단순화된 곱셈 공식. 예제가 포함된 약식 곱셈 공식

약식 곱셈 공식.

약식 곱셈 공식 연구: 두 표현의 합의 제곱과 차이의 제곱; 두 표현의 제곱의 차이; 두 표현의 합의 세제곱과 차이의 세제곱; 두 표현의 세제곱의 합과 차이.

예제를 풀 때 축약된 곱셈 공식을 적용합니다.

표현식을 단순화하려면 다항식을 인수분해하고 다항식을 다음으로 줄이세요. 표준보기약식 곱셈 공식이 사용됩니다. 축약된 곱셈 공식은 암기해야 합니다..

a, b R을 지정합니다. 그런 다음:

1. 두 표현식의 합의 제곱은 다음과 같습니다.첫 번째 식의 제곱에 첫 번째 식의 곱의 두 배를 더하고 두 번째 식에 두 번째 식의 제곱을 더한 것입니다.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. 두 표현의 차이의 제곱은 다음과 같습니다.첫 번째 식의 제곱에서 첫 번째 식의 곱의 두 배를 뺀 값과 두 번째 식의 제곱에 두 번째 식의 제곱을 더한 값입니다.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. 제곱의 차이두 표현식은 이러한 표현식의 차이와 그 합을 곱한 것과 같습니다.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. 합계의 큐브두 표현식은 첫 번째 표현식의 세제곱에 첫 번째 표현식의 제곱의 곱을 더한 것과 같고 두 번째 표현식에 첫 번째 표현식의 곱의 세 배를 더한 것과 두 번째 표현식의 제곱에 두 번째 표현식의 세제곱을 더한 것과 같습니다.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. 차이 큐브두 수식은 첫 번째 수식의 세제곱에서 첫 번째 수식의 제곱의 곱을 뺀 것과 같고, 두 번째 수식에 첫 번째 수식의 곱의 세 배를 더한 것과 두 번째 수식의 제곱에서 두 번째 수식의 세제곱을 뺀 것과 같습니다.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. 큐브의 합두 표현식은 첫 번째와 두 번째 표현식의 합과 이들 표현식의 차이의 불완전 제곱을 곱한 것과 같습니다.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. 큐브의 차이두 표현식은 첫 번째 표현식과 두 번째 표현식의 차이를 이들 표현식 합의 불완전 제곱으로 곱한 것과 같습니다.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

예제를 풀 때 축약된 곱셈 공식을 적용합니다.

예시 1.

믿다

a) 두 표현식의 합의 제곱에 대한 공식을 사용하면 다음과 같습니다.

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) 두 표현의 차이의 제곱에 대한 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

예시 2.

믿다

두 표현식의 제곱의 차이에 대한 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

예시 3.

표현식 단순화

(x - y) 2 + (x + y) 2

두 표현식의 합의 제곱과 차이의 제곱에 대한 공식을 사용합시다

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

한 테이블에 축약된 곱셈 공식이 있습니다:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

언제 등 아래에서는 가장 널리 사용되는 공식을 살펴보고 그 공식을 얻는 방법을 분석해 보겠습니다.

합의 제곱

다음과 같이 두 단항식의 합을 제곱해 보겠습니다: \((a+b)^2\). 제곱은 숫자 또는 표현식 자체의 곱셈입니다. 즉, \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\)입니다. 이제 우리는 단순히 괄호를 열고 우리가 했던 것처럼 곱하고 비슷한 용어를 가져올 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

그리고 중간 계산을 생략하고 초기 및 최종 표현식만 작성하면 최종 공식을 얻습니다.

제곱합:\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

대부분의 학생들은 그것을 마음으로 배웁니다. 이제 여러분은 이 공식을 도출하는 방법을 알았고, 갑자기 잊어버리더라도 언제든지 할 수 있습니다.
좋아요, 그런데 그것을 사용하는 방법과 이 공식이 왜 필요한가요? 합의 제곱을 사용하면 두 항의 합을 제곱한 결과를 빠르게 작성할 수 있습니다. 예를 살펴보겠습니다.

예 . 괄호 확장: \((x+5)^2\)
해결책 :

두 번째 경우에서 얼마나 더 빠르고 더 적은 노력으로 결과를 얻을 수 있는지 확인하십시오. 그리고 이 공식과 다른 공식을 자동화 수준까지 익히면 훨씬 더 빨라질 것입니다. 간단히 답을 바로 작성할 수 있습니다. 이것이 바로 REDUCED 곱셈 공식이라고 불리는 이유입니다. 따라서 이를 알고 적용하는 방법을 배우는 것은 확실히 그만한 가치가 있습니다.

혹시라도 우리는 다음과 같이 참고합니다. \(에이\)그리고 \(비\)어떤 표현이든 있을 수 있습니다. 원칙은 동일하게 유지됩니다. 예를 들어:

마지막 두 예의 일부 변환이 갑자기 이해되지 않으면 주제를 반복하십시오.

예 . \((1+5x)^2-12x-1 \) 표현식을 표준 형식으로 변환합니다.

해결책 :

답변: \(25x^2-2x\).

중요한!"정방향" 방향뿐만 아니라 "역방향" 방향으로도 수식을 사용하는 방법을 배워야 합니다.

예 . 계산기 없이 식 \((368)^2+2·368·132+(132)^2\)의 값을 계산합니다.

해결책 :

답변: \(250 000\).

제곱 차이

위에서 우리는 단항식의 합에 대한 공식을 찾았습니다. 이제 차이, 즉 \((a-b)^2\)에 대한 공식을 찾아보겠습니다.

보다 간결한 형태로 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

제곱 차이: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

이전과 같은 방식으로 사용됩니다.

예 . \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) 표현식을 단순화하고 \(a=\frac(17)(8)\)에서 해당 값을 찾습니다.

해결책 :

답변: \(8\).

제곱의 차이

그래서 우리는 플러스가 포함된 두 개의 괄호와 마이너스가 포함된 두 개의 괄호의 곱의 상황을 다루었습니다. 나머지 경우는 부호가 다른 동일한 괄호의 산물입니다. 무슨 일이 일어나는지 봅시다:

우리는 공식을 얻었습니다:

제곱의 차이 \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

이 공식은 작업할 때 가장 자주 사용되는 공식 중 하나입니다.

예 . 분수 \(\frac(x^2-9)(x-3)\) 를 줄입니다.

해결책 :

답변: \(x+3\).

예 .\(25x^4-m^(10) t^6\)을 인수분해합니다.
해결책 :

알아야 할 세 가지 기본 공식은 다음과 같습니다. 반드시! 큐브가 포함된 공식도 있습니다(위 참조). 이를 기억하거나 빠르게 파생시킬 수 있는 것도 좋습니다. 실제로는 하나의 문제에서 이러한 여러 공식이 동시에 발생하는 경우가 많습니다. 이는 정상입니다. 공식을 알아보고 신중하게 적용하는 방법을 배우면 모든 것이 잘 될 것입니다.

