Параметрлік анықталған қисықпен шектелген фигураның ауданын есептеу. Белгілі бір интегралды пайдаланып айналу денелерінің көлемдерін есептеу.

Бөлімдер: Математика

Сабақтың түрі: аралас.

Сабақтың мақсаты:интегралдар арқылы айналым денелерінің көлемдерін есептеуді үйрену.

Тапсырмалар:

• бірқатар геометриялық фигуралардан қисық сызықты трапецияларды анықтау қабілеттерін бекіту және қисық сызықты трапециялардың аудандарын есептеу дағдыларын дамыту;
• ұғымымен танысу көлемдік фигура;
• айналу денелерінің көлемдерін есептеуді үйрену;
• логикалық ойлауды, сауатты математикалық сөйлеуді, сызбаларды салу кезінде дәлдікті дамытуға ықпал ету;
• пәнге деген қызығушылықты, математикалық ұғымдармен және бейнелермен жұмыс істеуге, соңғы нәтижеге жетуге ерік-жігерге, дербестікке, табандылыққа тәрбиелеу.

Сабақтар кезінде

I. Ұйымдастыру кезеңі.

Топтан сәлем. Оқушыларға сабақ мақсаттарын жеткізу.

Рефлексия. Тыныш әуен.

– Бүгінгі сабағымызды астарлы әңгімемен бастағым келеді. «Ертеде бәрін білетін бір данышпан өмір сүріпті. Бір адам данышпанның бәрін білмейтінін дәлелдегісі келді. Көбелек алақанына ұстап: «Айтшы, данышпан, менің қолымда қандай көбелек: өлі ме тірі ме?» - деп сұрады. Оның өзі: «Егер тірі десе, мен оны өлтіремін, өлі болса, оны босатамын дейді». Данышпан ойланып, былай деп жауап берді: «Барлығы сенің қолыңда». (Презентация.Слайд)

– Сондықтан бүгіннен бастап жемісті еңбек етіп, жаңа білім қорын игеріп, алған дағды мен дағдыны келешек өмірде, практикалық іс-әрекетте қолданайық. «Бәрі өз қолыңда».

II. Бұрын оқылған материалды қайталау.

– Алдыңғы оқылған материалдың негізгі ойларын еске түсірейік. Ол үшін тапсырманы орындайық «Артық сөзді алып тастаңыз.»(Слайд.)

(Оқушы жеке куәлікке барады. Өшіргіш арқылы артық сөзді алып тастайды.)

- Дұрыс «Дифференциалды». Қалған сөздерді бір ортақ сөзбен атауға тырысыңыз. (Интегралдық есептеу.)

– Интегралдық есептеулермен байланысты негізгі кезеңдерді және түсініктерді еске түсірейік..

«Математикалық топ».

Жаттығу. Бос орындарды қалпына келтіріңіз. (Оқушы шығып, қаламмен қажетті сөздерді жазады.)

– Кейінірек интегралдарды қолдану туралы реферат тыңдаймыз.

Дәптермен жұмыс.

– Ньютон-Лейбниц формуласын ағылшын физигі Исаак Ньютон (1643–1727) және неміс философы Готфрид Лейбниц (1646–1716) шығарған. Және бұл таңқаларлық емес, өйткені математика - табиғаттың өзі сөйлейтін тіл.

– Бұл формула практикалық есептерді шешу үшін қалай қолданылатынын қарастырайық.

1-мысал: Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз

Шешуі: Координаталық жазықтықта функциялардың графиктерін тұрғызайық . Табылатын фигураның ауданын таңдайық.

III. Жаңа материалды меңгерту.

– Экранға назар аударыңыз. Бірінші суретте не көрсетілген? (Слайд) (Суретте жалпақ фигура көрсетілген.)

– Екінші суретте не бейнеленген? Бұл фигура тегіс пе? (Слайд) (Суретте үш өлшемді фигура көрсетілген.)

