 143 및 431)만 다르고 다른 조합은 포함된 숫자(예: 5671 및 1207)가 다르며 다른 조합은 자릿수도 다릅니다. (예: 143 및 43)

따라서 결과 조합은 다양한 조건을 만족합니다.

구성 규칙에 따라 세 가지 유형의 조합을 구분할 수 있습니다. 순열, 배치, 조합.

먼저 개념을 알아볼까요? 계승.

모두의 제품 자연수 1부터 n까지를 호출합니다. n-팩토리얼 쓰기.

계산: a) ; b) ; V) .

해결책. ㅏ) .

b) 이후 , 그러면 괄호 안에 넣을 수 있습니다

그러면 우리는 얻는다

V) .

재배치.

원소의 순서만 다른 n개의 원소의 조합을 순열(permutation)이라고 합니다.

순열은 기호로 표시됩니다. Pn 여기서 n은 각 순열에 포함된 요소의 수입니다. ( 아르 자형- 프랑스어 단어의 첫 글자 순열- 재배치).

순열 수는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

또는 계승을 사용하여:

그것을 기억하자 0!=1 및 1!=1.

예시 2. 여섯 권의 서로 다른 책을 한 선반에 몇 가지 방법으로 배열할 수 있나요?

해결책. 필요한 방법의 수는 6개 요소의 순열 수와 같습니다.

게재위치.

다음의 게시물 중요소 N각각의 화합물은 요소 자체 (적어도 하나) 또는 배열 순서에 따라 서로 다른 화합물이라고 불립니다.

게재위치는 기호로 표시됩니다. 중- 사용 가능한 모든 요소의 수 N- 각 조합의 요소 수. ( ㅏ-프랑스어 단어의 첫 글자 준비, 이는 "배치, 정리"를 의미합니다).

동시에, 다음과 같이 믿어진다. nm.

게재위치 수는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

,

저것들. 가능한 모든 게재위치 수 중요소별 N제품과 동일합니다 N연속된 정수 중 가장 큰 것은 중.

이 공식을 계승 형식으로 작성해 보겠습니다.

예 3. 5명의 지원자에 대해 다양한 프로필의 요양소에 3개의 바우처를 배포하는 옵션을 몇 개 만들 수 있습니까?

해결책. 필요한 옵션 수는 3개 요소 중 5개 요소의 배치 수와 같습니다.

.

조합.

조합은 가능한 모든 조합입니다. 중요소별 N, 적어도 하나의 요소가 서로 다릅니다(여기서는 중그리고 N-자연수, 그리고 nm).

조합 수 중요소별 N( 와 함께- 프랑스어 단어의 첫 글자 콤비네이션- 조합).

일반적으로 중요소별 N다음의 게재위치 수와 같습니다. 중요소별 N, 의 순열 수로 나눈 값 N강요:

배치 및 순열 수에 대한 계승 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

예 4. 25명으로 구성된 팀에서 특정 영역에 작업하려면 4명을 할당해야 합니다. 이것은 얼마나 많은 방법으로 이루어질 수 있습니까?

해결책. 선택한 4명의 순서는 중요하지 않기 때문에 이렇게 하는 방법도 있습니다.

우리는 첫 번째 공식을 사용하여 찾습니다.

.

또한 문제를 해결할 때 다음 공식을 사용하여 조합의 기본 속성을 표현합니다.

(정의에 따라 그들은 다음과 같이 가정합니다);

.

1.2. 조합 문제 해결

과제 1. 본 학부에서는 16개 과목을 공부하고 있습니다. 월요일 일정에 3과목을 넣어야 해요. 이것은 얼마나 많은 방법으로 이루어질 수 있습니까?

해결책. 16개 항목을 3개씩 배치할 수 있는 것처럼 16개 항목 중 3개 항목을 예약하는 방법은 다양합니다.

작업 2. 15개 개체 중 10개 개체를 선택해야 합니다. 이것은 얼마나 많은 방법으로 이루어질 수 있습니까?

