직선 피라미드의 측면 표면적은 동일합니다. 다양한 피라미드의 측면 표면적

어떤 인물을 피라미드라고 부르나요? 첫째, 다면체입니다. 둘째, 이 다면체의 바닥에는 임의의 다각형이 있고 피라미드의 측면 (측면)은 반드시 하나의 공통 꼭지점에 수렴하는 삼각형 모양을 갖습니다. 이제 용어를 이해했으니 피라미드의 표면적을 구하는 방법을 알아봅시다.

이러한 기하학적 몸체의 표면적은 밑면과 전체 측면 표면의 합으로 구성된다는 것이 분명합니다.

피라미드 밑면의 면적 계산

계산 공식의 선택은 피라미드 밑에 있는 다각형의 모양에 따라 다릅니다. 즉, 변의 길이가 같은 규칙적이거나 불규칙할 수 있습니다. 두 가지 옵션을 모두 고려해 보겠습니다.

밑면은 정다각형이다

학교 과정에서 우리는 다음을 알고 있습니다.

정사각형의 면적은 변의 길이를 제곱한 것과 같습니다.
정삼각형의 면적은 변의 제곱을 4로 나누고 루트 3을 곱한 것과 같습니다.

그러나 또한 있다 일반 공식, 정다각형(Sn)의 면적을 계산하려면 이 다각형의 둘레(P)에 그 안에 새겨진 원의 반경(r)을 곱한 다음 결과를 2로 나누어야 합니다. Sn= 1/2P*r.

밑면에는 불규칙한 다각형이 있습니다.

면적을 찾는 방법은 먼저 전체 다각형을 삼각형으로 나누고 다음 공식을 사용하여 각 면적을 계산하는 것입니다. 1/2a*h (여기서 a는 삼각형의 밑면이고 h는 높이입니다. 이 베이스), 모든 결과를 더하세요.

피라미드의 측면 표면적

이제 피라미드의 측면 표면적을 계산해 보겠습니다. 모든 측면의 면적의 합입니다. 여기에는 2가지 옵션도 있습니다.

임의의 피라미드를 만들어 보겠습니다. 하나는 밑면에 불규칙한 다각형이 있습니다. 그런 다음 각 면의 면적을 별도로 계산하고 결과를 추가해야 합니다. 피라미드의 변은 정의에 따라 삼각형만 될 수 있으므로 위에서 언급한 공식 S=1/2a*h를 사용하여 계산이 수행됩니다.
우리의 피라미드가 정확하자, 즉 밑면에는 정다각형이 있고 피라미드 꼭대기의 투영은 중심에 있습니다. 그런 다음 측면의 면적(Sb)을 계산하려면 밑면 다각형의 둘레(P)와 측면의 높이(h)의 곱의 절반을 구하면 충분합니다(모든 면에 대해 동일함). ): Sb = 1/2P*h. 다각형의 둘레는 모든 변의 길이를 더하여 결정됩니다.

일반 피라미드의 전체 표면적은 밑면의 면적과 전체 측면 표면의 면적을 합산하여 구합니다.

예

예를 들어 여러 피라미드의 표면적을 대수적으로 계산해 보겠습니다.

삼각뿔의 표면적

그러한 피라미드의 바닥에는 삼각형이 있습니다. So=1/2a*h 공식을 사용하여 밑면의 면적을 구합니다. 동일한 공식을 사용하여 삼각형 모양인 피라미드의 각 면의 면적을 구하고 S1, S2 및 S3의 3가지 면적을 얻습니다. 피라미드 측면의 면적은 모든 면적의 합입니다. Sb = S1+ S2+ S3. 측면과 밑면의 면적을 합산하여 원하는 피라미드의 전체 표면적을 얻습니다. Sp= So+ Sb.

사각뿔의 표면적

측면의 면적은 4개 항의 합입니다: Sb = S1+ S2+ S3+ S4. 각 항은 삼각형 면적 공식을 사용하여 계산됩니다. 그리고 밑면의 면적은 사변형의 모양 (정규 또는 불규칙)에 따라 찾아야합니다. 피라미드의 전체 표면적은 밑면의 면적과 주어진 피라미드의 전체 표면적을 더하여 다시 구해집니다.

는 밑면이 다각형이고 나머지 면은 공통 꼭지점을 갖는 삼각형으로 표현되는다면적인 도형입니다.

