Векторлар модульдері бойынша тең. Вектордың ұзындығын табу, мысалдар және шешімдер

Вектордың ұзындығын оның координаталарынан (тікбұрышты координаталар жүйесінде), вектордың бастапқы және соңғы нүктелерінің координаталарынан және косинустар теоремасынан (2 вектор және олардың арасындағы бұрыш берілген) табайық.

Вектор бағытталған түзу кесінді болып табылады.Бұл кесіндінің ұзындығы вектордың сандық мәнін анықтайды және деп аталадывектордың ұзындығы немесе вектордың модулі.

1. Вектордың ұзындығын координаталары бойынша есептеу

Егер векторлық координаталар жазық (екі өлшемді) тікбұрышты координаталар жүйесінде берілсе, яғни. a x және a y белгілі болса, онда вектордың ұзындығын формула арқылы табуға болады

Кеңістікте вектор болған жағдайда үшінші координат қосылады

MS EXCEL өрнекінде =ТҮР(SUMKV(B8:B9))вектордың модулін есептеуге мүмкіндік береді (ұяшықтарға векторлық координаторлар енгізілген деп есептеледі) B8:B9, мысалы файлды қараңыз).

SUMMQ() функциясы аргументтердің квадраттарының қосындысын қайтарады, яғни. бұл жағдайда =B8*B8+B9*B9 формуласына баламалы.

Мысал файлы кеңістіктегі вектордың ұзындығын да есептейді.

Балама формула болып табылады =ТҮБІР(СУПРОДУКТ(B8:B9,B8:B9)).

2. Нүктелердің координаталары арқылы вектордың ұзындығын табу

Егер вектор оның бастапқы және соңғы нүктелерінің координаталары арқылы берілген болса, онда формула басқаша болады =ТҮБІР(ЖИНАУ(C28:C29,B28:B29))

Формула бастапқы және соңғы нүктелердің координаталары ауқымдарға енгізілгенін болжайды C28:C29 Және B28:B29 тиісінше.

Функция SUMMQDIFFERENCE() ішіндеЕкі массивтегі сәйкес мәндердің квадраттық айырмашылықтарының қосындысын қайтарады.

Негізінде, формула алдымен вектордың координаталарын (нүктелердің сәйкес координаталары арасындағы айырмашылық) есептейді, содан кейін олардың квадраттарының қосындысын есептейді.

3. Косинус теоремасы арқылы вектордың ұзындығын табу

Косинус теоремасы арқылы вектордың ұзындығын табу керек болса, онда әдетте 2 вектор (олардың модульдері және олардың арасындағы бұрыш) беріледі.

Формула арқылы в векторының ұзындығын табайық =ТҮБІР(СОМ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

Жасушаларда B43:B43 a және b векторларының және ұяшықтардың ұзындықтарын қамтиды B45 - олардың арасындағы бұрыш радианмен (PI() үлесінде).

Егер бұрыш градуспен көрсетілсе, формула сәл өзгеше болады =ТҮР(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*PI()/180))

Ескерту: түсінікті болу үшін бұрыш мәні градуспен ұяшықта қолдануға болады, мысалы, мақаланы қараңыз

Шамасы мен бағыты бойынша сипатталады. Мысалы, геометрияда және жаратылыстану ғылымдарында вектор евклид кеңістігіндегі (немесе жазықтықтағы) түзудің бағытталған кесіндісі болып табылады.

Бұл сызықтық алгебраның негізгі ұғымдарының бірі. Ең жалпы анықтаманы пайдаланған кезде, сызықтық алгебрада зерттелетін барлық дерлік объектілер векторлар, соның ішінде матрицалар, тензорлар, алайда, егер бұл объектілер қоршаған контексте болса, вектор сәйкесінше жол векторы немесе баған векторы ретінде түсініледі, бірінші дәрежелі тензор. Векторларға амалдар қасиеттері векторлық есептеуде зерттеледі.

Белгілер [ | ]

Жиын арқылы берілген вектор n (\displaystyle n)элементтер (компонент) a 1 , a 2 , … , a n (\displaystyle a_(1),a_(2),\ldots ,a_(n))келесі жолдармен белгіленеді:

⟨ a 1 , a 2 , … , a n ⟩ , (a 1 , a 2 , … , a n) , ( a 1 , a 2 , … , a n ) (\displaystyle \langle a_(1),a_(2), \ldots ,a_(n)\,\rangle ,\ \left(a_(1),a_(2),\ldots ,a_(n)\,\оң),\(a_(1),a_(2) ,\ldots ,a_(n)\,\)).

Бұл вектор (скаляр емес) екенін атап өту үшін үстіңгі жолақты, көрсеткіні немесе қалың немесе готикалық қаріпті пайдаланыңыз:

a ¯, a → , a , A , a . (\ Displaystyle (\ bar (a)), \ (\ vec (a)), \ mathbf (a) , (\ mathfrak (A)), \ (\ mathfrak (a)).)

Векторларды қосу әрқашан дерлік қосу белгісімен белгіленеді:

a → + b → (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))).

Санға көбейту оның жанына арнайы белгісіз жай ғана жазылады, мысалы:

k b → (\displaystyle k(\vec (b))),

Оның үстіне сан әдетте сол жақта жазылады.

