유리수와 무리수. 무리수: 그것은 무엇이고 어디에 사용되나요? 표현이 비합리적이라는 것을 증명하는 방법

무리수의 정의

무리수는 소수 표기법에서 무한한 비주기 소수 분수를 나타내는 숫자입니다.

따라서 예를 들어 자연수의 제곱근을 취하여 얻은 숫자는 무리수이며 자연수의 제곱이 아닙니다. 그러나 모든 무리수가 제곱근을 취하여 얻어지는 것은 아닙니다. 왜냐하면 나눗셈으로 얻은 숫자 pi도 무리수이고 자연수의 제곱근을 추출하려고 해서 그것을 얻을 가능성이 거의 없기 때문입니다.

무리수의 속성

무한소수로 표기되는 숫자와는 달리, 무리수만 비주기 무한소수로 표기됩니다.
음이 아닌 두 개의 무리수의 합은 결국 유리수가 될 수 있습니다.
무리수는 유리수 집합에서 데데킨트 컷을 정의하며, 하위 클래스에는 가장 큰 숫자가 없고 상위 클래스에는 더 작은 숫자가 없습니다.
실제 초월수는 비합리적입니다.
모든 무리수는 대수적이거나 초월적입니다.
한 직선의 무리수 집합은 밀집되어 있으며, 두 숫자 사이에는 반드시 무리수가 존재합니다.
무리수 집합은 무한하고 셀 수 없으며 두 번째 범주의 집합입니다.
유리수에 대해 0으로 나누는 것을 제외하고 산술 연산을 수행하면 결과는 유리수가 됩니다.
무리수에 유리수를 더하면 결과는 항상 무리수가 됩니다.
무리수를 더하면 유리수가 나올 수 있습니다.
무리수의 집합은 짝수가 아닙니다.

숫자는 비합리적이지 않다

때로는 숫자가 무리수인지에 대한 질문에 대답하는 것이 매우 어렵습니다. 특히 숫자가 소수 분수 형태이거나 수치 표현, 근 또는 로그 형태인 경우에는 더욱 그렇습니다.

따라서 어떤 숫자가 비합리적이지 않은지 아는 것은 불필요한 일이 아닙니다. 무리수의 정의를 따르면 유리수는 무리수일 수 없다는 것을 이미 알고 있습니다.

무리수는 다음이 아닙니다:

첫째, 모든 자연수;
둘째, 정수;
셋째, 일반 분수;
넷째, 다양한 대분수;
다섯째, 이것은 무한 주기 소수입니다.

위의 모든 것 외에도 무리수는 +, -, , :와 같은 산술 연산의 부호로 수행되는 유리수의 조합이 될 수 없습니다. 이 경우 두 유리수의 결과도 다음과 같기 때문입니다. 합리적인 숫자.

이제 어떤 숫자가 비합리적인지 살펴보겠습니다.

이 신비한 수학적 현상의 팬들이 Pi에 대한 점점 더 많은 정보를 찾고 그 미스터리를 풀기 위해 노력하는 팬클럽의 존재에 대해 알고 계십니까? 소수점 이하의 파이 수를 암기하는 사람이라면 누구나 이 클럽의 회원이 될 수 있습니다.

유네스코의 보호를 받는 독일에는 Pi를 계산할 수 있는 비율 덕분에 Castadel Monte 궁전이 있다는 것을 알고 계셨습니까? 프리드리히 2세 왕은 궁전 전체를 이 숫자에 바쳤습니다.

그들은 바벨탑 건설에 파이라는 숫자를 사용하려고 시도한 것으로 밝혀졌습니다. 그러나 불행하게도 그 당시 Pi의 가치에 대한 정확한 계산이 충분히 연구되지 않았기 때문에 이로 인해 프로젝트가 붕괴되었습니다.

가수 케이트 부시(Kate Bush)는 새 디스크에 "Pi"라는 노래를 녹음했는데, 이 노래에는 유명한 숫자 시리즈 3, 141…의 124개 숫자가 들렸습니다.

이 기사의 자료는 다음에 대한 초기 정보를 제공합니다. 무리수. 먼저 무리수의 정의를 제시하고 설명하겠습니다. 아래에는 무리수의 예가 나와 있습니다. 마지막으로, 주어진 숫자가 무리수인지 아닌지를 알아내는 몇 가지 접근법을 살펴보겠습니다.

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무리수의 정의와 예

소수를 공부할 때 무한 비주기 소수를 별도로 고려했습니다. 이러한 분수는 단위 세그먼트로 측정할 수 없는 세그먼트의 소수 길이를 측정할 때 발생합니다. 우리는 또한 무한 비주기 소수 분수는 일반 분수로 변환할 수 없다는 점에 주목했습니다(일반 분수를 소수로 변환 또는 그 반대로 변환 참조). 따라서 이러한 숫자는 유리수가 아니며 소위 무리수를 나타냅니다.

