인형 수학의 한계: 설명, 이론, 솔루션의 예. 두 번째로 주목할만한 한계 Lim x는 2개의 예를 갖는 경향이 있습니다.

일반적으로 두 번째 놀라운 한계는 다음 형식으로 작성됩니다.

\begin(방정식) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(방정식)

등식(1)의 오른쪽에 표시된 숫자 $e$는 무리수입니다. 이 숫자의 대략적인 값은 $e\about(2(,)718281828459045)$입니다. $t=\frac(1)(x)$를 대체하면 공식 (1)은 다음과 같이 다시 작성될 수 있습니다.

\begin(방정식) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(방정식)

첫 번째 주목할만한 한계에 대해서는 식(1)의 변수 $x$ 대신 또는 식(2)의 변수 $t$ 대신 어떤 표현식이 사용되는지는 중요하지 않습니다. 가장 중요한 것은 두 가지 조건을 충족하는 것입니다.

정도의 기준(즉, 식 (1)과 (2)의 괄호 안의 표현)은 일치하는 경향이 있어야 합니다.
지수(즉, 공식 (1)의 $x$ 또는 공식 (2)의 $\frac(1)(t)$)은 무한대를 향해야 합니다.

두 번째 놀라운 한계는 $1^\infty$의 불확실성을 드러낸다고 합니다. 공식 (1)에서는 우리가 말하는 무한대($+\infty$ 또는 $-\infty$)를 지정하지 않는다는 점에 유의하십시오. 이 경우 모두 공식 (1)이 정확합니다. 공식 (2)에서 변수 $t$는 왼쪽과 오른쪽 모두에서 0이 되는 경향이 있습니다.

나는 두 번째 놀라운 한계로부터도 몇 가지 유용한 결과가 나온다는 점에 주목합니다. 두 번째 놀라운 한계의 사용 예와 그 결과는 표준 표준 계산 및 테스트 컴파일러 사이에서 매우 인기가 있습니다.

예 1

한계 $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$를 계산합니다.

차수(예: $\frac(3x+1)(3x-5)$)의 밑은 1이 되는 경향이 있음을 즉시 알아두세요.

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

이 경우 지수($4x+7$ 표현)는 무한대에 가까워지는 경향이 있습니다. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

정도의 밑은 1이 되는 경향이 있고, 지수는 무한대가 되는 경향이 있습니다. 우리는 불확실성 $1^\infty$을 다루고 있습니다. 이 불확실성을 밝히기 위해 공식을 적용해 보겠습니다. 공식의 거듭제곱의 밑은 $1+\frac(1)(x)$이며, 우리가 고려하고 있는 예에서 거듭제곱의 밑은 $\frac(3x+1)(3x- 5)$. 따라서 첫 번째 작업은 $\frac(3x+1)(3x-5)$ 표현식을 $1+\frac(1)(x)$ 형식으로 공식적으로 조정하는 것입니다. 먼저 하나를 더하고 뺍니다.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

단순히 단위를 추가할 수는 없다는 점에 유의하세요. 강제로 하나를 추가해야 한다면 전체 표현식의 값이 변경되지 않도록 빼는 것도 필요합니다. 솔루션을 계속 진행하려면 다음 사항을 고려합니다.

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

$\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$이므로 다음과 같습니다.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ 왼쪽(1+\frac(6)(3x-5)\오른쪽)^(4x+7) $$

계속해서 조정해 보겠습니다. 공식의 $1+\frac(1)(x)$ 표현식에서 분수의 분자는 1이고, $1+\frac(6)(3x-5)$ 표현식에서 분자는 $6$입니다. 분자에 $1$를 얻으려면 다음 변환을 사용하여 $6$를 분모에 놓습니다.

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

따라서,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) $$

따라서 학위의 기초는 다음과 같습니다. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, 공식에 필요한 $1+\frac(1)(x)$ 형식으로 조정됩니다. 이제 지수 작업을 시작하겠습니다. 공식에서 지수와 분모의 표현식은 동일합니다.

