시스템에 솔루션이 하나만 있는 경우. 선형 방정식 시스템 풀기

에서 분명한 바와 같이 크레이머의 정리, 시스템을 풀 때 선형 방정식세 가지 경우가 발생할 수 있습니다:

첫 번째 경우: 선형 방정식 시스템에는 고유한 해가 있습니다.

(시스템은 일관되고 확실합니다)

두 번째 경우: 선형 방정식 시스템에는 무한한 수의 해가 있습니다.

(시스템이 일관되고 불확실함)

** ,

저것들. 미지수와 자유 항의 계수는 비례합니다.

세 번째 경우: 선형 방정식 시스템에는 해가 없습니다.

(시스템이 일관성이 없습니다)

그래서 시스템은 중선형 방정식 N변수라고 함 비관절, 단일 솔루션이 없는 경우 관절, 솔루션이 하나 이상 있는 경우. 오직 하나의 해만 갖는 연립 방정식 시스템을 호출합니다. 확실한및 하나 이상 – 불확실한.

Cramer 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 푸는 예

시스템을 부여하자

.

크레이머의 정리에 기초

………….
,

어디
-

시스템 결정자. 열을 자유 항이 있는 해당 변수(알 수 없음)의 계수로 대체하여 나머지 행렬식을 얻습니다.

예시 2.

.

따라서 시스템이 확실합니다. 해를 찾기 위해 행렬식을 계산합니다.

Cramer의 공식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

따라서 (1; 0; -1)은 시스템의 유일한 해입니다.

방정식 3 X 3 및 4 X 4의 해를 확인하려면 Cramer의 해결 방법을 사용하는 온라인 계산기를 사용할 수 있습니다.

선형 방정식 시스템에서 하나 이상의 방정식에 변수가 없으면 행렬식에서 해당 요소는 0과 같습니다! 이것이 다음 예입니다.

예시 3. Cramer 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 풉니다.

.

해결책. 우리는 시스템의 결정 요인을 찾습니다.

방정식 시스템과 시스템의 행렬식을 주의 깊게 살펴보고 행렬식의 하나 이상의 요소가 0인 경우 질문에 대한 답을 반복하십시오. 따라서 행렬식은 0이 아니므로 시스템은 명확합니다. 해를 찾기 위해 미지수에 대한 결정 요인을 계산합니다.

Cramer의 공식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

따라서 시스템의 해는 (2; -1; 1)입니다.

6. 선형 대수 방정식의 일반 시스템. 가우스 방법.

우리가 기억하는 것처럼 Cramer의 법칙과 행렬 방법은 시스템에 무한히 많은 해가 있거나 일관성이 없는 경우에는 적합하지 않습니다. 가우스법 – 모든 선형 방정식 시스템의 해를 찾기 위한 가장 강력하고 다재다능한 도구, 어느 모든 경우에우리를 답으로 이끌 것입니다! 메서드 알고리즘 자체는 세 가지 경우 모두 동일하게 작동합니다. Cramer 및 행렬 방법에 행렬식에 대한 지식이 필요한 경우 Gauss 방법을 적용하려면 산술 연산에 대한 지식만 필요하므로 학생도 접근할 수 있습니다. 기본 수업.

먼저, 선형 방정식 시스템에 대한 약간의 지식을 체계화해 보겠습니다. 선형 방정식 시스템은 다음을 수행할 수 있습니다.

1) 독특한 솔루션을 가지고 있습니다.
2) 무한히 많은 솔루션을 가지고 있습니다.
3) 해결책이 없다. 비관절).

가우스 방법은 솔루션을 찾는 가장 강력하고 보편적인 도구입니다. 어느선형 방정식 시스템. 우리가 기억하는 것처럼, 크레이머의 법칙과 행렬법시스템에 솔루션이 무한히 많거나 일관성이 없는 경우에는 적합하지 않습니다. 그리고 미지수를 순차적으로 제거하는 방법 그래도우리를 답으로 이끌 것입니다! 이번 강의에서는 사례 번호 1(시스템의 유일한 솔루션)에 대한 가우스 방법을 다시 고려할 것이며, 이 기사는 포인트 번호 2-3의 상황에 대해 다룹니다. 메서드 자체의 알고리즘은 세 가지 경우 모두 동일하게 작동합니다.

다시 돌아가자 가장 간단한 시스템수업에서 선형 방정식 시스템을 해결하는 방법은 무엇입니까?
그리고 Gaussian 방법을 사용하여 이를 해결합니다.

첫 번째 단계는 글쓰기이다. 확장된 시스템 매트릭스:
. 계수가 어떤 원리로 쓰여지는지는 누구나 알 수 있다고 생각합니다. 매트릭스 내부의 수직선은 수학적 의미가 없으며 단지 디자인의 용이성을 위한 취소선일 뿐입니다.

참조:기억해두시길 추천드려요 자귀선형 대수학. 시스템 매트릭스는 미지수에 대한 계수로만 구성된 행렬입니다. 이 예에서는 시스템의 행렬입니다. 확장된 시스템 매트릭스– 이는 시스템의 동일한 행렬에 자유 항의 열을 더한 것입니다. 이 경우: . 간결하게 하기 위해 모든 행렬을 간단히 행렬이라고 부를 수 있습니다.

확장된 시스템 매트릭스가 작성된 후에는 이를 사용하여 몇 가지 작업을 수행해야 합니다. 기본 변환.

다음과 같은 기본 변환이 존재합니다.

1) 문자열행렬 재배열될 수 있다어떤 곳에서는. 예를 들어, 고려 중인 행렬에서 첫 번째 행과 두 번째 행을 쉽게 재배열할 수 있습니다.

2) 행렬에 비례(특별한 경우 - 동일한) 행이 있거나 나타난 경우 다음을 수행해야 합니다. 삭제이 모든 행은 하나를 제외하고 행렬에서 나온 것입니다. 예를 들어 행렬을 생각해 보세요. . 이 행렬에서 마지막 세 행은 비례적이므로 그 중 하나만 남겨두어도 충분합니다. .

3) 변환 중에 행렬에 0 행이 나타나는 경우에도 삭제. 물론 그리지 않겠습니다. 제로 라인은 모두 0.

4) 행렬 행은 다음과 같습니다. 곱하다(나누다)어떤 번호로든 0이 아닌. 예를 들어 행렬 을 고려하십시오. 여기서는 첫 번째 줄을 –3으로 나누고 두 번째 줄에 2를 곱하는 것이 좋습니다. . 이 작업은 행렬의 추가 변환을 단순화하므로 매우 유용합니다.

5) 이 변환은 가장 어려운 일이지만 실제로는 복잡한 것도 없습니다. 행렬의 행으로 다음을 수행할 수 있습니다. 숫자를 곱한 다른 문자열을 추가하세요, 0과 다릅니다. 실제 예제에서 행렬을 살펴보겠습니다. 먼저 변환에 대해 자세히 설명하겠습니다. 첫 번째 줄에 -2를 곱합니다. , 그리고 두 번째 줄에 첫 번째 줄에 -2를 곱한 값을 추가합니다.: . 이제 첫 번째 줄을 -2: 로 "뒤로" 나눌 수 있습니다. 보시다시피 ADDED 라인은 리 – 변하지 않았어. 언제나 TO WHICH IS ADDED 변경 내용 유타.

물론 실제로는 이렇게 자세히 쓰지 않고 간략하게 작성합니다.

다시 한 번 : 두 번째 줄로 -2를 곱한 첫 번째 줄을 추가했습니다.. 선은 일반적으로 구두로 또는 초안에 곱해지며 정신적 계산 과정은 다음과 같습니다.

“행렬을 다시 작성하고 첫 번째 줄을 다시 작성합니다. »

“첫 번째 칼럼. 맨 아래에서 0을 얻어야합니다. 따라서 맨 위에 있는 값에 –2: 를 곱하고 첫 번째 값을 두 번째 줄에 추가합니다: 2 + (–2) = 0. 두 번째 줄에 결과를 씁니다. »

“이제 두 번째 열입니다. 맨 위에서 -1에 -2를 곱합니다. 첫 번째 줄을 두 번째 줄에 추가합니다: 1 + 2 = 3. 두 번째 줄에 결과를 씁니다. »

“그리고 세 번째 열. 맨 위에서 -5에 -2를 곱합니다. 두 번째 줄에 첫 번째를 추가합니다: –7 + 10 = 3. 두 번째 줄에 결과를 씁니다. »

이 예를 주의 깊게 이해하고 순차 계산 알고리즘을 이해하십시오. 이것을 이해한다면 가우스 방법은 실제로 주머니에 있습니다. 그러나 물론 우리는 이러한 변화를 위해 계속 노력할 것입니다.

기본 변환은 방정식 시스템의 해를 변경하지 않습니다.

! 주목: 조작으로 간주됨 사용할 수 없습니다, 행렬이 "스스로" 제공되는 작업이 제공되는 경우. 예를 들어 '클래식' 행렬을 사용한 연산어떠한 경우에도 행렬 내부의 내용을 재배열해서는 안 됩니다!

우리 시스템으로 돌아가자. 그것은 실제로 조각난 것입니다.

시스템의 확장된 행렬을 작성하고 기본 변환을 사용하여 이를 다음과 같이 줄여보겠습니다. 계단식 뷰:

(1) 첫 번째 줄을 두 번째 줄에 추가하고 -2를 곱했습니다. 그리고 다시: 왜 첫 번째 줄에 –2를 곱합니까? 맨 아래에서 0을 얻으려면 두 번째 줄에서 하나의 변수를 제거하는 것을 의미합니다.

(2) 두 번째 줄을 3으로 나눕니다.

기본 변환의 목적 – 행렬을 단계적 형식으로 줄입니다. . 작업을 설계할 때 간단한 연필로 "계단"을 표시하고 "계단"에 있는 숫자에 동그라미를 칩니다. "단계적 관점"이라는 용어 자체는 과학적, 과학적 측면에서 전적으로 이론적인 것은 아닙니다. 교육 문학흔히 불린다. 사다리꼴 뷰또는 삼각형의 모습.

기본 변환의 결과로 우리는 다음을 얻었습니다. 동등한원래 방정식 시스템:

이제 시스템을 반대 방향으로 "풀어야" 합니다. 즉, 아래에서 위로 이 프로세스를 호출합니다. 가우스 방법의 반대.

하위 방정식에는 이미 준비된 결과가 있습니다.

시스템의 첫 번째 방정식을 고려하고 이미 알려진 "y" 값을 여기에 대체해 보겠습니다.

