정적분 및 부정적분 메시지. 인형 적분: 해결 방법, 계산 규칙, 설명

기능을 보자 와이 = 에프(엑스)은 간격 [ 에이, 비 ], 에이 < 비. 다음 작업을 수행해 보겠습니다.

1) 분할하자 [ 에이, 비] 점 에이 = 엑스 0 < 엑스 1 < ... < 엑스 나- 1 < 엑스 나 < ... < 엑스 N = 비 ~에 N부분 세그먼트 [ 엑스 0 , 엑스 1 ], [엑스 1 , 엑스 2 ], ..., [엑스 나- 1 , 엑스 나 ], ..., [엑스 N- 1 , 엑스 N ];

2) 각 부분 세그먼트에서 [ 엑스 나- 1 , 엑스 나 ], 나 = 1, 2, ... N, 임의의 지점을 선택하고 이 지점에서 함수 값을 계산합니다. 에프(나는 ) ;

3) 작품을 찾아보세요 에프(나는 ) · Δ 엑스 나 , 부분 세그먼트의 길이는 어디입니까 [ 엑스 나- 1 , 엑스 나 ], 나 = 1, 2, ... N;

4) 화해하자 적분합기능 와이 = 에프(엑스) 세그먼트의 [ 에이, 비 ]:

기하학적 관점에서 볼 때, 이 합 σ는 밑면이 부분 세그먼트인 직사각형 영역의 합입니다. 엑스 0 , 엑스 1 ], [엑스 1 , 엑스 2 ], ..., [엑스 나- 1 , 엑스 나 ], ..., [엑스 N- 1 , 엑스 N ], 높이는 동일합니다. 에프(지 1 ) , 에프(지 2 ), ..., 에프(z n) 따라서 (그림 1). 다음으로 나타내자 λ 가장 긴 부분 세그먼트의 길이:

5) 다음 경우에 적분합의 극한을 구합니다. λ → 0.

정의.적분합(1)의 유한한 한계가 있고 세그먼트를 분할하는 방법에 의존하지 않는 경우 [ 에이, 비] 부분 세그먼트로 또는 포인트 선택으로 나는그 안에는 이 한계가 호출됩니다. 정적분기능에서 와이 = 에프(엑스) 세그먼트의 [ 에이, 비]로 표시되며

따라서,

이 경우 함수는 에프(엑스) 라고 한다 통합 가능에 [ 에이, 비]. 숫자 에이그리고 비각각 적분의 하한과 상한이라고 부릅니다. 에프(엑스) – 피적분 함수, 에프(엑스 ) dx– 피적분 표현, 엑스– 통합 변수; 세그먼트 [ 에이, 비]를 적분구간이라고 합니다.

정리 1.기능의 경우 와이 = 에프(엑스)는 구간 [ 에이, 비]이면 이 구간에서 적분 가능합니다.

동일한 적분 한계를 갖는 정적분은 0과 같습니다.

만약에 에이 > 비, 정의에 따라 다음과 같이 가정합니다.

2. 정적분의 기하학적 의미

세그먼트를 보자 [ 에이, 비] 음이 아닌 연속 함수가 지정됩니다. 와이 = 에프(엑스 ) . 곡선 사다리꼴위의 그림은 함수 그래프로 묶여 있습니다. 와이 = 에프(엑스), 아래에서 - 황소 축을 따라, 왼쪽 및 오른쪽으로 - 직선 x = 에이그리고 x = b(그림 2).

음이 아닌 함수의 정적분 와이 = 에프(엑스) 기하학적 관점에서 면적과 동일함수 그래프에 의해 위쪽으로 경계가 지정된 곡선 사다리꼴 와이 = 에프(엑스) , 왼쪽 및 오른쪽 – 선분 x = 에이그리고 x = b, 아래에서-Ox 축의 세그먼트.

3. 정적분의 기본 성질

1. 정적분의 값은 적분 변수의 지정에 의존하지 않습니다.

2. 상수 인수는 정적분의 부호에서 제외될 수 있습니다.

3. 두 함수의 대수합의 정적분은 다음 함수의 정적분의 대수합과 같습니다.

4.If 기능 와이 = 에프(엑스)는 [에 통합 가능합니다. 에이, 비] 그리고 에이 < 비 < 기음, 저것

5. (평균값 정리). 기능의 경우 와이 = 에프(엑스)는 구간 [ 에이, 비], 이 세그먼트에는 다음과 같은 점이 있습니다.

