A4 b4 약식 곱셈 공식. 약식 곱셈 공식 – Knowledge Hypermarket

약식 곱셈 공식.

약식 곱셈 공식 연구: 두 표현의 합의 제곱과 차이의 제곱; 두 표현의 제곱의 차이; 두 표현의 합의 세제곱과 차이의 세제곱; 두 표현의 세제곱의 합과 차이.

예제를 풀 때 축약된 곱셈 공식을 적용합니다.

표현식을 단순화하고, 다항식을 인수분해하고, 다항식을 표준 형식으로 줄이기 위해 축약된 곱셈 공식이 사용됩니다. 축약된 곱셈 공식은 암기해야 합니다..

a, b R을 지정합니다. 그런 다음:

1. 두 표현식의 합의 제곱은 다음과 같습니다.첫 번째 식의 제곱에 첫 번째 식의 곱의 두 배를 더하고 두 번째 식에 두 번째 식의 제곱을 더한 것입니다.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. 두 표현의 차이의 제곱은 다음과 같습니다.첫 번째 식의 제곱에서 첫 번째 식의 곱의 두 배를 뺀 값과 두 번째 식의 제곱에 두 번째 식의 제곱을 더한 값입니다.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. 제곱의 차이두 표현식은 이러한 표현식의 차이와 그 합을 곱한 것과 같습니다.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. 합계의 큐브두 표현식은 첫 번째 표현식의 세제곱에 첫 번째 표현식의 제곱의 곱을 더한 것과 같고 두 번째 표현식에 첫 번째 표현식의 곱의 세 배를 더한 것과 두 번째 표현식의 제곱에 두 번째 표현식의 세제곱을 더한 것과 같습니다.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. 차이 큐브두 수식은 첫 번째 수식의 세제곱에서 첫 번째 수식의 제곱의 곱을 뺀 것과 같고, 두 번째 수식에 첫 번째 수식의 곱의 세 배를 더한 것과 두 번째 수식의 제곱에서 두 번째 수식의 세제곱을 뺀 것과 같습니다.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. 큐브의 합두 표현식은 첫 번째와 두 번째 표현식의 합과 이들 표현식의 차이의 불완전 제곱을 곱한 것과 같습니다.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. 큐브의 차이두 표현식은 첫 번째 표현식과 두 번째 표현식의 차이를 이들 표현식 합의 불완전 제곱으로 곱한 것과 같습니다.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

예제를 풀 때 축약된 곱셈 공식을 적용합니다.

예시 1.

믿다

a) 두 표현식의 합의 제곱에 대한 공식을 사용하면 다음과 같습니다.

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) 두 표현의 차이의 제곱에 대한 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

예시 2.

믿다

두 표현식의 제곱의 차이에 대한 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

예시 3.

표현식 단순화

(x - y) 2 + (x + y) 2

두 표현식의 합의 제곱과 차이의 제곱에 대한 공식을 사용합시다

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

한 테이블에 축약된 곱셈 공식이 있습니다:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

대수 다항식을 단순화하기 위해 다음이 있습니다. 약식 곱셈 공식. 그다지 많지 않고 기억하기 쉽지만 기억해야합니다. 공식에 사용되는 표기법은 어떤 형식(숫자 또는 다항식)을 취할 수 있습니다.

첫 번째 약식 곱셈 공식은 다음과 같습니다. 제곱의 차이. 이는 두 번째 숫자의 제곱에서 한 숫자의 제곱을 빼는 것으로 구성되며, 이는 이 숫자와 그 곱의 차이와 같습니다.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

명확성을 위해 살펴 보겠습니다.

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

두 번째 공식은 대략 제곱합. 두 수량의 제곱의 합은 첫 번째 수량의 제곱과 같고, 첫 번째 수량에 두 번째 수량을 곱한 이중 곱이 더해지고, 두 번째 수량의 제곱이 추가되는 것처럼 들립니다.

(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

이 공식 덕분에 컴퓨터 기술을 사용하지 않고도 큰 수의 제곱을 계산하는 것이 훨씬 쉬워졌습니다.

