1차 미분의 기하학적, 기계적 의미. 파생 상품의 기계적 의미 2차 파생 상품의 물리적 또는 기계적 의미

지시 카드 No.20

Takyryby/주제: « 2차 도함수와 그 물리적 의미».

막사티/ 목적:

접선의 방정식과 OX 축에 대한 접선의 경사각의 접선을 찾을 수 있습니다. 가속도뿐만 아니라 함수의 변화율도 찾을 수 있습니다.

연구한 사실과 개념을 비교하고 분류하는 기술 형성을 위한 조건을 만듭니다.

접선 방정식을 찾는 것뿐만 아니라 함수 및 가속도의 변화율을 찾는 데 있어서 최종 결과를 달성하기 위한 교육 작업, 의지 및 인내에 대한 책임감 있는 태도를 육성합니다.

이론 자료:

(기하학적 의미 도출)

함수 그래프의 접선 방정식은 다음과 같습니다.

예시 1: 외설이 있는 점 2에서 함수의 그래프에 대한 접선의 방정식을 찾아보자.

답: y = 4x-7

가로 좌표 x o가 있는 지점에서 함수 그래프에 대한 접선의 각도 계수 k는 f / (x o) (k= f / (x o))와 같습니다. 주어진 지점에서 함수 그래프에 대한 접선의 경사각은 다음과 같습니다.

arctg k = arctg f / (x o), 즉 k= f / (xo)= tg

예 2: 사인파는 어떤 각도에 있습니까? 원점에서 x축과 교차합니까?

주어진 함수의 그래프가 x축과 교차하는 각도는 이 지점에서 함수 f(x)의 그래프에 그려진 접선의 기울기 a와 같습니다. 도함수를 찾아봅시다: 도함수의 기하학적 의미를 고려하면 다음과 같습니다. 그리고 a = 60°입니다. 답: =60 0 .

함수가 정의 영역의 모든 지점에서 도함수를 갖는 경우 해당 도함수는 의 함수입니다. 함수는 차례로 파생물을 가질 수 있습니다. 2차 미분기능(또는 2차 미분) 기호로 표시됩니다.

예시 3: 함수의 2차 도함수를 구합니다: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

먼저, 이 함수 f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)'=3x 2 -8x+2의 1차 도함수를 구해 보겠습니다.

그런 다음, 얻은 1차 도함수의 2차 도함수를 찾습니다.

f""x)=(3x 2 -8x+2)''=6x-8. 답: f""x) = 6x-8.

(2차 미분의 기계적 의미)

점이 직선으로 움직이고 그 운동 법칙이 주어지면 점의 가속도는 시간에 대한 경로의 2차 도함수와 같습니다.

물질 몸체의 속도는 경로의 1차 미분과 동일합니다. 즉,

물질 몸체의 가속도는 속도의 1차 미분과 동일합니다. 즉,

예시 4: 몸은 s(t) = 3 + 2t + t 2(m) 법칙에 따라 직선으로 움직입니다. 시간 t = 3초에서의 속도와 가속도를 결정합니다. (거리는 미터, 시간은 초 단위로 측정됩니다.)
해결책
V (티) = 에스 (티) =(3+2t+t 2)'= 2 + 2t
ㅏ (티) = V (티) =(2+2t)'= 2 (m/s 2)
V(3) = 2 + 2∙3 = 8(m/s). 답: 8m/s; 2m/초 2 .

실용적인 부분:

옵션 1개	옵션 2	옵션 3	옵션 4	옵션 5
주어진 점 M을 통과하는 접선의 x축에 대한 경사각의 접선을 구합니다. 함수 그래프 f.
f(x)=x 2 , M(-3;9)	f(x)=x 3 , M(-1;-1)
가로좌표가 x 0인 점에서 함수 f의 그래프에 대한 접선 방정식을 작성하십시오.
에프(엑스)=엑스 3 -1, 엑스 0 =2	에프(엑스)=엑스 2 +1, 엑스 0 =1	f(x)= 2x-x 2, x 0 = -1	f(x)=3sinx, x 0 =	에프(엑스)= x 0 = -1
가로좌표 x 0이 있는 점에서 함수 f에 대한 접선의 기울기를 구합니다.
함수의 2차 도함수를 구합니다:
			f(x)= 2cosx-x 2	에프(엑스)= -2sinx+x 3
신체는 x(t) 법칙에 따라 직선으로 움직입니다. 현재 속도와 가속도를 결정합니다. 시간 t. (변위는 미터, 시간은 초 단위로 측정됩니다.)
x(티)=티2-3티,티=4	x(티)=티 3 +2티, 티=1	x(티)=2티 3 -티 2 , 티=3	x(티)=티 3 -2티 2 +1,티=2	x(t)=t 4 -0.5t 2 =2, t=0.5

제어 질문:

미분의 물리적 의미는 무엇이라고 생각하시나요? 순간 속도인가요 아니면 평균 속도인가요?

