«Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету» сабағы. «Тригонометриялық өрнектер және олардың түрлендірулері Тригонометриялық өрнектердің мәндерін табу мысалдары» тақырыбы бойынша сабақты қорытындылау

Бөлімдер: Математика

Сынып: 11

1-сабақ

Тақырыбы: 11 сынып (Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық)

Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету.

Ең қарапайым шешім тригонометриялық теңдеулер. (2 сағат)

Мақсаттар:

Оқушылардың тригонометрия формулаларын қолдану және қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуге байланысты білімдері мен дағдыларын жүйелеу, жалпылау, кеңейту.

Сабаққа қажетті құрал-жабдықтар:

Сабақтың құрылымы:

Ұйымдастыру сәті
Ноутбуктерде тестілеу. Нәтижелерді талқылау.
Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету
Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу
Өздік жұмыс.
Сабақты қорытындылау. Үй тапсырмасын түсіндіру.

1. Ұйымдастыру кезеңі. (2 минут.)

Мұғалім аудиториямен амандасады, сабақтың тақырыбын хабарлайды, оларға бұрын тригонометрия формулаларын қайталау тапсырмасы берілгенін еске салады, оқушыларды тестілеуге дайындайды.

2. Тестілеу. (15 мин + 3 мин талқылау)

Мақсат – білімді тексеру тригонометриялық формулаларжәне оларды қолдану мүмкіндігі. Әр оқушының үстелінде тест нұсқасы жазылған ноутбук бар.

Опциялардың кез келген саны болуы мүмкін, мен олардың біреуін мысалға келтіремін:

I опция.

Өрнектерді жеңілдету:

а) негізгі тригонометриялық сәйкестіктер

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) қосу формулалары

3. sin5x - sin3x;

в) көбейтіндіні қосындыға айналдыру

6. 2sin8y cos3y;

г) қос бұрыш формулалары

7. 2sin5x cos5x;

д) жарты бұрыштардың формулалары

f) үшбұрышты формулалар

ж) әмбебап алмастыру

з) дәреженің төмендеуі

16. cos 2 (3x/7);

Оқушылар әр формуланың жанындағы ноутбукте өз жауаптарын көреді.

Жұмысты компьютер бірден тексереді. Нәтижелер барлығына көрінуі үшін үлкен экранда көрсетіледі.

Сондай-ақ жұмысты аяқтағаннан кейін оқушылардың ноутбуктарында дұрыс жауаптар көрсетіледі. Әр оқушы қай жерде қате жібергенін және қандай формулаларды қайталау керектігін көреді.

3. Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету. (25 мин.)

Мақсаты – негізгі тригонометрия формулаларын қолдануды қайталау, жаттықтыру және бекіту. Бірыңғай мемлекеттік емтиханнан В7 есептерін шешу.

Қосулы осы кезеңдеСыныпты мықты оқушыларға (кейінгі тестілеу арқылы өз бетінше жұмыс істеу) және мұғаліммен бірге жұмыс істейтін әлсіз оқушыларға бөлген жөн.

Мықты студенттерге тапсырма (алдын ала баспа негізінде дайындалған). Негізгі екпін 2011 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханға сәйкес кішірейту және қос бұрыш формулаларына аударылады.

Өрнектерді жеңілдету (мықты студенттер үшін):

Бұл ретте мұғалім әлсіз оқушылармен жұмыс жасайды, оқушылардың диктанты бойынша экранда тапсырмаларды талқылайды және шешеді.

Есептеу:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

Жеңілдету:

Мықты топ жұмысының қорытындысын талқылауға уақыт келді.

Жауаптар экранда пайда болады, сонымен қатар бейнекамера арқылы 5 түрлі оқушының жұмысы көрсетіледі (әрқайсысына бір тапсырма).

Әлсіз топ жағдайды және шешу әдісін көреді. Талқылау және талдау жүргізілуде. Қолдану техникалық құралдарол тез болады.

4. Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу. (30 мин.)

Мақсаты – қарапайым тригонометриялық теңдеулердің шешімін қайталау, жүйелеу және жалпылау және олардың түбірлерін жазу. В3 есебінің шешімі.

Кез келген тригонометриялық теңдеу, оны қалай шешсек те, ең қарапайымға әкеледі.

Тапсырманы орындау кезінде студенттер ерекше жағдайлар мен теңдеулерінің түбірлерін жазуға назар аударуы керек жалпы көрінісжәне соңғы теңдеудегі түбірлерді таңдау туралы.

Теңдеулерді шешу:

Жауап ретінде ең кіші оң түбірді жазыңыз.

5. Өздік жұмыс (10 мин.)

Мақсаты – алынған дағдыларды тексеру, проблемаларды, қателерді және оларды жою жолдарын анықтау.

Көп деңгейлі жұмыс студенттің таңдауы бойынша ұсынылады.

«3» опциясы

1) Өрнектің мәнін табыңыз

2) 1 - sin 2 3α - cos 2 3α өрнегін ықшамдаңыз

3) Теңдеуді шеш

«4» опциясы

1) Өрнектің мәнін табыңыз

2) Теңдеуді шеш Жауабыңыздағы ең кіші оң түбірді жазыңыз.

«5» опциясы

1) if, tanα табыңыз

2) Теңдеудің түбірін табыңыз Жауап ретінде ең кіші оң түбірді жазыңыз.

6. Сабақты қорытындылау (5 мин.)

Мұғалім сабақ барысында тригонометриялық формулаларды және қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуді қайталап, бекіткенін қорытындылайды.

Орнату үй жұмысы(алдын ала басып шығару негізінде дайындалған) келесі сабақта нүктелік тексерумен.

Теңдеулерді шешу:

10) Жауабыңызда ең кіші оң түбірді көрсетіңіз.

2-сабақ

Тақырыбы: 11 сынып (Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық)

Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері. Түбір таңдау. (2 сағат)

Мақсаттар:

Түрлі типтегі тригонометриялық теңдеулерді шешу бойынша білімдерін жалпылау және жүйелеу.
Оқушылардың математикалық ойлауын, бақылау, салыстыру, жалпылау, жіктеу қабілетін дамытуға ықпал ету.
Студенттерді ақыл-ой әрекеті процесінде қиындықтарды жеңуге, өзін-өзі бақылауға, өз іс-әрекетіне интроспекция жасауға баулу.

Сабаққа қажетті құрал-жабдықтар: KRMu, әр оқушыға ноутбук.

Сабақтың құрылымы:

Ұйымдастыру сәті
d/z және өзін-өзі талқылау. өткен сабақтағы жұмыс
Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістерін қарастыру.
Тригонометриялық теңдеулерді шешу
Тригонометриялық теңдеулерде түбірлерді таңдау.
Өздік жұмыс.
Сабақты қорытындылау. Үй жұмысы.

1. Ұйымдастыру кезеңі (2 мин.)

Мұғалім аудиториямен амандасады, сабақтың тақырыбы мен жұмыс жоспарын хабарлайды.

2. а) Үй тапсырмасын талдау (5 мин.)

Мақсат - орындалуды тексеру. Бір жұмыс бейнекамера арқылы экранда көрсетіледі, қалғандары мұғалімнің тексеруі үшін таңдап алынады.

