그것은 평행 육면체의 바닥에 놓여 있습니다. 평행 육면체의 종류

이번 단원에서는 평행육면체를 정의하고 그 구조와 요소(평행육면체의 대각선, 평행육면체의 측면 및 속성)에 대해 논의합니다. 또한 평행사변형의 면과 대각선의 특성을 고려해 보겠습니다. 다음으로 평행육면체 단면을 구성하는 일반적인 문제를 해결해 보겠습니다.

주제: 선과 평면의 평행성

교훈: 평행 육면체. 평행육면체의 면과 대각선의 속성

이번 단원에서는 평행육면체를 정의하고 그 구조, 속성, 요소(변, 대각선)에 대해 논의합니다.

평행육면체는 평행한 평면에 있는 두 개의 동일한 평행사변형 ABCD와 A 1 B 1 C 1 D 1을 사용하여 형성됩니다. 명칭: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 또는 AD 1(그림 1).

2. 교육적 아이디어의 축제 "공개 수업"()

1. 기하학. 10-11학년: 일반 교육 기관(기본 및 전문 수준) 학생을 위한 교과서 / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5판, 수정 및 확장 - M.: Mnemosyne, 2008. - 288페이지:ill.

작업 10, 11, 12 p.

2. 직육면체의 단면을 구성합니다. ABCDA1B1C1D1점을 통과하는 평면:

가) 가, 다, B1

나) B1, D1그리고 갈비뼈 중앙 AA1.

3. 큐브의 가장자리는 a와 같습니다. 한 꼭지점에서 나오는 세 모서리의 중간점을 통과하는 평면으로 입방체의 단면을 구성하고 둘레와 면적을 계산합니다.

4. 평행육면체 평면의 교차로 어떤 모양을 얻을 수 있습니까?

이 수업에서는 모든 사람이 "직사각형 평행육면체"라는 주제를 공부할 수 있습니다. 수업 시작 부분에서 우리는 임의의 직선 육면체가 무엇인지 반복하고 평행 육면체의 반대면과 대각선의 속성을 기억할 것입니다. 그런 다음 직육면체가 무엇인지 살펴보고 기본 속성에 대해 논의하겠습니다.

주제: 선과 평면의 수직성

교훈: 직육면체

두 개의 동일한 평행사변형 ABCD 및 A 1 B 1 C 1 D 1과 4개의 평행사변형 ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1로 구성된 표면을 호출합니다. 평행 육면체의(그림 1).

쌀. 1 평행육면체

즉, 두 개의 동일한 평행사변형 ABCD 및 A 1 B 1 C 1 D 1(베이스)이 있으며 측면 가장자리 AA 1, BB 1, DD 1, CC 1이 평행하도록 평행 평면에 놓입니다. 따라서 평행사변형으로 구성된 표면을 다음과 같이 부릅니다. 평행 육면체의.

따라서 평행육면체의 표면은 평행육면체를 구성하는 모든 평행사변형의 합입니다.

1. 평행육면체의 반대쪽 면은 평행하고 동일합니다.

(모양이 동일합니다. 즉, 겹쳐서 결합할 수 있습니다.)

예를 들어:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (정의에 따른 평행사변형),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C(AA 1 B 1 B와 DD 1 C 1 C는 평행육면체의 반대면이므로),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C(AA 1 D 1 D와 BB 1 C 1 C는 평행육면체의 반대면이므로).

2. 평행육면체의 대각선은 한 점에서 교차하고 이 점으로 이등분됩니다.

평행육면체 AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B의 대각선은 한 점 O에서 교차하고 각 대각선은 이 점에 의해 반으로 나뉩니다(그림 2).

쌀. 2 평행육면체의 대각선은 교차하며 교차점에 의해 반으로 나뉩니다.

3. 평행육면체의 모서리가 동일하고 평행한 세 개의 네 개의 모서리가 있습니다.: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

정의. 평행육면체의 측면 가장자리가 밑면에 수직이면 직선이라고 합니다.

