기호 자체를 공식화하기 전에 중요한 질문을 고려해 보겠습니다.
D'Alembert의 수렴 테스트는 언제 사용해야 합니까?

d'Alembert의 검정을 적용하기 위한 주요 전제조건은 다음과 같습니다.

1) 시리즈의 공통 용어(시리즈의 “stuffing”)에는 어느 정도 숫자가 포함됩니다(예: ). 더욱이 이러한 함수가 분자나 분모에 어디에 있는지는 전혀 중요하지 않습니다. 중요한 것은 함수가 거기에 존재한다는 것입니다.

2) 계열의 공통항에는 계승이 포함됩니다. 팩토리얼이란 무엇입니까?





…


…

! d'Alembert의 검정을 사용할 때 계승을 자세히 설명해야 합니다. 이전 단락에서와 마찬가지로 계승값은 분수의 위쪽이나 아래쪽에 위치할 수 있습니다.

3) 시리즈의 일반적인 용어에 "요인 체인"이 있는 경우, 예를 들어, . 이 경우는 드뭅니다.

거듭제곱 및/또는 계승과 함께 다항식은 계열을 채울 때 종종 발견됩니다. 이는 상황을 바꾸지 않습니다. D'Alembert 기호를 사용해야 합니다.

또한 계열의 공통항에서는 차수와 계승이 동시에 발생할 수 있습니다. 두 개의 계승, 두 개의 차수가 있을 수 있습니다. 적어도 뭔가고려된 점에서 - 이것이 바로 d'Alembert 기호를 사용하기 위한 전제 조건입니다.

달랑베르 징후: 생각해 보자 양수 계열. 이전 항에 대한 후속 항의 비율에 제한이 있는 경우:
a) 행일 때 수렴
b) 행일 때 갈라진다
다) 언제 그 표시는 답을 주지 않는다. 다른 기호를 사용해야 합니다. 대부분의 경우 제한 비교 테스트를 사용해야 하는 d'Alembert 테스트를 적용하려고 할 때 하나를 얻습니다.

한계에 대한 이해와 불확실성을 드러내는 능력 없이는 불행하게도 더 이상 나아갈 수 없습니다.

예:
해결책:우리는 시리즈의 일반적인 용어에서 이것이 d'Alembert의 테스트를 사용하기 위한 확실한 전제 조건임을 알 수 있습니다.

d'Alembert 기호를 사용합니다.


수렴한다.

과격한 코시 징후.

양성에 대한 코시 수렴 테스트 숫자 시리즈방금 논의한 D'Alembert 징후와 다소 유사합니다.

급진적 코시 징후:고려해 봅시다 양수 계열. 제한이 있는 경우: , 다음은 다음과 같습니다.
a) 행일 때 수렴. 특히, 계열은 에서 수렴합니다.
b) 행일 때 갈라진다. 특히 시리즈는 .
다) 언제 그 표시는 답을 주지 않는다. 다른 기호를 사용해야 합니다.

! Cauchy의 검정이 급수의 수렴 문제에 대한 답을 제공하지 못한다면 D'Alembert의 검정도 답을 제공하지 않는다는 점은 흥미롭습니다. 그러나 d'Alembert의 테스트가 답을 제공하지 못한다면 Cauchy의 테스트는 "작동"할 수 있습니다. 즉, 코시 기호는 이런 의미에서 더 강한 기호입니다.

!!! 근호 코시 기호는 언제 사용해야 합니까?급진적인 Cauchy 테스트는 일반적으로 계열의 공통 용어가 다음과 같은 경우에 사용됩니다. 충분히정도에 있다 "en"에 따라. 또는 계열의 공통 구성원에서 루트 "good"이 추출되는 경우입니다. 이국적인 경우도 있지만 걱정하지 않겠습니다.

예:계열의 수렴을 조사합니다.

해결책:우리는 계열의 일반 항이 완전히 에 따라 거듭제곱을 받는다는 것을 알 수 있습니다. 이는 급진적인 Cauchy 테스트를 사용해야 함을 의미합니다.


그래서 연구중인 시리즈는 갈라진다.

적분 코시 테스트.

코시 적분 검정을 적용하려면 도함수, 적분 구하는 데 어느 정도 자신감이 있어야 하며 계산 능력도 있어야 합니다. 부적절한 적분첫 번째 종류.

(이해하기 쉽도록) 내 말로 표현하겠습니다.

통합 코시 테스트:고려해 봅시다 양수 계열. 이 계열은 해당 부적절한 적분과 함께 수렴하거나 발산합니다.

! !! Cauchy 적분 검정을 사용하기 위한 주요 전제 조건은 다음과 같습니다.시리즈의 일반적인 용어에는 특정 기능과 그 파생물이 있다는 사실입니다.

예:계열의 수렴을 조사합니다.

해결책:주제에서 유도체아마도 가장 간단한 테이블 항목인 을 기억하실 것입니다. 그리고 우리는 그러한 정식 사례를 가지고 있습니다.

통합 속성을 사용하는 방법은 무엇입니까? 먼저 적분 아이콘을 가져와서 계열의 "카운터"에서 상한과 하한을 다시 작성합니다. 그런 다음 적분 아래에서 문자 "X"로 시리즈의 "채우기"를 다시 작성합니다.

이제 우리는 부적절한 적분을 계산해야 합니다. 이 경우 두 가지 경우가 가능합니다.

1) 적분이 수렴하는 것으로 밝혀지면 계열도 수렴합니다.

2) 적분이 발산하는 것으로 밝혀지면 우리 계열도 발산할 것입니다.

우리는 적분 기호를 사용합니다:

피적분 함수는 다음에서 연속입니다.

그래서 연구중인 시리즈는 갈라진다이에 상응하는 부적절한 적분과 함께.

예:계열의 수렴을 조사합니다.

해결책:우선 확인해 보자. 급수의 수렴에 필요한 신호. 이것은 형식적인 것이 아니라 '적은 유혈 사태'로 사례를 다룰 수 있는 절호의 기회입니다.

번호 순서더 높은 성장 순서, 보다, 그러므로 즉, 필요한 수렴 부호가 충족되고 급수는 수렴하거나 발산할 수 있습니다.

따라서 일종의 기호를 사용해야 합니다. 하지만 어느 것? 비교의 한계분명히 적합하지 않습니다. 왜냐하면 로그가 계열의 공통 용어로 압착되었기 때문입니다. 달랑베르 징후와 코시 징후또한 결과로 이어지지 않습니다. 그랬다면 최소한 우리는 빠져나올 수 있었을 텐데 필수 기능.

"장면 검사"는 발산 계열(일반화된 조화 계열의 경우)을 제안하지만 분자에서 로그를 어떻게 고려하는지에 대한 질문이 다시 발생합니다.

남은 것은 종종 고려되지 않고 먼 선반에 먼지를 모으는 불평등에 기초한 비교의 첫 번째 신호입니다. 시리즈를 좀 더 자세히 설명하자면 다음과 같습니다.

다시 한번 상기시켜 드리겠습니다. – 무제한으로 성장합니다. 번호 순서:

그리고 숫자부터 시작하여 부등식이 충족됩니다.

즉, 시리즈의 구성원은 다음과 같습니다. 더 나아가관련 회원 다른 열.

