Екі өлшемді кездейсоқ шаманың шартты таралу заңы. Екі өлшемді кездейсоқ шамалар

Нәтижені 9.6-кесте түрінде ұсыну ыңғайлырақ.

9.6-кесте

Бастапқы моменттердің формулаларын және 9.3 және 9.4 кестелерінің нәтижелерін қолданып, компоненттердің математикалық күтулерін есептейік. XЖәне Ы:

Екінші бастапқы момент пен кестенің нәтижелерін пайдаланып дисперсияларды есептейміз. 9.3 және 9.4:

Ковариацияны есептеу үшін TO(X,Y) бастапқы момент арқылы ұқсас формуланы қолданамыз:

Корреляция коэффициенті мына формуламен анықталады:

Қажетті ықтималдық сәйкес теңсіздікпен анықталған жазықтықтағы аймаққа түсу ықтималдығы ретінде анықталады:

9.2. Кеме «SOS» хабарламасын жібереді, оны екі радиостанция қабылдай алады. Бұл сигналды бір радиостанция екіншісінен тәуелсіз қабылдай алады. Бірінші радиостанцияның сигналды қабылдау ықтималдығы 0,95; сигналды екінші радиостанция қабылдау ықтималдығы 0,85. Екі радиостанцияның сигналды қабылдауын сипаттайтын екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу заңын табыңыз. Бөлу функциясын жазыңыз.

Шешімі:Болсын X– сигналды бірінші радиостанция қабылдау фактісінен тұратын оқиға. Ы– оқиға сигналды екінші радиостанция қабылдайды.

Көп мағыналы .

X=1 – бірінші радиостанция қабылдаған сигнал;

X=0 – сигналды бірінші радиостанция қабылдамады.

Көп мағыналы .

Ы=l – екінші радиостанция қабылдаған сигнал,

Ы=0 – сигналды екінші радиостанция қабылдамайды.

Сигналдың бірінші немесе екінші радиостанциялар қабылдамауы ықтималдығы:

Бірінші радиостанцияның сигналды қабылдау ықтималдығы:

Сигналдың екінші радиостанцияға түсу ықтималдығы:

Сигналдың бірінші де, екінші де радиостанцияларды қабылдау ықтималдығы мынаған тең: .

Сонда екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу заңы мынаған тең болады:

X,ж) мағынасы Ф(X,ж) кездейсоқ шаманың сол мүмкін мәндерінің ықтималдықтарының қосындысына тең ( X,Ы), көрсетілген тіктөртбұрыштың ішіне түсетін.

Содан кейін тарату функциясы келесідей болады:

9.3. Екі компания бірдей өнім шығарады. Әрқайсысы бір-бірінен тәуелсіз өндірісті жаңғыртуды шеше алады. Бірінші фирманың мұндай шешім қабылдау ықтималдығы 0,6. Екінші фирманың мұндай шешім қабылдау ықтималдығы 0,65. Екі фирманың өндірісін модернизациялау шешімін сипаттайтын екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу заңын жазыңыз. Бөлу функциясын жазыңыз.

Жауап:Тарату заңы:

Координаттары бар нүктенің әрбір тіркелген мәні үшін ( x,ж) мән көрсетілген тіктөртбұрыштың ішіне түсетін мүмкін мәндердің ықтималдықтарының қосындысына тең .

9.4. Автомобиль қозғалтқыштарына арналған поршеньді сақиналар автоматты токарлық станокта жасалады. Сақинаның қалыңдығы өлшенеді (кездейсоқ мән X) және тесік диаметрі (кездейсоқ мән Ы). Барлық поршеньдік сақиналардың шамамен 5% ақаулы екені белгілі. Оның үстіне ақаулардың 3%-ы стандартты емес саңылау диаметрлерінен, 1%-ы стандартты емес қалыңдығына байланысты, ал 1%-ы екі негізде де қабылданбайды. Табу: екі өлшемді кездейсоқ шаманың бірлескен таралуы ( X,Ы); компоненттердің бір өлшемді үлестірімдері XЖәне Ы;компоненттердің математикалық күтулері XЖәне Ы; құраушылар арасындағы корреляция моменті және корреляция коэффициенті XЖәне Ыекі өлшемді кездейсоқ шама ( X,Ы).

