Тік бұрышты параллелограммда. Параллелограммның бұрыштары мен ауданының қосындысын есептеңіз: қасиеттері мен сипаттамалары

«Параллелограмм» күрделі сөз? Ал оның артында өте қарапайым фигура жатыр.

Яғни, біз екі параллель сызықты алдық:

Тағы екеуі кесіп өтті:

Ал ішінде параллелограмм бар!

Параллелограмның қандай қасиеттері бар?

Параллелограмның қасиеттері.

Яғни, есепте параллелограмм берілсе, нені қолдануға болады?

Бұл сұраққа келесі теорема жауап береді:

Барлығын егжей-тегжейлі сызып көрейік.

Нені білдіреді теореманың бірінші нүктесі? Ал егер сізде параллелограмм болса, онда сіз міндетті түрде аласыз

Екінші нүкте, егер параллелограмм бар болса, онда тағы да, сөзсіз:

Ал, ақырында, үшінші тармақ, егер сізде параллелограмм болса, мынаны ұмытпаңыз:

Көрдіңіз бе, таңдаудың қандай байлығы бар? Мәселеде нені қолдану керек? Тапсырманың сұрағына назар аударуға тырысыңыз немесе барлығын бір-бірлеп көріңіз - кейбір «кілт» жасайды.

Енді өзімізге тағы бір сұрақ қойып көрейік: параллелограммды «көру арқылы» қалай тануға болады? Төртбұрышқа параллелограммның «атауы» беруге құқығымыз болуы үшін оған не болуы керек?

Бұл сұраққа параллелограмның бірнеше белгілері жауап береді.

Параллелограммның белгілері.

Назар аударыңыз! БАСТА.

Параллелограмм.

Назар аударыңыз: егер мәселеңізде кем дегенде бір белгіні тапсаңыз, онда сізде міндетті түрде параллелограмм бар және сіз параллелограмның барлық қасиеттерін пайдалана аласыз.

2. Тіктөртбұрыш

Бұл сізге жаңалық болмайды деп ойлаймын

Бірінші сұрақ: тіктөртбұрыш параллелограмм ба?

Әрине солай! Өйткені, ол бар - естеріңізде ме, біздің белгіміз 3?

Және бұл жерден, әрине, кез келген параллелограммдағы сияқты тіктөртбұрышта диагональдардың қиылысу нүктесі арқылы екіге бөлінгені шығады.

Бірақ тіктөртбұрыштың да бір ерекше қасиеті бар.

Төртбұрыш қасиеті

Неліктен бұл қасиет ерекше? Өйткені басқа ешбір параллелограмның диагональдары бірдей емес. Оны нақтырақ тұжырымдап көрейік.

Назар аударыңыз: тіктөртбұрыш болу үшін алдымен төртбұрыш параллелограммға айналуы керек, содан кейін диагональдардың теңдігін көрсету керек.

3. Гауһар

Тағы да сұрақ: ромб параллелограмм ба, жоқ па?

Толық оң жақпен - параллелограмм, өйткені оның және (біздің 2 мүмкіндігімізді есте сақтаңыз).

Және тағы да, ромб параллелограмм болғандықтан, ол параллелограмның барлық қасиеттеріне ие болуы керек. Бұл ромбта қарама-қарсы бұрыштар тең, қарама-қарсы қабырғалары параллель, ал диагональдары қиылысу нүктесінде екіге бөлінеді дегенді білдіреді.

Ромбтың қасиеттері

Суретке қара:

Тіктөртбұрыш жағдайындағы сияқты, бұл қасиеттер ерекше, яғни осы қасиеттердің әрқайсысы үшін бұл жай ғана параллелограмм емес, ромб деген қорытынды жасауға болады.

Алмаз белгілері

Тағы да назар аударыңыз: диагональдары перпендикуляр болатын төртбұрыш емес, параллелограмм болуы керек. Көз жеткізу:

Жоқ, әрине, оның диагональдары перпендикуляр болса да, ал диагональ бұрыштардың биссектрисасы және. Бірақ... қиылысу нүктесі бойынша диагональдар екіге бөлінбейді, сондықтан - параллелограмм ЕМЕС, демек РОмб ЕМЕС.