결과적으로 시리즈는 흩어질 수밖에 없다.

숫자 계열의 수렴 또는 발산은 "무한 꼬리"(나머지)에 따라 달라집니다. 우리의 경우 처음 두 숫자에 대한 부등식이 사실이 아니라는 사실을 무시할 수 있습니다. 이는 결론에 영향을 미치지 않습니다.

완성된 예제는 다음과 같아야 합니다.

이 계열을 발산 계열과 비교해 보겠습니다.
로 시작하는 모든 숫자에 대해 부등식을 만족하므로 비교 기준에 따라 연구 중인 계열은 갈라진다.

교대로 행. 라이프니츠의 징후. 솔루션의 예.

교대 계열이란 무엇입니까?이는 이름 자체에서 분명하거나 거의 분명합니다. 간단한 예입니다.

시리즈를 살펴보고 더 자세히 설명하겠습니다.

정렬은 승수를 제공합니다. 짝수이면 더하기 기호가 있고, 홀수이면 빼기 기호가 있습니다.

실제 예에서 급수 항의 교대는 승수뿐만 아니라 그 형제인 , , , …에 의해서도 제공될 수 있습니다. 예를 들어:

함정은 "기만"입니다: , 등. - 그러한 승수 부호 변경을 제공하지 마십시오. 자연의 경우: , , .

수렴을 위해 교대 계열을 조사하는 방법은 무엇입니까?라이프니츠의 검정을 사용하십시오.

라이프니츠의 테스트: 교대 계열에서 두 가지 조건이 충족되는 경우: 1) 계열의 항은 절대값에서 단조롭게 감소합니다. 2) 계수의 공통 항의 한계는 0과 같으며 계열은 수렴하고 이 계열의 합의 계수는 첫 번째 항의 계수를 초과하지 않습니다.

모듈에 대한 간략한 정보:

"모듈로"은(는) 무슨 뜻인가요? 우리가 학교에서 기억하는 것처럼 모듈은 빼기 기호를 "먹습니다". 다시 행으로 돌아가자 . 지우개로 모든 흔적을 정신적으로 지우고 숫자를 보자. 우리는 그것을 볼 것입니다 다음에시리즈 멤버 더 적은이전 것보다.

이제 조금 단조로움에 대해.

시리즈의 구성원 엄격하게 단조롭다시리즈의 다음 멤버마다 모듈러스가 감소합니다. 모듈로이전보다 적음: . 행의 경우 감소의 엄격한 단조성이 충족됩니다. 이는 자세히 설명할 수 있습니다.

또는 간단히 말할 수 있습니다. 시리즈의 각 다음 멤버 모듈로이전 것보다 작음: .

시리즈의 구성원 엄밀히 말하면 단조롭지는 않다시리즈 모듈로의 각 멤버가 이전 모듈보다 크지 않은 경우 모듈로 감소: . 계승이 있는 계열을 고려해보세요. 여기에는 계열의 처음 두 항의 모듈러스가 동일하므로 느슨한 단조성이 있습니다. 즉, 시리즈의 각 다음 멤버는 모듈로이전 것보다 더 많지 않습니다: .

라이프니츠 정리의 조건 하에서는 단조 감소가 만족되어야 합니다(엄격한지 비엄격한지는 중요하지 않습니다). 이 경우 시리즈 구성원은 다음을 수행할 수 있습니다. 일정 시간 동안 모듈러스가 증가하더라도, 그러나 계열의 "꼬리"는 반드시 단조 감소해야 합니다.

예:계열의 수렴을 조사합니다.

해결책:급수의 공통항에는 요인이 포함되어 있습니다. 이는 라이프니츠 기준을 사용해야 함을 의미합니다.

1) 계열의 단조로운 감소를 확인합니다.

1<2<3<…, т.е. n+1>n –첫 번째 조건이 충족되지 않음

2) – 두 번째 조건도 충족되지 않습니다.

결론: 시리즈가 다양합니다.

정의:라이프니츠의 기준에 따라 계열이 수렴하고 모듈로 구성된 계열도 수렴하면 계열이 다음과 같이 수렴됩니다. 절대적으로 수렴.

계열이 라이프니츠 기준에 따라 수렴하고 모듈로 구성된 계열이 발산하는 경우 계열을 다음과 같이 말합니다. 조건부로 수렴.

모듈로 구성된 계열이 수렴하면 이 계열도 수렴합니다.

따라서 교대 수렴 계열은 절대 수렴 또는 조건부 수렴을 검사해야 합니다.

예:

해결책:우리는 라이프니츠의 기준을 사용합니다:

1) 시리즈의 각 다음 멤버는 이전 멤버보다 절대값이 더 작습니다. – 첫 번째 조건이 충족됩니다.

2) – 두 번째 조건도 만족됩니다.

결론: 시리즈가 수렴됩니다.

조건부 수렴 또는 절대 수렴을 확인해 보겠습니다.

일련의 모듈을 만들어 보겠습니다. 다시 한번 간단히 승수를 제거하여 부호 교체를 보장합니다.
– 발산(고조파 계열).

그리하여 우리 시리즈 절대 수렴하지 않는다.
연구중인 시리즈 조건부로 수렴.

예:조건부 또는 절대 수렴에 대한 계열 검사

해결책:우리는 라이프니츠의 기준을 사용합니다:
1) 시리즈의 처음 몇 가지 용어를 적어 보겠습니다.


…?!

2)

요점은 그러한 한계를 해결하기 위한 표준적이고 일상적인 기술이 없다는 것입니다. 이 한도는 어디로 가는가? 0으로, 무한대로? 여기서 중요한 것은 무한대에서 더 빠르게 성장하는 것입니다.– 분자 또는 분모.

의 분자가 계승보다 빠르게 커지면 . 무한대에서 계승이 분자보다 빠르게 커지면 반대로 한계를 0으로 "당깁니다". . 아니면 이 한도가 0이 아닌 숫자와 같을까요? 또는 . 대신, 1000도 다항식을 대체할 수 있습니다. 이는 다시 상황을 바꾸지 않습니다. 조만간 계승은 여전히 ​​그러한 끔찍한 다항식을 "추월"할 것입니다. 계승 더 높은 순서성장.

– 팩토리얼은 다음보다 빠르게 증가하고 있습니다. 수량에 관계없이 제품지수 및 거듭제곱 시퀀스(우리의 경우).

– 어느지수 시퀀스는 어떤 거듭제곱 시퀀스보다 빠르게 증가합니다(예: , ). 지수 시퀀스 더 높은 성장 순서어떤 전원 시퀀스보다. 계승과 유사하게 지수 수열은 임의 개수의 거듭제곱 수열이나 다항식의 곱을 "끌어옵니다". .

– 계승보다 “강한” 것이 있습니까? 먹다! 거듭제곱 지수 시퀀스(“en”의 “en” 거듭제곱)는 계승보다 빠르게 증가합니다.. 실제로는 드물지만 정보는 불필요하지 않습니다.

도움말 종료

따라서 연구의 두 번째 요점은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
2) , 성장 순서가 보다 높기 때문입니다.
계열의 항은 계수가 감소합니다. 어떤 숫자부터 시작해서, 이 경우 계열의 각 다음 구성원은 이전 구성원보다 절대값이 작으므로 감소가 단조롭습니다.