Жалпы қабылданған векторлық белгілер жоқ, қалың қаріп, әріптің үстіндегі сызық немесе көрсеткі, готикалық алфавит және т.б. пайдаланылады.

Геометрияда [ | ]

Геометрияда векторлар бағытталған кесінділерді білдіреді. Бұл интерпретация көбінесе компьютерлік графикада беттік нормаларды пайдаланып жеңіл карталарды құру үшін қолданылады. Сондай-ақ, векторларды үшбұрыштар мен параллелограммдар сияқты әртүрлі фигуралардың аудандарын, сондай-ақ денелердің көлемдерін табу үшін қолдануға болады: тетраэдр және параллелепипед.
Кейде бағыт вектормен анықталады.

Геометриядағы векторды табиғи түрде аудармамен (параллельді аудару) салыстырады, бұл оның атауының шығу тегін нақтылай түседі (лат. вектор, тасымалдаушы). Шынында да, кез келген бағытталған сегмент жазықтықтың немесе кеңістіктің параллель трансляциясының қандай да бір түрін бірегей түрде анықтайды, ал керісінше, параллель аударма бір бағытталған сегментті бірегей түрде анықтайды (бір мағыналы - егер бір бағыттағы және ұзындықтағы барлық бағытталған сегменттерді тең деп санасақ - яғни оларды еркін векторлар ретінде қарастырыңыз) .

Векторды тасымалдау ретінде түсіндіру векторларды қосу операциясын табиғи және интуитивті түрде айқын түрде енгізуге мүмкіндік береді – екі (немесе бірнеше) тасымалдаудың құрамы (тізбекті қолдану) ретінде; бұл векторды санға көбейту операциясына да қатысты.

Сызықтық алгебрада[ | ]

Жалпы анықтама[ | ]

Вектордың ең жалпы анықтамасы жалпы алгебра арқылы берілген:

• белгілейік F (\displaystyle (\mathfrak (F)))(готикалық F) көптеген элементтері бар кейбір өріс F (\displaystyle F), аддитивті операция + (\displaystyle +), көбейту амалы ∗ (\displaystyle *), және сәйкес бейтарап элементтер: аддитивті бірлік және көбейткіш бірлік 1 (\displaystyle 1).
• белгілейік V (\displaystyle (\mathfrak (V)))(Готикалық V) көптеген элементтері бар кейбір абелиялық топ V (\displaystyle V), аддитивті операция + (\displaystyle +)және, сәйкесінше, қоспа бірлігімен 0 (\displaystyle \mathbf (0) ).

Басқаша айтқанда, рұқсат етіңіз F = ⟨ F ; + , ∗ ⟩ (\displaystyle (\mathfrak (F))=\langle F;+,*\rangle )Және V = ⟨ V ; + ⟩ (\displaystyle (\mathfrak (V))=\langle V;+\rangle ).

Операция болса F × V → V (\displaystyle F\урет V\V-ге дейін), кез келген адамға арналған a , b ∈ F (\displaystyle a,b\in F)және кез келген үшін x , y ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \V ішінде)келесі қарым-қатынастар болады:

Вектор реттілік ретінде[ | ]

Вектор- біртекті элементтердің (тізбегі, кортежі). Бұл кәдімгі векторлық операциялар мүлде көрсетілмеуі мүмкін, олардың саны аз болуы мүмкін немесе олар әдеттегі сызықтық кеңістік аксиомаларын қанағаттандырмауы мүмкін деген мағынадағы ең жалпы анықтама. Дәл осы пішінде вектор бағдарламалауда түсініледі, мұнда, әдетте, төртбұрышты жақшалармен идентификатор атымен белгіленеді (мысалы, объект). Қабылданатын модельдер қасиеттерінің тізімі

векторлық модуль- векторлық шама - [Л.Г.Суменко. Ақпараттық технология бойынша ағылшынша-орысша сөздік. М.: Мемлекеттік кәсіпорын ЦНИИС, 2003.] Тақырыптар ақпараттық технологиялар жалпы Синонимдер векторлық мәні EN вектордың абсолютті мәні ...

векторлық модуль- vektoriaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: ағылшын. вектордың абсолютті мәні vok. Векторбетраг, m rus. вектор ұзындығы, f; векторлық модуль, m pranc. module d'un vecteur, m ... Fizikos terminų žodynas

- (латын модулінен «кіші өлшем»): Wiktionary «модуль» мақаласы бар Mo ... Wikipedia

Модуль (латынның modulus «кішігірім өлшем» сөзінен шыққан) ажырамас бөлік болып табылады, бөлінетін немесе кем дегенде жалпыдан ойша ерекшеленетін. Модульдік әдетте нақты анықталған бөліктерден тұратын зат деп аталады, оны көбінесе затты бұзбай алып тастауға немесе қосуға болады... ... Wikipedia

X нақты немесе күрделі санның абсолютті мәні немесе модулі х-тен басына дейінгі қашықтық. Дәлірек айтқанда: х нақты санының абсолютті мәні теріс емес сан, |x| арқылы белгіленеді. және келесідей анықталады: ... ... Wikipedia