작업 3. 4개 팀이 대회에 참가했습니다. 그들 사이에 좌석을 분배하는 옵션은 몇 개나 가능합니까?

.

문제 4. 군인 80명과 장교 3명으로 구성된 순찰대를 군인 3명과 장교 1명으로 구성하려면 몇 가지 방법으로 구성할 수 있는가?

해결책. 순찰 중인 군인을 선택할 수 있습니다.

방식으로, 임원 방식으로. 어떤 장교라도 각 군인 팀과 함께 갈 수 있기 때문에 방법은 제한되어 있습니다.

작업 5. 알려진 경우 를 찾습니다.

이기 때문에 우리는 얻는다.

,

,

조합의 정의에 따르면 , . 저것. .

1.3. 무작위 이벤트의 개념. 이벤트 유형. 사건의 확률

주어진 조건 하에서 실현된 여러 가지 다른 결과를 갖는 모든 행동, 현상, 관찰을 호출합니다. 시험.

이 행동이나 관찰의 결과를 이벤트 .

주어진 조건에서 사건이 일어날 수 있거나 일어나지 않을 경우 이를 호출합니다. 무작위의 . 어떤 사건이 일어날 것이 확실할 때 그것을 불린다. 믿을 수 있는 , 그리고 그것이 명백히 일어날 수 없는 경우, - 불가능한.

이벤트가 호출됩니다. 호환되지 않는 , 매번 그 중 하나만 나타날 수 있는 경우.

이벤트가 호출됩니다. 관절 , 주어진 조건에서 이러한 사건 중 하나의 발생이 동일한 테스트 중에 다른 사건의 발생을 배제하지 않는 경우.

이벤트가 호출됩니다. 반대 , 테스트 조건에서 유일한 결과인 경우 호환되지 않습니다.

이벤트는 일반적으로 라틴 알파벳의 대문자로 표시됩니다. 에이, 비, 씨, 디, : .

사건 A 1 , A 2 , A 3 , : , An 의 완전한 시스템은 호환되지 않는 사건의 집합이며, 주어진 테스트 중에 적어도 하나의 발생이 의무적입니다.

완전한 시스템이 두 개의 호환되지 않는 이벤트로 구성된 경우 해당 이벤트를 반대라고 하며 A 및 로 지정합니다.

예. 상자에는 번호가 매겨진 공 30개가 들어 있습니다. 다음 중 어떤 사건이 불가능하거나, 신뢰할 수 있거나, 반대인지 결정하십시오.

숫자가 적힌 공을 꺼냈다 (ㅏ);

짝수인 공을 얻었어요 (안에);

홀수 번호의 공을 받았습니다 (와 함께);

숫자가 없는 공을 받았어요 (디).

그들 중 어느 것이 완전한 그룹을 형성합니까?

해결책 . ㅏ- 신뢰할 수 있는 이벤트 디- 불가능한 사건;

에서 와 함께- 반대 사건.

전체 이벤트 그룹은 다음과 같이 구성됩니다. ㅏ그리고 디,브이그리고 와 함께.

사건의 확률은 무작위 사건이 발생할 객관적인 가능성을 측정하는 것으로 간주됩니다.

1.4. 확률의 고전적 정의

어떤 사건이 일어날 객관적 가능성의 척도를 나타내는 숫자를 숫자라고 한다. 개연성 이 이벤트는 기호로 표시됩니다. R(A).

정의. 사건의 확률 ㅏ주어진 사건의 발생을 선호하는 결과 m의 수의 비율입니다. ㅏ, 번호로 N모든 결과(일관되지 않고, 오직 가능하며 동등하게 가능함), 즉 .

따라서 사건의 확률을 찾으려면 테스트의 다양한 결과를 고려하여 가능한 모든 불일치 결과를 계산해야 합니다. N,관심 있는 결과의 수를 선택하고 비율을 계산합니다. 중에게 N.

이 정의에서는 다음 속성을 따릅니다.