이는 이 예에서는 지수와 분모가 동일한 형식으로 이루어져야 함을 의미합니다. 지수에서 $\frac(3x-5)(6)$ 표현식을 얻으려면 지수에 이 분수를 곱하기만 하면 됩니다. 당연히 이러한 곱셈을 보상하려면 즉시 역분수를 곱해야 합니다. $\frac(6)(3x-5)$로. 그래서 우리는:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

거듭제곱에 위치한 분수 $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$의 극한을 별도로 고려해 보겠습니다.

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. $$

답변: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.

예 4

극한 $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$를 구합니다.

$x>0$에 대해 $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$가 있으므로 다음과 같습니다.

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ 왼쪽(\frac(x+1)(x)\오른쪽)\오른쪽) $$

분수 $\frac(x+1)(x)$를 분수의 합 $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$로 확장하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left (x\cdot\ln\왼쪽(1+\frac(1)(x)\오른쪽)\오른쪽) =\lim_(x\to+\infty)\왼쪽(\ln\왼쪽(\frac(x+1) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$

답변: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

예 5

극한 $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$를 구합니다.

$\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ 및 $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$이면 $1^\infty$ 형식의 불확실성을 처리하게 됩니다. 자세한 설명은 예 2에 나와 있지만 여기서는 제한하겠습니다. 짧은 솔루션. $t=x-2$를 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(정렬)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(정렬)\right| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

$t=\frac(1)(x-2)$를 대체하여 다른 방법으로 이 예를 풀 수 있습니다. 물론 대답은 동일할 것이다:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(정렬)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(정렬)\right| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\오른쪽)^(\frac(t)(3))\오른쪽)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

답변: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

예제 번호 6

극한 $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $를 구합니다.

$\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ 표현식이 $x\to\infty$ 조건에서 어떤 경향이 있는지 알아봅시다.

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

따라서 주어진 극한에서 우리는 $1^\infty$ 형식의 불확실성을 다루고 있으며, 두 번째 놀라운 극한을 사용하여 이를 밝힐 것입니다.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\오른쪽)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\right)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

답변: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

한계는 모든 수학 학생들에게 많은 어려움을 안겨줍니다. 한계를 해결하려면 때로는 많은 트릭을 사용해야 하고 다양한 해결 방법 중에서 특정 예에 적합한 방법을 선택해야 합니다.

이 기사에서는 능력의 한계를 이해하거나 제어의 한계를 이해하는 데 도움을 주지는 않지만 고등 수학의 한계를 이해하는 방법이라는 질문에 답하려고 노력할 것입니다. 이해는 경험과 함께 제공되므로 동시에 몇 가지 정보를 제공하겠습니다. 자세한 예설명과 함께 한계 해결.

수학에서 극한의 개념

첫 번째 질문은 이 한계는 무엇이며, 그 한계는 무엇입니까? 숫자 시퀀스와 함수의 한계에 대해 이야기할 수 있습니다. 우리는 함수의 극한이라는 개념에 관심이 있습니다. 왜냐하면 이것이 학생들이 가장 자주 접하게 되는 것이기 때문입니다. 하지만 먼저 극한의 가장 일반적인 정의는 다음과 같습니다.

변수 값이 있다고 가정해 보겠습니다. 변화하는 과정에서 이 값이 특정 숫자에 무한히 접근하면 에이 , 저것 에이 – 이 값의 한계.

특정 간격으로 정의된 함수의 경우 f(x)=y 그러한 숫자를 한계라고 부릅니다. 에이 , 함수는 다음과 같은 경향이 있습니다. 엑스 , 특정 지점으로 경향 에이 . 점 에이 함수가 정의된 간격에 속합니다.

번거롭게 들리지만 매우 간단하게 작성되었습니다.

임- 영어에서 한계- 한계.