예(고급!) .분수를 줄이세요.
해결책 :

\(\frac(x^2-4xy-9+4y^2)(x-2y+3)\)\(=\)		언뜻보기에 이것은 조용한 공포이며 이에 대해 아무것도 할 수 없습니다 (우리는 "누워서 죽는"옵션을 심각하게 고려하지 않습니다). 그러나 분자의 마지막 두 항을 바꾸고 괄호를 추가해 보겠습니다(명확성을 위해).
\(\frac((x^2-4xy+4y^2)-9)(x-2y+3)\)\(=\)		이제 괄호 안의 용어를 약간 변형해 보겠습니다. \(4xy\)는 \(2 x 2y\)로 씁니다. 그리고 \(4y^2\)는 \((2y)^2\)로 표시됩니다.
\(\frac((x^2-4xy+(2y)^2)-9)(x-2y+3)\)\(=\)		이제 좀 더 자세히 살펴보고 괄호 안에 \(a=x\), \(b=2y\)의 차이 제곱에 대한 공식이 있음을 확인하세요. 우리는 그것을 따라 사각형의 괄호 형태로 접습니다. 동시에 우리는 9를 \(3\) 제곱으로 표현합니다.
\(\frac((x-2y)^2-3^2)(x-2y+3)\)\(=\)		다시 한 번 분자를 주의 깊게 살펴보고... 생각해보세요... 생각하고... 그리고 \(a=(x-2y)\), \(b=3\)을 갖는 제곱의 차이에 대한 공식에 주목하세요. . 우리는 그것을 두 개의 브래킷의 곱으로 분해합니다.
\(\frac((x-2y-3)(x-2y+3))(x-2y+3)\)\(=\)		이제 분자의 두 번째 괄호와 전체 분모를 줄입니다.
		답변이 준비되었습니다.

수업 내용

두 표현식의 합의 제곱

다항식에 다항식을 곱하는 것이 크게 단순화될 수 있는 경우가 많이 있습니다. 예를 들어 이런 경우입니다(2 엑스+ 3와이) 2 .

식 (2 엑스+ 3와이) 2는 두 다항식의 곱셈이며, 각 다항식은 (2 엑스+ 3와이)

(2엑스+ 3와이) 2 = (2엑스+ 3와이)(2엑스+ 3와이)

우리는 다항식과 다항식의 곱셈을 얻었습니다. 실행해보자:

(2엑스+ 3와이) 2 = (2엑스+ 3와이)(2엑스+ 3와이) = 4엑스 2 + 6xy + 6xy + 9와이 2 = 4엑스 2 + 12xy+ 9와이 2

즉, 표현식 (2 엑스+ 3와이) 2는 같음 4엑스 2 + 12xy + 9와이 2

(2엑스+ 3와이) 2 = 4엑스 2 + 12xy+ 9와이 2

더 간단한 유사한 예를 풀어보겠습니다.

(a+b) 2

표현 ( a+b) 2는 두 다항식의 곱셈이며, 각 다항식은 ( a+b)

(a+b) 2 = (a+b)(a+b)

이 곱셈을 해보자:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = 에이 2 + ab + ab + 비 2 = 에이 2 + 2ab + 비 2

즉, 표현은 (a+b) 2는 같음 에이 2 + 2ab + 비 2

(a+b) 2 = 에이 2 + 2ab + 비 2

사건은 ( a+b) 2는 무엇이든 확장 가능 에이그리고 비. 우리가 해결한 첫 번째 예는 (2 엑스+ 3와이) 2는 항등식을 사용하여 풀 수 있습니다. (a+b) 2 = 에이 2 + 2ab + 비 2 . 이렇게 하려면 변수 대신 대체해야 합니다. 에이그리고 비표현의 해당 용어 (2 엑스+ 3와이) 2 . 이 경우 변수는 에이멤버 2에 해당 엑스, 그리고 변수 비멤버 3에 해당 와이

에이 = 2엑스

비 = 3와이

그런 다음 ID를 사용할 수 있습니다. (a+b) 2 = 에이 2 + 2ab + 비 2 , 그러나 변수 대신 에이그리고 비표현식 2를 대체해야 합니다. 엑스그리고 3 와이각기:

(2엑스+ 3와이) 2 = (2엑스) 2 + 2 × 2 엑스× 3 와이 + (3와이) 2 = 4엑스 2 + 12xy+ 9와이 2

지난번과 마찬가지로 우리는 다항식을 얻었습니다. 4엑스 2 + 12xy+ 9와이 2 . 해결책은 일반적으로 간략하게 기록되어 마음 속의 모든 기본 변환을 수행합니다.

(2엑스+ 3와이) 2 = 4엑스 2 + 12xy+ 9와이 2

신원 (a+b) 2 = 에이 2 + 2ab + 비 2 두 식의 합을 제곱하는 공식이라고 합니다. 이 공식은 다음과 같이 읽을 수 있습니다.

두 식의 합의 제곱은 첫 번째 식의 제곱에 첫 번째 식의 곱의 두 배를 더한 것과 같고 두 번째 식에 두 번째 식의 제곱을 더한 것과 같습니다.

(2 + 3) 2라는 표현을 생각해 보세요. 두 가지 방법으로 계산할 수 있습니다. 괄호 안에 덧셈을 수행하고 결과 결과를 제곱하거나 두 표현식의 합을 제곱하는 공식을 사용합니다.

첫 번째 방법:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

두 번째 방법:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

실시예 2. 표현식 변환(5 에이+ 3) 2를 다항식으로 변환합니다.

두 표현식의 합을 제곱하는 공식을 사용해 보겠습니다.

(a+b) 2 = 에이 2 + 2ab + 비 2

(5에이+ 3) 2 = (5에이) 2 + 2 × 5 × 3 + 3 2 = 25에이 2 + 30에이 + 9

수단, (5에이+ 3) 2 = 25에이 2 + 30에이 + 9.

합 공식의 제곱을 사용하지 않고 이 예를 풀어보겠습니다. 우리는 동일한 결과를 얻어야 합니다:

(5에이+ 3) 2 = (5에이+ 3)(5에이+ 3) = 25에이 2 + 15에이 + 15에이 + 9 = 25에이 2 + 30에이 + 9

두 식의 합을 제곱하는 공식은 다음과 같습니다. 기하학적 의미. 정사각형의 면적을 계산하려면 정사각형의 변을 2제곱해야 한다는 것을 기억합니다.

예를 들어 변이 있는 정사각형의 면적 에이평등할 것이다 에이 2. 정사각형의 변을 늘리면 비, 그러면 면적은 ( a+b) 2

다음 그림을 고려하십시오.

