Өрістерді анықтау принципі. Электр өрісінің кернеулігі мен потенциалы үшін суперпозиция принципі

Электростатиканың алдына қойған міндеттерінің бірі зарядтардың кеңістікте берілген стационарлық таралуы үшін өріс параметрлерін бағалау болып табылады. Ал суперпозиция принципі осындай мәселені шешудің нұсқаларының бірі болып табылады.

Суперпозиция принципі

Бір-бірімен әрекеттесетін үш нүктелік зарядтардың барын алайық. Тәжірибе көмегімен зарядтардың әрқайсысына әсер ететін күштерді өлшеуге болады. Бір зарядқа басқа екі заряд әсер ететін жалпы күшті табу үшін параллелограмм ережесі бойынша осы екеуінің әрқайсысының күштерін қосу керек. Бұл жағдайда логикалық сұрақ туындайды: зарядтардың әрқайсысына әсер ететін өлшенген күш және егер күштер Кулон заңы бойынша есептелетін болса, басқа екі зарядтың күштерінің жиынтығы бір-біріне тең. Зерттеу нәтижелері бұл сұраққа оң жауап береді: шын мәнінде, өлшенген күш басқа зарядтар тарапынан Кулон заңы бойынша есептелген күштердің қосындысына тең. Бұл тұжырым тұжырымдар жиыны түрінде жазылады және суперпозиция принципі деп аталады.

Анықтама 1

Суперпозиция принципі:

• егер басқа зарядтар болса, екі нүктелік зарядтың өзара әрекеттесу күші өзгермейді;
• нүктелік зарядқа басқа екі нүктелік зарядтан әсер ететін күш, екіншісі жоқ кезде нүктелік зарядтардың әрқайсысынан оған әсер ететін күштердің қосындысына тең.

Заряд өрістерінің суперпозициясы принципі электр тогы сияқты құбылысты зерттеудің негіздерінің бірі болып табылады: оның маңыздылығы Кулон заңының маңыздылығымен салыстырылады.

N зарядтарының жиынтығы (яғни, бірнеше өріс көздері) туралы айтатын болсақ, сынақ зарядының жалпы күші q, формула бойынша анықтауға болады:

F → = ∑ i = 1 N F i a → ,

мұндағы F i a → зарядқа әсер ететін күш qзаряд q i егер басқа N - 1 заряд болмаса.

Нүктелік зарядтардың өзара әрекеттесу заңын қолданып суперпозиция принципін пайдалана отырып, өлшемдері шектеулі денеде болатын зарядтар арасындағы әрекеттесу күшін анықтауға болады. Осы мақсатта әрбір заряд кішігірім зарядтарға бөлінеді d q (біз оларды нүктелік зарядтар деп қарастырамыз), содан кейін олар жұппен алынады; әрекеттесу күші есептеліп, соңында пайда болған күштердің векторлық қосылуы орындалады.

Суперпозиция принципінің өрістік интерпретациясы

Анықтама 2

Өрісті түсіндіру: Екі нүктелік зарядтың өріс кернеулігі - бұл зарядтардың әрқайсысы екіншісі болмаған кезде тудыратын қарқындылықтардың қосындысы.

Жалпы жағдайлар үшін шиеленістерге қатысты суперпозиция принципі келесі белгілерге ие:

E → = ∑ E i → ,

мұндағы E i → = 1 4 π ε 0 q i ε r i 3 r i → - i-ші нүктелік зарядтың интенсивтілігі, r i → - i-ші зарядтан кеңістіктің белгілі бір нүктесіне түсірілген вектордың радиусы. Бұл формула нүктелік зарядтардың кез келген санының өріс кернеулігі, егер басқалары болмаса, нүктелік зарядтардың әрқайсысының өріс кернеулігінің қосындысы екенін айтады.

Инженерлік тәжірибе тіпті өте жоғары өріс күштері үшін де суперпозиция принципіне сәйкестігін растайды.