Яғни, шаршы бір уақытта тіктөртбұрыш пен ромб. Не болатынын көрейік.

Неге екені түсінікті ме? - ромб – А бұрышының биссектрисасы, оған тең. Бұл оның (сонымен қатар) екі бұрышқа бөлетінін білдіреді.

Бұл өте түсінікті: тіктөртбұрыштың диагональдары тең; Ромбтың диагональдары перпендикуляр, ал жалпы диагональдардың параллелограмы қиылысу нүктесі арқылы екіге бөлінеді.

ОРТАША ДЕҢГЕЙ

Төртбұрыштың қасиеттері. Параллелограмм

Параллелограмның қасиеттері

Назар аударыңыз! Сөздер » параллелограмның қасиеттері«бұл сіздің тапсырмаңызда болса Сонда барпараллелограмм болса, онда төмендегілердің барлығын қолдануға болады.

Параллелограмның қасиеттері туралы теорема.

Кез келген параллелограммда:

Неліктен мұның бәрі дұрыс, басқаша айтқанда, түсінейік ДӘЛЕЛДЕЙМІЗтеорема.

Неліктен 1) дұрыс?

Егер ол параллелограмм болса, онда:

крест-крест жатыр
крест сияқты жатыр.

Бұл (II критерийге сәйкес: және - жалпы.)

Міне, солай, солай! – дәлелдеді.

Бірақ айтпақшы! Біз де дәлелдедік 2)!

Неліктен? Бірақ (суретке қараңыз), яғни дәл осы себепті.

Тек 3 қалды).

Мұны істеу үшін сіз әлі де екінші диагональ салуыңыз керек.

Енді біз мұны II сипаттамаға сәйкес (бұрыштар мен олардың «арасындағы» жағы) көреміз.

Қасиеттері дәлелденген! Енді белгілерге көшейік.

Параллелограммның белгілері

Еске салайық, параллелограмм белгісі фигураның параллелограмм екенін қайдан білесіз?» деген сұраққа жауап береді.

Белгішелерде бұл келесідей:

Неліктен? Неліктен екенін түсіну жақсы болар еді - бұл жеткілікті. Бірақ қараңыз:

Неліктен 1 белгі дұрыс екенін түсіндік.

Ал, бұл одан да оңай! Қайтадан диагональ сызайық.

Білдіреді:

ЖӘНЕБұл да оңай. Бірақ... басқаша!

білдіреді, . Апыр-ай! Бірақ сонымен қатар - секантпен ішкі бір жақты!

Сондықтан бұл факт соны білдіреді.

Ал егер сіз екінші жағынан қарасаңыз, онда - секантпен ішкі бір жақты! Сондықтан.

Оның қаншалықты керемет екенін көріп тұрсың ба?!

Және тағы да қарапайым:

Дәл сол, және.

Назар аударыңыз:тапсаңыз тым болмасамәселеңізде параллелограмның бір белгісі болса, онда сізде бар дәлпараллелограмм және сіз пайдалана аласыз барлығыпараллелограмның қасиеттері.

Толық түсінікті болу үшін диаграмманы қараңыз:

Төртбұрыштың қасиеттері. Тіктөртбұрыш.

Тіктөртбұрыш қасиеттері:

1) тармақ өте айқын - 3 () белгісі жай орындалды

Ал 2 тармақ) - өте маңызды. Ендеше, соны дәлелдеп көрейік

Бұл екі жағынан (және - жалпы) білдіреді.

Үшбұрыштар тең болғандықтан, олардың гипотенузалары да тең болады.

Мұны дәлелдеді!

Ал елестетіп көріңізші, диагональдардың теңдігі тіктөртбұрыштың барлық параллелограммдардың ішіндегі ерекше қасиеті болып табылады. Яғни, бұл сөз рас ^

Неге екенін түсінейік?

Бұл дегеніміз (параллелограмның бұрыштарын білдіреді). Бірақ бұл параллелограмм екенін тағы бір рет еске түсірейік, сондықтан.

