Кеңістіктегі түзулердің параллелдігі. (2019)

Бұл сабақта біз кеңістіктегі параллель түзулер тақырыбы бойынша негізгі анықтамалар мен теоремалар береміз.
Сабақтың басында біз кеңістіктегі параллель түзулердің анықтамасын қарастырамыз және кеңістіктегі кез келген нүкте арқылы берілгенге параллель бір ғана түзу жүргізуге болады деген теореманы дәлелдейміз. Әрі қарай жазықтықты қиып өтетін екі параллель түзу туралы лемманы дәлелдейміз. Ал оның көмегімен үшінші түзуге параллель екі түзу туралы теореманы дәлелдейміз.

Тақырыбы: Түзулер мен жазықтықтардың параллелдігі

Сабақтың тақырыбы: Кеңістіктегі параллель түзулер. Үш сызықтың параллелдігі

Біз планиметрияда параллель түзулерді зерттедік. Енді кеңістіктегі параллель түзулерді анықтап, сәйкес теоремаларды дәлелдеу керек.

Анықтама: Кеңістіктегі екі түзу бір жазықтықта жатса және қиылыспаса, олар параллель деп аталады (1. сурет).

Параллель түзулердің белгіленуі: a || б.

1. Қандай түзулер параллель деп аталады?

2. Берілген екі параллель түзуді қиып өтетін барлық түзулердің бір жазықтықта жататынын дәлелдеңдер.

3. Түзу сызықтарды қиып өтеді ABЖәне б.з.д.тік бұрыштарда. Түзулер параллель ме? ABЖәне б.з.д.?

4. Геометрия. 10-11 сынып: оқушыларға арналған оқулық оқу орындары(негізгі және профиль деңгейлері) / И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. - 5-ші басылым, түзетілген және кеңейтілген - М.: Мнемосине, 2008. - 288 б. : науқас.

Бұл мақалада біз үш өлшемді кеңістіктегі түзу ұғымын түсінеміз, опцияларды қарастырамыз салыстырмалы позициятүзулер және кеңістіктегі түзуді анықтаудың негізгі әдістеріне тоқталайық. Жақсырақ түсіну үшін біз графикалық иллюстрацияларды береміз.

Бетті шарлау.

Кеңістіктегі түзу – бұл ұғым.

Кеңістіктегі параллель түзулердің анықтамасын бергеннен кейін олардың маңыздылығына байланысты түзудің бағыт векторлары туралы айту керек. Осы түзудің бойында немесе оған параллель болатын түзудің бойында жатқан кез келген нөлдік емес вектор түзудің бағыт векторы деп аталады. Кеңістіктегі түзуге қатысты есептерді шығарғанда түзудің бағыт векторы өте жиі қолданылады.

Ақырында, үш өлшемді кеңістіктегі екі сызық қиылысуы мүмкін. Кеңістіктегі екі түзу бір жазықтықта жатпаса, қисық деп аталады. Екі түзудің кеңістіктегі бұл салыстырмалы орналасуы бізді қиылысатын түзулер арасындағы бұрыш ұғымына әкеледі.

Кеңістікте түзу сызықты анықтау әдістері.

Кеңістікте түзу сызықты бірегей түрде анықтаудың бірнеше жолы бар. Негізгілерін тізіп көрейік.

Аксиомадан түзу екі нүкте арқылы өтетінін білеміз, тек бір ғана. Осылайша, егер біз кеңістікте екі нүктені белгілесек, бұл бізге олар арқылы өтетін түзуді бір мәнді анықтауға мүмкіндік береді.

Егер үш өлшемді кеңістікке тікбұрышты координаталар жүйесі енгізілсе және оның екі нүктесінің координаталарын көрсету арқылы түзу нақтыланса, онда берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін құруға мүмкіндік аламыз.

Кеңістіктегі түзуді анықтаудың екінші әдісі теоремаға негізделген: берілген түзудің бойында жатпайтын кеңістіктің кез келген нүктесі арқылы берілгенге параллель түзу өтеді және тек біреу ғана.