밑면이 정사각형이면 피라미드라고 합니다. 사각형의, 만약 삼각형이라면 - 그렇다면 삼각형의. 피라미드의 높이는 밑면에 수직인 꼭대기부터 그려집니다. 면적을 계산하는 데에도 사용됩니다. 변심– 측면의 높이가 상단에서 낮아졌습니다.
피라미드의 측면 면적에 대한 공식은 서로 동일한 측면 면적의 합입니다. 그러나 이 계산 방법은 매우 드물게 사용됩니다. 기본적으로 피라미드의 면적은 밑면과 변심점의 둘레를 통해 계산됩니다.

피라미드의 측면 면적을 계산하는 예를 고려해 보겠습니다.

밑면이 ABCDE이고 윗부분이 F인 피라미드가 있다고 가정합니다. AB =BC =CD =DE =EA =3cm Apothem a = 5cm 피라미드의 측면 면적을 구합니다.
둘레를 찾아보자. 밑면의 모든 모서리가 동일하므로 오각형의 둘레는 다음과 같습니다.
이제 피라미드의 측면 영역을 찾을 수 있습니다.

정삼각형 피라미드의 면적

정삼각형 피라미드는 정삼각형이 놓인 밑면과 면적이 같은 세 개의 측면으로 구성됩니다.
정삼각형 피라미드의 측면 표면적에 대한 공식은 다른 방법으로 계산할 수 있습니다. 둘레와 변심을 이용하여 일반적인 계산식을 적용할 수도 있고, 한 면의 면적을 구하여 3을 곱할 수도 있습니다. 피라미드의 면은 삼각형이므로 삼각형의 면적에 대한 공식을 적용합니다. 변심거리와 베이스 길이가 필요합니다. 정삼각형 피라미드의 측면 표면적을 계산하는 예를 고려해 보겠습니다.

변심 a = 4 cm이고 밑면 b = 2 cm인 피라미드가 주어지면 피라미드의 측면 면적을 구하십시오.
먼저 측면 중 하나의 면적을 찾습니다. 이 경우에는 다음과 같습니다.
값을 공식에 대체하십시오.
일반 피라미드에서는 모든 측면이 동일하므로 피라미드 측면의 면적은 세면의 면적의 합과 같습니다. 각기:

잘린 피라미드의 면적

잘림피라미드는 피라미드와 밑면에 평행한 단면으로 구성된 다면체입니다.
잘린 피라미드의 측면 표면적에 대한 공식은 매우 간단합니다. 면적은 밑변과 변심의 둘레 합계의 절반을 곱한 것과 같습니다.

이 기하학적 도형과 그 속성에 대한 질문을 공부하기 전에 몇 가지 용어를 이해해야 합니다. 사람이 피라미드에 대해 들으면 이집트의 거대한 건물을 상상합니다. 이것이 가장 단순한 모습입니다. 하지만 그런 일이 일어납니다 다른 유형및 모양은 기하학적 모양에 대한 계산 공식이 달라짐을 의미합니다.

그림의 종류

피라미드 – 기하학적 도형 , 여러 얼굴을 나타내고 나타냅니다. 본질적으로 이것은 동일한 다면체이며 그 밑면에는 다각형이 있고 측면에는 한 지점, 즉 정점에 연결되는 삼각형이 있습니다. 그림은 두 가지 주요 유형으로 제공됩니다.

옳은;
잘렸습니다.

첫 번째 경우 밑면은 정다각형입니다. 여기에서는 모든 측면이 동일합니다.그들 자신과 그 모습 자체가 완벽주의자의 눈을 즐겁게 할 것입니다.

두 번째 경우에는 두 개의 베이스가 있습니다. 맨 아래에 큰 베이스가 있고 상단 사이에 작은 베이스가 있으며 기본 베이스의 모양이 반복됩니다. 즉, 잘린 피라미드는 단면이 밑면과 평행하게 형성된 다면체입니다.