임의의 점을 통해 함수 그래프에 그려지는 접선과 도함수의 개념 사이에는 어떤 연관성이 있습니까?

점 M(x 0 ;f(x 0))에서 함수 그래프에 대한 접선의 정의는 무엇입니까?

2차 미분의 기계적 의미는 무엇입니까?

유도체(특정 지점에서의 함수) - (주어진 지점에서) 함수의 변화율을 특성화하는 미분 계산의 기본 개념입니다. 이는 인수의 증가가 0이 되는 경향이 있는 경우 함수의 인수 증가에 대한 함수 증가 비율의 한계로 정의됩니다(해당 한계가 존재하는 경우). (특정 지점에서) 유한 도함수를 갖는 함수를 (그 지점에서) 미분 가능이라고 합니다.

유도체. 몇 가지 기능을 고려해 봅시다 와이 = 에프 (엑스 ) 두 지점에서 엑스 0과 엑스 0 + : 에프 (엑스 0) 그리고 에프 (엑스 0 +). 여기서 through는 인수의 작은 변화를 나타냅니다. 인수 증가; 따라서 두 함수 값의 차이는 다음과 같습니다. 에프 (엑스 0 + )  에프 (엑스 0 ) 라고 한다 기능 증가.유도체기능 와이 = 에프 (엑스 ) 시점에서 엑스 0 호출된 한계:

이 한계가 존재하면 함수는 에프 (엑스 ) 라고 한다 미분가능한그 시점에 엑스 0 . 함수의 파생 에프 (엑스 )은 다음과 같이 표시됩니다.

파생어의 기하학적 의미. 함수의 그래프를 고려하십시오 와이 = 에프 (엑스 ):

그림 1에서 함수 그래프의 두 점 A와 B에 대해 다음이 분명합니다.

시컨트 AB의 경사각은 어디에 있습니까?

따라서 차이 비율은 시컨트의 기울기와 같습니다. 점 A를 고정하고 점 B를 그쪽으로 이동하면 무한히 감소하여 0에 접근하고 시컨트 AB는 접선 AC에 접근합니다. 따라서 차이 비율의 극한은 점 A에서의 접선의 기울기와 같습니다. 다음과 같습니다. 한 점에서 함수의 도함수는 해당 점에서 이 함수의 그래프에 대한 접선의 기울기입니다.이것이 바로 기하학적 의미 유도체.

탄젠트 방정식. 점 A에서 함수 그래프에 대한 접선 방정식을 유도해 보겠습니다. 엑스 0 , 에프 (엑스 0 )). 일반적으로 기울기 계수를 갖는 직선의 방정식은 에프 ’(엑스 0 ) 형식은 다음과 같습니다.

와이 = 에프 ’(엑스 0 ) · x + 비 .

찾다 비, 접선이 점 A를 통과한다는 사실을 활용해 보겠습니다.

에프 (엑스 0 ) = 에프 ’(엑스 0 ) · 엑스 0 + 비 ,

여기에서, 비 = 에프 (엑스 0 ) – 에프 ’(엑스 0 ) · 엑스 0 , 대신 이 표현식을 대체합니다. 비, 우리는 얻을 것이다 접선 방정식:

와이 =에프 (엑스 0 ) + 에프 ’(엑스 0 ) · ( 엑스 – 엑스 0 ) .

파생어의 기계적 의미. 가장 간단한 경우를 고려해 보겠습니다. 좌표축을 따라 재료 점을 이동하고 운동 법칙이 제공됩니다. 엑스이동점 - 알려진 기능 엑스 (티) 시간 티. 에서 시간 간격 동안 티 0 ~ 티 0 + 점이 일정 거리만큼 이동합니다. 엑스 (티 0 + )  엑스 (티 0) = , 그리고 그녀 평균 속도 동일하다: V ㅏ =  . 0에서 평균 속도는 특정 값에 가까워지는 경향이 있습니다. 순간 속도 V ( 티 0 ) 중요한 시점 티 0 . 그러나 파생상품의 정의에 따르면 다음과 같습니다.