– Ғарышта, жерде және ішінде Күнделікті өмірБіз тек жалпақ фигураларды ғана емес, сонымен қатар үш өлшемді фигураларды кездестіреміз, бірақ мұндай денелердің көлемін қалай есептеуге болады? Мысалы, планетаның, кометаның, метеориттің және т.б.

– Тұрғындар үй салғанда да, бір ыдыстан екінші ыдысқа су құйғанда да көлемді ойлайды. Көлемді есептеудің ережелері мен әдістері пайда болуы керек еді, олардың қаншалықты дәл және негізді екендігі басқа мәселе.

Студенттен келген хабарлама. (Тюрина Вера.)

1612 жыл әйгілі астроном Иоганнес Кеплер өмір сүрген Австрияның Линц қаласының тұрғындары үшін, әсіресе жүзім үшін өте жемісті болды. Адамдар шарап бөшкелерін дайындап, олардың көлемін іс жүзінде қалай анықтау керектігін білгісі келді. (2-слайд)

– Осылайша, Кеплердің қарастырылған еңбектері 17 ғасырдың соңғы ширегінде шарықтау шегіне жеткен зерттеулердің тұтас ағынының негізін қалады. И.Ньютон мен Г.В. еңбектеріндегі дизайн. Лейбниц дифференциалдық және интегралдық есептеулер. Осы кезден бастап математикалық білім жүйесінде айнымалылар математикасы жетекші орын алды.

– Бүгін сіз бен біз осындай практикалық жұмыстармен айналысамыз, сондықтан

Біздің сабағымыздың тақырыбы: «Анықталған интеграл көмегімен айналу денелерінің көлемдерін есептеу». (Слайд)

– Келесі тапсырманы орындау арқылы айналу денесінің анықтамасын үйренесіз.

«Лабиринт».

Лабиринт (грек сөзі) жер астына өту дегенді білдіреді. Лабиринт - бұл жолдардың, өткелдердің және өзара байланысты бөлмелердің күрделі желісі.

Бірақ анықтама көрсеткілер түрінде кеңестер қалдырып, «сынған».

Жаттығу. Түсініксіз жағдайдан шығудың жолын тауып, анықтамасын жазыңыз.

Слайд. «Карта нұсқауы» Көлемді есептеу.

Көмегімен анықталған интегралбелгілі бір дененің көлемін, атап айтқанда, айналу денесін есептей аласыз.

Айналым денесі деп оның табанының айналасында қисық трапецияны айналдыру арқылы алынған денені айтады (1, 2-сурет).

Айналу денесінің көлемі мына формулалардың бірі арқылы есептеледі:

1. OX осінің айналасында.

2. , егер қисық трапецияның айналуы op-amp осінің айналасында.

Әр оқушы нұсқаулық картасын алады. Мұғалім негізгі ойларды атап өтеді.

– Мұғалім тақтадағы мысалдардың шешу жолдарын түсіндіреді.

А.С.Пушкиннің «Салтан патша, оның даңқты және құдіретті ұлы князь Гидон Салтанович және сұлу аққу ханшайым туралы ертегі» атты әйгілі ертегісінен үзіндіні қарастырайық. (4-слайд):

…..
Ал мас хабаршы әкелді
Сол күні тапсырыс келесідей:
«Патша боярларына бұйырады,
Уақыт жоғалтпай,
Және патшайым мен ұрпақ
Жасырын судың тұңғиығына тастаңыз».
Ештеңе жоқ: боярлар,
Егеменді уайымдау
Ал жас патшайымға,
Оның жатын бөлмесіне көп адам келді.
Олар патшаның өсиетін жариялады -
Оның баласы мен оның жаман үлесі бар,
Біз жарлықты дауыстап оқыдық,
Ал патшайым сол сағатта
Олар мені ұлыммен бірге бөшкеге салды,
Олар шайнап, айдап кетті
Олар мені окиянға жіберді -
Салтан патша осылай деп бұйырды.