4. 뉴턴-라이프니츠 공식

정리 2.기능의 경우 와이 = 에프(엑스)는 구간 [ 에이, 비] 그리고 에프(엑스)가 이 세그먼트에 대한 역도함수 중 하나이면 다음 공식이 유효합니다.

라고 불리는 뉴턴-라이프니츠 공식.차이점 에프(비) - 에프(에이)은 일반적으로 다음과 같이 작성됩니다.

여기서 기호는 이중 와일드카드라고 합니다.

따라서 공식 (2)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

예시 1.적분 계산

해결책. 적분의 경우 에프(엑스 ) = 엑스 2 임의의 역도함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

뉴턴-라이프니츠 공식에서는 모든 역도함수를 사용할 수 있으므로 적분을 계산하기 위해 가장 간단한 형식의 역도함수를 사용합니다.

5. 정적분에서 변수의 변화

정리 3.기능을 보자 와이 = 에프(엑스)는 구간 [ 에이, 비]. 만약에:

1) 기능 엑스 = φ ( 티) 및 그 파생물 ψ "( 티)는 에 대해 연속적입니다.

2) 함수 값 세트 엑스 = φ ( 티) for는 세그먼트 [ 에이, 비 ];

3) ∅( 에이) = 에이, φ ( 비) = 비이면 수식이 유효합니다.

라고 불리는 정적분에서 변수를 변경하는 공식 .

부정적분과 달리 이 경우에는 필요없어원래 통합 변수로 돌아가려면 - 통합 α 및 β의 새로운 한계를 찾는 것만으로도 충분합니다(이를 위해서는 변수를 풀어야 함). 티방정식 ψ ( 티) = 에이및 ∅( 티) = 비).

대체 대신 엑스 = φ ( 티) 대체를 사용할 수 있습니다 티 = g(엑스) . 이 경우 변수에 대한 새로운 적분 한계 찾기 티단순화: α = g(에이) , β = g(비) .

실시예 2. 적분 계산

해결책. 공식을 사용하여 새로운 변수를 도입해 보겠습니다. 평등의 양쪽을 제곱하면 1 + x = 티 2 , 어디 x = 티 2 - 1, dx = (티 2 - 1)"dt= 2tdt. 우리는 통합의 새로운 한계를 발견했습니다. 이를 위해 이전 한계를 공식에 대체해 보겠습니다. x = 3 및 x = 8. 우리는 다음을 얻습니다: , 어디에서 티= 2 및 α = 2; , 어디 티= 3 β = 3입니다. 따라서,

예시 3.믿다

해결책. 허락하다 유= 로그 엑스, 그 다음에 , 다섯 = 엑스. 공식 (4)에 따르면

역도함수 및 부정적분

사실 1. 적분은 미분의 역작용, 즉 이 함수의 알려진 도함수로부터 함수를 복원하는 것입니다. 이에 따라 기능이 복원되었습니다. 에프(엑스) 라고 한다 역도함수기능을 위해 에프(엑스).

정의 1. 기능 에프(엑스 에프(엑스) 일정 간격으로 엑스, 모든 값에 대해 엑스이 간격에서 평등이 유지됩니다. 에프 "(엑스)=에프(엑스) 즉, 이 기능은 에프(엑스)는 역도함수 함수의 도함수입니다. 에프(엑스). .

예를 들어, 함수 에프(엑스) = 죄 엑스 함수의 역도함수입니다 에프(엑스) = 왜냐하면 엑스 x의 모든 값에 대해 전체 수직선에서 (죄 엑스)" = (왜냐하면 엑스) .

정의 2. 함수의 부정적분 에프(엑스)는 모든 역도함수 집합입니다.. 이 경우 표기법이 사용됩니다.

∫

에프(엑스)dx

,

표지판은 어디에 있나요? ∫ 적분 부호라고 불리는 함수 에프(엑스) – 피적분 함수, 그리고 에프(엑스)dx – 피적분 표현.

따라서 만약 에프(엑스) – 일부 역도함수 에프(엑스) , 저것

∫

에프(엑스)dx = 에프(엑스) +기음

어디 기음 - 임의의 상수(상수).