그래서 우리는 무리수의 정의.

정의.

소수 표기법으로 무한한 비주기 소수 분수를 나타내는 숫자를 호출합니다. 무리수.

음성 정의를 통해 다음을 제공할 수 있습니다. 무리수의 예. 예를 들어, 무한 비주기 소수점 이하 자릿수 4.10110011100011110000...(1과 0의 수가 매번 1씩 증가함)은 무리수입니다. 무리수의 또 다른 예를 들어보겠습니다: −22.353335333335... (8을 구분하는 3의 수는 매번 2씩 증가합니다).

무한한 비주기 소수 분수의 형태로 무리수는 거의 발견되지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 일반적으로 , 등의 형태로 발견되며, 특별히 입력된 문자의 형태로도 발견됩니다. 이 표기법에서 가장 유명한 무리수의 예는 2의 산술 제곱근, 숫자 "pi" π=3.141592..., 숫자 e=2.718281... 및 황금수입니다.

무리수는 유리수와 무리수를 결합한 실수로 정의할 수도 있습니다.

정의.

무리수유리수가 아닌 실수이다.

이 숫자는 비합리적인가요?

숫자가 소수 분수의 형태가 아니라 근, 로그 등의 형태로 주어지면 그것이 비합리적인지 여부에 대한 질문에 대답하는 것이 많은 경우에 매우 어렵습니다.

의심할 여지 없이, 제기된 질문에 답할 때 어떤 숫자가 비합리적이지 않은지 아는 것이 매우 유용합니다. 무리수의 정의에 따르면 무리수는 유리수가 아닙니다. 따라서 무리수는 다음이 아닙니다.

• 유한 및 무한 주기 소수.

또한, 산술 연산의 부호(+, -, ·, :)로 연결된 유리수의 합성은 무리수가 아닙니다. 두 유리수의 합, 차이, 곱, 몫이 유리수이기 때문입니다. 예를 들어, 표현식의 값은 유리수입니다. 여기서 우리는 그러한 표현식이 유리수 중에 하나의 무리수를 포함한다면 전체 표현식의 값은 무리수가 될 것이라는 점에 주목합니다. 예를 들어, 표현식에서 숫자는 무리수이고 나머지 숫자는 유리수이므로 무리수입니다. 만약 그것이 유리수라면 그 숫자의 합리성은 따르겠지만 그것은 유리수가 아닙니다.

숫자를 지정하는 표현식에 여러 개의 무리수, 루트 기호, 로그, 삼각 함수, 숫자 π, e 등이 포함되어 있는 경우 각 특정 경우에 주어진 숫자의 비합리성 또는 합리성을 증명해야 합니다. 그러나 이미 사용할 수 있는 결과가 많이 있습니다. 주요 내용을 나열해 보겠습니다.

정수의 k제곱근은 그 밑의 숫자가 다른 정수의 k제곱인 경우에만 유리수라는 것이 입증되었습니다. 다른 경우에는 그러한 근이 무리수를 지정합니다. 예를 들어, 숫자와 는 무리수입니다. 왜냐하면 제곱이 7인 정수가 없고, 5승을 올리면 숫자 15가 되는 정수도 없기 때문입니다. 그리고 숫자는 무리수가 아닙니다. 왜냐하면 과 .

로그의 경우 모순의 방법을 사용하여 비합리성을 증명하는 것이 가능한 경우가 있습니다. 예를 들어, log 2 3이 무리수라는 것을 증명해 봅시다.

log 2 3 은 무리수가 아닌 유리수, 즉 보통분수 m/n으로 표현될 수 있다고 가정해보자. 그리고 다음과 같은 등식 체인을 작성할 수 있습니다. 마지막 평등은 왼쪽에 있기 때문에 불가능합니다. 기수, 그리고 오른쪽에도 – 짝수. 그래서 우리는 모순에 이르렀고 이는 우리의 가정이 잘못된 것으로 판명되었고 이는 log 2 3이 무리수라는 것을 증명했습니다.

양수이고 1이 아닌 유리수 a에 대한 lna는 무리수입니다. 예를 들어, 및 는 무리수입니다.

또한 0이 아닌 유리수 a에 대한 숫자 e a는 무리수이고, 0이 아닌 정수 z에 대한 숫자 π z는 무리수라는 것이 증명되었습니다. 예를 들어 숫자는 비합리적입니다.

무리수는 인수의 유리수 값과 0이 아닌 값에 대한 삼각 함수인 sin, cos, tg 및 ctg이기도 합니다. 예를 들어, sin1 , tan(−4) , cos5,7 은 무리수입니다.