ә) Өзіндік жұмысты талдау (3 мин.)

Мақсаты – қателерді талдау және одан шығу жолдарын көрсету.

Жауаптар мен шешімдер экранда көрсетіледі, студенттерге алдын ала жұмыстары беріледі. Талдау жылдам жүреді.

3. Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістерін қайталау (5 мин.)

Мақсаты тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістерін еске түсіру.

Оқушылардан тригонометриялық теңдеулерді шешудің қандай әдістерін білетіндерін сұрау. Негізгі (жиі қолданылатын) әдістер бар екенін атап өтіңіз:

айнымалы ауыстыру,
факторизация,
біртекті теңдеулер,

және қолданылатын әдістер бар:

қосындыны көбейтіндіге және көбейтіндіні қосындыға түрлендіру формулаларын қолдану,
дәрежесін төмендету формулаларына сәйкес,
әмбебап тригонометриялық алмастыру
көмекші бұрышты енгізу,
кейбір тригонометриялық функцияға көбейту.

Сондай-ақ бір теңдеуді әртүрлі тәсілдермен шешуге болатынын еске түсіру керек.

4. Тригонометриялық теңдеулерді шешу (30 мин.)

Мақсаты - осы тақырып бойынша білім мен дағдыларды жалпылау және бекіту, Бірыңғай мемлекеттік емтиханнан C1 шешіміне дайындалу.

Әр әдіс бойынша теңдеулерді оқушылармен бірге шешкен дұрыс деп есептеймін.

Студент шешімді айтады, мұғалім оны планшетке жазады және бүкіл процесс экранда көрсетіледі. Бұл жадыңызда бұрын өтілген материалды тез және тиімді еске түсіруге мүмкіндік береді.

Теңдеулерді шешу:

1) 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0 айнымалысын ауыстыру

2) көбейткіштерге бөлу 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) біртекті теңдеулер sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) қосындыны cos5x + cos7x = cos(π + 6x) көбейтіндісіне түрлендіру

5) көбейтіндіні 2sinx sin2x + cos3x = 0 қосындысына түрлендіру

6) sin2x дәрежесінің төмендеуі - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) әмбебап тригонометриялық алмастыру sinx + 5cosx + 5 = 0.

Бұл теңдеуді шешу кезінде пайдалануды ескеру керек бұл әдісанықтау диапазонының тарылуына әкеледі, өйткені синус пен косинус tg(x/2) ауыстырылады. Сондықтан жауапты жазбас бұрын, π + 2πn, n Z жиынындағы сандар осы теңдеудің аттары екенін тексеру керек.

8) √3sinx + cosx - √2 = 0 көмекші бұрышын енгізу

9) кейбір тригонометриялық функцияға көбейту cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Тригонометриялық теңдеулердің түбірлерін таңдау (20 мин.)

Жоғары оқу орындарына түсу кезінде қатаң бәсекелестік жағдайында емтиханның бірінші бөлімін шешу жеткіліксіз болғандықтан, студенттердің көпшілігі екінші бөлімнің (С1, С2, С3) тапсырмаларына назар аударуы керек.

Сондықтан, сабақтың бұл кезеңінің мақсаты - бұрын оқылған материалды есте сақтау және 2011 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханнан C1 мәселесін шешуге дайындалу.

Жауапты жазу кезінде түбірлерді таңдау қажет тригонометриялық теңдеулер бар. Бұл кейбір шектеулерге байланысты, мысалы: бөлшектің бөлгіші нөлге тең емес, жұп түбір астындағы өрнек теріс емес, логарифм таңбасының астындағы өрнек оң, т.б.

Мұндай теңдеулер күрделілігі жоғары теңдеулер болып саналады Бірыңғай мемлекеттік емтихан нұсқасыекінші бөлікте, атап айтқанда C1.

Теңдеуді шеш:

Бөлшек нөлге тең болса, онда көмегімен бірлік шеңбертүбірлерді таңдайық (1-суретті қараңыз)

1-сурет.

х = π + 2πn, n Z аламыз

Жауабы: π + 2πn, n Z

Экранда түбірлерді таңдау түсті суреттегі шеңберде көрсетіледі.

Көбейткіштердің ең болмағанда біреуі нөлге тең болғанда туынды нөлге тең болады, ал доға өз мәнін жоғалтпайды. Содан кейін

Бірлік шеңберін пайдаланып, біз түбірлерді таңдаймыз (2-суретті қараңыз)

«Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету» бейнесабағы студенттердің негізгі тригонометриялық сәйкестіктерді пайдаланып тригонометриялық есептерді шешу дағдыларын дамытуға арналған. Бейнесабақ барысында тригонометриялық сәйкестіктердің түрлері және оларды қолдану арқылы есептерді шығару мысалдары талқыланады. Көрнекі құралдарды пайдалану арқылы мұғалімнің сабақ мақсатына жетуі жеңіл болады. Материалды жарқын көрсету есте сақтауға ықпал етеді маңызды нүктелер. Анимациялық эффектілерді және дауысты дыбысты қолдану материалды түсіндіру кезеңінде мұғалімді толығымен ауыстыруға мүмкіндік береді. Осылайша, математика сабағында осы көрнекі құралды қолдану арқылы мұғалім оқытудың тиімділігін арттыра алады.

Бейнесабақтың басында оның тақырыбы хабарланады. Содан кейін біз бұрын зерттелген тригонометриялық сәйкестіктерді еске түсіреміз. Экранда sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t теңдіктері көрсетіледі, мұндағы kϵZ үшін t≠π/2+πk, ctg t=cos t/sin t, t≠πk үшін дұрыс, Мұндағы kϵZ, tg t· ctg t=1, t≠πk/2 үшін, мұндағы kϵZ, негізгі тригонометриялық сәйкестіктер деп аталады. Бұл сәйкестіктер теңдікті дәлелдеу немесе өрнекті жеңілдету қажет болған мәселелерді шешуде жиі қолданылатыны атап өтіледі.

Төменде есептерді шешуде осы сәйкестіктерді қолдану мысалдарын қарастырамыз. Біріншіден, өрнектерді жеңілдету есептерін шешуді қарастыру ұсынылады. 1-мысалда cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t өрнегін жеңілдету керек. Мысалды шешу үшін алдымен жақшаның ішінен cos 2 t ортақ көбейткішті алыңыз. Жақшадағы осы түрлендіру нәтижесінде 1- cos 2 t өрнегі шығады, оның мәні тригонометрияның негізгі сәйкестігінен sin 2 t-ге тең. Өрнекті түрлендіруден кейін жақшаның ішінен тағы бір ортақ sin 2 t факторын шығаруға болатыны анық, одан кейін өрнек sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t) түрін алады. Сол негізгі сәйкестіктен 1-ге тең жақшадағы өрнектің мәнін аламыз. Жеңілдету нәтижесінде cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t аламыз.