Сонымен, егер түзуді (немесе осы түзудің кесіндісін) және онда жатпайтын нүктені көрсетсек, онда берілгенге параллель және берілген нүкте арқылы өтетін түзуді бірегей түрде анықтаймыз.

Түзу өтетін нүктені және оның бағыт векторын көрсетуге болады. Бұл сонымен қатар түзу сызықты бір мәнді анықтауға мүмкіндік береді.

Егер түзу қозғалмайтын тікбұрышты координаталар жүйесіне қатысты осылай көрсетілсе, онда оның кеңістіктегі түзудің канондық теңдеулерін және кеңістіктегі түзудің параметрлік теңдеулерін бірден жаза аламыз.

Кеңістіктегі түзуді анықтаудың келесі әдісі стереометрия аксиомасына негізделген: егер екі жазықтықтың ортақ нүктесі болса, онда оларда осы жазықтықтардың барлық ортақ нүктелері жататын ортақ түзу болады.

Осылайша, қиылысатын екі жазықтықты анықтау арқылы біз кеңістіктегі түзуді бірегей түрде анықтаймыз.

Кеңістіктегі түзуді анықтаудың тағы бір жолы теоремадан туындайды (оның дәлелін осы мақаланың соңында келтірілген кітаптардан табуға болады): егер жазықтық пен онда жатпайтын нүкте берілсе, онда бір түзу өтетін болады. осы нүкте арқылы және оған перпендикуляр берілген ұшақ.

Осылайша, түзуді анықтау үшін қажетті түзу перпендикуляр болатын жазықтықты және осы түзу өтетін нүктені көрсетуге болады.

Егер түзу енгізілген тікбұрышты координаталар жүйесіне қатысты осылай көрсетілсе, онда берілген жазықтыққа перпендикуляр берілген нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі туралы мақаланың материалын білу пайдалы болады.

Әдебиеттер тізімі.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 сыныптар: жалпы білім беретін оқу орындарына арналған оқулық.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Жалпы білім беретін мектептің 10-11 сыныптарына арналған оқулық.
• Бугров Я.С., Никольский С.М. Жоғары математика. Бірінші том: Элементтер сызықтық алгебражәне аналитикалық геометрия.
• Ильин В.А., Позняк Е.Г. Аналитикалық геометрия.

cleverstudent авторлық құқық

Барлық құқықтар сақталған.
Авторлық құқық туралы заңмен қорғалған. Сайттың ешбір бөлігін, оның ішінде ішкі материалдар мен сыртқы түрін авторлық құқық иесінің алдын ала жазбаша рұқсатынсыз кез келген нысанда көшіруге немесе пайдалануға болмайды.

Құпиялықты сақтау біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялылық тәжірибелерімізді қарап шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерге жатады.

Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыздың кейбір мысалдары берілген.

Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:

• Сіз сайтқа өтінім берген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, мекен-жайыңызды жинай аламыз Электрондық поштажәне т.б.

Жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:

• Біз жинаған Жеке ақпаратСізбен байланысуға және бірегей ұсыныстар, акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы хабарлауға мүмкіндік береді.
• Уақыт өте келе біз сіздің жеке ақпаратыңызды маңызды хабарламалар мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалана аламыз.
• Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
• Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе ұқсас науқанға қатыссаңыз, біз сіз берген ақпаратты осындай бағдарламаларды басқару үшін пайдалана аламыз.

Ақпаратты үшінші тұлғаларға ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.

Ерекшеліктер:

• Қажет болған жағдайда – заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізу және/немесе қоғамдық өтініштер немесе өтініштер негізінде мемлекеттік органдарРесей Федерациясының аумағында - жеке ақпаратыңызды ашыңыз. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық маңызды мақсаттар үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
• Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті мұрагерге үшінші тарапқа бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалудан, ұрланудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.

Компания деңгейінде құпиялылығыңызды құрметтеу

Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік стандарттарын хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибесін қатаң түрде орындаймыз.