용어 및 기호

주요 용어:

정삼각형(정삼각형)- 세 각과 변의 길이가 같은 도형입니다. 이 경우 모든 각도는 60도입니다. 그림은 정다면체 중 가장 단순합니다. 이 그림이 밑면에 있으면 그러한 다면체를 정삼각형이라고 부릅니다. 밑면이 정사각형인 경우 피라미드를 정사각뿔이라고 합니다.
꼭지점– 가장자리가 만나는 가장 높은 지점. 정점의 높이는 피라미드의 정점에서 밑면까지 이어지는 직선으로 구성됩니다.
가장자리– 다각형의 평면 중 하나입니다. 삼각뿔의 경우 삼각형 형태일 수 있고, 잘린 피라미드의 경우 사다리꼴 형태일 수 있습니다.
부분 – 평평한 그림, 해부의 결과로 형성되었습니다. 섹션은 섹션 뒤에 있는 내용도 표시하므로 섹션과 혼동해서는 안 됩니다.
아포템- 피라미드의 꼭대기에서 밑면까지 그려진 부분. 두 번째 높이점이 위치한 면의 높이이기도 합니다. 이 정의정다면체에만 유효합니다. 예를 들어, 이것이 잘린 피라미드가 아니면 면은 삼각형이 됩니다. 이 경우 이 삼각형의 높이가 변심점이 됩니다.

면적 공식

피라미드의 측면 표면적 찾기모든 유형은 여러 가지 방법으로 수행될 수 있습니다. 그림이 대칭이 아니고 측면이 다른 다각형인 경우 이 경우 모든 표면의 전체를 통해 전체 표면적을 계산하는 것이 더 쉽습니다. 즉, 각 면의 면적을 계산해서 합산해야 합니다.

알려진 매개변수에 따라 정사각형, 사다리꼴, 임의의 사변형 등을 계산하는 공식이 필요할 수 있습니다. 다른 경우의 수식 자체차이점도 있을 것입니다.

일반 도형의 경우 영역을 찾는 것이 훨씬 쉽습니다. 몇 가지 핵심 매개변수만 알아도 충분합니다. 대부분의 경우 이러한 수치에 대해서는 특별히 계산이 필요합니다. 따라서 해당 공식이 아래에 제공됩니다. 그렇지 않으면 모든 내용을 여러 페이지에 걸쳐 작성해야 하는데 이는 혼란스럽고 혼란스러울 뿐입니다.

계산의 기본 공식일반 피라미드의 측면 표면적은 다음과 같은 형태를 갖습니다.

S=½ Pa(P는 밑면의 둘레이며 변심점)

한 가지 예를 살펴보겠습니다. 다면체에는 A1, A2, A3, A4, A5 세그먼트가 있는 밑면이 있으며 모두 10cm입니다. 먼저 둘레를 찾아야 합니다. 밑면의 5개 면이 모두 동일하므로 다음과 같이 찾을 수 있습니다: P = 5 * 10 = 50cm 다음으로 기본 공식: S = ½ * 50 * 5 = 125cm 제곱을 적용합니다.

정삼각뿔의 옆면적계산하기 가장 쉽습니다. 수식은 다음과 같습니다.

S =½* ab *3, 여기서 a는 변심이고, b는 밑면입니다. 여기서 3의 인수는 밑면의 면의 수를 의미하고 첫 번째 부분은 측면의 면적을 의미합니다. 예를 살펴보겠습니다. 변심이 5cm이고 밑변이 8cm인 그림이 주어지면 다음과 같이 계산됩니다. S = 1/2*5*8*3=60cm 제곱.

잘린 피라미드의 측면 표면적계산하기가 조금 더 어렵습니다. 공식은 다음과 같습니다: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, 여기서 p_01과 p_02는 밑면의 둘레이며 변심점입니다. 예를 살펴보겠습니다. 사각형 그림의 경우 밑변의 치수가 3cm와 6cm이고 변심이 4cm라고 가정합니다.

여기서 먼저 밑면의 둘레를 찾아야 합니다: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm. 값을 기본 공식으로 대체하면 S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 cm 제곱이 됩니다.

따라서 복잡한 일반 피라미드의 측면 표면적을 찾을 수 있습니다. 주의하시고 헷갈리시면 안됩니다전체 다면체의 전체 면적을 사용하여 이러한 계산을 수행합니다. 그리고 여전히 이 작업을 수행해야 한다면 다면체의 가장 큰 밑면의 면적을 계산하여 다면체의 측면 표면적에 추가하면 됩니다.

동영상

이 비디오는 다양한 피라미드의 측면 표면적을 찾는 방법에 대한 정보를 통합하는 데 도움이 됩니다.

정삼각형 피라미드에서 SABC R- 갈비뼈 중간 AB, 에스- 맨 위.
다음과 같이 알려져 있습니다. SR = 6, 측면 표면적은 다음과 같습니다. 36 .
세그먼트의 길이 찾기 기원전.