Патшайым мен оның ұлы оған сыйып кетуі үшін бөшкенің көлемі қандай болуы керек?

– Келесі тапсырмаларды қарастырыңыз

1. Түзулермен шектелген қисық сызықты трапецияның ордината осін айналдыру арқылы алынған дененің көлемін табыңыз: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Жауабы: 1163 см 3 .

Параболалық трапецияны абсцисса осінің айналасында айналдыру арқылы алынған дененің көлемін табыңыз y = , x = 4, y = 0.

IV. Жаңа материалды бекіту

Мысал 2. Жапырақшаның х осінің айналасында айналуынан пайда болған дененің көлемін есептеңдер. y = x 2 , y 2 = x.

Функцияның графиктерін тұрғызайық. y = x 2 , y 2 = x. Кесте y2 = xпішінге түрлендіру ж= .

Бізде бар V = V 1 – V 2Әрбір функцияның көлемін есептейік

– Енді, орыстың көрнекті инженері, құрметті академик В.Г.Шуховтың жобасы бойынша салынған Мәскеудегі Шаболовкадағы радиостанция мұнарасына назар аударайық. Ол бөліктерден – айналу гиперболоидтарынан тұрады. Оның үстіне олардың әрқайсысы іргелес шеңберлерді байланыстыратын түзу металл шыбықтардан жасалған (8, 9-сурет).

- Мәселені қарастырайық.

Гипербола доғаларын айналдыру арқылы алынған дененің көлемін табыңыз суретте көрсетілгендей, оның ойша осінің айналасында. 8, қайда

текше бірлік

Топтық тапсырмалар. Оқушылар тапсырмалармен жеребе салады, ватман қағазына сурет салады, топ өкілдерінің бірі жұмысты қорғайды.

1-топ.

Соқ! Соқ! Тағы бір соққы!
Доп қақпаға ұшады - ДОП!
Ал бұл қарбыз шары
Жасыл, дөңгелек, дәмді.
Жақсырақ қараңыз - бұл қандай доп!
Ол шеңберлерден басқа ештеңеден жасалған емес.
Қарбызды шеңберлерге кесіңіз
Және олардың дәмін татыңыз.

Шектеулі функцияның OX осін айналдыру арқылы алынған дененің көлемін табыңыз

Қате! Бетбелгі анықталмаған.

– Айтыңызшы, бұл фигураны қай жерде кездестіреміз?

Үй. 1 топқа тапсырма. ЦИЛИНДР (слайд) .

«Цилиндр - бұл не?» – деп сұрадым әкемнен.
Әкесі күлді: Үстіңгі қалпақ – қалпақ.
Дұрыс идеяға ие болу үшін,
Цилиндр, айталық, қалайы банка.
Пароход құбыры - цилиндр,
Біздің төбедегі құбыр да,

Барлық құбырлар цилиндрге ұқсас.
Мен мынандай мысал келтірдім -
Калейдоскоп сүйіктім менің,
Сен одан көзіңді ала алмайсың,
Және ол цилиндрге ұқсайды.

- Жаттығу. Үйге тапсырма: функцияның графигін құрастыру және көлемін есептеу.

2-топ. КОНУС (слайд).

Анасы: Ал енді
Менің әңгімем конус туралы болмақ.
Биік қалпақтағы жұлдызды бақылаушы
Жыл бойы жұлдыздарды санайды.
КОНУС - жұлдызды көрушілердің бас киімі.
Ол сондай. Түсінді ме? Міне бітті.
Анам үстел басында тұрды,
Мен бөтелкелерге май құйдым.
- Шұңқыр қайда? Шұңқыр жоқ.
Оны іздеңіз. Шетте тұрмаңыз.
- Мама, мен тайынбаймын.
Конус туралы көбірек айтып беріңізші.
– Шұңқыр суарғыш конус түрінде болады.
Жүр, оны маған тез тауып бер.
Мен шұңқырды таба алмадым
Бірақ анам сөмке жасады,
Мен картонды саусағымның айналасына орап алдым
Ол оны қағаз қыстырғышпен ептілікпен бекітті.
Май ағып жатыр, ана бақытты,
Конус дәл шықты.