толқындық векторлық модуль- - [Л.Г.Суменко. Ақпараттық технология бойынша ағылшынша-орысша сөздік. М.: Мемлекеттік кәсіпорын TsNIIS, 2003.] Тақырыптар ақпараттық технологиялар жалпы EN таралу векторының шамасы ... Техникалық аудармашыға арналған нұсқаулық

конверт коды векторлық конволвер модулі- - [Л.Г.Суменко. Ақпараттық технология бойынша ағылшынша-орысша сөздік. М .: Мемлекеттік кәсіпорын TsNIIS, 2003.] Тақырыптар ақпараттық технология жалпы EN пішіні кодвектор конвульсия модулі ... Техникалық аудармашыға арналған нұсқаулық

Комплекс санның модулі деп осы санға сәйкес вектордың ұзындығын айтамыз: . z күрделі санның модулі әдетте | деп белгіленеді z | немесе r. Нақты сандар күрделі сан болатындай болсын (әдеттегі жазу). Содан кейін сандар... Википедия

Математикадағы модуль, 1) z = x + iy күрделі санның M. (немесе абсолютті мәні) ═ саны (түбір қосу белгісімен алынады). Комплекс z санын тригонометриялық z = r(cos j + i sin j) түрінде көрсеткенде r нақты саны... ... тең болады. Ұлы Совет энциклопедиясы

Операторлар сақинасы бар абелиялық топ. M – К кейбір сақинамен ауыстырылған жағдай үшін К өрісі үстіндегі (сызықтық) векторлық кеңістіктің жалпылама нұсқасы. А сақинасы берілсін.Қосымша Абел тобы Мназ. сол модуль, егер анықталған болса... ... Математикалық энциклопедия

Ақырында, мен осы ауқымды және көптен күткен тақырыпқа қол жеткіздім. аналитикалық геометрия. Біріншіден, жоғары математиканың осы бөлімі туралы аздап... Сіз қазір көптеген теоремалар, олардың дәлелдері, сызбалары және т.б. бар мектеп геометрия курсын еске түсіресіз. Нені жасыру керек, студенттердің айтарлықтай бөлігі үшін ұнамсыз және жиі түсініксіз тақырып. Аналитикалық геометрия, біртүрлі, қызықтырақ және қолжетімді болып көрінуі мүмкін. «Аналитикалық» сын есім нені білдіреді? Екі клишеленген математикалық фразалар бірден еске түседі: «графикалық шешім әдісі» және «аналитикалық шешім әдісі». Графикалық әдіс, әрине, графиктер мен сызбаларды салумен байланысты. Аналитикалықнемесе әдісмәселелерді шешуді қамтиды негізіненалгебралық амалдар арқылы. Осыған байланысты аналитикалық геометрияның барлық дерлік есептерін шешу алгоритмі қарапайым және ашық, көбінесе қажетті формулаларды мұқият қолдану жеткілікті - және жауап дайын! Жоқ, әрине, біз мұны сызбаларсыз мүлде жасай алмаймыз, сонымен қатар, материалды жақсы түсіну үшін мен оларды қажетсіз түрде келтіруге тырысамын.

Жаңадан ашылған геометрия сабақтарының курсы теориялық жағынан толық емес, практикалық есептерді шешуге бағытталған. Мен өзімнің лекцияларыма менің көзқарасым бойынша практикалық тұрғыдан маңызды нәрсені ғана қосамын. Егер сізге кез келген бөлім бойынша толық көмек қажет болса, мен төмендегідей қолжетімді әдебиеттерді ұсынамын:

1) Әзіл емес, бірнеше ұрпақ таныс нәрсе: Геометрия бойынша мектеп оқулығы, авторлары - Л.С. Атанасян және компания. Бұл мектеп киім ауыстыратын ілгіш қазірдің өзінде 20 (!) қайта басып шығарудан өтті, бұл, әрине, шек емес.

2) 2 томдық геометрия. Авторлар Л.С. Атанасян, Базылев В.Т.. Бұл орта мектепке арналған әдебиет, сізге қажет болады бірінші том. Сирек кездесетін тапсырмалар менің көз алдымнан түсіп қалуы мүмкін және оқу құралы баға жетпес көмек болады.

Екі кітапты да онлайн тегін жүктеп алуға болады. Сонымен қатар, сіз менің мұрағатты бетте табуға болатын дайын шешімдермен пайдалана аласыз Жоғары математикадағы мысалдарды жүктеп алыңыз.

Құралдардың арасында мен өзімнің дамуымды тағы ұсынамын - бағдарламалық пакетаналитикалық геометрияда, бұл өмірді айтарлықтай жеңілдетеді және көп уақытты үнемдейді.