Жауап:Тарату заңы:

; ; ; ; ; .

9.5. Зауыт өнімдері ақауға байланысты ақаулы А 4% құрайды және ақауға байланысты IN– 3,5%. Стандартты өндіріс 96% құрайды. Барлық өнімдердің қанша пайызында ақаулардың екі түрі де бар екенін анықтаңыз.

9.6. Кездейсоқ мән ( X,Ы)тұрақты тығыздықпен бөлінген алаңның ішінде Р, төбелерінің координаталары (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Кездейсоқ шаманың таралу тығыздығын анықтаңыз ( X,Ы) және шартты таралу тығыздықтары Р(X\сағ), Р(сағ\X).

Шешім.Ұшақта тұрайық x 0жберілген квадрат (9.5-сурет) және берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін пайдаланып, ABCD квадратының қабырғаларының теңдеулерін анықтаңыз: Төбелердің координаталарын ауыстыру АЖәне INжағының теңдеуін ретімен аламыз AB: немесе .

Сол сияқты қабырғаның теңдеуін табамыз Күн: ;жақтар CD: және жақтары Д.А.: . : .D X, Ы) - радиустың бастауында орналасқан жарты шар Р.Ықтималдықтың таралу тығыздығын табыңыз.

Жауап:

9.10. Дискретті екі өлшемді кездейсоқ шама берілген:

Табу: а) шартты таралу заңы X, бұл жағдайда у= 10;

б) шартты бөлу заңы Ы, бұл жағдайда x =10;

в) математикалық күту, дисперсия, корреляция коэффициенті.

9.11. Үздіксіз екі өлшемді кездейсоқ шама ( X,Ы)төбелері бар тікбұрышты үшбұрыштың ішінде біркелкі бөлінген ТУРАЛЫ(0;0), А(0;8), IN(8,0).

Табу: а) ықтималдықтың таралу тығыздығы;

Екі өлшемді кездейсоқ шама $(X,Y)$ берілсін.

Анықтама 1

$(X,Y)$ екі өлшемді кездейсоқ шамасының таралу заңы $(x_i,\ y_j)$ сандарының мүмкін жұптарының жиыны (мұндағы $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) және олардың ықтималдықтар $p_(ij)$ .

Көбінесе екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу заңы кесте түрінде жазылады (1-кесте).

Сурет 1. Екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу заңы.

Енді еске түсірейік тәуелсіз оқиғалардың ықтималдықтарын қосу теоремасы.

Теорема 1

$(\A)_1$, $(\A)_2$, ... ,$\(\A)_n$ тәуелсіз оқиғалардың ақырлы санының қосындысының ықтималдығы мына формуламен есептеледі:

Бұл формуланы пайдалана отырып, екі өлшемді кездейсоқ шаманың әрбір компоненті үшін таралу заңдарын алуға болады, яғни:

Осыдан екі өлшемді жүйенің барлық ықтималдықтарының қосындысы келесі формада болатыны шығады:

Екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу заңының тұжырымдамасымен байланысты мәселені егжей-тегжейлі (қадаммен) қарастырайық.

1-мысал

Екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу заңы келесі кестемен берілген:

2-сурет.

$X,\ Y$, $X+Y$ кездейсоқ шамаларының таралу заңдарын табыңыз және ықтималдықтардың жалпы қосындысы бірге тең екенін әрбір жағдайда тексеріңіз.

1. Алдымен $X$ кездейсоқ шамасының таралуын табайық. $X$ кездейсоқ шама $x_1=2, $ $x_2=3$, $x_3=5$ мәндерін қабылдай алады. Таралуды табу үшін 1 теореманы қолданамыз.

Алдымен $x_1$ ықтималдықтарының қосындысын төмендегідей табайық:

3-сурет.

Сол сияқты біз $P\left(x_2\right)$ және $P\left(x_3\right)$ табамыз:

\ \

4-сурет.

1. Енді $Y$ кездейсоқ шамасының таралуын табайық. $Y$ кездейсоқ шама $x_1=1, $$x_2=3$, $x_3=4$ мәндерін қабылдай алады. Таралуды табу үшін 1 теореманы қолданамыз.