Жаттығу. Абсцисса осін айналдыру арқылы алынған дененің көлемін есептеңіз

Үй. 2-топқа тапсырма. ПИРАМИДА(слайд).

Мен суретті көрдім. Бұл суретте
Құмды шөлде ПИРАМИДА бар.
Пирамидада бәрі ерекше,
Оның ішінде қандай да бір жұмбақ, жұмбақ бар.
Ал Қызыл алаңдағы Спасская мұнарасы
Бұл балаларға да, ересектерге де өте таныс.
Мұнараға қарасаң, кәдімгідей көрінеді,
Оның үстінде не бар? Пирамида!

Жаттығу.Үйге тапсырма: функцияның графигін салу және пирамиданың көлемін есептеу

– Томдар әртүрлі денелербіз интегралды пайдаланып денелердің көлемдерінің негізгі формуласы негізінде есептедік.

Бұл анықталған интеграл математиканы зерттеу үшін қандай да бір негіз болып табылатынын тағы бір растау.

-Ал, енді сәл демалайық.

Жұпты табыңыз.

Математикалық домино әуені ойнайды.

«Мен іздеген жол ешқашан ұмытылмайды...»

Зерттеу жұмысы. Интегралды экономика мен технологияда қолдану.

Мықты оқушыларға арналған тесттер және математикалық футбол.

Математикалық симулятор.

2. Берілген функцияның барлық қарсы туындыларының жиыны деп аталады

А) анықталмаған интеграл;

В) функция,

В) дифференциация.

7. Түзулермен шектелген қисық сызықты трапецияның абсцисса осін айналдыру арқылы алынған дененің көлемін табыңыз:

D/Z. Төңкеріс денелерінің көлемдерін есептеңдер.

Рефлексия.

Формада рефлексияны қабылдау синхрондау(бес жол).

1-жол – тақырып атауы (бір зат есім).

2-жол – тақырыпты екі сөзбен, екі сын есіммен сипаттау.

3-жол – осы тақырып аясындағы әрекетті үш сөзбен сипаттау.

4-жол – тақырыпқа (бүтін сөйлемге) қатынасты көрсететін төрт сөзден тұратын сөз тіркесі.

5-жол – тақырыптың мәнін қайталайтын синоним.

1. Көлемі.
2. Анықталған интегралдық, интегралдық функция.
3. Біз саламыз, айналамыз, есептейміз.
4. Қисық трапецияны (оның табанының айналасында) айналдыру арқылы алынған дене.
5. Айналу денесі (көлемдік геометриялық дене).

Қорытынды (слайд).

• Анықталған интеграл – практикалық есептерді шешуге таптырмас үлес қосатын математиканы зерттеудің белгілі бір негізі.
• «Интеграл» тақырыбы математика мен физика, биология, экономика және технологияның байланысын айқын көрсетеді.
• Даму қазіргі ғылыминтегралды пайдаланбай елестету мүмкін емес. Осыған орай, оны орта арнаулы білім беру аясында оқуға кірісу қажет!

Бағалау. (Түсініктемемен.)

Ұлы Омар Хайям – математик, ақын, философ. Ол бізді өз тағдырымыздың иесі болуға шақырады. Шығармашылығынан үзінді тыңдайық:

Сіз айтасыз, бұл өмір бір сәт.
Оны бағалаңыз, одан шабыт алыңыз.
Қалай жұмсасаң, солай өтеді.
Ұмытпаңыз: ол сіздің жаратылысыңыз.