가우스 방법이 3개의 미지수를 갖는 3개의 선형 방정식 시스템을 풀어야 하는 가장 일반적인 상황을 고려해 보겠습니다.

실시예 1

가우스 방법을 사용하여 방정식 시스템을 풉니다.

시스템의 확장 행렬을 작성해 보겠습니다.

이제 솔루션 중에 얻게 될 결과를 즉시 그려 보겠습니다.

반복합니다. 우리의 목표는 기본 변환을 사용하여 행렬을 단계적 형태로 만드는 것입니다. 어디서 시작하나요?

먼저 왼쪽 상단의 숫자를 살펴보세요.

거의 항상 여기에 있어야 해요 단위. 일반적으로 말하면 -1(때때로 다른 숫자)이 적합하지만, 전통적으로 1이 일반적으로 거기에 배치되는 경우가 있었습니다. 유닛을 구성하는 방법은 무엇입니까? 첫 번째 열을 살펴보겠습니다. 완성된 단위가 있습니다! 변환 1: 첫 번째 줄과 세 번째 줄을 바꿉니다.

이제 첫 번째 줄은 솔루션이 끝날 때까지 변경되지 않습니다.. 이제 괜찮습니다.

왼쪽 상단에 유닛이 구성되어 있습니다. 이제 다음 위치에서 0을 얻어야 합니다.

"어려운" 변환을 사용하여 0을 얻습니다. 먼저 두 번째 줄(2, –1, 3, 13)을 처리합니다. 첫 번째 위치에서 0을 얻으려면 어떻게 해야 합니까? 필요하다 두 번째 줄에 첫 번째 줄에 -2를 곱한 값을 추가합니다.. 정신적으로 또는 초안에서 첫 번째 줄에 –2(–2, –4, 2, –18)를 곱합니다. 그리고 우리는 지속적으로 (다시 정신적으로 또는 초안에) 추가를 수행합니다. 두 번째 줄에 이미 -2를 곱한 첫 번째 줄을 추가합니다.:

두 번째 줄에 결과를 씁니다.

세 번째 줄도 같은 방식으로 처리합니다(3, 2, –5, –1). 첫 번째 위치에서 0을 얻으려면 다음이 필요합니다. 세 번째 줄에 첫 번째 줄에 -3을 곱한 값을 추가합니다.. 정신적으로 또는 초안에서 첫 번째 줄에 -3을 곱합니다: (-3, -6, 3, -27). 그리고 세 번째 줄에 첫 번째 줄에 -3을 곱한 값을 추가합니다.:

세 번째 줄에 결과를 씁니다.

실제로 이러한 작업은 일반적으로 구두로 수행되고 한 단계로 기록됩니다.

모든 것을 한 번에 동시에 계산할 필요가 없습니다.. 계산 순서 및 결과 "기록" 일관된일반적으로 다음과 같습니다. 먼저 첫 번째 줄을 다시 작성하고 천천히 자신을 부풀립니다. 주의 깊게:


그리고 위에서 계산 자체의 정신적 과정에 대해 이미 논의했습니다.

이 예에서는 두 번째 줄을 –5로 나눕니다(모든 숫자는 나머지 없이 5로 나눌 수 있기 때문입니다). 동시에 세 번째 줄을 -2로 나눕니다. 숫자가 작을수록 더 간단한 솔루션:

~에 마지막 스테이지여기서 또 다른 0을 얻으려면 기본 변환이 필요합니다.

이를 위해 세 번째 줄에 –2를 곱한 두 번째 줄을 추가합니다.:


이 동작을 스스로 알아내십시오. 정신적으로 두 번째 줄에 –2를 곱하고 덧셈을 수행하십시오.

수행된 마지막 작업은 결과의 헤어스타일이며 세 번째 줄을 3으로 나눕니다.

기본 변환의 결과로 동등한 선형 방정식 시스템이 얻어졌습니다.

시원한.

이제 가우스 방법의 반대가 작용합니다. 방정식은 아래에서 위로 "풀립니다".

세 번째 방정식에서는 이미 준비된 결과를 얻었습니다.

두 번째 방정식을 살펴보겠습니다. "zet"의 의미는 이미 알려져 있습니다.

그리고 마지막으로 첫 번째 방정식은 다음과 같습니다. "Igrek"과 "zet"는 알려져 있지만 이는 사소한 문제일 뿐입니다.

답변:

이미 여러 번 언급했듯이, 모든 방정식 시스템에 대해 찾은 해를 확인하는 것이 가능하고 필요합니다. 다행히도 이는 쉽고 빠릅니다.

실시예 2

이것은 독립적인 솔루션의 예, 최종 디자인 샘플 및 수업 마지막 답변입니다.

당신의 결정의 진행내 결정 과정과 일치하지 않을 수도 있습니다. 이것이 가우스법의 특징입니다. 하지만 대답은 같아야 합니다!

실시예 3

가우스 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템 풀기

시스템의 확장된 행렬을 작성하고 기본 변환을 사용하여 이를 단계별 형식으로 만들어 보겠습니다.

우리는 왼쪽 상단의 "단계"를 봅니다. 거기 하나쯤은 있어야 해. 문제는 첫 번째 열에는 단위가 전혀 없기 때문에 행을 재배열해도 아무런 문제가 해결되지 않는다는 것입니다. 이러한 경우 단위는 기본 변환을 사용하여 구성되어야 합니다. 이는 일반적으로 여러 가지 방법으로 수행할 수 있습니다. 나는 이걸했다:
(1) 첫 번째 줄에 두 번째 줄을 추가하고 -1을 곱합니다.. 즉, 우리는 두 번째 줄에 -1을 정신적으로 곱하고 첫 번째와 두 번째 줄을 추가했지만 두 번째 줄은 변경되지 않았습니다.

이제 왼쪽 상단에는 우리에게 아주 잘 어울리는 "마이너스 1"이 있습니다. +1을 원하는 사람은 누구나 추가 이동을 수행할 수 있습니다. 첫 번째 줄에 -1을 곱합니다(부호 변경).

(2) 첫 번째 줄에 5를 곱한 값을 두 번째 줄에 추가하고, 첫 번째 줄에 3을 곱한 값을 세 번째 줄에 추가했습니다.

(3) 첫 번째 줄에는 –1을 곱했는데, 원칙적으로는 아름다움을 위한 것입니다. 세 번째 줄의 기호도 변경되어 두 번째 위치로 이동하여 두 번째 "단계"에서 필요한 단위를 갖게 되었습니다.

(4) 세 번째 줄에 두 번째 줄을 더하고 2를 곱했습니다.

(5) 세 번째 줄은 3으로 나누어졌습니다.

계산 오류(드물게는 오타)를 나타내는 나쁜 신호는 "나쁜" 결론입니다. 즉, 아래와 같은 것을 얻으면 그에 따라 , 그러면 높은 확률로 기본 변환 중에 오류가 발생했다고 말할 수 있습니다.

우리는 예제 설계에서 시스템 자체를 다시 작성하지 않는 경우가 많지만 방정식은 "주어진 행렬에서 직접 가져옵니다." 역방향 스트로크는 아래에서 위로 작동합니다. 예, 여기 선물이 있습니다.

답변: .

실시예 4

가우스 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템 풀기

이것은 여러분 스스로 해결해야 하는 예이며, 다소 더 복잡합니다. 누군가 혼란스러워도 괜찮습니다. 강의가 끝나면 전체 솔루션과 샘플 디자인을 제공합니다. 귀하의 솔루션은 내 솔루션과 다를 수 있습니다.

마지막 부분에서는 가우스 알고리즘의 몇 가지 기능을 살펴보겠습니다.
첫 번째 특징은 시스템 방정식에서 일부 변수가 누락되는 경우가 있다는 것입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

확장 시스템 매트릭스를 올바르게 작성하는 방법은 무엇입니까? 나는 이미 수업 시간에 이 점에 대해 이야기했습니다. 크레이머의 법칙. 매트릭스 방식. 시스템의 확장 행렬에서는 누락된 변수 대신 0을 넣습니다.

그건 그렇고, 이것은 첫 번째 열에 이미 0이 하나 있고 수행할 기본 변환이 적기 때문에 매우 쉬운 예입니다.

두 번째 특징은 이것이다. 고려한 모든 예에서 우리는 "단계"에 -1 또는 +1을 배치했습니다. 거기에 다른 번호가 있을 수 있나요? 어떤 경우에는 그럴 수 있습니다. 시스템을 고려하십시오. .

여기 왼쪽 상단의 "단계"에는 2가 있습니다. 그러나 첫 번째 열의 모든 숫자는 나머지 없이 2로 나눌 수 있고 다른 열은 2와 6이라는 사실을 알 수 있습니다. 그리고 왼쪽 상단에 있는 두 개가 우리에게 적합할 거예요! 첫 번째 단계에서는 다음 변환을 수행해야 합니다. 첫 번째 줄에 -1을 곱한 값을 두 번째 줄에 추가합니다. 세 번째 줄에 -3을 곱한 첫 번째 줄을 추가합니다. 이렇게 하면 첫 번째 열에서 필요한 0을 얻을 수 있습니다.

또는 또 다른 일반적인 예: . 여기서 두 번째 "단계"의 3도 우리에게 적합합니다. 왜냐하면 12(0을 얻어야 하는 자리)는 나머지 없이 3으로 나눌 수 있기 때문입니다. 다음 변환을 수행해야 합니다. 두 번째 줄을 세 번째 줄에 추가하고 -4를 곱하면 필요한 0이 얻어집니다.

가우스의 방법은 보편적이지만 한 가지 특이점이 있습니다. 말 그대로 처음부터 다른 방법(Cramer 방법, 행렬 방법)을 사용하여 시스템을 푸는 방법을 자신있게 배울 수 있습니다. 이 방법은 매우 엄격한 알고리즘을 가지고 있습니다. 하지만 가우스 방법에 자신감을 가지려면 이를 잘 활용하고 최소한 5~10개의 시스템을 풀어야 합니다. 따라서 처음에는 계산에 혼란과 오류가 있을 수 있으며 이에 대해 특이하거나 비극적인 것은 없습니다.

창밖에는 비가 내리는 가을 날씨.... 그러므로 더 많은 것을 원하는 모든 사람들을 위해 복잡한 예독립적인 솔루션의 경우:

실시예 5

가우스 방법을 사용하여 4개의 미지수가 있는 4개의 선형 방정식 시스템을 풉니다.