모든 테스트의 확률은 1을 초과하지 않는 음수가 아닌 숫자입니다.

실제로 필요한 이벤트의 수는 m 이내입니다. 두 부분을 모두 나누면 N, 우리는 얻는다

2. 신뢰할 수 있는 사건의 확률은 1과 같습니다. 왜냐하면 .

3. 불가능한 사건이 일어날 확률은 0이다. 왜냐하면 .

문제 1. 1000장의 복권에서 당첨된 티켓은 200장입니다. 한 장의 티켓이 무작위로 추출됩니다. 이 티켓이 당첨될 확률은 얼마나 되나요?

해결책. 서로 다른 결과의 총 개수는 다음과 같습니다. N=1000. 승리에 유리한 결과의 수는 m=200입니다. 공식에 따르면, 우리는

.

문제 2. 18개 부품 배치에 4개의 결함이 있습니다. 5개의 부품이 무작위로 선택됩니다. 이 5개 부품 중 2개가 불량일 확률을 구하십시오.

해결책. 동등하게 가능한 모든 독립적인 결과의 수 N즉, 18 x 5의 조합 수와 같습니다.

사건 A에 유리한 숫자 m을 세어보겠습니다. 무작위로 추출한 5개의 부품 중에서 3개의 양호한 부품과 2개의 불량 부품이 있어야 합니다. 기존 불량품 4개 중에서 불량품 2개를 선택하는 방법의 수는 4×2 조합의 수와 같습니다.

14개의 사용 가능한 품질 부품 중에서 3개의 품질 부품을 선택하는 방법의 수는 다음과 같습니다.

.

모든 양호한 부품 그룹은 결함 있는 부품 그룹과 결합될 수 있으므로 총 조합 수는 다음과 같습니다. 중금액

사건 A의 필수 확률은 이 사건에 유리한 결과 m의 수와 동일하게 가능한 모든 독립 결과의 수 n의 비율과 같습니다.

.

유한한 수의 사건의 합은 그 중 적어도 하나의 발생으로 구성된 사건입니다.

두 사건의 합은 A+B 기호로 표시되며, N A 1 +A 2 + : +A n 기호가 있는 이벤트.

확률 덧셈 정리.

양립할 수 없는 두 사건의 합에 대한 확률은 이들 사건의 확률의 합과 같습니다.

결과 1. 사건 A 1, A 2, :,A n이 완전한 시스템을 형성하는 경우 이러한 사건의 확률의 합은 1과 같습니다.

결과 2. 반대 사건의 확률의 합은 1과 같습니다.

.

문제 1. 복권이 100장 있습니다. 5 장의 티켓은 20,000 루블, 10 장의 티켓은 15,000 루블, 15 장의 티켓은 10,000 루블, 25 장의 티켓은 2,000 루블에 당첨되는 것으로 알려져 있습니다. 나머지는 아무것도 아닙니다. 구매한 티켓이 최소 10,000 루블의 상금을 받을 확률을 구하십시오.

해결책. A, B, C는 구매한 티켓이 각각 20,000, 15,000, 10,000 루블에 해당하는 상금을 받는 이벤트로 구성됩니다. 사건 A, B, C는 서로 호환되지 않으므로

작업 2. 켜짐 성 밖의기술 학교는 도시에서 수학 시험을받습니다. 에이, 비그리고 와 함께. 시로부터 시험지를 받을 확률 ㅏ도시에서 0.6과 동일 안에- 0.1. 다음 확률을 구해 보세요. 시험도시에서 올 것이다 와 함께.

두 사건 사이의 연결에 대한 가장 간단한 예는 인과 관계입니다. 즉, 사건 중 하나의 발생이 필연적으로 다른 사건의 발생으로 이어지거나 그 반대의 경우, 하나의 발생이 다른 사건의 발생 가능성을 배제하는 경우입니다.

일부 이벤트가 다른 이벤트에 대한 의존성을 특성화하기 위해 개념이 도입되었습니다. 조건부 확률.

