Математикалық күту (Орташа популяция) болып табылады. Математикалық күту – кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі Математикалық күту х у

Күтілетін мәнкездейсоқ шаманың орташа мәні болып табылады.

Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуі оның барлық мүмкін мәндері мен олардың ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысы болып табылады:

Мысал.

X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5

Шешуі: Математикалық күту X-тің барлық мүмкін мәндерінің және олардың ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысына тең:

M (X) = 4*0,2 + 6*0,3 +10*0,5 = 6.

Математикалық күтуді есептеу үшін Excel бағдарламасында есептеулерді жүргізу ыңғайлы (әсіресе деректер көп болған кезде), біз пайдалануды ұсынамыз дайын шаблон ().

үшін мысал тәуелсіз шешім(калькуляторды пайдалануға болады).
Бөлу заңымен анықталған дискретті Х кездейсоқ шамасының математикалық күтуін табыңыз:

X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4

Математикалық күтудің келесі қасиеттері бар.

1-қасиет.Математикалық күту тұрақты мәнең тұрақтыға тең: M(C)=C.

2-қасиет. Математикалық күтудің белгісі ретінде тұрақты коэффициентті шығаруға болады: M(CX)=CM(X).

3-қасиет. Өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың көбейтіндісінің математикалық күтуі факторлардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)

4-қасиет. Кездейсоқ шамалардың қосындысының математикалық күтуі терминдердің математикалық күтулерінің қосындысына тең: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).

Есеп 189. Кездейсоқ Z шамасының математикалық күтуін табыңыз, егер X және Y математикалық күтулері белгілі болса: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Шешуі: Математикалық күтудің қасиеттерін пайдалана отырып (соманың математикалық күтуі терминдердің математикалық күтулерінің қосындысына тең; тұрақты факторды математикалық күтудің белгісінен шығаруға болады), M(Z) аламыз. )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Математикалық күтудің қасиеттерін пайдалана отырып, мынаны дәлелдеңдер: а) M(X - Y) = M(X) - M (Y); б) X-M(X) ауытқуының математикалық күтуі нөлге тең.

191. Х дискретті кездейсоқ шама үш мүмкін мәнді қабылдайды: x1= 4 ықтималдығы p1 = 0,5; xЗ = 6 ықтималдығы P2 = 0,3 және х3 ықтималдығы p3. M(X)=8 екенін біле отырып: x3 және p3 табыңыз.

192. Х дискретті кездейсоқ шамасының мүмкін мәндерінің тізімі берілген: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1; бұл шаманың және оның квадратының математикалық күтулері де белгілі: M(X) = 0,1 , M(X^2) = 0 ,9. xi-ның мүмкін мәндеріне сәйкес p1, p2, p3 ықтималдықтарын табыңыз

194. 10 бөліктен тұратын партия стандартты емес үш бөліктен тұрады. Екі бөлік кездейсоқ таңдалды. X дискретті кездейсоқ шамасының математикалық күтуін табыңыз - екі таңдалғанның арасындағы стандартты емес бөліктер саны.

196. Х дискретті кездейсоқ шамасының математикалық күтуін табыңыз, егер лақтырулардың жалпы саны жиырма болса, әрқайсысында екі сүйекте бір ұпай пайда болатын бес сүйектен тұратын осындай лақтырулар саны.

Күтілетін мән биномдық үлестірімсынақтар саны мен бір сынақта болған оқиғаның ықтималдығының көбейтіндісіне тең:

Кездейсоқ айнымалыКездейсоқ себептерге байланысты әрбір сынақтың нәтижесінде бұрын белгісіз бір мән алатын айнымалы шама деп аталады. Кездейсоқ айнымалыларбас латын әріптерімен белгіленеді: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Түрі бойынша кездейсоқ шамалар болуы мүмкін. дискреттіЖәне үздіксіз.

Дискретті кездейсоқ шама- бұл кездейсоқ шама, оның мәндері есептелетін, яғни ақырлы немесе есептелетін шамадан аспауы мүмкін. Есептеу деп біз кездейсоқ шаманың мәндерін нөмірлеуге болатындығын айтамыз.