함수의 역도함수 집합의 의미를 무한 적분으로 이해하려면 다음 비유가 적절합니다. 문(전통 나무 문)을 하나 두세요. 그 기능은 "문이 되는 것"입니다. 문은 무엇으로 만들어졌나요? 나무로 만들어졌습니다. 이는 "to be a door" 함수의 적분, 즉 그 부정 적분의 역도함수 집합이 "to be a tree + C" 함수라는 것을 의미합니다. 여기서 C는 상수입니다. 예를 들어 나무의 종류를 나타냅니다. 어떤 도구를 사용하여 나무로 문을 만드는 것처럼, 함수의 파생물은 다음을 사용하여 역도함수로부터 "만들어집니다". 도함수를 공부하면서 배운 공식 .

그런 다음 공통 객체 및 해당 역도함수(“문이 됨” - “나무가 됨”, “숟가락이 됨” - “금속이 됨” 등)의 기능 표는 기본 표와 유사합니다. 아래에 주어질 무기한 적분. 부정 적분 표에는 이러한 함수가 "만들어지는" 역도함수를 나타내는 공통 함수가 나열되어 있습니다. 부정적분을 구하는 문제의 일부에는 큰 노력 없이 바로 적분할 수 있는 적분, 즉 부정적분표를 이용하여 주어지는 것이 있습니다. 더 복잡한 문제에서는 테이블 적분을 사용할 수 있도록 피적분 함수를 먼저 변환해야 합니다.

사실 2. 역도함수로 함수를 복원할 때 임의의 상수(상수)를 고려해야 합니다. 기음, 그리고 1부터 무한대까지 다양한 상수를 갖는 역도함수 목록을 작성하지 않으려면 임의의 상수를 사용하여 역도함수 집합을 작성해야 합니다. 기음, 예를 들어 다음과 같습니다: 5 엑스³+C. 따라서 역도함수는 함수가 될 수 있으므로, 역도함수 표현에는 임의의 상수(상수)가 포함됩니다(예: 5). 엑스³+4 또는 5 엑스³+3이고 미분하면 4나 ​​3 또는 기타 상수가 0이 됩니다.

통합 문제를 제기해 보겠습니다. 이 기능에 대해 에프(엑스) 그런 기능을 찾아보세요 에프(엑스), 누구의 파생물같음 에프(엑스).

예시 1.함수의 역도함수 집합 찾기

해결책. 이 함수의 경우 역도함수는 다음 함수입니다.

기능 에프(엑스)는 함수에 대한 역도함수라고 합니다. 에프(엑스), 파생어인 경우 에프(엑스)는 다음과 같다 에프(엑스) 또는 동일한 의미로 미분 에프(엑스)은 같다 에프(엑스) dx, 즉.

(2)

따라서 함수는 함수의 역도함수입니다. 그러나 에 대한 유일한 역도함수는 아닙니다. 그들은 또한 기능을 수행합니다.

어디 와 함께– 임의의 상수. 이는 차별화를 통해 확인할 수 있다.

따라서 함수에 대해 하나의 역도함수가 있는 경우 상수항에 따라 달라지는 무한한 수의 역도함수가 있습니다. 함수에 대한 모든 역도함수는 위 형식으로 작성됩니다. 이는 다음 정리를 따릅니다.

정리(사실 2의 공식 진술).만약에 에프(엑스) – 함수에 대한 역도함수 에프(엑스) 일정 간격으로 엑스, 다음에 대한 다른 역도함수 에프(엑스) 같은 간격으로 다음과 같은 형식으로 나타낼 수 있습니다. 에프(엑스) + 기음, 어디 와 함께– 임의의 상수.

다음 예에서는 부정 적분의 속성 다음에 단락 3에 제공되는 적분 표를 살펴 보겠습니다. 위 내용의 본질을 명확하게 하기 위해 전체 표를 읽기 전에 이 작업을 수행합니다. 그리고 테이블과 속성 다음에는 통합 중에 전체를 사용하게 됩니다.

예시 2.역도함수 집합을 찾습니다.

해결책. 우리는 이러한 함수가 "만들어지는" 역도함수 집합을 찾습니다. 적분표의 공식을 언급할 때 지금은 그러한 공식이 있다는 점만 인정하고 부정적분표 자체에 대해 좀 더 자세히 연구하겠습니다.