Атомдар мен ядролардағы өрістер айтарлықтай күшке ие (10 11 - 10 17 В м тәртібі), бірақ бұл жағдайда да энергия деңгейлерін есептеу үшін суперпозиция принципі қолданылды. Бұл жағдайда есептеулердің нәтижелері үлкен дәлдікпен эксперименттік деректермен сәйкес келді.

Дегенмен, өте аз қашықтық (~ 10 - 15 м тәртібі бойынша) және өте күшті өрістер жағдайында суперпозиция принципі қанағаттандырылмайтынын да атап өткен жөн.

1-мысал

Мысалы, ауыр ядролардың бетінде ~ 10 22 В м ретті беріктікте суперпозиция принципі орындалады, ал 10 20 В м беріктікте өзара әрекеттесудің кванттық механикалық бейсызықтықтары пайда болады.

Зарядтың таралуы үздіксіз болған кезде (яғни дискреттілікті есепке алудың қажеті жоқ), өрістің жалпы кернеулігі мына формуламен беріледі:

E → = ∫ d E → .

Бұл жазбада интеграция зарядты бөлу аймағы бойынша жүзеге асырылады:

• зарядтар сызық бойымен таралғанда (τ = d q d l - зарядтың сызықтық таралу тығыздығы), интегралдау сызық бойымен жүзеге асырылады;
• зарядтарды бетке таратқанда (σ = d q d S - бетінің тығыздығыдистрибуциялар) интеграция жер үсті арқылы жүзеге асырылады;
• зарядтың көлемдік таралуымен (ρ = d q d V - көлемдік таралу тығыздығы), интеграция көлем бойынша жүзеге асырылады.

Суперпозиция принципі кеңістіктегі зарядтардың белгілі бір түрі үшін кеңістіктің кез келген нүктесі үшін E → табуға мүмкіндік береді.

2-мысал

Қабырғасы а болатын шаршының төбелерінде орналасқан q бірдей нүктелік зарядтар берілген. Қалған үш зарядтың әрбір зарядқа қандай күш әсер ететінін анықтау керек.

Шешім

1-суретте квадраттың төбелерінде берілген зарядтардың кез келгеніне әсер ететін күштерді бейнелейміз. Шартта зарядтардың бірдей екендігі көрсетілгендіктен, суреттеу үшін олардың кез келгенін таңдауға болады. q 1 зарядқа әсер ететін қосынды күшін жазайық:

F → = F 12 → + F 14 → + F 13 →.

F 12 → және F 14 → күштері шамасы бойынша тең, оларды келесідей анықтаймыз:

F 13 → = k q 2 2 a 2.

Сурет салу 1

Енді O X осінің бағытын белгілейік (1-сурет), F → = F 12 → + F 14 → + F 13 → теңдеуін құрастырайық, оған жоғарыда алынған күш модульдерін ауыстырып, содан кейін:

F = 2 k q 2 a 2 · 2 2 + k q 2 2 a 2 = k q 2 a 2 2 2 + 1 2.

Жауап:шаршының төбелерінде орналасқан берілген зарядтардың әрқайсысына әсер ететін күш F = k q 2 a 2 2 2 + 1 2 тең.

3-мысал

Жіңішке жіп бойымен біркелкі бөлінген электр заряды берілген (сызықтық тығыздығы τ). Жіптің соңынан оның жалғасы бойынша а қашықтықтағы өріс кернеулігін анықтайтын өрнекті жазу керек. Жіп ұзындығы – л .

Сурет салу 2

Шешім

Біздің бірінші қадамымыз жіптегі нүктелік зарядты бөлектеу болады d q. Ол үшін Кулон заңына сәйкес электростатикалық өрістің күшін көрсететін жазба құрастырайық:

d E → = k d q r 3 r → .

Берілген нүктеде барлық кернеу векторлары OX осі бойымен бірдей бағытқа ие болады, сонда:

d E x = k d q r 2 = d E.