여기에서, V (티 0 ) = x' (티 0 ) , 즉. 속도는 좌표의 미분이다 에 의해 시간. 이것이 바로 기계적 감각유도체 . 비슷하게, 가속도는 시간에 대한 속도의 미분입니다.: ㅏ = V' (티).

8. 파생상품 및 미분규칙 표

우리는 "미분의 기하학적 의미"라는 기사에서 미분이 무엇인지에 대해 이야기했습니다. 함수가 그래프로 주어지면 각 점에서의 함수의 도함수는 함수 그래프에 대한 접선의 접선과 같습니다. 그리고 함수가 공식으로 주어지면 도함수 표와 미분 규칙, 즉 도함수를 찾는 규칙이 도움이 될 것입니다.

평면에 물질적인 점을 부여해보자. 좌표축을 따라 이동하는 법칙은 $ x(t) $ 법칙으로 설명됩니다. 여기서 $ t $는 시간을 지정합니다. 그런 다음 $ t_0 $에서 $ t_0 + \Delta t $까지의 시간 동안 점은 $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $ 경로를 통과합니다. 그것은 밝혀졌다 평균 속도이러한 점은 다음 공식으로 구합니다: $$ v_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) $$

$ \Delta t $가 0이 되는 경향이 있으면 평균 속도 값은 다음과 같은 값이 되는 경향이 있습니다. 순간 속도$t_0$ 지점에서:

$$ \lim_(\Delta t \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

극한을 통해 미분을 정의함으로써 우리는 재료 점 경로의 속도와 운동 법칙 사이의 연결을 얻습니다.

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

솔루션의 예

실시예 1

$ t_0 = 1 $, $ x(t) = t^2+3t-1 $ 법칙에 따라 이동하는 시간 $ t_0 = 1 $에서 물질 지점의 순간 속도를 계산합니다.

해결책

미분의 기계적 의미를 정의함으로써 우리는 물질점의 속도 법칙을 얻습니다. $$ v(t) = x"(t) = (t^2+3t-1)" = 2t + 3 $$ 문제 조건으로부터 $t_0 = 1 $의 순간을 알면 이 순간의 속도를 알 수 있습니다. $$ v(t_0) = 2\cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$ 우리는 $ t_0 = 1 $ 순간의 지점의 순간 속도가 $ v = 5 $와 같다는 것을 발견했습니다. 문제를 해결할 수 없다면 저희에게 보내주세요. 상세한 솔루션을 제공해드리겠습니다. 계산 진행 상황과 이득 정보를 볼 수 있습니다. 이렇게 하면 적시에 선생님으로부터 성적을 받는 데 도움이 될 것입니다!

답변

$$ v(t_0) = 5 $$

실시예 2

물질점의 운동은 $ x(t)=t^2-t+3 $ 법칙에 의해 주어진다. $ t_0 $ 이 지점의 속도가 0이 되는 시점을 찾아보세요.

해결책

속도는 운동 경로 법칙의 파생물이므로:

파생어의 기계적 의미

미분의 기계적 해석은 I. Newton에 의해 처음으로 제공되었습니다. 그것은 다음과 같습니다: 주어진 순간에 물질 지점의 이동 속도는 시간에 대한 경로의 미분과 같습니다. 따라서 물질 점의 운동 법칙이 방정식으로 주어지면 특정 순간에 점의 순간 속도를 찾으려면 도함수를 찾아 해당 값 t를 여기에 대체해야 합니다.

2차 미분과 그 기계적 의미

우리는 다음을 얻습니다(교과서 Lisichkin V.T. Soloveichik I.L. "mathematics" p. 240에서 수행된 방정식).

따라서, 주어진 순간에 신체의 직선 운동의 가속도는 주어진 순간에 대해 계산된 시간에 대한 경로의 2차 도함수와 같습니다.이것이 2차 미분의 기계적 의미입니다.

미분의 정의와 기하학적 의미

정의 4.함수 증분의 주요 부분은 함수 증분에 대해 선형이고 독립 변수의 증분에 대해 선형입니다. 미분함수는 d로 표시됩니다. 즉 .