2-мысалда құны/(1- sint)+ шығын/(1+ sint) өрнегін жеңілдету қажет. Екі бөлшектің алымдарында өрнек құны бар болғандықтан, оны ортақ көбейткіш ретінде жақшадан шығаруға болады. Содан кейін жақшадағы бөлшектер (1- sint)(1+ sint) көбейту арқылы ортақ бөлімге келтіріледі. Ұқсас мүшелерді әкелгеннен кейін алым 2, ал бөлгіш 1 - sin 2 т. Экранның оң жағында sin 2 t+cos 2 t=1 негізгі тригонометриялық сәйкестік еске түсіріледі. Оны пайдаланып cos 2 t бөлігінің бөлімін табамыз. Бөлшекті азайтқаннан кейін шығын/(1- синт)+ құн/(1+ синт)=2/құн өрнекінің жеңілдетілген түрін аламыз.

Әрі қарай, біз тригонометрияның негізгі сәйкестіктері туралы алынған білімді пайдаланатын сәйкестіктерді дәлелдеу мысалдарын қарастырамыз. 3-мысалда сәйкестікті дәлелдеу керек (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Экранның оң жағында дәлелдеу үшін қажет болатын үш сәйкестік көрсетіледі - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t және tg t=sin t/cos t шектеулері бар. Сәйкестікті дәлелдеу үшін алдымен жақшалар ашылады, содан кейін tg t·ctg t=1 негізгі тригонометриялық сәйкестіктің өрнегін көрсететін туынды түзіледі. Содан кейін котангенс анықтамасынан сәйкестендіруге сәйкес ctg 2 t түрленеді. Түрлендірулер нәтижесінде 1-cos 2 t өрнегі алынады. Негізгі тұлғаны пайдалана отырып, біз өрнектің мағынасын табамыз. Сонымен, (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t болатыны дәлелденді.

4-мысалда tg t+ctg t=6 болса, tg 2 t+ctg 2 t өрнегінің мәнін табу керек. Өрнекті есептеу үшін алдымен (tg t+ctg t) 2 =6 2 теңдігінің оң және сол жақтарының квадратын алу керек. Экранның оң жағында қысқартылған көбейту формуласы еске түсіріледі. Өрнектің сол жағындағы жақшаларды ашқаннан кейін tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t қосындысы құрылады, оны түрлендіру үшін tg t·ctg t=1 тригонометриялық сәйкестіктердің бірін қолдануға болады. , оның пішіні экранның оң жағында еске түсіріледі. Түрлендіруден кейін tg 2 t+ctg 2 t=34 теңдігі алынады. Теңдіктің сол жағы есептің шартымен сәйкес келеді, сондықтан жауабы 34. Есеп шешілді.

«Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету» бейнесабағы дәстүрлі түрде пайдалануға ұсынылады мектеп сабағыматематика. Бұл материал мұғалімге де пайдалы болады қашықтан оқу. Тригонометриялық есептерді шығару дағдыларын дамыту мақсатында.

МӘТІНДІ декодтау:

«Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету».

Теңдіктер

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (синус квадрат te плюс косинус квадрат te бірге тең)

2)tgt =, t ≠ + πk үшін, kϵZ (тангенс te синус те мен косинус те қатынасына тең, te тең емес pi екі плюс pi ka, ka зетке жатады)

3)ctgt = , t ≠ πk үшін, kϵZ (котангенс te косинусының te синусқа қатынасына тең, te pi ka-ға тең емес, ka zet-ке жатады).

4) tgt ∙ ctgt = 1 үшін t ≠ , kϵZ (te котангенсі бойынша te котангенсінің көбейтіндісі бірге тең, te төбеге тең болмаған кезде, екіге бөлгенде, ka зетке жатады)

негізгі тригонометриялық сәйкестіктер деп аталады.

Олар көбінесе тригонометриялық өрнектерді жеңілдету және дәлелдеу үшін қолданылады.

Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету үшін осы формулаларды қолдану мысалдарын қарастырайық.

МЫСАЛ 1. Өрнекті ықшамдаңыз: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (өрнек косинусының квадраты te минус төртінші дәрежелі косинусы te плюс төртінші дәрежелі te синусы).

Шешім. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2) t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(біз косинус квадрат te ортақ көбейткішін шығарамыз, жақша ішінде бірінші сәйкестік бойынша квадрат синус те квадратына тең болатын бірлік пен квадрат косинус te арасындағы айырмашылықты аламыз. Біз төртінші дәрежелі синус те қосындысын аламыз. көбейтіндісі косинус квадрат те және синус квадрат те.Жақшаның сыртында синус квадрат те ортақ көбейткішін шығарамыз, жақша ішінде негізгі тригонометриялық сәйкестік бойынша 1-ге тең косинус пен синус квадраттарының қосындысын аламыз. Нәтижесінде синус те) квадратын аламыз.

МЫСАЛ 2. Өрнекті жеңілдетіңіз: + .

(be өрнегі – бірінші косинустың алымындағы екі бөлшектің қосындысы азайғыштағы бір минус синус те, екінші косинустың те екіншінің азайғышындағы синусты плюс te екінші бөлігінің алымы).

(Жақшаның ішінен косинус те ортақ көбейткішін алайық, ал жақшада оны бір минус синус те бір плюс синус те көбейтіндісі болатын ортақ бөлгішке келтіреміз.

Бөлімшеде аламыз: бір плюс синус те плюс бір минус сину те, ұқсастарын береміз, ұқсастарды әкелгеннен кейін алым екіге тең болады.

Бөлгіште қысқартылған көбейту формуласын (шаршы айырмашылығы) қолдануға болады және негізгі тригонометриялық сәйкестікке сәйкес синус те бірлігі мен квадраты арасындағы айырмашылықты алуға болады.

косинус те квадратына тең. Косинусы te бойынша азайтқаннан кейін біз соңғы жауап аламыз: екі косинус те бөлінеді).

Тригонометриялық өрнектерді дәлелдеу кезінде осы формулаларды қолдану мысалдарын қарастырайық.

МЫСАЛ 3. Сәйкестікті дәлелдеңдер (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (te тангенсі мен синус те квадраттарының айырмасының te котангенсінің квадратына көбейтіндісі мынаның квадратына тең синус те).

Дәлелдеу.

Теңдіктің сол жағын түрлендірейік:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - 2 т = sin 2 т

(Жақшаны ашайық; бұрын алынған қатынастан te котангенсі бойынша te жанамасының квадраттарының көбейтіндісі бірге тең екені белгілі. Еске салайық, te котангенсі te косинусының синус те қатынасына тең, ол котангенс квадраты косинус те квадратының синус те квадратына қатынасы екенін білдіреді.

Те синус квадратына қысқартқаннан кейін бірлік пен косинус квадраты арасындағы айырмашылықты аламыз te синус квадратына тең). Q.E.D.

МЫСАЛ 4. tgt + ctgt = 6 болса, tg 2 t + ctg 2 t өрнегінің мәнін табыңыз.

(те және котангенс те квадраттарының қосындысы, егер жанама мен котангенстің қосындысы алты болса).

