Арктан неге тең? Тригонометрия

sin, cos, tg және ctg функциялары әрқашан арксинус, арккосинус, арктангенс және арккотангенспен бірге жүреді. Біреуі екіншісінің салдары, ал жұп функциялар тригонометриялық өрнектермен жұмыс істеу үшін бірдей маңызды.

Тригонометриялық функциялардың мәндерін графикалық түрде көрсететін бірлік шеңберінің сызбасын қарастырайық.

Егер OA, arcos OC, arctg DE және arcctg MK доғаларын есептесек, онда олардың барлығы α бұрышының мәніне тең болады. Төмендегі формулалар негізгі тригонометриялық функциялар мен оларға сәйкес доғалар арасындағы байланысты көрсетеді.

Арксинустың қасиеттері туралы көбірек білу үшін оның қызметін қарастыру қажет. Кесте координат центрі арқылы өтетін асимметриялық қисық пішінге ие.

Арксинустың қасиеттері:

Графиктерді салыстырсақ күнәЖәне арксин, екі тригонометриялық функцияның ортақ заңдылықтары болуы мүмкін.

доғалық косинус

Санның аркосы – косинусы а-ға тең α бұрышының мәні.

Қисық y = arcos x arcsin x графигін көрсетеді, оның жалғыз айырмашылығы OY осіндегі π/2 нүктесі арқылы өтеді.

Доғалық косинус функциясын толығырақ қарастырайық:

1. Функция [-1 аралықта анықталған; 1].
2. Arccos үшін ODZ - .
3. График толығымен бірінші және екінші ширектерде орналасқан және функцияның өзі жұп та, тақ та емес.
4. x = 1 кезінде Y = 0.
5. Қисық бүкіл ұзындығы бойынша азаяды. Косинус доғасының кейбір қасиеттері косинус функциясымен сәйкес келеді.

Косинус доғасының кейбір қасиеттері косинус функциясымен сәйкес келеді.

Мүмкін, мектеп оқушылары «аркаларды» мұндай «толық» зерттеуді қажетсіз деп санайтын шығар. Алайда, әйтпесе, кейбір қарапайым стандартты емтихан тапсырмалары студенттерді тұйыққа апаруы мүмкін.

1-тапсырма.Суретте көрсетілген функцияларды көрсетіңіз.

Жауап:күріш. 1 – 4, 2 – 1-сурет.

Бұл мысалда шағын нәрселерге баса назар аударылады. Әдетте студенттер графиктерді құруға және функциялардың пайда болуына өте немқұрайлы қарайды. Шынында да, егер қисық сызықтың түрін әрқашан есептелген нүктелер арқылы салуға болатын болса, неге есте сақтаңыз. Сынақ жағдайында қарапайым тапсырма үшін сурет салуға кететін уақыт күрделі тапсырмаларды шешуге қажет болатынын ұмытпаңыз.

Арктангенс

Arctg a сандары α бұрышының мәні, оның тангенсі а-ға тең болады.

Егер арктангенс графигін қарастырсақ, келесі қасиеттерді бөліп көрсетуге болады:

1. График шексіз және (- ∞; + ∞) интервалында анықталған.
2. Арктангенс тақ функция, сондықтан арктан (- х) = - арктан х.
3. x = 0 кезінде Y = 0.
4. Қисық бүкіл анықтау ауқымында артады.

tg x пен arctg x-тің қысқаша салыстырмалы талдауын кесте түрінде ұсынайық.

Аркотангенс

Санның Arcctg – (0; π) интервалынан оның котангенсі а-ға тең болатындай α мәнін қабылдайды.

Доғалық котангенс функциясының қасиеттері:

1. Функцияны анықтау интервалы - шексіздік.
2. Қолайлы мәндер диапазоны интервал болып табылады (0; π).
3. F(x) жұп та, тақ та емес.
4. Бүкіл ұзындығы бойынша функцияның графигі азаяды.

ctg x пен arctg x салыстыру өте қарапайым, сізге тек екі сызба жасап, қисықтардың әрекетін сипаттау қажет.

2-тапсырма.Функцияның графигін және белгілеу формасын сәйкестендіріңіз.

