역사 속의 그래프 개념. 그래프 이론

레너드 오일러(Leonard Euler)는 그래프 이론의 창시자로 간주됩니다. 1736년 그의 편지 중 하나에서 그는 7개의 쾨니히스베르크 다리 문제에 대한 해결책을 공식화하고 제안했습니다. 고전적인 문제그래프 이론.

그래프 이론의 첫 번째 문제는 수학적 레크리에이션 문제와 퍼즐을 푸는 것과 관련이 있었습니다. 다음은 1736년 3월 13일자 오일러의 편지에서 발췌한 내용입니다. “나는 Königsberg 시에 위치하고 7개의 다리가 있는 강으로 둘러싸인 섬에 대한 문제를 받았습니다. 문제는 누군가가 각 다리를 한 번만 통과하면서 지속적으로 주변을 둘러볼 수 있는지 여부입니다. 그리고 아직 아무도 이것을 할 수 없었지만 그것이 불가능하다는 것을 아무도 증명하지 못했다는 소식을 들었습니다. 이 질문은 비록 사소하지만 기하학이나 대수학, 조합 예술이 그것을 해결하기에 충분하지 않다는 점에서 주목할 가치가 있는 것처럼 보였습니다. 많은 생각 끝에 나는 완전히 설득력 있는 증거에 기초한 쉬운 규칙을 발견했습니다. 이 규칙을 사용하면 이러한 종류의 모든 문제에서 그러한 우회가 여러 방법을 통해 이루어질 수 있는지 여부를 즉시 결정할 수 있습니다. 교량은 어떤 식으로든 위치하든지 않든 상관없습니다.” Königsberg 교량은 다음과 같이 개략적으로 묘사될 수 있습니다.

오일러의 법칙:

1. 홀수 각도의 정점이 없는 그래프에서는 그래프의 임의의 정점에서 시작하여 모든 간선의 순회가 있습니다(각 변은 정확히 한 번 순회합니다).

2. 홀수 각도의 정점이 2개만 있는 그래프에서는 다음과 같은 정점에서 시작하는 순회가 있습니다. 홀수 학위그리고 다른 것으로 끝납니다.

3. 홀수 차수의 정점이 2개 이상 있는 그래프에서는 이러한 순회가 존재하지 않습니다.

그래프를 따라 이동하는 것과 관련된 또 다른 유형의 문제가 있습니다. 우리는 모든 꼭지점을 통과하는 경로를 찾아야 하고 각 꼭지점을 한 번 이상 통과하지 않는 문제에 대해 이야기하고 있습니다. 각 꼭지점을 한 번만 통과하는 순환을 해밀턴 선(지난 세기의 유명한 아일랜드 수학자이자 최초로 이러한 선을 연구한 윌리엄 로완 해밀턴의 이름을 따서)이라고 합니다. 불행하게도, 주어진 그래프가 해밀턴인지 여부를 결정하고, 만약 그렇다면 그 그래프에서 모든 해밀턴 선을 찾을 수 있는 일반적인 기준은 아직 발견되지 않았습니다.

19세기 중반에 공식화되었다. 4색 문제도 재미있는 문제처럼 보이지만 이를 해결하려는 시도로 인해 이론적이고 적용값. 4색 문제는 다음과 같이 공식화됩니다. "어떤 평면 지도의 한 영역을 4가지 색상으로 색칠하여 인접한 두 영역이 서로 다른 색상으로 칠해질 수 있습니까?" 대답이 '예'라는 가설은 19세기 중반에 공식화되었습니다. 1890년에는 모든 평면 지도를 5가지 색상으로 칠할 수 있다는 약한 진술이 입증되었습니다. 평면 맵을 이중 평면 그래프와 연결함으로써 우리는 그래프 측면에서 문제에 대한 동등한 공식을 얻습니다. 평면 그래프의 색수가 4보다 작거나 같다는 것이 사실입니까? 문제를 해결하려는 수많은 시도는 그래프 이론의 여러 영역 개발에 영향을 미쳤습니다. 1976년에 컴퓨터를 사용하여 문제에 대한 긍정적인 해결책이 발표되었습니다.

특히 오랫동안 풀기 어려워 퍼즐 애호가들의 마음을 사로잡았던 또 다른 오래된 위상학적 문제는 "전기, 가스 및 물 공급 문제"로 알려져 있습니다. 1917년에 Henry E. Dudeney는 이 공식을 제시했습니다. 그림에 표시된 3채의 주택에는 각각 가스, 전기, 수도가 설치되어야 합니다.

그래프 이론. 1

그래프 이론 출현의 역사. 1

오일러의 법칙. 1

문학

1. 벨로프 그래프 이론, 모스크바, "과학", 1968.

2. 새로운 교육학 및 정보 기술 ES 폴랏 , 모스크바, "학계" 1999년

3. 쿠즈네초프 O.P., Adelson-Velsky G.M. 엔지니어를 위한 이산 수학. – M.: Energoatomizdat, 1988.

4. Cook D., Baze G. 컴퓨터 수학. – M.: 과학, 1990.

5. 네페도프 V.N., 오시포바 V.A. 이산 수학 과정. – M.: MAI 출판사, 1992.

6. 광석 O. 그래프 이론. – M.: 과학, 1980.

7. Ismagilov R.S., Kalinkin A.V. 이 과정의 실제 수업을 위한 자료: 이산 수학

독일 사람 Graf), 귀족의 칭호. Peter I에 의해 러시아에 소개되었습니다(B.P. Sheremetev는 1706년에 처음으로 이를 받았습니다). 19세기 말. 300개 이상의 가족이 고려되었습니다. 1917년 11월 11일 전러시아 중앙집행위원회와 인민위원회의 법령에 의해 청산되었습니다.