한계를 결정하기 위한 기하학적 설명도 있지만 여기서는 문제의 이론적인 측면보다는 실제적인 측면에 더 관심이 있기 때문에 이론을 자세히 다루지는 않습니다. 우리가 그런 말을 할 때 엑스 어떤 값을 갖는 경향이 있다는 것은 변수가 숫자의 값을 취하지 않고 무한히 가깝게 접근한다는 것을 의미합니다.

구체적인 예를 들어 보겠습니다. 임무는 한계를 찾는 것입니다.

이 예를 해결하기 위해 값을 대체합니다. x=3 함수로. 우리는 다음을 얻습니다:

그런데 행렬의 기본 연산에 관심이 있다면 이 주제에 대한 별도의 기사를 읽어보세요.

예에서 엑스 어떤 가치에도 영향을 미칠 수 있습니다. 임의의 숫자 또는 무한대가 될 수 있습니다. 다음은 다음과 같은 경우의 예입니다. 엑스 무한대로 가는 경향이 있습니다.

직관적으로 분모의 숫자가 클수록 함수가 취하는 값은 작아집니다. 그래서 무한한 성장으로 엑스 의미 1/x 감소하여 0에 가까워집니다.

보시다시피, 한계를 해결하려면 노력하려는 값을 함수에 대입하면 됩니다. 엑스 . 그러나 이것은 가장 간단한 경우입니다. 한계를 찾는 것이 그리 명확하지 않은 경우가 많습니다. 한계 내에는 유형의 불확실성이 있습니다. 0/0 또는 무한대/무한대 . 그러한 경우에는 어떻게 해야 합니까? 트릭을 사용하세요!

내부의 불확실성

무한대/무한대 형태의 불확실성

제한을 두십시오.

함수에 무한대를 대입하려고 하면 분자와 분모 모두 무한대를 얻게 됩니다. 일반적으로 그러한 불확실성을 해결하는 데에는 예술의 특정 요소가 있다고 말할 가치가 있습니다. 불확실성이 사라지는 방식으로 기능을 어떻게 변환할 수 있는지 주목해야 합니다. 우리의 경우에는 분자와 분모를 다음과 같이 나눕니다. 엑스 고위 학위에서. 무슨 일이 일어날까요?

위에서 이미 논의한 예에서 우리는 분모에 x를 포함하는 항이 0이 되는 경향이 있다는 것을 알고 있습니다. 그러면 한계에 대한 해결책은 다음과 같습니다.

유형 불확실성을 해결하려면 무한대/무한대분자와 분모를 다음과 같이 나눕니다. 엑스최고 수준으로.

그런데! 독자들을 위해 지금 10% 할인을 진행하고 있습니다. 어떤 종류의 일이라도

또 다른 유형의 불확실성: 0/0

언제나 그렇듯이 함수에 값을 대입하면 x=-1 준다 0 분자와 분모에. 좀 더 자세히 살펴보면 분자에서 알 수 있습니다. 이차 방정식. 뿌리를 찾아서 다음과 같이 작성해 봅시다.

줄여서 다음을 얻자:

따라서 유형이 확실하지 않은 경우 0/0 – 분자와 분모를 인수분해합니다.

예제를 더 쉽게 풀 수 있도록 일부 기능의 제한 사항이 포함된 표를 제시합니다.

로피탈의 법칙

두 가지 유형의 불확실성을 모두 제거하는 또 다른 강력한 방법입니다. 이 방법의 본질은 무엇입니까?

극한에 불확실성이 있으면 불확실성이 사라질 때까지 분자와 분모를 미분합니다.

로피탈의 법칙은 다음과 같습니다.

중요한 점 : 분자와 분모 대신 분자와 분모의 도함수가 존재해야 하는 한계.

이제 실제 예를 들어보겠습니다.

전형적인 불확실성이 있습니다. 0/0 . 분자와 분모의 미분을 살펴보겠습니다.