білдіреді, . Әрине, олардың әрқайсысынан шығады! Өйткені, олар барлығын беруі керек!

Сондықтан олар дәлелдеді, егер параллелограммкенеттен (!) диагональдар тең болып шығады, онда бұл дәл тіктөртбұрыш.

Бірақ! Назар аударыңыз!Бұл туралы параллелограммдар! Тек ешкім емесдиагональдары тең төртбұрыш тіктөртбұрыш, және текпараллелограмм!

Төртбұрыштың қасиеттері. Ромб

Тағы да сұрақ: ромб параллелограмм ба, жоқ па?

Толық оң жақта - параллелограмм, өйткені ол бар (Біздің 2 мүмкіндікті есте сақтаңыз).

Бірақ ерекше қасиеттері де бар. Оны тұжырымдап көрейік.

Ромбтың қасиеттері

Неліктен? Ромб параллелограмм болғандықтан, оның диагональдары екіге бөлінеді.

Неліктен? Иә, сондықтан!

Басқаша айтқанда, диагональдар ромбтың бұрыштарының биссектрисалары болып шықты.

Тіктөртбұрыш жағдайындағы сияқты, бұл қасиеттер ерекше, олардың әрқайсысы ромбтың да белгісі.

Алмаз белгілері.

Бұл неге? Және қараңыз,

Яғни екеуі деБұл үшбұрыштар тең қабырғалы.

Ромб болу үшін төртбұрыш алдымен параллелограммға «айнады», содан кейін 1 немесе 2 белгісін көрсетуі керек.

Төртбұрыштың қасиеттері. Шаршы

Яғни, шаршы бір уақытта тіктөртбұрыш пен ромб. Не болатынын көрейік.

Неге екені түсінікті ме? Шаршы – ромб – тең бұрыштың биссектрисасы. Бұл оның (сонымен қатар) екі бұрышқа бөлетінін білдіреді.

Неліктен? Ал, Пифагор теоремасын қолданайық...

ҚОРЫТЫНДЫ ЖӘНЕ НЕГІЗГІ ФОРМУЛАР

Параллелограммның қасиеттері:

Қарама-қарсы қабырғалары тең: , .
Қарама-қарсы бұрыштар тең: , .
Бір жағындағы бұрыштардың қосындысы: , .
Диагональдар қиылысу нүктесі бойынша екіге бөлінеді: .

Тіктөртбұрыш қасиеттері:

Тіктөртбұрыштың диагональдары тең: .
Тіктөртбұрыш - параллелограмм (тіктөртбұрыш үшін параллелограмның барлық қасиеттері орындалады).

Ромбтың қасиеттері:

Ромбтың диагональдары перпендикуляр: .
Ромбтың диагональдары оның бұрыштарының биссектрисалары болып табылады: ; ; ; .
Ромб – параллелограмм (ромб үшін параллелограмның барлық қасиеттері орындалады).

Шаршының қасиеттері:

Шаршы бір уақытта ромб пен тіктөртбұрыш, сондықтан шаршы үшін тіктөртбұрыш пен ромбтың барлық қасиеттері орындалады. Және де:

Міне, тақырып аяқталды. Егер сіз осы жолдарды оқып жатсаңыз, бұл сіздің өте керемет екеніңізді білдіреді.

Өйткені адамдардың 5%-ы ғана бір нәрсені өз бетінше меңгере алады. Ал аяғына дейін оқысаңыз, сіз осы 5%-дың ішіндесіз!

Енді ең бастысы.

Сіз бұл тақырып бойынша теорияны түсіндіңіз. Тағы да айтамын, бұл... бұл өте керемет! Сіз құрбыларыңыздың басым көпшілігінен жақсысыз.

Мәселе мынада, бұл жеткіліксіз болуы мүмкін ...

Не үшін?

Бірыңғай мемлекеттік емтиханды сәтті тапсырғаны үшін, колледжге бюджеттік және ЕҢ БАСТЫСЫ өмір бойы оқуға түскені үшін.