측면 가장자리 AA 1이 베이스에 수직이 되도록 합니다(그림 3). 이는 직선 AA 1이 밑면에 있는 직선 AD 및 AB에 수직임을 의미합니다. 이는 측면에 직사각형이 포함되어 있음을 의미합니다. 그리고 밑면에는 임의의 평행사변형이 포함되어 있습니다. ∠BAD = ψ라고 가정하면 각도 ψ는 무엇이든 될 수 있습니다.

쌀. 3 직육면체

따라서 직육면체는 측면 모서리가 평행육면체의 밑면에 수직인 평행육면체입니다.

정의. 평행육면체는 직육면체라고 부르는데,측면 모서리가 베이스에 수직인 경우. 밑면은 직사각형입니다.

평행 육면체 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1은 직사각형입니다 (그림 4).

1. AA 1 ⊥ ABCD (베이스 평면에 수직인 측면 모서리, 즉 직선 평행육면체).

2. ∠BAD = 90°, 즉 밑변이 직사각형입니다.

쌀. 4 직육면체

직육면체는 임의의 평행육면체의 모든 특성을 갖습니다.그러나 직육면체의 정의에서 파생되는 추가 속성이 있습니다.

그래서, 직육면체은 측면 모서리가 밑면에 수직인 평행육면체입니다. 직육면체의 밑면은 직사각형이다.

1. 직육면체에서는 여섯 개의 면이 모두 직사각형입니다.

ABCD와 A 1 B 1 C 1 D 1은 정의상 직사각형입니다.

2. 측면 갈비뼈는 베이스에 수직입니다.. 이는 직육면체의 모든 측면이 직사각형임을 의미합니다.

3. 직육면체의 모든 2면각은 옳습니다.

예를 들어 모서리 AB를 가진 직육면체의 2면각, 즉 평면 ABC 1과 ABC 사이의 2면각을 생각해 보겠습니다.

AB는 모서리이고, 점 A 1은 한 평면(ABB 1 평면)에 있고 점 D는 다른 평면(A 1 B 1 C 1 D 1)에 있습니다. 그러면 고려 중인 2면각은 다음과 같이 표시될 수도 있습니다: ∠A 1 ABD.

가장자리 AB의 점 A를 살펴보겠습니다. AA 1은 평면 АВВ-1의 모서리 AB에 수직이고, AD는 평면 ABC의 모서리 AB에 수직입니다. 이는 ∠A 1 AD가 주어진 이면각의 선형 각도임을 의미합니다. ∠A 1 AD = 90°, 이는 모서리 AB의 2면각이 90°임을 의미합니다.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

마찬가지로 직육면체의 모든 2면각이 옳다는 것이 증명되었습니다.

직육면체의 대각선의 제곱은 세 차원의 제곱의 합과 같습니다.

메모. 직육면체의 한 꼭지점에서 나오는 세 모서리의 길이는 직육면체의 측정값입니다. 때로는 길이, 너비, 높이라고도 합니다.

주어진 : ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - 직육면체 (그림 5).

입증하다: .

쌀. 5 직육면체

증거:

직선 CC 1은 평면 ABC에 수직이므로 직선 AC에 수직입니다. 이는 삼각형 CC 1 A가 직각임을 의미합니다. 피타고라스의 정리에 따르면:

직각삼각형 ABC를 생각해 보세요. 피타고라스의 정리에 따르면:

그러나 BC와 AD는 직사각형의 반대편입니다. 그러니까 BC=AD. 그 다음에:

왜냐하면 , 에이 , 저것. CC 1 = AA 1이므로 이것이 증명되어야 합니다.

직육면체의 대각선은 동일합니다.

평행육면체 ABC의 치수를 a, b, c(그림 6 참조)로 표시하면 AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

그리스어로 번역된 평행사변형은 평면을 의미합니다. 평행육면체는 밑면에 평행사변형이 있는 프리즘입니다. 평행사변형에는 경사형, 직선형, 직육면체의 다섯 가지 유형이 있습니다. 입방체와 마름모꼴도 평행육면체에 속하며 그 변종입니다.

기본 개념으로 넘어가기 전에 몇 가지 정의를 내려보겠습니다.

평행육면체의 대각선은 서로 마주보는 평행육면체의 꼭지점을 하나로 묶은 선분입니다.
두 면이 공통 모서리를 갖는 경우 이를 인접 모서리라고 부를 수 있습니다. 공통 모서리가 없으면 면을 반대면이라고 합니다.
같은 면에 있지 않은 두 정점을 마주보는 정점이라고 합니다.