정의. 허락하다 ㅏ그리고 안에- 동일한 테스트의 두 가지 무작위 이벤트. 그러면 사건의 조건부 확률은 ㅏ또는 사건 B가 발생하는 경우 사건 A의 확률을 숫자라고 합니다.

조건부 확률을 나타내면 다음 공식을 얻습니다.

, .

작업 1. 한 명의 자녀가 있는 가족에서 한 명의 아들이 있고 두 번째 아들이 태어날 확률을 계산합니다.

해결책. 이벤트를 하자 ㅏ가족 중에 남자아이가 두 명이 있다는 것인데, 그 사건은 안에- 그 애.

가능한 모든 결과를 고려하십시오: 소년과 소년; 남자 아이와 여자 아이; 소녀와 소년; 소녀와 소녀.

그런 다음 우리가 찾은 공식을 사용하여

.

이벤트 ㅏ~라고 불리는 독립적인 이벤트에서 안에, 이벤트가 발생하면 안에사건이 일어날 확률에는 아무런 영향을 미치지 않는다. ㅏ.

확률 곱셈 정리

두 개의 독립적인 사건이 동시에 발생할 확률은 이러한 사건의 확률을 곱한 것과 같습니다.

집합적으로 독립적인 여러 사건이 발생할 확률은 다음 공식으로 계산됩니다.

문제 2. 첫 번째 항아리에는 검은색 공 6개와 흰색 공 4개가 있고, 두 번째 항아리에는 검은색 공 5개와 흰색 공 7개가 들어 있습니다. 각 항아리에서 하나의 공을 꺼냅니다. 두 공이 모두 흰색일 확률은 얼마입니까?

A와 안에이벤트가 있어요 AB. 따라서,

b) 첫 번째 요소가 작동하면 이벤트가 발생합니다(이벤트와 반대). ㅏ- 이 요소의 실패); 두 번째 요소가 작동하는 경우 - 이벤트 안에.사건의 확률을 찾아봅시다:

그러면 두 요소가 모두 작동하는 이벤트는 다음과 같습니다.

확률의 고전적 정의는 다음 개념에 기초합니다. 확률적 경험,또는 확률 실험. 그 결과는 다음과 같은 여러 가지 가능한 결과 중 하나입니다. 기본 결과, 확률적 실험을 반복할 때 기본 결과가 다른 결과보다 더 자주 나타날 것이라고 기대할 이유가 없습니다. 예를 들어, 주사위를 던지는 확률론적 실험을 생각해 보세요. 이 실험의 결과는 큐브의 측면에 그려진 6개의 점 중 하나가 손실되는 것입니다.

따라서 이 실험에는 6가지 기본 결과가 있습니다.

그리고 그들 각각은 똑같이 기대됩니다.

이벤트고전적인 확률 실험에서 는 기본 결과 집합의 임의의 하위 집합입니다. 주사위를 던지는 예에서 이벤트는 예를 들어 기본 결과로 구성된 짝수의 점수를 잃는 것입니다.

사건의 확률은 숫자입니다:

는 이벤트를 구성하는 기본 결과의 수(때때로 이벤트 발생을 선호하는 기본 결과의 수라고 함)이고 모든 기본 결과의 수입니다.

우리의 예에서는:

조합론의 요소.

많은 확률론적 실험을 설명할 때 기본 결과는 다음과 같은 조합론(유한 집합의 과학) 개체 중 하나로 식별될 수 있습니다.

재배치숫자의 반복 없이 이러한 숫자를 임의로 순서대로 표현한 것입니다. 예를 들어 세 개의 숫자 집합에는 6개의 다른 순열이 있습니다.

, , , , , .

임의의 순열 수는 동일합니다.

(1부터 시작하는 자연수열의 연속된 숫자의 곱)

다음의 조합집합의 요소 중 임의의 순서가 지정되지 않은 집합입니다. 예를 들어, 세 개의 숫자 집합에는 3x2의 3가지 조합이 있습니다.

임의 쌍의 경우 , 의 조합 수는 다음과 같습니다.