Оқырман негізгі геометриялық ұғымдар мен фигуралар: нүкте, түзу, жазықтық, үшбұрыш, параллелограмм, параллелепипед, текше және т.б. Кейбір теоремаларды есте ұстаған жөн, кем дегенде Пифагор теоремасы, қайталаушыларға сәлем)

Ал енді біз дәйекті түрде қарастырамыз: вектор түсінігі, векторлары бар әрекеттер, векторлық координаталар. Мен әрі қарай оқуды ұсынамын ең маңызды мақала Векторлардың нүктелік көбейтіндісі, және де Векторлардың векторлық және аралас көбейтіндісі. Жергілікті тапсырма – осыған байланысты сегментті бөлу де артық болмайды. Жоғарыда келтірілген мәліметтерге сүйене отырып, сіз меңгере аласыз жазықтықтағы түзудің теңдеуібірге шешімдердің қарапайым мысалдары, бұл мүмкіндік береді геометрия есептерін шығаруға үйрету. Келесі мақалалар да пайдалы: Кеңістіктегі жазықтықтың теңдеуі, Кеңістіктегі түзудің теңдеулері, Түзу және жазықтыққа негізгі есептер, аналитикалық геометрияның басқа бөлімдері. Әрине, жол бойында стандартты тапсырмалар қарастырылады.

Векторлық түсінік. Еркін вектор

Алдымен вектордың мектептік анықтамасын қайталайық. Векторшақырды бағытталғанбасы мен соңы көрсетілген сегмент:

Бұл жағдайда кесіндінің басы - нүкте, кесіндінің соңы - нүкте. Вектордың өзі арқылы белгіленеді. Бағытмаңызды, егер көрсеткіні сегменттің екінші ұшына жылжытсаңыз, сіз вектор аласыз және бұл қазірдің өзінде мүлде басқа вектор. Вектор ұғымын физикалық дененің қозғалысымен сәйкестендіру ыңғайлы: сіз келісуіңіз керек, институттың есігінен кіру немесе институттың есігінен шығу мүлдем басқа нәрсе.

Жазықтықтың немесе кеңістіктің жеке нүктелерін деп аталатындар ретінде қарастыру ыңғайлы нөлдік вектор. Мұндай вектор үшін соңы мен басы сәйкес келеді.

!!! Ескерту: Мұнда және одан әрі векторлар бір жазықтықта жатыр деп болжауға болады немесе олар кеңістікте орналасқан деп болжауға болады - ұсынылған материалдың мәні жазықтық үшін де, кеңістік үшін де жарамды.

Белгілері:Көптеген адамдар белгіде көрсеткі жоқ таяқшаны бірден байқап, жоғарғы жағында көрсеткі бар екенін айтты! Рас, оны көрсеткі арқылы жазуға болады: , бірақ бұл да мүмкін Мен болашақта қолданатын жазба. Неліктен? Бұл әдет практикалық себептермен дамыса керек, менің мектептегі және университеттегі атқыштарым тым әртүрлі және тырнақалды болып шықты. Оқу әдебиетінде кейде олар сына жазумен мүлде алаңдамайды, бірақ қалың қаріппен жазылған әріптерді ерекшелейді: , осылайша бұл вектор екенін білдіреді.

Бұл стилистика болды, енді векторларды жазу жолдары туралы:

1) Векторларды екі бас латын әріпімен жазуға болады:
тағыда басқа. Бұл жағдайда бірінші әріп Міндетті түрдевектордың бастапқы нүктесін, ал екінші әріп вектордың соңғы нүктесін білдіреді.

2) Векторлар да шағын латын әріптерімен жазылады:
Атап айтқанда, біздің векторды латын әрпімен қысқаша етіп өзгертуге болады.

Ұзындығынемесе модульнөлге тең емес вектор кесіндінің ұзындығы деп аталады. Нөлдік вектордың ұзындығы нөлге тең. Логикалық.

Вектордың ұзындығы модуль белгісімен белгіленеді: ,

Вектордың ұзындығын қалай табуға болатынын (немесе кімге байланысты қайталаймыз) сәл кейінірек үйренеміз.

Бұл барлық мектеп оқушыларына таныс векторлар туралы негізгі ақпарат болды. Аналитикалық геометрияда деп аталатын еркін вектор.

Қарапайым тілмен айтқанда - векторды кез келген нүктеден салуға болады:

Біз мұндай векторларды тең деп атауға дағдыланғанбыз (тең векторлардың анықтамасы төменде келтіріледі), бірақ таза математикалық тұрғыдан алғанда, олар БІР ВЕКТОР немесе еркін вектор. Неге тегін? Өйткені есептерді шешу барысында сіз осы немесе басқа «мектеп» векторын жазықтықтың немесе кеңістіктің КЕЗ КЕЛГЕН нүктесіне «тіркеуге» болады. Бұл өте керемет функция! Ерікті ұзындық пен бағыттың бағытталған сегментін елестетіңіз - оны шексіз көп рет және кеңістіктің кез келген нүктесінде «клондауға» болады, шын мәнінде ол БАРЛЫҚ ЖЕРДЕ бар. Студенттің мынадай бір сөзі бар: Әрбір лектор вектор туралы ойлайды. Өйткені, бұл жай ғана тапқыр рифма емес, бәрі дерлік дұрыс - бағытталған сегментті де қосуға болады. Бірақ қуануға асықпаңыз, көбінесе студенттердің өздері зардап шегеді =)

Сонымен, еркін вектор- Бұл бір топ бірдей бағытталған сегменттер. Параграфтың басында берілген вектордың мектептік анықтамасы: «Бағытталған кесінді вектор деп аталады...» дегенді білдіреді. нақтыжазықтықтағы немесе кеңістіктегі белгілі бір нүктеге байланған берілген жиыннан алынған бағытталған кесінді.