다른 입증된 결과도 있지만 이미 나열된 결과로 제한하겠습니다. 또한 위의 결과를 증명할 때 다음과 관련된 이론이 필요하다고 말해야 한다. 대수적 숫자그리고 초월수.

결론적으로, 주어진 숫자의 비합리성에 대해 성급한 결론을 내려서는 안 된다는 점에 유의합니다. 예를 들어, 비합리적인 정도의 비합리적인 숫자는 비합리적인 숫자임이 분명해 보입니다. 그러나 항상 그런 것은 아닙니다. 명시된 사실을 확인하기 위해 학위를 제시합니다. -는 무리수인 것으로 알려져 있고, -는 무리수이지만 유리수라는 것도 증명되었습니다. 또한 유리수인 무리수, 합, 차이, 곱 및 몫의 예를 제공할 수 있습니다. 더욱이 숫자 π+e, π−e, π·e, π π, π e 및 기타 여러 숫자의 합리성 또는 비합리성은 아직 입증되지 않았습니다.

참고자료.

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• Gusev V. A., Mordkovich A. G.수학(전문학교 입학을 위한 매뉴얼): Proc. 수당.-M.; 더 높은 학교, 1984.-351 p., 아픈.

예:
\(4\)는 \(\frac(4)(1)\) 로 쓸 수 있으므로 유리수입니다.
\(0.0157304\) 는 \(\frac(157304)(10000000)\) 형식으로 쓸 수 있기 때문에 합리적이기도 합니다.
\(0.333(3)...\) - 이것은 유리수입니다. \(\frac(1)(3)\) 으로 표시할 수 있습니다.
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) 는 \(\frac(1)(2)\) 로 표현될 수 있으므로 합리적입니다. 실제로, 일련의 변환 \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

무리수는 정수 분자와 분모가 있는 분수로 쓸 수 없는 숫자입니다.

불가능하기 때문이죠 끝없는분수, 심지어 비주기적인 분수. 그러므로 서로 나누어졌을 때 무리수가 되는 정수는 없습니다.

예:
\(\sqrt(2)©1.414213562…\)는 무리수입니다.
\(π≒3.1415926… \)는 무리수입니다.
\(\log_(2)(5)≒2.321928…\)는 무리수입니다.

예 (OGE로부터의 할당). 어떤 표현의 의미가 유리수인가요?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

해결책:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) – \(14\)의 루트를 가져올 수 없습니다. 이는 숫자를 정수로 분수로 표현하는 것도 불가능하므로 그 숫자는 무리수라는 것을 의미합니다.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – 남은 근이 없으며 숫자는 분수로 쉽게 표현될 수 있습니다(예: \(\frac(-5)(1)\). 이는 유리수임을 의미합니다.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) – 루트를 추출할 수 없습니다. 숫자가 무리수입니다.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) 역시 비합리적이다.

무리수란 무엇인가요? 왜 그렇게 부르나요? 어디에 사용되며 무엇입니까? 생각하지 않고 이러한 질문에 답할 수 있는 사람은 거의 없습니다. 그러나 실제로 모든 사람이 필요하지는 않지만 매우 드문 상황에서는 이에 대한 답변이 매우 간단합니다.

본질과 명칭

무리수는 무한한 비주기적 숫자입니다. 이 개념을 도입할 필요성은 발생하는 새로운 문제를 해결하기 위해 이전에 존재했던 실수 또는 실수, 정수, 자연수 및 유리수 개념이 더 이상 충분하지 않다는 사실 때문입니다. 예를 들어, 2의 제곱이 어느 수인지 계산하려면 비주기 무한소수를 사용해야 합니다. 또한, 많은 간단한 방정식 역시 무리수의 개념을 도입하지 않으면 해가 없습니다.

이 세트는 I로 표시됩니다. 그리고 이미 명확한 바와 같이 이러한 값은 분자가 정수이고 분모가되는 간단한 분수로 표현할 수 없습니다.

어떤 식으로든 처음으로 인도 수학자들은 일부 양의 제곱근을 명시적으로 표시할 수 없다는 사실이 발견된 7세기에 이 현상에 직면했습니다. 그리고 그러한 숫자의 존재에 대한 첫 번째 증거는 이등변 직각삼각형을 연구하면서 이를 수행한 피타고라스 히파수스에 기인합니다. 우리 시대 이전에 살았던 일부 다른 과학자들은 이 세트의 연구에 심각한 공헌을 했습니다. 무리수 개념의 도입은 기존 수학 시스템의 개정을 수반했기 때문에 이것이 매우 중요합니다.

이름의 유래

라틴어로 번역된 비율이 "분수", "비율"인 경우 접두사 "ir"
이 단어에 반대 의미를 부여합니다. 따라서 이러한 숫자 집합의 이름은 숫자가 정수 또는 분수와 연관될 수 없으며 별도의 위치를 ​​가짐을 나타냅니다. 이것은 그들의 본질에서 따릅니다.