예를 들어,

초기하 분포.

다음 확률적 실험을 고려해 보세요. 흰색 공과 검은색 공이 들어 있는 검은색 상자가 있습니다. 공의 크기는 같고 촉감이 구별되지 않습니다. 실험은 무작위로 공을 뽑아내는 것으로 구성됩니다. 확률을 구해야 하는 사건은 이 공 중 일부는 흰색이고 나머지는 검은색이라는 것입니다.

1부터 까지의 숫자로 모든 공의 번호를 다시 매겨 봅시다. 숫자 1, ¼은 흰색 공에 해당하고 숫자 ¼은 검은색 공에 해당합니다. 이 실험의 기본 결과는 집합에서 요소의 순서가 지정되지 않은 집합, 즉 by의 조합입니다. 결과적으로 모든 기본 결과가 있습니다.

사건 발생에 유리한 기본 결과의 개수를 구해보자. 해당 세트는 "흰색"과 "검은색" 숫자로 구성됩니다. 세 가지 방법으로 "흰색" 숫자에서 숫자를 선택하고 3/4 방법으로 "검은색" 숫자에서 숫자를 선택할 수 있습니다. 흰색과 검정색 세트는 임의로 연결될 수 있어 이벤트에 유리한 기본 결과만 존재합니다.

사건의 확률은

결과 공식을 초기하 분포라고 합니다.

문제 5.1.상자에는 동일한 유형의 표준 부품 55개와 결함 부품 6개가 들어 있습니다. 무작위로 선택한 세 개의 부품 중 적어도 하나가 불량일 확률은 얼마입니까?

해결책.총 61개의 부분이 있으며, 3개를 취합니다. 기본 결과는 61×3의 조합입니다. 모든 기본 결과의 수는 와 같습니다. 유리한 결과는 세 그룹으로 나뉩니다. 1) 1개 부분이 불량이고 2개 부분이 양호한 결과입니다. 2) 부품 2개에 결함이 있고 1개는 양호합니다. 3) 부품 3개 모두 불량입니다. 첫 번째 유형의 세트 수는 와 같고, 두 번째 유형의 세트 수는 와 같으며, 세 번째 유형의 세트 수는 와 같습니다. 결과적으로 사건의 발생은 기본 결과에 의해 선호됩니다. 사건의 확률은

사건의 대수학

초등행사 공간 주어진 경험과 관련된 모든 기본 결과의 집합입니다.

양두 가지 사건을 사건이나 사건에 속하는 기본 결과로 구성된 사건이라고 합니다.

작품두 사건은 사건에 동시에 속하는 기본 결과로 구성된 사건이라고 합니다.

이벤트 및 는 호환되지 않는 경우 호출됩니다.

이벤트라고 합니다 반대이벤트, 해당 이벤트에 속하지 않는 모든 기본 결과가 해당 이벤트를 선호하는 경우입니다. 특히, , .

합계 정리.

특히, .

조건부 확률이벤트가 발생한 경우 해당 교차점에 속하는 기본 결과 수에 대한 기본 결과 수의 비율을 이라고 합니다. 다시 말해서, 조건부 확률사건은 고전적인 확률 공식에 의해 결정되며, 여기서 새로운 확률 공간은 입니다. 사건의 조건부 확률은 로 표시됩니다.

제품 이론. .

이벤트가 호출됩니다. 독립적인, 만약에 . 독립 사건의 경우 곱 정리는 관계식을 제공합니다.

합과 곱 정리의 결과는 다음 두 공식입니다.

총 확률 공식. 완전한 가설 그룹은 전체 확률 공간을 함께 구성하는 임의의 호환되지 않는 이벤트 집합 , ¼, 입니다.

이런 상황에서는 임의의 사건에 대해서는 총 확률 공식이라는 공식이 유효하며,

기능은 어디에 있나요? 라플라스... 라플라스 함수는 표로 작성되었으며 주어진 값에 따른 해당 값은 확률 이론 및 수학 통계에 관한 모든 교과서에서 찾을 수 있습니다.