1-мысал . Мұнда дискретті кездейсоқ шамалардың мысалдары берілген:

а) $n$ ату арқылы нысанаға тиген соққылар саны, мұнда мүмкін мәндер $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) монетаны лақтыру кезінде төмендеген эмблемалар саны, мұнда мүмкін мәндер $0,\ 1,\\нүктелер,\n$.

в) бортқа келген кемелер саны (мәндердің есептелетін жиынтығы).

d) АТС-ке келіп түсетін қоңыраулар саны (мәндердің есептелетін жиыны).

1. Дискретті кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірім заңы.

$X$ дискретті кездейсоқ шама $x_1,\dots,\ x_n$ мәндерін $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ ықтималдықтарымен қабылдай алады. Бұл мәндер мен олардың ықтималдықтарының арасындағы сәйкестік деп аталады дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы. Әдетте, бұл сәйкестік кесте арқылы көрсетіледі, оның бірінші жолында $x_1,\dots ,\ x_n$ мәндері көрсетіледі, ал екінші жолда $p_1,\dots ,\ p_n$ сәйкес келетін ықтималдықтар бар. бұл құндылықтар.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \нүктелер & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \нүктелер & p_n \\
\hline
\end(массив)$

2-мысал . Кездейсоқ шама $X$ шамасын лақтырған кезде алынған ұпайлар саны болсын. Мұндай кездейсоқ шама $X$ келесі мәндерді қабылдай алады: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Барлық осы мәндердің ықтималдығы $1/6$ тең. Сонда $X$ кездейсоқ шамасының ықтималдық таралу заңы:

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(массив)$

Түсініктеме. $X$ дискретті кездейсоқ шамасының таралу заңында $1,\ 2,\ \нүктелер ,\ 6$ оқиғалары оқиғалардың толық тобын құрайтындықтан, онда ықтималдықтардың қосындысы біреуге тең болуы керек, яғни $ \sum(p_i)=1$.

2. Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуі.

Кездейсоқ шаманы күтуоның «орталық» мағынасын белгілейді. Дискретті кездейсоқ шама үшін математикалық күту $x_1,\dots ,\ x_n$ мәндерінің және осы мәндерге сәйкес келетін $p_1,\dots,\ p_n$ ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысы ретінде есептеледі, яғни : $M\сол(X\оң)=\сома ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Ағылшын тіліндегі әдебиеттерде $E\left(X\right)$ басқа белгісі қолданылады.

Математикалық күтудің қасиеттері$M\сол(X\оң)$:

1. $M\left(X\right)$ ең кіші және арасында орналасқан ең жоғары мәндер$X$ кездейсоқ шама.
2. Тұрақты шаманың математикалық күтуі тұрақтының өзіне тең, яғни. $M\сол(C\оң)=C$.
3. Тұрақты коэффициентті математикалық күтудің белгісінен шығаруға болады: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Кездейсоқ шамалардың қосындысының математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің қосындысына тең: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

3-мысал . $2$ мысалынан $X$ кездейсоқ шамасының математикалық күтуін табайық.

$$M\сол(X\оң)=\қосынды^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\(6))+2\cdot ((1)\(6) үстінде )+3\cdot ((1)\(6) үстінде)+4\cdot ((1)\(6) үстінде)+5\cdot ((1)\(6) үстінде)+6\cdot ((1) )\артық (6))=3,5.$$

$M\left(X\right)$ $X$ кездейсоқ шамасының ең кіші ($1$) және ең үлкен ($6$) мәндерінің арасында жатқанын байқаймыз.

4-мысал . $X$ кездейсоқ шамасының математикалық күтуі $M\left(X\right)=2$ тең екені белгілі. $3X+5$ кездейсоқ шамасының математикалық күтуін табыңыз.

Жоғарыдағы қасиеттерді пайдалана отырып, $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ аламыз. cdot 2 +5=$11.