Анықталған интегралдың геометриялық мағынасын анықтаған кезде біз х осімен және түзулармен шектелген қисық сызықты трапеция ауданын табуға болатын формуланы ойлап таптық. x = a, x = b, сонымен қатар үздіксіз (теріс емес немесе оң емес) функция y = f(x).Кейде фигураны параметрлік түрде шектейтін функцияны көрсету ыңғайлырақ, яғни. t параметрі арқылы функционалдық тәуелділікті өрнектеңіз. Бұл материалда біз фигураның ауданын параметрлік анықталған қисықпен шектелген жағдайда қалай табуға болатынын көрсетеміз.

Теорияны түсіндіріп, формуланы шығарғаннан кейін біз мұндай фигуралардың ауданын табу үшін бірнеше типтік мысалдарды қарастырамыз.

Есептеудің негізгі формуласы

Бізде қисық сызықты трапеция бар деп алайық, оның шекаралары x = a, x = b түзулері, O x осі және параметрлік анықталған қисық x = φ (t) y = ψ (t) және x = φ (t) және y = ψ (t) функциялары α интервалында үздіксіз; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Анықтама 1

Мұндай жағдайларда трапецияның ауданын есептеу үшін S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ "(t) d t формуласын пайдалану керек.

Біз оны қисық сызықты трапеция ауданы формуласынан S (G) = ∫ a b f (x) d x x = φ (t) y = ψ (t) ауыстыру арқылы шығардық:

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

Анықтама 2

β интервалында x = φ (t) функциясының монотонды кемуін ескере отырып; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Егер x = φ (t) функциясы негізгі элементарлардың бірі болмаса, онда функцияның ұлғаюын немесе кемуін анықтау үшін аралықта функцияны көбейту және азайтудың негізгі ережелерін есте сақтау қажет.

Бұл тармақта біз жоғарыда келтірілген формуланы пайдаланып бірнеше есептерді талдаймыз.

1-мысал

Шарт: x = 2 cos t y = 3 sin t түріндегі теңдеулер арқылы берілген түзу арқылы құрылған фигураның ауданын табыңыз.

Шешім

Бізде параметрлік берілген сызық. Графикалық түрде оны екі жартылай осьтері 2 және 3 бар эллипс түрінде көрсетуге болады. Суретті қараңыз:

Алынған фигураның бірінші квадрантты алып жатқан 1 4 ауданын табуға тырысайық. Облыс x ∈ a интервалында; b = 0; 2. Содан кейін алынған мәнді 4-ке көбейтіп, бүкіл фигураның ауданын табыңыз.

Міне, біздің есептеулеріміздің барысы:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

k 0-ге тең болса, β интервалын аламыз; α = 0 ; π 2. Оған x = φ (t) = 2 cos t функциясы монотонды түрде азаяды (толығырақ ақпарат алу үшін негізгі элементар функциялар және олардың қасиеттері туралы мақаланы қараңыз). Бұл Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы ауданды есептеу формуласын қолдануға және анықталған интегралды табуға болатынын білдіреді:

- ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 т) d t = = 3 · t - sin (2 т) 2 0 π 2 = 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π 2

Бұл бастапқы қисықпен берілген фигураның ауданы S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π тең болады дегенді білдіреді.

Жауабы: S(G) = 6π

Жоғарыдағы есепті шешкен кезде эллипстің төрттен бір бөлігін ғана емес, оның жартысын – жоғарғы немесе төменгі бөлігін де алуға болатынын түсіндірейік. Бір жартысы x ∈ a интервалында орналасады; b = - 2 ; 2. Бұл жағдайда бізде:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k, k ∈ Z

Осылайша, k 0-ге тең болса, біз β аламыз; α = 0 ; π. Бұл аралықта x = φ (t) = 2 cos t функциясы монотонды түрде азаяды.