뛰어난 정의

불완전한 정의 ↓

그래프

Anton (Graf, Anton) 1736, Winterthur - 1813, 드레스덴. 독일 화가. 그는 1753~56년 Winterthur에서 I. W. Schellenberg와 함께 공부했고, 그 다음에는 Augsburg에서 I. Ya. Hyde와 함께 공부했습니다. 그는 Regensburg, Winterthur, Augsburg, 뮌헨, 취리히에서 초상화 화가로 일했습니다. 1766년부터 - 드레스덴의 궁정 예술가. 1789년부터 – 드레스덴 예술 아카데미 교수. 베를린, 비엔나, 뮌헨 예술 아카데미 회원. 독일과 스위스를 광범위하게 여행했습니다. 그는 초상화 화가였고 풍경화도 그렸으며 미니어처에도 참여했습니다. 작가의 초기 작품은 의식용 바로크 초상화의 전통에 따라 제작되었습니다. 프로이센 왕궁의 귀족들의 이미지는 프로이센 왕자 프리드리히(1777-1778), 프로이센 공주 프레데리카(1787), 프로이센 왕 프리드리히 빌헬름 2세(1788)의 초상화에서 엄숙함과 대표성으로 가득 차 있습니다. , 모두 - 베를린, 샤를로텐부르크). 강렬한 명암대비와 따뜻한 색상 구성은 렘브란트 스타일에 대한 젊은 예술가의 열정을 나타냅니다. 1780~1790년대에 백작님은 풍경을 배경으로 모델을 자주 그렸는데, 이는 초상화의 긴장감과 정적인 인물을 다소 완화시켰습니다. 헨리 8세, 1804년, 독일, 개인 소장품; I. F. von Tilman, 뉘른베르크, 독일 국립. 박물관). 그 시대의 신고전주의적 취향에 따라 그는 고대의 우아함으로 묘사된 풍경을 풍경화로 묘사합니다(프레데리카 힐렌도르프, 1803, 독일, 개인 소장품). 예술가와 가까운 사람들의 초상화는 예술가 K. K. Lunwig(1808, 함부르크, 쿤스트할레), 서정적인 여성 이미지 - Louise Elisabeth Funk(1790, 라이프치히, 박물관) 등 내면 상태를 더욱 심오하게 전달합니다. 미술), 캐롤라인 수잔나 그라프(1805, 함부르크, 쿤스트할레). 미묘한 명암 모델링은 백작의 이미지에 내재된 인물의 명확한 가소성을 강조합니다. 인물을 감싸고 있는 바람이 잘 통하는 스푸마토는 18세기 영국 초상화 기법에 대한 연구를 입증합니다. 계몽주의의 뛰어난 인물들의 초상화 - S. Gessner(1765-1766, 취리히, 쿤스트할레), G. E. Lessing(1771, 라이프치히, 대학 도서관), K. M. Wieland(1794, 바이마르, 괴테 박물관), I. G. Sulzer(1771, Winterthur, Kunsthalle) - 아마도 예술가가 만든 가장 중요한 것입니다. 독일의 유명한 철학자, 미학 및 수학자인 예술가의 장인 I. G. Sulzer와 시집 Idylls (1756)의 저자이자 스위스 시인 S. Gessner의 초상화에서 백작님은 바로크 양식의 구성표를 사용합니다. 초상화는 겉보기에 중단된 움직임의 순간에 모델을 묘사합니다. 계몽시대의 진정한 예술가인 백작은 민족의 문화유산이 된 사람들의 정신성과 밝은 마음을 드러내기 위해 노력한다. 초상화는 다른 후기 작품들처럼 어두운 배경에 그려져 있습니다(H. I. Medem, 1796; G. L. Gogel, 1796, 둘 다 상트페테르부르크, 국립 에르미타주 박물관). 이미지의 심리적 심층 전개에 대한 관심은 작가의 자화상에도 내재되어 있습니다. 1765년(뉴욕, 역사학회)과 1766년(드레스덴, 미술관) 중단된 움직임의 모티브는 구성 솔루션에 전통성을 부여합니다. 후기 작품(1794-1795, 드레스덴 미술관, 1808년 빈터투어, 쿤스트할레)은 18세기 독일 문화의 중요한 현상을 대표하는 작품을 통해 다음 세기의 사실적 이미지의 전통을 확립한 예술가의 이미지를 창조합니다. 안에 말기예술가는 삶에서 그림을 그리는 그의 탁월한 능력, 외풍에 대한 관심, “분위기 풍경” 문제의 전개를 특징으로 하는 여러 풍경화를 그렸습니다(View of the around the around of Dresden, 1800; Morning, ca. 1800; 정오, 약 1800년, 저녁, 약 1800년, 모두 - 드레스덴, 미술관).

블라디미르 주립 교육 대학

추상적인

"그래프 이론"

수행:

주디나 T.V.

블라디미르 2001

1. 소개

2. 그래프 이론 출현의 역사

3. 그래프 이론의 기본 정의

4. 그래프 이론의 기본 정리

5. 그래프 이론의 적용에 관한 문제점

6. 학교 수학 과목에서 그래프 이론의 적용

7. 과학기술의 다양한 분야에서의 그래프 이론의 응용

8. 그래프 이론의 최근 발전

§1. 그래프 이론의 출현의 역사.

그래프 이론의 창시자는 수학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707~1783)이다. 이 이론의 역사는 위대한 과학자의 서신을 통해 추적할 수 있습니다. 다음은 오일러가 1736년 3월 13일 상트페테르부르크에서 이탈리아 수학자이자 엔지니어인 마리노니에게 보낸 편지에서 발췌한 라틴어 텍스트의 번역입니다. 41-42쪽]:

"저는 쾨니히스베르크 시에 위치하고 강으로 둘러싸여 있으며 7개의 다리가 놓여 있는 섬에 대해 질문을 받은 적이 있습니다. 문제는 각 다리를 한 번만 통과하면서 계속해서 그 섬을 돌아 다닐 수 있는지에 대한 질문이었습니다. 그리고 저는 다음과 같이 말했습니다. 아직 아무도 이것을 할 수 없었지만 불가능하다는 것을 증명한 사람은 아무도 없다고 알렸습니다.그러나 이 질문은 사소하지만 기하학도 대수학도 조합 예술도 아니라는 점에서 주목할 가치가 있는 것 같았습니다. 해결하기에 충분합니다... 많은 생각 끝에 저는 완전히 설득력 있는 증거를 기반으로 한 쉬운 규칙을 발견했습니다. 이 규칙을 사용하면 이러한 종류의 모든 문제에서 그러한 우회가 어떤 방법을 통해 이루어질 수 있는지 즉시 결정할 수 있습니다. 어떤 방식으로든 위치하는 브리지의 수를 다음 그림에 표시할 수 있습니다.[그림 1] , 어느 ㅏ 섬을 의미하며, 비 , 씨 그리고 D - 강 가지에 의해 서로 분리된 대륙의 일부. 7개의 다리는 문자로 표시됩니다. ㅏ , 비 , 씨 , 디 , 이자형 , 에프 , g ".