함수의 미분은 x와 τx의 주어진 값에 대해 점 M(x;y)에 그려진 접선의 세로좌표의 증분으로 기하학적으로 표현됩니다.

계산 미분 - .

대략적인 계산에 미분 적용 - , 함수 증분의 대략적인 값은 미분과 일치합니다.

정리 1.주어진 구간에서 미분 가능 함수가 증가(감소)하면 이 구간에서 이 함수의 도함수는 음수가 아닙니다(양수가 아님).

정리 2.미분 함수의 경우 특정 간격에서 양수(음수)이면 이 간격의 함수는 단조 증가합니다(단조 감소).

이제 함수의 단조성 구간을 찾는 규칙을 공식화해 보겠습니다.

1. 이 함수의 미분을 계산합니다.

2. 0이 되거나 존재하지 않는 지점을 찾아보세요. 이러한 점을 호출합니다. 비판적인기능을 위해

3. 발견된 점을 사용하여 함수 정의 영역을 간격으로 나누고 각 간격에서 도함수는 해당 부호를 유지합니다. 이러한 간격은 단조성 간격입니다.

4. 발견된 각 간격의 부호를 조사합니다. 고려 중인 간격에 있는 경우 이 간격에서 증가합니다. 그렇다면 그러한 간격으로 감소합니다.

문제의 조건에 따라 단조성 구간을 찾는 규칙이 단순화될 수 있습니다.

정의 5.점 근처의 임의의 x에 대해 불평등이 유지되는 경우 점을 함수의 최대(최소) 점이라고 합니다.

가 함수의 최대(최소) 지점이라면 그들은 다음과 같이 말합니다. (최저한의)그 시점에. 최대 및 최소 기능은 이름을 결합합니다. 극한의함수와 최대 및 최소 지점이 호출됩니다. 극한점(극점).

정리 3.(극한의 필수 신호). 가 함수의 극점이고 도함수가 이 지점에 존재하면 0과 같습니다.

정리 4.(극값의 충분한 신호). x가 a를 통과할 때 도함수의 부호가 변경되면 a는 함수의 극점입니다.

파생 연구의 핵심 사항:

1. 파생상품을 찾아보세요.

2. 함수 정의 영역에서 모든 중요한 지점을 찾습니다.

3. 임계점을 통과할 때 함수의 미분 부호를 설정하고 극점을 기록합니다.

4. 각 극단점에서의 함수값을 계산합니다.

소재를 포인트로 삼으세요 중법에 따라 직선으로 움직인다 S = f(티).이미 알려진 바와 같이 파생상품은 성 '주어진 시간에 지점의 속도와 동일합니다. S t '= V.

잠시 시간을내어 보자 티점의 속도는 V와 같고 현재 t +Dt -속도는 V+DV, 즉 일정 기간 동안 Dt양에 따라 속도가 변경됨 D.V..

비율은 시간 경과에 따른 지점 이동의 평균 가속도를 나타냅니다. Dt. 이 비율의 한계는 Dt®0점의 가속도라고 한다 중현재 티그리고 문자로 지정됩니다 ㅏ: 그래서, 시간에 대한 경로의 2차 도함수는 점의 직선 운동 가속도의 크기입니다.즉. .

고차 미분

허락하다 y=f(x)미분 함수와 그 인수 엑스- 독립 변수. 그러면 첫 번째 미분도 함수입니다. 엑스, 이 함수의 미분을 찾을 수 있습니다.

함수의 미분의 미분은 2차 미분(또는 2차 미분)이라고 하며 다음과 같이 표시됩니다.

주어진 함수의 2차 미분은 독립 변수의 미분의 제곱을 곱한 이 함수의 2차 곱과 같습니다. .

미분학의 응용

함수가 호출됩니다. 증가 (감소)) 간격으로 ( ㅏ; 비), 두 점이 있다면x 1 그리고x 2 부등식을 만족하는 지정된 구간에서 부등식이 충족됩니다. ().

증가(감소)의 필요조건: 간격으로 미분할 함수가 있는 경우 ( 가, 비) 증가(감소)하면 이 함수의 도함수는 이 구간에서 음수가 아닙니다(양수가 아님).() .

증가(감소)하기 위한 충분 조건:미분 가능 함수의 도함수가 특정 구간 내에서 양수(음수)이면 이 구간에 걸쳐 함수가 증가(감소)합니다.