일반 분류에 위치

무리수는 유리수와 함께 실수 또는 실수 그룹에 속하며, 이는 다시 복소수에 속합니다. 하위 집합은 없지만 대수적 및 초월적 변형이 있으며 이에 대해서는 아래에서 설명합니다.

속성

무리수는 실수 집합의 일부이기 때문에 산술에서 연구되는 모든 속성(기본 대수 법칙이라고도 함)이 여기에 적용됩니다.

a + b = b + a(교환성);

(a + b) + c = a + (b + c) (연관성);

a + (-a) = 0 (반대의 숫자 존재);

ab = ba(교환법칙);

(ab)c = a(bc) (분포도);

a(b+c) = ab + ac(분배법칙);

a x 1/a = 1(역수의 존재);

비교는 일반 법률 및 원칙에 따라 수행됩니다.

a > b이고 b > c이면 a > c(관계의 전이성)입니다. 등.

물론 모든 무리수는 기본 산술을 사용하여 변환할 수 있습니다. 이에 대한 특별한 규칙은 없습니다.

또한 아르키메데스 공리는 무리수에도 적용됩니다. 임의의 두 수량 a와 b에 대해 a를 용어로 충분히 여러 번 사용하면 b를 이길 수 있다는 것이 사실입니다.

용법

일상생활에서 자주 접하지 않는 숫자임에도 불구하고 무리수는 셀 수 없습니다. 엄청난 수가 있지만 거의 눈에 띄지 않습니다. 불합리한 숫자는 우리 주변에 있습니다. 모든 사람에게 친숙한 예는 3.1415926...과 같은 숫자 pi 또는 본질적으로 자연 로그의 밑인 2.718281828...인 e입니다. 대수학, 삼각법 및 기하학에서는 지속적으로 사용해야 합니다. 그건 그렇고, "황금 비율"의 유명한 의미, 즉 큰 부분과 작은 부분의 비율 또는 그 반대의 비율도

이 세트에 속합니다. 덜 알려진 "실버"도 마찬가지입니다.

수직선에서는 매우 조밀하게 위치하므로 유리수로 분류된 두 수량 사이에는 비합리적인 수량이 반드시 발생합니다.

이 세트와 관련하여 아직 해결되지 않은 문제가 많이 있습니다. 비합리성의 척도, 숫자의 정규성 등의 기준이 있습니다. 수학자들은 가장 중요한 사례를 계속 연구하여 해당 사례가 한 그룹에 속하는지 다른 그룹에 속하는지 확인합니다. 예를 들어, e는 정규수라고 믿어집니다. 즉, 표기법에 다른 숫자가 나타날 확률은 동일합니다. 파이에 관해서는 아직 연구가 진행 중이다. 비합리성의 척도는 주어진 숫자가 유리수로 얼마나 잘 근사될 수 있는지를 나타내는 값입니다.

대수학과 초월

이미 언급했듯이 무리수는 일반적으로 대수와 초월로 구분됩니다. 조건부로 엄밀히 말하면 이 분류는 집합 C를 나누는 데 사용됩니다.

이 지정은 실수 또는 실수를 포함하는 복소수를 숨깁니다.

따라서 대수는 0과 동일하지 않은 다항식의 근이 되는 값입니다. 예를 들어, 2의 제곱근은 x 2 - 2 = 0 방정식의 해이기 때문에 이 범주에 속합니다.

이 조건을 만족하지 않는 다른 모든 실수를 초월수라고 합니다. 이 다양성에는 가장 유명하고 이미 언급된 예인 숫자 pi와 자연 로그 e의 밑이 포함됩니다.

흥미롭게도 둘 중 어느 쪽도 원래 수학자에 의해 개발된 것이 아니었습니다. 그 비합리성과 초월성은 발견된 지 수년 후에 입증되었습니다. 파이의 경우 1882년에 증명이 이루어졌고 1894년에 단순화되어 원을 제곱하는 문제에 대한 2,500년 간의 논쟁이 끝났습니다. 아직 완전히 연구되지 않았기 때문에 현대 수학자들은 연구해야 할 것이 있습니다. 그건 그렇고, 이 값에 대한 최초의 상당히 정확한 계산은 아르키메데스에 의해 수행되었습니다. 그 전에는 모든 계산이 너무 근사했습니다.

e(오일러 수 또는 네이피어 수)의 경우 초월성에 대한 증거가 1873년에 발견되었습니다. 로그 방정식을 푸는 데 사용됩니다.

다른 예로는 0이 아닌 대수 값에 대한 사인, 코사인 및 탄젠트 값이 포함됩니다.