이 그림에 표시된 사각형의 변이 다음과 같이 증가한다고 상상해 봅시다. 비. 정사각형은 모든 변이 동일합니다. 측면이 증가하면 비, 그러면 나머지 변도 다음과 같이 증가합니다. 비

결과는 이전 정사각형보다 더 큰 새로운 정사각형입니다. 명확하게 확인하기 위해 누락된 부분을 완성해 보겠습니다.

이 정사각형의 면적을 계산하려면 포함된 정사각형과 직사각형을 별도로 계산한 다음 결과를 추가하면 됩니다.

먼저 변이 있는 정사각형을 계산할 수 있습니다. 에이- 면적은 동일합니다 에이 2. 그런 다음 측면이 있는 직사각형을 계산할 수 있습니다. 에이그리고 비- 그들은 평등할 것이다 ab. 그런 다음 변으로 정사각형을 계산할 수 있습니다 비

결과는 다음과 같은 영역의 합입니다.

에이 2 + ab+ab + 비 2

동일한 직사각형의 넓이의 합은 2를 곱하여 대체할 수 있습니다. ab, 문자 그대로 의미합니다. "직사각형 ab의 영역을 두 번 반복합니다" . 대수적으로 이것은 캐스팅하여 얻습니다. 비슷한 용어 ab그리고 ab. 결과는 다음과 같습니다. 에이 2 + 2ab+ 비 2 , 이는 두 표현식의 합의 제곱에 대한 공식의 우변입니다.

(a+b) 2 = 에이 2 + 2ab+ 비 2

두 식의 차이의 제곱

두 표현식의 차이 제곱에 대한 공식은 다음과 같습니다.

(a - b) 2 = 에이 2 − 2ab + 비 2

두 식의 차이의 제곱은 첫 번째 식의 제곱에서 첫 번째 식의 곱의 두 배를 뺀 것과 두 번째 식의 제곱에 두 번째 식의 제곱을 더한 것과 같습니다.

두 표현식의 차이의 제곱에 대한 공식은 두 표현식의 합의 제곱에 대한 공식과 동일한 방식으로 파생됩니다. 표현 ( a - b) 2는 두 다항식의 곱이며, 각 다항식은 ( a - b)

(a - b) 2 = (a - b)(a - b)

이 곱셈을 수행하면 다항식을 얻습니다. 에이 2 − 2ab + 비 2

(a - b) 2 = (a - b)(a - b) = 에이 2 − ab− ab+ 비 2 = 에이 2 − 2ab + 비 2

실시예 1. 식 변환(7 엑스− 5) 2를 다항식으로 변환합니다.

두 표현식의 차이의 제곱에 대한 공식을 사용해 보겠습니다.

(a - b) 2 = 에이 2 − 2ab + 비 2

(7엑스− 5) 2 = (7엑스) 2 – 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49엑스 2 − 70엑스 + 25

수단, (7엑스− 5) 2 = 49엑스 2 + 70엑스 + 25.

차이 제곱 공식을 사용하지 않고 이 예를 풀어보겠습니다. 우리는 동일한 결과를 얻어야 합니다:

(7엑스− 5) 2 = (7엑스− 5) (7엑스− 5) = 49엑스 2 − 35엑스 − 35엑스 + 25 = 49엑스 2 − 70엑스+ 25.

두 표현의 차이의 제곱에 대한 공식도 기하학적 의미를 갖습니다. 변이 있는 정사각형의 면적이라면 에이같음 에이 2, 그러면 변이 줄어드는 정사각형의 면적은 다음과 같습니다. 비, 는 ( a - b) 2

다음 그림을 고려하십시오.

이 그림에 표시된 정사각형의 변이 다음과 같이 감소한다고 상상해 봅시다. 비. 정사각형은 모든 변이 동일합니다. 한쪽이 줄어들면 비, 나머지 변도 다음과 같이 감소합니다. 비

결과는 이전 정사각형보다 작은 새로운 정사각형입니다. 사진에서 노란색으로 강조 표시되어 있습니다. 그 쪽은 평등하다 에이− 비왜냐면 오래된 쪽이니까 에이감소 비. 이 정사각형의 면적을 계산하려면 정사각형의 원래 면적을 사용하면 됩니다. 에이 2 기존 정사각형의 변을 줄이는 과정에서 얻은 직사각형의 면적을 뺍니다. 다음 직사각형을 보여드리겠습니다.

그런 다음 다음 표현식을 작성할 수 있습니다. 에이 2 마이너스 면적 ab마이너스 영역 ( a - b)비

에이 2 − ab − (a - b)비

표현식에서 괄호를 확장해 보겠습니다( a - b)비

에이 2 − ab-ab + 비 2

비슷한 용어를 살펴보겠습니다.

에이 2 − 2ab + 비 2

결과는 다음과 같습니다. 에이 2 − 2ab + 비 2 , 이는 두 표현식의 차이의 제곱에 대한 공식의 우변입니다.

(a - b) 2 = 에이 2 − 2ab + 비 2

제곱합과 제곱차 공식은 일반적으로 다음과 같이 불립니다. 약식 곱셈 공식. 이러한 공식은 다항식의 곱셈 과정을 크게 단순화하고 속도를 높일 수 있습니다.

앞서 우리는 다항식의 멤버를 별도로 고려할 때 그 앞에 있는 기호와 함께 고려해야 한다고 말했습니다.

그러나 축약된 곱셈 공식을 사용할 때 원래 다항식의 부호를 이 항 자체의 부호로 간주해서는 안 됩니다.

예를 들어, 다음 표현식이 주어지면 (5 엑스 − 2와이) 2 그리고 우리는 공식을 사용하고 싶습니다 (a - b) 2 = 에이 2 − 2ab + 비 2 , 그러면 대신 비 2개를 대체해야 함 와이, −2가 아님 와이. 잊어서는 안되는 수식으로 작업하는 기능입니다.

(5엑스 − 2와이) 2
에이 = 5엑스
비 = 2와이
(5엑스 − 2와이) 2 = (5엑스) 2 – 2 × 5 엑스× 2 와이 + (2와이) 2 = 25엑스 2 − 20xy + 4와이 2

−2를 대입하면 와이, 이는 원래 표현식의 괄호 안의 차이가 합계로 대체되었음을 의미합니다.

(5엑스 − 2와이) 2 = (5엑스 + (−2와이)) 2

이 경우에는 차이 제곱 공식이 아닌 제곱합 공식을 사용해야 합니다.