짜잔, 불확실성이 빠르고 우아하게 해결되었습니다.

이 정보를 실제로 유용하게 적용하고 "고등 수학에서 한계를 해결하는 방법"이라는 질문에 대한 답을 찾을 수 있기를 바랍니다. 수열의 극한이나 한 지점에서 함수의 극한을 계산해야 하는데 이 작업을 할 시간이 전혀 없다면 전문 학생 서비스에 문의하여 빠르고 자세한 솔루션을 받으세요.

해결책 온라인 기능 제한. 한 지점에서 함수 또는 함수 시퀀스의 극한값을 찾아 계산합니다. 궁극적인무한대에서 함수의 값. 우리의 온라인 서비스 덕분에 숫자 계열의 수렴 여부를 결정하는 것 외에도 훨씬 더 많은 일을 할 수 있습니다. -. 온라인으로 기능 제한을 빠르고 정확하게 찾을 수 있습니다. 귀하는 함수 변수와 그 경향의 한계를 직접 입력하고 당사 서비스는 귀하를 위해 모든 계산을 수행하여 정확하고 간단한 답변을 제공합니다. 그리고 온라인에서 한계 찾기다음과 같이 입력할 수 있습니다. 숫자 시리즈, 리터럴 표현의 상수를 포함하는 분석 함수. 이 경우 함수의 발견된 한계에는 이러한 상수가 표현식의 상수 인수로 포함됩니다. 우리의 서비스는 찾기의 복잡한 문제를 해결합니다 온라인 한도, 함수와 계산이 필요한 지점을 나타내는 것으로 충분합니다. 함수의 한계값. 계산 중 온라인 한도, 다양한 방법과 규칙을 사용하여 문제를 해결하고 결과를 확인할 수 있습니다. 온라인으로 한계를 해결하다작업을 성공적으로 완료하게 될 www.site에서 자신의 실수와 사무 오류를 피할 수 있습니다. 또는 기능의 한계를 독립적으로 계산하는 데 추가 노력과 시간을 들이지 않고도 우리를 완전히 신뢰하고 결과를 작업에 사용할 수 있습니다. 무한대 등의 한계값 입력을 허용합니다. 숫자 시퀀스의 공통 멤버를 입력해야 하며 www.site값을 계산할 것이다 온라인 제한플러스 또는 마이너스 무한대로.

수학적 분석의 기본 개념 중 하나는 기능 제한그리고 시퀀스 제한한 점과 무한대에서 올바르게 풀 수 있는 것이 중요합니다. 제한. 우리의 서비스를 이용하면 어렵지 않을 것입니다. 결정이 내려졌습니다 온라인 한도몇 초 안에 답변이 정확하고 완전해집니다. 수학적 분석에 대한 연구는 다음과 같이 시작됩니다. 한계로의 전환, 제한고등 수학의 거의 모든 영역에서 사용되므로 이러한 작업을 위해 서버를 준비하는 것이 유용합니다. 온라인 한도 솔루션, matematikam.ru입니다.

한계를 찾는 방법을 배우고 싶은 사람들을 위해 이 기사에서 이에 대해 이야기하겠습니다. 우리는 이론을 깊이 파고들지는 않을 것입니다. 교사들은 대개 강의에서 이론을 제시합니다. 그러므로 “지루한 이론”은 노트에 적어두어야 합니다. 그렇지 않은 경우 도서관에서 빌린 교과서를 읽을 수 있습니다. 교육 기관또는 다른 인터넷 리소스에서.

따라서 극한의 개념은 고등 수학 연구에서 매우 중요합니다. 특히 적분을 접하고 극한과 적분 사이의 관계를 이해할 때 더욱 그렇습니다. 현재 자료에서 우리는 고려할 것입니다 간단한 예, 그리고 이를 해결하는 방법.