Айта кету керек, физика тұрғысынан еркін вектор ұғымы әдетте дұрыс емес және қолдану нүктесі маңызды. Шынында да, мұрынға немесе маңдайға бірдей күштің тікелей соққысы, менің ақымақ мысалды дамытуға жеткілікті, әртүрлі салдарға әкеледі. Дегенмен, еркін емесвекторлар да вышмат барысында кездеседі (ол жерге бармаңыз :)).

Векторлармен әрекеттер. Векторлардың коллинеарлығы

Мектептегі геометрия курсы векторлармен бірнеше әрекеттер мен ережелерді қамтиды: үшбұрыш ережесі бойынша қосу, параллелограмм ережесі бойынша қосу, векторлық айырма ережесі, векторды санға көбейту, векторлардың скаляр көбейтіндісі т.б.Бастапқыда аналитикалық геометрия есептерін шешу үшін ерекше өзекті болып табылатын екі ережені қайталап көрейік.

Үшбұрыш ережесі арқылы векторларды қосу ережесі

Екі ерікті нөлдік емес векторларды қарастырайық және:

Осы векторлардың қосындысын табу керек. Барлық векторлар бос деп есептелетіндіктен, біз векторды шетке шығарамыз Соңывектор:

Векторлардың қосындысы вектор болып табылады. Ережені жақсырақ түсіну үшін оған физикалық мағына берген жөн: кейбір дене вектор бойымен, содан кейін вектор бойымен жүрсін. Сонда векторлардың қосындысы басы жөнелту нүктесінде және ұшы келу нүктесінде болатын нәтиже жолының векторы болады. Ұқсас ереже векторлардың кез келген санының қосындысы үшін тұжырымдалған. Олар айтқандай, дене ирек бойымен өте еңкеюі мүмкін немесе автопилотта - қосындының алынған векторы бойымен жүре алады.

Айтпақшы, вектор кейінге қалдырылған болса басталдывектор болса, онда эквивалент аламыз параллелограмм ережесівекторларды қосу.

Біріншіден, векторлардың коллинеарлығы туралы. Екі вектор деп аталады коллинеарлы, егер олар бір түзуде немесе параллель түзулерде жатса. Шамамен айтқанда, біз параллель векторлар туралы айтып отырмыз. Бірақ оларға қатысты «коллинеар» сын есімі әрқашан қолданылады.

Екі коллинеар векторды елестетіңіз. Егер бұл векторлардың көрсеткілері бір бағытқа бағытталған болса, онда мұндай векторлар деп аталады бірлесіп басқарған. Егер көрсеткілер әртүрлі бағыттарды көрсетсе, онда векторлар болады қарама-қарсы бағыттар.

Белгілері:векторлардың коллинеарлығы кәдімгі параллелизм белгісімен жазылады: , егжей-тегжейлі болу мүмкін болса: (векторлар бірге бағытталған) немесе (векторлар қарама-қарсы бағытталған).

Жұмысысандағы нөлдік емес вектор деп ұзындығы -ға тең, ал және векторлары -ға бірге бағытталған және оған қарама-қарсы бағытталған векторды айтады.

Векторды санға көбейту ережесін суреттің көмегімен түсіну оңай:

Оны толығырақ қарастырайық:

1) Бағыт. Егер көбейткіш теріс болса, онда вектор бағытын өзгертедікерісінше.

2) Ұзындығы. Егер көбейткіш немесе ішінде болса, онда вектордың ұзындығы төмендейді. Сонымен, вектордың ұзындығы вектордың жарты ұзындығына тең. Егер көбейткіштің модулі бірден үлкен болса, онда вектордың ұзындығы артадыуақытында.

3) Назар аударыңыз барлық векторлар коллинеар, ал бір вектор басқасы арқылы өрнектеледі, мысалы, . Керісінше де дұрыс: егер бір векторды екіншісі арқылы өрнектеуге болатын болса, онда мұндай векторлар міндетті түрде коллинеар болады. Осылайша: егер векторды санға көбейтсек, коллинеар болады(түпнұсқаға қатысты) векторы.

4) Векторлар бірге бағытталған. Векторлар және сонымен бірге бірге басқарылады. Бірінші топтың кез келген векторы екінші топтың кез келген векторына қатысты қарама-қарсы бағытталған.

Қандай векторлар тең?

Екі вектор тең, егер олар бір бағытта және ұзындығы бірдей болса. Бірлескен бағыттылық векторлардың коллинеарлығын білдіретінін ескеріңіз. Егер біз: «Екі вектор коллинеар, кодирекциялық және ұзындығы бірдей болса, тең болады» десек, анықтама дұрыс емес (артық) болар еді.

Еркін вектор түсінігі тұрғысынан алғанда, алдыңғы абзацта қарастырылғандай, тең векторлар бірдей вектор болып табылады.

Жазықтықтағы және кеңістіктегі векторлық координаталар

Бірінші нүкте - жазықтықтағы векторларды қарастыру. Декарттық тікбұрышты координаталар жүйесін бейнелеп, оны координаталар басынан бастап сызайық. бойдақвекторлар және:

Векторлар және ортогональды. Ортогональ = Перпендикуляр. Терминдерге баяу үйренуді ұсынамын: параллелизм мен перпендикулярлықтың орнына сәйкес сөздерді қолданамыз. коллинеарлықЖәне ортогональдылық.