5-мысал . $X$ кездейсоқ шамасының математикалық күтуі $M\left(X\right)=4$ тең екені белгілі. $2X-9$ кездейсоқ шамасының математикалық күтуін табыңыз.

Жоғарыдағы қасиеттерді пайдалана отырып, $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ аламыз. cdot 4 -9=-1$.

3. Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы.

Математикалық күтулері бірдей кездейсоқ шамалардың мүмкін мәндері олардың орташа мәндерінің айналасында әртүрлі дисперсті болуы мүмкін. Мысалы, екі студенттік топта орта баллықтималдықтар теориясы бойынша емтихан үшін ол 4-ке тең болды, бірақ бір топта барлығы жақсы студенттер болып шықты, ал екінші топта тек С және үздік студенттер болды. Сондықтан кездейсоқ шаманың сандық сипаттамасының қажеттілігі туындайды, ол кездейсоқ шаманың мәндерінің оның математикалық күтуінің айналасында таралуын көрсетеді. Бұл қасиет дисперсия болып табылады.

Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы$X$ мынаған тең:

$$D\сол(X\оң)=\қосынды^n_(i=1)(p_i(\сол(x_i-M\сол(X\оң)\оң))^2).\ $$

Ағылшын әдебиетінде $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ белгісі қолданылады. Көбінесе $D\left(X\right)$ дисперсиясы $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) формуласы арқылы есептеледі. солға(X \оңға)\оңға))^2$.

Дисперсиялық қасиеттер$D\сол(X\оң)$:

1. Дисперсия әрқашан нөлден үлкен немесе оған тең, яғни. $D\сол(X\оң)\ge 0$.
2. Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең, яғни. $D\сол(C\оң)=0$.
3. Тұрақты факторды дисперсия белгісінен шығаруға болады, егер оның квадраты болса, яғни. $D\сол(CX\оң)=C^2D\сол(X\оң)$.
4. Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындысының дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең, яғни. $D\сол(X+Y\оң)=D\сол(X\оң)+D\сол(Y\оң)$.
5. Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың айырмашылығының дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең, яғни. $D\сол(X-Y\оң)=D\сол(X\оң)+D\сол(Y\оң)$.

6-мысал . $2$ мысалынан $X$ кездейсоқ шамасының дисперсиясын есептейік.

$$D\сол(X\оң)=\қосынды^n_(i=1)(p_i(\сол(x_i-M\сол(X\оң)\оң))^2)=((1)\үстінде (6))\cdot (\сол(1-3,5\оң))^2+((1)\(6) үстінде)\cdot (\сол(2-3,5\оң))^2+ \нүкте +( (1)\(6))\cdot (\сол(6-3,5\оң))^2=((35)\(12))\шамамен 2,92.$$

7-мысал . $X$ кездейсоқ шамасының дисперсиясы $D\left(X\right)=2$ тең екені белгілі. $4X+1$ кездейсоқ шамасының дисперсиясын табыңыз.

Жоғарыдағы қасиеттерді пайдалана отырып, $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ сол(X\оң)=16\cdot 2=32$.

8-мысал . $X$ кездейсоқ шамасының дисперсиясы $D\left(X\right)=3$ тең екені белгілі. $3-2X$ кездейсоқ шамасының дисперсиясын табыңыз.

Жоғарыдағы қасиеттерді пайдалана отырып, $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ сол(X\оң)=4\cdot 3=12$.

4. Дискретті кездейсоқ шаманың таралу функциясы.

Дискретті кездейсоқ шаманы үлестірім қатары түрінде көрсету әдісі жалғыз емес, ең бастысы, ол әмбебап емес, өйткені үзіліссіз кездейсоқ шаманы үлестіру қатары арқылы көрсету мүмкін емес. Кездейсоқ шаманы бейнелеудің тағы бір жолы бар – тарату функциясы.