기능 에프엑스(f(x))그 시점에 x 1그것은 가지고있다 최고, 만약 있다면 엑스 에프(엑스1)>에프(엑스), 에 엑스 ¹x 1 .

기능 에프엑스(f(x))그 시점에 x 1그것은 가지고있다 최저한의, 만약 있다면 엑스해당 지점의 일부 지역에서는 다음과 같은 불평등이 유지됩니다. 에프(x 1) , 에 엑스 ¹x 1 .

극값의 개념은 점 x 1의 충분히 작은 이웃에만 연관되어 있기 때문에 함수의 극값을 국소 극값이라고 합니다. 따라서 한 간격에서 함수는 여러 극값을 가질 수 있으며 한 지점의 최소값이 다른 지점의 최대값보다 클 수 있습니다. 구간의 특정 지점에 최대값이나 최소값이 존재한다고 해서 이 시점에서 함수가 다음과 같다는 의미는 아닙니다. 에프엑스(f(x)) 이 구간에서 가장 큰 값이나 가장 작은 값을 취합니다.

극값의 필요 조건: 미분 함수의 극점에서 그 도함수는 0과 같습니다.

극값에 대한 충분 조건: 어떤 점 x 0에서 미분 가능 함수의 도함수가 0과 같고 이 값을 통과할 때 부호가 변경되면 숫자 f(x 0)는 함수의 극값입니다. 부호는 플러스에서 마이너스로 바뀌고, 마이너스에서 플러스로 바뀌면 최대값이 되고, 그 다음에는 최소값이 됩니다.

연속 함수의 도함수가 0이 되거나 존재하지 않는 지점을 임계점이라고 합니다.

극값에 대한 함수를 조사한다는 것은 모든 극값을 찾는 것을 의미합니다. 극값에 대한 함수를 연구하기 위한 규칙:

1). 함수의 임계점 찾기 y = f(x)그리고 그 중에서 함수 정의 영역의 내부 지점인 것만 선택합니다.

2). 파생상품의 부호를 조사하세요 에프"(엑스)선택된 각 임계점의 왼쪽과 오른쪽에 있습니다.

삼). 극값에 대한 충분 조건을 기반으로 극값 지점(있는 경우)을 기록하고 그 지점에서 함수 값을 계산합니다.

찾기 위해서는 최고값과 최저값세그먼트에서 기능을 수행하려면 여러 단계를 수행해야 합니다.

1). 방정식 f'(x)=0을 풀어 함수의 임계 전류를 구합니다.

2). 임계점이 세그먼트에 속하면 임계점과 구간 경계에서 값을 찾아야 합니다. 임계점이 세그먼트에 속하지 않거나 존재하지 않으면 함수 값은 세그먼트 경계에서만 발견됩니다.

삼). 얻은 함수 값에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택하고 예를 들어 다음 형식으로 답을 작성합니다. ; .

문제 해결

예제 2.1. 함수의 미분을 구합니다: .

해결책.함수 미분의 속성 2와 미분의 정의를 바탕으로 다음을 얻습니다.

예제 2.2. 함수의 미분을 구합니다:

해결책. 함수는 다음과 같이 작성할 수 있습니다: , . 그런 다음 우리는 다음을 가집니다:

예제 2.3. 함수의 2차 도함수를 구합니다:

해결책. 함수를 변형해 보겠습니다.

첫 번째 도함수를 찾아봅시다:

2차 도함수를 구해 봅시다:

.

예제 2.4. 함수의 2차 미분을 구합니다. .

해결책.계산식을 기반으로 2차 미분을 찾아보겠습니다.

먼저 첫 번째 도함수를 찾아보겠습니다.

; 2차 도함수를 찾아봅시다: .

예제 2.5. 가로좌표가 있는 점에 그려진 곡선에 대한 접선의 각도계수를 구합니다. x=2 .

해결책. 도함수의 기하학적 의미를 바탕으로 기울기는 가로좌표가 다음과 같은 지점에서 함수의 도함수와 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 엑스 . 우리는 찾을 것이다 .

함수 그래프에 대한 접선의 각도 계수를 계산해 봅시다.

예제 2.6. 특정 시점의 박테리아 개체수 티 (티시간 단위로 측정됨) 합계 개인. 박테리아의 성장 속도를 찾으십시오. 특정 시간에 박테리아의 성장률을 구합니다. 티=5시간.

해결책.박테리아 개체군의 성장률은 시간에 대한 1차 미분입니다. 티: .