솔루션의 예

실시예 1
a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $;를 계산합니다. b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
해결책
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ 사람들은 종종 이러한 제한 문제를 해결하는 데 도움을 달라는 요청과 함께 이러한 제한을 보냅니다. 우리는 이를 별도의 예로 강조하고 원칙적으로 이러한 제한을 기억하면 된다는 점을 설명하기로 결정했습니다. 문제를 해결할 수 없다면 저희에게 보내주세요. 상세한 솔루션을 제공해드리겠습니다. 계산 진행 상황과 이득 정보를 볼 수 있습니다. 이것은 당신이 적시에 선생님으로부터 성적을 받는 데 도움이 될 것입니다!
답변
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

형식의 불확실성을 어떻게 처리할 것인가: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

실시예 3
$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ 풀기
해결책
항상 그렇듯이 $ x $ 값을 제한 기호 아래의 표현식으로 대체하는 것부터 시작합니다. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ 이제 다음은 무엇입니까? 결국에는 무슨 일이 일어나야 하는가? 이는 불확실성이므로 아직 답이 아니며 계산을 계속합니다. 분자에 다항식이 있으므로 학교의 모든 사람에게 친숙한 $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ 공식을 사용하여 인수분해하겠습니다. 기억하시나요? 엄청난! 이제 노래와 함께 사용해 보세요 :) 분자 $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ 우리는 위의 변환을 고려하여 계속해서 문제를 해결합니다. $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
답변
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

마지막 두 예의 한계를 무한대로 확장하고 불확실성을 고려해 보겠습니다. $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

실시예 5
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ 계산
해결책
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ 무엇을 해야 할까요? 어떻게 해야 하나요? 당황하지 마십시오. 불가능이 가능하기 때문입니다. 분자와 분모 모두에서 x를 빼낸 다음 줄여야 합니다. 그런 다음 한도를 계산해 보세요. 시도해 보자... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ 예제 2의 정의를 사용하고 x를 무한대로 대체하면 다음을 얻습니다. $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
답변
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

한계 계산 알고리즘

이제 예제를 간략하게 요약하고 한계를 해결하기 위한 알고리즘을 만들어 보겠습니다.

극한 기호 다음의 식에 점 x를 대입합니다. 특정 수나 무한대를 얻으면 극한이 완전히 해결됩니다. 그렇지 않으면 "0을 0으로 나눈다" 또는 "무한대를 무한대로 나눈다"라는 불확실성이 발생하고 지침의 다음 단계로 넘어갑니다.
"0을 0으로 나눈 값"의 불확실성을 제거하려면 분자와 분모를 인수분해해야 합니다. 비슷한 것을 줄이세요. 극한 기호 아래의 식에 점 x를 대입합니다.
불확실성이 "무한대 나누기 무한대"인 경우 분자와 분모 x를 모두 최대로 빼냅니다. X를 줄여보겠습니다. 한계 이하의 x 값을 나머지 표현식에 대체합니다.

이 기사에서는 미적분학 과정에서 자주 사용되는 극한 해결의 기본 사항을 배웠습니다. 물론 이는 시험관이 제시하는 모든 유형의 문제가 아니라 가장 단순한 한계일 뿐입니다. 향후 기사에서 다른 유형의 과제에 대해 이야기하겠지만, 앞으로 나아가려면 먼저 이 교훈을 배워야 합니다. 근, 차수가 있으면 어떻게 해야 하는지 토론하고, 극소 등가 함수, 놀라운 극한, 로피탈의 법칙을 연구해 봅시다.

한계를 스스로 파악할 수 없더라도 당황하지 마십시오. 우리는 항상 기꺼이 도와드리겠습니다!

한도란 무엇입니까? 한계 개념

예외없이 모든 사람은 영혼 깊은 곳 어딘가에서 한계가 무엇인지 이해하지만 "기능의 한계"또는 "순서의 한계"를 듣 자마자 약간의 혼란이 발생합니다.