Мен сені ештеңеге сендірмеймін, тек бір нәрсені айтамын ...

Жақсы білім алған адамдар алмағандарға қарағанда әлдеқайда көп жалақы алады. Бұл статистика.

Бірақ бұл басты нәрсе емес.

Ең бастысы, олар БАҚЫТТЫ (осындай зерттеулер бар). Мүмкін, олардың алдында көптеген мүмкіндіктер ашылып, өмір нұрлана түседі? Білмеймін...

Бірақ өзің ойла...

Бірыңғай мемлекеттік емтиханда басқалардан жақсы болу және ақыр соңында... бақытты болу үшін не істеу керек?

ОСЫ ТАҚЫРЫП БОЙЫНША МӘСЕЛЕЛЕРДІ ШЕШУ АРҚЫЛЫ ҚОЛЫҢЫЗДЫ АЛЫҢЫЗ.

Емтихан кезінде сізден теория сұралмайды.

Саған қажет болады мәселелерді уақытқа қарсы шешу.

Ал, егер сіз оларды шешпеген болсаңыз (көп!), сіз бір жерде ақымақ қателік жібересіз немесе жай ғана үлгермейсіз.

Бұл спорттағыдай - сенімді жеңіске жету үшін оны бірнеше рет қайталау керек.

Коллекцияны қалаған жерден табыңыз, міндетті түрде шешімдермен, егжей-тегжейлі талдауменжәне шешіңіз, шешіңіз, шешіңіз!

Сіз біздің тапсырмаларды пайдалана аласыз (міндетті емес) және біз, әрине, оларды ұсынамыз.

Тапсырмаларымызды пайдалануды жақсарту үшін сіз қазір оқып жатқан YouClever оқулығының қызмет ету мерзімін ұзартуға көмектесуіңіз керек.

Қалай? Екі нұсқа бар:

Осы мақаладағы барлық жасырын тапсырмалардың құлпын ашыңыз -
Оқулықтың барлық 99 мақаласындағы барлық жасырын тапсырмаларға қол жеткізуді ашыңыз - Оқулықты сатып алыңыз - 899 рубль

Иә, біздің оқулығымызда осындай 99 мақала бар және олардағы барлық тапсырмалар мен жасырын мәтіндерге қол жеткізу бірден ашылады.

Барлық жасырын тапсырмаларға қол жеткізу сайттың БҮТІЛ қызмет ету мерзіміне беріледі.

Қорытындысында...

Тапсырмаларымыз ұнамаса, басқаларды табыңыз. Тек теориямен тоқтап қалмаңыз.

«Түсіндім» және «Мен шеше аламын» мүлдем басқа дағдылар. Саған екеуі де керек.

Мәселелерді тауып, оларды шешіңіз!

Параллелограмм – қарама-қарсы қабырғалары жұп болып параллель болатын төртбұрыш (233-сурет).

Ерікті параллелограмм үшін келесі қасиеттер орындалады:

1. Параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары тең.

Дәлелдеу. ABCD параллелограммында АС диагоналін саламыз. ACD және AC B үшбұрыштары тең, өйткені ортақ қабырғасы АС және оған іргелес екі жұп бірдей бұрыштары бар:

(AD және BC параллель түзулері бар көлденең бұрыштар сияқты). Бұл бірдей бұрыштарға қарама-қарсы жатқан тең үшбұрыштардың қабырғалары сияқты дегенді білдіреді, бұл дәлелдеуді қажет етеді.

2. Параллелограммның қарама-қарсы бұрыштары тең:

3. Параллелограмның іргелес бұрыштары, яғни бір қабырғасына іргелес бұрыштары, қосындылары және т.б.

2 және 3 қасиеттердің дәлелі параллель түзулер үшін бұрыштардың қасиеттерінен бірден алынады.

4. Параллелограммның диагональдары қиылысу нүктесінде бір-бірін екіге бөледі. Басқаша айтқанда,

Дәлелдеу. AOD және BOC үшбұрыштары конгруентті, өйткені олардың AD және BC қабырғалары тең (1-қасиет) және оларға іргелес бұрыштар (параллель түзулер үшін көлденең бұрыштар сияқты). Осыдан келіп, бұл үшбұрыштардың сәйкес қабырғалары тең болады: AO, бұл дәлелдеуді қажет етеді.