Егер логикалық тұрғыдан ойласақ, графиктерден екі функцияның да өсетіні анық. Сондықтан екі фигура да белгілі бір арктан функциясын көрсетеді. Арктангенстің қасиеттерінен x = 0 кезінде у=0 болатыны белгілі,

Жауап:күріш. 1 – 1, сур. 2 – 4.

arcsin, arcos, arctg және arcctg тригонометриялық сәйкестіктері

Бұған дейін біз аркалар мен тригонометрияның негізгі функциялары арасындағы байланысты анықтадық. Бұл тәуелділікті, мысалы, аргументтің синусын оның арксинусы, арккосинусы немесе керісінше көрсетуге мүмкіндік беретін бірқатар формулалармен көрсетуге болады. Мұндай сәйкестіктерді білу нақты мысалдарды шешу кезінде пайдалы болуы мүмкін.

arctg және arcctg үшін де қатынастар бар:

Басқа пайдалы формулалар жұбы arcsin және arcos қосындысының мәнін, сондай-ақ бірдей бұрыштың arcctg және arcctg мәнін орнатады.

Есептерді шешу мысалдары

Тригонометрия тапсырмаларын төрт топқа бөлуге болады: нақты өрнектің сандық мәнін есептеу, берілген функцияның графигін тұрғызу, оның анықтау облысын немесе ODZ табу және мысалды шешу үшін аналитикалық түрлендірулерді орындау.

Мәселенің бірінші түрін шешкен кезде келесі әрекеттер жоспарын сақтау керек:

Функция графиктерімен жұмыс істегенде ең бастысы олардың қасиеттері мен қисық пайда болуын білу. Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу үшін сәйкестік кестелері қажет. Оқушы қанша формуланы есте сақтаса, соғұрлым тапсырманың жауабын табу оңайырақ болады.

Бірыңғай мемлекеттік емтиханда келесідей теңдеудің жауабын табу керек делік:

Егер сіз өрнекті дұрыс түрлендірсеңіз және оны қажетті пішінге келтірсеңіз, оны шешу өте қарапайым және жылдам. Алдымен arcsin x теңдіктің оң жағына жылжытайық.

Формула есіңізде болса arcsin (sin α) = α, онда біз екі теңдеу жүйесін шешуге жауап іздеуді азайта аламыз:

x моделіне шектеу тағы да arcsin қасиеттерінен туындады: x үшін ODZ [-1; 1]. a ≠0 болғанда жүйенің бөлігі x1 = 1 және x2 = - 1/a түбірлері бар квадрат теңдеу болып табылады. a = 0 болғанда, x 1-ге тең болады.

Бұл мақалада берілген санның арксинус, арккосинус, арктангенс және арккотангенс мәндерін табу мәселелері қарастырылады. Бастау үшін арксинус, арккосинус, арктангенс және арккотангенс ұғымдары енгізіледі. Бұл функцияларды табу үшін біз олардың негізгі мәндерін қарастырамыз, кестелерді, соның ішінде Брадисті пайдаланамыз.

Арксинус, арккосин, арктангенс және арккотангенс мәндері

«Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс мәндері» ұғымдарын түсіну қажет.

Санның арксинус, арккосинус, арктангенс және арккотангенс анықтамалары берілген функцияларды есептеуді түсінуге көмектеседі. Бұрыштың тригонометриялық функцияларының мәні а санына тең болса, онда ол автоматты түрде осы бұрыштың мәні болып саналады. Егер a сан болса, онда бұл функцияның мәні.

Нақты түсіну үшін мысалды қарастырайық.

Егер бізде бұрыштың доғалық косинусы π 3-ке тең болса, онда косинустар кестесіне сәйкес мұндағы косинустың мәні 1 2-ге тең болады. Бұл бұрыш нөлден пиге дейінгі аралықта орналасқан, яғни 1 2 доғаның косинусы мәні π 3-ке тең болады. Бұл тригонометриялық өрнек a r cos (1 2) = π 3 түрінде жазылған.