Есептің шарты зарядтың берілген тығыздықпен жіп бойымен біркелкі таралуында және мынаны жазамыз:

Осы жазбаны бұрын жазылған өрнекке электростатикалық өріс кернеулігінің орнына қойып, интегралдаймыз және аламыз:

E = k ∫ a l + a τ d r r 2 = k τ - 1 r a l + a = k τ l a (l + a) .

Жауап:Көрсетілген нүктедегі өріс кернеулігі E = k τ l a (l + a) формуласымен анықталады.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Өрістер. Диполь өрісі

Q 1, Q 2,..., Q n стационарлық зарядтар жүйесімен құрылған электростатикалық өрістің әрбір нүктесіндегі интенсивтілік векторының Е модулін және бағытын анықтау әдісін қарастырайық.

Тәжірибе көрсеткендей, механикада қарастырылатын күш әрекетінің тәуелсіздігі принципі кулондық күштерге қолданылады (§ 6-ды қараңыз), яғни өрістен сыналатын зарядқа Q 0 әсер ететін нәтиже F күші F i күштерінің векторлық қосындысына тең. оған әрбір зарядтың Q жақтарымен қолданылады ;.

(79.1) сәйкес F = Q 0 E және F 1 = Q 0 E 1, мұндағы E - нәтижелі өрістің күші, ал E 1 - Q 1 зарядымен жасалған өрістің күші. . Соңғы өрнектерді (80.1) орнына қойып, аламыз

(80.2)

Формула (80.2) электростатикалық өрістердің суперпозиция (қосу) принципін өрнектейді, оған сәйкес зарядтар жүйесімен пайда болған өрістің E күші мынаған тең. геометриялық қосындызарядтардың әрқайсысымен берілген нүктеде жеке жасалған өріс кернеулігі.

Суперпозиция принципі электрлік дипольдің электростатикалық өрісін есептеу үшін қолданылады. Электрлік диполь – шамасы бірдей қарама-қарсы нүктелік зарядтар жүйесі (+Q, - Q), қашықтық лолардың арасында өрістің қарастырылатын нүктелеріне дейінгі қашықтық айтарлықтай аз. Теріс зарядтан оң зарядқа дейінгі диполь осі бойымен (екі заряд арқылы өтетін түзу сызық) бағытталған және олардың арасындағы қашықтыққа тең вектор диполь иіні l деп аталады. Вектор

(80.3)

бағыты бойынша диполь иінімен сәйкес келетін және |Q| зарядының 1 иіннің көбейтіндісіне тең, диполь немесе диполь моментінің электрлік моменті деп аталады (122-сурет).

мұндағы E + және E_ - сәйкесінше оң және теріс зарядтармен жасалған өріс кернеулігі. Бұл формуланы пайдалана отырып, біз диполь осінің кеңеюі бойындағы ерікті нүктеде және оның осінің ортасына перпендикулярда өріс кернеулігін есептейміз.

Суреттен көрініп тұрғандай нүктедегі диполь өрісінің кернеулігі Адиполь осі бойымен бағытталған және шамасы бойынша тең

Нүктеден қашықтықты белгілеу Адиполь осінің ортасына r арқылы вакуум үшін (79.2) формуласына сүйене отырып жаза аламыз

Диполь анықтамасына сәйкес, л/2 ≪ г, сондықтан

2. Ортасынан, нүктесінен осьтерге көтерілген перпендикулярдағы өріс кернеулігі IN(Cурет 123). Нүкте INалымдардан бірдей қашықтықта, сондықтан

мұндағы r» - нүктеден қашықтық INдиполь иінінің ортасына дейін. Диполь иығына және векторға тірелген тең қабырғалы үшбұрыштардың ұқсастығынан E in,Біз алып жатырмыз

(80.5)

(80.4) мәнін (80.S) өрнекке қойып, аламыз

E g векторы дипольдің электрлік моментінің векторына қарама-қарсы бағытқа ие (p векторы теріс зарядтан оң зарядқа бағытталған).