그림을 그려보자. 일반 피라미드에서 측면은 이등변삼각형입니다.

분절 S.R.- 중앙값이 베이스로 낮아져 측면 높이가 낮아집니다.

정삼각형 피라미드의 측면 표면적은 면적의 합과 같습니다
세 개의 동일한 측면 S측 = 3S ABS. 여기에서 S ABS = 36: 3 = 12- 얼굴 부위.

삼각형의 면적은 밑변과 높이의 곱의 절반과 같습니다
S ABS = 0.5 AB SR. 면적과 높이를 알면 밑면의 측면을 찾습니다. AB = 기원전.
12 = 0.5AB 6
12 = 3AB
AB = 4

답변: 4

반대쪽에서 문제에 접근할 수 있습니다. 베이스 쪽을 보자 AB = BC = 에이.
그 다음에는 얼굴 부위 S ABS = 0.5 AB SR = 0.5 a 6 = 3a.

세 면의 각각의 면적은 다음과 같습니다. 3a, 세 면의 면적이 같다 9a.
문제의 조건에 따르면 피라미드의 옆면의 면적은 36이다.
S측 = 9a = 36.
여기에서 a = 4.

정의. 측면 가장자리- 이것은 하나의 각도가 피라미드의 상단에 있고 반대쪽이 밑면 (다각형)의 측면과 일치하는 삼각형입니다.

정의. 옆갈비- 측면의 공통 측면입니다. 피라미드에는 다각형의 각도만큼 많은 모서리가 있습니다.

정의. 피라미드 높이- 이것은 피라미드의 꼭대기에서 바닥까지 수직으로 내려간 것입니다.

정의. 아포템- 이것은 피라미드의 측면에 수직이며 피라미드 상단에서 밑면 측면으로 낮아졌습니다.

정의. 대각선 부분- 이것은 피라미드의 꼭대기와 밑면의 대각선을 통과하는 평면에 의한 피라미드의 단면입니다.

정의. 올바른 피라미드밑면이 정다각형이고 높이가 밑면의 중심으로 내려오는 피라미드이다.

피라미드의 부피와 표면적

공식. 피라미드의 부피기본 면적과 높이를 통해:

피라미드의 속성

모든 측면 모서리가 동일하면 피라미드 밑면 주위에 원을 그릴 수 있으며 밑면의 중심은 원의 중심과 일치합니다. 또한 위에서 내린 수선은 밑면(원)의 중심을 통과합니다.

모든 측면 가장자리가 동일하면 동일한 각도로 바닥 평면에 기울어집니다.

측면 갈비뼈는 베이스 평면과 형성될 때 동일합니다. 같은 각도또는 피라미드의 바닥 주위에 원이 설명될 수 있는 경우.

측면이 밑면에 대해 같은 각도로 기울어지면 피라미드의 밑면에 원이 새겨지고 피라미드의 상단이 중심으로 투영됩니다.

측면이 동일한 각도로 밑면에 대해 기울어지면 측면의 변위가 동일합니다.

일반 피라미드의 속성

1. 피라미드의 꼭대기는 밑면의 모든 모서리에서 등거리에 있습니다.

2. 모든 측면 모서리가 동일합니다.

3. 모든 측면 리브는 베이스와 동일한 각도로 기울어져 있습니다.

4. 모든 측면의 변심은 동일합니다.

5. 모든 측면의 면적은 동일합니다.

6. 모든 면은 동일한 2면체(평면) 각도를 갖습니다.

7. 피라미드 주위에 구를 묘사할 수 있습니다. 외접 구의 중심은 모서리의 중앙을 통과하는 수직선의 교차점이 됩니다.

8. 구를 피라미드에 맞출 수 있습니다. 내접 구의 중심은 모서리와 밑면 사이의 각도에서 나오는 이등분선의 교차점이 됩니다.

9. 내접 구의 중심이 외접 구의 중심과 일치하면 꼭지점의 평면 각도의 합은 π와 같거나 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 한 각도는 π/n과 같습니다. 여기서 n은 숫자입니다. 피라미드 바닥의 각도.

피라미드와 구의 연결

피라미드의 밑면에 원을 묘사할 수 있는 다면체가 있을 때(필요충분조건) 구는 피라미드 주위에 묘사될 수 있습니다. 구의 중심은 피라미드 측면 가장자리의 중간점을 수직으로 통과하는 평면의 교차점이 됩니다.