1) 적분표의 식 (7)을 적용하면 다음과 같습니다. N= 3, 우리는 얻습니다

2) 적분표의 식 (10)을 사용하여 N= 1/3, 우리는

3) 이후

그런 다음 공식 (7)에 따라 N= -1/4 우리는 찾았습니다

적분 기호 아래에 쓰여진 것은 함수 자체가 아닙니다. 에프, 그리고 그 제품은 미분에 의해 dx. 이는 주로 역도함수를 구하는 변수를 표시하기 위해 수행됩니다. 예를 들어,

, ;

여기서 두 경우 모두 적분은 와 같지만, 고려된 경우의 무기한 적분은 다른 것으로 판명됩니다. 첫 번째 경우, 이 함수는 변수의 함수로 간주됩니다. 엑스, 그리고 두 번째 - 함수로 지 .

함수의 부정적분을 구하는 과정을 해당 함수의 적분이라고 합니다.

부정 적분의 기하학적 의미

곡선을 찾아야 한다고 가정해 보겠습니다. y=F(x)그리고 우리는 각 점에서 접선 각도의 접선이 주어진 함수라는 것을 이미 알고 있습니다. 에프엑스(f(x))이 지점의 가로좌표.

에 따르면 기하학적 감각도함수, 곡선의 주어진 점에서 접선 각도의 접선 y=F(x)파생 상품의 가치와 동일 에프"(엑스). 그래서 우리는 그러한 기능을 찾아야합니다 에프엑스(F(x)), 이를 위해 에프"(엑스)=에프(엑스). 작업에 필요한 기능 에프엑스(F(x))의 역도함수이다 에프엑스(f(x)). 문제의 조건은 하나의 곡선이 아니라 일련의 곡선에 의해 충족됩니다. y=F(x)- 축을 따라 평행 이동하여 이 곡선 중 하나와 다른 곡선을 얻을 수 있습니다. 아야.

다음의 역도함수 그래프를 호출해 봅시다. 에프엑스(f(x))적분 곡선. 만약에 에프"(엑스)=에프(엑스), 함수의 그래프 y=F(x)적분곡선이 있습니다.

사실 3. 부정적분은 모든 적분 곡선의 집합으로 기하학적으로 표현됩니다. , 아래 그림과 같습니다. 좌표 원점으로부터 각 곡선의 거리는 임의의 적분 상수에 의해 결정됩니다. 기음.

부정적분의 속성

사실 4. 정리 1. 부정 적분의 미분은 피적분과 같고 미분은 피적분과 같습니다.

사실 5. 정리 2. 함수 미분의 무기한 적분 에프(엑스) 기능과 동일 에프(엑스) 일정한 항까지 , 즉.

(3)

정리 1과 2는 미분과 통합이 상호 역연산임을 보여줍니다.

사실 6. 정리 3. 피적분의 상수 인수는 부정 적분의 부호에서 제외될 수 있습니다. , 즉.

이러한 속성은 적분을 기본 적분 중 하나로 축소하고 추가 계산을 위해 변환하는 데 사용됩니다.

1. 부정 적분의 도함수는 피적분 함수와 같습니다.

2. 부정 적분의 미분은 피적분과 같습니다:

3. 특정 함수의 미분의 무기한 적분은 이 함수와 임의 상수의 합과 같습니다.

4. 상수 인자는 적분 부호에서 빼낼 수 있습니다.

게다가, a ≠ 0

5. 합(차)의 적분은 적분의 합(차)과 같습니다.

6. 속성은 속성 4와 5의 조합입니다.

게다가 a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. 부정 적분의 불변 속성:

그렇다면

8. 재산:

그렇다면

실제로 이 속성는 변수 변경 방법을 사용한 특수한 통합 사례를 나타내며, 이에 대해서는 다음 섹션에서 자세히 설명합니다.

예를 살펴보겠습니다:

먼저 속성 5를 적용한 다음 속성 4를 적용한 다음 역도함수 표를 사용하여 결과를 얻었습니다.

온라인 적분 계산기의 알고리즘은 위에 나열된 모든 속성을 지원하며 적분에 대한 자세한 솔루션을 쉽게 찾을 수 있습니다.

적분을 푸는 것은 쉬운 일이지만 선택된 소수에게만 해당됩니다. 이 글은 적분을 이해하는 방법을 배우고 싶지만 적분에 대해 아무것도 모르거나 거의 모르는 사람들을 위한 것입니다. 일체형... 왜 필요한가요? 어떻게 계산하나요? 정적분과 부정적분은 무엇인가요?