예를 들면 다음과 같습니다. 112의 제곱은 다음과 같습니다.
1) 먼저 112를 우리에게 익숙한 사각형의 숫자로 나누어 보겠습니다.
112 = 100 + 12
2) 대괄호 안에 결과를 입력합니다.
112 2 = (100+12) 2
3) 공식을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

세 번째 공식은 제곱 차이. 이는 제곱에서 서로 뺀 두 양이 동일하다는 것을 의미합니다. 왜냐하면 첫 번째 양의 제곱에서 첫 번째 양에 두 번째 양을 곱한 두 배의 곱을 빼고 두 번째 양의 제곱을 더하기 때문입니다.

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

여기서 (a - b) 2는 (b - a) 2와 같습니다. 이를 증명하기 위해 (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

약식 곱셈의 네 번째 공식은 다음과 같습니다. 큐브의 합계. 다음과 같이 들립니다: 큐브의 두 합산 수량은 1 수량의 큐브와 같습니다. 1 수량의 제곱에 2번째 수량을 곱한 삼중 곱이 추가되고, 여기에 1 수량의 삼중 곱에 2의 제곱을 곱한 값이 더해집니다. 수량에 세제곱된 두 번째 수량을 더합니다.

(a+b) 3 = ㄱ 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

이미 이해했듯이 다섯 번째는 차이 큐브. 큐브의 첫 번째 표기법에서 첫 번째 표기법의 삼중 곱을 두 번째 표기법에 곱한 값을 빼고, 첫 번째 표기법의 삼중 곱에 두 번째 표기법의 제곱을 곱한 값을 더하므로 양 간의 차이를 찾습니다. 표기법에서 큐브의 두 번째 표기법을 뺀 값입니다.

(a-b) 3 = 가 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

여섯 번째는 - 큐브의 합. 세제곱의 합은 두 항의 곱에 차이의 부분 제곱을 곱한 것과 같습니다. 중간에 이중 값이 없기 때문입니다.

a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)

큐브의 합을 말하는 또 다른 방법은 두 개의 괄호 안에 곱을 부르는 것입니다.

일곱 번째이자 마지막 것의 이름은 큐브의 차이(차이입방체 공식과 쉽게 혼동될 수 있지만 이는 다른 것입니다). 세제곱의 차이는 중간에 이중 값이 없기 때문에 두 수량의 차이에 합계의 부분 제곱을 곱한 것과 같습니다.

a 3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)

따라서 약식 곱셈에 대한 공식은 7개뿐입니다. 서로 비슷하고 기억하기 쉽습니다. 유일한 중요한 것은 기호를 혼동하지 않는 것입니다. 또한 역순으로 사용하도록 설계되었으며 교과서에는 이러한 작업이 꽤 많이 포함되어 있습니다. 조심하세요. 그러면 모든 것이 잘 될 것입니다.

공식에 대해 궁금한 점이 있으면 댓글에 적어주세요. 기꺼이 답변해 드리겠습니다!

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다항식에 다항식을 곱하기

! 에게 다항식에 다항식을 곱하다, 한 다항식의 각 항에 다른 다항식의 각 항을 곱하고 그 결과를 더해야 합니다.

조심하세요! 각 용어에는 고유한 기호가 있습니다.

약식 곱셈 공식다항식은 일반적으로 다항식을 곱하는 7(일곱)개의 일반적인 경우입니다.

정의 및약식 곱셈 공식. 테이블

표 2. 약식 곱셈 공식의 정의(확대하려면 클릭)

정사각형에 대한 세 가지 약식 곱셈 공식

1. 제곱합에 대한 공식입니다.

합의 제곱두 표현식은 첫 번째 표현식의 제곱에 첫 번째 표현식의 곱의 두 배를 더하고 두 번째 표현식에 두 번째 표현식의 제곱을 더한 것과 같습니다.

수식을 더 잘 이해하기 위해 먼저 표현식을 단순화해 보겠습니다(합의 제곱에 대한 수식을 확장합니다).

이제 인수분해해 보겠습니다(공식 축소).

인수분해 시 동작 순서:

1. 어느 단항식이 제곱되었는지 확인합니다( 5 그리고 3m);
2. 이중곱이 공식 중간에 있는지 확인하세요(2 5 3m = 30m);
3. 답을 적어라 (5+3m) 2.