(5엑스 + (−2와이) 2
에이 = 5엑스
비 = −2와이
(5엑스 + (−2와이)) 2 = (5엑스) 2 + 2 × 5 엑스× (-2 와이) + (−2와이) 2 = 25엑스 2 − 20xy + 4와이 2

예외는 다음 형식의 표현일 수 있습니다. (엑스− (−와이)) 2 . 이 경우 공식을 사용하면 (a - b) 2 = 에이 2 − 2ab + 비 2 대신에 비대체되어야합니다 (- 와이)

(엑스− (−와이)) 2 = 엑스 2 – 2 × 엑스× (− 와이) + (−와이) 2 = 엑스 2 + 2xy + 와이 2

그러나 형태의 제곱 표현 엑스 − (−와이), 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 것이 더 편리할 것입니다. x+y. 그러면 원래 표현식은 다음과 같은 형식을 취하게 됩니다( 엑스+와이) 2 그리고 차이보다는 합의 제곱에 대한 공식을 사용하는 것이 가능할 것입니다:

(엑스+와이) 2 = 엑스 2 + 2xy + 와이 2

합의 세제곱과 차이의 세제곱

두 식의 합의 세제곱과 두 식의 차의 세제곱에 대한 공식은 다음과 같습니다.

(에이 + 비) 3 = 에이 3 + 3에이 2 비 + 3ab 2 + 비 3

(a - b) 3 = 에이 3 − 3에이 2 비 + 3ab 2 − 비 3

두 표현식의 합의 세제곱 공식은 다음과 같이 읽을 수 있습니다.

두 식의 합의 세제곱은 첫 번째 식의 세제곱에 첫 번째 식의 제곱의 곱을 더한 것과 같고, 두 번째 식에 첫 번째 식의 곱의 세 배를 더한 것과 두 번째 식의 제곱에 세제곱을 더한 것과 같습니다. 두 번째 표현.

그리고 두 표현식의 차이의 세제곱 공식은 다음과 같이 읽을 수 있습니다.

두 식의 차의 세제곱은 첫 번째 식의 세제곱에서 첫 번째 식의 제곱의 곱을 뺀 것과 같고, 두 번째 식의 세제곱에서 첫 번째 식의 곱을 더한 것과 두 번째 식의 제곱에서 세제곱을 뺀 것과 같습니다. 두 번째 표현.

문제를 해결할 때 이러한 공식을 암기하는 것이 좋습니다. 기억나지 않아도 문제 없습니다! 직접 제거할 수 있습니다. 우리는 이미 이를 수행하는 방법을 알고 있습니다.

합의 세제곱에 대한 공식을 직접 도출해 보겠습니다.

(a+b) 3

표현 ( a+b) 3은 세 다항식의 곱이며, 각 다항식은 ( 에이+ 비)

(a+b) 3 = (에이+ 비)(에이+ 비)(에이+ 비)

그러나 표현( a+b) 3은 다음과 같이 쓸 수도 있습니다. (에이+ 비)(에이+ 비) 2

(a+b) 3 = (에이+ 비)(에이+ 비) 2

이 경우 인수( 에이+ 비) 2는 두 식의 합의 제곱입니다. 이 합의 제곱은 다음 표현식과 같습니다. 에이 2 + 2ab + 비 2 .

그 다음에 ( a+b) 3은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. (에이+ 비)(에이 2 + 2ab + 비 2) .

(a+b) 3 = (에이+ 비)(에이 2 + 2ab + 비 2)

그리고 이것은 다항식에 다항식을 곱하는 것입니다. 실행해보자:

(a+b) 3 = (에이+ 비)(에이 2 + 2ab + 비 2) = 에이 3 + 2에이 2 비 + ab 2 + 에이 2 비 + 2ab 2 + 비 3 = 에이 3 + 3에이 2 비 + 3ab 2 + 비 3

마찬가지로, 두 표현식의 차이의 세제곱에 대한 공식을 유도할 수 있습니다.

(a - b) 3 = (a - 비)(에이 2 − 2ab + 비 2) = 에이 3 − 2에이 2 비 + ab 2 − 에이 2 비 + 2ab 2 − 비 3 = 에이 3 − 3에이 2 비+ 3ab 2 − 비 3

실시예 1. 표현식을 변환합니다( 엑스+ 1) 3을 다항식으로 표현합니다.

(에이 + 비) 3 = 에이 3 + 3에이 2 비 + 3ab 2 + 비 3

(엑스+ 1) 3 = 엑스 3+3× 엑스 2×1 + 3× 엑스× 1 2 + 1 3 = 엑스 3 + 3엑스 2 + 3엑스 + 1

두 표현식의 합의 세제곱에 대한 공식을 사용하지 않고 이 예를 풀어보겠습니다.

(엑스+ 1) 3 = (엑스+ 1)(엑스+ 1)(엑스+ 1) = (엑스+ 1)(엑스 2 + 2엑스 + 1) = 엑스 3 + 2엑스 2 + 엑스 + 엑스 2 + 2엑스 + 1 = 엑스 3 + 3엑스 2 + 3엑스 + 1

실시예 2. 표현식 변환 (6에이 2 + 3비 3) 3 다항식으로.

두 표현식의 합을 구하는 공식을 사용해 보겠습니다.

(에이 + 비) 3 = 에이 3 + 3에이 2 비 + 3ab 2 + 비 3

(6에이 2 + 3비 3) 3 = (6에이 2) 3 + 3 × (6 에이 2) 2×3 비 3 + 3 × 6 에이 2 × (3비 3) 2 + (3비 3) 3 = 216에이 6 + 3 × 36 에이 4×3 비 3 + 3 × 6 에이 2×9 비 6 + 27비 9

실시예 3. 표현식 변환( N 2 − 3) 3을 다항식으로 변환합니다.

(a - b) = 에이 3 − 3에이 2 비 + 3ab 2 − 비 3

(N 2 − 3) 3 = (N 2) 3 − 3 × ( N 2) 2×3 + 3× N 2 × 3 2 − 3 3 = N 6 − 9N 4 + 27N 2 − 27

실시예 4. 표현식 변환 (2엑스 2 − 엑스 3) 3 다항식으로.

두 표현의 차이의 입방체에 대한 공식을 사용해 보겠습니다.

(a - b) = 에이 3 − 3에이 2 비 + 3ab 2 − 비 3

(2엑스 2 − 엑스 3) 3 = (2엑스 2) 3 – 3 × (2 엑스 2) 2× 엑스 3 + 3 × 2 엑스 2×( 엑스 3) 2 − (엑스 3) 3 =
8엑스 6 – 3 × 4 엑스 4× 엑스 3 + 3 × 2 엑스 2× 엑스 6 − 엑스 9 =
8엑스 6 − 12엑스 7 + 6엑스 8 − 엑스 9

두 표현식의 차이에 해당 합을 곱하기

두 식의 차이에 그 합을 곱해야 하는 문제가 있습니다. 예를 들어:

(a - b)(a+b)

이 표현에서 두 표현의 차이점은 다음과 같습니다. 에이그리고 비동일한 두 표현식의 합을 곱합니다. 다음과 같이 곱셈을 해보자:

(a - b)(a+b) = 에이 2 + ab − ab − 비 2 = 에이 2 − 비 2

즉, 표현은 (a - b)(a+b) 같음 에이 2 − 비 2

(a - b)(a+b) = 에이 2 − 비 2

우리는 두 표현의 차이에 그 합을 곱하면 이러한 표현의 제곱의 차이를 얻는다는 것을 알 수 있습니다.