삼각형이나 정뿔형 피라미드 주위의 구를 묘사하는 것은 항상 가능합니다.

피라미드의 내부 2면각의 이등분선 평면이 한 지점에서 교차하는 경우(필요 및 충분 조건) 구는 피라미드에 내접할 수 있습니다. 이 점이 구의 중심이 됩니다.

원뿔과 피라미드의 연결

꼭지점이 일치하고 원뿔의 밑면이 피라미드의 밑면에 내접되어 있으면 원뿔이 피라미드에 내접한다고 합니다.

피라미드의 변심점이 서로 같으면 원뿔이 피라미드에 새겨질 수 있습니다.

꼭지점이 일치하고 원뿔의 밑면이 피라미드의 밑면 주위에 외접하는 경우 원뿔이 피라미드 주위에 외접한다고 합니다.

피라미드의 모든 측면 모서리가 서로 같으면 피라미드 주위에 원뿔을 설명할 수 있습니다.

피라미드와 원통의 관계

피라미드의 꼭대기가 원통의 한 밑면에 있고 피라미드의 밑면이 원통의 다른 밑면에 새겨져 있는 경우 피라미드를 원통에 내접했다고 합니다.

원이 피라미드의 밑면 주위에 설명될 수 있다면 원통은 피라미드 주위에 설명될 수 있습니다.

정의. 잘린 피라미드(피라미드 프리즘)피라미드의 밑면과 밑면에 평행한 단면 평면 사이에 위치한 다면체입니다. 따라서 피라미드는 큰 밑면과 더 큰 밑면과 유사한 작은 밑면을 가지고 있습니다. 측면은 사다리꼴입니다.

정의. 삼각뿔(사면체)는 세 개의 면과 밑면이 임의의 삼각형인 피라미드입니다.

사면체에는 4개의 면과 4개의 꼭지점, 6개의 모서리가 있으며, 두 모서리는 공통 꼭지점을 가지지 않지만 서로 닿지 않습니다.

각 꼭지점은 다음을 형성하는 세 개의 면과 모서리로 구성됩니다. 삼각형 각도.

정사면체의 꼭지점과 반대면의 중심을 연결하는 선분을 이라고 합니다. 사면체의 중앙값(GM).

바이미디어닿지 않는 반대쪽 가장자리의 중간점을 연결하는 세그먼트(KL)라고 합니다.

사면체의 모든 양중선과 중앙값은 한 점(S)에서 교차합니다. 이 경우 양중값은 반으로 나누어 위에서부터 3:1의 비율로 중앙값을 나눈다.

정의. 기울어진 피라미드는 모서리 중 하나가 밑면과 둔각(β)을 이루는 피라미드입니다.

정의. 직사각형 피라미드는 측면 중 하나가 밑면에 수직인 피라미드입니다.

정의. 예각 피라미드-변심이 밑변 길이의 절반보다 긴 피라미드.

정의. 둔각 피라미드-변심이 밑변 길이의 절반 미만인 피라미드.

정의. 정사면체- 네 면이 모두 정삼각형인 사면체. 그는 다섯 명 중 한 명이다. 정다각형. 안에 정사면체모든 2면체 각도(면 사이)와 3면체 각도(정점에서)는 동일합니다.

정의. 직사각형 사면체꼭지점의 세 모서리 사이에 직각이 있는(모서리가 수직임) 사면체라고 합니다. 세 개의 얼굴이 형성됨 직사각형 삼각형 각도그리고 가장자리는 직각삼각형, 밑변은 임의의 삼각형입니다. 모든 면의 변심은 변심이 있는 밑변의 절반과 같습니다.

정의. 등면체 사면체옆면이 서로 같고 밑면이 정삼각형인 정사면체라 한다. 이러한 사면체는 이등변삼각형인 면을 가지고 있습니다.

정의. 직교 사면체위에서 반대면까지 내려간 높이(수직)가 모두 한점에서 교차하는 것을 사면체라 한다.

정의. 스타 피라미드밑면이 별인 다면체라고 합니다.

정의. 이중 피라미드- 두 개의 서로 다른 피라미드로 구성된 다면체(피라미드는 잘릴 수도 있음) 공통점, 정점은 기본 평면의 반대쪽에 있습니다.