실제로 그러한 작업은 그리 드물지 않습니다. 이 페이지를 철저하게 공부한 찻주전자라도 그러한 시스템을 해결하기 위한 알고리즘을 직관적으로 이해할 것이라고 생각합니다. 기본적으로 모든 것이 동일합니다. 단지 더 많은 작업만 있을 뿐입니다.

시스템에 솔루션이 없거나(일관되지 않음) 무한히 많은 솔루션이 있는 경우가 수업에서 논의됩니다. 호환되지 않는 시스템 및 공통 솔루션이 있는 시스템. 거기에서 가우시안 방법의 고려된 알고리즘을 수정할 수 있습니다.

나는 당신의 성공을 기원합니다!

솔루션 및 답변:

예 2: 해결책: 시스템의 확장 행렬을 작성하고 기본 변환을 사용하여 단계적 형식으로 가져옵니다.


수행된 기본 변환:
(1) 첫 번째 줄을 두 번째 줄에 추가하고 -2를 곱했습니다. 첫 번째 줄이 세 번째 줄에 추가되고 -1이 곱해졌습니다. 주목!여기서는 세 번째 줄에서 첫 번째 줄을 빼고 싶은 유혹을 느낄 수 있지만, 빼지 않는 것이 좋습니다. 오류가 발생할 위험이 크게 높아집니다. 그냥 접으세요!
(2) 두 번째 줄의 부호가 변경되었습니다(-1을 곱함). 두 번째와 세 번째 줄이 바뀌었습니다. 메모, "단계"에서 우리는 하나뿐만 아니라 -1에도 만족하므로 훨씬 더 편리합니다.
(3) 세 번째 줄에 두 번째 줄을 더하고 5를 곱했습니다.
(4) 두 번째 줄의 부호가 변경되었습니다(-1을 곱함). 세 번째 줄은 14개로 나누어졌습니다.

뒤집다:

답변: .

예시 4: 해결책: 시스템의 확장된 행렬을 작성하고 기본 변환을 사용하여 이를 단계별 형식으로 만들어 보겠습니다.

수행된 전환:
(1) 첫 번째 줄에 두 번째 줄이 추가되었습니다. 따라서 원하는 단위는 왼쪽 상단의 “단계”에 구성됩니다.
(2) 첫 번째 줄에 7을 곱한 값을 두 번째 줄에 추가하고, 첫 번째 줄에 6을 곱한 값을 세 번째 줄에 추가했습니다.

두 번째 "단계"에서는 모든 것이 더욱 악화됩니다., 이에 대한 "후보"는 숫자 17과 23이며 1 또는 -1이 필요합니다. 변환 (3)과 (4)는 원하는 단위를 얻는 것을 목표로 합니다.

(3) 세 번째 줄에 두 번째 줄을 더하고 -1을 곱했습니다.
(4) 두 번째 줄에 세 번째 줄을 더하고 –3을 곱했습니다.
2단계 필수아이템이 도착했습니다. .
(5) 두 번째 줄을 세 번째 줄에 더하고 6을 곱했습니다.

수업의 일환으로 가우스 방법그리고 공통 솔루션과 호환되지 않는 시스템/시스템우리는 고려했다 선형 방정식의 불균일 시스템, 어디 무료 회원(보통 오른쪽에 있음) 적어도 하나방정식에서 0과 달랐습니다.
그리고 지금은 워밍업을 잘 마친 후 행렬 순위, 우리는 계속해서 기술을 연마할 것입니다 기본 변환~에 동차 선형 방정식 시스템.
첫 번째 단락에 따르면 자료가 지루하고 평범해 보일 수 있지만 이러한 인상은 기만적입니다. 기술적인 기술의 발전 외에도 많은 것들이 있을 것입니다. 새로운 정보, 따라서 이 문서의 예를 무시하지 마십시오.

해결책. A= . r(A)를 구해보자. 왜냐하면 행렬그리고 3x4 주문을 받았습니다. 최고 순위미성년자는 3과 같습니다. 또한 모든 3차 미성년자는 0과 같습니다(직접 확인하세요). 수단, r(A)< 3. Возьмем главный 기본 부전공 = -5-4 = -9 ≠ 0. 따라서 r(A) =2입니다.

고려해 봅시다 행렬 와 함께 = .

마이너 3분의 1 주문하다 ≠ 0. 따라서 r(C) = 3입니다.

r(A) 이후 ≠ r(C) 이면 시스템이 일관성이 없습니다.

예시 2.연립방정식의 호환성 결정

일관성이 있는 것으로 판명되면 이 시스템을 해결하십시오.

해결책.

A = , C = . r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4라는 것은 명백합니다. detC = 0이므로 r(C)< 4. 고려해 봅시다 미성년자 제삼 주문하다, 행렬 A와 C의 왼쪽 상단에 위치: = -23 ≠ 0. 따라서 r(A) = r(C) = 3입니다.

숫자 알려지지 않은 시스템 n=3에서. 이는 시스템에 고유한 솔루션이 있음을 의미합니다. 이 경우 네 번째 방정식은 처음 세 방정식의 합을 나타내므로 무시할 수 있습니다.

Cramer의 공식에 따르면 x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23을 얻습니다.

2.4. 매트릭스 방법. 가우스 방법

체계 N선형 방정식와 함께 N미지의 문제는 해결될 수 있다 매트릭스 방법공식에 따라 X = A -1 B (Δ에서 ≠ 0), 이는 (2)에서 두 부분에 A -1을 곱하여 구합니다.

예 1. 연립방정식 풀기

행렬 방법(섹션 2.2에서 이 시스템은 Cramer의 공식을 사용하여 해결되었습니다)

해결책. Δ = 10 ≠ 0 A = - 비축퇴 행렬.

= (필요한 계산을 하여 직접 확인하십시오).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1V = x= .

답변: .

실용적인 관점에서행렬 방법 및 공식 크레이머계산량이 많아 우선적으로 사용됩니다. 가우스 방법, 이는 미지의 항목을 순차적으로 제거하는 것으로 구성됩니다. 이를 위해 방정식 시스템은 삼각형 확장 행렬을 사용하는 등가 시스템으로 축소됩니다(주 대각선 아래의 모든 요소는 0과 같습니다). 이러한 동작을 전진 이동이라고 합니다. 결과 삼각 시스템에서 연속 대체(역방향)를 사용하여 변수를 찾습니다.

실시예 2. 가우스 방법을 사용하여 시스템 풀기

(위에서 이 시스템은 Cramer의 공식과 행렬법을 사용하여 해결되었습니다.)

해결책.

직접 이동합니다. 확장된 행렬을 작성하고 기본 변환을 사용하여 이를 삼각형 형태로 줄여보겠습니다.

~ ~ ~ ~ .

우리는 얻는다 체계

역방향 이동.우리가 찾은 마지막 방정식에서 엑스 3 = -6이고 이 값을 두 번째 방정식으로 대체합니다.

엑스 2 = - 11/2 - 1/4엑스 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

엑스 1 = 2 -엑스 2 + 엑스 3 = 2+4-6 = 0.

답변: .

2.5. 선형 방정식 시스템의 일반 솔루션

선형 방정식 시스템이 주어집니다. = 비 나는(나=). r(A) = r(C) = r이라고 하면, 즉 시스템은 협업적입니다. 0이 아닌 차수 r의 모든 마이너는 다음과 같습니다. 기본 마이너.일반성을 잃지 않고 기본 마이너가 행렬 A의 첫 번째 r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) 행과 열에 위치한다고 가정합니다. m-r 방정식시스템, 우리는 단축된 시스템을 작성합니다:

이는 원본과 동일합니다. 알려지지 않은 것의 이름을 지정합시다 x 1 ,….x r기본적이고, x r +1 ,…, x r free를 선택하고 자유 미지수를 포함하는 항을 잘린 시스템 방정식의 오른쪽으로 이동합니다. 우리는 기본 미지수에 관한 시스템을 얻습니다.

자유 미지수의 각 값 세트에 대해 x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-r해결책은 하나뿐이다 x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r), Cramer의 법칙에 의해 발견됨.

해당 솔루션단축되었으므로 원래 시스템의 형식은 다음과 같습니다.

X(C 1 ,…, Cn-r) = - 시스템의 일반적인 솔루션.

일반적인 해법에서 우리가 무료 미지의 값을 제공한다면 숫자 값, 그러면 부분이라고 불리는 선형 시스템의 솔루션을 얻습니다.

예. 호환성 확립 및 시스템의 일반적인 솔루션 찾기

해결책. A = , C = .

그래서 어떻게 r(A)= r(C) = 2(직접 확인)이면 원래 시스템은 일관성이 있고 무한한 수의 해를 갖습니다(r 이후)< 4).

선형 대수 방정식의 시스템을 푸는 것은 선형 대수학의 주요 문제 중 하나입니다. 이 작업에는 중요한 적용값또한 과학 및 기술 문제를 해결할 때 계산 수학, 수리 물리학에서 많은 알고리즘을 구현하고 실험 연구 결과를 처리하는 데 보조 역할을 합니다.

선형 대수 방정식 시스템다음 형식의 방정식 시스템이라고 합니다. (1)

어디 – 알려지지 않은; - 무료 회원.

연립방정식 풀기(1) 시스템 (1)에 알려지지 않은 숫자 대신에 배치된 숫자 집합을 호출합니다. 시스템의 모든 방정식을 올바른 수치 평등으로 변환합니다.

방정식 시스템은 다음과 같습니다. 관절, 솔루션이 하나 이상 있는 경우 비관절, 해결책이 없는 경우.

방정식의 연립 시스템을 호출합니다. 확실한, 하나의 고유한 솔루션이 있는 경우 불확실한, 적어도 두 가지 다른 솔루션이 있는 경우.

두 가지 방정식 시스템이 호출됩니다. 동등한또는 동등한, 동일한 솔루션 세트가 있는 경우.

시스템 (1)이 호출됩니다. 동종의, 자유 조건이 0인 경우:

동종 시스템은 항상 일관성이 있으며 솔루션이 있습니다. (아마도 유일한 것은 아닐 수도 있습니다).

시스템 (1)에 있다면 시스템이 있습니다. N선형 방정식 N알려지지 않은: 어디 – 알려지지 않은; – 미지수에 대한 계수, - 무료 회원.

선형 시스템에는 단일 솔루션이 있을 수도 있고, 무한히 많은 솔루션이 있을 수도 있고, 전혀 솔루션이 없을 수도 있습니다.

두 개의 미지수가 있는 두 개의 선형 방정식 시스템을 고려해보세요.