Кеңістіктегі екі сызық әртүрлі жолмен орналасуы мүмкін. Ең алдымен, екі түзудің ортақ нүктесі болуы мүмкін. Сонда олар бір жазықтықта жатқаны анық. Шынында да, мұндай жазықтықты тұрғызу үшін оны үш нүкте арқылы сызу жеткілікті: көрсетілген түзулердің қиылысуының А нүктесі (323-сурет) және түзулерде сәйкесінше алынған С және В нүктелері. Әрбір түзумен екі ортақ нүкте болса, жазықтықта екі түзу де болады.

Енді бұл сызықтардың ортақ нүктелері болмасын. Бұл олардың параллель екенін білдірмейді, өйткені параллелизмнің анықтамасы түзулердің бір жазықтыққа жататынын шарттайды. Біздің түзулеріміздің орны туралы сұрақты шешу үшін, мысалы, олардың біреуі арқылы K жазықтығы мен еркін алынған А нүктесін басқа түзуге жүргізейік.Екі жағдай мүмкін:

1) Құрылған жазықтықта бүкіл екінші түзу бар (324-сурет). Бұл жағдайда түзулер бір жазықтыққа жатады және қиылыспайды, сондықтан параллель болады.

2) Х жазықтығы түзуді А нүктесінде қиып өтеді. Сонда екі түзу де бір жазықтықта жатпайды. Мұндай сызықтар қиылысатын сызықтар деп аталады (325-сурет).

Сонымен, екі жолдың өзара орналасуының үш негізгі ықтимал жағдайы бар.

1. Түзулер бір жазықтықта жатады және қиылысады.

2. Түзулер бір жазықтықта жатады және параллель.

3. Түзулер қиылысады, яғни бір жазықтықта жатпайды.

Мысал. Текшенің 12 шетінен жұп түзу сызықтар жасауға болады. Оның 24 жұбы қиылысатын, 24 жұбы қиылысатын және 18 жұп параллель түзулер. Оқырман мұның дұрыстығын үлгіден немесе сызбадан тексереді.

Кеңістікте параллель түзулердің постулаты күшінде болатынын ескеріңіз:

Түзуден тыс нүкте арқылы оған параллель бір ғана түзу өтеді.

Шындығында, түзу және оның сыртында берілген нүкте берілгенге параллель қалаған түзудің қандай жазықтықта орналасуын анықтайды, оның бірегейлігі параллельдер постулатынан туындайды.

Параллель түзулердің қасиеттеріне қатысты екі белгілі планиметрия ұсынысы кеңістік жағдайына арнайы негіздеуді қажет ететінін ескеріңіз (232-тармақты қараңыз).

Егер екі түзу үшіншіге параллель болса, онда олар бір-біріне параллель болады; сәйкес қабырғалары параллель және бірдей бағытталған екі бұрыш тең.

Осы ұсыныстардың екіншісіне келетін болсақ, қиылысатын түзулер арасындағы бұрыштың анықтамасы соған негізделетінін атап өтеміз: екі қиылысу түзудің арасындағы бұрыш деп оларға параллель және ерікті М нүктесі арқылы жүргізілген екі түзудің арасындағы бұрышты айтамыз. Әлбетте, мұндай анықтамасы бұрыш М нүктесін таңдаудан тәуелсіз деген болжамға негізделген (232-тармақты қараңыз).

Берілген нүктеден түзуге түсірілген перпендикуляр деп берілген нүктеден берілген түзуге тік бұрыш жасап, оны қиып өтетін түзу түсініледі. Түзуде жатпайтын нүкте арқылы оған жалғыз перпендикуляр жүргізуге болады.

Шынында да, қажетті перпендикуляр берілген түзумен және нүктемен анықталған жазықтықта жатуы керек, сондықтан оған планиметрияның ережелері қолданылады. Дегенмен, түзудің бойында жатқан нүктеден оған шексіз перпендикулярлар жүргізуге болады: осы түзу арқылы жүргізілген әрбір жазықтықта бір-бірден.