Осыдан кейін эллипстің жартысының ауданын есептейміз:

- ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 т) d t = = 3 · t - sin (2 т) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

Айта кету керек, сіз тек үстіңгі немесе астыңғы жағын алуға болады, бірақ оңға немесе солға емес.

Берілген эллипс үшін параметрлік теңдеу құруға болады, оның центрі координат басында орналасады. Ол x = a · cos t y = b · sin t сияқты болады. Жоғарыдағы мысалдағыдай әрекет ете отырып, a = πab арқылы S e l және p эллипстерінің ауданын есептеу формуласын аламыз.

x = R · cos t y = R · sin t теңдеуінің көмегімен центрі координат басында орналасқан шеңберді анықтауға болады, мұндағы t – параметр және R – осы шеңбердің радиусы. Егер біз бірден эллипс ауданы формуласын қолданатын болсақ, онда біз R радиусы бар шеңбердің ауданын есептей алатын формуланы аламыз: S k r y r a = πR 2 .

Тағы бір мәселені қарастырайық.

2-мысал

Шарты: x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t параметрлік анықталған қисықпен шектелген фигураның ауданы неге тең болатынын табыңыз.

Шешім

Бұл қисықтың ұзартылған астроид пішіні бар екенін бірден анықтайық. Әдетте астроид x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t түріндегі теңдеу арқылы өрнектеледі.

Енді мұндай қисық сызықты қалай салу керектігін егжей-тегжейлі қарастырайық. Жеке нүктелерге сүйене отырып құрастырайық. Бұл ең көп тараған әдіс және көптеген тапсырмалар үшін қолданылады. Көбірек күрделі мысалдарпараметрлік анықталған функцияны анықтау үшін дифференциалды есептеуді қажет етеді.

Бізде x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

Бұл функциялар t-тің барлық нақты мәндері үшін анықталған. Sin және cos үшін олардың периодты және периоды 2 пи болатыны белгілі. Кейбір t = t 0 ∈ 0 үшін x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t функцияларының мәндерін есептеп; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8, біз x 0 ұпайларын аламыз; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .

Жалпы мәндер кестесін жасайық:

t 0	0	π 8	π 4	3 π 8	π 2	5 π 8	3 π 4	7 π 8	π
x 0 = φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t 0	9 π 8	5 π 4	11 π 8	3 π 2	13 π 8	7 π 4	15 π 8	2π
x 0 = φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

Осыдан кейін жазықтықта қажетті нүктелерді белгілеп, оларды бір сызықпен қосыңыз.

Енді біз бірінші координаталық ширекте орналасқан фигураның сол бөлігінің ауданын табуымыз керек. Ол үшін x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Егер k 0-ге тең болса, онда β интервалын аламыз; α = 0 ; π 2 , ал оған x = φ (t) = 3 cos 3 t функциясы монотонды түрде кемиді. Енді аудан формуласын алып, есептейміз:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t " d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы есептелетін анықталған интегралдар алдық. Бұл формуланың антитуындыларын J n (x) = - cos x · sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , мұндағы J n (x) = ∫ қайталанатын формуласы арқылы табуға болады. күнә n x d x.

∫ sin 4 t d t = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 - cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 0 π 6 ∫ + 5 sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

Біз фигураның төрттен бір бөлігінің ауданын есептедік. Ол 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16 тең.

Егер бұл мәнді 4-ке көбейтсек, біз бүкіл фигураның ауданын аламыз - 9 π 4.

Дәл осылай x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t теңдеулері арқылы берілген астроидтың ауданын S a stroroid = 3 πa 2 8 формуласы бойынша табуға болатынын дәлелдей аламыз. , және x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t сызығымен шектелген фигураның ауданы S = 3 πab 8 формуласы арқылы есептеледі.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Революция бетінің ауданы формулаларына көшпес бұрын, біз революция бетінің өзінің қысқаша тұжырымын береміз. Айналым беті немесе сол сияқты революция денесінің беті сегменттің айналуынан пайда болған кеңістіктік фигура ABось айналасында қисық Өгіз(төмендегі сурет).