결론: 계열이 수렴됩니다.

다음은 계열의 항이 절대값에서 처음으로 증가하는 흥미로운 사례입니다. 이것이 바로 우리가 극한에 대해 잘못된 초기 의견을 갖게 된 이유입니다. 하지만, 숫자 "en"으로 시작, 계승이 분자를 압도하고 계열의 "꼬리"가 단조 감소하게 됩니다. 이는 라이프니츠 정리의 조건을 충족하는 데 근본적으로 중요합니다. 이 "en"이 정확히 무엇인지 알아내는 것은 매우 어렵습니다..

절대 또는 조건부 수렴에 대한 계열을 검사합니다.

그리고 여기 D'Alembert의 기호가 이미 작동하고 있습니다.

d'Alembert 기호를 사용합니다.

따라서 계열은 수렴합니다.

연구중인 시리즈 절대적으로 수렴.

분석된 예는 다른 방법으로 해결할 수 있습니다(교대 계열의 수렴에 대한 충분한 기준을 사용함).

교대 계열의 수렴에 대한 충분한 신호:주어진 계열의 항의 절대값으로 구성된 계열이 수렴하면 해당 계열도 수렴합니다.

두 번째 방법:

조건부 또는 절대 수렴에 대한 계열 검사

해결책 : 우리는 절대 수렴에 대한 계열을 조사합니다.

d'Alembert 기호를 사용합니다.

따라서 계열은 수렴합니다.
교대 계열의 수렴에 대한 충분한 기준에 따라 계열 자체가 수렴합니다.

결론: 스터디 시리즈 절대적으로 수렴.

주어진 정확도로 계열의 합을 계산하려면우리는 다음 정리를 사용할 것입니다:

교대 계열을 부호로 두십시오 라이프니츠의 기준 조건을 만족하고 다음과 같이 합시다. N-일부금액. 그런 다음 계열이 수렴되고 해당 합계의 대략적인 계산에 오류가 발생합니다. 에스절대값은 첫 번째 폐기된 항의 모듈러스를 초과하지 않습니다.

기능성 시리즈. 파워 시리즈.
계열의 수렴 범위.

주제를 성공적으로 익히려면 일반 숫자 계열에 대한 이해가 필요합니다.

이 문서에서는 계열의 합을 찾는 것부터 수렴 여부를 검사하는 것까지 숫자 계열 주제에 대한 거의 모든 예를 해결하는 데 필요한 정보를 수집하고 구조화합니다.

기사 검토.

양수 기호의 정의부터 시작하겠습니다. 교대 시리즈그리고 융합의 개념. 다음으로, 조화 급수, 일반화된 조화 급수와 같은 표준 급수를 고려하고, 무한히 감소하는 기하 수열의 합을 구하는 공식을 상기해 보겠습니다. 그 다음에는 수렴 계열의 속성으로 넘어가서 계열 수렴의 필요 조건과 계열 수렴의 충분 기준에 대해 설명하겠습니다. 자세한 설명과 함께 일반적인 예에 ​​대한 솔루션으로 이론을 희석해 보겠습니다.

페이지 탐색.

기본 정의 및 개념.

숫자 시퀀스를 보겠습니다. .

다음은 숫자 시퀀스의 예입니다. .

숫자 시리즈다음 형식의 숫자 시퀀스 항의 합입니다. .

숫자 계열의 예로, 분모 q = -0.5를 사용하여 무한히 감소하는 기하 수열의 합을 제공할 수 있습니다. .

라고 불리는 숫자 시리즈의 공통 멤버또는 시리즈의 k번째 멤버입니다.

이전 예에서 숫자 계열의 일반 용어는 형식을 갖습니다.

숫자 계열의 부분합는 형식의 합입니다. 여기서 n은 자연수입니다. 수열의 n번째 부분합이라고도 합니다.

예를 들어, 계열의 네 번째 부분합 있다 .

부분 금액 수열의 부분합의 무한 수열을 형성합니다.

우리 계열의 경우, n번째 부분합은 기하수열의 처음 n 항의 합에 대한 공식을 사용하여 구합니다. 즉, 다음과 같은 부분합 시퀀스를 갖게 됩니다. .

숫자 시리즈가 호출됩니다. 수렴하는, 부분합의 수열에 유한한 제한이 있는 경우. 수 계열의 부분합 수열의 극한이 존재하지 않거나 무한한 경우 해당 계열을 호출합니다. 다른.

수렴하는 수열의 합부분합 수열의 극한이라고 합니다. 즉, .

따라서 우리의 예에서는 시리즈 수렴하고 그 합은 16/3과 같습니다. .

발산 계열의 예는 분모가 1보다 큰 기하학적 수열의 합입니다. . n번째 부분합은 다음 식으로 결정됩니다. , 부분합의 한계는 무한합니다. .

발산하는 숫자 계열의 또 다른 예는 다음 형식의 합입니다. . 이 경우 n번째 부분합은 다음과 같이 계산할 수 있습니다. 부분합의 한계는 무한하다 .

형태의 합 ~라고 불리는 조화수 계열.

형태의 합 , 여기서 s는 실수입니다. 조화수 계열로 일반화됨.

위의 정의는 다음과 같이 매우 자주 사용되는 설명을 정당화하는 데 충분하므로 이를 기억하는 것이 좋습니다.

하모닉 계열은 다양합니다.

조화급수의 발산을 증명해보자.

급수가 수렴한다고 가정해 봅시다. 그러면 부분합에는 유한한 제한이 있습니다. 이 경우 우리는 and 를 쓸 수 있으며 이는 우리를 평등하게 만듭니다. .

반대편에는


다음과 같은 불평등은 의심의 여지가 없습니다. 따라서, . 결과적인 불평등은 우리에게 평등이 이는 고조파 급수의 수렴에 대한 우리의 가정과 모순됩니다.

결론: 고조파 계열은 발산합니다.

분모 q를 갖는 종류의 기하학적 진행의 합은 IF 와 에 대한 발산 계열입니다.

그것을 증명해 봅시다.

우리는 기하수열의 처음 n항의 합이 다음 공식에 의해 구된다는 것을 알고 있습니다. .

공정할 때


이는 숫자 계열의 수렴을 나타냅니다.

q = 1에 대해 숫자 계열이 있습니다. . 부분합은 다음과 같이 구하며, 부분합의 극한은 무한하다 , 이는 이 경우 계열의 발산을 나타냅니다.

q = -1이면 숫자 계열은 다음 형식을 취합니다. . 부분합은 홀수 n과 짝수 n에 대해 값을 갖습니다. 이것으로부터 우리는 부분합에 제한이 없으며 계열이 발산한다는 결론을 내릴 수 있습니다.

공정할 때


이는 숫자 계열의 발산을 나타냅니다.

일반적으로 고조파 계열은 s > 1에서 수렴하고 에서 발산합니다.

증거.

s = 1인 경우 고조파 급수를 얻고 위에서 그 발산을 확립했습니다.

~에 s 모든 자연 k에 대해 부등식이 성립합니다. 고조파 급수의 발산으로 인해 부분합의 수열은 무제한이라고 주장할 수 있습니다(한계가 없기 때문입니다). 그러면 숫자 계열의 부분합 시퀀스는 훨씬 더 무제한입니다(이 계열의 각 요소는 조화 계열의 해당 요소보다 큽니다). 따라서 일반화된 조화 계열은 s로 발산됩니다.

s > 1에 대한 계열의 수렴을 증명하는 것이 남아 있습니다.