두려워하지 마십시오. 그것은 단지 무지일 뿐입니다! 다음 내용을 3분 동안 읽고 나면, 당신은 글을 더 잘 읽을 수 있게 될 것입니다.

제한적인 입장, 의미, 상황에 대해 이야기할 때, 그리고 일반적으로 삶의 한계라는 용어에 의지할 때 그들이 의미하는 바를 단번에 이해하는 것이 중요합니다.

어른들은 이를 직관적으로 이해하고 있으며, 몇 가지 예를 들어 분석해 보겠습니다.

예시 1

그룹 "Chaif"의 노래에 나오는 대사를 기억해 봅시다. "... 한계에 도달하지 마세요, 한계에 도달하지 마세요...".

예시 2

확실히 당신은 우주에서 물체의 매우 안정적인 위치에 대한 문구를 들어보셨을 것입니다.

당신은 가까이에 있는 것들로 그러한 상황을 쉽게 시뮬레이션할 수 있습니다.

예를 들어, 플라스틱 병을 살짝 기울여서 놓으십시오. 다시 바닥으로 돌아가게 됩니다.

그러나 단순히 넘어질 수 있는 극단적인 경사 위치가 있습니다.

다시 말하지만, 이 경우 제한 위치는 구체적입니다. 이것을 이해하는 것이 중요합니다.

한계라는 용어를 사용하는 예는 인간 능력의 한계, 재료의 강도 한계 등 다양합니다.

글쎄, 우리는 매일 불법을 다루고 있습니다)))

그러나 이제 우리는 수학에서 수열의 극한과 함수의 극한에 관심이 있습니다.

수학에서 수열의 한계

(수열의) 극한은 수학적 분석의 기본 개념 중 하나입니다. 현대 과학을 정의하는 수백 가지의 정리는 한계까지의 통과 개념에 기초합니다.

명확성을 위한 구체적인 예입니다.

1, ½, ¼, ...부터 시작하여 각각 이전 숫자의 절반 크기인 무한한 숫자 시퀀스가 있다고 가정해 보겠습니다.

따라서 숫자 시퀀스의 한계(존재하는 경우)는 특정 값입니다.

반으로 나누는 과정에서 시퀀스의 각 후속 값은 특정 숫자에 무기한 접근합니다.

0이 될 것이라고 추측하기 쉽습니다.

중요한!

한계(한계 값)의 존재에 관해 이야기할 때 이는 시퀀스의 일부 구성원이 이 한계 값과 동일하다는 의미는 아닙니다. 그는 단지 그것을 위해 노력할 수 있습니다.

우리의 예에서 이것은 분명합니다. 1을 2로 몇 번이나 나누어도 결코 0이 나오지 않습니다. 이전 숫자보다 두 배 작은 숫자만 있을 뿐 0은 아닙니다!

수학에서 함수의 한계

수학적 분석에서 가장 중요한 것은 함수의 극한 개념입니다.

이론을 탐구하지 않고 다음과 같이 가정해 보겠습니다. 함수의 제한 값이 항상 함수 자체의 값 범위에 속하지 않을 수도 있습니다.

인수가 변경되면 함수는 어떤 값을 얻으려고 노력하지만 결코 값을 얻지 못할 수도 있습니다.

예를 들어, 과장법 1/x어떤 지점에서도 0의 값은 없지만, 무한대로 0이 되는 경향이 있습니다. 엑스무한대로.

한도 계산기

우리의 목표는 여러분에게 이론적 지식을 제공하는 것이 아닙니다. 이에 대한 똑똑하고 두꺼운 책이 많이 있습니다.

하지만 우리는 당신이 사용하는 것이 좋습니다 온라인 계산기당신의 해법을 정답과 비교할 수 있는 한계.

또한 계산기는 한 점이나 특정 세그먼트에서 연속되는 함수의 분자와 분모의 미분을 사용하여 L'Hopital의 법칙을 적용하는 등 한계에 대한 단계별 솔루션을 제공합니다.