두 표현의 차이와 그 합의 곱은 이러한 표현의 제곱의 차이와 같습니다.

사고 (a - b)(a+b) 누구에게나 배포 가능 에이그리고 비. 간단히 말해서, 문제를 풀 때 두 표현식의 차이에 해당 합계를 곱해야 하는 경우 이 곱셈은 이러한 표현식의 제곱의 차이로 대체될 수 있습니다.

실시예 1. 곱셈을 수행 (2엑스 − 5)(2엑스 + 5)

이 예에서 표현식의 차이는 2입니다. 엑스 5에 같은 식의 합을 곱합니다. 그러면 공식에 따르면 (a - b)(a+b) = 에이 2 − 비 2 우리는:

(2엑스 − 5)(2엑스 + 5) = (2엑스) 2 − 5 2

우변을 계산해 봅시다. 4를 얻습니다. 엑스 2 − 25

(2엑스 − 5)(2엑스 + 5) = (2엑스) 2 − 5 2 = 4엑스 2 − 25

공식을 사용하지 않고 이 예를 풀어보겠습니다. (a - b)(a+b) = 에이 2 − 비 2 . 우리는 같은 결과를 얻을 것이다 4 엑스 2 − 25

(2엑스 − 5)(2엑스 + 5) = 4엑스 2 − 10엑스 + 10엑스 − 25 = 4엑스 2 − 25

실시예 2. 곱셈을 수행 (4엑스 − 5와이)(4엑스 + 5와이)

(a - b)(a+b) = 에이 2 − 비 2

(4엑스 − 5와이)(4엑스 + 5와이) = (4엑스) 2 − (5와이) 2 = 16엑스 2 − 25와이 2

실시예 3. 곱셈을 수행 (2에이+ 3비)(2에이− 3비)

두 표현식의 차이에 해당 합계를 곱하는 공식을 사용해 보겠습니다.

(a - b)(a+b) = 에이 2 − 비 2

(2에이+ 3비)(2a - 3비) = (2에이) 2 − (3비) 2 = 4에이 2 − 9비 2

이 예에서 항의 합은 2입니다. 에이그리고 3 비이 용어의 차이보다 먼저 위치했습니다. 그리고 공식에서 (a - b)(a+b) = 에이 2 − 비 2 차이점은 더 일찍 위치합니다.

요인이 어떻게 배열되어 있는지는 아무런 차이가 없습니다( a - b) 브이( a+b) 공식에서. 그들은 다음과 같이 쓸 수 있습니다 (a - b)(a+b) , 그래서 (a+b)(a - b) . 결과는 여전히 같을 것이다 에이 2 − 비 2, 요인을 재배열해도 제품은 변하지 않기 때문입니다.

따라서 이 예에서는 요인(2 에이+ 3비) 및 (2 a - 3비)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. (2에이+ 3비)(2a - 3비) , 그래서 (2a - 3비)(2에이+ 3비) . 결과는 여전히 4입니다. 에이 2 − 9비 2 .

실시예 3. 곱셈을 수행 (7 + 3엑스)(3엑스 − 7)

두 표현식의 차이에 해당 합계를 곱하는 공식을 사용해 보겠습니다.

(a - b)(a+b) = 에이 2 − 비 2

(7 + 3엑스)(3엑스 − 7) = (3엑스) 2 − 7 2 = 9엑스 2 − 49

실시예 4. 곱셈을 수행 (엑스 2 − 와이 3)(엑스 2 + 와이 3)

(a - b)(a+b) = 에이 2 − 비 2

(엑스 2 − 와이 3)(엑스 2 + 와이 3) = (엑스 2) 2 − (와이 3) 2 = 엑스 4 − 와이 6

실시예 5. 곱셈을 수행 (−5엑스− 3와이)(5엑스− 3와이)

식에서 (-5 엑스− 3와이) 대괄호 안에 -1을 넣으면 원래 표현식은 다음 형식을 취합니다.

(−5엑스− 3와이)(5엑스− 3와이) = −1(5엑스 + 3와이)(5엑스 − 3와이)

일하다 (5엑스 + 3와이)(5엑스 − 3와이) 이를 제곱의 차이로 바꿉니다.

(−5엑스− 3와이)(5엑스− 3와이) = −1(5엑스 + 3와이)(5엑스 − 3와이) = −1((5엑스) 2 − (3와이) 2)

제곱의 차이는 괄호 안에 표시되었습니다. 이것이 완료되지 않으면 −1에 (5만 곱해진다는 것이 밝혀집니다. 엑스) 2 . 그리고 이로 인해 원래 표현의 값이 변경되고 오류가 발생하게 됩니다.

(−5엑스− 3와이)(5엑스− 3와이) = −1(5엑스 + 3와이)(5엑스 − 3와이) = −1((5엑스) 2 − (3와이) 2) = −1(25엑스 2 − 9엑스 2)

이제 -1에 괄호 안의 표현식을 곱하여 최종 결과를 얻습니다.

(−5엑스− 3와이)(5엑스− 3와이) = −1(5엑스 + 3와이)(5엑스 − 3와이) = −1((5엑스) 2 − (3와이) 2) =
−1(25엑스 2 − 9와이 2) = −25엑스 2 + 9와이 2

두 표현식의 차이에 해당 합의 부분 제곱을 곱합니다.

두 표현식의 차이에 해당 합의 부분 제곱을 곱해야 하는 문제가 있습니다. 이 작품은 다음과 같습니다.

(a - b)(에이 2 + ab + 비 2)

첫 번째 다항식( a - b)는 두 표현식의 차이이고 두 번째는 다항식입니다. (에이 2 + ab + 비 2) 는 이 두 표현식의 합의 부분 제곱입니다.

합의 부분 제곱은 다음 형식의 다항식입니다. 에이 2 + ab + 비 2 . 일반 합의 제곱처럼 보입니다. 에이 2 + 2ab + 비 2

예를 들어, 다음 표현은 4엑스 2 + 6xy + 9와이 2 표현식 2의 합의 불완전 제곱입니다. 엑스그리고 3 와이 .