그렇다면 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다.

만약에 그러면 시스템에는 해결책이 없습니다.

만약에 그러면 시스템에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다.

예.시스템에는 숫자 쌍에 대한 고유한 솔루션이 있습니다.

시스템에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다. 예를 들어, 주어진 시스템에 대한 솔루션은 숫자 쌍 등입니다.

두 숫자의 차이는 서로 다른 두 값을 가질 수 없기 때문에 시스템에는 해결책이 없습니다.

정의. 2차 행렬식다음과 같은 형식의 표현이라고 합니다.

.

행렬식은 기호 D로 지정됩니다.

숫자 ㅏ 11, …, ㅏ 22를 행렬식의 요소라고 합니다.

요소로 형성된 대각선 ㅏ 11 ; ㅏ 22명이 부름 기본요소로 형성된 대각선 ㅏ 12 ; ㅏ 21 − 옆

따라서 2차 행렬식은 주 대각선 요소와 보조 대각선 요소의 곱 간의 차이와 같습니다.

답은 숫자입니다.

예.행렬식을 계산해 봅시다:

2개의 미지수가 있는 2개의 선형 방정식 시스템을 생각해 보세요. 어디 엑스 1, 엑스 2 – 알려지지 않은; ㅏ 11 , …, ㅏ 22 - 미지수에 대한 계수, 비 1 ,비 2 – 무료 회원.

두 개의 미지수가 있는 두 방정식의 시스템에 고유한 해가 있는 경우 2차 행렬식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

정의.미지수에 대한 계수로 구성된 행렬식을 다음과 같이 부릅니다. 시스템 결정자: D= .

행렬식 D의 열에는 각각 다음에 대한 계수가 포함됩니다. 엑스 1과 , X 2. 두 가지를 소개해보자 추가 예선,이는 열 중 하나를 자유 항의 열로 대체하여 시스템의 행렬식에서 얻습니다: D 1 = D 2 = .

정리 14(Kramer, n=2인 경우).시스템의 행렬식 D 가 0(D10)과 다른 경우 시스템은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있는 고유한 솔루션을 갖습니다.

이러한 공식을 호출합니다. 크레이머의 공식.

예. Cramer의 법칙을 사용하여 시스템을 풀어보겠습니다.

해결책.숫자를 찾아보자

답변.

정의. 3차 행렬식다음과 같은 형식의 표현이라고 합니다.

강요 ㅏ 11; ㅏ 22 ; ㅏ 33 – 주 대각선을 형성합니다.

숫자 ㅏ 13; ㅏ 22 ; ㅏ 31 – 측면 대각선을 형성합니다.

플러스 항목에는 다음이 포함됩니다. 주 대각선에 있는 요소의 곱, 나머지 두 항은 주 대각선에 평행한 밑변을 가진 삼각형 꼭지점에 위치한 요소의 곱입니다. 마이너스 항은 2차 대각선에 대해 동일한 방식에 따라 형성됩니다.

예.행렬식을 계산해 봅시다:

어디 – 알려지지 않은; – 미지수에 대한 계수, - 무료 회원.

고유한 해의 경우, 3개의 미지수가 있는 3개의 선형 방정식 시스템은 3차 행렬식을 사용하여 풀 수 있습니다.

시스템 D의 행렬식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

세 가지 추가 결정 요인을 소개하겠습니다.

정리 15(Kramer, n=3인 경우).시스템의 행렬식 D 가 0과 다른 경우 시스템은 Cramer의 공식을 사용하여 찾을 수 있는 고유한 솔루션을 갖습니다.

예.시스템을 해결해보자 Cramer의 법칙에 따르면.

해결책.숫자를 찾아보자

Cramer의 공식을 사용하여 원래 시스템에 대한 해를 찾아보겠습니다.

답변.

Cramer의 정리는 방정식의 수가 미지수의 수와 같고 시스템 D의 행렬식이 0이 아닐 때 적용 가능합니다.

시스템의 행렬식이 0이면 이 경우 시스템은 해를 갖지 않거나 무한한 수의 해를 가질 수 있습니다. 이러한 사례는 별도로 연구됩니다.

한 가지 사례만 언급해 보겠습니다. 시스템의 행렬식이 0(D=0)이고 추가 행렬식 중 적어도 하나가 0과 다른 경우 시스템에는 해가 없습니다. 즉, 일관성이 없습니다.

크레이머의 정리는 다음 시스템으로 일반화될 수 있습니다. N선형 방정식 N알려지지 않은: 어디 – 알려지지 않은; – 미지수에 대한 계수, - 무료 회원.

미지수를 갖는 선형 방정식 시스템의 행렬식이 그러면 시스템에 대한 유일한 해결책은 Cramer의 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

추가 예선 미지수에 대한 계수 열이 포함된 경우 행렬식 D에서 얻습니다. x 나는무료 회원 열로 교체하세요.

행렬식 D, D 1 , … , D N주문을 받다 N.

선형 방정식 시스템을 풀기 위한 가우스 방법

선형 대수 방정식 시스템을 푸는 가장 일반적인 방법 중 하나는 미지수를 순차적으로 제거하는 방법입니다. -가우스법. 이 방법은 치환법을 일반화한 것으로 미지수가 하나 남을 때까지 미지수를 순차적으로 제거하는 방식으로 구성됩니다.

이 방법은 선형 방정식 시스템의 일부 변환을 기반으로 하며, 그 결과 원래 시스템과 동등한 시스템이 생성됩니다. 방법 알고리즘은 두 단계로 구성됩니다.

첫 번째 단계는 곧장가우스 방법. 이는 방정식에서 미지수를 순차적으로 제거하는 것으로 구성됩니다. 이를 수행하려면 첫 번째 단계에서 시스템의 첫 번째 방정식을 다음으로 나눕니다(그렇지 않으면 시스템의 방정식을 재배열). 결과적으로 축소된 방정식의 계수를 나타내며, 여기에 계수를 곱하고 시스템의 두 번째 방정식에서 빼서 두 번째 방정식에서 제거합니다(계수를 0으로 설정).

나머지 방정식에 대해 동일한 작업을 수행하고 두 번째부터 시작하는 모든 방정식에서 에 대한 계수가 0만 포함하는 새로운 시스템을 얻습니다. 분명히 결과적으로 새로운 시스템은 원래 시스템과 동일할 것입니다.

에 대한 새 계수가 모두 0이 아닌 경우 세 번째 및 후속 방정식에서 동일한 방식으로 제외할 수 있습니다. 다음과 같은 미지수에 대해 이 작업을 계속하면 시스템이 소위 삼각형 형태가 됩니다.

여기서 기호는 변환의 결과로 변경된 수치 계수와 자유 항을 나타냅니다.

시스템의 마지막 방정식에서 나머지 미지수는 고유한 방식으로 결정된 다음 순차적 대체에 의해 결정됩니다.

논평.때로는 변환의 결과로 모든 방정식에서 모든 계수와 우변이 0으로 변합니다. 즉, 방정식이 항등식 0=0으로 변합니다. 시스템에서 이러한 방정식을 제거하면 미지수의 수에 비해 방정식의 수가 줄어듭니다. 이러한 시스템은 단일 솔루션을 가질 수 없습니다.

가우스 방법을 적용하는 과정에서 방정식이 0 = 1 형식의 등식으로 바뀌면(미지수에 대한 계수는 0으로 바뀌고 우변은 0이 아닌 값을 취함) 원래 시스템에는 해결책이 없습니다. 왜냐하면 그러한 동등성은 알려지지 않은 값에 대해서는 거짓이기 때문입니다.

3개의 미지수가 있는 3개의 선형 방정식 시스템을 생각해 보세요.

(2)

어디 – 알려지지 않은; – 미지수에 대한 계수, - 무료 회원.

방정식 시스템은 다양한 프로세스의 수학적 모델링을 위해 경제 부문에서 널리 사용됩니다. 예를 들어 생산 관리 및 계획, 물류 경로(운송 문제) 또는 장비 배치 문제를 해결할 때.

방정식 시스템은 수학뿐만 아니라 물리학, 화학, 생물학에서도 인구 규모를 찾는 문제를 해결할 때 사용됩니다.

선형 방정식 시스템은 공통 솔루션을 찾는 데 필요한 여러 변수가 있는 두 개 이상의 방정식입니다. 모든 방정식이 진정한 동등이 되거나 해당 수열이 존재하지 않음을 증명하는 일련의 숫자입니다.

일차 방정식

ax+by=c 형식의 방정식을 선형이라고 합니다. x, y 지정은 값을 찾아야 하는 미지수이고, b, a는 변수의 계수이고, c는 방정식의 자유항입니다.
방정식을 플로팅하여 풀면 직선처럼 보이고 모든 점은 다항식의 해가 됩니다.

선형 방정식 시스템의 유형

가장 간단한 예는 두 개의 변수 X와 Y를 갖는 선형 방정식 시스템으로 간주됩니다.

F1(x, y) = 0 및 F2(x, y) = 0. 여기서 F1,2는 함수이고 (x, y)는 함수 변수입니다.

연립방정식 풀기 - 이는 시스템이 진정한 평등으로 변하는 값(x, y)을 찾거나 x와 y의 적절한 값이 존재하지 않는다는 것을 설정하는 것을 의미합니다.

한 점의 좌표로 작성된 한 쌍의 값(x, y)을 선형 방정식 시스템의 해라고 합니다.

시스템에 하나의 공통 솔루션이 있거나 솔루션이 존재하지 않는 경우 해당 시스템을 동등하다고 합니다.

선형 방정식의 동차 시스템은 우변이 0인 시스템입니다. 등호 뒤의 오른쪽 부분이 값을 가지거나 함수로 표현된다면, 그러한 체계는 이질적이다.

변수의 수는 2개보다 훨씬 많을 수 있습니다. 그러면 3개 이상의 변수가 있는 선형 방정식 시스템의 예에 대해 이야기해야 합니다.

시스템을 접할 때 학생들은 방정식의 수가 반드시 미지수의 수와 일치해야 한다고 가정하지만 그렇지 않습니다. 시스템의 방정식 수는 변수에 의존하지 않으며 원하는 만큼 방정식이 있을 수 있습니다.

방정식 시스템을 풀기 위한 간단하고 복잡한 방법

이러한 시스템을 해결하기 위한 일반적인 분석 방법은 없으며 모든 방법은 수치해를 기반으로 합니다. 학교 수학 과정에서는 순열, 대수적 추가, 대체, 그래픽 및 행렬 방법, 가우스 방법에 의한 솔루션과 같은 방법을 자세히 설명합니다.