평행 육면체에는 어떤 속성이 있습니까?

반대편에 놓인 평행육면체의 면은 서로 평행하고 서로 같습니다.
한 꼭지점에서 다른 꼭지점으로 대각선을 그리면 이러한 대각선의 교차점이 절반으로 나뉩니다.
밑면과 같은 각도를 이루는 평행육면체의 변은 동일합니다. 즉, 공동 방향의 변의 각도는 서로 동일합니다.

평행육면체에는 어떤 종류가 있나요?

이제 어떤 종류의 평행 육면체가 있는지 알아 보겠습니다. 위에서 언급했듯이 이 그림에는 직선형, 직사각형, 경사 평행육면체, 정육면체 및 마름모꼴 등 여러 유형이 있습니다. 그들은 어떻게 다른가요? 그것은 그들을 형성하는 평면과 그들이 형성하는 각도에 관한 것입니다.

나열된 각 평행 육면체 유형을 자세히 살펴 보겠습니다.

이름에서 이미 알 수 있듯이 경사 평행육면체는 경사면, 즉 밑면에 대해 90도 각도를 이루지 않는 면을 가지고 있습니다.
그러나 직육면체의 경우 밑면과 모서리 사이의 각도는 정확히 90도입니다. 이러한 이유로 이러한 유형의 평행 육면체에는 그러한 이름이 있습니다.
평행육면체의 모든 면이 동일한 정사각형이면 이 그림은 정육면체로 간주될 수 있습니다.
직육면체는 그것을 형성하는 평면 때문에 이 이름을 받았습니다. 밑면을 포함하여 모두 직사각형이면 직육면체입니다. 이 유형의 평행 육면체는 자주 발견되지 않습니다. 그리스어로 번역된 마름모꼴면체는 얼굴 또는 밑면을 의미합니다. 얼굴이 마름모꼴인 입체도형에 붙여진 이름이다.

평행 육면체의 기본 공식

평행 육면체의 부피는 밑면의 면적과 밑면에 수직인 높이의 곱과 같습니다.

측면의 면적은 밑면의 둘레와 높이의 곱과 같습니다.
기본 정의와 공식을 알면 기본 면적과 부피를 계산할 수 있습니다. 베이스는 귀하의 재량에 따라 선택할 수 있습니다. 그러나 원칙적으로 직사각형이 기본으로 사용됩니다.

평행 육면체에는 여러 유형이 있습니다.

· 직육면체- 평행육면체는 모든 면이 다음과 같습니다 - 직사각형;

· 직육면체는 4개의 측면(평행사변형)을 갖는 평행육면체입니다.

· 기울어진 평행육면체는 옆면이 밑면에 수직이 아닌 평행육면체입니다.

기본 요소

공통 모서리가 없는 평행육면체의 두 면을 반대면이라고 하며, 공통 모서리를 갖는 면을 인접면이라고 합니다. 같은 면에 속하지 않는 평행육면체의 두 꼭지점을 반대라고 합니다. 분절,반대쪽 꼭지점을 연결하는 것을 호출합니다. 대각선으로평행 육면체. 공통 꼭지점을 갖는 직육면체의 세 모서리의 길이를 측정.

속성

· 평행육면체는 대각선의 중앙을 기준으로 대칭입니다.

· 끝이 평행육면체의 표면에 속하고 대각선의 중앙을 통과하는 모든 세그먼트는 평행육면체에 의해 반으로 나뉩니다. 특히, 평행육면체의 모든 대각선은 한 지점에서 교차하고 이등분됩니다.

· 평행육면체의 반대면은 평행하고 동일합니다.

· 직육면체의 대각선 길이의 제곱은 세 변의 제곱의 합과 같습니다

기본 공식

직육면체

· 측면 표면적 S b =P o *h, 여기서 P o는 밑면의 둘레이고, h는 높이입니다.

· 총 표면적 S p =S b +2S o, 여기서 S o는 기본 면적입니다.

· 용량 V=S o *h

직육면체

· 측면 표면적 S b =2c(a+b), 여기서 a, b는 밑면의 변이고, c는 직육면체의 측면 모서리입니다.