실제로 표현의 첫 번째 용어는 4엑스 2 + 6xy + 9와이 2 , 즉 4 엑스 2는 표현식 2의 제곱입니다. 엑스, 이후 (2 엑스) 2 = 4엑스 2. 표현의 세 번째 용어 4엑스 2 + 6xy + 9와이 2 , 즉 9 와이 2는 식 3의 제곱이다. 와이, 이후 (3 와이) 2 = 9와이 2. 중간 멤버 6 xy는 식 2의 곱입니다. 엑스그리고 3 와이.

그럼, 그 차이를 곱해 봅시다( a - b) 합의 부분 제곱으로 에이 2 + ab + 비 2

(a - b)(에이 2 + ab + 비 2) = 에이(에이 2 + AB + B 2) − 비(에이 2 + ab + 비 2) =
에이 3 + 에이 2 비 + ab 2 − 에이 2 비 − ab 2 − 비 3 = 에이 3 − 비 3

즉, 표현은 (a - b)(에이 2 + ab + 비 2) 같음 에이 3 − 비 3

(a - b)(에이 2 + ab + 비 2) = 에이 3 − 비 3

이 항등식을 두 표현식의 차이에 해당 합의 부분 제곱을 곱하는 공식이라고 합니다. 이 공식은 다음과 같이 읽을 수 있습니다.

두 표현식의 차이와 그 합의 부분 제곱의 곱은 이러한 표현식의 세제곱 차이와 같습니다.

실시예 1. 곱셈을 수행 (2엑스 − 3와이)(4엑스 2 + 6xy + 9와이 2)

첫 번째 다항식(2 엑스 − 3와이)는 두 표현의 차이입니다 2 엑스그리고 3 와이. 두 번째 다항식 4엑스 2 + 6xy + 9와이 2 이것은 두 표현식 2의 합의 부분 제곱입니다. 엑스그리고 3 와이. 이렇게 하면 긴 계산을 하지 않고도 공식을 사용할 수 있습니다. (a - b)(에이 2 + ab + 비 2) = 에이 3 − 비 3 . 우리의 경우 곱셈 (2엑스 − 3와이)(4엑스 2 + 6xy + 9와이 2) 큐브 2의 차이로 대체 가능 엑스그리고 3 와이

(2엑스 − 3와이)(4엑스 2 + 6xy + 9와이 2) = (2엑스) 3 − (3와이) 3 = 8엑스 3 − 27와이 3

(a - b)(에이 2 + ab+ 비 2) = 에이 3 − 비 3 . 동일한 결과를 얻을 수 있지만 솔루션은 더 길어질 것입니다.

(2엑스 − 3와이)(4엑스 2 + 6xy + 9와이 2) = 2엑스(4엑스 2 + 6xy + 9와이 2) − 3와이(4엑스 2 + 6xy + 9와이 2) =
8x 3 + 12엑스 2 와이 + 18xy 2 − 12엑스 2 와이 − 18xy 2 − 27와이 3 = 8엑스 3 − 27와이 3

실시예 2. 곱셈을 수행 (3 − 엑스)(9 + 3엑스 + 엑스 2)

첫 번째 다항식 (3 − 엑스)는 두 식의 차이이고, 두 번째 다항식은 이 두 식의 합의 부분제곱입니다. 이를 통해 우리는 공식을 사용할 수 있습니다 (a - b)(에이 2 + ab + 비 2) = 에이 3 − 비 3

(3 − 엑스)(9 + 3엑스 + 엑스 2) = 3 3 − 엑스 3 = 27 − 엑스 3

두 표현식의 합에 차이의 부분 제곱을 곱합니다.

두 표현식의 합에 차이의 부분 제곱을 곱해야 하는 문제가 있습니다. 이 작품은 다음과 같습니다.

(a+b)(에이 2 − ab + 비 2)

첫 번째 다항식( a+b (에이 2 − ab + 비 2) 는 이 두 표현의 차이의 불완전 제곱입니다.

차이의 부분 제곱은 다음 형식의 다항식입니다. 에이 2 − ab + 비 2 . 일반차분제곱처럼 생겼네요 에이 2 − 2ab + 비 2 단, 첫 번째와 두 번째 표현의 곱은 두 배가 되지 않습니다.

예를 들어, 다음 표현은 4엑스 2 − 6xy + 9와이 2 표현식 2의 차이의 불완전 제곱입니다. 엑스그리고 3 와이.

(2엑스) 2 − 2엑스× 3 와이 + (3와이) 2 = 4엑스 2 − 6xy + 9와이 2

원래의 예로 돌아가 보겠습니다. 그 합을 곱해보자 a+b차이의 부분 제곱으로 에이 2 − ab + 비 2

(a+b)(에이 2 − ab + 비 2) = 에이(에이 2 - ab + b 2) + 비(에이 2 − ab + 비 2) =
에이 3 − 에이 2 비 + ab 2 + 에이 2 비 − ab 2 + 비 3 = 에이 3 + 비 3

즉, 표현은 (a+b)(에이 2 − ab + 비 2) 같음 에이 3 + 비 3

(a+b)(에이 2 − ab + 비 2) = 에이 3 + 비 3

이 항등식을 두 표현식의 합에 차이의 불완전 제곱을 곱하는 공식이라고 합니다. 이 공식은 다음과 같이 읽을 수 있습니다.

두 표현식의 합과 그 차이의 부분 제곱의 곱은 이러한 표현식의 세제곱의 합과 같습니다.

실시예 1. 곱셈을 수행 (2엑스 + 3와이)(4엑스 2 − 6xy + 9와이 2)

첫 번째 다항식(2 엑스 + 3와이)는 두 표현식의 합입니다. 2 엑스그리고 3 와이, 그리고 두 번째 다항식 4엑스 2 − 6xy + 9와이 2 이는 이러한 표현의 차이에 대한 불완전한 제곱입니다. 이렇게 하면 긴 계산을 하지 않고도 공식을 사용할 수 있습니다. (a+b)(에이 2 − ab + 비 2) = 에이 3 + 비 3 . 우리의 경우 곱셈 (2엑스 + 3와이)(4엑스 2 − 6xy + 9와이 2) 큐브 2의 합으로 대체 가능 엑스그리고 3 와이

(2엑스 + 3와이)(4엑스 2 − 6xy + 9와이 2) = (2엑스) 3 + (3와이) 3 = 8엑스 3 + 27와이 3

공식을 사용하지 않고 동일한 예를 풀어보겠습니다. (a+b)(에이 2 − ab+ 비 2) = 에이 3 + 비 3 . 동일한 결과를 얻을 수 있지만 솔루션은 더 길어질 것입니다.