Шешім. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

тг 2 т + ктг 2 т = 36-2

тг 2 т + ктг 2 т = 34

Бастапқы теңдіктің екі жағын квадраттайық:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (te тангенсі мен te котангенсі қосындысының квадраты алты квадратқа тең). Қысқартылған көбейту формуласын еске түсірейік: Екі шаманың қосындысының квадраты біріншінің квадратына плюс біріншінің екіншіге көбейтіндісінің екі еселенгеніне және екіншісінің квадратына тең. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Біз аламыз tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (тангенс квадраты te плюс котангенс те котангенсінің екі еселенген котангенсі те плюс котангенс квадрат те тең болады. отыз алты) .

Те және котангенстің көбейтіндісі біреуге тең болғандықтан, tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (te және котангенс те және екеуінің квадраттарының қосындысы отыз алтыға тең),

Бөлімдер: Математика

Сынып: 11

1-сабақ

Тақырыбы: 11 сынып (Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық)

Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету.

Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу. (2 сағат)

Мақсаттар:

Оқушылардың тригонометрия формулаларын қолдану және қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуге байланысты білімдері мен дағдыларын жүйелеу, жалпылау, кеңейту.

Сабаққа қажетті құрал-жабдықтар:

Сабақтың құрылымы:

Ұйымдастыру сәті
Ноутбуктерде тестілеу. Нәтижелерді талқылау.
Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету
Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу
Өздік жұмыс.
Сабақты қорытындылау. Үй тапсырмасын түсіндіру.

1. Ұйымдастыру кезеңі. (2 минут.)

2. Тестілеу. (15 мин + 3 мин талқылау)

Мақсаты тригонометриялық формулалар туралы білімдерін және оларды қолдана білуді тексеру. Әр оқушының үстелінде тест нұсқасы жазылған ноутбук бар.

Опциялардың кез келген саны болуы мүмкін, мен олардың біреуін мысалға келтіремін:

I опция.

Өрнектерді жеңілдету:

а) негізгі тригонометриялық сәйкестіктер

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) қосу формулалары

3. sin5x - sin3x;

в) көбейтіндіні қосындыға айналдыру

6. 2sin8y cos3y;

г) қос бұрыш формулалары

7. 2sin5x cos5x;

д) жарты бұрыштардың формулалары

f) үшбұрышты формулалар

ж) әмбебап алмастыру

з) дәреженің төмендеуі

16. cos 2 (3x/7);

Оқушылар әр формуланың жанындағы ноутбукте өз жауаптарын көреді.

Жұмысты компьютер бірден тексереді. Нәтижелер барлығына көрінуі үшін үлкен экранда көрсетіледі.

3. Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету. (25 мин.)

Бұл кезеңде сыныпты мықты оқушылар (кейінгі тестілеу арқылы өз бетінше жұмыс істейтін) және мұғаліммен жұмыс істейтін әлсіз оқушылар топтарына бөлген жөн.

Өрнектерді жеңілдету (мықты студенттер үшін):

Есептеу:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

Жеңілдету:

Мықты топ жұмысының қорытындысын талқылауға уақыт келді.

Әлсіз топ жағдайды және шешу әдісін көреді. Талқылау және талдау жүргізілуде. Техникалық құралдарды қолдану арқылы бұл тез орындалады.

4. Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу. (30 мин.)

Кез келген тригонометриялық теңдеу, оны қалай шешсек те, ең қарапайымға әкеледі.

Тапсырманы орындау кезінде студенттер ерекше жағдайлар мен жалпы түрдегі теңдеулердің түбірлерін жазуға және соңғы теңдеудегі түбірлерді таңдауға назар аударуы керек.

Теңдеулерді шешу:

Жауап ретінде ең кіші оң түбірді жазыңыз.

5. Өздік жұмыс (10 мин.)

Мақсаты – алынған дағдыларды тексеру, проблемаларды, қателерді және оларды жою жолдарын анықтау.

Көп деңгейлі жұмыс студенттің таңдауы бойынша ұсынылады.

«3» опциясы

1) Өрнектің мәнін табыңыз

2) 1 - sin 2 3α - cos 2 3α өрнегін ықшамдаңыз

3) Теңдеуді шеш

«4» опциясы

1) Өрнектің мәнін табыңыз

2) Теңдеуді шеш Жауабыңыздағы ең кіші оң түбірді жазыңыз.

«5» опциясы

1) if, tanα табыңыз

2) Теңдеудің түбірін табыңыз Жауап ретінде ең кіші оң түбірді жазыңыз.

6. Сабақты қорытындылау (5 мин.)

Үй тапсырмасы келесі сабақта кездейсоқ тексеру арқылы беріледі (алдын ала баспа негізінде дайындалады).

Теңдеулерді шешу:

10) Жауабыңызда ең кіші оң түбірді көрсетіңіз.

2-сабақ

Тақырыбы: 11 сынып (Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық)

Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері. Түбір таңдау. (2 сағат)

Мақсаттар:

Түрлі типтегі тригонометриялық теңдеулерді шешу бойынша білімдерін жалпылау және жүйелеу.
Оқушылардың математикалық ойлауын, бақылау, салыстыру, жалпылау, жіктеу қабілетін дамытуға ықпал ету.
Студенттерді ақыл-ой әрекеті процесінде қиындықтарды жеңуге, өзін-өзі бақылауға, өз іс-әрекетіне интроспекция жасауға баулу.

Сабаққа қажетті құрал-жабдықтар: KRMu, әр оқушыға ноутбук.

Сабақтың құрылымы:

Ұйымдастыру сәті
d/z және өзін-өзі талқылау. өткен сабақтағы жұмыс
Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістерін қарастыру.
Тригонометриялық теңдеулерді шешу
Тригонометриялық теңдеулерде түбірлерді таңдау.
Өздік жұмыс.
Сабақты қорытындылау. Үй жұмысы.

1. Ұйымдастыру кезеңі (2 мин.)

Мұғалім аудиториямен амандасады, сабақтың тақырыбы мен жұмыс жоспарын хабарлайды.

2. а) Үй тапсырмасын талдау (5 мин.)

ә) Өзіндік жұмысты талдау (3 мин.)

Мақсаты – қателерді талдау және одан шығу жолдарын көрсету.

Жауаптар мен шешімдер экранда көрсетіледі, студенттерге алдын ала жұмыстары беріледі. Талдау жылдам жүреді.

3. Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістерін қайталау (5 мин.)

Мақсаты тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістерін еске түсіру.

ауыспалы ауыстыру,
факторизация,
біртекті теңдеулер,

және қолданылатын әдістер бар:

қосындыны көбейтіндіге және көбейтіндіні қосындыға түрлендіру формулаларын қолдану,
дәрежесін төмендету формулаларына сәйкес,
әмбебап тригонометриялық алмастыру
көмекші бұрышты енгізу,
кейбір тригонометриялық функцияға көбейту.

Сондай-ақ бір теңдеуді әртүрлі тәсілдермен шешуге болатынын еске түсіру керек.

4. Тригонометриялық теңдеулерді шешу (30 мин.)

Әр әдіс бойынша теңдеулерді оқушылармен бірге шешкен дұрыс деп есептеймін.