Алдымен $y_1$ ықтималдықтарының қосындысын төмендегідей табайық:

5-сурет.

Сол сияқты біз $P\left(y_2\right)$ және $P\left(y_3\right)$ табамыз:

\ \

Бұл $X$ шамасының таралу заңы келесі формада екенін білдіреді:

6-сурет.

Ықтималдықтардың жалпы сомасының теңдігін тексерейік:

1. $X+Y$ кездейсоқ шамасының таралу заңын табу қалды.

Ыңғайлы болу үшін оны $Z$ деп белгілейік: $Z=X+Y$.

Алдымен, бұл шаманың қандай мәндерді қабылдай алатынын табайық. Ол үшін $X$ және $Y$ мәндерін жұппен қосамыз. Біз келесі мәндерді аламыз: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Енді сәйкес мәндерді алып тастасақ, $X+Y$ кездейсоқ шама $z_1 мәндерін қабылдай алатынын көреміз. =3,\ z_2=4 ,\ z_3=5,\ z_4=6,\ z_5=7,\ z_6=8,\ z_7=9.\ $

Алдымен $P(z_1)$ табайық. $z_1$ мәні бір болғандықтан, ол келесідей табылады:

7-сурет.

$P(z_4)$ қоспағанда барлық ықтималдықтар ұқсас түрде табылады:

Енді $P(z_4)$ мәнін келесідей табайық:

8-сурет.

Бұл $Z$ шамасының таралу заңы келесі формада екенін білдіреді:

9-сурет.

Ықтималдықтардың жалпы сомасының теңдігін тексерейік:

X және Y кездейсоқ шамаларының реттелген жұбы (X, Y) екі өлшемді кездейсоқ шама немесе екі өлшемді кеңістіктегі кездейсоқ вектор деп аталады. Екі өлшемді кездейсоқ шаманы (X,Y) X және Y кездейсоқ шамаларының жүйесі деп те атайды. Дискретті кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің олардың ықтималдықтарымен жиыны осы кездейсоқ шаманың таралу заңы деп аталады. Дискретті екі өлшемді кездейсоқ шама (X, Y) берілген болып саналады, егер оның таралу заңы белгілі болса:

P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m

Қызметтің мақсаты. Берілген тарату заңына сәйкес қызметті пайдалана отырып, сіз мыналарды таба аласыз:

• үлестіру қатары X және Y, математикалық күту M[X], M[Y], дисперсия D[X], D[Y];
• ковариация cov(x,y), корреляция коэффициенті r x,y, X шартты таралу қатары, шартты күту M;

Нұсқаулар. Ықтималдық үлестіру матрицасының өлшемін (жолдар мен бағандар саны) және оның түрін көрсетіңіз. Алынған шешім Word файлында сақталады.

№1 мысал. Екі өлшемді дискретті кездейсоқ шаманың таралу кестесі болады:

Шешім. Σp ij = 1 шартынан q мәнін табамыз
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. q = 0,09 қайдан шығады?

∑P(x) формуласын қолдану мен, ж j) = б мен(j=1..n), Х таралу қатарын табамыз.

Ковариация cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 ·20·0,02 + 1·30·0,02 + 2·30·0,11 + 3·30·0,08 + 4·30·0,01 + 1·40·0,03 + 2·40·0,11 + 3·40·0,05 + 4·40 ·0,09 - 25,2 · 2,59 = -0,068
Корреляция коэффициенті r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736

2-мысал. Х және У екі көрсеткішіне қатысты ақпаратты статистикалық өңдеуден алынған деректер корреляциялық кестеде көрсетілген. Міндетті:

1. X және Y үшін таралу қатарларын жазу және олар үшін іріктеу ортасын және стандартты ауытқуларды таңдауды есептеу;
2. шартты таралу Y/x қатарын жазу және шартты орташаларды Y/x есептеу;
3. шартты орташа мәндердің Y/x X мәндеріне тәуелділігін графикалық түрде бейнелеу;
4. X бойынша таңдау корреляция коэффициентін Y есептеу;
5. тура регрессия теңдеуінің үлгісін жазу;
6. корреляциялық кестенің деректерін геометриялық түрде бейнелеу және регрессия сызығын салу.