Осы төрт қасиеттің әрқайсысы параллелограммды сипаттайды немесе олар айтқандай, оның сипатты қасиеті болып табылады, яғни осы қасиеттердің кем дегенде біреуіне ие әрбір төртбұрыш параллелограмм болып табылады (демек, барлық қалған үш қасиетке ие).

Дәлелдеуді әр қасиет үшін бөлек жүргізейік.

1". Төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғалары жұпта тең болса, онда ол параллелограмм болады.

Дәлелдеу. ABCD төртбұрышының сәйкесінше AD және BC, AB және CD қабырғалары тең болсын (233-сурет). Айнымалы токтың диагоналін салайық. ABC және CDA үшбұрыштары тең қабырғалары бар үш жұп ретінде сәйкес болады.

Бірақ онда BAC және DCA бұрыштары тең және болады. ВС және AD қабырғаларының параллельдігі CAD және ACB бұрыштарының теңдігінен шығады.

2. Егер төртбұрыштың екі жұп қарама-қарсы бұрыштары тең болса, онда ол параллелограмм болады.

Дәлелдеу. рұқсат етіңіз. Содан бері AD және BC екі жағы параллель (түзулердің параллельдігі негізінде).

3. Тұжырымдама мен дәлелді оқырманға қалдырамыз.

4. Егер төртбұрыштың диагональдары қиылысу нүктесінде бір-бірін екіге бөлсе, онда төртбұрыш параллелограмм болады.

Дәлелдеу. Егер AO = OS, BO = OD (233-сурет), онда AOD және BOC үшбұрыштары тең болады, өйткені О төбесінде тең бұрыштары бар (вертикаль!), AO және CO, BO және DO тең қабырғалары жұптарының арасында орналасқан. Үшбұрыштардың теңдігінен AD және ВС қабырғалары тең деген қорытындыға келеміз. АВ және CD қабырғалары да тең, ал төртбұрыш G сипаттамалық қасиеті бойынша параллелограмм болып шығады.

Сонымен, берілген төртбұрыштың параллелограмм екенін дәлелдеу үшін төрт қасиеттің кез келгенінің дұрыстығын тексеру жеткілікті. Оқырман параллелограмның тағы бір сипатты қасиетін өз бетінше дәлелдеуге шақырылады.

5. Егер төртбұрыштың параллель қабырғалары тең болса, онда ол параллелограмм болады.

Кейде параллелограмның кез келген параллель қабырғалары оның табандары деп, ал қалған екеуін бүйір қабырғалары деп атайды. Параллелограмның екі қабырғасына перпендикуляр, олардың арасына салынған түзу кесінді параллелограммның биіктігі деп аталады. Суреттегі параллелограмм. 234 AD және BC жақтарына сызылған h биіктігі бар, оның екінші биіктігі кесіндімен берілген.

Сабақты қорытындылау.

Алгебра 8 сынып

Мұғалім Сысой А.Қ.

Мектеп 1828 ж

Сабақтың тақырыбы: «Параллелограмм және оның қасиеттері»

Сабақтың түрі: аралас

Сабақтың мақсаттары:

1) Жаңа ұғым – параллелограмм және оның қасиеттерін меңгеруді қамтамасыз ету

2) Геометриялық есептерді шығару дағдылары мен дағдыларын дамытуды жалғастыру;

3) Математикалық сөйлеу мәдениетін дамыту

Сабақ жоспары:

1. Ұйымдастыру кезеңі

(1-слайд)

Слайдта Льюис Кэрроллдың мәлімдемесі көрсетілген. Оқушыларға сабақтың мақсаты хабарланады. Оқушылардың сабаққа дайындығы тексеріледі.