차이점을 적어 보겠습니다.



그렇다면 분명히


n = 2, 4, 8, 16, …에 대한 결과 부등식을 적어 보겠습니다.



이 결과를 사용하여 원래 숫자 계열로 다음을 수행할 수 있습니다.



표현 분모가 인 기하학적 수열의 합입니다. 그러면 s > 1인 경우를 고려하고 있기 때문입니다. 그렇기 때문에
. 따라서 s > 1에 대한 일반화된 고조파 급수의 부분합 시퀀스는 증가하고 동시에 위에서 값에 의해 제한됩니다. 따라서 급수의 수렴을 나타내는 한계가 있습니다. 증명이 완료되었습니다.

숫자 시리즈가 호출됩니다. 양수 부호, 모든 항이 양수인 경우, 즉, .

숫자 시리즈가 호출됩니다. 신호 교환, 이웃 구성원의 부호가 다른 경우. 교대 숫자 계열은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 또는 , 어디 .

숫자 시리즈가 호출됩니다. 교대 기호, 긍정적인 용어와 부정적인 용어 모두 무한한 수를 포함하는 경우.

교대수 계열은 교대수 계열의 특별한 경우입니다.

행

각각 양수, 교대 및 교대입니다.

교대 계열의 경우 절대 및 조건부 수렴이라는 개념이 있습니다.

절대적으로 수렴, 해당 멤버의 일련의 절대값이 수렴하면, 즉 양수 계열이 수렴합니다.

예를 들어 숫자 계열 그리고 급수는 수렴하므로 절대적으로 수렴합니다. , 이는 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합입니다.

교대 계열을 호출합니다. 조건부 수렴, 계열이 발산하고 계열이 수렴하는 경우.

조건부 수렴 숫자 계열의 예는 다음과 같습니다. . 숫자 시리즈 , 원래 급수의 항의 절대값으로 구성되며, 조화롭기 때문에 발산합니다. 동시에 원래 계열은 수렴하므로 를 사용하여 쉽게 설정할 수 있습니다. 따라서 숫자 기호는 교대 계열입니다. 조건부 수렴.

수렴수 계열의 속성.

예.

수열의 수렴을 증명하라.

해결책.

시리즈를 다른 형식으로 작성해 봅시다. . 일반화된 조화 계열은 s > 1에 대해 수렴하고 수렴하는 숫자 계열의 두 번째 속성으로 인해 수치 계수를 갖는 계열도 수렴하므로 숫자 계열이 수렴합니다.

예.

숫자 계열은 수렴합니까?

해결책.

원래 시리즈를 변환해 보겠습니다. . 따라서 우리는 두 수열 과 의 합을 얻었고, 각각은 수렴합니다(이전 예 참조). 결과적으로 수렴 수열의 세 번째 속성으로 인해 원래 수열도 수렴합니다.

예.

수열의 수렴 증명 그리고 그 금액을 계산해 보세요.

해결책.

이 숫자 계열은 두 계열의 차이로 나타낼 수 있습니다.

이들 급수 각각은 무한히 감소하는 기하학적 수열의 합을 나타내며 따라서 수렴합니다. 수렴 계열의 세 번째 속성을 사용하면 원래 수 계열이 수렴한다고 주장할 수 있습니다. 그 합계를 계산해 봅시다.

급수의 첫 번째 항은 1이고 해당 기하수열의 분모는 0.5이므로, .

급수의 첫 번째 항은 3이고 해당 무한히 감소하는 기하수열의 분모는 1/3이므로 .

얻은 결과를 사용하여 원래 숫자 계열의 합을 구해 보겠습니다.

급수의 수렴에 필요한 조건.

숫자 계열이 수렴하는 경우 k번째 항의 극한은 0과 같습니다.

수렴을 위한 숫자 계열을 검토할 때 가장 먼저 확인해야 할 것은 필요한 수렴 조건이 충족되는지입니다. 이 조건을 만족하지 못하면 숫자 계열의 발산을 나타냅니다. 즉, 이면 계열이 발산합니다.

반면에 이 조건만으로는 충분하지 않다는 것을 이해해야 합니다. 즉, 등식의 충족은 수열의 수렴을 의미하지 않는다. 예를 들어, 조화 계열의 경우 수렴의 필요 조건이 충족되고 계열이 발산됩니다.

예.

수열의 수열을 조사합니다.

해결책.

숫자 계열의 수렴에 필요한 조건을 확인해 보겠습니다.

한계 수열의 n번째 항은 0이 아니므로 계열은 발산합니다.

양수 계열의 수렴에 대한 충분한 징후입니다.

수렴을 위한 수열을 연구하기 위해 충분한 기능을 사용하다 보면 끊임없이 문제에 직면하게 되므로, 어려움이 있다면 이 섹션을 살펴보시길 권합니다.

양수 계열의 수렴에 대한 필요충분조건입니다.

양수 계열의 수렴을 위해 부분합의 수열이 제한되는 것이 필요하고 충분합니다.

시리즈 비교의 징후부터 시작하겠습니다. 그 본질은 연구 중인 수치 계열을 수렴 또는 발산이 알려진 계열과 비교하는 데 있습니다.

비교의 첫 번째, 두 번째 및 세 번째 징후.

시리즈 비교의 첫 번째 징후.

을 두 개의 양수 계열로 두고 부등식은 모든 k = 1, 2, 3, ...에 대해 성립합니다. 그러면 계열의 수렴은 수렴을 의미하고 계열의 발산은 의 발산을 의미합니다.

첫 번째 비교 기준은 매우 자주 사용되며 수렴을 위한 숫자 계열을 연구하는 데 매우 강력한 도구입니다. 주요 문제는 비교에 적합한 시리즈를 선택하는 것입니다. 비교를 위한 계열은 일반적으로(항상 그런 것은 아님) k번째 항의 지수가 연구 중인 숫자 계열의 k번째 항의 분자 지수와 분모 간의 차이와 동일하도록 선택됩니다. 예를 들어, 분자의 지수와 분모의 차이가 2 – 3 = -1이라고 가정하면 비교를 위해 k번째 항을 갖는 계열, 즉 조화 계열을 선택합니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예.

계열의 수렴 또는 발산을 설정합니다.

해결책.

급수의 일반항의 극한은 0이므로 급수의 수렴에 필요한 조건이 만족됩니다.

부등식은 모든 자연 k에 대해 참임을 쉽게 알 수 있습니다. 우리는 조화 계열이 발산한다는 것을 알고 있으므로 첫 번째 비교 기준에 따라 원래 계열도 발산합니다.

예.

수열의 수렴을 조사합니다.

해결책.

전제 조건숫자 계열의 수렴이 만족됩니다. 왜냐하면 . 불평등은 명백하다 k의 자연값에 대해. 일반화된 조화 계열이 s > 1에 대해 수렴하므로 계열이 수렴됩니다. 따라서 계열 비교의 첫 번째 기호를 사용하면 원래 숫자 계열의 수렴을 확인할 수 있습니다.

예.

숫자 계열의 수렴 또는 발산을 확인합니다.

해결책.