Теңдеулерді шешу:

1) 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0 айнымалысын ауыстыру

2) көбейткіштерге бөлу 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0 біртекті теңдеулер

4) қосындыны cos5x + cos7x = cos(π + 6x) көбейтіндісіне түрлендіру

5) көбейтіндіні 2sinx sin2x + cos3x = 0 қосындысына түрлендіру

6) sin2x дәрежесінің төмендеуі - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) әмбебап тригонометриялық алмастыру sinx + 5cosx + 5 = 0.

Бұл теңдеуді шешкенде, бұл әдісті қолдану анықтау диапазонының тарылуына әкелетінін ескеру керек, өйткені синус пен косинус tg(x/2) ауыстырылады. Сондықтан жауапты жазбас бұрын, π + 2πn, n Z жиынындағы сандар осы теңдеудің аттары екенін тексеру керек.

8) √3sinx + cosx - √2 = 0 көмекші бұрышын енгізу

9) кейбір тригонометриялық функцияға көбейту cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Тригонометриялық теңдеулердің түбірлерін таңдау (20 мин.)

Мұндай теңдеулер күрделілігі жоғары теңдеулер болып саналады және Бірыңғай мемлекеттік емтихан нұсқасында олар екінші бөлімде, атап айтқанда C1-де кездеседі.

Теңдеуді шеш:

Бөлшек нөлге тең болса, онда бірлік шеңберінің көмегімен біз түбірлерді таңдаймыз (1-суретті қараңыз)

1-сурет.

х = π + 2πn, n Z аламыз

Жауабы: π + 2πn, n Z

Экранда түбірлерді таңдау түсті суреттегі шеңберде көрсетіледі.

Бірлік шеңберін пайдаланып, біз түбірлерді таңдаймыз (2-суретті қараңыз)

2-сурет.

Жүйеге көшейік:

Жүйенің бірінші теңдеуінде ауыстыру log 2 (sinx) = y жасаймыз, содан кейін теңдеуді аламыз. , жүйеге оралайық

бірлік шеңберінің көмегімен біз түбірлерді таңдаймыз (5-суретті қараңыз),

5-сурет.

6. Өздік жұмыс (15 мин.)

Мақсаты: материалдың игерілуін бекіту және тексеру, қателерді анықтау және оларды түзету жолдарын көрсету.

Жұмыс студенттердің таңдауы үшін баспа негізінде алдын ала дайындалған үш нұсқада ұсынылады.

Теңдеулерді кез келген тәсілмен шешуге болады.

«3» опциясы

Теңдеулерді шешу:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

«4» опциясы

Теңдеулерді шешу:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

«5» опциясы

Теңдеулерді шешу:

1) 2sinx - 3cosx = 2

7. Сабақты қорытындылау, үй тапсырмасы (5 мин.)

Мұғалім сабақты қорытындылап, тригонометриялық теңдеуді бірнеше тәсілмен шешуге болатынына тағы да назар аударады. Көпшілігі Ең жақсы жолжылдам нәтижеге жету үшін, бұл белгілі бір оқушының ең жақсы меңгергені.

Емтиханға дайындалу кезінде формулалар мен теңдеулерді шешу әдістерін жүйелі түрде қайталау қажет.

Үй тапсырмасы (алдын ала баспа түрінде дайындалған) таратылып, кейбір теңдеулерді шешу әдістеріне түсініктеме беріледі.

Теңдеулерді шешу:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

IN сәйкестік түрлендірулері тригонометриялық өрнектеркелесі алгебралық әдістерді қолдануға болады: бірдей мүшелерді қосу және азайту; жалпы көбейткішті жақшадан шығару; бірдей шамаға көбейту және бөлу; қысқартылған көбейту формулаларын қолдану; толық шаршыны таңдау; квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу; түрлендірулерді жеңілдету үшін жаңа айнымалыларды енгізу.

Құрамында бөлшектері бар тригонометриялық өрнектерді түрлендіру кезінде пропорция қасиеттерін, бөлшектерді азайту немесе бөлшектерді ортақ бөлімге келтіруге болады. Сонымен қатар, бөлшектің алымы мен бөлімін бірдей шамаға көбейтіп, бөлшектің бүтін бөлігін таңдауды қолдануға болады, сондай-ақ мүмкіндігінше алым немесе бөлгіштің біртектілігін ескеріңіз. Қажет болса, бөлшекті бірнеше жай бөлшектердің қосындысы немесе айырмасы ретінде көрсетуге болады.

Сонымен қатар, тригонометриялық өрнектерді түрлендірудің барлық қажетті әдістерін қолдану кезінде түрлендірілетін өрнектердің рұқсат етілген мәндерінің ауқымын үнемі ескеру қажет.

Бірнеше мысалды қарастырайық.

1-мысал.

A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π) мәнін есептеңіз. /2) +
+ күнә (3π/2 – x) күнә (2х –5π/2)) 2

Шешім.

Төмендету формулаларынан келесідей:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Осыдан аргументтерді қосу формулаларының және негізгі тригонометриялық сәйкестіктің арқасында біз аламыз

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Жауабы: 1.

2-мысал.

M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ өрнегін көбейтіндіге айналдырыңыз.

Шешім.

Аргументтер қосу формулаларынан және қосындыларды түрлендіруге арналған формулалардан тригонометриялық функциялартиісті топтастырудан кейін өнімге енгіземіз

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β +) γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).

Жауабы: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

3-мысал.

A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) өрнегі R-дан барлық x үшін бір қабылдайтынын және бірдей мағына. Осы мәнді табыңыз.

Шешім.

Бұл мәселені шешудің екі жолы бар. Бірінші әдісті қолданып, толық квадратты оқшаулау және сәйкес негізгі тригонометриялық формулаларды қолдану арқылы біз аламыз

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Есепті екінші жолмен шешіп, А-ны R-дан х-тің функциясы ретінде қарастырып, оның туындысын есептеңіз. Трансформациялардан кейін біз аламыз

А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x) + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Күнә 2х – (күнә (2х + π/3) + күнә (2х – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Демек, интервалда дифференциалданатын функцияның тұрақтылық критерийіне байланысты мынандай қорытынды жасаймыз:

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Жауабы: x € R үшін A = 3/4.

Тригонометриялық сәйкестіктерді дәлелдеудің негізгі әдістері:

A)сәйкес түрлендірулер арқылы сәйкестендірудің сол жағын оңға қарай азайту;
б)сәйкестендірудің оң жағын солға қарай азайту;
V)сәйкестендірудің оң және сол жақтарын бірдей формаға келтіру;
G)дәлелденетін сәйкестендірудің сол және оң жақтары арасындағы айырмашылықты нөлге дейін азайту.

4-мысал.

cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3) екенін тексеріңіз.

Шешім.

Осы сәйкестендірудің оң жағын сәйкес тригонометриялық формулаларды пайдаланып түрлендірсек, бізде

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3)))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Сәйкестендірудің оң жағы солға қарай кішірейтілген.

5-мысал.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, егер α, β, γ кейбір үшбұрыштың ішкі бұрыштары болса, дәлелдеңдер.

Шешім.

α, β, γ кейбір үшбұрыштың ішкі бұрыштары екенін ескере отырып, біз оны аламыз

α + β + γ = π, демек, γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β)) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Бастапқы теңдік дәлелденді.