2. Білімді жаңарту

(2-слайд)

Тақтада ауызша жұмысқа арналған тапсырмалар берілген. Мұғалім оқушыларды осы есептер туралы ойлануға және мәселені шешу жолын түсінетіндерге қолдарын көтеруге шақырады. Екі есеп шығарғаннан кейін бұрыштардың қосындысы туралы теореманы дәлелдеу үшін тақтаға оқушы шақырылады, ол сызба бойынша өз бетінше қосымша конструкциялар жасап, теореманы ауызша дәлелдейді.

Оқушылар көпбұрыштың бұрыштарының қосындысының формуласын қолданады:

3. Негізгі бөлім

(3-слайд)

Тақтада параллелограммның анықтамасы. Мұғалім жаңа фигура туралы айтады және сызбаны пайдалана отырып, қажетті түсініктемелерді жасай отырып, анықтамасын тұжырымдайды. Содан кейін презентацияның шашақ бөлігінде маркер мен сызғышты қолданып, параллелограммның қалай салу керектігін көрсетеді (бірнеше жағдайлар болуы мүмкін)

(4-слайд)

Мұғалім параллелограмның бірінші қасиетін тұжырымдайды. Оқушыларды сызбадан не берілгенін және нені дәлелдеу керектігін айтуға шақырады. Осыдан кейін берілген тапсырма тақтада пайда болады. Оқушылар (мұғалімнің көмегімен болуы мүмкін) қажетті теңдіктерді диагональ сызу арқылы алуға болатын үшбұрыштардың теңдіктері арқылы дәлелдеу керек деп болжайды (тақтада диагональ пайда болады). Әрі қарай оқушылар үшбұрыштардың неліктен тең екенін болжап, үшбұрыштардың тең таңбасын атайды (сәйкес пішін пайда болады). Олар үшбұрыштарды теңестіру үшін қажетті фактілерді ауызша жеткізеді (оларды атаған сайын сәйкес визуализация пайда болады). Келесі кезекте оқушылар конгруентті үшбұрыштардың қасиетін тұжырымдайды, ол дәлелдеудің 3-тармағы ретінде шығады, содан кейін теореманы дәлелдеуді өз бетінше ауызша аяқтайды.

(5-слайд)

Мұғалім параллелограмның екінші қасиетін тұжырымдайды. Тақтада параллелограммның сызбасы шығады. Мұғалім сурет арқылы не берілгенін, нені дәлелдеу керектігін айтуды ұсынады. Оқушылар ненің берілгенін және нені дәлелдеу керектігін дұрыс айтып бергеннен кейін теореманың шарты шығады. Оқушылар диагональ бөліктерінің теңдігін үшбұрыштардың теңдігі арқылы дәлелдеуге болатынын болжайдыAOBЖәне C.O.D.. Параллелограмның алдыңғы қасиетін пайдаланып, қабырғалары тең деп болжайдыABЖәне CD. Сонда олар тең бұрыштарды табу керектігін түсінеді және параллель түзулердің қасиеттерін пайдалана отырып, тең қабырғаларға іргелес бұрыштардың теңдігін дәлелдеу керек. Бұл кезеңдер слайдта бейнеленген. Теореманың ақиқаты үшбұрыштардың теңдігінен шығады – оны оқушылар айтады және слайдта сәйкес көрнекілік пайда болады.

(6-слайд)

Мұғалім параллелограммның үшінші қасиетін тұжырымдайды. Мұғалім сабақтың соңына дейін қалған уақытқа байланысты студенттерге бұл қасиетті өз бетімен дәлелдеуге мүмкіндік бере алады немесе оны тұжырымдаумен шектеліп, үй тапсырмасы ретінде дәлелдеудің өзін оқушыларға қалдыра алады. Дәлелдеу сабақтың басында қайталанған іштей сызылған көпбұрыштың бұрыштарының қосындысына немесе екі параллель түзудің ішкі бір жақты бұрыштарының қосындысына негізделуі мүмкін.ADЖәне б.з.д., және секант, мысалыAB.