만약에 티=5시간, 그럼 . 따라서 박테리아의 성장률은 시간당 1000 개체가 됩니다.

예제 2.7. 투여된 약물에 대한 신체의 반응은 혈압 증가, 체온 감소, 심박수 변화 또는 기타 생리학적 지표로 표현될 수 있습니다. 반응 정도는 처방된 약물 용량에 따라 다릅니다. 만약에 엑스처방된 약의 용량과 반응 정도를 나타냅니다. ~에함수로 설명 . 어떤 가치로 엑스반응이 최대인가요?

해결책. 파생상품을 찾아보자 .

중요한 점을 찾아봅시다: ⇒ . ⇒ 결과적으로 우리에게는 두 가지 중요한 점이 있습니다. . 값이 작업 조건을 충족하지 않습니다.

2차 도함수를 구해보자 . 의 2차 도함수 값을 계산해 보겠습니다. . 이는 최대 반응을 제공하는 용량 수준을 의미합니다.

자가 해결의 예

함수의 미분을 구합니다:

1. .

2. .

3. .

4.

다음 함수의 2차 도함수를 구합니다.

6. .

2차 도함수를 구하고 다음 함수에 대한 2차 미분을 작성합니다.

9. .

11. 극값에 대한 함수를 조사합니다.

12. 함수의 최대값과 최소값 찾기 세그먼트에.

13. 함수의 증가 및 감소 간격, 최대 및 최소점, 축과의 교차점을 찾습니다.

14. 점의 운동 법칙은 다음과 같은 형식을 갖습니다. . 이 지점의 속도와 가속도 법칙을 결정하십시오.

15. 점의 운동방정식은 (m)의 형태를 갖는다. 1) 시간 s와 s에서 점의 위치를 ​​찾으십시오. 2) 이 시점 사이에 경과된 시간에 대한 평균 속도; 3) 특정 시간에서의 순간 속도; 4) 특정 기간 동안의 평균 가속도; 5) 특정 시간에 순간 가속.

숙제.

관행:

함수의 미분을 구합니다:

1. ;

2. ;

함수의 2차 도함수를 찾습니다.

4.

5.

2차 미분 찾기

6. .

7. 점은 법칙에 따라 직선으로 움직인다. 시간과 의 속도와 가속도를 계산합니다.

증가 및 감소 함수의 간격을 찾습니다.

9. .

10. 포도당을 주입할 때 인간의 혈액 내 함량을 적절한 단위로 표현합니다. 티시간은 . a)에서 혈당의 변화율을 구하십시오. 티 =1시간; 비) 티 =2시간.

이론.

1. “여러 인수의 함수의 미분과 미분”이라는 주제로 강의합니다. 여러 논증의 미분 함수 적용."

2. 본 매뉴얼의 3과.

3. Pavlushkov I.V. 기타 pp. 101-113, 118-121.

Lesson 3. 여러 인수의 함수의 도함수와 미분

주제의 관련성: 많은 물리적, 생물학적, 화학적 현상은 하나가 아닌 여러 변수(요인)에 의존하는 특징이 있기 때문에 이 수학 섹션은 여러 응용 문제를 해결하는 데 널리 사용됩니다.

수업 목적: 여러 변수의 함수의 편미분과 미분을 찾는 방법을 배웁니다.

대상 작업:

알아두세요: 두 변수의 함수 개념; 두 변수의 함수의 편미분 개념; 여러 변수의 함수에 대한 완전미분과 부분미분의 개념;

할 수 있습니다: 여러 변수의 함수의 미분과 미분을 찾습니다.

이론 과정의 간략한 정보

기본 개념

어떤 규칙이나 법칙에 따라 일부 값 쌍에 특정 값 z가 할당되면 변수 z를 두 인수 x와 y의 함수라고 합니다. 두 인수의 함수는 로 표시됩니다.

이 함수는 공간의 직교 좌표계의 표면으로 지정됩니다. 두 변수의 함수 그래프는 3차원 공간 x의 점 집합입니다.

작품이라고 합니다 편미분함수 z=f(x,y)by 엑스지정되어 있습니다.

완전 차동 기능

함수의 미분은 이 함수의 부분 도함수와 해당 독립 변수의 증분의 곱의 합입니다. . 왜냐하면 그리고 그런 다음 다음과 같이 작성할 수 있습니다. 또는 .