(그림 1.1)

이런 종류의 문제를 해결하기 위해 그가 발견한 방법에 관해 오일러는 다음과 같이 썼습니다. pp. 102-104]:

“이 해결책은 본질적으로 수학과 거의 관련이 없으며, 왜 다른 사람이 아닌 수학자에게서 이 해결책을 기대해야 하는지 이해가 되지 않습니다. 이 해결책을 찾으려면 수학에 내재된 모든 법칙이 필요합니다. 따라서 수학과 관련이 거의 없는 문제가 다른 사람보다 수학자에 의해 해결될 가능성이 더 높다는 것이 어떻게 밝혀지는지 모르겠습니다."

그렇다면 각 다리를 한 번만 통과하여 Königsberg 다리를 둘러볼 수 있습니까? 답을 찾기 위해 오일러가 마리노니에게 보낸 편지를 계속 살펴보겠습니다.

"문제는 이 7개의 다리를 모두 우회하여 각 다리를 한 번만 통과할 수 있는지 여부를 결정하는 것입니다. 내 규칙은 이 질문에 대한 다음과 같은 해결책으로 이어집니다. 우선, 거기에 얼마나 많은 영역이 있는지 살펴봐야 합니다. 물로 분리되어 있으며 다리를 통하는 것 외에는 서로 다른 전환이 없습니다. 이 예에는 4개의 섹션이 있습니다. ㅏ , 비 , 씨 , 디 . 다음으로 구별해야 할 것은 이러한 개별 구간으로 이어지는 다리의 수가 짝수인지 홀수인지입니다. 따라서 우리의 경우에는 5개의 다리가 A구간으로 연결되고, 3개의 다리는 각각 나머지 구간으로 연결됩니다. 즉, 개별 구간으로 연결되는 다리의 수는 홀수이며, 이것만으로도 문제를 해결하기에 충분합니다. 이것이 결정되면 다음 규칙을 적용합니다. 각 개별 구간으로 연결되는 교량의 수가 짝수이면 해당 우회가 가능하고 동시에 모든 구간에서 이 우회를 시작할 수 있습니다. . 이 숫자 중 두 개가 홀수인 경우(단 하나만 홀수일 수 없으므로) 규정된 대로 전환이 발생할 수 있지만 회로의 시작 부분만 홀수가 이어지는 두 섹션 중 하나에서 확실히 가져와야 합니다. 교량. 마지막으로 홀수의 교량이 이어지는 섹션이 두 개 이상인 경우 그러한 이동은 일반적으로 불가능합니다. 다른 더 심각한 문제가 여기에 발생할 수 있다면 이 방법은 훨씬 더 큰 이점이 될 수 있으며 무시하지 마세요." .

위 규칙의 근거는 L. Euler가 같은 해 4월 3일에 그의 친구 Ehler에게 보낸 편지에서 찾을 수 있습니다. 이 편지에서 발췌한 내용을 아래에서 다시 설명하겠습니다.

수학자는 강의 분기점에 홀수 개의 다리가 이어지는 영역이 두 개 이하인 경우 전환이 가능하다고 썼습니다. 이를 쉽게 상상하기 위해 그림에서 이미 횡단한 다리를 삭제하겠습니다. 오일러의 법칙에 따라 이동을 시작하고 하나의 다리를 건너서 지우면 그림에 다시 홀수 개의 다리가 연결되는 영역이 두 개 이하인 섹션이 표시되고, 홀수 개의 다리가 있는 지역은 그 중 하나에 위치하게 됩니다. 계속해서 이렇게 진행하면 모든 다리를 한 번씩 건너게 됩니다.

Königsberg시의 다리 이야기는 현대적으로 이어집니다. 예를 들어 N.Ya가 편집한 수학에 관한 학교 교과서를 열어 보겠습니다. 6학년 Vilenkina입니다. 그 책의 98페이지에서는 주의력과 지능 개발이라는 제목 아래 오일러가 한때 풀었던 문제와 직접적으로 관련된 문제를 발견할 것입니다.

문제 번호 569. 호수에는 그림 1.2와 같이 서로 연결되어 있는 7개의 섬이 있습니다. 여행자가 각 다리를 한 번만 건너갈 수 있도록 보트는 여행자를 어느 섬으로 데려가야 합니까? 여행자를 섬으로 이동할 수 없는 이유는 무엇입니까? ㅏ ?

(그림 1.2)

해결책.이 문제는 Königsberg 교량의 문제와 유사하므로 이 문제를 풀 때 오일러의 법칙도 사용합니다. 결과적으로 우리는 다음과 같은 대답을 얻습니다. 보트는 여행자를 섬으로 데려가야 합니다. 이자형또는 에프각 다리를 한 번씩 건널 수 있도록 말이죠. 동일한 오일러 법칙에 따르면 섬에서 출발하면 필요한 우회가 불가능합니다. ㅏ .

결론적으로, 우리는 Königsberg 교량의 문제와 유사한 문제가 일련의 연구 방법과 함께 그래프 이론이라고 불리는 실용적인 용어로 수학의 매우 중요한 분야를 구성한다는 점에 주목합니다. 그래프에 관한 첫 번째 작품은 L. Euler의 작품으로 1736년에 나타났습니다. 그 후 Koenig (1774-1833), Hamilton (1805-1865) 및 현대 수학자 C. Berge, O. Ore, A. Zykov가 그래프 작업을 수행했습니다.

§2. 그래프 이론의 기본 이론

위에서 언급한 바와 같이 그래프 이론은 수학자들의 노력으로 창안된 수학적 학문이므로 그 표현에는 필요한 엄격한 정의가 포함되어 있습니다. 이제이 이론의 기본 개념을 체계적으로 소개하겠습니다.