솔루션 방법을 가르칠 때 주요 임무는 시스템을 올바르게 분석하고 각 예에 대한 최적의 솔루션 알고리즘을 찾는 방법을 가르치는 것입니다. 중요한 것은 각 방법에 대한 규칙과 동작의 체계를 암기하는 것이 아니라 특정 방법을 사용하는 원리를 이해하는 것입니다.

7학년 일반 교육 커리큘럼에서 선형 방정식 시스템의 예를 푸는 것은 매우 간단하고 매우 자세하게 설명되어 있습니다. 어느 수학 교과서에서든 이 부분은 충분히 주의를 기울인다. Gauss and Cramer 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템의 예를 푸는 것은 고등 교육 첫해에 더 자세히 연구됩니다.

대체 방법을 사용하여 시스템 해결

대체 방법의 동작은 한 변수의 값을 두 번째 변수로 표현하는 것을 목표로 합니다. 표현식은 나머지 방정식에 대입된 후 변수가 하나인 형태로 축소됩니다. 시스템의 알 수 없는 항목 수에 따라 작업이 반복됩니다.

대체 방법을 사용하여 클래스 7의 선형 방정식 시스템의 예에 대한 솔루션을 제공하겠습니다.

예제에서 볼 수 있듯이 변수 x는 F(X) = 7 + Y로 표현되었습니다. 결과 표현식은 X 대신 시스템의 두 번째 방정식에 대입되어 두 번째 방정식에서 하나의 변수 Y를 얻는 데 도움이 되었습니다. . 이 예제를 푸는 것은 쉬우며 Y 값을 얻을 수 있습니다. 마지막 단계는 얻은 값을 확인하는 것입니다.

선형 방정식 시스템의 예를 치환으로 푸는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 방정식은 복잡할 수 있으며 두 번째 미지수로 변수를 표현하는 것은 추가 계산에 너무 번거로울 수 있습니다. 시스템에 3개 이상의 미지수가 있는 경우 치환을 통해 해결하는 것도 부적절합니다.

선형 불균일 방정식 시스템의 예에 대한 해법:

대수적 덧셈을 이용한 해법

덧셈법을 사용하여 연립방정식의 해를 찾을 때 방정식은 항별로 더해지고 다양한 숫자가 곱해집니다. 궁극적인 목표수학 연산은 변수가 하나인 방정식입니다.

용도 이 방법연습과 관찰이 필요하다. 변수가 3개 이상인 경우 덧셈법을 사용하여 연립방정식을 푸는 것은 쉽지 않습니다. 대수적 덧셈은 방정식에 분수와 소수가 포함되어 있을 때 사용하면 편리합니다.

솔루션 알고리즘:

1. 방정식의 양변에 특정 숫자를 곱합니다. 결과적으로 산술 동작변수의 계수 중 하나는 1과 같아야 합니다.
2. 결과 표현식 용어를 용어별로 추가하고 미지수 중 하나를 찾습니다.
3. 결과 값을 시스템의 두 번째 방정식에 대입하여 나머지 변수를 찾습니다.

새로운 변수를 도입하여 해결하는 방법

시스템이 2개 이하의 방정식에 대한 해를 구해야 하는 경우 새 변수를 도입할 수 있습니다. 미지수의 수도 2개를 넘지 않아야 합니다.

이 방법은 새 변수를 도입하여 방정식 중 하나를 단순화하는 데 사용됩니다. 도입된 미지수에 대해 새 방정식을 풀고 결과 값을 사용하여 원래 변수를 결정합니다.

이 예는 새로운 변수 t를 도입함으로써 시스템의 첫 번째 방정식을 표준 2차 삼항식으로 줄이는 것이 가능하다는 것을 보여줍니다. 판별식을 구하면 다항식을 풀 수 있습니다.

잘 알려진 공식 D = b2 - 4*a*c를 사용하여 판별식의 값을 찾아야 합니다. 여기서 D는 원하는 판별식이고, b, a, c는 다항식의 인수입니다. 주어진 예에서는 a=1, b=16, c=39이므로 D=100입니다. 판별식이 0보다 크면 두 가지 해가 있습니다: t = -b±√D / 2*a, 판별식이 0보다 작으면 하나의 해가 있습니다: x = -b / 2*a.

결과 시스템에 대한 해는 추가 방법으로 찾습니다.

시스템 해결을 위한 시각적 방법

3개의 방정식 시스템에 적합합니다. 이 방법은 좌표축에 시스템에 포함된 각 방정식의 그래프를 구성하는 것으로 구성됩니다. 곡선의 교차점 좌표는 시스템의 일반적인 솔루션이 됩니다.

그래픽 방법에는 여러 가지 뉘앙스가 있습니다. 시각적인 방법으로 선형 방정식 시스템을 푸는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예제에서 볼 수 있듯이 각 라인에 대해 두 개의 점이 구성되었으며 변수 x의 값은 0과 3으로 임의로 선택되었습니다. x 값을 기반으로 y 값이 발견되었습니다. 3과 0. 좌표가 (0, 3)과 (3, 0)인 점을 그래프에 표시하고 선으로 연결했습니다.

두 번째 방정식에 대해 단계를 반복해야 합니다. 선의 교차점은 시스템의 해입니다.

다음 예에서는 선형 방정식 시스템(0.5x-y+2=0 및 0.5x-y-1=0)에 대한 그래픽 솔루션을 찾아야 합니다.

예제에서 볼 수 있듯이 그래프가 평행하고 전체 길이를 따라 교차하지 않기 때문에 시스템에는 솔루션이 없습니다.

예제 2와 3의 시스템은 유사하지만 구성해 보면 솔루션이 다르다는 것이 분명해집니다. 시스템에 솔루션이 있는지 여부를 말하는 것이 항상 가능한 것은 아니며 항상 그래프를 구성하는 것이 필요하다는 점을 기억해야 합니다.

매트릭스와 그 종류

행렬은 선형 방정식 시스템을 간결하게 작성하는 데 사용됩니다. 행렬은 숫자로 채워진 특별한 유형의 테이블입니다. n*m에는 n - 행과 m - 열이 있습니다.

행렬은 열과 행의 개수가 같을 때 정사각형입니다. 행렬-벡터는 행 수가 무한히 많은 하나의 열로 구성된 행렬입니다. 대각선 중 하나와 다른 0 요소를 따라 1이 있는 행렬을 항등이라고 합니다.

역행렬은 곱하면 원래의 행렬이 단위 행렬로 바뀌는 행렬로, 이러한 행렬은 원래의 정사각형 행렬에만 존재합니다.

연립방정식을 행렬로 변환하는 규칙

연립방정식과 관련하여 방정식의 계수와 자유 항은 행렬 번호로 작성됩니다. 하나의 방정식은 행렬의 한 행입니다.

행의 요소 중 하나 이상이 0이 아닌 경우 행렬 행은 0이 아닌 것으로 간주됩니다. 따라서 방정식 중 하나에서 변수 수가 다른 경우 누락된 미지수 대신 0을 입력해야 합니다.

행렬 열은 변수와 엄격하게 일치해야 합니다. 이는 변수 x의 계수가 하나의 열에만 기록될 수 있음을 의미합니다. 예를 들어 첫 번째 열에는 알 수 없는 y의 계수가 두 번째 열에만 기록될 수 있습니다.

행렬을 곱할 때 행렬의 모든 요소에 숫자가 순차적으로 곱해집니다.

역행렬을 찾는 옵션

역행렬을 찾는 공식은 매우 간단합니다. K -1 = 1 / |K|, 여기서 K -1은 역행렬이고 |K| 는 행렬의 행렬식입니다. |K| 가 0이 아니어야 합니다. 그러면 시스템에 솔루션이 있습니다.

행렬식은 2x2 행렬에 대해 쉽게 계산됩니다. 대각선 요소를 서로 곱하기만 하면 됩니다. "3x3" 옵션의 경우 공식 |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + 3b 2c 1 . 수식을 사용할 수도 있고, 요소의 열 수와 행 수가 작업에서 반복되지 않도록 각 행과 각 열에서 하나의 요소를 가져와야한다는 것을 기억할 수 있습니다.

행렬 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템의 예 풀기

해를 찾는 매트릭스 방법을 사용하면 변수와 방정식이 많은 시스템을 풀 때 번거로운 항목을 줄일 수 있습니다.

예에서 nm은 방정식의 계수이고, 행렬은 벡터입니다. x n은 변수이고, bn은 자유항입니다.

가우스 방법을 사용한 시스템 해결

고등 수학에서는 가우스 방법(Gaussian method)을 크레이머(Cramer) 방법과 함께 연구하며, 시스템에 대한 해를 구하는 과정을 가우스-크래머(Gauss-Cramer) 해법이라고 합니다. 이러한 방법은 선형 방정식이 많은 시스템의 변수를 찾는 데 사용됩니다.

가우스 방법은 치환 및 대수적 덧셈에 의한 해법과 매우 유사하지만 더 체계적입니다. 학교 과정에서는 3차 및 4차 방정식 시스템에 가우스 방법에 의한 솔루션이 사용됩니다. 이 방법의 목적은 시스템을 역된 사다리꼴 형태로 줄이는 것입니다. 대수적 변환과 치환을 통해 한 변수의 값은 시스템의 방정식 중 하나에서 발견됩니다. 두 번째 방정식은 2개의 미지수가 있는 표현식이고, 3과 4는 각각 3개와 4개의 변수가 있습니다.

시스템을 설명된 형태로 만든 후 추가 솔루션은 알려진 변수를 시스템 방정식으로 순차적으로 대체하는 것으로 축소됩니다.

7학년 학교 교과서에는 가우스 방법을 사용한 솔루션의 예가 다음과 같이 설명되어 있습니다.

예에서 볼 수 있듯이 단계 (3)에서 두 개의 방정식이 얻어졌습니다: 3x 3 -2x 4 =11 및 3x 3 +2x 4 =7. 방정식 중 하나를 풀면 변수 xn 중 하나를 찾을 수 있습니다.

본문에 언급된 정리 5는 시스템의 방정식 중 하나를 동등한 방정식으로 대체하면 결과 시스템도 원래 시스템과 동등하다는 것을 나타냅니다.

가우스 방법은 학생들이 이해하기 어렵습니다. 고등학교, 그러나 수학과 물리학 수업의 고급 학습 프로그램에 등록한 어린이의 독창성을 개발하는 가장 흥미로운 방법 중 하나입니다.