당신이 알고 있는 일체형의 유일한 용도가 일체형 아이콘 모양의 크로셰 후크를 사용하여 접근하기 어려운 곳에서 유용한 것을 얻는 것이라면 환영합니다! 가장 단순한 적분과 기타 적분을 푸는 방법과 수학에서 적분 없이는 왜 할 수 없는지 알아보세요.

우리는 개념을 연구합니다 « 완전한 »

통합은 과거에 알려졌습니다. 고대 이집트. 물론 안에는 없어 현대적인 형태, 하지만 여전히. 그 이후로 수학자들은 이 주제에 관해 많은 책을 썼습니다. 특히 두각을 나타내는 뉴턴 그리고 라이프니츠 , 그러나 사물의 본질은 변하지 않았습니다.

적분을 처음부터 이해하는 방법은 무엇입니까? 안 돼요! 이 주제를 이해하려면 여전히 수학적 분석의 기본에 대한 기본 지식이 필요합니다. 우리 블로그에는 적분을 이해하는 데 필요한 에 대한 정보가 이미 나와 있습니다.

부정 적분

어떤 기능을 해보자 에프엑스(f(x)) .

부정 적분 함수 에프엑스(f(x)) 이 함수는 호출됩니다 에프엑스(F(x)) , 그 파생물은 다음 함수와 같습니다. 에프엑스(f(x)) .

즉, 적분은 역도함수 또는 역도함수입니다. 그건 그렇고, 우리 기사에서 방법에 대해 읽어보십시오.

모든 연속 함수에 대해 역도함수가 존재합니다. 또한, 상수만큼 다른 함수의 도함수는 일치하므로 역도함수에는 상수 부호가 추가되는 경우가 많습니다. 적분을 구하는 과정을 적분이라고 합니다.

간단한 예:

지속적으로 역도함수를 계산하지 않기 위해 기본 기능, 표로 요약하고 기성 값을 사용하는 것이 편리합니다.

학생들을 위한 전체 적분표

정적분

적분의 개념을 다룰 때 우리는 무한한 양을 다루고 있습니다. 적분은 그림의 면적, 균일하지 않은 몸체의 질량, 고르지 않은 움직임 동안 이동한 거리 등을 계산하는 데 도움이 됩니다. 적분은 무한한 합이라는 것을 기억해야 합니다 대량무한한 용어.

예를 들어, 어떤 함수의 그래프를 상상해 보세요.

함수 그래프로 둘러싸인 그림의 영역을 찾는 방법은 무엇입니까? 적분을 사용합니다! 좌표축과 함수 그래프에 의해 제한되는 곡선 사다리꼴을 무한소 세그먼트로 나누어 보겠습니다. 이렇게 하면 그림이 얇은 기둥으로 나누어집니다. 기둥 면적의 합은 사다리꼴 면적이 됩니다. 그러나 그러한 계산은 대략적인 결과를 제공한다는 것을 기억하십시오. 그러나 세그먼트가 더 작고 좁을수록 계산이 더 정확해집니다. 길이가 0이 될 정도로 길이를 줄이면 세그먼트 면적의 합이 그림의 면적과 비슷해집니다. 이것은 다음과 같이 작성된 명확한 적분입니다.

점 a와 b를 적분 한계라고 합니다.

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인형의 적분 계산 규칙

부정 적분의 속성

부정 적분을 푸는 방법은 무엇입니까? 여기에서는 예제를 풀 때 유용할 부정적분의 속성을 살펴보겠습니다.

• 적분의 도함수는 피적분 함수와 같습니다.

• 상수는 적분 부호 아래에서 꺼낼 수 있습니다.

• 합의 적분은 적분의 합과 같습니다. 이는 차이점에도 해당됩니다.

정적분의 속성

• 선형성:

• 적분 한계가 바뀌면 적분의 부호가 변경됩니다.

• ~에 어느전철기 에이, 비그리고 와 함께:

우리는 정적분이 합의 극한이라는 것을 이미 알아냈습니다. 하지만 예제를 풀 때 특정 값을 얻는 방법은 무엇입니까? 이를 위해 Newton-Leibniz 공식이 있습니다.