정의 2.01. 세다이라고 불리는 유한한 수의 점들의 집합이다. 봉우리그래프와 이러한 꼭지점 중 일부를 연결하는 쌍선(pairwise line)이라고 합니다. 갈비 살또는 호그래프.

이 정의는 다르게 공식화될 수 있습니다. 세다비어 있지 않은 점 집합이라고 합니다( 봉우리) 및 세그먼트( 갈비 살), 양쪽 끝은 주어진 점 세트에 속합니다(그림 2.1 참조).

(그림 2.1)

다음에서는 그래프의 정점을 라틴 문자로 표시합니다. ㅏ , 비 ,씨 ,디. 때로는 그래프 전체가 하나의 대문자로 표시되는 경우도 있습니다.

정의 2.02.어떤 간선에도 속하지 않는 그래프의 정점을 정점이라고 합니다. 외딴 .

정의 2.03.고립된 꼭짓점들로만 구성된 그래프를 호출합니다. 영 - 세다 .

지정: 영형 " – 모서리가 없는 정점이 있는 그래프(그림 2.2)

(그림 2.2)

정의 2.04.모든 정점 쌍이 간선으로 연결된 그래프를 그래프라고 합니다. 완벽한 .

지정: 유 " – 그래프로 구성된 N이러한 정점의 가능한 모든 쌍을 연결하는 정점과 가장자리입니다. 그러한 그래프는 다음과 같이 표현될 수 있다. N– 모든 대각선이 그려지는 삼각형(그림 2.3)

(그림 2.3)

정의 2.05. 도 봉우리정점이 속하는 모서리의 수입니다.

지정: 피 (ㅏ) – 꼭지점 정도 ㅏ . 예를 들어 그림 2.1에서는 다음과 같습니다. 피 (ㅏ)=2, 피 (비)=2, 피 (씨)=2, 피 (디)=1, 피 (이자형)=1.

정의 2.06.모든 것의 개수, 도 케이정점이 동일한 것을 이라고 합니다. 동종의 세다 도 케이 .

그림 2.4와 2.5는 2차와 3차의 동질적인 그래프를 보여줍니다.

(그림 2.4 및 2.5)

정의 2.07. 보충 주어진 그래프완전한 그래프를 얻기 위해 원본 그래프에 추가되어야 하는 모든 간선과 끝으로 구성된 그래프입니다.

그림 2.6은 원본 그래프를 보여줍니다. G , 4개의 정점과 3개의 세그먼트로 구성되며 그림 2.7 - 이 그래프의 보완 - 그래프 G " .

(그림 2.6 및 2.7)

그림 2.5에서 갈비뼈가 있는 것을 볼 수 있습니다. A.C.그리고 BD그래프의 꼭지점이 아닌 점에서 교차합니다. 그러나 주어진 그래프를 모서리가 꼭지점에서만 교차하는 방식으로 평면에 표시해야 하는 경우가 있습니다(이 문제는 단락 5에서 자세히 설명합니다).

정의 2.08.모서리가 꼭짓점에서만 교차하는 방식으로 평면에 표시할 수 있는 그래프를 호출합니다. 평평한 .

예를 들어, 그림 2.8은 그림 2.5의 그래프와 동형(동일)인 평면 그래프를 보여줍니다. 그러나 모든 그래프가 평면인 것은 아닙니다. 반대의 경우도 마찬가지입니다. 즉, 모든 평면 그래프가 일반적인 형식으로 표시될 수 있습니다.

(그림 2.8)

정의 2.09.그래프의 꼭짓점이나 변을 포함하지 않는 평면 그래프의 다각형을 다각형이라고 합니다. 가장자리 .

2016학년도 년도

1. 소개

2. 그래프 이론 출현의 역사

3. 그래프 이론의 기본 개념

4. 그래프 이론의 기본 정리

5. 컴퓨터에서 그래프를 표현하는 방법

6. 그래프 이론 문제 검토

7. 결론

8. 참고자료

소개

최근 전통적으로 이산수학과 관련된 분야의 연구가 점점 더 두드러지고 있습니다. 수학적 분석과 같은 고전적인 수학 분야와 함께, 미분 방정식, V 과정"응용 수학" 전문 분야와 기타 여러 전문 분야에는 수학 논리, 대수학, 조합론 및 그래프 이론에 대한 섹션이 등장했습니다. 그 이유는 단순히 이 수학적 장치를 기반으로 해결된 문제의 범위를 식별하는 것만으로는 이해하기 어렵지 않습니다.

그래프 이론 출현의 역사.

1. Königsberg 교량에 관한 문제.그림에서. 그림 1은 페르골라 강의 2개 제방, 그 안의 2개 섬, 7개의 연결 다리를 포함하는 쾨니히스베르크(현 칼리닌그라드) 시 중심부의 개략도를 보여줍니다. 임무는 땅의 네 부분을 모두 돌아서 각 다리를 한 번씩 건너 출발점으로 돌아가는 것입니다. 이 문제는 1736년 오일러에 의해 해결되었습니다(해법이 없음이 밝혀졌습니다).

쌀. 1

2. 세 채의 집과 세 개의 우물의 문제.세 채의 집과 세 개의 우물이 비행기 위에 위치해 있습니다. 경로가 교차하지 않도록 각 집에서 각 우물까지의 경로를 그립니다(그림 2). 이 문제는 1930년 Kuratovsky에 의해 해결되었습니다(해결책이 없음이 밝혀졌습니다).