Шартты математикалық күту M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Шартты дисперсия D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Шартты таралу заңы X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Шартты математикалық күту M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Шартты дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Шартты таралу заңы X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Шартты математикалық күту M = 11*0 + 16*0 + 21*0,11 + 26*0,82 + 31*0,0727 + 36*0 = 25,82
Шартты дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Шартты таралу заңы X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Шартты математикалық күту M = 11*0 + 16*0 + 21*0,13 + 26*0,5 + 31*0,38 + 36*0 = 27,25
Шартты дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Шартты таралу заңы X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Шартты математикалық күту M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0,29 + 31*0,5 + 36*0,21 = 30,64
Шартты дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Шартты үлестіру заңы Y.
Шартты таралу заңы Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Шартты математикалық күту M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Шартты дисперсия D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Шартты таралу заңы Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Шартты математикалық күту M = 20*0,4 + 30*0,6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Шартты дисперсия D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Шартты таралу заңы Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Шартты математикалық күту M = 20*0 + 30*0,27 + 40*0,55 + 50*0,18 + 60*0 = 39,09
Шартты дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Шартты таралу заңы Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Шартты математикалық күту M = 20*0 + 30*0 + 40*0,79 + 50*0,14 + 60*0,0702 = 42,81
Шартты дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,79 + 50 2 *0,14 + 60 2 *0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Шартты таралу заңы Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Шартты математикалық күту M = 20*0 + 30*0 + 40*0,24 + 50*0,35 + 60*0,41 = 51,76
Шартты дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Шартты таралу заңы Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Шартты математикалық күту M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Шартты дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Ковариация.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 514 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса, олардың ковариациясы нөлге тең болады. Біздің жағдайда, cov(X,Y) ≠ 0.
Корреляция коэффициенті.


у-дан х-ке дейінгі сызықтық регрессия теңдеуі:

x-тен у-ге дейінгі сызықтық регрессия теңдеуі:

Қажетті сандық сипаттамаларды табайық.
Орташа үлгілер:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25,3
Айырмашылықтар:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 у = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
Стандартты ауытқуларды қайдан аламыз:
σ x = 9,99 және σ у = 4,9
және ковариация:
Ков(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 514 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Корреляция коэффициентін анықтайық:


y(x) регрессия түзулерінің теңдеулерін жазайық:

және есептей отырып, біз аламыз:
y x = 0,38 x + 9,14
x(y) регрессия түзулерінің теңдеулерін жазайық:

және есептей отырып, біз аламыз:
x y = 1,59 y + 2,15
Кесте және регрессия түзулері арқылы анықталған нүктелерді сызатын болсақ, екі түзудің де координаталары (42.3; 25.3) нүктесі арқылы өтетінін және нүктелердің регрессия түзулеріне жақын орналасқанын көреміз.
Корреляция коэффициентінің маңыздылығы.

Маңыздылық деңгейі α=0,05 және еркіндік дәрежесі k=100-m-1 = 98 болатын Студент кестесін пайдаланып, t крититін табамыз:
t крит (n-m-1;α/2) = (98;0,025) = 1,984
мұндағы m = 1 - түсіндірмелі айнымалылар саны.
Егер t байқалса > t критикалық болса, онда корреляция коэффициентінің нәтижелік мәні маңызды болып саналады (корреляция коэффициенті нөлге тең деген нөлдік гипотеза қабылданбайды).
t obs > t crit болғандықтан, корреляция коэффициенті 0-ге тең деген гипотезаны жоққа шығарамыз. Басқаша айтқанда, корреляция коэффициенті статистикалық маңызды.

Жаттығу. Сәйкес интервалдардағы кездейсоқ шамалардың X және Y мәндерінің жұптарының соққы саны кестеде келтірілген. Осы деректерді пайдалана отырып, корреляция коэффициентін таңдап, X бойынша Y және У бойынша X түзу регрессия сызықтарының үлгі теңдеулерін табыңыз.
Шешім

Мысал. Екі өлшемді кездейсоқ шаманың (X, Y) ықтималдық үлестірімі кесте арқылы берілген. X, Y құраушы шамаларының таралу заңдылықтарын және p(X, Y) корреляция коэффициентін табыңыз.
Шешімді жүктеп алыңыз

Жаттығу. Екі өлшемді дискретті шама (X, Y) үлестіру заңымен берілген. X және Y компоненттерінің таралу заңдылықтарын, ковариация мен корреляция коэффициентін табыңыз.