2. 제곱 차이 공식

제곱 차이두 표현식은 첫 번째 표현식의 제곱에서 첫 번째 표현식의 곱의 두 배를 뺀 것과 두 번째 표현식의 제곱을 더한 것과 같습니다.

먼저 식을 단순화해 보겠습니다(공식을 확장해 보세요).

그리고 그 반대로 인수분해해 보겠습니다(공식 축소).

3. 제곱 차이 공식

두 표현식의 합과 그 차이의 곱은 이러한 표현식의 제곱의 차이와 같습니다.

수식을 축소하자(곱셈을 수행)

이제 공식을 확장해 보겠습니다(인수분해)

큐브에 대한 4가지 축약된 곱셈 공식

4. 두 숫자의 합을 구하는 세제곱 공식

두 식의 합의 세제곱은 첫 번째 식의 세제곱에 첫 번째 식의 제곱의 곱을 더한 것과 같고, 두 번째 식에 첫 번째 식의 곱의 세 배를 더한 것과 두 번째 식의 제곱에 세제곱을 더한 것과 같습니다. 두 번째 표현.

수식을 "접을" 때의 작업 순서:

1. 세제곱된 단항식을 찾으세요(여기서 4배그리고 1 );
2. 공식 준수 여부에 대한 평균 조건을 확인하십시오.
3. 답을 적어보세요.

5. 두 숫자의 차이의 세제곱 공식

두 식의 차의 세제곱은 첫 번째 식의 세제곱에서 첫 번째 식의 제곱의 곱을 뺀 것과 같고, 두 번째 식의 세제곱에서 첫 번째 식의 곱을 더한 것과 두 번째 식의 제곱에서 세제곱을 뺀 것과 같습니다. 두 번째 표현.

6. 큐브의 합 공식

두 식의 세제곱의 합은 첫 번째와 두 번째 식의 합과 이들 식의 차이의 불완전 제곱의 곱과 같습니다.

그리고 뒤로:

7. 큐브 공식의 차이

두 식의 세제곱 차이는 첫 번째 식과 두 번째 식의 차이와 이들 식의 합의 부분 제곱을 곱한 것과 같습니다.

약식 곱셈 공식을 적용합니다. 테이블

실제로 수식을 사용하는 예(구두 계산).

일:한 변이 a = 71cm인 정사각형의 넓이를 구하세요.

해결책:에스 = 2 . 제곱합 공식을 사용하면

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 cm 2

답변: 5041cm 2

표현 ( 에이 + 비) 2는 합의 제곱숫자 에이그리고 비. 정도의 정의에 따르면, 표현( 에이 + 비에이 + 비)(에이 + 비). 따라서 합의 제곱으로부터 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.

(에이 + 비) 2 = (에이 + 비)(에이 + 비) = 에이 2 + ab + ab + 비 2 = 에이 2 + 2ab + 비 2 ,

즉, 두 숫자의 합의 제곱은 첫 번째 숫자의 제곱에 첫 번째 숫자와 두 번째 숫자의 곱의 두 배, 두 번째 숫자의 제곱을 더한 것과 같습니다.

제곱합 공식

(에이 + 비) 2 = 에이 2 + 2ab + 비 2

다항식 에이 2 + 2ab + 비 2는 제곱합의 확장이라고 합니다.

왜냐하면 에이그리고 비어떤 숫자나 표현식을 나타내면 규칙은 두 항의 합으로 간주될 수 있는 표현식을 간단히 제곱할 수 있는 기회를 제공합니다.

예.정사각형 표현 3 엑스 2 + 2xy.

해결책:추가적인 변환을 하지 않기 위해 합의 제곱 공식을 사용하겠습니다. 우리는 첫 번째 숫자의 제곱과 첫 번째 숫자의 곱의 두 배, 두 번째 숫자와 두 번째 숫자의 제곱의 합을 구해야 합니다.

(3엑스 2 + 2xy) 2 = (3엑스 2) 2 + 2(3엑스 2 2 xy) + (2xy) 2

이제 단항식의 곱셈과 지수화 규칙을 사용하여 결과 표현식을 단순화합니다.

(3엑스 2) 2 + 2(3엑스 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9엑스 4 + 12엑스 3 와이 + 4엑스 2 와이 2

제곱 차이

표현 ( 에이 - 비) 2는 제곱 차이숫자 에이그리고 비. 표현 ( 에이 - 비) 2는 두 다항식의 곱입니다( 에이 - 비)(에이 - 비). 따라서 차이의 제곱으로부터 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.