Электростатика үшін Гаусс теоремасы

Вакуумдағы өрістер

Электр зарядтар жүйесінің өріс кернеулігін электростатикалық өрістердің суперпозициясы принципі арқылы есептеуді қарқындылық векторының ағынын анықтайтын неміс ғалымы К.Гаусс (1777-1855) шығарған теореманы қолдану арқылы айтарлықтай жеңілдетуге болады. электр өрісіеркін жабық бет арқылы.

(79.3) формулаға сәйкес радиусы r сфералық бет арқылы қарқындылық векторының ағысы , нүктелік зарядты қамтитын Q , оның ортасында орналасқан (124-сурет), тең

Бұл нәтиже кез келген пішіннің жабық беті үшін жарамды. Шынында да, егер сіз шарды (124-сурет) ерікті тұйық бетімен қоршасаңыз, онда шарға енетін әрбір керілу сызығы да осы бет арқылы өтеді.

Егер ерікті пішінді тұйық бет зарядты қоршап тұрса (125-сурет), онда кез келген таңдалған керілу сызығы бетпен қиылыса, ол оған кіреді немесе шығады.

Ағынды есептеу кезінде қиылыстардың тақ саны ақырында бір қиылысуға дейін азаяды, өйткені ағын бетті тастайтын кернеу сызықтары үшін оң және бетке түсетін сызықтар үшін теріс болып саналады. Егер тұйық бет зарядты қабылдамаса, онда ол арқылы өтетін ағын нөлге тең болады, өйткені бетке түсетін керілу сызықтарының саны одан кететін керілу сызықтарының санына тең.

Осылайша, кез келген пішінді бет үшін, егер ол жабық болса және Q нүктелік зарядты қамтитын болса , Е векторының ағыны Q/e 0-ге тең болады , яғни

(81.1)

Ағынның таңбасы Q зарядының таңбасымен сәйкес келеді .

n зарядты қоршап тұрған ерікті беттің жалпы жағдайын қарастырайық. Суперпозиция принципіне сәйкес (80.2) барлық зарядтар тудыратын өріс кернеулігі Е әрбір зарядтың жеке жасаған өріс кернеулігінің қосындысына тең: . Сондықтан

(81.1) сәйкес қосынды белгісі астындағы интегралдардың әрқайсысы Q i /e 0-ге тең. . Демек,

(81.2)

(81.2) формула вакуумдегі электростатикалық өріс үшін Гаусс теоремасын өрнектейді: электростатикалық өріс күшінің векторының ағыны вакуумдаерікті тұйық бет арқылы осы беттің ішіндегі зарядтардың алгебралық қосындысына е 0 бөлінгенге тең. Бұл теореманы кез келген табиғаттағы векторлық өріс үшін орыс математигі М.В.Остроградский (1801-1862) математикалық жолмен, содан кейін электростатикалық өріске қатысты оған тәуелсіз - К.Гаусс шығарған.

Жалпы алғанда электр зарядтарыбелгілі бір көлемдік тығыздықпен p = dQ/dV «жағуға» болады , ғарыштың әр жерінде әртүрлі. Сонда белгілі бір көлемді V қамтитын тұйық беттің ішіндегі жалпы заряд S ,

(81.3)

(81.3) формуласын пайдаланып, Гаусс теоремасын (81.2) былай жазуға болады:

Бұл бірқатар жағдайларда қолданылатын ереже. Бұл физика ғылым ретінде құрылған жалпы физикалық заңдылықтардың бірі. Бұл оны әртүрлі жағдайларда қолданатын ғалымдар үшін керемет етеді.

Егер суперпозиция принципін жалпы мағынада қарастыратын болсақ, онда оған сәйкес бөлшекке әсер ететін сыртқы күштердің әсерінің қосындысы олардың әрқайсысының жеке мәндерінің қосындысы болады.