기록의 용이성을 위해 일반적으로 다음과 같이 계산이 수행됩니다.

방정식과 자유 항의 계수는 행렬 형태로 작성되며, 행렬의 각 행은 시스템의 방정식 중 하나에 해당합니다. 방정식의 왼쪽과 오른쪽을 분리합니다. 로마 숫자는 시스템의 방정식 수를 나타냅니다.

먼저 작업할 행렬을 기록한 다음 행 중 하나에서 수행되는 모든 작업을 기록합니다. 결과 행렬은 "화살표" 기호 뒤에 작성되며 결과가 나올 때까지 필요한 대수 연산이 계속됩니다.

결과는 대각선 중 하나가 1이고 다른 모든 계수가 0인 행렬이어야 합니다. 즉, 행렬이 단위 형태로 축소됩니다. 방정식의 양쪽에 숫자를 사용하여 계산을 수행하는 것을 잊지 마십시오.

이 기록 방법은 덜 번거롭고 알려지지 않은 수많은 항목을 나열하여 주의가 산만해지는 것을 방지합니다.

솔루션 방법을 자유롭게 사용하려면 주의와 약간의 경험이 필요합니다. 모든 방법이 적용되는 것은 아닙니다. 해결책을 찾는 일부 방법은 인간 활동의 특정 영역에서 더 선호되는 반면 다른 방법은 교육 목적으로 존재합니다.

선형 시스템에 대한 솔루션 찾기
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§2. 선형 시스템에 대한 솔루션 찾기

크로네커-카펠리 정리는 선형 시스템의 호환성을 위한 필요 충분 조건을 설정하지만 이 시스템에 대한 해를 찾는 방법을 제공하지 않습니다.
이 섹션에서는 선형 시스템(3.1)에 대한 솔루션을 찾을 것입니다. 먼저, 주 행렬의 행렬식이 0이 아닌 2차 선형 방정식 시스템의 가장 간단한 사례를 고려한 다음, (3.1) 형식의 일반 선형 시스템에 대한 모든 해의 집합을 찾는 단계로 넘어갈 것입니다.
1. 주 행렬의 행렬식이 0이 아닌 선형 방정식의 2차 시스템입니다.선형 방정식의 이차 시스템이 주어집니다.

주 행렬의 0이 아닌 행렬식 Δ를 사용하는 경우

그러한 시스템에 고유한 솔루션이 있음을 증명하고 이 솔루션을 찾을 것입니다. 먼저, 시스템(3.10)이 단 하나의 해를 가질 수 있음을 증명할 것입니다(즉, 시스템(3.10)이 존재한다는 가정하에 해의 고유성을 증명할 것입니다).
임의의 n개의 숫자 x 1, x 2,..., x n이 있어서 이 숫자를 연립방정식(3.10)에 대입하면 이 연립방정식의 모든 방정식이 항등식이 된다고 가정해 보겠습니다(즉, 연립방정식에 대한 일부 해법이 있습니다( 3.10) x 1, x 2,..., x n). 그런 다음 행렬 (3.11)의 행렬식 Δ의 j-ro 열에 있는 대수적 보수 A 1j , A 2j ,..., A nj 요소를 각각 항등식(3.10)에 곱하고 결과 항등식을 더하면 다음을 얻습니다. 임의의 숫자 j에 대해 1, 2,..., n과 동일)

j-ro 열 요소의 해당 대수적 보수에 의한 i 번째 열 요소의 곱의 합이 i ≠ j에 대해 0과 같고 행렬 (3.11)의 행렬식 Δ와 같다는 점을 고려하면 i = j (Ch. 1의 §2 4 단락에서 속성 4° 참조), 우리는 마지막 평등으로부터 얻습니다

x j Δ = b 1 A 1j + b 2 A 2j + ... + b n A nj . (3.12)

기호로 나타내자면Δ 제이 (비 나 ) (또는 더 간단히 기호Δ 제이 ) 행렬식으로부터 얻은 행렬식Δ j번째 열을 자유 항 b의 열로 대체하여 기본 행렬(3.11) 1 ,비 2 ,...,비 N (다른 모든 열은 변경하지 않고 유지 Δ ).
(3.12)의 오른쪽에는 정확하게 행렬식 Δj(bi)가 있습니다. (이를 확인하려면 행렬식 Δj(bi)를 i번째 요소로 전개하는 것으로 충분합니다. 열), 이 평등은 다음과 같은 형식을 취합니다.

Δ x j = Δ j (3.13)

행렬 (3.11)의 행렬식 Δ는 0이 아니므로 등식 (3.13)은 다음 관계와 동일합니다.

그래서 우리는 그것을 증명했습니다. 솔루션 x인 경우 1 , x 2 ,...,엑스 N 행렬식이 있는 시스템(3.10)Δ 0과 다른 주 행렬(3.11)이 존재하는 경우 이 해는 공식(3.14)에 의해 고유하게 결정됩니다..
공식(3.14)이 호출됩니다. 크레이머 공식.
지금까지 Cramer의 공식은 해가 존재한다는 가정 하에 얻어졌으며 그 고유성을 입증했다는 점을 다시 한 번 강조하겠습니다.
시스템(3.10)에 대한 솔루션의 존재를 증명하는 것이 남아 있습니다. 이를 위해서는 Kronecker-Capelli 정리에 따라 기본 행렬(3.11)의 순위가 확장 행렬의 순위와 동일하다는 것을 증명하는 것으로 충분합니다(해의 존재를 증명하는 또 다른 방법이 있음). Cramer의 공식(3.14)에 의해 정의된 숫자 x 1, x 2,...,xn이 시스템(3.10)의 모든 방정식을 항등식으로 바꾸는지 확인하는 것으로 구성된 시스템(3.10)

그러나 Δ ≠ 0 관계로 인해 주 행렬의 순위는 n과 같고 n 행을 포함하는 확장 행렬(3.15)의 순위는 n보다 클 수 없으므로 이는 명백합니다. 메인 매트릭스의 순위와 같습니다.
이것은 완전히 그것을 증명합니다. 0과 다른 주 행렬의 행렬식을 갖는 선형 방정식의 2차 시스템(3.10)은 또한 Cramer 공식(3.14)에 의해 결정되는 고유한 솔루션을 갖습니다.

우리가 증명한 명제는 행렬법을 이용하면 더욱 간단하게 성립될 수 있다. 이를 위해 (§ 1의 단락 1에서와 같이) 시스템(3.10)을 등가 행렬 방정식으로 대체합니다.

AX = B, (3.16)

여기서 A는 시스템(3.11)의 주 행렬이고 X와 B는 열입니다.

그 중 첫 번째는 결정되어야 하고 두 번째는 주어진다.
행렬 A의 행렬식 Δ가 0과 다르기 때문에 역행렬 A -1이 있습니다(1장 단락 7, §2 참조).
시스템 (3.10)에 대한 솔루션이 있다고 가정합니다. 즉, 행렬 방정식(3.16)을 항등식으로 바꾸는 열 X가 있습니다. 왼쪽에 표시된 항등식에 역행렬 A -1을 곱하면 다음과 같습니다.

A -1 (AX) = A -1 V. (3.17)

이제 세 행렬의 곱의 결합 속성(1장 단락 2, § 1 참조)과 관계 A -1 A = E로 인해, 여기서 E는 단위 행렬(단락 참조)을 고려해 보겠습니다. 7, §2, 1장 ), A -1 (AX) = (A -1 A)X = EX = X이므로 (3.17)에서 얻습니다.

X = A -1V.(3.18)

평등(3.18)을 확장하고 Ch. §2의 7항에서 역행렬의 형태(공식 A.41 참조)를 고려합니다. 1) X 열의 요소에 대한 Cramer 공식을 얻습니다.
따라서 우리는 행렬 방정식(3.16)에 대한 해가 존재하는 경우 Cramer의 공식과 동일한 관계(3.18)에 의해 고유하게 결정된다는 것을 증명했습니다.
관계식 (3.18)에 의해 정의된 열 X가 실제로 행렬 방정식 (3.16)에 대한 해임을 쉽게 확인할 수 있습니다.
즉, 이 방정식에 대입하면 항등식이 됩니다. 실제로 X 열이 등식(3.18)으로 결정되면 AX = A(A -1 B) = (AA -1)B = EB = B입니다.
따라서 행렬 A의 행렬식 Δ가 0과 다른 경우(즉, 이 행렬이 특이 행렬이 아닌 경우) 관계식에 의해 결정되는 행렬 방정식(3.16)에 대한 고유한 솔루션이 있습니다. 3.18), Cramer의 공식과 동일합니다.
예. 선형 방정식의 이차 시스템에 대한 해를 찾아봅시다

주 행렬의 0이 아닌 행렬식을 사용하는 경우

왜냐하면

그러면 Cramer의 공식 덕분에 고려 중인 시스템의 유일한 해는 x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4 형식입니다.
Cramer 공식의 주요 의미는 방정식의 계수와 자유 항의 관점에서 (0이 아닌 행렬식을 갖는) 선형 방정식의 2차 시스템을 풀기 위한 명시적인 표현을 제공한다는 것입니다. Cramer 공식의 실제 사용에는 다소 번거로운 계산이 포함됩니다(n 미지수가 있는 n 방정식 시스템을 풀려면 (n + 1) n차 행렬식을 계산해야 합니다). 여기에 방정식과 자유 항의 계수가 측정된 물리량의 대략적인 값일 뿐이거나 계산 과정에서 반올림되는 경우 Cramer 공식을 사용하면 큰 오류가 발생할 수 있으며 어떤 경우에는 추가되어야 합니다. 부적절합니다.
4장 §4에서는 A.N.으로 인한 정규화 방법을 제시한다. Tikhonov를 사용하면 방정식 계수 행렬과 자유 항 열을 지정하는 정확도에 해당하는 정확도로 선형 시스템에 대한 해를 찾을 수 있습니다. 6은 선형 시스템을 해결하기 위한 소위 반복 방법에 대한 아이디어를 제공하며, 이를 통해 미지수의 연속 근사를 사용하여 이러한 시스템을 해결할 수 있습니다.
결론적으로, 이 섹션에서는 시스템의 주 행렬(3.10)의 행렬식 Δ가 사라지는 경우를 고려에서 제외했습니다. 이 사건은 다음에 포함될 것입니다. 일반 이론 n개의 미지수를 갖는 m개의 선형 방정식 시스템은 다음 단락에 나와 있습니다.
2. 일반 선형 시스템의 모든 해 찾기.이제 n개의 미지수를 갖는 m개의 선형 방정식의 일반 시스템을 고려해 보겠습니다(3.1). 이 시스템이 일관성이 있고 기본 및 확장 행렬의 순위가 숫자 r과 같다고 가정해 보겠습니다. 일반성을 잃지 않으면서 주 행렬(3.2)의 기저 마이너가 이 행렬의 왼쪽 상단에 있다고 가정할 수 있습니다(일반적인 경우는 시스템(3.1)의 방정식과 미지수를 재배열하여 이 경우로 축소됩니다.
그런 다음 기본 행렬(3.2)과 확장 행렬(3.8)의 첫 번째 r 행은 이러한 행렬의 기본 행입니다(기본 행렬과 확장 행렬의 순위는 모두 기본 행렬의 기본 마이너인 r과 동일하므로). 동시에 확장 행렬의 기저 마이너가 되며, 정리 1.6에 따라 기저 마이너(r + 1)번째 행부터 시작하는 확장 행렬(1.8)의 각 행은 다음의 선형 결합입니다. 이 행렬의 처음 r개 행.
시스템 (3.1) 측면에서 이는 (r + 1)번째 방정식으로 시작하는 이 시스템의 각 방정식이 이 시스템의 첫 번째 r 방정식의 선형 조합(즉, 결과)임을 의미합니다( 즉, 시스템 (3.1)의 첫 번째 r 방정식의 모든 해는 이 시스템의 모든 후속 방정식을 항등식으로 바꿉니다.).
따라서 시스템(3.1)의 첫 번째 r 방정식의 모든 해를 찾는 것으로 충분합니다. 시스템(3.1)의 첫 번째 r 방정식을 고려하여 다음 형식으로 작성해 보겠습니다.