6-мысал.

Үшбұрыштың α, β, γ бұрыштарының біреуі 60°-қа тең болуы үшін sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 болуы қажет және жеткілікті екенін дәлелдеңдер.

Шешім.

Бұл мәселенің шарты қажеттілікті де, жеткіліктілікті де дәлелдеуден тұрады.

Алдымен дәлелдеп көрейік қажеттілік.

Мұны көрсетуге болады

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Демек, cos (3/2 60°) = cos 90° = 0 екенін ескере отырып, егер α, β немесе γ бұрыштарының бірі 60°-қа тең болса, онда мынаны аламыз.

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, демек, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Дәлелдейік енді сәйкестіккөрсетілген шарт.

Егер sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 болса, онда cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, демек

не cos (3α/2) = 0, не cos (3β/2) = 0, немесе cos (3γ/2) = 0.

Демек,

немесе 3α/2 = π/2 + πk, яғни. α = π/3 + 2πk/3,

немесе 3β/2 = π/2 + πk, яғни. β = π/3 + 2πk/3,

немесе 3γ/2 = π/2 + πk,

анау. γ = π/3 + 2πk/3, мұндағы k ϵ Z.

α, β, γ үшбұрыштың бұрыштары болғандықтан, бізде бар

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Демек, α = π/3 + 2πk/3 немесе β = π/3 + 2πk/3 немесе

γ = π/3 + 2πk/3 барлық kϵZ тек k = 0 сәйкес келеді.

Бұдан не α = π/3 = 60°, не β = π/3 = 60°, немесе γ = π/3 = 60° болатыны шығады.

Мәлімдеме дәлелденді.

Әлі де сұрақтарыңыз бар ма? Тригонометриялық өрнектерді қалай жеңілдетуге болатынын білмейсіз бе?
Тәрбиешіден көмек алу үшін тіркеліңіз.
Бірінші сабақ тегін!

веб-сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде дереккөзге сілтеме қажет.

Воронкова Ольга Ивановна

MBOU «Орта мектеп»

№ 18"

Энгельс, Саратов облысы.

Математика мұғалімі.

« Тригонометриялық өрнектержәне олардың трансформациясы»

Кіріспе………………………………………………………………………………….3

1-тарау Тригонометриялық өрнектерді түрлендіруді қолдану бойынша тапсырмалардың жіктелуі ………………………………………………5

1.1. Есептеу тапсырмалары тригонометриялық өрнектердің мәндері……….5

1.2.Тригонометриялық өрнектерді ықшамдауға арналған тапсырмалар.... 7

1.3. Сандық тригонометриялық өрнектерді түрлендіруге арналған тапсырмалар.....7

1.4 Аралас типті тапсырмалар…………………………………………………9

2-тарау. «Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру» тақырыбын қорытынды қайталауды ұйымдастырудың әдістемелік аспектілері……………………………11

2.1 Тақырыптық қайталау 10 сыныпта .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Тест 1………………………………………………………………………………..12

Тест 2………………………………………………………………………………..13

Тест 3………………………………………………………………………………..14

2.2 11-сыныптағы қорытынды қайталау……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………15

Тест 1………………………………………………………………………………..17

Тест 2………………………………………………………………………………..17

Тест 3………………………………………………………………………………..18

Қорытынды.………………………………………………………………………………19

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі………………………………………………………………….20

Кіріспе.

Бүгінгі жағдайда ең маңызды сұрақ: «Оқушылардың біліміндегі кейбір олқылықтарды жоюға және оларды Бірыңғай мемлекеттік емтиханда болуы мүмкін қателерден қалай ескертуге болады?» Бұл мәселені шешу үшін студенттерден бағдарламалық материалды формальды түрде меңгеруге емес, оны терең және саналы түсінуге, ауызша есептеулер мен түрлендірулер жылдамдығын дамытуға, сонымен қатар қарапайым есептерді шешу дағдыларын дамытуға қол жеткізу қажет. ақыл». Бар болған жағдайда ғана студенттерді сендіру керек белсенді позиция, математиканы оқығанда, меңгеруге жатады практикалық дағдылар, дағдылар және оларды пайдалану, сіз нақты табысқа сене аласыз. Бірыңғай мемлекеттік емтиханға, оның ішінде 10-11-сыныптардағы таңдау пәндеріне дайындалу үшін барлық мүмкіндікті пайдаланып, күрделі тапсырмаларды оқушылармен жүйелі түрде қайталап, оларды сабақтарда және қосымша сабақтарда шешудің ұтымды жолдарын таңдап отыру қажет.Оң нәтижестандартты есептерді шешу салаларына математика мұғалімдері құру арқылы қол жеткізуге боладыстуденттердің жақсы базалық дайындығы, біздің алдымызда ашылған мәселелерді шешудің жаңа жолдарын іздестіру, белсенді тәжірибе жасау, заманауи қолдану білім беру технологиялары, жаңа әлеуметтік жағдайларда студенттердің өзін-өзі тиімді жүзеге асыруы мен өзін-өзі анықтауына қолайлы жағдай туғызатын әдістер, әдістер.

Тригонометрия мектептегі математика курсының ажырамас бөлігі болып табылады. Тригонометриядағы жақсы білім мен күшті дағдылар математикалық мәдениеттің жеткілікті деңгейінің дәлелі, таптырмас шартматематика, физика және бірқатар техникалық пәндерді табысты оқупәндер.

Жұмыстың өзектілігі. Мектеп бітірушілердің едәуір бөлігі математиканың осы маңызды бөліміне өте нашар дайындықты жылдан-жылға көрсетіп отыр, бұл өткен жылдардың қорытындылары (2011 жылы аяқтау пайызы – 48,41%, 2012 ж. – 51,05%), тапсыру талдауынан бері дәлелденген. Бірыңғай мемлекеттік емтихан студенттердің осы бөлімдегі тапсырмаларды орындау кезінде көптеген қателіктер жіберетінін немесе мұндай тапсырмаларды мүлде қабылдамайтынын көрсетті. Бірде Мемлекеттік емтиханда тригонометрия сұрақтары тапсырмалардың үш дерлік түрінде кездеседі. Бұған В5 тапсырмасындағы қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу және В7 тапсырмасындағы тригонометриялық өрнектермен жұмыс және В14 тапсырмадағы тригонометриялық функцияларды зерттеу, сонымен қатар В12 тапсырмалары кіреді, онда сипаттайтын формулалар бар. физикалық құбылыстаржәне тригонометриялық функцияларды қамтиды. Бұл B тапсырмаларының бір бөлігі ғана! Бірақ сонымен қатар C1 түбірлері таңдалған және «соншалықты ұнатпайтын» сүйікті тригонометриялық теңдеулер бар. геометриялық тапсырмалар C2 және C4.

Жұмыс мақсаты. Талдау Бірыңғай мемлекеттік емтихан материалытригонометриялық өрнектерді түрлендіруге арналған В7 тапсырмалары және тапсырмаларды тесттерде көрсету формасына қарай жіктеу.