X және Y кездейсоқ шамаларының реттелген жұбы (X, Y) екі өлшемді кездейсоқ шама немесе екі өлшемді кеңістіктегі кездейсоқ вектор деп аталады. Екі өлшемді кездейсоқ шаманы (X,Y) X және Y кездейсоқ шамаларының жүйесі деп те атайды. Дискретті кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің олардың ықтималдықтарымен жиыны осы кездейсоқ шаманың таралу заңы деп аталады. Дискретті екі өлшемді кездейсоқ шама (X, Y) берілген болып саналады, егер оның таралу заңы белгілі болса:

P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m

Қызметтің мақсаты. Берілген тарату заңына сәйкес қызметті пайдалана отырып, сіз мыналарды таба аласыз:

• үлестіру қатары X және Y, математикалық күту M[X], M[Y], дисперсия D[X], D[Y];
• ковариация cov(x,y), корреляция коэффициенті r x,y, X шартты таралу қатары, шартты күту M;

Сонымен қатар, «X және Y кездейсоқ шамалары тәуелді ме?» деген сұраққа жауап беріледі.

Нұсқаулар. Ықтималдық үлестіру матрицасының өлшемін (жолдар мен бағандар саны) және оның түрін көрсетіңіз. Алынған шешім Word файлында сақталады.

№1 мысал. Екі өлшемді дискретті кездейсоқ шаманың таралу кестесі болады:

Y/X	1	2	3	4
10	0	0,11	0,12	0,03
20	0	0,13	0,09	0,02
30	0,02	0,11	0,08	0,01
40	0,03	0,11	0,05	q

Осы кездейсоқ шаманың q мәнін және корреляция коэффициентін табыңыз.

Шешім. Σp ij = 1 шартынан q мәнін табамыз
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. q = 0,09 қайдан шығады?

∑P(x) формуласын қолдану мен, ж j) = б мен(j=1..n), Х таралу қатарын табамыз.

Күту M[Y].
M[y] = 1*0,05 + 2*0,46 + 3*0,34 + 4*0,15 = 2,59
Дисперсия D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Стандартты ауытқуσ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0,64) = 0,801

Ковариация cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 ·20·0,02 + 1·30·0,02 + 2·30·0,11 + 3·30·0,08 + 4·30·0,01 + 1·40·0,03 + 2·40·0,11 + 3·40·0,05 + 4·40 ·0,09 - 25,2 · 2,59 = -0,068
Корреляция коэффициенті r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736

2-мысал. Х және У екі көрсеткішіне қатысты ақпаратты статистикалық өңдеуден алынған деректер корреляциялық кестеде көрсетілген. Міндетті:

1. X және Y үшін таралу қатарларын жазу және олар үшін іріктеу ортасын және стандартты ауытқуларды таңдауды есептеу;
2. шартты таралу Y/x қатарын жазу және шартты орташаларды Y/x есептеу;
3. шартты орташа мәндердің Y/x X мәндеріне тәуелділігін графикалық түрде бейнелеу;
4. X бойынша таңдау корреляция коэффициентін Y есептеу;
5. тура регрессия теңдеуінің үлгісін жазу;
6. корреляциялық кестенің деректерін геометриялық түрде бейнелеу және регрессия сызығын салу.