Тарату функциясы$X$ кездейсоқ шама $F\left(x\right)$ функциясы деп аталады, ол $X$ кездейсоқ шамасының $x$ қандай да бір тұрақты мәннен кіші мәнді қабылдау ықтималдығын анықтайды, яғни $F\ сол(x\оң )=P\сол(X< x\right)$

Бөлу функциясының қасиеттері:

1. $0\le F\left(x\оң)\le 1$.
2. $X$ кездейсоқ шамасының $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ интервалынан мән алу ықтималдығы осының соңындағы үлестіру функциясының мәндерінің айырмашылығына тең. аралығы: $P\left(\альфа< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - кемімейтін.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\ to +\infty ) F\left(x) \right)=1\ )$.

9-мысал . $2$ мысалынан $X$ дискретті кездейсоқ шамасының таралу заңы үшін $F\left(x\right)$ тарату функциясын табайық.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(массив)$

Егер $x\le 1$ болса, онда, анық, $F\left(x\right)=0$ (соның ішінде $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Егер $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Егер $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Егер $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Егер $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Егер $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

$x > 6$ болса, $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\оң) +P\сол(X=4\оң)+P\сол(X=5\оң)+P\сол(X=6\оң)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Сонымен $F(x)=\left\(\бастау(матрица)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,\ 1< x\le 2,\\
1/3, \ at\ 2< x\le 3,\\
1/2,\ 3< x\le 4,\\
2/3, \ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ at\ 4< x\le 5,\\
1, \ үшін\ x > 6.
\соңы(матрица)\оңға.$

1. Тұрақты шаманың математикалық күтуі тұрақтының өзіне тең M(S)=C .
2. Тұрақты коэффициентті математикалық күту белгісінен шығаруға болады: M(CX)=CM(X)
3. Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық күтуі терминдердің математикалық күтулерінің қосындысына тең: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Теорема. n тәуелсіз сынақта А оқиғаларының пайда болу санының математикалық күтуі M(x) осы сынақтардың әрбір сынақта оқиғалардың пайда болу ықтималдығының көбейтіндісіне тең: M(x) = np.

Болсын X - кездейсоқ шама және M(X) – оның математикалық күтуі. Жаңа кездейсоқ шама ретінде айырмашылықты қарастырайық X - M(X).

Ауытқу – кездейсоқ шама мен оның математикалық күтуінің айырмашылығы.

Ауытқудың келесі таралу заңы бар:

Шешуі: Математикалық күтуді табайық:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Квадраттық ауытқудың таралу заңын жазайық:

Шешуі: M(x)-ның математикалық күтуін табайық: M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5

Х 2 кездейсоқ шамасының таралу заңын жазайық

X 2
П	0.1	0.6	0.3

Математикалық күтуді табайық M(x 2):M(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Қажетті дисперсия D(x)=M(x 2)- 2 =13,3-(3,5) 2 =1,05

Дисперсиялық қасиеттері:

1. Тұрақты шаманың дисперсиясы МЕН нөлге тең: D(C)=0
2. Тұрақты коэффициентті квадраттау арқылы дисперсия белгісінен шығаруға болады. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындысының дисперсиясы осы айнымалылардың дисперсияларының қосындысына тең. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Биномдық үлестірімнің дисперсиясы сынақтар саны мен бір сынақта оқиғаның пайда болуы мен болмау ықтималдығының көбейтіндісіне тең. D(X)=npq

Кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің оның орташа мәнінің айналасында дисперсиясын бағалау үшін дисперсиядан басқа кейбір басқа сипаттамалар да қолданылады. Оларға стандартты ауытқу жатады.

Кездейсоқ шаманың стандартты ауытқуы Xдисперсияның квадрат түбірі деп аталады:

σ(X) = √D(X) (4)

Мысал. Кездейсоқ шама Х үлестіру заңымен берілген

X
П	0.1	0.4	0.5

Стандартты ауытқуды табыңыз σ(x)

Шешуі: Х-тің математикалық үмітін табайық: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
X 2-нің математикалық үмітін табайық: M(x 2)=2 2 0,1+3 2 0,4+10 2 0,5=54
Дисперсияны табайық: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6,4 2 =13,04
Қажетті стандартты ауытқу σ(X)=√D(X)=√13,04≈3,61

Теорема. Өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың соңғы санының қосындысының стандартты ауытқуы осы айнымалылардың стандартты ауытқуларының квадраттарының қосындысының квадрат түбіріне тең:

Мысал. Сөреде 6 кітап, математикадан 3 кітап және физикадан 3 кітап бар. Үш кітап кездейсоқ таңдалады. Таңдалған кітаптар арасында математика бойынша кітаптар санының таралу заңын табыңыз. Осы кездейсоқ шаманың математикалық күтуін және дисперсиясын табыңыз.