Жоғарыдан қисық сызықтың аталған сегментімен шектелген қисық трапецияны елестетейік. Осы трапецияны бір осьтің айналасында айналдыру нәтижесінде пайда болған дене Өгіз, және айналу денесі болып табылады. Ал айналу бетінің ауданы немесе айналу денесінің бетінің ауданы түзу сызықтар осінің айналасында айналу нәтижесінде пайда болған шеңберлерді есептемегенде оның сыртқы қабығы болып табылады. x = аЖәне x = б .

Айналыс денесін және сәйкесінше оның бетін фигураны ось айналасында емес айналдыру арқылы да жасауға болатынын ескеріңіз. Өгіз, және осьтің айналасында Ой.

Тіктөртбұрышты координаттарда көрсетілген айналым бетінің ауданын есептеу

Жазықтықтағы тікбұрышты координаталар теңдеуін жазайық ж = f(x) координат осінің айналасында айналуы айналу денесін құрайтын қисық көрсетілген.

Айналым бетінің ауданын есептеу формуласы келесідей:

(1).

1-мысал.Өз осінің айналасында айналу нәтижесінде пайда болған параболоидтың бетінің ауданын табыңыз Өгізөзгеріске сәйкес параболаның доғасы xбастап x= 0 дейін x = а .

Шешім. Парабола доғасын анықтайтын функцияны анық көрсетейік:

Осы функцияның туындысын табайық:

Революция бетінің ауданын табу үшін формуланы қолданбас бұрын, түбірді білдіретін оның интегралының бөлігін жазайық және сол жерден жаңа тапқан туындыны ауыстырайық:

Жауабы: Қисық доғасының ұзындығы тең

.

2-мысал.Ось айналасында айналу нәтижесінде пайда болған беттің ауданын табыңыз Өгізастроид.

Шешім. Бірінші тоқсанда орналасқан астроидтың бір тармағының айналуының нәтижесінде пайда болатын бетінің ауданын есептеп, оны 2-ге көбейту жеткілікті. Астроид теңдеуінен біз функцияны нақты түрде өрнектейтін боламыз. Айналу бетінің ауданын табу формуласы:

.

Біз 0-ден бастап біріктіреміз а:

Параметрлік көрсетілген айналым бетінің ауданын есептеу

Айналым бетін құрайтын қисық параметрлік теңдеулер арқылы берілген жағдайды қарастырайық

Содан кейін айналу бетінің ауданы формула бойынша есептеледі

(2).

3-мысал.Ось айналасында айналу нәтижесінде пайда болатын айналу бетінің ауданын табыңыз Ойциклоидпен және түзумен шектелген фигура ж = а. Циклоид параметрлік теңдеулер арқылы берілген

Шешім. Циклоид пен түзудің қиылысу нүктелерін табайық. Циклоид теңдеуі мен түзу теңдеуін теңестіру ж = а, табайық

Осыдан келіп интеграцияның шекаралары сәйкес келеді

Енді (2) формуланы қолдануға болады. Туындыларды табайық:

Табылған туындылардың орнына радикалды өрнекті формулаға жазайық:

Мына өрнектің түбірін табайық:

.

Табғанымызды (2) формулаға ауыстырайық:

.

Ауыстыру жасайық:

Ақырында табамыз

Өрнектерді түрлендіру үшін тригонометриялық формулалар пайдаланылды

Жауап: Революция бетінің ауданы .

Полярлық координаттарда көрсетілген айналым бетінің ауданын есептеу

Айналу бетін құрайтын қисық полярлық координаттарда көрсетілсін.

Параметрлік көрсетілген сызықтармен шектелген фигуралардың аудандарын есептеуге мүмкіндік беретін нәтиже формуласын қолдану мысалдарын қарастырайық.