쌀. 2

3. 4색 문제.평면을 겹치지 않는 영역으로 분할한 것을 지도라고 합니다. 지도상의 지역은 공통 경계가 있는 경우 인접 지역이라고 합니다. 임무는 인접한 두 영역이 동일한 색상으로 칠해지지 않도록 지도를 색칠하는 것입니다(그림 3). 지난 세기말부터 4가지 색상이면 충분하다는 가설이 알려졌습니다. 1976년에 Appel과 Heiken은 컴퓨터 검색을 기반으로 한 4색 문제에 대한 해결책을 발표했습니다. 이 문제를 '프로그래밍 방식으로' 해결한 것은 열띤 논쟁을 불러일으킨 선례였으며, 이는 결코 끝나지 않았습니다. 게시된 솔루션의 핵심은 4색 정리에 대한 크지만 유한한 수(약 2000개) 유형의 잠재적 반례를 시도하고 단 하나의 사례도 반례가 아님을 보여주는 것입니다. 이 검색은 약 1000시간의 슈퍼컴퓨터 작업으로 프로그램에 의해 완료되었습니다. 결과 솔루션을 "수동으로" 확인하는 것은 불가능합니다. 열거 범위는 인간의 능력을 훨씬 뛰어넘습니다. 많은 수학자들은 다음과 같은 질문을 제기합니다. 이러한 "프로그램 증명"이 유효한 증명으로 간주될 수 있습니까? 결국 프로그램에 오류가 있을 수 있습니다... 프로그램의 정확성을 공식적으로 증명하는 방법은 논의 중인 프로그램과 같이 복잡한 프로그램에는 적용할 수 없습니다. 테스트는 오류가 없음을 보장할 수 없으며 이 경우 일반적으로 불가능합니다. 따라서 우리는 저자의 프로그래밍 기술에만 의존할 수 있으며 그들이 모든 것을 올바르게 수행했다고 믿을 수 있습니다.

쌀. 삼

그래프 이론의 기본 개념

1) 그래프 G(V,E)비어 있지 않은 세트 V(정점 세트)와 세트 V(E – 모서리 세트)의 두 요소 하위 세트로 구성된 세트 E의 두 세트 모음입니다.

2) 지향는 (x,y) 형식의 순서화된 정점 쌍 집합으로 구성된 그래프입니다. 여기서 x는 시작점이고 y는 호의 끝점입니다. 호 (x, y)는 종종 로 쓰여집니다. 그들은 또한 호가 꼭지점 x에서 꼭지점 y로, 꼭지점 y로 이어진다고 말합니다. 인접한꼭지점 x로.

3) 집합 E의 원소가 쌍일 수 있는 경우 동일한(고유하지 않은) V의 요소, 집합 E의 그러한 요소를 호출합니다. 고리, 그래프는 다음과 같이 호출됩니다. 루프가 있는 그래프(또는 의사).

4) E가 집합이 아니지만, 세트여러 개의 동일한 요소를 포함하는 경우 이러한 요소를 호출합니다. 다중 모서리, 그래프는 다음과 같이 호출됩니다. 다중 그래프.

5) 집합 E의 요소가 반드시 두 요소로 구성된 것은 아니지만 집합 V의 하위 집합인 경우 집합 E의 해당 요소를 호출합니다. 초호, 그래프는 다음과 같이 호출됩니다. 하이퍼그래프.

6) 해당 기능이 지정된 경우 F: V → M및/또는 여: E → M, 그 다음 세트 중세트라고 함 노트, 그래프는 다음과 같이 호출됩니다. 두드러진(또는 짐을 실은). 마크 세트는 일반적으로 문자 또는 정수입니다. 기능의 경우 에프즉, 서로 다른 정점(모서리)에 서로 다른 레이블이 있는 경우 그래프가 호출됩니다. 번호가 매겨진.

7) 하위 그래프을 그래프 G'(V',E')라고 하며, 여기서 및/또는 입니다.

a) V' = V이면 G'가 호출됩니다. 핵심하위 그래프 G.

b) 이면 그래프 G'가 호출됩니다. 소유하다그래프 G의 하위 그래프.

c) G'가 G의 모든 가능한 간선을 포함하는 경우 하위 그래프 G'(V',E')를 그래프 G(V,E)의 정규 하위 그래프라고 합니다.

8) 정도(가)꼭짓점은 이 꼭짓점에 입사하는 모서리의 수(인접한 꼭짓점의 수)입니다.

9) 노선그래프는 두 개의 인접한 요소가 입사하는 정점과 가장자리의 교대 시퀀스입니다.

a) 그렇다면 경로는 닫은, 그렇지 않으면 열려 있는.

b) 모든 간선이 다르면 경로가 호출됩니다. 체인.

c) 모든 정점(및 가장자리)이 다른 경우 경로가 호출됩니다. 간단한 체인.

d) 폐쇄 회로를 호출합니다. 주기.

e) 닫힌 단순 회로가 호출됩니다. 간단한 루프.

f) 사이클이 없는 그래프를 호출합니다. 비순환적.

g) 이중 그래프의 경우 체인을 호출합니다. ~에 의해이고, 주기는 다음과 같습니다. 윤곽.

쌀. 4. 경로, 체인, 사이클

예

그래프에서 그 다이어그램은 그림 4에 나와 있습니다.

1. v 1, v 3, v 1, v 4 – 경로이지만 체인은 아닙니다.

2. v 1, v 3, v 5, v 2, v 3, v 4 – 사슬이지만 단순한 사슬은 아닙니다.

3. v 1, v 4, v 3, v 2, v 5 – 단순 체인;

4. v 1, v 3, v 5, v 2, v 3, v 4, v 1 – 주기이지만 단순한 주기는 아닙니다.

5. v 1 , v 3 , v 4 , v 1 - 간단한 주기입니다.

10) 그래프에 그래프의 모든 모서리를 한 번 포함하는 사이클(반드시 단순하지는 않음)이 있는 경우 이러한 사이클을 호출합니다. 오일러리안주기.

11) 그래프에 그래프의 모든 정점(한 번에 하나씩)을 포함하는 간단한 사이클이 있는 경우 이러한 사이클을 호출합니다. 해밀턴식주기.

12) 나무순환이 없는 연결 그래프라고 합니다.

13) 해골그래프의 모든 정점을 포함하는 트리가 호출됩니다.

14) 어울리는는 인접한 두 변이 없는 간선의 집합입니다.

15) 매칭이 호출됩니다. 최고, 상위 집합이 독립적인 경우.

16) 그래프의 두 정점 연결됨, 이들을 연결하는 간단한 체인이 있는 경우.

17) 모든 정점이 연결된 그래프를 일관성이 있다.

18) 고립된 꼭지점들로만 구성된 그래프를 꽤 일관성이 없습니다.