Белгіленуі:Векторлардың ортогональдығы кәдімгі перпендикулярлық белгісімен жазылады, мысалы: .

Қарастырылып отырған векторлар деп аталады координаталық векторларнемесе ортс. Бұл векторлар түзіледі негізібетінде. Негіздің негізі, менің ойымша, көптеген адамдар үшін түсінікті; толығырақ ақпаратты мақаладан табуға болады. Векторлардың сызықтық (бейне) тәуелділігі. Векторлардың негізіҚарапайым сөзбен айтқанда, координаттардың негізі мен шығу тегі бүкіл жүйені анықтайды - бұл толық және бай геометриялық өмір қайнататын іргетастың бір түрі.

Кейде құрастырылған негіз деп аталады ортонормалықжазықтықтың негізі: «орто» - координаталық векторлар ортогональ болғандықтан, «нормаланған» сын есім бірлік дегенді білдіреді, яғни. базистік векторлардың ұзындықтары бірге тең.

Белгіленуі:негізі әдетте жақшаның ішінде жазылады, оның ішінде қатаң ретпенбазистік векторлар тізімделген, мысалы: . Координаталық векторлар тыйым салынғанқайта реттеу.

Кез келгенжазықтық векторы жалғыз жолбылай көрсетілген:
, Қайда - сандардеп аталады векторлық координаталаросы негізде. Және өрнектің өзі шақырды векторлық ыдыраунегізінде .

Кешкі ас берілді:

Алфавиттің бірінші әрпінен бастайық: . Сызба векторды негізге ыдырату кезінде жаңа талқыланғандар қолданылатынын анық көрсетеді:
1) векторды санға көбейту ережесі: және ;
2) үшбұрыш ережесі бойынша векторларды қосу: .

Енді векторды жазықтықтың кез келген басқа нүктесінен ойша сызыңыз. Оның ыдырауы «оған тынымсыз еретіні» анық. Міне, вектордың еркіндігі - вектор «бәрін өзімен бірге алып жүреді». Бұл қасиет, әрине, кез келген векторға қатысты. Бір қызығы, негізгі (еркін) векторлардың өзі бастапқыдан сызбасын салудың қажеті жоқ, біреуін, мысалы, төменгі сол жақта, екіншісін жоғарғы оң жақта салуға болады, ештеңе өзгермейді! Рас, мұны істеудің қажеті жоқ, өйткені мұғалім де өзіндік ерекшелігін көрсетіп, күтпеген жерден «несие» тартады.

Векторлар векторды санға көбейту ережесін дәл көрсетеді, вектор базалық вектормен кодирекциялық, вектор негізгі векторға қарама-қарсы бағытталған. Бұл векторлар үшін координаттардың бірі нөлге тең, оны келесідей мұқият жазуға болады:


Ал базистік векторлар, айтпақшы, мынадай: (шын мәнінде олар өздері арқылы өрнектеледі).

Ақыр соңында: , . Айтпақшы, векторды алу дегеніміз не және мен неге азайту ережесі туралы айтпадым? Сызықтық алгебраның бір жерінде, қай жерде екені есімде жоқ, мен азайтудың қосудың ерекше жағдайы екенін атап өттім. Осылайша, «de» және «e» векторларының кеңейтулері қосынды түрінде оңай жазылады: , . Үшбұрыш ережесіне сәйкес векторларды қосу осы жағдайларда қаншалықты анық жұмыс істейтінін көру үшін сызбаны орындаңыз.

Пішіннің қарастырылған декомпозициясы кейде векторлық ыдырау деп аталады ort жүйесінде(яғни бірлік векторлар жүйесінде). Бірақ бұл векторды жазудың жалғыз жолы емес, келесі нұсқа жиі кездеседі:

Немесе тең белгісімен:

Базистік векторлардың өзі былай жазылады: және

Яғни вектордың координаталары жақшада көрсетілген. Практикалық есептерде белгілердің үш нұсқасы да қолданылады.

Мен сөйлеймін бе деп күдіктендім, бірақ бәрібір айтамын: векторлық координаталарды қайта реттеу мүмкін емес. Қатаң бірінші орындабірлік векторға сәйкес келетін координатаны жазамыз, қатаң екінші орындабірлік векторға сәйкес келетін координатаны жазамыз. Шынында да, олар екі түрлі вектор.

Біз жазықтықтағы координаталарды анықтадық. Енді үш өлшемді кеңістіктегі векторларды қарастырайық, мұнда барлығы дерлік бірдей! Ол тағы бір координат қосады. Үш өлшемді сызбаларды жасау қиын, сондықтан мен өзімді бір вектормен шектеймін, оны қарапайымдылық үшін бастапқыдан бөліп тастаймын:

Кез келген 3D кеңістік векторы жалғыз жолортонормальдық негізде кеңейту:
, мұндағы осы базистегі вектордың (санның) координаталары.