적분 풀이의 예

아래에서는 무한 적분과 해법이 포함된 예를 살펴보겠습니다. 솔루션의 복잡성을 직접 파악하고, 불분명한 부분이 있으면 댓글로 질문해 주시기 바랍니다.

자료를 강화하려면 실제로 적분이 어떻게 해결되는지에 대한 비디오를 시청하십시오. 적분이 즉시 제공되지 않더라도 절망하지 마십시오. 학생을 위한 전문 서비스에 문의하세요. 닫힌 표면 위의 삼중 또는 곡선 일체형은 귀하의 권한 내에 있습니다.

미적분학의 주요 임무파생상품을 찾는 것입니다 에프'(엑스)또는 차동 df=에프'(엑스)dx기능 에프(엑스).적분법에서는 역 문제가 해결됩니다. 주어진 기능에 따라 에프(엑스) 그런 기능을 찾아야 해요 에프(엑스),무엇 F'(x)=에프(엑스)또는 dF(x)=에프'(엑스)dx=에프(엑스)dx.

따라서, 적분 미적분학의 주요 임무기능의 회복이다 에프(엑스)이 함수의 알려진 도함수(미분)로 계산됩니다. 적분 미적분학은 기하학, 역학, 물리학 및 기술 분야에 수많은 응용 프로그램을 가지고 있습니다. 면적, 부피, 무게 중심 등을 찾는 일반적인 방법을 제공합니다.

정의. 기능에프(x), 는 함수의 역도함수라고 합니다.에프(x) 임의의 것에 대해 미분 가능한 경우 집합 X에 대해에프'(x)=에프(x) 또는dF(x)=에프(엑스)dx.

정리. 간격 [에이;b] 기능에프(x) 이 세그먼트에 역도함수가 있습니다.에프엑스(F(x)).

정리. 만약에F 1 (x) 그리고F 2 (x) – 동일한 함수의 두 가지 다른 역도함수에프(x) 세트 x에서 상수 항으로 서로 다릅니다. 즉F 2 (x)=F 1엑스)+C(여기서 C는 상수임).

부정 적분, 그 속성.

정의. 전체에프(엑스)+모든 역도함수에서에프(x) 집합 X의 부정적분은 다음과 같이 표시됩니다.

- (1)

식(1)에서 에프(엑스)dx~라고 불리는 피적분 표현,에프(x) – 피적분 함수, x – 적분 변수,에이 C - 적분 상수.

정의에 따른 부정적분의 속성을 고려해 보겠습니다.

1. 부정 적분의 미분은 피적분과 같고, 부정 적분의 미분은 피적분과 같습니다.

그리고 .

2. 특정 함수의 미분의 부정적분은 이 함수와 임의의 상수의 합과 같습니다.

3. 상수 인자 a(a≠0)는 부정 적분의 부호로 취해질 수 있습니다:

4. 유한한 수의 함수의 대수합의 부정적분은 다음 함수의 적분의 대수합과 같습니다.

5. 만약에에프(x) – 함수의 역도함수에프(x) 그런 다음:

6(적분식의 불변성). 모든 통합 공식은 다음과 같은 경우에 해당 형식을 유지합니다. 통합 변수이 변수의 미분 가능한 함수로 바꾸십시오.

어디u는 미분 가능한 함수입니다.

부정 적분 표.

주자 기능 통합을 위한 기본 규칙.

주자 기본 부정 적분 표.(여기서 미분 계산과 마찬가지로 문자는 다음과 같습니다. 유독립변수로 지정할 수 있다 (당신=엑스), 그리고 독립변수의 함수 (당신=유(엑스)).)

(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|유|< |a|).

적분 1 – 17이 호출됩니다. 표의.

도함수 표에 유사점이 없는 적분표의 위 공식 중 일부는 우변을 미분하여 검증됩니다.

부정적분에서 변수의 변화와 부분적분.

대체에 의한 적분(변수 대체). 적분을 계산해야합니다.

, 이는 표 형식이 아닙니다. 대체 방법의 본질은 적분에서 변수가 엑스변수로 대체 티공식에 따르면 x=Φ(티),어디 dx=Φ'(티)dt.

정리. 기능을 보자x=Φ(t)는 특정 집합 T에서 정의되고 미분 가능하며 X를 함수가 정의된 이 함수의 값 집합으로 둡니다.에프(엑스). 그런 다음 세트 X에 함수가 있으면에프(