19) 경로 길이그 안에 있는 모서리의 수를 (반복하여)이라고 합니다.

20) 거리정점 u와 v 사이를 가장 짧은 사슬의 길이라고 하고, 가장 짧은 사슬 자체를 측지학.

21) 지름그래프의 G를 가장 긴 측지선의 길이라고 합니다.

22) 이심률연결된 그래프 G(V,E)의 정점 v는 정점 v에서 그래프 G의 다른 정점까지의 최대 거리입니다.

23) 반지름그래프 G의 이심률은 꼭짓점의 가장 작은 이심률이라고 합니다.

24) Vertex v가 호출됩니다. 본부, 이심률이 그래프의 반경과 일치하는 경우.

25) 중심 꼭짓점 집합은 다음과 같습니다. 센터그래프.

쌀. 5 그래프의 꼭지점과 중심의 이심률(강조 표시).

그래프 이론의 역사

레너드 오일러(Leonard Euler)는 그래프 이론의 창시자로 간주됩니다. 1736년 그의 편지 중 하나에서 그는 나중에 그래프 이론의 고전적인 문제 중 하나가 된 Königsberg의 7개 다리 문제에 대한 해결책을 공식화하고 제안했습니다.

그래프 이론 용어

평면에 그래프 표현

그래프를 그림으로 표현할 때 가장 많이 사용되는 표현 다음 시스템표기법: 그래프의 꼭지점은 점으로 표시되거나 꼭지점의 의미를 지정할 때 직사각형, 타원 등으로 표시됩니다. 여기서 꼭지점의 의미는 그림 내부에 표시됩니다(알고리즘 흐름도의 그래프). 꼭지점 사이에 가장자리가 있으면 해당 점(모양)이 선이나 호로 연결됩니다. 방향 그래프의 경우 호가 화살표로 대체되거나 간선의 방향이 명시적으로 표시됩니다. 때로는 유한 상태 기계의 전이 그래프와 같이 모서리의 의미를 드러내는 설명 비문이 모서리 옆에 배치됩니다. 평면 그래프와 비평면 그래프가 있습니다. 평면 그래프는 모서리를 교차하지 않고(가장 단순한 것은 삼각형 또는 연결된 정점 쌍) 그림(평면)에 표시할 수 있는 그래프입니다. 그렇지 않으면 그래프는 비평면입니다. 그래프에 사이클이 포함되지 않은 경우(최소 하나의 경로 포함) 한 번원래 꼭지점으로 돌아가서 가장자리와 꼭지점을 순회하는 것)을 일반적으로 "트리"라고 합니다. 그래프 이론에서 중요한 유형의 트리는 이진 트리입니다. 각 꼭지점에는 하나의 들어오는 가장자리와 정확히 두 개의 나가는 가장자리가 있거나 유한합니다. 즉 나가는 가장자리가 없고 들어오는 가장자리가 없는 하나의 루트 정점을 포함합니다.

하나 이상의 그래픽 표현이 하나의 그래프와 연관될 수 있으므로 그래프 이미지를 그래프 자체(추상 구조)와 혼동해서는 안 됩니다. 이미지는 어떤 정점 쌍이 가장자리로 연결되어 있고 어떤 정점이 연결되지 않았는지 보여주기 위한 것입니다. 실제로 두 이미지가 동일한 그래프의 모델인지 아닌지(즉, 이미지에 해당하는 그래프가 동형인지 여부)에 대한 질문에 대답하기 어려운 경우가 많습니다. 작업에 따라 일부 이미지는 다른 이미지보다 더 선명할 수 있습니다.

그래프 이론의 몇 가지 문제점

쾨니히스베르크 문제의 7개 다리(Seven Bridges of Königsberg Problem)는 오일러가 에 발표한 그래프 이론의 첫 번째 결과 중 하나입니다.
4색 문제는 1852년에 정식화되었지만 비고전적인 증명은 1976년에야 얻어졌습니다(구(평면) 지도에는 4색이면 충분합니다).
여행하는 외판원 문제는 가장 유명한 NP-완전 문제 중 하나입니다.
파벌 문제는 또 다른 NP-완전 문제입니다.
최소 스패닝 트리 찾기.
그래프 동형성 - 한 그래프의 정점 번호를 다시 매겨 다른 그래프를 얻을 수 있습니까?
그래프의 평면성 - 모서리 교차점 없이(또는 인쇄 회로 기판 또는 미세 회로 요소의 상호 연결을 추적할 때 사용되는 최소 레이어 수) 평면에 그래프를 묘사하는 것이 가능합니까?