이므로 수열의 수렴에 필요한 조건을 만족한다. 비교를 위해 어떤 행을 선택해야 합니까? 숫자 계열은 그 자체를 암시하며, s를 결정하기 위해 숫자 순서를 주의 깊게 조사합니다. 수열의 항은 무한대로 증가합니다. 따라서 어떤 숫자 N(즉, N = 1619)부터 시작하면 이 수열의 항은 2보다 커집니다. 이 숫자 N부터 시작하여 부등식은 참입니다. 숫자 계열은 수렴 계열의 첫 번째 속성으로 인해 수렴합니다. 왜냐하면 첫 번째 N – 1 항을 버려서 수렴 계열에서 얻어지기 때문입니다. 따라서 비교의 첫 번째 기준에 의해 계열은 수렴하고, 수렴하는 수 계열의 첫 번째 속성으로 인해 계열도 수렴합니다.

비교의 두 번째 기호.

을 양수 계열로 둡니다. 이면 급수의 수렴은 의 수렴을 의미합니다. 이면 숫자 계열의 발산은 의 발산을 의미합니다.

결과.

이면 한 계열의 수렴은 다른 계열의 수렴을 의미하고 발산은 발산을 의미합니다.

두 번째 비교 기준을 사용하여 계열의 수렴을 검사합니다. 시리즈로서 우리는 수렴 시리즈를 취합니다. 수열의 k번째 항의 비율의 극한을 찾아봅시다:

따라서 두 번째 비교 기준에 따르면 숫자 계열의 수렴에서 원래 계열의 수렴이 따릅니다.

예.

숫자 계열의 수렴을 조사합니다.

해결책.

계열의 수렴에 필요한 조건을 확인해 보자 . 조건이 충족되었습니다. 두 번째 비교 기준을 적용하기 위해 조화 계열을 사용하겠습니다. k번째 항의 비율의 극한을 찾아봅시다:

결과적으로 조화 계열의 발산에서 두 번째 비교 기준에 따른 원래 계열의 발산이 따릅니다.

정보를 위해 시리즈 비교에 대한 세 번째 기준을 제시합니다.

세 번째 비교 기호.

을 양수 계열로 둡니다. 어떤 숫자 N에서 조건이 충족되면 급수의 수렴은 수렴을 의미하고 급수의 발산은 발산을 의미합니다.

달랑베르 징후.

논평.

D'Alembert의 테스트는 한계가 무한할 때 유효합니다. , 다음과 같은 경우 계열이 수렴합니다. , 그러면 계열이 분기됩니다.

이면 d'Alembert의 검정은 계열의 수렴 또는 발산에 대한 정보를 제공하지 않으므로 추가 연구가 필요합니다.

예.

d'Alembert의 기준을 사용하여 수열의 수렴을 조사합니다.

해결책.

숫자 계열의 수렴에 필요한 조건이 충족되는지 확인하고 다음을 사용하여 한계를 계산해 보겠습니다.

조건이 충족되었습니다.

d'Alembert의 기호를 사용해 보겠습니다.

따라서 계열은 수렴합니다.

과격한 코시 징후.

양수 계열이라고 하자. 이면 숫자 계열이 수렴하고, 이면 계열이 발산합니다.

논평.

Cauchy의 급진적 테스트는 극한이 무한할 때 유효합니다. , 다음과 같은 경우 계열이 수렴합니다. , 그러면 계열이 분기됩니다.

이면 급진적 코시 검정은 계열의 수렴 또는 발산에 대한 정보를 제공하지 않으므로 추가 연구가 필요합니다.

일반적으로 급진적인 Cauchy 테스트를 사용하는 것이 가장 좋은 경우를 식별하는 것은 매우 쉽습니다. 전형적인 경우는 수열의 일반항이 지수 거듭제곱 표현인 경우입니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예.

근호 코시 테스트(Radical Cauchy test)를 사용하여 수렴에 대한 양수 계열을 조사합니다.

해결책.

. 급진적인 Cauchy 테스트를 사용하여 우리는 다음을 얻습니다. .

따라서 계열은 수렴합니다.

예.

숫자 계열은 수렴합니까? .

해결책.

급진적인 코시 테스트(Cauchy test)를 사용해보자 , 그러므로 숫자 계열은 수렴합니다.

적분 코시 테스트.

양수 계열이라고 하자. 함수와 유사한 연속 인수 y = f(x)의 함수를 만들어 보겠습니다. 함수 y = f(x)를 양수이고 연속적이며 구간에서 감소한다고 가정합니다. 여기서 ). 그러면 수렴의 경우 부적절한 적분연구 중인 숫자 계열이 수렴됩니다. 부적절한 적분이 발산하면 원래 계열도 발산합니다.

특정 구간에서 함수 y = f(x)의 감소를 확인할 때 섹션의 이론이 유용할 수 있습니다.

예.

수렴에 대한 양수 항이 포함된 숫자 계열을 조사합니다.

해결책.

급수의 수렴에 필요한 조건은 다음과 같이 만족됩니다. . 기능을 고려해 봅시다. 양수이고 연속적이며 간격에 따라 감소합니다. 이 기능의 지속성과 긍정성은 의심할 여지가 없지만 감소에 대해 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 파생 상품을 찾아 보겠습니다.
. 구간에서 음수이므로 이 구간에서 함수가 감소합니다.

계열 수렴의 징후.
달랑베르 징후. 코시 징후

일, 일 - 나중에 이해가 올 것입니다
J.L. 달랑베르

모두의 시작을 축하합니다 학년! 오늘은 9월 1일이며, 명절을 기념하여 여러분이 오랫동안 기대하고 알고 싶어했던 내용을 독자들에게 소개하기로 결정했습니다. 수치적 양수 계열의 수렴 징후. 9월 1일 공휴일과 제 축하는 항상 관련이 있습니다. 실제로 밖이 여름이어도 괜찮습니다. 이제 세 번째 시험을 다시 치르게 됩니다. 이 페이지를 방문했다면 공부하세요!

시리즈 공부를 막 시작하신 분들은 먼저 글을 읽어보시길 권합니다 인형용 숫자 시리즈. 사실 이 수레는 연회의 연속이다. 따라서 오늘 수업에서는 다음 주제에 대한 예와 솔루션을 살펴 보겠습니다.

실제 사례에서 발견되는 일반적인 비교 기호 중 하나는 D'Alembert 기호입니다. 코시 징후는 덜 일반적이지만 매우 인기가 있습니다. 언제나 그렇듯, 저는 자료를 간단하고 접근 가능하며 이해하기 쉽게 제시하려고 노력할 것입니다. 주제는 가장 어렵지 않으며 모든 작업은 어느 정도 표준입니다.

D'Alembert의 수렴 테스트

장 르롱 달랑베르(Jean Leron d'Alembert)는 18세기 프랑스의 유명한 수학자입니다. 일반적으로 d'Alembert는 다음을 전문으로 합니다. 미분 방정식그리고 그의 연구를 바탕으로 폐하의 포탄이 더 잘 날아갈 수 있도록 탄도학을 연구했습니다. 동시에 나는 숫자 시리즈를 잊지 않았고 나중에 나폴레옹 군대의 계급이 그렇게 명확하게 수렴되고 갈라진 것은 아무것도 아닙니다.