(2엑스 + 3와이)(4엑스 2 − 6xy + 9와이 2) = 2엑스(4엑스 2 − 6xy + 9와이 2) + 3와이(4엑스 2 − 6xy + 9와이 2) =
8엑스 3 − 12엑스 2 와이 + 18xy 2 + 12엑스 2 와이 − 18xy 2 + 27와이 3 = 8엑스 3 + 27와이 3

실시예 2. 곱셈을 수행 (2엑스+ 와이)(4엑스 2 − 2xy + 와이 2)

첫 번째 다항식(2 엑스+ 와이)는 두 표현식의 합이며, 두 번째 다항식은 (4엑스 2 − 2xy + 와이 2) 는 이들 표현식의 차이의 불완전 제곱입니다. 이를 통해 우리는 공식을 사용할 수 있습니다 (a+b)(에이 2 − ab+ 비 2) = 에이 3 + 비 3

(2엑스+ 와이)(4엑스 2 − 2xy + 와이 2) = (2엑스) 3 + 와이 3 = 8엑스 3 + 와이 3

공식을 사용하지 않고 동일한 예를 풀어보겠습니다. (a+b)(에이 2 − ab+ 비 2) = 에이 3 + 비 3 . 동일한 결과를 얻을 수 있지만 솔루션은 더 길어질 것입니다.

(2엑스+ 와이)(4엑스 2 − 2xy + 와이 2) = 2엑스(4엑스 2 − 2xy + 와이 2) + 와이(4엑스 2 − 2xy + 와이 2) =
8엑스 3 − 4엑스 2 와이 + 2xy 2 + 4엑스 2 와이 − 2xy 2 + 와이 3 = 8엑스 3 + 와이 3

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약식 곱셈 공식(FMF)은 숫자와 표현식을 거듭제곱하고 곱하는 데 사용됩니다. 종종 이러한 수식을 사용하면 더 간결하고 빠르게 계산을 수행할 수 있습니다.

이 기사에서는 약식 곱셈의 기본 공식을 나열하고, 이를 표로 그룹화하고, 이러한 공식을 사용하는 예를 고려하고, 약식 곱셈의 공식 증명 원칙에 대해서도 설명합니다.

처음으로 FSU 주제가 7학년 대수 과정의 틀 내에서 고려됩니다. 다음은 7가지 기본 공식입니다.

약식 곱셈 공식

1. 합의 제곱 공식: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. 제곱 차이 공식: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. 합 세제곱 공식: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. 차이 입방체 공식: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. 제곱 차이 공식: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. 세제곱합 공식: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. 세제곱의 차이 공식: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

이 표현식의 문자 a, b, c는 숫자, 변수 또는 표현식이 될 수 있습니다. 사용하기 쉽도록 7가지 기본 공식을 암기하는 것이 좋습니다. 그것들을 테이블에 놓고 아래에 액자로 둘러싸서 제시합시다.

처음 네 개의 수식을 사용하면 두 표현식의 합이나 차이의 제곱이나 세제곱을 각각 계산할 수 있습니다.

다섯 번째 공식은 합과 차이를 곱하여 표현식의 제곱 간의 차이를 계산합니다.

여섯 번째와 일곱 번째 공식은 각각 식의 합과 차에 차이의 불완전 제곱과 합의 불완전 제곱을 곱한 것입니다.

축약된 곱셈 공식은 축약된 곱셈 항등식이라고도 합니다. 모든 평등은 정체성이기 때문에 이것은 놀라운 일이 아닙니다.

실제 예제를 풀 때 왼쪽과 오른쪽이 바뀌는 약식 곱셈 공식이 자주 사용됩니다. 이는 다항식을 인수분해할 때 특히 편리합니다.

추가 약식 곱셈 공식

7학년 대수학 과정에만 국한되지 않고 FSU 표에 몇 가지 공식을 더 추가해 봅시다.

먼저 뉴턴의 이항식을 살펴보겠습니다.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · bn - 1 + C n n · bn

여기서 Cnk는 파스칼 삼각형의 라인 번호 n에 나타나는 이항 계수입니다. 이항 계수는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

C n k = n ! 케이! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

보시다시피, 차이와 합의 제곱과 세제곱에 대한 FSF는 각각 n=2와 n=3에 대한 뉴턴 이항식의 특별한 경우입니다.

하지만 거듭제곱해야 하는 합계에 두 개 이상의 항이 있는 경우에는 어떻게 될까요? 3개, 4개 또는 그 이상의 항의 합을 제곱하는 공식이 유용할 것입니다.

1 + 2 + . . + 2 = 1 2 + 2 2 + . . + 2 + 2 1 2 + 2 1 3 + . . + 2a 1an + 2a 2a 3 + 2a 2a 4 + . . + 2 2 AN + 2 AN - 1 AN

유용할 수 있는 또 다른 공식은 두 항의 n제곱 간의 차이를 구하는 공식입니다.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + 2 bn - 2 + bn - 1

이 공식은 일반적으로 짝수 거듭제곱과 홀수 거듭제곱에 대한 두 가지 공식으로 나뉩니다.

2m 표시기의 경우:

a 2m - b 2m = a 2 - b 2 a 2m - 2 + a 2m - 4b 2 + a 2m - 6b 4 + . . + b 2m - 2

홀수 지수 2m+1의 경우:

a 2m + 1 - b 2m + 1 = a 2 - b 2 a 2m + a 2m - 1b + a 2m - 2b 2 + . . + b 2m

짐작하셨듯이 제곱의 차이와 세제곱의 차이 공식은 각각 n = 2 및 n = 3에 대한 이 공식의 특별한 경우입니다. 큐브 차이의 경우 b도 -b로 대체됩니다.

약식 곱셈 공식을 읽는 방법은 무엇입니까?

각 수식에 적합한 수식을 제시하지만 먼저 수식을 읽는 원리를 이해하겠습니다. 이를 수행하는 가장 편리한 방법은 예제를 사용하는 것입니다. 두 숫자의 합을 제곱하는 첫 번째 공식을 살펴보겠습니다.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

그들은 다음과 같이 말합니다. 두 표현식 a와 b의 합의 제곱은 첫 번째 표현식의 제곱의 합, 표현식의 곱의 두 배 및 두 번째 표현식의 제곱과 같습니다.

다른 모든 공식도 비슷하게 읽습니다. 차이 a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2의 제곱에 대해 다음과 같이 씁니다.

두 표현식 a와 b 사이의 차이의 제곱은 이들 표현식의 제곱의 합에서 첫 번째와 두 번째 표현식의 곱의 두 배를 뺀 것과 같습니다.

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 공식을 읽어 봅시다. 두 표현식 a와 b의 합의 세제곱은 이 표현식의 세제곱의 합과 같습니다. 첫 번째 표현식의 제곱에 두 번째 곱을 곱하고 두 번째 표현식의 제곱에 다음을 곱한 세 배입니다. 첫 번째 표현.

큐브 a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3의 차이에 대한 공식을 읽어 보겠습니다. 두 표현식 a와 b 사이의 차이의 세제곱은 첫 번째 표현식의 세제곱에서 첫 번째 표현식과 두 번째 표현식의 제곱의 삼중 곱을 뺀 값과 두 번째 표현식의 제곱과 첫 번째 표현식의 삼중 곱을 더한 것과 같습니다. , 두 번째 표현식의 큐브를 뺍니다.