그래프 이론의 응용

또한보십시오

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노트

문학

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연결

: 그래프의 정보를 시각화하고 검색하기 위한 다양한 도구와 방법을 사용자에게 제공하는 프로그램



고전적 분석

기능 이론

차동 및 적분 방정식

그래프 이론을 특성화하는 발췌문

그러나 이 말이 끝나기도 전에 안드레이 왕자는 수치심과 분노의 눈물이 목구멍에 차오르는 것을 느끼며 이미 말에서 뛰어내려 깃발을 향해 달려가고 있었습니다.
- 얘들아, 어서! – 그는 유치하게 소리쳤다.
"여기있어!" 깃대를 잡고 총알의 휘파람 소리를 즐겁게 듣고있는 안드레이 왕자는 분명히 그를 겨냥한 것이라고 생각했습니다. 몇몇 군인들이 쓰러졌습니다.
- 만세! - 안드레이 왕자는 무거운 깃발을 간신히 손에 들고 소리를 지르며 대대 전체가 그를 쫓을 것이라는 의심의 여지가없는 확신을 가지고 앞으로 달렸습니다.
실제로 그는 혼자서 몇 걸음밖에 뛰지 못했다. 한 병사가 출발하고 다른 병사가 출발했고 대대 전체가 "만세!"를 외쳤습니다. 앞으로 달려가 그를 따라잡았다. 대대 부사관이 달려가 안드레이 왕자의 손에 들려있는 무게로 흔들리는 깃발을 가져 갔지만 즉시 사망했다. 안드레이 왕자는 다시 깃발을 잡고 기둥을 끌고 대대와 함께 달아났습니다. 그 앞에서 그는 우리 포병을 보았고 그중 일부는 싸웠고 다른 일부는 대포를 버리고 그를 향해 달려갔습니다. 그는 또한 포병 말을 잡고 총을 돌리는 프랑스 보병 병사들을 보았습니다. 안드레이 왕자와 그의 대대는 이미 총에서 20걸음 떨어져 있었습니다. 그는 머리 위에서 끊임없는 총알 휘파람 소리를 들었고 군인들은 끊임없이 신음하며 그의 오른쪽과 왼쪽으로 쓰러졌습니다. 그러나 그는 그들을 쳐다보지 않았습니다. 그는 자신 앞에서 일어나는 일, 즉 배터리에 대해서만 보았습니다. 그는 샤코를 한쪽으로 두드리며 한쪽에서는 깃발을 당기는 빨간 머리 포병의 모습을 분명히 보았고, 다른 쪽에서는 프랑스 군인이 깃발을 자신을 향해 당기고 있었습니다. 안드레이 왕자는 자신이 무엇을하고 있는지 분명히 이해하지 못한이 두 사람의 얼굴에서 혼란스럽고 동시에 분노한 표정을 이미 분명히 보았습니다.
"그들은 무엇을 하고 있나요? -안드레이 왕자는 그들을 보면서 생각했습니다. -빨간 머리 포병이 무기가 없는데 왜 달리지 않습니까? 프랑스인은 왜 그를 찌르지 않는가? 그가 그에게 다가가기 전에 그 프랑스인은 총을 기억하고 그를 찔러 죽일 것입니다.”
실제로, 총을 유리하게 사용하는 또 다른 프랑스 인이 전투기에게 달려 갔고, 여전히 그를 기다리고 있던 것을 이해하지 못하고 승리로 깃발을 꺼낸 빨간 머리 포병의 운명이 결정되어야했습니다. 그러나 안드레이 왕자는 그것이 어떻게 끝났는지 보지 못했습니다. 근처 군인 중 한 명이 강한 막대기를 휘두르듯 그의 머리를 때린 것 같았습니다. 조금 아팠고, 가장 중요하게는 불쾌했습니다. 왜냐하면 이 고통이 그를 즐겁게 하고 그가 보고 있는 것을 볼 수 없게 했기 때문입니다.
"이게 뭔가요? 나는 떨어지고있다? 다리가 무너지고 있다”고 생각한 뒤 넘어졌다. 그는 프랑스군과 포병 사이의 싸움이 어떻게 끝났는지 보고 싶었고, 빨간 머리 포병이 죽었는지 안 죽었는지, 총을 빼앗겼는지 구해냈는지 알고 싶어 눈을 떴다. 그러나 그는 아무것도 보지 못했습니다. 그 위에는 하늘 외에는 아무것도 없었습니다. 높은 하늘, 명확하지는 않지만 여전히 헤아릴 수 없을 정도로 높고 회색 구름이 조용히 기어 들어옵니다. 안드레이 왕자는 이렇게 생각했습니다. “우리가 달리고, 소리치고, 싸웠던 것과는 전혀 다릅니다. 그것은 프랑스군과 포병이 원망하고 겁에 질린 얼굴로 서로의 깃발을 끌어당긴 것과 전혀 같지 않습니다. 구름이 이 끝없이 높은 하늘을 가로질러 기어가는 것과는 전혀 다릅니다. 왜 나는 이 높은 하늘을 이전에 본 적이 없는 걸까? 그리고 마침내 그를 알아보게 되어 얼마나 기쁩니다. 예! 이 끝없는 하늘을 제외하고는 모든 것이 공허하고 모든 것이 속임수입니다. 그 사람 외에는 아무것도 없습니다. 하지만 그런 것조차 없고, 침묵과 고요함밖에 없습니다. 그리고 하느님께 감사드립니다!…