기호 자체를 공식화하기 전에 중요한 질문을 고려해 보겠습니다.
D'Alembert의 수렴 테스트는 언제 사용해야 합니까?

먼저 리뷰부터 시작하겠습니다. 가장 인기있는 것을 사용해야하는 경우를 기억합시다 비교의 한계. 비교를 위한 제한 기준은 시리즈의 일반적인 용어에 적용됩니다.

1) 분모에 다항식이 포함되어 있습니다.
2) 다항식은 분자와 분모 모두에 있습니다.
3) 하나 또는 두 개의 다항식이 루트 아래에 있을 수 있습니다.
4) 물론 더 많은 다항식과 근이 있을 수 있습니다.

d'Alembert의 검정을 적용하기 위한 주요 전제조건은 다음과 같습니다.

1) 계열의 공통 용어(계열의 "채우기")에는 , 등의 정도의 숫자가 포함됩니다. 더욱이, 이것이 분자나 분모 중 어디에 위치하는지는 전혀 중요하지 않습니다. 중요한 것은 그것이 거기에 존재한다는 것입니다.

2) 계열의 공통항에는 계승이 포함됩니다. 우리는 수업 번호 순서와 그 한계에서 계승으로 검을 교차했습니다. 그러나 자체 조립 식탁보를 다시 펼쳐도 문제가되지 않습니다.





…


…

! d'Alembert의 검정을 사용할 때 계승을 자세히 설명해야 합니다. 이전 단락에서와 마찬가지로 계승값은 분수의 위쪽이나 아래쪽에 위치할 수 있습니다.

3) 시리즈의 일반적인 용어에 "요인 체인"이 있는 경우, 예를 들어, . 이런 경우는 드물지만! 이러한 시리즈를 공부할 때 실수가 자주 발생합니다. 예 6을 참조하세요.

거듭제곱 및/또는 계승과 함께 다항식은 계열을 채울 때 종종 발견됩니다. 이는 상황을 바꾸지 않습니다. D'Alembert 기호를 사용해야 합니다.

또한 계열의 공통항에서는 차수와 계승이 동시에 발생할 수 있습니다. 두 개의 계승, 두 개의 차수가 있을 수 있습니다. 적어도 뭔가고려된 점에서 - 이것이 바로 d'Alembert 기호를 사용하기 위한 전제 조건입니다.

달랑베르 징후: 생각해 보자 양수 계열. 이전 항에 대한 후속 항의 비율에 제한이 있는 경우:
a) 행일 때 수렴
b) 행일 때 갈라진다
다) 언제 그 표시는 답을 주지 않는다. 다른 기호를 사용해야 합니다. 대부분의 경우 제한 비교 테스트를 사용해야 하는 D'Alembert 테스트를 적용하려고 할 때 하나를 얻습니다.

여전히 한계에 대해 문제가 있거나 한계에 대한 오해가 있는 사람들은 이 강의를 참조하세요. 제한. 솔루션의 예. 한계에 대한 이해와 불확실성을 드러내는 능력 없이는 불행하게도 더 이상 나아갈 수 없습니다.

그리고 이제 오랫동안 기다려온 예가 있습니다.

실시예 1

우리는 시리즈의 일반적인 용어에서 이것이 d'Alembert의 테스트를 사용하기 위한 확실한 전제 조건임을 알 수 있습니다. 먼저 전체 솔루션과 샘플 디자인이 아래에 설명되어 있습니다.

d'Alembert 기호를 사용합니다.


수렴한다.
(1) 시리즈의 다음 멤버와 이전 멤버의 비율을 구성합니다. 조건으로부터 우리는 계열의 일반항이 임을 알 수 있습니다. 필요한 시리즈의 다음 멤버를 얻으려면 대신에: .
(2) 4층 분수를 없앤다. 솔루션에 대한 경험이 있는 경우 이 단계를 건너뛸 수 있습니다.
(3) 분자 안의 괄호를 엽니다. 분모에서 우리는 4의 거듭제곱을 뺍니다.
(4) 로 줄인다. 우리는 한계 기호 너머의 상수를 취합니다. 분자에서는 유사한 용어를 괄호 안에 표시합니다.
(5) 불확실성은 표준 방식으로 제거됩니다. 즉, 분자와 분모를 "en"으로 나누어 가장 높은 거듭제곱으로 나눕니다.
(6) 분자항을 분모로 항별로 나누고, 0이 되기 쉬운 항을 표시한다.
(7) 답을 단순화하고 D'Alembert의 기준에 따라 연구 중인 계열이 수렴한다는 결론을 기록합니다.

고려된 예에서, 계열의 일반 항에서 우리는 2차 다항식을 만났습니다. 3차, 4차 또는 그 이상의 다항식이 있으면 어떻게 해야 하나요? 사실 더 높은 차수의 다항식이 주어지면 괄호를 여는 데 어려움이 발생할 것입니다. 이 경우 "터보" 해결 방법을 사용할 수 있습니다.

실시예 2

유사한 계열을 선택하여 수렴하는지 살펴보겠습니다.

먼저 완전한 솔루션을 작성한 후 다음과 같이 설명합니다.

d'Alembert 기호를 사용합니다.


그래서 연구중인 시리즈는 수렴.

(1) 관계를 생성합니다.

(3) 표현을 고려하십시오 분자에 있는 표현과 분모에 있는 표현. 분자에서 괄호를 열고 4승으로 올려야 한다는 것을 알 수 있습니다. 이는 절대 원하지 않습니다. 그리고 뉴턴의 이항식에 익숙하지 않은 사람들에게는 이 작업이 훨씬 더 어려울 것입니다. 더 높은 등급을 분석해 보겠습니다. 상단의 괄호를 열면 , 그러면 우리는 고급 학위를 받게 될 것입니다. 아래에는 동일한 상위 학위가 있습니다: . 이전 예와 유사하게 분자와 분모 항을 항으로 나누면 극한에 1이 남는다는 것이 분명합니다. 또는 수학자들이 말했듯이 다항식 그리고 - 같은 성장 순서. 따라서 관계를 개괄적으로 설명하는 것이 가능합니다. 간단한 연필로 이 일이 잘 진행되고 있음을 즉시 표시하십시오. 우리는 같은 방식으로 두 번째 다항식 쌍을 처리합니다. 같은 성장 순서, 그리고 그 비율은 1이 되는 경향이 있습니다.

실제로 이러한 "해킹"은 예제 1에서 풀릴 수 있었지만 2차 다항식의 경우 이러한 솔루션은 여전히 ​​다소 품위가 없어 보입니다. 개인적으로 저는 이렇게 합니다. 1차 또는 2차 다항식(또는 다항식)이 있으면 예제 1을 풀기 위해 "긴" 방법을 사용합니다. 3차 이상의 다항식을 발견하면 다음을 사용합니다. 예 2와 유사한 "터보" 방법.

실시예 3

계열의 수렴을 조사합니다.

계승을 사용한 일반적인 예를 살펴보겠습니다.

실시예 4

계열의 수렴을 조사합니다.

계열의 공통항에는 차수와 계승이 모두 포함됩니다. 여기서 d'Alembert 기호를 사용해야 한다는 것은 분명합니다. 결정합시다.