D(X)= M(X 2) - M(X) 2 = 2,7 – 1,5 2 = 0,45

Белгілі болғандай, таралу заңы кездейсоқ шаманы толығымен сипаттайды. Дегенмен, көбінесе тарату заңы белгісіз және аз ақпаратпен шектелуге тура келеді. Кейде жалпы кездейсоқ шаманы сипаттайтын сандарды пайдалану одан да тиімдірек; мұндай сандар деп аталады кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары.

Маңызды сандық сипаттамалардың бірі – математикалық күту.

Математикалық күту шамамен кездейсоқ шаманың орташа мәніне тең.

Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуіоның барлық мүмкін мәндерінің және олардың ықтималдықтарының көбейтінділерінің қосындысы болып табылады.

Егер кездейсоқ шама ақырғы таралу қатарымен сипатталса:

X	x 1	x 2	x 3	…	x n
Р	б 1	б 2	б 3	…	r б

содан кейін математикалық күту M(X)формуламен анықталады:

Үздіксіз кездейсоқ шаманың математикалық күтуі мына теңдікпен анықталады:

мұндағы – кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығы X.

4.7-мысал.Сүйектерді лақтыру кезінде пайда болатын ұпайлар санының математикалық болжамын табыңыз.

Шешімі:

Кездейсоқ мән X 1, 2, 3, 4, 5, 6 мәндерін қабылдайды. Оның таралу заңын құрайық:

X
Р

Сонда математикалық күту:

Математикалық күтудің қасиеттері:

1. Тұрақты шаманың математикалық күтуі тұрақтының өзіне тең:

M (S) = S.

2. Тұрақты коэффициентті математикалық күту белгісінен шығаруға болады:

M (CX) = CM (X).

3. Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең:

M(XY) = M(X)M(Y).

4.8-мысал. Тәуелсіз кездейсоқ шамалар XЖәне Ыкелесі бөлу заңдарымен берілген:

X					Ы
Р	0,6	0,1	0,3		Р	0,8	0,2

XY кездейсоқ шамасының математикалық күтуін табыңыз.

Шешім.

Осы шамалардың әрқайсысының математикалық күтулерін табайық:

Кездейсоқ айнымалылар XЖәне Ытәуелсіз, сондықтан қажетті математикалық күту:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Салдары.Бірнеше өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең.

4. Екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық күтуі терминдердің математикалық күтулерінің қосындысына тең:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Салдары.Бірнеше кездейсоқ шамалардың қосындысының математикалық күтуі терминдердің математикалық күтулерінің қосындысына тең.

4.9-мысал.Нысанаға тию ықтималдығы тең 3 оқ атылады б 1 = 0,4; б2= 0,3 және б 3= 0,6. Жалпы соққылар санының математикалық күтуін табыңыз.

Шешім.

Бірінші кадрдағы соққылар саны кездейсоқ шама X 1, ол тек екі мәнді қабылдай алады: ықтималдықпен 1 ​​(соққы). б 1= 0,4 және 0 (жіберу) ықтималдығы бар q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Бірінші атудағы соққылар санының математикалық күтуі соққы ықтималдығына тең:

Сол сияқты, біз екінші және үшінші кадрлар үшін соққылар санының математикалық күтулерін табамыз:

M(X 2)= 0,3 және M(X 3)= 0,6.

Жалпы санысоққылар да үш кадрдың әрқайсысындағы соққылар сомасынан тұратын кездейсоқ шама:

X = X 1 + X 2 + X 3.

Қажетті математикалық күту XОны қосындының математикалық күтуі туралы теореманы пайдаланып табамыз.