9시 방향 바그라티온의 오른쪽 측면에서는 아직 사업이 시작되지 않았습니다. 사업을 시작하라는 Dolgorukov의 요구에 동의하고 싶지 않고 책임을 자신에게서 돌리기를 원하는 Bagration 왕자는 Dolgorukov를 보내 총사령관에게 이에 대해 물어볼 것을 제안했습니다. Bagration은 한 측면을 다른 측면에서 분리하는 거의 10 정점의 거리로 인해 보낸 사람이 죽지 않으면 (가능성이 매우 높음) 매우 어려운 총사령관을 찾았더라도 보낸 사람은 이른 저녁에 돌아올 시간이 없을 것입니다.
Bagration은 크고 무표정하며 잠이 부족한 눈으로 그의 수행원을 둘러 보았고, 흥분과 희망으로 무의식적으로 얼어 붙은 Rostov의 유치한 얼굴이 가장 먼저 그의 눈길을 사로 잡았습니다. 그는 그것을 보냈습니다.
- 총사령관 각하 앞에서 폐하를 만나면 어떻게 될까요? -로스토프가 바이저에 손을 대고 말했습니다.
"폐하께 넘겨주시면 됩니다." Dolgorukov가 급히 Bagration을 방해하며 말했습니다.
체인에서 풀려난 Rostov는 아침이 오기 몇 시간 전에 잠을 잘 수 있었고 움직임의 탄력성, 행복에 대한 자신감, 모든 것이 쉽고 재미 있고 가능해 보이는 분위기로 쾌활하고 용기 있고 결단력을 느꼈습니다.
그날 아침 그의 소원은 모두 이루어졌습니다. 일반 전투가 벌어졌고 그는 그것에 참여했습니다. 더욱이 그는 가장 용감한 장군의 휘하에서 질서 있는 사람이었습니다. 더욱이 그는 Kutuzov로 심부름을 떠났고 아마도 주권자 자신에게도 여행 중이었습니다. 아침은 맑았고 그 아래의 말은 좋았습니다. 그의 영혼은 즐겁고 행복했습니다. 명령을 받은 그는 말에서 출발해 줄을 따라 질주했다. 처음에 그는 아직 행동에 나서지 않았고 움직이지 않고 서 있던 Bagration의 군대 라인을 따라 탔습니다. 그런 다음 그는 Uvarov의 기병대가 차지한 공간에 들어갔고 여기에서 이미 사건에 대한 움직임과 준비 징후를 발견했습니다. Uvarov의 기병대를 통과 한 그는 이미 앞에서 대포와 총격 소리를 분명히 들었습니다. 촬영이 강화되었습니다.
신선한 아침 공기 속에서는 더 이상 이전과 같이 불규칙한 간격으로 두 발, 세 발의 총성이 있었고 그 다음에는 한두 발의 총성이 없었고 산의 경사면을 따라 Pratzen 앞에서 총소리가 들리고 중단되었습니다. 총의 빈번한 사격으로 인해 때로는 여러 개의 대포 사격이 더 이상 서로 분리되지 않고 하나의 공통된 포효로 합쳐졌습니다.
총의 연기가 어떻게 경사면을 따라 흘러가며 서로를 따라잡는지, 그리고 총의 연기가 어떻게 소용돌이치고 흐릿해지고 서로 합쳐지는지 볼 수 있었습니다. 연기 사이로 빛나는 총검 사이로 움직이는 보병대와 녹색 상자가 달린 좁은 포병대가 보였다.
Rostov는 무슨 일이 일어나고 있는지 조사하기 위해 잠시 동안 언덕에 말을 세웠습니다. 그러나 그가 아무리 주의를 기울여도 그는 무슨 일이 일어나고 있는지 이해하거나 알아낼 수 없었습니다. 어떤 사람들은 연기 속에서 그곳으로 움직이고 있었고, 일부 군대 캔버스는 앞뒤로 움직이고 있었습니다. 그런데 왜? WHO? 어디? 이해하는 것이 불가능했습니다. 이 광경과 소리는 그에게 둔감하거나 소심한 감정을 불러일으키지 않았을 뿐만 아니라 오히려 그에게 활력과 결단력을 부여했습니다.
"자, 더, 더 주세요!" - 그는 정신적으로 이러한 소리에 의지하고 다시 선을 따라 질주하기 시작하여 이미 행동에 들어간 군대의 영역으로 점점 더 침투했습니다.
"어떻게 될지는 모르겠지만 모든 것이 잘 될 것입니다!" 로스토프는 생각했다.
일부 오스트리아 군대를 통과 한 Rostov는 라인의 다음 부분 (경비대)이 이미 행동에 들어갔다는 것을 발견했습니다.
"더 좋아졌어! 좀 더 지켜봐야겠다”고 생각했다.
그는 거의 최전선을 따라 운전했습니다. 여러 명의 기병이 그를 향해 질주했습니다. 이들은 무질서한 대열로 공격을 받고 돌아온 우리의 구명 창기병이었습니다. 로스토프는 그들을 지나쳤고, 그들 중 하나가 피로 뒤덮인 것을 무의식적으로 발견하고 질주했습니다.
“나는 이것에 대해 상관하지 않습니다!” 그는 생각했다. 그가 이로부터 수백 걸음을 달려가기도 전에, 그의 왼쪽, 들판 전체를 가로질러, 빛나는 흰색 군복을 입은 검은 말을 탄 거대한 기병대가 나타나 그를 향해 곧장 달려왔다. 로스토프는 이 기병대를 피하기 위해 말을 전속력으로 달렸고, 그들이 같은 걸음걸이를 유지했다면 그들로부터 도망쳤을 것입니다. 그러나 그들은 계속 속도를 높여서 일부 말은 이미 질주하고 있었습니다. 로스토프는 그들의 쿵쾅거리는 소리와 무기의 덜거덕거리는 소리를 점점 더 명확하게 들었고 그들의 말, 인물, 심지어 얼굴까지 더 눈에 띄게 되었습니다. 이들은 우리 기병 경비대였으며, 그들을 향해 이동하고 있는 프랑스 기병대를 공격했습니다.
기병 경비병들은 질주했지만 여전히 말을 붙잡고 있었습니다. 로스토프는 이미 그들의 얼굴을 보았고 "행진, 행진!"이라는 명령을 들었습니다. 전속력으로 피말을 풀어놓은 장교의 말이다. 프랑스군에 대한 공격에 압도당하거나 유인될 것을 두려워한 로스토프는 말이 할 수 있는 한 최대한 빨리 전선을 따라 질주했지만 여전히 그들을 지나치지 못했습니다.
거대하고 곰보가 있는 마지막 기병대 경비병은 필연적으로 충돌할 로스토프를 눈앞에 보고 화가 나서 눈살을 찌푸렸습니다. 이 기병 경비대는 기병 경비대의 말의 눈에 채찍을 휘두를 생각이 없었다면 확실히 로스토프와 그의 베두인을 쓰러 뜨렸을 것입니다 (로스토프 자신은이 거대한 사람과 말에 비해 너무 작고 약해 보였습니다). 검고 육중한 5인치 말은 귀를 내려놓고 몸을 피했다. 그러나 곰보가 있는 기병대가 그녀의 옆구리에 거대한 박차를 가했고, 말은 꼬리를 흔들고 목을 쭉 뻗은 채 더욱 빠르게 돌진했습니다. 기병대가 로스토프를 통과하자마자 그는 그들이 "만세!"라고 외치는 것을 들었습니다. 그리고 뒤를 돌아보니 그들의 최전방에는 붉은 견장을 두른 낯선 사람들, 아마도 프랑스인 기병들이 뒤섞여 있는 것이 보였다. 그 직후 어딘가에서 대포가 발사되기 시작했고 모든 것이 연기로 덮여 있었기 때문에 더 이상 아무것도 볼 수 없었습니다.
그 순간 기병대가 그를 지나쳐 연기 속으로 사라지자 로스토프는 그들을 따라 질주할지 아니면 가야 할 곳으로 갈지 망설였습니다. 이것은 프랑스인들을 놀라게 한 기병대의 화려한 공격이었습니다. 로스토프는 나중에이 수많은 잘 생긴 사람들 중에서 수천 마리의 말을 탄이 훌륭하고 부유 한 청년들, 그를 지나쳐 질주 한 장교 및 생도 중에서 공격 후 18 명만이 남았다는 소식을 듣고 겁이났습니다.