4. Материалды бекіту

Бұл кезеңде оқушылар бұрын үйренген теоремаларды есептер шығару үшін пайдаланады. Оқушылар мәселені шешуге арналған идеяларды өз бетінше таңдайды. Жобалаудың көптеген мүмкін нұсқалары болғандықтан және олардың барлығы оқушылардың есептің шешімін қалай іздейтініне байланысты болғандықтан, есептердің шешімін визуализациялау жоқ, ал оқушылар шешімнің әр кезеңін жеке тақтаға өз бетінше сызады. шешімін дәптерге жазу арқылы.

(7-слайд)

Тапсырма шарты пайда болады. Мұғалім шартқа сәйкес «Берілген» тұжырымын құрастыруды ұсынады. Оқушылар шарттың қысқаша мәлімдемесін дұрыс жазғаннан кейін тақтада «Берілген» сөзі шығады. Мәселені шешу процесі келесідей болуы мүмкін:

BH биіктігін салайық (визуалды)

AHB үшбұрышы – тікбұрышты үшбұрыш. А бұрышы С бұрышына тең және 30 0 тең (параллелограммдағы қарама-қарсы бұрыштардың қасиеті бойынша). 2BH =AB (тікбұрышты үшбұрышта 30 0 бұрышқа қарама-қарсы жатқан катет қасиеті бойынша). Сонымен АВ = 13 см.

AB = CD, BC = AD (параллелограммдағы қарама-қарсы қабырғалардың қасиеті бойынша) Сонымен АВ = CD = 13 см. Параллелограммның периметрі 50 см болғандықтан, BC = AD = (50 – 26): 2 = 12 см.

Жауап: AB = CD = 13 см, ВС = AD = 12 см.

(8-слайд)

Тапсырма шарты пайда болады. Мұғалім шартқа сәйкес «Берілген» тұжырымын құрастыруды ұсынады. Содан кейін экранда «Берілген» пайда болады. Қызыл сызықтарды пайдалана отырып, төртбұрыш ерекшеленген, ол туралы оның параллелограмм екенін дәлелдеу керек. Мәселені шешу процесі келесідей болуы мүмкін:

Өйткені BK және MD бір түзуге перпендикуляр, онда BK және MD түзулері параллель.

Көршілес бұрыштар арқылы BM және KD түзулеріндегі ішкі бір жақты бұрыштардың қосындысы мен MD секантының қосындысы 180 0-ге тең екенін көрсетуге болады. Сондықтан бұл түзулер параллель.

BMDK төртбұрышының қарама-қарсы қабырғалары жұппен параллель болғандықтан, бұл төртбұрыш параллелограмм болады.

5. Сабақтың соңы. Нәтижелердің мінез-құлқы.

(8-слайд)

Слайдта жаңа тақырып бойынша сұрақтар шығады, оған оқушылар жауап береді.

Дәлелдеу

Ең алдымен айнымалы токтың диагоналін салайық. Біз екі үшбұрыш аламыз: ABC және ADC.

ABCD параллелограмм болғандықтан, келесі дұрыс:

AD || BC \Оң жақ көрсеткі \бұрыш 1 = \бұрыш 2көлденең жату сияқты.

AB || CD\Оң жақ көрсеткі\бұрыш3 =\бұрыш 4көлденең жату сияқты.

Демек, \triangle ABC = \triangle ADC (екінші критерий бойынша: және АС ортақ).

Сонымен, \triangle ABC = \triangle ADC, содан кейін AB = CD және AD = BC.

Дәлелденген!

2. Қарама-қарсы бұрыштар бірдей.

Дәлелдеу

Дәлелге сәйкес қасиеттері 1Біз мұны білеміз \бұрыш 1 = \бұрыш 2, \бұрыш 3 = \бұрыш 4. Сонымен, қарама-қарсы бұрыштардың қосындысы: \бұрыш 1 + \бұрыш 3 = \бұрыш 2 + \бұрыш 4. \triangle ABC = \triangle ADC екенін ескерсек, \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Дәлелденген!

3. Диагональдар қиылысу нүктесі арқылы екіге бөлінеді.

Дәлелдеу

Басқа диагональ сызайық.

Авторы мүлік 1қарама-қарсы жақтары бірдей екенін білеміз: AB = CD. Тағы бір рет көлденең жатқан тең бұрыштарға назар аударыңыз.