Бұрыш градус немесе радиан болуы мүмкін. π 3 бұрышының мәні 60 градус бұрышқа тең (тақырып бойынша толығырақ градустарды радианға және кері түрлендіру). Косинусы 1 2 болатын бұл мысалда 60 градус мәні бар. Бұл тригонометриялық белгілеу a r c cos 1 2 = 60 ° сияқты көрінеді

arcsin, arccos, arctg және arctg негізгі мәндері

-ға рахмет синустар, косинустар, тангенстер және котангенстер кестесі,Бізде 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 градус бұрыштарының нақты мәндері бар. Кесте өте ыңғайлы және одан доға функцияларының кейбір мәндерін алуға болады, олар арксинус, арккосинус, арктангенс және арккотангенстің негізгі мәндері деп аталады.

Негізгі бұрыштардың синусы кестесі бұрыш мәндері үшін келесі нәтижелерді береді:

sin (- π 2) = - 1, sin (- π 3) = - 3 2, sin (- π 4) = - 2 2, sin (- π 6) = - 1 2, sin 0 = 0, sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

Оларды ескере отырып, - 1-ден басталып 1-ге дейін аяқталатын барлық стандартты мәндер санының доғасын, сондай-ақ оның негізгі анықтамасынан кейін – π 2-ден + π 2 радианға дейінгі мәндерді оңай есептеуге болады. мән. Бұларксинустың негізгі мәндері.

Арксинус мәндерін ыңғайлы пайдалану үшін біз оларды кестеге енгіземіз. Уақыт өте келе бұл құндылықтарды үйренуге тура келеді, өйткені іс жүзінде оларға жиі сілтеме жасау керек болады. Төменде радиан және градус бұрыштары бар арксинус кестесі берілген.

Доға косинусының негізгі мәндерін алу үшін негізгі бұрыштардың косинустар кестесіне жүгіну керек. Сонда бізде:

cos 0 = 1, cos π 6 = 3 2, cos π 4 = 2 2, cos π 3 = 1 2, cos π 2 = 0, cos 2 π 3 = - 1 2, cos 3 π 4 = - 2 2, cos 5 π 6 = - 3 2 , cos π = - 1

Кестеден кейін доғаның косинус мәндерін табамыз:

a r c cos (- 1) = π, arccos (- 3 2) = 5 π 6, arcocos (- 2 2) = 3 π 4, arccos - 1 2 = 2 π 3, arccos 0 = π 2, arccos 1 2 = π 3, arccos 2 2 = π 4, arccos 3 2 = π 6, arccos 1 = 0

Косинус доғасының кестесі.

Дәл осылай, анықтама мен стандартты кестелер негізінде арктангенс пен арккотангенстің мәндері табылды, олар төмендегі арктангенс пен арккотангенс кестесінде көрсетілген.

a r c sin, a r c cos, a r c t g және a r c c t g

a санының a r c sin, a r c cos, a r c t g және a r c c t g нақты мәні үшін бұрыштың шамасын білу қажет. Бұл алдыңғы параграфта талқыланды. Дегенмен, біз функцияның нақты мағынасын білмейміз. Егер доғалық функциялардың сандық жуық мәнін табу қажет болса, пайдаланыңыз Тсинустар, косинустар, тангенстер және Брадис котангенстерінің кестесі.

Мұндай кесте өте дәл есептеулерді орындауға мүмкіндік береді, өйткені мәндер төрт ондық таңбамен берілген. Осының арқасында сандар минутқа дейін дәл. Теріс және оң сандардың a r c sin, a r c cos, a r c t g және a r c c t g мәндері a r c sin (- a r α) түріндегі қарама-қарсы сандардың a r c sin, a r c cos, a r c t g және a r c c t g формулаларын табу үшін азайтылады. α, a r c cos (- α) = π - a r c cos α , a r c t g (- α) = - a r c t g α , a r c c t g (- α) = π - a r cc t g α .

Брадис кестесін пайдаланып a r c sin, a r c cos, a r c tg және a r c c t g мәндерін табуды қарастырайық.

0, 2857 арксинус мәнін табу керек болса, синустар кестесін табу арқылы мәнді іздейміз. Бұл санның sin 16 градус 36 минут бұрышының мәніне сәйкес келетінін көреміз. Бұл 0,2857 санының доғасы 16 градус және 36 минуттың қажетті бұрышы екенін білдіреді. Төмендегі суретке назар аударайық.