문제 5.3.대량의 부품 배치에서 불량률은 11%인 것으로 알려져 있습니다. 테스트를 위해 100개의 부품이 선택되었습니다. 그 중 불량품이 14개 이하일 확률은 얼마입니까? Moivre-Laplace 정리를 사용하여 답을 추정합니다.

해결책.우리는 테스트를 다루고 있습니다 베르누이, 어디 , , . 성공은 결함이 있는 부분을 발견한 것으로 간주되며, 성공 횟수는 부등식을 만족시킵니다. 따라서,

직접 계산하면 다음이 제공됩니다.

, , , , , , , , , , , , , , .

따라서, . 이제 Moivre-Laplace 적분 정리를 적용해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

함수의 홀수를 고려하여 함수 값 테이블을 사용하여 다음을 얻습니다.

대략적인 계산의 오차는 를 초과하지 않습니다.

무작위 변수

확률변수는 확률적 실험의 수치적 특성으로 기본 결과의 함수입니다. , ¼이 기본 결과 집합인 경우 확률 변수는 의 함수입니다. 그러나 가능한 모든 값과 이 값을 사용할 확률을 나열하여 무작위 변수를 특성화하는 것이 더 편리합니다.

이러한 테이블을 확률변수의 분포법칙이라고 합니다. 사건이 완전한 그룹을 형성하므로 확률적 정규화 법칙이 충족됩니다.

확률변수의 수학적 기대값 또는 평균값은 확률변수 값과 해당 확률의 곱의 합과 같은 숫자입니다.

확률 변수의 분산(수학적 기대치를 중심으로 값이 확산되는 정도)은 다음과 같습니다. 기대값무작위 변수,

다음과 같이 표시될 수 있습니다.

크기

확률변수의 평균 제곱편차라고 합니다.

확률 변수에 대한 분포 함수는 집합에 속할 확률입니다.

0에서 1까지의 값을 취하는 음수가 아닌 비감소 함수입니다. 유한한 값 집합을 갖는 확률 변수의 경우 상태 지점에서 2종의 불연속성을 갖는 조각별 상수 함수입니다. 게다가, 와 는 왼쪽에 연속되어 있습니다.

문제 5.4.주사위 2개를 연속해서 던집니다. 하나의 주사위에 1, 3 또는 5개의 점이 나타나면 플레이어는 5루블을 잃습니다. 2~4개의 포인트가 나오면 플레이어는 7루블을 받습니다. 6점이 나오면 플레이어는 12루블을 잃습니다. 임의의 값 엑스두 개의 주사위 굴림에 대한 플레이어의 보수입니다. 유통 법칙을 찾아보세요 엑스, 분포 함수를 플롯하고 수학적 기대값과 분산을 찾습니다. 엑스.

해결책.먼저 주사위를 던질 때 플레이어의 승리가 무엇인지 생각해 봅시다. 1, 3, 5개의 포인트가 굴러가는 이벤트를 가정해 보겠습니다. 그러면 상금은 루블이 될 것입니다. 2~4개의 포인트가 굴러가는 이벤트를 가정해 보겠습니다. 그러면 상금은 루블이 될 것입니다. 마지막으로 이벤트가 6을 굴리는 것을 의미한다고 가정합니다. 그러면 상금은 루블과 같습니다.

이제 가능한 모든 이벤트 조합과 두 개의 주사위 던지기를 고려하고 각 조합에 대한 승리 값을 결정해 보겠습니다.

이벤트가 발생하면 동시에 발생합니다.

이벤트가 발생하면 동시에 발생합니다.

마찬가지로, 우리가 얻을 때, .

발견된 모든 상태와 이러한 상태의 총 확률을 표에 기록합니다.

우리는 확률적 정규화 법칙의 충족 여부를 확인합니다. 실제 라인에서는 무작위 변수가 이 구간에 속하고 ¼에서 급격히 감소할 확률을 결정할 수 있어야 합니다.