Осылайша, үшбұрыштардың теңдігінің екінші критерийіне сәйкес \triangle AOB = \triangle COD екені анық (екі бұрыш және олардың арасындағы қабырға). Яғни, BO = OD (бұрыштарға қарсы \ бұрыш 2 және \ бұрыш 1) және AO = OC (сәйкесінше \ бұрыш 3 және \ бұрыш 4 бұрыштарға қарсы).

Дәлелденген!

Параллелограммның белгілері

Егер сіздің мәселеңізде бір ғана мүмкіндік болса, онда фигура параллелограмм болып табылады және сіз бұл фигураның барлық қасиеттерін пайдалана аласыз.

Жақсырақ есте сақтау үшін параллелограмм белгісі келесі сұраққа жауап беретінін ескеріңіз - «қалай білуге болады?». Яғни, берілген фигураның параллелограмм екенін қалай анықтауға болады.

1. Параллелограмм деп екі қабырғасы тең және параллель төртбұрышты айтады.

AB = CD; AB || CD\Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Дәлелдеу

Толығырақ қарастырайық. Неліктен AD || BC?

\triangle ABC = \triangle ADC бойынша мүлік 1: AB = CD, AC - ортақ және \бұрыш 1 = \бұрыш 2 параллель AB және CD және АС секантымен көлденең жатқан.

Бірақ егер \triangle ABC = \triangle ADC , онда \angle 3 = \angle 4 (тиісінше AB және CD-ге қарама-қарсы жатыр). Сондықтан AD || BC (\бұрыш 3 және \бұрыш 4 - көлденең жатқандар да тең).

Бірінші белгі дұрыс.

2. Параллелограмм – қарама-қарсы қабырғалары тең төртбұрыш.

AB = CD, AD = BC \Оң жақ ABCD - параллелограмм.

Дәлелдеу

Осы белгіні қарастырайық. Айнымалы токтың диагоналін тағы да салайық.

Авторы мүлік 1\triangle ABC = \triangle ACD .

Бұдан былай шығады: \бұрыш 1 = \бұрыш 2 \оң жақ көрсеткі AD || б.з.д.Және \бұрыш 3 = \бұрыш 4 \Оң жақ көрсеткі AB || CD, яғни ABCD параллелограмм болып табылады.

Екінші белгі дұрыс.

3. Параллелограмм – қарама-қарсы бұрыштары тең төртбұрыш.

\ бұрыш A = \ бұрыш C , \ бұрыш B = \ бұрыш D \ Оң жақ көрсеткі ABCD- параллелограмм.

Дәлелдеу

2 \альфа + 2 \бета = 360^(\цирк)(себебі ABCD төртбұрыш болып табылады және шарт бойынша \ бұрыш A = \ бұрыш C , \ бұрыш B = \ бұрыш D).

\alpha + \beta = 180^(\circ) екені белгілі болды. Бірақ \alpha және \beta AB секантында ішкі бір жақты.

Ал \alpha + \beta = 180^(\circ) болуы да AD || б.з.д.

Сонымен қатар, \alpha және \beta AD секантында ішкі бір жақты. Және бұл AB || дегенді білдіреді CD.

Үшінші белгі дұрыс.

4. Параллелограмм деп диагональдары қиылысу нүктесі арқылы екіге бөлінген төртбұрышты айтады.

AO = OC; BO = OD\Оң жақ көрсеткі параллелограмм.

Дәлелдеу

BO = OD; AO = OC , \бұрыш 1 = \бұрыш 2 тік \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD, \Оң жақ көрсеткі \бұрыш 3 = \бұрыш 4, және \Rightarrow AB || CD.

Сол сияқты BO = OD; AO = OC, \ бұрыш 5 = \ бұрыш 6 \ Оң жақ көрсеткі \ үшбұрыш AOD = \ үшбұрыш BOC \ Оң жақ көрсеткі \ бұрыш 7 = \ бұрыш 8, және \Rightarrow AD || б.з.д.

Төртінші белгі дұрыс.