Жұмыс екі тараудан, кіріспе және қорытындыдан тұрады. Кіріспеде жұмыстың өзектілігіне баса назар аударылады. Бірінші тарауда тригонометриялық өрнектерді түрлендіруді қолдануға арналған тапсырмалардың классификациясы берілген тест тапсырмаларыБірыңғай мемлекеттік емтихан (2012).

Екінші тарауда 10, 11 сыныптарда «Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру» тақырыбын қайталауды ұйымдастыру қарастырылып, осы тақырып бойынша тест тапсырмалары құрастырылған.

Әдебиеттер тізімінде 17 дереккөз бар.

1-тарау. Тригонометриялық өрнектерді түрлендіруді қолданатын тапсырмаларды жіктеу.

Орта (толық) білім беру стандартына және оқушылардың дайындық деңгейіне қойылатын талаптарға сәйкес талаптар кодификаторы тригонометрия негіздерін білу бойынша тапсырмаларды қамтиды.

Тригонометрия негіздерін үйрену келесі жағдайларда тиімді болады:

студенттерге бұрын меңгерілген материалды қайталауға оң мотивация беріледі;

оқу-тәрбие процесінде тұлғаға бағытталған көзқарас жүзеге асырылатын болады;

оқушылардың білімін кеңейтуге, тереңдетуге және жүйелеуге көмектесетін тапсырмалар жүйесі пайдаланылады;

Озық педагогикалық технологиялар қолданылатын болады.

Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық бойынша әдебиеттер мен интернет-ресурстарды талдай отырып, біз мыналардың бірін ұсындық. мүмкін классификациялар B7 тапсырмалары (KIM Бірыңғай мемлекеттік емтиханы 2012-тригонометрия): есептеу тапсырмаларытригонометриялық өрнектердің мәндері; арналған тапсырмаларсандық тригонометриялық өрнектерді түрлендіру; әріптік тригонометриялық өрнектерді түрлендіруге арналған тапсырмалар; аралас типтегі тапсырмалар.

1.1. Есептеу тапсырмалары тригонометриялық өрнектердің мағыналары.

Қарапайым тригонометрия есептерінің ең көп тараған түрлерінің бірі тригонометриялық функциялардың мәндерін олардың біреуінің мәнінен есептеу болып табылады:

а) Негізгі тригонометриялық сәйкестікті қолдану және оның салдары.

1-мысал . Егер тап
Және
.

Шешім.
,
,

Өйткені , Бұл
.

Жауап.

2-мысал . Табу
, Егер
Және .

Шешім.
,
,
.

Өйткені , Бұл
.

Жауап. .

ә) Қос бұрыш формулаларын қолдану.

3-мысал . Табу
, Егер
.

Шешім. , .

Жауап.
.

4-мысал . Өрнектің мағынасын табыңыз
.

Шешім. .

Жауап.
.

1. Табу , Егер

Және

. Жауап. -0,2

2. Табу , Егер
Және
. Жауап. 0.4

3. Табу

, Егер . Жауап. -12.884. Табу

, Егер

. Жауап. -0,845. Өрнектің мағынасын табыңыз:

. Жауап. 66. Өрнектің мағынасын табыңыз

.Жауап. -19

1.2.Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету бойынша тапсырмалар. Қысқарту формулаларын студенттер жақсы түсінуі керек, өйткені олар геометрияда, физикада және басқа сабақтас пәндерде одан әрі қолдануды табады.

5-мысал . Өрнектерді жеңілдету
.

Шешім. .

Жауап.
.

Тәуелсіз шешуге арналған тапсырмалар:

1. Өрнекті жеңілдету

. Жауап. 0.62. Табу

, Егер

Және. Жауап. 10.563. Өрнектің мағынасын табыңыз

, Егер

. Жауап. 2

1.3. Сандық тригонометриялық өрнектерді түрлендіруге арналған тапсырмалар.

Сандық тригонометриялық өрнектерді түрлендіруге арналған тапсырмаларды орындау дағдыларын жаттықтыру кезінде тригонометриялық функциялардың мәндер кестесін, паритет қасиеттерін және тригонометриялық функциялардың периодтылығын білуге назар аудару керек.

а) Кейбір бұрыштар үшін тригонометриялық функциялардың нақты мәндерін қолдану.

6-мысал . Есептеу
.

Шешім.
.

Жауап.
.

б) Паритет қасиеттерін қолдану тригонометриялық функциялар.

7-мысал . Есептеу
.

Шешім. .

Жауап.

V) Мерзімділік қасиеттерін қолданутригонометриялық функциялар.

8-мысал . Өрнектің мағынасын табыңыз
.

Шешім. .

Жауап.
.

Тәуелсіз шешуге арналған тапсырмалар:

1. Өрнектің мағынасын табыңыз

. Жауап. -40.52. Өрнектің мағынасын табыңыз

. Жауап. 17

3. Өрнектің мағынасын табыңыз
. Жауап. 6

. Жауап. -24

Жауап. -64

1.4 Аралас типті тапсырмалар.

Сертификаттау тестінің нысаны өте маңызды ерекшеліктерге ие, сондықтан бір уақытта бірнеше тригонометриялық формулаларды қолдануға байланысты тапсырмаларға назар аудару керек.

9-мысал. Табу
, Егер
.

Шешім.
.

Жауап.
.

10-мысал . Табу
, Егер
Және
.

Шешім. .

Өйткені , Бұл
.

Жауап.
.

11-мысал. Табу
, Егер .

Шешім. , ,
,
,
,
,
.

Жауап.

12-мысал. Есептеу
.

Шешім. .

Жауап.
.

13-мысал. Өрнектің мағынасын табыңыз
, Егер
.

Шешім. .

Жауап.
.

Тәуелсіз шешуге арналған тапсырмалар:

1. Табу

, Егер

. Жауап. -1,75
2. Табу

, Егер

. Жауап. 33. Табу

, Егер .Жауап. 0,254. Өрнектің мағынасын табыңыз

, Егер

. Жауап. 0.35. Өрнектің мағынасын табыңыз

, Егер

. Жауап. 5

2-тарау. «Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру» тақырыбын қорытынды қайталауды ұйымдастырудың әдістемелік аспектілері.

Оқушылардың оқу үлгерімін одан әрі жақсартуға және терең де тұрақты білімге қол жеткізуге ықпал ететін маңызды мәселелердің бірі – бұрын өтілген материалды қайталау мәселесі. Тәжірибе көрсеткендей, 10-сыныпта тақырыптық қайталауды ұйымдастыру тиімдірек; 11 сыныпта – қорытынды қайталау.

2.1. 10-сыныптағы тақырыптық қайталау.

Математикалық материалмен жұмыс істеу барысында, әсіресе үлкен мәнәрбір аяқталған тақырыпты немесе курстың бүкіл бөлімін қайталауды меңгереді.

Тақырыптық қайталау арқылы оқушылардың тақырып бойынша білімі оны аяқтаудың соңғы кезеңінде немесе белгілі бір үзілістен кейін жүйеленеді.

Тақырыптық қайталау үшін бір тақырыптың материалы шоғырландырылған және жалпыланған арнайы сабақтар бөлінеді.