(에이 - 비) 2 = (에이 - 비)(에이 - 비) = 에이 2 - ab - ab + 비 2 = 에이 2 - 2ab + 비 2 ,

즉, 두 숫자의 차이의 제곱은 첫 번째 숫자의 제곱에서 첫 번째 숫자와 두 번째 숫자의 곱의 두 배를 빼고 두 번째 숫자의 제곱을 더한 것과 같습니다.

총계는 다음과 같은 규칙에 따릅니다. 제곱 차이 공식, 중간 변환 없이 다음과 같이 표시됩니다.

(에이 - 비) 2 = 에이 2 - 2ab + 비 2

다항식 에이 2 - 2ab + 비 2를 제곱 차이 확장이라고 합니다.

이 규칙은 두 숫자의 차이로 표현될 수 있는 표현식의 약식 제곱에 적용됩니다.

예.차이의 제곱을 삼항식으로 표현합니다:

(2에이 2 - 5ab 2) 2

해결책:제곱 차이 공식을 사용하여 다음을 찾습니다.

(2에이 2 - 5ab 2) 2 = (2에이 2) 2 - 2(2에이 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2

이제 표현식을 표준 다항식으로 변환해 보겠습니다.

(2에이 2) 2 - 2(2에이 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2 = 4에이 4 - 20에이 3 비 2 + 25에이 2 비 4

제곱의 차이

표현 에이 2 - 비 2는 제곱의 차이숫자 에이그리고 비. 표현 에이 2 - 비 2는 두 숫자의 합에 차이를 곱하는 간단한 방법입니다.

(에이 + 비)(에이 - 비) = 에이 2 + ab - ab - 비 2 = 에이 2 - 비 2 ,

즉, 두 숫자의 합과 그 차이의 곱은 이 숫자의 제곱의 차이와 같습니다.

총계는 다음과 같은 규칙에 따릅니다. 제곱 차이 공식다음과 같습니다:

에이 2 - 비 2 = (에이 + 비)(에이 - 비)

이 규칙은 표현될 수 있는 표현식의 약식 곱셈에 적용됩니다. 하나는 두 숫자의 합으로, 다른 하나는 같은 숫자의 차이로 표현됩니다.

예.곱을 이항식으로 변환합니다.

(5에이 2 + 3)(5에이 2 - 3)

해결책:

(5에이 2 + 3)(5에이 2 - 3) = (5에이 2) 2 - 3 2 = 25에이 4 - 9

이 예에서는 오른쪽에서 왼쪽으로 제곱의 차이에 대한 공식을 적용했습니다. 즉, 공식의 오른쪽이 주어지고 이를 왼쪽으로 변환했습니다.

(에이 + 비)(에이 - 비) = 에이 2 - 비 2

실제로 논의된 세 가지 공식은 모두 상황에 따라 왼쪽에서 오른쪽으로, 오른쪽에서 왼쪽으로 적용됩니다.

대수학 과정에서 공부하는 첫 번째 주제 중 하나는 약식 곱셈 공식입니다. 7학년에서는 표현식의 공식 중 하나를 인식하고 다항식을 인수분해해야 하거나 반대로 합이나 차이를 빠르게 제곱하거나 세제곱해야 하는 가장 간단한 상황에서 사용됩니다. 앞으로는 FSU를 사용하여 부등식과 방정식을 빠르게 풀고 심지어 계산기 없이 일부 수치식을 계산할 수도 있습니다.

수식 목록은 어떤 모양인가요?

괄호 안의 다항식을 빠르게 곱할 수 있는 7가지 기본 공식이 있습니다.

때때로 이 목록에는 제시된 정체성을 따르고 다음과 같은 형식을 갖는 4급 확장도 포함됩니다.

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

제곱의 차이를 제외하고 모든 등식에는 쌍(합 - 차이)이 있습니다. 제곱합 공식은 제공되지 않습니다..

나머지 평등은 기억하기 쉽습니다.:

FSU는 어떤 경우에도 어떤 값에도 작동한다는 점을 기억해야 합니다. 에이그리고 비: 임의의 숫자 또는 정수 표현식이 될 수 있습니다.