Суреттен мысал: . Мұнда векторлық ережелер қалай жұмыс істейтінін көрейік. Алдымен векторды санға көбейту керек: (қызыл көрсеткі), (жасыл көрсеткі) және (таңқурай көрсеткі). Екіншіден, бірнеше, бұл жағдайда үш векторды қосу мысалы: . Қосынды векторы бастапқы шығу нүктесінен (вектордың басы) басталып, соңғы келу нүктесінде (вектордың соңы) аяқталады.

Үшөлшемді кеңістіктің барлық векторлары, әрине, еркін; векторды кез келген басқа нүктеден ойша алып тастауға тырысыңыз, сонда сіз оның ыдырауы «онымен бірге қалатынын» түсінесіз.

Жазумен қатар, жалпақ корпусқа ұқсас жақшалары бар нұсқалар кеңінен қолданылады: немесе .

Кеңейтуде бір (немесе екі) координат векторы жоқ болса, олардың орнына нөлдер қойылады. Мысалдар:
векторы (мұқият ) – жазайық;
векторы (мұқият ) – жазайық;
векторы (мұқият ) – жазайық.

Базистік векторлар келесідей жазылады:

Бұл аналитикалық геометрия мәселелерін шешуге қажетті ең аз теориялық білімнің бәрі болуы мүмкін. Терминдер мен анықтамалар көп болуы мүмкін, сондықтан мен шайнектер бұл ақпаратты қайта оқып, түсінуді ұсынамын. Және кез келген оқырман материалды жақсы меңгеру үшін мезгіл-мезгіл негізгі сабаққа жүгіну пайдалы болады. Коллинеарлық, ортогональдық, ортонормальдық базис, векторлық декомпозиция – осы және басқа ұғымдар келешекте жиі қолданылатын болады. Мен сайттағы материалдар теориялық сынақтан немесе геометрия бойынша коллоквиумнан өту үшін жеткіліксіз екенін ескертемін, өйткені мен барлық теоремаларды мұқият шифрлаймын (және дәлелдерсіз) - презентацияның ғылыми стиліне зиян келтіреді, бірақ сіздің түсінуіңізге плюс. тақырып. Егжей-тегжейлі теориялық ақпаратты алу үшін профессор Атанасянға тағзым етіңіз.

Ал біз практикалық бөлімге көшеміз:

Аналитикалық геометрияның қарапайым есептері.
Координаталардағы векторлары бар әрекеттер

Толық автоматты түрде қарастырылатын тапсырмаларды және формулаларды шешуді үйрену өте орынды жаттау, әдейі есте сақтаудың да қажеті жоқ, олар мұны өздері есте сақтайды =) Бұл өте маңызды, өйткені аналитикалық геометрияның басқа есептері қарапайым қарапайым мысалдарға негізделген және пешке жеуге қосымша уақыт жұмсау тітіркендіреді. . Көйлегіңіздің жоғарғы түймелерін бекітудің қажеті жоқ, көп нәрсе сізге мектептен таныс.

Материалды ұсыну параллельді бағытты ұстанады - жазықтық үшін де, кеңістік үшін де. Себебі барлық формулаларды... өзіңіз көресіз.

Екі нүктеден векторды қалай табуға болады?

Егер жазықтықтың екі нүктесі және берілген болса, онда вектордың келесі координаталары болады:

Егер кеңістікте екі нүкте берілсе, онда вектордың келесі координаталары болады:

Яғни, вектордың соңының координаталарынансәйкес координаталарды алып тастау керек вектордың басы.

Жаттығу:Сол нүктелер үшін вектордың координаталарын табу формулаларын жазыңыз. Сабақтың соңындағы формулалар.

1-мысал

Жазықтықтың екі нүктесі берілген және . Вектор координаталарын табыңыз

Шешімі:сәйкес формула бойынша:

Балама ретінде келесі жазбаны пайдалануға болады:

Мұны эстеттер шешеді:

Өз басым жазбаның бірінші нұсқасына үйреніп қалғанмын.

Жауап:

Шартқа сәйкес, сызбаны салу қажет емес еді (бұл аналитикалық геометрия есептеріне тән), бірақ манекендерге кейбір тармақтарды нақтылау үшін мен жалқау болмаймын:

Сіз міндетті түрде түсінуіңіз керек нүкте координаталары мен вектор координаталары арасындағы айырмашылық:

Нүкте координаттары– бұл тікбұрышты координаталар жүйесіндегі қарапайым координаттар. Координаталық жазықтықта нүктелерді салуды барлығы 5-6 сыныптан бастап біледі деп ойлаймын. Әрбір нүктенің ұшақта қатаң орны бар және оларды ешқайда жылжыту мүмкін емес.

Вектордың координаталары– бұл оның негізіне сәйкес кеңеюі, бұл жағдайда. Кез келген вектор бос, сондықтан қажет болса немесе қажет болса, біз оны жазықтықтың басқа нүктесінен оңай жылжыта аламыз. Бір қызығы, векторлар үшін осьтерді немесе тікбұрышты координаталар жүйесін мүлде құрудың қажеті жоқ; сізге тек негіз қажет, бұл жағдайда жазықтықтың ортонормальдық негізі.

Нүктелердің координаталары мен векторлардың координаталарының жазбалары ұқсас болып көрінеді: , және координаталар мағынасымүлдем әртүрлі, және сіз бұл айырмашылықты жақсы білуіңіз керек. Бұл айырмашылық, әрине, ғарышқа да қатысты.