Шешім. X және Y кездейсоқ шамаларының реттелген жұбы (X,Y) екі өлшемді кездейсоқ шама немесе екі өлшемді кеңістіктегі кездейсоқ вектор деп аталады. Екі өлшемді кездейсоқ шаманы (X,Y) X және Y кездейсоқ шамаларының жүйесі деп те атайды.
Дискретті кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің олардың ықтималдықтарымен жиыны осы кездейсоқ шаманың таралу заңы деп аталады.
Дискретті екі өлшемді кездейсоқ шама (X,Y) берілген болып саналады, егер оның таралу заңы белгілі болса:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2..,m

X/Y	20	30	40	50	60
11	2	0	0	0	0
16	4	6	0	0	0
21	0	3	6	2	0
26	0	0	45	8	4
31	0	0	4	6	7
36	0	0	0	0	3

Оқиғалар (X=x i, Y=y j) оқиғалардың толық тобын құрайды, сондықтан барлық ықтималдықтардың қосындысы p ij ( i=1,2...,n, j=1,2..,m) кестеде көрсетілген 1-ге тең.
1. Х және У кездейсоқ шамаларының тәуелділігі.
X және Y таралу қатарын табыңыз.
∑P(x) формуласын қолдану мен, ж j) = б мен(j=1..n), Х таралу қатарын табамыз. Күту M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42,3
Дисперсия D[Y].
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14)/100 - 42,3 2 = 99,71
Стандартты ауытқу σ(y).

P(X=11,Y=20) = 2≠2 6 болғандықтан, X және Y кездейсоқ шамалары тәуелді.
2. Шартты үлестіру заңы X.
Шартты таралу заңы X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0,33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0,67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Шартты математикалық күту M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Шартты дисперсия D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Шартты таралу заңы X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Шартты математикалық күту M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Шартты дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Шартты таралу заңы X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Шартты математикалық күту M = 11*0 + 16*0 + 21*0,11 + 26*0,82 + 31*0,0727 + 36*0 = 25,82
Шартты дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Шартты таралу заңы X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Шартты математикалық күту M = 11*0 + 16*0 + 21*0,13 + 26*0,5 + 31*0,38 + 36*0 = 27,25
Шартты дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Шартты таралу заңы X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Шартты математикалық күту M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0,29 + 31*0,5 + 36*0,21 = 30,64
Шартты дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Шартты үлестіру заңы Y.
Шартты таралу заңы Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Шартты математикалық күту M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Шартты дисперсия D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Шартты таралу заңы Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Шартты математикалық күту M = 20*0,4 + 30*0,6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Шартты дисперсия D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Шартты таралу заңы Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Шартты математикалық күту M = 20*0 + 30*0,27 + 40*0,55 + 50*0,18 + 60*0 = 39,09
Шартты дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Шартты таралу заңы Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Шартты математикалық күту M = 20*0 + 30*0 + 40*0,79 + 50*0,14 + 60*0,0702 = 42,81
Шартты дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,79 + 50 2 *0,14 + 60 2 *0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Шартты таралу заңы Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Шартты математикалық күту M = 20*0 + 30*0 + 40*0,24 + 50*0,35 + 60*0,41 = 51,76
Шартты дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Шартты таралу заңы Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Шартты математикалық күту M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Шартты дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Ковариация.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 514 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса, олардың ковариациясы нөлге тең болады. Біздің жағдайда, cov(X,Y) ≠ 0.
Корреляция коэффициенті.


у-дан х-ке дейінгі сызықтық регрессия теңдеуі:

x-тен у-ге дейінгі сызықтық регрессия теңдеуі:

Қажетті сандық сипаттамаларды табайық.
Орташа үлгілер:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25,3
Айырмашылықтар:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 у = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
Стандартты ауытқуларды қайдан аламыз:
σ x = 9,99 және σ у = 4,9
және ковариация:
Ков(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 514 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Корреляция коэффициентін анықтайық:


y(x) регрессия түзулерінің теңдеулерін жазайық:

және есептей отырып, біз аламыз:
y x = 0,38 x + 9,14
x(y) регрессия түзулерінің теңдеулерін жазайық:

және есептей отырып, біз аламыз:
x y = 1,59 y + 2,15
Кесте және регрессия түзулері арқылы анықталған нүктелерді сызатын болсақ, екі түзудің де координаталары (42.3; 25.3) нүктесі арқылы өтетінін және нүктелердің регрессия түзулеріне жақын орналасқанын көреміз.
Корреляция коэффициентінің маңыздылығы.