Дәрежелердің оң жағында түзетулер деп аталатын бағандар бар. Қажетті доға синусы 0,2863 болса, 0,0006 бірдей түзету қолданылады, өйткені ең жақын сан 0,2857 болады. Бұл түзетудің арқасында 16 градус 38 минут және 2 минут синусын аламыз дегенді білдіреді. Брэдис үстелі бейнеленген суретті қарастырайық.

Қажетті сан кестеде болмаған және түзетулермен оны табу мүмкін болмаған жағдайлар бар, содан кейін синустардың ең жақын екі мәні табылады. Қажетті сан 0,2861573 болса, 0,2860 және 0,2863 сандары оның ең жақын мәндері болып табылады. Бұл сандар 16 градус 37 минут және 16 градус 38 минут синустық мәндеріне сәйкес келеді. Содан кейін бұл санның шамамен мәнін бір минутқа дейінгі дәлдікпен анықтауға болады.

Осылайша a r c sin, a r c cos, a r c t g және a r c c t g мәндері табылады.

Берілген санның белгілі арккосинусы арқылы арксинусты табу үшін a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 тригонометриялық формулаларын қолдану керек (көру керек қосынды формулалары тақырыбысарккосин мен арксинус, арктангенс пен арккотангенс қосындысы).

Белгілі a r c sin α = - π 12 болғанда a r c cos α мәнін табу керек, содан кейін мына формула бойынша доға косинусын есептеу керек:

a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − (− π 12) = 7 π 12 .

Белгілі арксинус немесе арккосинус көмегімен а санының арктангенс немесе арккотангенсінің мәнін табу қажет болса, стандартты формулалар болмағандықтан ұзақ есептеулер жүргізу керек. Бір мысалды қарастырайық.

Егер а санының доғалық косинусы π 10-ға тең берілсе, ал жанамалар кестесі осы санның доғалық тангенсін есептеуге көмектеседі. 10 радианның π бұрышы 18 градусты көрсетеді, содан кейін косинустар кестесінен 18 градустық косинустың 0,9511 мәні бар екенін көреміз, содан кейін Брадис кестесін қарастырамыз.

0,9511 арктангенс мәнін іздеу кезінде бұрыштың мәні 43 градус 34 минут екенін анықтаймыз. Төмендегі кестеге назар аударайық.

Шын мәнінде, Bradis кестесі қажетті бұрыш мәнін табуға көмектеседі және бұрыш мәнін ескере отырып, градус санын анықтауға мүмкіндік береді.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Арксинус, арксинус дегеніміз не? Арктангенс, арккотангенс деген не?

Назар аударыңыз!
Қосымша бар
555 арнайы бөлімдегі материалдар.
Өте «өте емес...» дегендер үшін
Ал «өте...» дегендер үшін)

Ұғымдарға арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс Студенттер қауымы сақ. Ол бұл терминдерді түсінбейді, сондықтан бұл жақсы отбасына сенбейді.) Бірақ бекер. Бұл өте қарапайым ұғымдар. Айтпақшы, бұл тригонометриялық теңдеулерді шешу кезінде білімді адамның өмірін айтарлықтай жеңілдетеді!

Қарапайымдылыққа күмәнданасыз ба? Бекер.) Дәл осы жерде және қазір сіз мұны көресіз.

Әрине, түсіну үшін синус, косинус, тангенс және котангенс деген не екенін білу жақсы болар еді. Иә, олардың кейбір бұрыштар үшін кестелік мәндері ... Кем дегенде, ең жалпы мағынада. Сонда бұл жерде де проблема болмайды.

Сонымен, біз таң қалдық, бірақ есте сақтаңыз: арксинус, арккосинус, арктангенс және арккотангенс кейбір бұрыштар ғана.Артық емес, кем емес. Бұрыш бар, айталық 30°. Және бұрыш бар arcsin0.4. Немесе arctg(-1,3). Бұрыштардың барлық түрлері бар.) Бұрыштарды әртүрлі тәсілдермен жазуға болады. Бұрышты градуспен немесе радианмен жазуға болады. Немесе оның синусы, косинусы, тангенсі және котангенсі арқылы...