그래서 연구중인 시리즈는 갈라진다.
(1) 관계를 생성합니다. 우리는 다시 반복합니다. 조건에 따라 시리즈의 공통 용어는 다음과 같습니다. . 시리즈의 다음 용어를 얻으려면 대신 대체해야합니다, 따라서: .
(2) 4층 분수를 없앤다.
(3) 정도에서 7개를 꼬집어냅니다. 계승에 대해 자세히 설명합니다.. 이를 수행하는 방법 - 수업의 시작 부분이나 숫자 순서에 대한 기사를 참조하십시오.
(4)자를 수 있는 것은 모두 잘라냅니다.
(5) 상수를 극한 기호 너머로 이동시킵니다. 분자 안의 괄호를 엽니다.
(6) 표준 방식으로 불확실성을 제거합니다. 분자와 분모를 "en"으로 나누어 가장 높은 거듭제곱으로 만듭니다.

실시예 5

계열의 수렴을 조사합니다.

수업이 끝나면 전체 솔루션 및 샘플 디자인 제공

실시예 6

계열의 수렴을 조사합니다.

때때로 채우기에 요인의 "체인"을 포함하는 계열이 있는데, 우리는 아직 이러한 유형의 계열을 고려하지 않았습니다. 요인의 "체인"을 사용하여 계열을 연구하는 방법은 무엇입니까? d'Alembert 기호를 사용하세요. 하지만 먼저 무슨 일이 일어나고 있는지 이해하기 위해 시리즈를 자세히 설명하겠습니다.

확장에서 우리는 시리즈의 각 다음 구성원이 분모에 추가된 추가 요소를 가지고 있음을 알 수 있습니다. 따라서 시리즈의 공통 구성원이 , 시리즈의 다음 멤버:
. 이것은 그들이 자동으로 실수를 저지르는 곳이며, 알고리즘에 따라 공식적으로 글을 쓰는 것입니다.

샘플 솔루션은 다음과 같습니다.

d'Alembert 기호를 사용합니다.

그래서 연구중인 시리즈는 수렴한다.

급진적 코시 징후

Augustin Louis Cauchy는 훨씬 더 유명한 프랑스 수학자입니다. 공대생이라면 누구나 Cauchy의 전기를 말할 수 있습니다. 가장 아름다운 색상으로. 에펠탑 1층에 이 이름이 새겨져 있는 것은 우연이 아니다.

양수 계열에 대한 Cauchy의 수렴 테스트는 방금 논의한 D'Alembert의 테스트와 다소 유사합니다.

급진적 코시 징후:고려해 봅시다 양수 계열. 제한이 있는 경우: , 다음은 다음과 같습니다.
a) 행일 때 수렴. 특히, 계열은 에서 수렴합니다.
b) 행일 때 갈라진다. 특히 시리즈는 .
다) 언제 그 표시는 답을 주지 않는다. 다른 기호를 사용해야 합니다. Cauchy의 검정이 급수의 수렴 문제에 대한 답을 제공하지 못한다면 D'Alembert의 검정도 답을 제공하지 않는다는 점은 흥미롭습니다. 그러나 d'Alembert의 테스트가 답을 제공하지 못한다면 Cauchy의 테스트는 "작동"할 수 있습니다. 즉, 코시 기호는 이런 의미에서 더 강한 기호입니다.

근호 코시 기호는 언제 사용해야 합니까?급진적인 Cauchy 테스트는 일반적으로 계열의 공통 구성원에서 루트 "good"이 추출되는 경우에 사용됩니다. 원칙적으로 이 고추는 어느 정도 에 따라 달라집니다. 이국적인 경우도 있지만 걱정하지 않겠습니다.

실시예 7

계열의 수렴을 조사합니다.

분수가 "en"에 따라 완전히 거듭제곱된다는 것을 알 수 있습니다. 이는 급진적인 Cauchy 테스트를 사용해야 함을 의미합니다.


그래서 연구중인 시리즈는 갈라진다.

(1) 근 아래에 계열의 공통항을 공식화합니다.

(2) 도의 속성을 이용하여 루트 없이 동일한 것을 다시 작성합니다.
(3) 지표에서는 분자를 분모로 나누어 용어별로 다음을 나타냅니다.
(4) 결과적으로 우리는 불확실성을 갖게 됩니다. 여기가 당신이 갈 수 있는 곳이에요 먼 길: 세제곱, 세제곱, 그리고 분자와 분모를 "en" 세제곱으로 나눕니다. 하지만 이 경우 더 효과적인 해결책이 있습니다. 이 기술은 일정한 각도에서 직접 사용할 수 있습니다. 불확실성을 제거하려면 분자와 분모를 (다항식의 가장 높은 거듭제곱)으로 나눕니다.

(5) 항별로 구분하여 0이 되기 쉬운 항을 표시합니다.
(6) 우리는 답을 염두에 두고, 우리가 가지고 있는 것을 표시하고, 계열이 갈라진다는 결론을 내립니다.

다음은 더 간단한 예입니다. 독립적인 결정:

실시예 8

계열의 수렴을 조사합니다.

그리고 몇 가지 더 일반적인 예가 있습니다.

수업이 끝나면 전체 솔루션 및 샘플 디자인 제공

실시예 9

계열의 수렴을 조사합니다.
우리는 급진적인 Cauchy 테스트를 사용합니다.


그래서 연구중인 시리즈는 수렴.

(1) 계열의 공통항을 어근 아래에 놓습니다.

(2) 동일한 내용을 다시 작성하지만 루트 없이 축약된 곱셈 공식을 사용하여 괄호를 엽니다. .
(3) 지표에서는 분자를 분모로 나누어 항별로 표시한다.
(4) 형태의 불확실성이 얻어지며, 여기서도 차수 바로 아래에서 나눗셈을 수행할 수 있습니다. 하지만 한 가지 조건이 있습니다.다항식의 더 높은 거듭제곱의 계수는 달라야 합니다. 우리 층은 서로 다르기 때문에(5층과 6층) 두 층을 . 만약 이 계수들 동일하다, 예를 들어 (1 및 1): , 그런 트릭은 작동하지 않으며 다음을 사용해야 합니다. 두 번째 놀라운 한계. 기억하신다면 기사의 마지막 단락에서 이러한 미묘함을 논의했습니다. 한계를 해결하는 방법.

(5) 실제로 용어별 분할을 수행하고 어떤 용어가 0이 되는 경향이 있는지를 나타냅니다.
(6) 불확실성이 제거되었으므로 가장 간단한 한계가 남습니다. 왜 무한히 큰 0이 되는 경향이 있나요? 학위의 기반이 불평등을 충족시키기 때문입니다. 한도의 공정성에 의문이 있는 사람이 있다면 , 그러면 게으르지 않고 계산기를 집어 들겠습니다.
그렇다면
그렇다면
그렇다면
그렇다면
그렇다면
… 등. 무한대로 - 즉, 한계 내에서:

그냥 그런 무한히 감소하는 기하학적 수열손가락에 =)
! 이 기술을 증거로 사용하지 마십시오! 왜냐하면 뭔가가 명백하다고 해서 그것이 옳다는 것을 의미하는 것은 아니기 때문입니다.

(7) 우리는 급수가 수렴한다는 결론을 내렸다는 것을 나타냅니다.

실시예 10

계열의 수렴을 조사합니다.