다섯 번째 공식 a 2 - b 2 = a - b a + b(제곱의 차이)는 다음과 같이 읽습니다. 두 표현식의 제곱의 차이는 차이의 곱과 두 표현식의 합과 같습니다.

편의상 a 2 + a b + b 2 및 a 2 - a b + b 2와 같은 표현식을 각각 합의 불완전 제곱 및 차이의 불완전 제곱이라고 합니다.

이를 고려하여 세제곱의 합과 차이에 대한 공식은 다음과 같이 읽을 수 있습니다.

두 표현식의 세제곱의 합은 이러한 표현식의 합과 차이의 부분 제곱을 곱한 것과 같습니다.

두 표현식의 세제곱 간의 차이는 이들 표현식 간의 차이와 해당 합의 부분 제곱의 곱과 같습니다.

FSU 증명

FSU를 증명하는 것은 매우 간단합니다. 곱셈의 속성에 따라 괄호 안의 수식 부분을 곱합니다.

예를 들어, 차이 제곱에 대한 공식을 생각해 보세요.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

표현식을 2승하려면 이 표현식 자체를 곱해야 합니다.

a - b 2 = a - b a - b .

대괄호를 확장해 보겠습니다.

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

공식이 입증되었습니다. 나머지 FSU도 유사하게 입증되었습니다.

FSU 적용 사례

축약된 곱셈식을 사용하는 목적은 빠르고 간결하게 곱셈하여 수식을 거듭제곱하는 것입니다. 그러나 이것이 FSU의 전체 적용 범위는 아닙니다. 이는 표현식 축소, 분수 축소 및 다항식 인수분해에 널리 사용됩니다. 예를 들어 보겠습니다.

예시 1. FSU

식 9 y - (1 + 3 y) 2를 단순화해 보겠습니다.

제곱합 공식을 적용하여 다음을 얻습니다.

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

예시 2. FSU

분수 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4를 줄여보겠습니다.

분자의 표현은 세제곱의 차이이고 분모의 표현은 제곱의 차이입니다.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

우리는 다음을 줄이고 얻습니다.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU는 표현식의 값을 계산하는 데도 도움이 됩니다. 가장 중요한 것은 공식을 적용할 위치를 알 수 있다는 것입니다. 이를 예를 통해 보여드리겠습니다.

79를 제곱해 봅시다. 번거로운 계산 대신 다음과 같이 작성해 보겠습니다.

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

그것은 것 같다 복잡한 계산축약된 구구단과 구구단을 이용하여 빠르게 구구단을 구구단으로 구구단을 구구단으로 풀어보세요.

또 다른 중요한 점- 이항식의 제곱을 식별합니다. 4 x 2 + 4 x - 3이라는 표현은 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4로 변환될 수 있습니다. 이러한 변환은 통합에 널리 사용됩니다.

텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.

다항식에 다항식을 곱하기

! 에게 다항식에 다항식을 곱하다, 한 다항식의 각 항에 다른 다항식의 각 항을 곱하고 그 결과를 더해야 합니다.

조심하세요! 각 용어에는 고유한 기호가 있습니다.

약식 곱셈 공식다항식은 일반적으로 다항식을 곱하는 7(일곱)개의 일반적인 경우입니다.

정의 및약식 곱셈 공식. 테이블

표 2. 약식 곱셈 공식의 정의(확대하려면 클릭)

정사각형에 대한 세 가지 약식 곱셈 공식

1. 제곱합에 대한 공식입니다.

합의 제곱두 표현식은 첫 번째 표현식의 제곱에 첫 번째 표현식의 곱의 두 배를 더하고 두 번째 표현식에 두 번째 표현식의 제곱을 더한 것과 같습니다.

수식을 더 잘 이해하기 위해 먼저 표현식을 단순화해 보겠습니다(합의 제곱에 대한 수식을 확장합니다).

이제 인수분해해 보겠습니다(공식 축소).

인수분해 시 동작 순서:

1. 어느 단항식이 제곱되었는지 확인합니다( 5 그리고 3m);
2. 이중곱이 공식 중간에 있는지 확인하세요(2 5 3m = 30m);
3. 답을 적어라 (5+3m) 2.

2. 제곱 차이 공식

제곱 차이두 표현식은 첫 번째 표현식의 제곱에서 첫 번째 표현식의 곱의 두 배를 뺀 것과 두 번째 표현식의 제곱을 더한 것과 같습니다.

먼저 식을 단순화해 보겠습니다(공식을 확장해 보세요).

그리고 그 반대로 인수분해해 보겠습니다(공식 축소).

3. 제곱 차이 공식

두 표현식의 합과 그 차이의 곱은 이러한 표현식의 제곱의 차이와 같습니다.

수식을 축소하자(곱셈을 수행)

이제 공식을 확장해 보겠습니다(인수분해)

큐브에 대한 4가지 축약된 곱셈 공식

4. 두 숫자의 합을 구하는 세제곱 공식

두 식의 합의 세제곱은 첫 번째 식의 세제곱에 첫 번째 식의 제곱의 곱을 더한 것과 같고, 두 번째 식에 첫 번째 식의 곱의 세 배를 더한 것과 두 번째 식의 제곱에 세제곱을 더한 것과 같습니다. 두 번째 표현.

수식을 "접을" 때의 작업 순서:

1. 세제곱된 단항식을 찾으세요(여기서 4배그리고 1 );
2. 공식 준수 여부에 대한 평균 조건을 확인하십시오.
3. 답을 적어보세요.

5. 두 숫자의 차이의 세제곱 공식

두 식의 차의 세제곱은 첫 번째 식의 세제곱에서 첫 번째 식의 제곱의 곱을 뺀 것과 같고 두 번째 식의 세제곱에서 첫 번째 식의 곱을 더한 것과 두 번째 식의 제곱에서 세제곱을 뺀 것과 같습니다. 두 번째 표현.

6. 큐브의 합 공식

두 식의 세제곱의 합은 첫 번째와 두 번째 식의 합과 이들 식의 차이의 불완전 제곱의 곱과 같습니다.

그리고 뒤로:

7. 큐브 공식의 차이

두 식의 세제곱 차이는 첫 번째 식과 두 번째 식의 차이와 이들 식의 합의 부분 제곱을 곱한 것과 같습니다.

약식 곱셈 공식을 적용합니다. 테이블

실제로 수식을 사용하는 예(구두 계산).

일:한 변이 a = 71cm인 정사각형의 넓이를 구하세요.

해결책:에스 = 2 . 제곱합 공식을 사용하면

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 cm 2

답변: 5041cm 2