Өрнек нені білдіреді

arcsin 0,4?

Бұл синусы 0,4 болатын бұрыш! Иә, иә. Бұл арксинаның мағынасы. Мен арнайы қайталаймын: arcsin 0,4 - синусы 0,4-ке тең бұрыш.

Бар болғаны.

Осы қарапайым ойды ұзақ уақыт бойы жадыңызда ұстау үшін мен тіпті осы қорқынышты терминге - арксинаға қысқаша сипаттама беремін:

доға күнә 0,4
бұрыш, оның синусы 0,4 тең

Қалай жазылса, солай естіледі.) Дерлік. Префикс доғабілдіреді доға(сөз аркабілесің бе?), өйткені ежелгі адамдар бұрыштардың орнына доғаларды қолданған, бірақ бұл мәселенің мәнін өзгертпейді. Математикалық терминнің қарапайым декодтауын есте сақтаңыз! Оның үстіне арккосин, арктангенс және арккотангенс үшін декодтау тек функцияның атымен ерекшеленеді.

Arccos 0.8 дегеніміз не?
Бұл косинусы 0,8 болатын бұрыш.

arctg(-1,3) дегеніміз не?
Бұл тангенсі -1,3 болатын бұрыш.

Arcctg 12 дегеніміз не?
Бұл котангенсі 12 болатын бұрыш.

Мұндай қарапайым декодтау, айтпақшы, эпикалық қателерді болдырмауға мүмкіндік береді.) Мысалы, arccos1,8 өрнегі өте құрметті көрінеді. Декодтауды бастайық: arccos1.8 - косинусы 1,8-ге тең бұрыш... Секіру-секір!? 1,8!? Косинус біреуден үлкен болмайды!!!

Дұрыс. arccos1,8 өрнегі мағынасы жоқ. Мұндай өрнекті кейбір жауапқа жазу инспекторды қатты қуантады.)

Көріп отырғаныңыздай, элементар.) Әрбір бұрыштың жеке синусы мен косинусы бар. Әрқайсысының дерлік өз тангенсі мен котангенсі болады. Сондықтан тригонометриялық функцияны біле отырып, бұрыштың өзін жаза аламыз. Арксинус, арккосинус, арктангенс және арккотангент осыған арналған. Енді мен бұл отбасын кішірейтілген атаумен атайтын боламын - аркалар.Азырақ теру үшін.)

Назар аударыңыз! Бастауыш сөздік және саналыаркаларды шифрлау әртүрлі тапсырмаларды тыныш және сенімді түрде шешуге мүмкіндік береді. Және ішінде әдеттен тысТек ол тапсырмаларды сақтайды.

Доғалардан қарапайым градусқа немесе радианға ауысуға болады ма?- Мен абайлап сұрақ естимін.)

Неге жоқ!? Оңай. Ол жаққа барып қайтуыңызға болады. Оның үстіне, кейде мұны істеу керек. Арка - бұл қарапайым нәрсе, бірақ оларсыз тынышырақ, солай ма?)

Мысалы: arcsin 0,5 дегеніміз не?

Декодтауды еске түсірейік: arcsin 0,5 - синусы 0,5 болатын бұрыш.Енді басыңызды (немесе Google) бұрыңыз және қай бұрыштың синусы 0,5 болатынын есіңізде сақтаңыз ба? Синус 0,5 у-ға тең 30 градус бұрыш. Бар болғаны: arcsin 0,5 - 30° бұрыш.Сіз қауіпсіз жаза аласыз:

доғасы 0,5 = 30°

Немесе, ресми түрде, радиан бойынша:

Міне, сіз арксинус туралы ұмытып, әдеттегі градустармен немесе радиандармен жұмысты жалғастыра аласыз.

Түсінген болсаңыз арксинус, арккосинус деген не... Арктангенс, арккотангенс деген не...Сіз, мысалы, мұндай құбыжықпен оңай күресуге болады.)