이것은 스스로 해결하는 예입니다.

때로는 솔루션에 대한 도발적인 예가 제공됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 여기 지수에서 아니 "엔", 단지 상수입니다. 여기서 분자와 분모를 제곱한 다음(다항식을 얻음) 기사의 알고리즘을 따라야 합니다. 인형용 행. 이러한 예에서는 계열 수렴에 필요한 테스트나 비교를 위한 제한 테스트가 작동해야 합니다.

적분 코시 테스트

아니면 그냥 적분 부호일 수도 있습니다. 첫 번째 강의 자료를 잘 이해하지 못한 분들을 실망시킬 것입니다. 코시 적분 검정을 적용하려면 도함수, 적분 구하는 데 어느 정도 자신감이 있어야 하며 계산 능력도 있어야 합니다. 부적절한 적분첫 번째 종류.

수학적 분석 교과서에서 적분 코시 테스트수학적으로 엄격하지만 너무 혼란스럽기 때문에 기호를 너무 엄격하지는 않지만 명확하게 공식화하겠습니다.

고려해 봅시다 양수 계열. 부적절한 적분이 있으면 급수는 이 적분을 따라 수렴하거나 발산합니다.

설명을 위한 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

실시예 11

계열의 수렴을 조사합니다.

거의 고전적입니다. 자연 로그와 약간의 헛소리.

Cauchy 적분 검정을 사용하기 위한 주요 전제 조건은 다음과 같습니다.계열의 일반항에는 특정 함수 및 그 파생물과 유사한 요소가 포함되어 있다는 사실입니다. 주제에서

이 주제로 작업을 시작하기 전에 숫자 시리즈에 대한 용어가 포함된 섹션을 살펴보는 것이 좋습니다. 특히 시리즈의 공통 구성원 개념에 주목할 가치가 있습니다. 수렴 기준의 올바른 선택에 대해 의문이 있는 경우 "숫자 계열에 대한 수렴 기준 선택" 주제를 살펴보는 것이 좋습니다.

D'Alembert의 테스트(또는 D'Alembert의 테스트)는 공통항이 0보다 엄격하게 큰(예: $u_n > 0$) 계열의 수렴을 연구하는 데 사용됩니다. 이러한 계열을 호출합니다. 엄격하게 긍정적. 표준 예에서는 D'Alembert 기호가 극단적인 형태로 사용됩니다.

D'Alembert 징후(극단적인 형태)

계열 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$이 양수이고 $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L인 경우 , $ $, $L의 경우<1$ ряд сходится, а при $L>1$(및 $L=\infty$의 경우) 계열은 분기됩니다.

공식은 매우 간단하지만 다음 질문은 여전히 ​​열려 있습니다. $L=1$이면 어떻게 될까요? D'Alembert의 검정은 이 질문에 대한 답을 제공할 수 없습니다. $L=1$이면 급수는 수렴 및 발산할 수 있습니다.

대부분의 경우 표준 예에서 계열의 일반 용어 표현에 다항식 $n$(다항식은 루트 아래에 있을 수 있음)과 $a^n 형식의 차수가 포함된 경우 D'Alembert 기준이 사용됩니다. $ 또는 $n!$. 예: $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$(예제 1 참조) 또는 $u_n=\frac(\ sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

"n!"이라는 표현은 무엇을 의미하나요? 표시\숨기기

"n!"녹음 ("en 계승"이라고 읽음)은 모든 것의 곱을 나타냅니다. 자연수 1부터 n까지, 즉

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

정의에 따르면 $0!=1!=1$로 가정됩니다. 예를 들어 5!를 찾아보겠습니다.

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

또한, D'Alembert 테스트는 공통항에 다음 구조의 곱이 포함된 계열의 수렴을 확인하는 데 자주 사용됩니다. $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n +1))(2\ cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1))$.

예 1

수렴을 위해 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ 계열을 조사합니다.

합의 하한은 1이므로 계열의 일반항은 합 기호 아래에 $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$로 표시됩니다. $n≥ 1$의 경우 $3n+7 > 0$, $5^n>0$ 및 $2n^3-1 > 0$, $u_n > 0$가 됩니다. 따라서 우리 시리즈는 엄격하게 긍정적입니다.

$$ 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\left(2n^3-1\right))(\left(2(n+1)^3-1\right )(3n+7))=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|= 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac((3n+10)\left (2n^3-1\right))(n^4))(\frac(\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2( n+1)^3-1\right))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ 왼쪽(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\오른쪽)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \right))(\left(2\left(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\right)^3-\frac(1)(n^3)\right)\cdot \left(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\left(3+\frac(10) (n)\right)\cdot\left(2-\frac(1)(n^3)\right))(\left(2\left(1+\frac(1)(n)\right)^3 -\frac(1)(n^3)\right)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 )=5. $$

$\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$이므로 주어진 계열에 따라 발산됩니다.

솔직히 이 상황에서 D'Alembert 테스트가 유일한 옵션은 아닙니다. 예를 들어 급진적인 Cauchy 테스트를 사용할 수 있습니다. 그러나 급진적인 Cauchy 테스트를 사용하려면 지식(또는 증거)이 필요합니다. 추가 수식. 따라서 이 상황에서는 D'Alembert 기호를 사용하는 것이 더 편리합니다.

답변: 시리즈가 다양합니다.

예 2

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2) 계열 탐색$ на сходимость.!}

합의 하한은 1이므로 계열의 일반항은 합 기호 아래에 기록됩니다: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

급수의 공통항은 근 아래에 다항식을 포함합니다. 즉, $\sqrt(4n+5)$ 및 계승 $(3n-2)!$. 표준 예에 계승이 존재한다는 것은 D'Alembert 기준 적용을 거의 100% 보장하는 것입니다.

이 기준을 적용하려면 $\frac(u_(n+1))(u_n)$ 비율의 극한을 찾아야 합니다. $u_(n+1)$를 쓰려면 $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2) 공식이 필요합니다.$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$이므로 $u_(n+1)$의 공식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 다른 사람에게:

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

이 표기법은 한계 이하로 분수를 줄여야 할 때 추가 솔루션에 편리합니다. 계승과의 동일성에 대한 설명이 필요한 경우 아래 메모를 열어주세요.

어떻게 $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$과 같은 결과를 얻었습니까? 표시\숨기기

$(3n+1)!$ 표기법은 1에서 $3n+1$까지의 모든 자연수의 곱을 의미합니다. 저것들. 이 표현식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1). $$

$3n+1$이라는 숫자 바로 앞에 1이 적은 숫자가 있습니다. 수 $3n+1-1=3n$. 그리고 $3n$라는 숫자 바로 앞에는 $3n-1$이라는 숫자가 있습니다. 글쎄, 숫자 $3n-1$ 바로 앞에는 $3n-1-1=3n-2$라는 숫자가 있습니다. $(3n+1)!$에 대한 공식을 다시 작성해 보겠습니다.

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

$1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$ 제품은 무엇입니까? 이 제품은 $(3n-2)!$와 같습니다. 따라서 $(3n+1)!$에 대한 표현식은 다음 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

이 표기법은 한계 이하로 분수를 줄여야 할 때 추가 솔루션에 편리합니다.

$\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$의 값을 계산해 보겠습니다.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9))(( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

$\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0이므로<1$, то согласно