Бұл принцип әртүрлі сызықтық жүйелерге қолданылады, яғни. мінез-құлқын сызықтық қатынастар арқылы сипаттауға болатын жүйелер. Мысал ретінде сызықтық толқын белгілі бір ортада таралатын қарапайым жағдайды келтіруге болады, бұл жағдайда оның қасиеттері толқынның өзінен туындайтын бұзылулардың әсерінен де сақталады. Бұл қасиеттер үйлесімді құрамдастардың әрқайсысының әсерлерінің белгілі бір жиынтығы ретінде анықталады.

Қолдану аймақтары

Жоғарыда айтылғандай, суперпозиция принципінің қолдану аясы өте кең. Оның әсерін электродинамикадан анық көруге болады. Дегенмен, суперпозиция принципін қарастырған кезде физика оны белгілі бір постулат емес, электродинамика теориясының салдары деп санайтынын есте ұстаған жөн.

Мысалы, электростатикада бұл принцип зарядтар жүйесін зерттеу кезінде белгілі бір нүктеде әрбір зарядтың өріс күштерінің қосындысы болатын кернеуді тудырады. Бұл қорытынды тәжірибеде қолданылады, себебі ол электростатикалық әрекеттесудің потенциалдық энергиясын есептеуге болады. Бұл жағдайда әрбір жеке зарядтың потенциалдық энергиясын есептеу қажет болады.

Бұл вакуумда сызықты болатын Максвелл теңдеуімен расталады. Бұл сонымен қатар жарықтың шашырап кетпейтінін, бірақ сызықты таралатынын білдіреді, сондықтан жеке сәулелер бір-бірімен әсерлеспейді. Физикада бұл құбылысты көбінесе оптикада суперпозиция принципі деп атайды.

Сондай-ақ классикалық физикада суперпозиция принципі жеке қозғалу теңдеулерінің сызықтылығынан туындайтынын атап өткен жөн. сызықтық жүйелер, сондықтан ол шамамен алынған. Ол терең динамикалық принциптерге негізделген, бірақ оның жақындығы оны әмбебап та, іргелі де етпейді.

Атап айтқанда, күшті басқа теңдеулермен сипатталады, сызықтық емес, сондықтан принципті бұл жағдайларда қолдануға болмайды. Макроскопиялық та бұл принципке бағынбайды, өйткені ол сыртқы өрістердің әсеріне байланысты.

Дегенмен, күштердің суперпозиция принципі негізгі болып табылады кванттық физика. Егер басқа бөлімдерде ол кейбір қателермен қолданылса, онда кванттық деңгейөте дәл жұмыс істейді. Кез келген кванттық механикалық жүйе векторлардан бейнеленген сызықтық кеңістікжәне егер ол мойынсұнса сызықтық функциялар, онда оның күйі суперпозиция принципімен анықталады, яғни. әрбір күй мен толқындық функцияның суперпозициясынан тұрады.

Қолдану шегі өте шартты. Классикалық электродинамиканың теңдеулері сызықты, бірақ бұл негізгі ереже емес. Физиканың көптеген іргелі теориялары негізделеді сызықтық емес теңдеулер. Бұл оларда суперпозиция принципі орындалмайтынын білдіреді, оған кіреді жалпы теориясалыстырмалылық, кванттық хромодинамика және Ян-Миллс теориясы.

Сызықтылық принциптері ішінара ғана қолданылатын кейбір жүйелерде суперпозиция принципі де шартты түрде қолданылуы мүмкін, мысалы, әлсіз гравитациялық әсерлесулер. Сонымен қатар, атомдар мен молекулалардың өзара әрекеттесуін қарастырған кезде суперпозиция принципі де сақталмайды, бұл физикалық және молекулалардың әртүрлілігін түсіндіреді. химиялық қасиеттеріматериалдар.

Кернеу векторының мәні мен бағытын анықтау әдісін қарастырайық Естационарлық зарядтар жүйесімен құрылған электростатикалық өрістің әрбір нүктесінде q 1 , q 2 , ..., Q n .