Надан үрейленіп кері шегінеді, иә...) Бірақ хабардар адам декодтауды есте сақтаңыз:арксинусы - оның синусы бұрыш... Және т.б. Білімді адам синустар кестесін де білсе... Косинустар кестесі. Тангенс пен котангенс кестесі, онда мүлде проблемалар жоқ!

Мұны түсіну жеткілікті:

Мен оның шифрын ашамын, яғни. Формуланы сөзбен аударуға рұқсат етіңіз: тангенсі 1 (arctg1) болатын бұрыш- бұл 45° бұрыш. Немесе бұл бірдей, Pi/4. Сол сияқты:

міне, солай... Біз барлық доғаларды радиандағы мәндермен ауыстырамыз, бәрі азаяды, 1+1 қанша екенін есептеу ғана қалады. Ол 2 болады.) Қайсысы дұрыс жауап.

Осылайша сіз арксинустардан, арккосинустардан, арктангенстерден және арккотангенттерден кәдімгі градустар мен радиандарға ауыса аласыз (және керек). Бұл қорқынышты мысалдарды айтарлықтай жеңілдетеді!

Көбінесе мұндай мысалдарда доғалардың ішінде болады терісмағыналары. Мысалы, arctg(-1,3) немесе, мысалы, arccos(-0,8)... Бұл мәселе емес. Міне, теріс мәндерден оң мәндерге ауысудың қарапайым формулалары:

Өрнектің мәнін анықтау үшін сізге қажет:

Мұны тригонометриялық шеңбер арқылы шешуге болады, бірақ оны сызғыңыз келмейді. О, жақсы. бастап көшеміз теріс k доғасының косинусының ішіндегі мәндер оңекінші формула бойынша:

Оң жақтағы доғаның ішінде косинус қазірдің өзінде бар оңмағынасы. Не

сіз жай ғана білуіңіз керек. Доғалық косинустың орнына радиандарды ауыстырып, жауапты есептеу ғана қалады:

Міне бітті.

Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс бойынша шектеулер.

7 - 9 мысалдарда мәселе бар ма? Иә, мұнда бір қулық бар.)

1-ден 9-ға дейінгі осы мысалдардың барлығы 555-бөлімде мұқият талданған. Не, қалай және неге. Барлық құпия тұзақтармен және айлалармен. Плюс шешімді күрт жеңілдетудің жолдары. Айтпақшы, бұл бөлімде жалпы тригонометрия бойынша көптеген пайдалы ақпарат пен практикалық кеңестер бар. Тригонометрияда ғана емес. Бұл көп көмектеседі.

Егер сізге бұл сайт ұнаса...

Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)

Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге ​​болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Үйренейік - қызығушылықпен!)

Функциялармен және туындылармен танысуға болады.

(дөңгелек функциялар, доғалық функциялар) – тригонометриялық функцияларға кері болатын математикалық функциялар.

Арктангенс- белгілеу: арктан xнемесе арктан x.

Арктангенс (у = арктан х) - кері функция тг (x = сарғыш у), оның анықтау облысы мен мәндер жиыны бар . Басқаша айтқанда, бұрышты мәні бойынша қайтарады тг.

Функция у = арктан хүздіксіз және бүкіл сан түзуімен шектелген. Функция у = арктан хқатаң түрде артып келеді.

arctg функциясының қасиеттері.

у = арктан х функциясының графигі.

Арктангенс графигі тангенс графигінен абсцисса және ордината осьтерін алмастыру арқылы алынады. Белгісіздіктен құтылу үшін мәндер жиынтығы интервалмен шектеледі , ондағы функция монотонды. Бұл анықтама арктангенстің бас мәні деп аталады.

arctg функциясын алу.

функциясы бар у = сарғыш x. Бүкіл анықтамалық өрісінде ол біртұтас монотонды, демек, кері сәйкестік. у = арктан хфункция емес. Сондықтан, біз ол тек 1 рет барлық мәндерді ғана арттыратын және қабылдайтын сегментті қарастырамыз - . Мұндай сегментте у = сарғыш xтек монотонды түрде артады және барлық мәндерді тек 1 рет қабылдайды, яғни интервалда кері мән бар у = арктан х, оның графигі графикке симметриялы у = сарғыш xсалыстырмалы түзу сегментте y = x.