미지수 x r+1 ,...,x n 에 완전히 임의의 값 ​​c r+1 ,...,c n 을 제공하면 시스템(1.19)은 r 미지수 x에 대한 r 선형 방정식의 2차 시스템으로 전환됩니다. 1 , x 2 , ..., x r 이고, 이 시스템의 주 행렬의 행렬식은 행렬(3.2)의 0이 아닌 기저 마이너입니다. 이전 단락의 결과로 인해 이 시스템(3.19)은 Cramer의 공식에 의해 결정된 고유한 솔루션을 갖습니다. 즉, 임의로 선택된 c r+1 ,...,c n에 대해 r 숫자 c 1 ,..의 고유한 컬렉션이 있습니다. .,c r , 시스템(3.19)의 모든 방정식을 항등식으로 바꾸고 Cramer의 공식으로 정의합니다.
이 고유한 해법을 기록하기 위해 우리는 j-ro 열을 숫자 d 1, d 2의 열로 대체하여 행렬(3.2)의 기저 마이너 M에서 얻은 행렬식을 M j (d i) 기호로 표시하는 데 동의합니다. ...,d i,..., d r (M의 다른 모든 열은 변경 없이 유지됨) 그런 다음 Cramer의 공식을 사용하고 행렬식의 선형 속성을 사용하여 시스템(3.19)에 대한 해를 작성하면 다음을 얻습니다.

공식(3.20)은 미지수 x j = c j (j = 1, 2,......, r)의 값을 미지수, 자유항 및 r+1로 임의로 지정된 매개변수의 계수를 통해 표현합니다. ..., n과 함께.
그것을 증명해보자 공식(3.20)에는 시스템(3.1)에 대한 해가 포함되어 있습니다.. 실제로, c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1 , ...,c (0) n 을 지정된 시스템의 임의의 해라고 가정합니다. . 그런 다음 시스템(3.19)에 대한 솔루션입니다. 그러나 시스템(3.19)에서 수량 c(0) 1 , c(0) 2 ,...,c(0) r은 수량 c(0) r+1 , ...,c(0)을 통해 고유하게 결정됩니다. ) n 그리고 정확하게 Cramer의 공식(3.20)에 따릅니다. 따라서 r+1 =c (0) r+1 , ..., 와 함께 N =c (0) N 공식(3.20)은 고려중인 해를 정확하게 제공합니다. (0) 1 , 씨 (0) 2 ,...,씨 (0) 아르 자형 , 씨 (0) r+1 , ...,씨 (0) N .
논평.시스템 (3.1)의 기본 및 확장 행렬의 순위 r이 미지수 n의 수와 같으면 이 경우 관계 (3.20)는 공식으로 전환됩니다.

시스템의 고유한 솔루션 정의(3.1) 따라서 시스템(3.1)은 주 행렬과 확장 행렬의 순위 r이 미지수 n의 수(및 방정식의 수 m보다 작거나 같음)인 경우 고유한 해(즉, 명확함)를 갖습니다.
예. 선형 시스템의 모든 해를 찾아보자

이 시스템의 기본 행렬과 확장 행렬의 순위가 2라는 것을 쉽게 확인할 수 있으며(즉, 이 시스템은 호환 가능함) 기본 마이너 M이 기본 행렬의 왼쪽 상단에 있다고 가정할 수 있습니다. , 즉. . 그러나 마지막 두 방정식을 버리고 임의로 3과 4를 설정하면 다음과 같은 시스템을 얻게 됩니다.

x 1 - x 2 = 4 - c 3 + c 4,

x 1 + x 2 = 8 - 2c 3 - 3c 4,

Cramer의 공식 덕분에 우리는 다음 값을 얻습니다.

x 1 = c 1 = 6 - 3/2 c 3 - c 4, x 2 = c 2 = 2 - 1/2 c 3 - 2c 4. (3.22)

그럼 숫자 4개

(6 - 3/2 c 3 - c 4,2 - 1/2 c 3 - 2c 4,c 3, c 4) (3.23)

임의로 주어진 c 3 및 c 4 값에 대해 시스템(3.21)에 대한 솔루션을 형성하고 라인(3.23)에는 이 시스템의 모든 솔루션이 포함됩니다.

3. 솔루션 세트의 속성 동종 시스템. 이제 위와 같이 행렬(3.2)의 순위가 r과 같고 기저 마이너 M이 이 행렬의 왼쪽 상단에 위치한다고 가정하고 n 미지수(3.7)가 있는 m 선형 방정식의 동차 시스템을 고려해 보겠습니다. 행렬. 이번에는 모든 b i가 0이므로 공식 (3.20) 대신 다음 공식을 얻습니다.

미지수의 계수와 임의로 주어진 값 c r+1 ,...,c n을 통해 미지수 x j = c j (j = 1, 2,..., r)의 값을 표현합니다. 이전 단락에서 입증된 내용으로 인해 공식(3.24)에는 동종 시스템(3.7)의 모든 해가 포함되어 있습니다..
이제 세트가 동종 시스템(3.7)의 모든 해는 선형 공간을 형성합니다..
X 1 = (x (1) 1, x (1) 2,...,x (1) n) 및 X 2 = (x (2) 1, x (2) 2,...,x ( 2) n)은 동종 시스템(3.7)의 두 가지 임의 해이고, λ는 임의의 실수입니다. 동차 시스템(3.7)의 각 해는 n 수의 모든 정렬된 집합의 선형 공간 An의 요소라는 사실로 인해 두 집합 각각이 다음을 증명하는 것으로 충분합니다.

X 1 + X 2 = (x (1) 1 + x (2) 1 ,..., x (1) n + x (2) n)

λ X 1 = (λ x (1) 1 ,...,λ x (1) n)

또한 동종 시스템(3.7)에 대한 솔루션입니다.
예를 들어 i번째 방정식과 같은 시스템 방정식(3.7)을 고려하고 표시된 세트의 요소를 미지수 대신 이 방정식으로 대체해 보겠습니다. X 1 과 X 2 가 동질계의 해라는 점을 고려하면 다음과 같습니다.

이는 집합 X 1 + X 2 및 λ X 1이 동종 시스템(3.7)에 대한 해라는 것을 의미합니다.
따라서 동종 시스템(3.7)의 모든 해 집합은 선형 공간을 형성하며 이를 기호 R로 표시합니다.
이 공간 R의 차원을 찾아 그 안에 기초를 구축해 봅시다.
동차 시스템의 행렬(3.7)의 순위가 r과 같다는 가정 하에서 증명해 보겠습니다. 동차 시스템(3.7)의 모든 해의 선형 공간 R은 선형 공간 A와 동형입니다. n-r (n - r) 숫자의 모든 순서 모음(공간 Am은 예제 3, 섹션 1, 섹션 1, 2장에서 소개되었습니다).

동질계(3.7)의 각 해(c 1 ,...,c r , c r+1 ,...,c n)를 다음의 요소(c r+1 ,...,c n)와 연관시키겠습니다. 공간 ㅏ n-r숫자 c r+1 ,...,c n 은 임의로 선택할 수 있으며 각 선택에 대해 공식(3.24)을 사용하여 시스템(3.7)의 해를 고유하게 결정하므로 우리가 설정한 대응 관계는 다음과 같습니다. 1-1. 다음으로, 공간의 요소 c (1) r+1 ,...,c (1) n 및 c (2) r+1 ,...,c (2) n 이 공간에 있는 경우 ㅏ n-r요소 (c (1) 1 ,...,c (1) r , c (1) r+1 ,...,c (1) n) 및 (c (2) 1 ,... ,c (2) r , c (2) r+1 ,...,c (2) n) 공간 R의 경우, 공식 (3.24)에서 요소 (c (1) r+1 + c (2 ) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) 은 (c (1) 1 + c (2) 1 ,...,c (1) 요소에 해당합니다. r + c (2) r , c (1) r+1 + c (2) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) 및 요소 (λ c (1) r+1 ,... ,λ c (1) n) 임의의 실수 λ에 대해 요소 (λ c (1) 1 ,...,λ c (1) r , λ c (1) r+1 , ..., λ c (1 ) n). 이는 우리가 확립한 대응이 동형이라는 것을 증명합니다.
따라서, n개의 미지수와 r과 동일한 주 행렬의 랭크를 갖는 동차 시스템(3.7)의 모든 해의 선형 공간 R은 공간과 동형입니다. ㅏ n-r따라서 차원 n - r을 갖습니다.
동차 시스템(3.7)의 모든 (n - r) 선형 독립 해 집합은 (정리 2.5에 따라) 모든 해의 공간 R에서 기초를 형성하며 이를 동차 시스템(3.7)의 기본 해 집합이라고 합니다. .
기본적인 솔루션 세트를 구성하려면 우주의 모든 기반에서 시작할 수 있습니다. ㅏ n-r. 동형으로 인해 이 기저에 해당하는 시스템(3.7)의 해 집합은 선형 독립이므로 기본 해 집합이 됩니다.
가장 단순한 기초 e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (1, 1, 0,. .., 0), ... , e n-r = (0, 0, 0,..., 1) 공백 ㅏ n-r균질 시스템의 일반적인 기본 솔루션 집합이라고 합니다(3.7).
기본 마이너의 순위와 위치에 대해 위에서 만든 가정 하에서 공식(3.24) 덕분에 동종 시스템(3.7)의 일반적인 기본 솔루션 집합은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

기저의 정의에 따라 동종 시스템(3.7)의 모든 해 X는 다음 형식으로 표현될 수 있습니다.