Тәжірибе көрсеткендей, механикада талқыланған күштердің әрекетінің тәуелсіздігі принципі (§6 қараңыз) кулондық күштерге қолданылады, яғни. нәтижелі күш Ф, сынақ заряды бойынша өрістен әрекет ету Q 0, күштердің векторлық қосындысына тең Фмен оған Q i зарядтарының әрқайсысы жағынан қолдандым:

(79.1) сәйкес Ф=Q 0 ЕЖәне Ф i ,=Q 0 Емен, қайда Енәтижесінде алынған өрістің күші, және Е i – зарядпен құрылған өріс кернеулігі Qмен. Соңғы өрнектерді (80.1) орнына қойып, аламыз

(80.2) формуласы өрнектеледі электростатикалық өрістерді суперпозициялау (қосу) принципі,қай кернеуге сәйкес Езарядтар жүйесі жасаған нәтиже өрісі тең геометриялық қосындызарядтардың әрқайсысымен берілген нүктеде жеке жасалған өріс кернеулігі.

Суперпозиция принципі электрлік дипольдің электростатикалық өрісін есептеу үшін қолданылады. Электрлік диполь- модульдері бірдей екі нүктелік зарядтар жүйесі (+ Q, - Q), қашықтық лолардың арасында өрістің қарастырылатын нүктелеріне дейінгі қашықтық айтарлықтай аз. Теріс зарядтан оң зарядқа дейінгі диполь осі бойымен (екі заряд арқылы өтетін түзу сызық) бағытталған және олардың арасындағы қашықтыққа тең вектор деп аталады. дипольді қолл . Вектор

диполь иінімен бағытта сәйкес келеді және зарядтың көбейтіндісіне тең

| Q| иықта л , деп аталады электрлік дипольдік момент бнемесе дипольдік момент(Cурет 122).

Суперпозиция принципі бойынша (80.2), кернеу Еерікті нүктедегі диполь өрістері

Е=Е + + Е - ,

Қайда Е+ және Е- - сәйкесінше оң және теріс зарядтармен құрылған өріс кернеулігі. Осы формуланы пайдалана отырып, біз диполь осінің ұзаруы бойынша және оның осінің ортасына перпендикуляр бойынша өріс кернеулігін есептейміз.

1. Диполь осінің ұзаруы бойындағы өріс кернеулігінүктесінде А(Cурет 123). Суреттен көрініп тұрғандай нүктедегі диполь өрісінің кернеулігі Адиполь осі бойымен бағытталған және шамасы бойынша тең

Е А =Е + -Е - .

Нүктеден қашықтықты белгілеу Адиполь осінің ортасына l арқылы, вакуум үшін (79.2) формуласына сүйене отырып, жаза аламыз

Диполь анықтамасына сәйкес, л/2<

2. Ортасынан оське көтерілген перпендикулярдағы өріс кернеулігі,нүктесінде IN(Cурет 123). Нүкте INалымдардан бірдей қашықтықта, сондықтан

Қайда r" - нүктеден қашықтық INдиполь иінінің ортасына дейін. Тең қабырғалылардың ұқсастығынан-

берілген үшбұрыштардың диполь иығына және ев векторына негізделгенін аламыз

Е Б =Е + л/ r". (80.5)

(80.4) мәнін (80.5) өрнекке қойып, аламыз

Вектор Е Бдипольдің электрлік моментіне қарама-қарсы бағытқа ие (вектор Ртеріс зарядтан оң зарядқа бағытталған).

Электростатиканың негізгі мәселелерінің бірі зарядтардың кеңістікте берілген, стационарлық, таралуы үшін өріс параметрлерін бағалау болып табылады. Осындай мәселелерді шешу жолдарының бірі негізделген суперпозиция принципі . Оның мәні келесідей.