Мысал.

Параметрлік теңдеулері пішіні бар сызықпен шектелген фигураның ауданын есептеңіз.

Шешім.

Біздің мысалда параметрлік анықталған сызық жартылай осьтері 2 және 3 бірліктен тұратын эллипс болып табылады. Оны құрастырайық.

Бірінші квадрантта орналасқан эллипстің төрттен бір бөлігінің ауданын табайық. Бұл аймақ интервалда жатыр . Алынған мәнді төртке көбейту арқылы бүкіл фигураның ауданын есептейміз.

Бізде не бар:

Үшін k = 0 интервалын аламыз . Бұл аралықта функция монотонды түрде төмендейді (бөлімді қараңыз). Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы ауданды есептеу және анықталған интегралды табу үшін формуланы қолданамыз:

Осылайша, бастапқы фигураның ауданы тең .

Пікір.

Логикалық сұрақ туындайды: неге біз эллипстің жартысын емес, төрттен бір бөлігін алдық? Фигураның жоғарғы (немесе төменгі) жартысын көруге болады. Ол аралықта . Бұл жағдайда біз алатын едік

Яғни, k = 0 үшін интервалды аламыз. Бұл аралықта функция монотонды түрде төмендейді.

Сонда эллипстің жартысының ауданы ретінде табылады

Бірақ сіз эллипстің оң немесе сол жақ жартысын ала алмайсыз.

Бастауышта және a және b жартылай осьтерде центрленген эллипстің параметрлік кескіні пішінге ие. Талданған мысалдағыдай әрекет етсек, аламыз эллипстің ауданын есептеу формуласы .

Центрі R радиусының басындағы шеңбер t параметрі арқылы теңдеулер жүйесі арқылы анықталады. Егер сіз эллипстің ауданы үшін алынған формуланы қолдансаңыз, сіз бірден жаза аласыз шеңбердің ауданын табу формуласырадиусы R: .

Тағы бір мысалды шешейік.

Мысал.

Параметрлік түрде көрсетілген қисықпен шектелген фигураның ауданын есептеңіз.

Шешім.

Біраз алға қарасақ, қисық «ұзартылған» астроид болып табылады. (Astroid келесі параметрлік көрініске ие).

Фигураны шектейтін қисық сызықтың құрылысына егжей-тегжейлі тоқталайық. Біз оны нүкте бойынша саламыз. Әдетте, мұндай құрылыс көптеген мәселелерді шешу үшін жеткілікті. Неғұрлым күрделі жағдайларда дифференциалдық есептеулер көмегімен параметрлік анықталған функцияны егжей-тегжейлі зерттеу қажет болады.

Біздің мысалда.

Бұл функциялар t параметрінің барлық нақты мәндері үшін анықталған және синус пен косинус қасиеттерінен олардың екі пи периоды бар периодты екенін білеміз. Осылайша, кейбіреулер үшін функция мәндерін есептеу (Мысалы ), біз ұпайлар жиынын аламыз .

Ыңғайлы болу үшін мәндерді кестеге енгізейік:

Жазықтықтағы нүктелерді белгілеп, оларды түзумен ДАЙЫСТЫ түрде қосамыз.

Бірінші координаталық квадрантта орналасқан аймақтың ауданын есептейік. Осы аймақ үшін .

Сағат k=0 интервалды аламыз , онда функция монотонды түрде төмендейді. Ауданды табу үшін формуланы қолданамыз:

Алынған анықталған интегралдарды Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы есептейміз, ал Ньютон-Лейбниц формуласының қарсы туындыларын форманың қайталанатын формуласы арқылы табамыз. , Қайда .

Демек, ширек санның ауданы , онда бүкіл фигураның ауданы тең болады.

Сол сияқты, оны көрсетуге болады астроид аймағыретінде орналасқан , ал сызықпен шектелген фигураның ауданы формула бойынша есептеледі.