Ханымдар мен мырзалар, қолымызды толтырайық:

2-мысал

а) Ұпайлар мен беріледі. және векторларын табыңыз.
ә) Ұпайлар беріледі Және . және векторларын табыңыз.
в) Ұпайлар мен беріледі. және векторларын табыңыз.
г) Ұпайлар беріледі. Векторларды табыңыз .

Мүмкін бұл жеткілікті. Бұл сіз өзіңіз шеше алатын мысалдар, оларды елеусіз қалдырмауға тырысыңыз, бұл өтеледі ;-). Сызбалар жасаудың қажеті жоқ. Сабақтың соңындағы шешімдер мен жауаптар.

Аналитикалық геометрия есептерін шешуде не маңызды?«Екі плюс екі нөлге тең» деген шебер қателік жібермеу үшін АШЫҚ САҚТЫ болу маңызды. Бір жерден қателесіп кетсем кешірім сұраймын =)

Кесіндінің ұзындығын қалай табуға болады?

Ұзындық, бұрын айтылғандай, модуль белгісімен көрсетіледі.

Егер жазықтықтың екі нүктесі және берілген болса, онда кесіндінің ұзындығын формула арқылы есептеуге болады

Егер кеңістікте екі нүкте және берілген болса, онда кесіндінің ұзындығын формула арқылы есептеуге болады

Ескерту: Сәйкес координаттар ауыстырылса, формулалар дұрыс болып қалады: және , бірақ бірінші опция стандарттырақ

3-мысал

Шешімі:сәйкес формула бойынша:

Жауап:

Түсінікті болу үшін мен сурет саламын

Сызық сегменті - бұл вектор емес, және, әрине, оны ешқайда жылжыта алмайсыз. Сонымен қатар, масштабта сурет салсаңыз: 1 бірлік. = 1 см (дәптердің екі ұяшығы), содан кейін алынған жауапты кесіндінің ұзындығын тікелей өлшеу арқылы кәдімгі сызғышпен тексеруге болады.

Иә, шешім қысқа, бірақ мен түсіндіргім келетін тағы бірнеше маңызды тармақтар бар:

Біріншіден, жауапта біз өлшемді қоямыз: «бірліктер». Шарт оның НЕ екенін, миллиметрді, сантиметрді, метрді немесе километрді айтпайды. Сондықтан, математикалық дұрыс шешім жалпы тұжырым болады: «бірліктер» - «бірліктер» деп қысқартылған.

Екіншіден, қарастырылған тапсырма үшін ғана емес пайдалы мектеп материалын қайталайық:

назар аударыңыз маңызды техника – көбейткішті түбір астынан алып тастау. Есептеулер нәтижесінде бізде нәтиже бар және жақсы математикалық стиль факторды түбірдің астынан (мүмкіндігінше) алып тастауды қамтиды. Толығырақ процесс келесідей көрінеді: . Әрине, жауапты сол күйінде қалдыру қателік болмас еді – бірақ бұл мұғалім тарапынан дірілдеу үшін кемшілік және салмақты дәлел болар еді.

Міне, басқа жиі кездесетін жағдайлар:

Көбінесе түбір жеткілікті үлкен санды шығарады, мысалы . Мұндай жағдайларда не істеу керек? Калькулятордың көмегімен санның 4-ке бөлінетінін тексереміз: . Иә, ол толығымен бөлінді, осылайша: . Немесе санды қайтадан 4-ке бөлуге болады ма? . Осылайша: . Санның соңғы цифры тақ, сондықтан үшінші рет 4-ке бөлу жұмыс істемейтіні анық. Тоғызға бөлуге тырысайық: . Нәтижесінде:
Дайын.

Қорытынды:егер түбірдің астынан бүтін шығаруға болмайтын сан келсе, онда біз түбір астынан көбейткішті алып тастауға тырысамыз - калькулятордың көмегімен санның келесіге бөлінетінін тексереміз: 4, 9, 16, 25, 36, 49 және т.б.

Әртүрлі есептерді шешу кезінде түбірлер жиі кездеседі; мұғалімнің түсініктемелері негізінде шешімдерді аяқтай отырып, төмен баға мен қажетсіз мәселелерді болдырмау үшін әрқашан түбірдің астынан факторларды алуға тырысыңыз.

Сондай-ақ квадрат түбірлерді және басқа дәрежелерді қайталайық:

Жалпы нысандағы өкілеттіктермен жұмыс істеу ережелерін мектеп алгебра оқулығында табуға болады, бірақ менің ойымша, келтірілген мысалдардан бәрі немесе барлығы дерлік түсінікті.

Кеңістіктегі сегменті бар тәуелсіз шешуге арналған тапсырма:

4-мысал

Ұпайлар мен беріледі. Кесіндінің ұзындығын табыңыз.

Шешімі мен жауабы сабақтың соңында.

Вектордың ұзындығын қалай табуға болады?

Жазық вектор берілген болса, онда оның ұзындығы формула бойынша есептеледі.

Егер кеңістік векторы берілсе, онда оның ұзындығы формула бойынша есептеледі .