갑자기 수식에서 특정 용어 앞에 어떤 기호가 있는지 기억나지 않는 상황에서는 괄호를 열고 수식을 사용한 후와 동일한 결과를 얻을 수 있습니다. 예를 들어 차분입방체 FSU를 적용할 때 문제가 발생했다면 원래의 식을 적어두고, 곱셈을 하나씩 수행:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

그 결과 비슷한 항을 모두 모은 결과 표와 같은 다항식이 얻어졌다. 다른 모든 FSU에도 동일한 조작을 수행할 수 있습니다.

방정식을 풀기 위한 FSU 적용

예를 들어, 다음을 포함하는 방정식을 풀어야 합니다. 3차 다항식:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

안에 학교 커리큘럼삼차 방정식을 풀기 위한 보편적인 기술은 고려되지 않으며 이러한 작업은 더 많은 경우에 가장 자주 해결됩니다. 간단한 방법(예를 들어 인수분해를 통해) 항등식의 왼쪽이 합의 세제곱과 유사하다는 것을 알게 되면 방정식은 더 간단한 형식으로 작성될 수 있습니다.

(x + 1)³ = 0.

이러한 방정식의 근은 구두로 계산됩니다. x = -1.

불평등도 비슷한 방식으로 해결됩니다. 예를 들어, 불평등을 해결할 수 있습니다. x³ – 6x² + 9x > 0.

우선 식을 인수분해해야 합니다. 먼저 괄호를 묶어야합니다 엑스. 그 후, 괄호 안의 표현은 차이의 제곱으로 변환될 수 있습니다.

그런 다음 표현식이 0 값을 취하는 지점을 찾아 수직선에 표시해야 합니다. 특별한 경우에는 0과 3이 됩니다. 그런 다음 간격 방법을 사용하여 x가 부등식 조건에 해당하는 간격을 결정합니다.

FSU는 수행할 때 유용할 수 있습니다. 계산기의 도움 없이 일부 계산:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

또한 식을 인수분해하면 쉽게 분수를 줄이고 다양한 대수식을 단순화할 수 있습니다.

7-8학년 문제의 예

결론적으로 우리는 대수학에서 약식 곱셈 공식의 사용에 관한 두 가지 과제를 분석하고 해결할 것입니다.

작업 1. 표현식을 단순화합니다.

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

해결책. 작업 조건에서는 표현식을 단순화해야 합니다. 즉, 괄호 열기, 곱셈 및 지수 연산 수행, 모든 항목 가져오기 등이 필요합니다. 비슷한 용어. 조건부로 표현식을 (용어 수에 따라) 세 부분으로 나누고 가능한 경우 FSU를 사용하여 괄호를 하나씩 열어 보겠습니다.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(합계);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(제곱의 차이);
• 마지막 항에서는 다음을 곱해야 합니다. 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

얻은 결과를 원래 표현식으로 대체해 보겠습니다.

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

표시를 고려하여 괄호를 열고 유사한 용어를 제시합니다.

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

문제 2. 미지의 k가 포함된 방정식을 5제곱합니다.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

해결책. 이 경우에는 FSU와 그룹화 방법을 사용해야 합니다. 마지막 두 번째 용어를 ID의 오른쪽으로 이동해야 합니다.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

공통 인수는 오른쪽과 왼쪽에서 파생됩니다. (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

오른쪽에 0이 남도록 모든 것이 방정식의 왼쪽으로 이동됩니다.

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

이번에도 공통인수를 꺼내야 합니다:

(k² - k)(k² + 4k + 4) = 0.

얻은 첫 번째 요소로부터 우리는 다음을 도출할 수 있습니다. 케이. 짧은 곱셈 공식에 따르면 두 번째 요소는 다음과 동일합니다. (k+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

제곱의 차이 공식 사용:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

요소 중 하나 이상이 0이면 곱은 0과 같으므로 방정식의 모든 근을 찾는 것은 어렵지 않습니다.

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

예시를 바탕으로 공식을 기억하는 방법과 차이점을 이해하고 FSU를 사용하여 몇 가지 실제 문제를 해결할 수도 있습니다. 작업은 간단하며 완료하는 데 어려움이 없어야 합니다.