· 총 표면적 S p =2(ab+bc+ac)

· 용량 V=abc, 여기서 a, b, c는 직육면체의 치수입니다.

· 측면 표면적 S=6*h 2, 여기서 h는 큐브 가장자리의 높이입니다.

34. 사면체-정다면체는 4 정삼각형인 면. 사면체의 꼭지점 4 , 각 꼭지점으로 수렴 3 갈비뼈, 전체갈비뼈 6 . 또한 사면체는 피라미드입니다.

정사면체를 구성하는 삼각형을 삼각형이라고 한다. 얼굴(AOS, OSV, ACB, AOB), 그들의 측면 --- 갈비뼈(AO, OC, OB), 그리고 정점 --- 정점(A, B, C, O)사면체. 공통 꼭지점을 갖지 않는 사면체의 두 모서리를 호출합니다. 반대... 때로는 사면체의 면 중 하나가 분리되어 호출됩니다. 기초, 나머지 3개는 --- 옆면.

사면체라고 불린다. 옳은, 모든 면이 정삼각형인 경우. 게다가 정사면체와 정삼각뿔은 같은 것이 아니다.

유 정사면체모서리의 모든 2면체 각도와 꼭지점의 모든 3면체 각도는 동일합니다.

35. 올바른 프리즘

프리즘은 두 면(밑면)이 평행한 평면에 있고 이 면 외부의 모든 모서리가 서로 평행한 다면체입니다. 밑면 이외의 면을 측면이라 하고, 그 모서리를 측면 모서리라고 합니다. 모든 측면 모서리는 두 개의 평행 평면으로 둘러싸인 평행 세그먼트로서 서로 동일합니다. 프리즘의 모든 측면은 평행사변형입니다. 프리즘 밑면의 해당 변은 동일하고 평행합니다. 측면 모서리가 밑면에 수직인 프리즘을 직선 프리즘이라고 하며, 다른 프리즘을 경사 프리즘이라고 합니다. 정기둥의 밑면에는 정다각형이 있습니다. 이러한 프리즘의 모든 면은 동일한 직사각형입니다.

프리즘의 표면은 두 개의 베이스와 측면으로 구성됩니다. 프리즘의 높이는 프리즘의 밑면이 있는 평면에 공통적으로 수직인 부분입니다. 프리즘의 높이는 거리입니다. 시간베이스의 평면 사이.

측면 표면적 에스프리즘의 b는 측면 면적의 합입니다. 총 표면적 에스프리즘의 n은 모든 면의 면적의 합입니다. 에스 n = 에스 b + 2 에스,어디 에스– 프리즘 베이스의 영역, 에스 b - 측면 표면적.

36. 한 면을 가진 다면체 기초, – 다각형,
다른 면은 공통 꼭지점을 갖는 삼각형입니다. 피라미드 .

베이스 이외의 면을 호출합니다. 옆쪽.
측면의 공통 꼭지점은 다음과 같습니다. 피라미드의 꼭대기.
피라미드의 꼭대기와 밑면의 꼭지점을 연결하는 모서리를 호출합니다. 옆쪽.
피라미드 높이 피라미드 꼭대기에서 밑면까지 그어진 수직선을 수직선이라고 합니다.

피라미드라고 불리는 옳은, 밑면이 정다각형이고 높이가 밑면의 중심을 통과하는 경우입니다.

최고 테마 일반 피라미드의 옆면은 피라미드의 꼭지점에서 그려진 이 면의 높이입니다.

피라미드의 밑면과 평행한 평면은 피라미드를 비슷한 피라미드로 잘라냅니다. 잘린 피라미드.

일반 피라미드의 특성

일반 피라미드의 측면 모서리는 동일합니다.
일반 피라미드의 측면은 서로 동일한 이등변 삼각형입니다.

모든 측면 모서리가 동일하면

· 높이는 외접원의 중심에 투영됩니다.

측면 리브는 베이스 평면과 동일한 각도를 형성합니다.

측면이 베이스 평면에 대해 같은 각도로 기울어져 있으면

· 높이는 내접원의 중심에 투영됩니다.

· 측면의 높이가 동일합니다.