X= C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r , (3.26)

여기서 C 1, C 2, ..., C n-r은 일부 상수입니다. 공식 (3.26)에는 동종 시스템 (3.7)에 대한 모든 해가 포함되어 있으므로 이 공식은 고려 중인 동종 시스템에 대한 일반 해를 제공합니다.
예. 동종 방정식 시스템을 고려하십시오.

이전 단락 끝의 예에서 분석된 비균질 시스템(3.21)에 해당합니다. 거기서 우리는 이 시스템의 행렬의 랭크 r이 2와 같다는 것을 알았고, 지정된 행렬의 왼쪽 상단에 있는 마이너를 기초로 삼았습니다.
이전 단락의 끝에서 수행된 추론을 반복하여 공식(3.22) 대신 관계식을 얻습니다.

c 1 = - 3/2 c 3 - c 4, c 2 = - 1/2 c 3 - 2c 4,

임의로 선택된 c 3 및 c 4 에 유효합니다. 이러한 관계를 사용하여(먼저 c 3 =1,c 4 =0, 그 다음 c 3 = 0,c 4 = 1이라고 가정) 우리는 시스템(3.27)에 대한 두 해의 일반적인 기본 집합을 얻습니다.

X 1 = (-3/2,-1/2,1,0), X 2 = (-1,-2, 0.1). (3.28)

여기서 C1과 C2는 임의의 상수입니다.
이 섹션을 마무리하기 위해 우리는 비균질 선형 시스템(3.1)의 해와 해당 동질 시스템(3.7)(미지수에 대해 동일한 계수를 사용) 간의 연결을 설정합니다. 다음 두 명제를 증명해 보자.
1°. 비균질 시스템(3.1)에 대한 솔루션과 해당 동종 시스템(3.7)에 대한 솔루션의 합은 시스템(3.1)에 대한 솔루션입니다.
실제로, c 1 ,...,c n 이 시스템 (3.1)에 대한 해라면, a d 1 ,...,d n 은 해당 동종 시스템(3.7)에 대한 해입니다. 그러면 임의의 시스템(예: i 번째 ) 알 수 없는 숫자 c 1 + d 1 ,...,c n + d n 대신 시스템(3.1)의 방정식을 사용하면 다음을 얻습니다.

Q.E.D.
2°. 불균일 시스템(3.1)의 두 임의 해의 차이는 해당 동종 시스템(3.7)의 해입니다.
실제로 c" 1 ,...,c" n 및 c" 1 ,...,c" n 이 시스템 (3.1)의 두 임의 해인 경우 임의의 해(예: i- th) 알 수 없는 숫자 c" 1 - c" 1 ,...,c" n - c" n 대신 시스템 방정식(3.7)을 얻습니다.

Q.E.D.
입증된 진술로부터 다음과 같은 결론이 나옵니다. 불균일 시스템(3.1)의 하나의 해를 찾고 이를 해당 동종 시스템(3.7)의 각 솔루션과 추가하면 불균일 시스템(3.1)의 모든 해를 얻습니다.
다시 말해서, 불균일 시스템의 특정 해(3.1)와 해당 동종 시스템의 일반 해(3.7)의 합은 불균일 시스템의 일반 해(3.1)를 제공합니다.
불균일 시스템(3.1)에 대한 특정 솔루션으로서 해당 솔루션을 취하는 것이 당연합니다(위와 같이 시스템(3.1)의 기본 행렬과 확장 행렬의 순위는 r과 같고 기본 행렬은 다음과 같다고 가정합니다. 마이너는 이 행렬의 왼쪽 상단에 있습니다)

이는 공식 (3.20)에서 모든 숫자 c r+1 ,...,c n 을 0으로 설정하면 얻을 수 있습니다. 해당 동종 시스템의 일반 솔루션(3.26)에 이 특정 솔루션을 추가하면 비균질 시스템(3.1)의 일반 솔루션에 대해 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

X= X 0 + C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r . (3.30)

이 식에서 X 0 는 특정 해(3.29)를 나타내고, C 1 , C 2 , ... , C n-r은 임의의 상수이고, X 1 , X 2 ,... , X n-r은 일반 기본 집합의 요소입니다. 솔루션(3.25)에 해당하는 동종 시스템.
따라서 이전 단락 끝에서 고려된 비균질 시스템(3.21)에 대해 형식(3.29)의 특정 해는 X 0 = (6,2,0, 0)과 같습니다.
이 특정 해를 해당 동종 시스템(3.27)의 일반 해(3.28)에 추가하면 불균일 시스템(3.21)에 대한 다음 일반 해를 얻습니다.

X = (6,2,0, 0) + C 1 (-3/2,-1/2,1,0) + C 2 (-1,-2, 0.1). (3.31)

여기서 C1과 C2는 임의의 상수이다.
4. 선형 시스템 해결에 대한 결론.이전 단락에서 개발된 선형 시스템을 해결하는 방법
행렬의 순위를 계산하고 그 기초가 미미한 것을 찾아야 할 필요성에 달려 있습니다. 기초 마이너가 발견되면 행렬식을 계산하는 기술과 Cramer 공식을 사용하여 해결책이 나옵니다.
행렬의 순위를 계산하려면 다음 규칙을 사용할 수 있습니다. 행렬의 순위를 계산할 때 낮은 차수의 마이너에서 더 높은 차수의 마이너로 이동해야 합니다. 더욱이, k차의 0이 아닌 마이너 M이 이미 발견된 경우, (k + 1) 차의 마이너만 경계에 있습니다.(즉, 그 안에 마이너 M이 포함되어 있습니다) 이 미성년자는 M입니다. (k + 1) 순서의 모든 경계 마이너가 0과 같으면 행렬의 순위는 k와 같습니다.(실제로 표시된 경우 행렬의 모든 행(열)은 k 행(열)의 선형 껍질에 속하며 교차점에는 작은 M이 있고 표시된 선형 껍질의 차원은 다음과 같습니다. k)와 같습니다.
행렬의 순위를 계산하는 또 다른 규칙도 나타내겠습니다. 행렬의 행(열)을 사용하여 다음을 수행할 수 있습니다. 세 가지 기본 연산, 이는 이 행렬의 순위를 변경하지 않습니다. 1) 두 행(또는 두 열)의 순열, 2) 0이 아닌 인수로 행(또는 열)의 곱셈, 3) 다음의 한 행(열)에 추가 다른 행(열)의 임의의 선형 조합(이 세 가지 연산은 연산 1)과 2)가 행렬의 선형 독립 행(열)의 최대 수를 변경하지 않는다는 사실로 인해 행렬의 순위를 변경하지 않습니다. 그리고 동작 3)은 이 동작을 수행하기 전에 존재했던 모든 행(열)의 선형 범위가 이 동작을 수행한 후 얻은 모든 행(열)의 선형 포락선과 일치하는 특성을 가지고 있습니다.
m개의 행과 n개의 열을 포함하는 행렬 ||a ij ||는 다음과 같습니다. 대각선 a 11, a 22,.., a rr 이외의 모든 요소가 0과 같을 경우 형식을 취합니다. 여기서 r = min(m, n)입니다. 그러한 행렬의 순위는 분명히 r과 같습니다.
확실히 해보자 세 가지 기본 연산을 사용하여 모든 행렬

대각선 형태로 축소될 수 있음(이를 통해 순위를 계산할 수 있습니다).

실제로 행렬(3.31)의 모든 요소가 0이면 이 행렬은 이미 대각선 형태로 축소된 것입니다. 어머니라면
리브(3.31)에 0이 아닌 요소가 있는 경우 두 개의 행과 두 개의 열을 재배열하여 요소 a 11이 0이 아닌 것을 확인할 수 있습니다. 행렬의 첫 번째 행에 11 -1을 곱한 후 요소 a 11을 1로 바꿉니다. 행렬의 j-ro 열(j = 2, 3,..., n인 경우)에서 i1을 곱한 첫 번째 열을 더 빼고 다음에서 뺍니다. i번째 줄(i = 2, 3,..., n의 경우) 첫 번째 행에 i1을 곱하면 (3.31) 대신 다음 형식의 행렬을 얻습니다.

프레임에 포함된 행렬을 사용하여 이미 설명한 작업을 수행하고 비슷한 방식으로 계속 작동하면 유한한 수의 단계를 거쳐 대각 행렬을 얻을 수 있습니다.
궁극적으로 Cramer 공식의 장치를 사용하는 이전 단락에 설명된 선형 시스템을 해결하는 방법은 방정식 및 자유 항의 계수 값이 대략적으로 제공되거나 이러한 값이 제공되는 경우 큰 오류가 발생할 수 있습니다. 계산 과정에서 반올림됩니다.
우선 이는 주 행렬식(또는 기저 마이너)에 해당하는 행렬이 다음과 같은 경우에 적용됩니다. 상태가 좋지 않은(즉, 이 행렬 요소의 "작은" 변화가 역행렬 요소의 "큰" 변화에 해당하는 경우) 당연히 이 경우 선형 시스템의 해는 다음과 같습니다. 불안정한(즉, 방정식과 자유 항의 계수 값의 "작은" 변화는 솔루션의 "큰" 변화에 해당합니다).
언급된 상황으로 인해 해를 찾기 위한 다른(Cramer의 공식과는 다른) 이론적 알고리즘과 선형 시스템을 해결하기 위한 수치적 방법을 모두 개발해야 합니다.
§4 4장에서 우리는 다음에 대해 알게 될 것입니다 A.N.의 정규화 방법 티코노바소위를 찾아서 정상(즉, 원점에 가장 가까운) 선형 시스템의 해입니다.
6장에서는 소위 말하는 기본 정보를 제공합니다. 반복적인 방법미지수의 연속 근사를 사용하여 이러한 시스템을 풀 수 있는 선형 시스템 솔루션입니다.