Егер өріс бірнеше нүктелік зарядтармен жасалса, онда сынақ заряды q басқа зарядтар болмағандай күшпен qk зарядымен әрекет етеді. Алынған күш өрнекпен анықталады:

– Бұл күштердің әрекетінің суперпозициясы немесе тәуелсіздігі принципі.

Өйткені , содан кейін сынақ заряды орналасқан нүктедегі өріс кернеулігі де болады суперпозиция принципіне бағынады :

(1.4.1)

Бұл қатынас суперпозиция немесе принципін білдіреді электр өрістерінің суперпозициясы және электр өрісінің маңызды қасиетін білдіреді. Алынған өрістің күші, нүктелік зарядтар жүйесі, олардың әрқайсысының жеке берілген нүктеде жасаған өріс кернеуліктерінің векторлық қосындысына тең.

Зарядтар арасындағы қашықтық тең екі зарядтың электр жүйесі жасаған өріс жағдайында суперпозиция принципін қолдануды қарастырайық. л(1.2-сурет).

Күріш. 1.2

Әртүрлі зарядтармен жасалған өрістер бір-біріне әсер етпейді, сондықтан бірнеше зарядтардың пайда болған өрісінің векторын векторлық қосу ережесін (параллелограмм ережесі) пайдалана отырып табуға болады.

.

, және , мәселе симметриялы болғандықтан.

Бұл жағдайда

Және

Демек,

(1.4.2)

Басқа мысалды қарастырайық. Электростатикалық өрістің кернеулігін табайық Еекі оң зарядпен құрылған q 1Және q 2нүктесінде А, қашықтықта орналасқан r 1біріншіден және r 2екінші зарядтан (1.3-сурет).

Күріш. 1.3

; .

Косинус теоремасын қолданайық:

(1.4.3)

Қайда .

Егер өріс жасалса нүктелік зарядтар емес, содан кейін мұндай жағдайларда әдеттегі техниканы қолданыңыз. Дене шексіз аз элементтерге бөлінеді және әрбір элемент жасаған өріс күші анықталады, содан кейін бүкіл денеге біріктіріледі:

(1.4.4)

Зарядталған элементке байланысты өріс кернеулігі қайда. Интеграл дененің пішініне байланысты сызықты, аумақты немесе көлемді болуы мүмкін. Мұндай мәселелерді шешу үшін заряд тығыздығының сәйкес мәндерін пайдаланыңыз:
– зарядтың сызықтық тығыздығы, С/м өлшенген;
– зарядтың беттік тығыздығы, С/м2 өлшенген;
– зарядтың көлемдік тығыздығы, С/м3 өлшенеді.

Егер өріс күрделі пішінді зарядталған және біркелкі емес зарядталған денелер арқылы жасалса, онда суперпозиция принципін қолдана отырып, алынған өрісті табу қиын.

формула (1.4.4) векторлық шама екенін көреміз:

(1.4.5)

Сондықтан интеграция оңай болмауы мүмкін. Сондықтан есептеулер үшін басқа әдістер жиі пайдаланылады, біз оларды келесі тақырыптарда талқылаймыз. Дегенмен, кейбір салыстырмалы түрде қарапайым жағдайларда бұл формулалар аналитикалық есептеуге мүмкіндік береді.

Мысал ретінде қарастыруға болады зарядтың сызықтық таралуы немесе зарядтың айналмалы таралуы.

Нүктедегі электр өрісінің кернеулігін анықтайық А(1.4-сурет) шексіз ұзын, сызықты, біркелкі таралған зарядтан х қашықтықта. Ұзындық бірлігіне келетін заряд λ болсын.

Күріш. 1.4

Өткізгіштің ұзындығымен салыстырғанда x аз деп есептейміз. У осі өткізгішпен сәйкес келетіндей координаталар жүйесін таңдайық. Ұзындық элементі dy, зарядты тасымалдайды Бұл элементтің нүктеде жасаған электр өрісінің кернеулігі А.