·측면의 면적은 밑면의 둘레와 측면의 높이를 곱한 값의 절반과 같습니다.

37. x가 자연수 집합에 속하는 함수 y=f(x)를 자연 인수 또는 숫자 시퀀스의 함수라고 합니다. 이는 y=f(n) 또는 (y n)으로 표시됩니다.

시퀀스는 다양한 방법으로 지정할 수 있습니다. 구두로 소수 시퀀스를 지정하는 방법은 다음과 같습니다.

2, 3, 5, 7, 11 등

n번째 항에 대한 공식이 다음과 같이 주어지면 수열은 분석적으로 주어진 것으로 간주됩니다.

1, 4, 9, 16, …, n 2, …

2) y n = C. 이러한 시퀀스를 상수 또는 고정이라고 합니다. 예를 들어:

2, 2, 2, 2, …, 2, …

3) y n =2 n . 예를 들어,

2, 2 2, 2 3, 2 4, …, 2n, …

수열의 모든 항이 최대 특정 숫자 이하인 경우 수열은 위에 유계가 있다고 합니다. 즉, 부등식 yn이 M보다 작거나 같은 숫자 M이 있으면 시퀀스를 유계라고 부를 수 있습니다. 숫자 M을 시퀀스의 상한이라고 합니다. 예를 들어 시퀀스는 -1, -4, -9, -16, ..., -n 2 입니다. 위에서부터 제한됩니다.

마찬가지로, 모든 항이 특정 수보다 큰 경우 수열은 아래에 유계가 있다고 부를 수 있습니다. 시퀀스의 위쪽과 아래쪽 모두에 경계가 있으면 이를 경계라고 합니다.

각 후속 항이 이전 항보다 큰 경우 수열을 증가라고 합니다.

각 후속 멤버가 이전 멤버보다 작은 경우 시퀀스를 감소라고 합니다. 증가 및 감소 시퀀스는 단조 시퀀스라는 한 용어로 정의됩니다.

두 가지 시퀀스를 고려하십시오.

1) yn: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …

2) xn: 1, ½, 1/3, 1/4, …, 1/n, …

이 수열의 항을 수직선에 표시하면 두 번째 경우에는 수열의 항이 한 점 주위로 압축되어 있음을 알 수 있지만 첫 번째 경우에는 그렇지 않습니다. 이러한 경우 수열 y n은 발산하고 수열 x n은 수렴한다고 합니다.

b 점의 미리 선택된 이웃이 특정 숫자부터 시작하여 수열의 모든 구성원을 포함하는 경우 숫자 b를 수열 y n의 극한이라고 합니다.

이 경우 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

수열의 몫이 모듈러스에서 1보다 작으면 x가 무한대에 가까워지는 경향이 있으므로 이 수열의 극한은 0과 같습니다.

수열이 수렴하면 한도가 1개로 제한됩니다.

수열이 수렴하면 유계가 있는 것입니다.

Weierstrass의 정리: 수열이 단조롭게 수렴하면 유계입니다.

고정 수열의 극한은 수열의 모든 항과 같습니다.

속성:

1) 한도액은 한도액의 합과 같습니다.

2) 제품의 한도는 한도의 곱과 같습니다.

3) 몫의 한계는 한계의 몫과 같습니다.

4) 상수 인자는 한계 기호를 넘어 취해질 수 있습니다.

질문 38
무한한 기하학적 진행의 합

기하학적 진행- 일련의 숫자 b 1, b 2, b 3,.. (진행의 구성원). 여기서 두 번째부터 시작하는 각 후속 숫자는 이전 숫자에 특정 숫자 q를 곱하여 얻습니다. (분모 진행의), 여기서 b 1 ≠0, q ≠0.

무한한 기하학적 진행의 합진행 순서가 수렴되는 제한 수입니다.

즉, 기하수열의 길이가 아무리 길더라도 그 항의 합은 특정 숫자를 넘지 않으며 실질적으로 이 숫자와 같습니다. 이것을 기하수열의 합이라고 합니다.

모든 기하학적 수열이 그러한 제한 합계를 갖는 것은 아닙니다. 분모가 1보다 작은 분수인 수열에만 해당됩니다.

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