Сабақта қайталау бұл әңгімеге оқушыларды кеңінен қатыстыра отырып, әңгімелесу арқылы жүзеге асырылады. Осыдан кейін оқушыларға белгілі бір тақырыпты қайталау тапсырмасы беріледі және тест жұмысы жүргізілетіні ескертіледі.

Тақырып бойынша тест оның барлық негізгі сұрақтарын қамтуы керек. Жұмысты аяқтағаннан кейін сипаттамалық қателер талданып, оларды жою үшін қайталау ұйымдастырылады.

Тақырыптық қайталау сабақтары үшін біз әзірленген сабақтарды ұсынамыз тест түріндегі бағалау жұмысы«Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру» тақырыбына.

Тест №1

Тест № 2

Тест №3

Жауап кестесі

Сынақ

2.2. 11 сыныпта қорытындылау.

Қорытынды қайталау математика курсының негізгі мәселелерін оқудың қорытынды кезеңінде жүзеге асырылады және оқумен логикалық байланыста жүзеге асырылады. оқу материалыосы бөлім немесе жалпы курс үшін.

Оқу материалын қорытынды қайталау келесі мақсаттарды көздейді:

1. Барлық материалды белсендіру оқу курсыоның логикалық құрылымын нақтылау және пәндік және пәнаралық байланыстар ішінде жүйе құру.

2. Қайталау барысында курстың негізгі мәселелері бойынша студенттердің білімін тереңдету және мүмкін болса кеңейту.

Математикадан емтиханды барлық түлектер үшін міндетті түрде тапсыру жағдайында Бірыңғай мемлекеттік емтиханды кезең-кезеңмен енгізу мұғалімдерді барлық мектеп оқушыларының білім беруді меңгеруін қамтамасыз ету қажеттілігін ескере отырып, сабақтарды дайындау мен өткізуге жаңа көзқараспен қарауға мәжбүр етеді. материал бойынша негізгі деңгей, сонымен қатар ЖОО-ға түсу үшін жоғары балл алуға мүдделі ынталы студенттерге материалды жоғары және жоғары деңгейде игеруде динамикалық түрде алға жылжу мүмкіндігі.

Қорытынды қайталау сабақтарында келесі тапсырмаларды қарастыруға болады:

1-мысал . Өрнектің мәнін есептеңіз.Шешім. =

= =

=0,5. Жауап. 0,5. 2-мысал. Өрнек қабылдай алатын ең үлкен бүтін мәнді көрсетіңіз

Шешім. Өйткені
кесіндіге жататын кез келген мәнді қабылдай алады [–1; 1], содан кейін
кесіндінің кез келген мәнін қабылдайды [–0,4; 0,4], сондықтан . Өрнектің бір бүтін мәні бар – 4 саны.

Жауабы: 4 3-мысал . Өрнекті жеңілдету

Шешуі: Текшелердің қосындысын көбейткіштерге бөлу формуласын қолданайық: . Бізде бар

Бізде бар:
.

Жауабы: 1

4-мысал. Есептеу
.

Шешім. .

Жауабы: 0,28

Қорытынды қайталау сабақтары үшін біз «Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру» тақырыбы бойынша әзірленген тесттерді ұсынамыз.

1-ден аспайтын ең үлкен бүтін санды енгізіңіз

Қорытынды.

Тиісті арқылы жұмыс істеді әдістемелік әдебиеттерОсы тақырып бойынша мектеп математика курсында тригонометриялық түрлендірулерге байланысты есептерді шығару қабілеті мен дағдысы өте маңызды деген қорытынды жасауға болады.

Орындалған жұмыс барысында В7 тапсырмаларының классификациясы жүргізілді. 2012 жылы CMM-де жиі қолданылатын тригонометриялық формулалар қарастырылады. Шешімі бар тапсырмалардың мысалдары келтірілген. Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық кезінде қайталауды ұйымдастыру және білімді жүйелеу үшін сараланған тесттер әзірленді.

қарастыру арқылы басталған істі жалғастырған жөн В5 тапсырмадағы қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу, В14 тапсырмадағы тригонометриялық функцияларды оқу, физикалық құбылыстарды сипаттайтын және тригонометриялық функцияларды қамтитын формулалардан тұратын В12 тапсырмалары.

Қорытындылай келе, тиімділігін атап өткім келеді Бірыңғай мемлекеттік емтиханды тапсырунегізінен білім берудің барлық деңгейлерінде, студенттердің барлық санаттарымен оқыту үдерісінің қаншалықты тиімді ұйымдастырылғанымен анықталады. Ал егер біз студенттердің бойына тәуелсіздік, жауапкершілік және өмір бойы оқуды жалғастыруға дайындықты қалыптастыра алсақ, онда біз мемлекет пен қоғамның тапсырысын орындап қана қоймай, өзіміздің өзін-өзі бағалауымызды арттырамыз.

Оқу материалын қайталау мұғалімнен талап етеді шығармашылық жұмыс. Ол қайталау түрлері арасындағы нақты байланысты қамтамасыз етіп, терең ойластырылған қайталау жүйесін жүзеге асыруы керек. Қайталауды ұйымдастыру өнерін меңгеру – мұғалімнің міндеті. Оқушылардың білімінің беріктігі көбінесе оның шешіміне байланысты.

Әдебиет.

Выгодский Я.Я., Бастауыш математика анықтамалығы. -М.: Наука, 1970 ж.

Алгебра және негізгі талдаудың қиындығы жоғарылаған есептер: 10-11 сыныпқа арналған оқулық орта мектеп/ Б.М. Ивлев, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, С.И. Шварцбурд. – М.: Білім, 1990 ж.

Негізгі тригонометриялық формулаларды өрнектерді түрлендіруге қолдану (10 сынып) // Педагогикалық идеялар фестивалі. 2012-2013.

Корьянов А.Г. , Прокофьев А.А. Бірыңғай мемлекеттік емтиханға жақсы және үздік студенттерді дайындаймыз. - М.: Педагогикалық университет«Бірінші қыркүйек», 2012.- 103 б.

Кузнецова Е.Н.Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету. Тригонометриялық теңдеулерді әртүрлі әдістер арқылы шешу (Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық). 11 сынып. 2012-2013.

Куланин Е.Д. Математикадан 3000 конкурстық есептер. 4-ші басылым, дұрыс. және қосымша – М.: Рольф, 2000 ж.

Мордкович А.Г. Жалпы білім беретін мектептерде тригонометрияны оқытудың әдістемелік мәселелері // Мектептегі математика. 2002. № 6.

Пичурин Л.Ф. Тригонометрия туралы және ол туралы ғана емес: -М. Ағарту, 1985 ж

Решетников Н.Н. Мектептегі тригонометрия: -М. : Педагогикалық университет «Бірінші қыркүйек», 2006, lx 1.

Шабунин М.И., Прокофьев А.А. Математика. Алгебра. Математикалық талдаудың бастаулары Бейіндік деңгей: 10-М сыныбына арналған оқулық.: БИНОМ. Білім зертханасы, 2007 ж.

Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындалуға арналған білім беру порталы.

Математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындалу «О, бұл тригонометрия! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Жоба "Математика? Оңай!!!" http://www.resolventa.ru/