Маңыздылық деңгейі α=0,05 және еркіндік дәрежесі k=100-m-1 = 98 болатын Студент кестесін пайдаланып, t крититін табамыз:
t крит (n-m-1;α/2) = (98;0,025) = 1,984
мұндағы m = 1 - түсіндірмелі айнымалылар саны.
Егер t байқалса > t критикалық болса, онда корреляция коэффициентінің нәтижелік мәні маңызды болып саналады (корреляция коэффициенті нөлге тең деген нөлдік гипотеза қабылданбайды).
t obs > t crit болғандықтан, корреляция коэффициенті 0-ге тең деген гипотезаны жоққа шығарамыз. Басқаша айтқанда, корреляция коэффициенті статистикалық маңызды.

Жаттығу. Сәйкес интервалдардағы кездейсоқ шамалардың X және Y мәндерінің жұптарының соққы саны кестеде келтірілген. Осы деректерді пайдалана отырып, корреляция коэффициентін таңдап, X бойынша Y және У бойынша X түзу регрессия сызықтарының үлгі теңдеулерін табыңыз.
Шешім

Мысал. Екі өлшемді кездейсоқ шаманың (X, Y) ықтималдық үлестірімі кесте арқылы берілген. X, Y құраушы шамаларының таралу заңдылықтарын және p(X, Y) корреляция коэффициентін табыңыз.
Шешімді жүктеп алыңыз

Жаттығу. Екі өлшемді дискретті шама (X, Y) үлестіру заңымен берілген. X және Y компоненттерінің таралу заңдылықтарын, ковариация мен корреляция коэффициентін табыңыз.

екі өлшемді дискретті бөлукездейсоқ

Көбінесе эксперимент нәтижесі бірнеше кездейсоқ шамамен сипатталады: . Мысалы, ауа-райы осы жертәуліктің белгілі бір уақытында келесі кездейсоқ айнымалылармен сипатталуы мүмкін: X 1 - температура, X 2 - қысым, X 3 - ауа ылғалдылығы, X 4 - жел жылдамдығы.

Бұл жағдайда біз көпөлшемді кездейсоқ шама немесе кездейсоқ шама жүйесі туралы айтамыз.

Мүмкін мәндері жұп сандар болатын екі өлшемді кездейсоқ шаманы қарастырайық. Геометриялық тұрғыдан екі өлшемді кездейсоқ шаманы жазықтықтағы кездейсоқ нүкте ретінде түсіндіруге болады.

Егер компоненттер XЖәне Ыдискретті кездейсоқ шама болса, онда дискретті екі өлшемді кездейсоқ шама болады, ал егер XЖәне Ыүздіксіз болса, онда үздіксіз екі өлшемді кездейсоқ шама.

Екі өлшемді кездейсоқ шаманың ықтималдылық таралу заңы мүмкін мәндер мен олардың ықтималдықтарының арасындағы сәйкестік болып табылады.

Екі өлшемді дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңын қосарланған кірісі бар кесте түрінде көрсетуге болады (6.1 кестені қараңыз), мұндағы компоненттің ықтималдығы. Xмағынаға ие болды x мен, және компонент Ы- мағынасы ж j .

6.1.1-кесте.

	ж 1	ж 2		ж j		ж м
x 1	б 11	б 12		б 1ж		б 1м
x 2	б 21	б 22		б 2j		б 2м
x мен	б i1	б i2		б ij		б им
x n	б n1	б n2		б nj		б nm

Оқиғалар жұптық үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтындықтан, ықтималдықтардың қосындысы 1-ге тең, яғни.

6.1-кестеден бір өлшемді компоненттердің таралу заңдылықтарын табуға болады XЖәне Ы.

Мысал 6.1.1 . Компоненттердің таралу заңдылықтарын табыңыз XЖәне Y,егер екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралуы 6.1.2 кесте түрінде берілген болса.

6.1.2-кесте.

Мысалы, аргументтердің біреуінің мәнін бекітетін болсақ, онда алынған мәннің таралуы Xшартты бөлу деп аталады. Шартты бөлу дәл осылай анықталады Ы.

Мысал 6.1.2 . Кестеде берілген екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралуы бойынша. 6.1.2, табыңыз: а) компоненттің шартты таралу заңын Xмынадай жағдай болса; б) шартты бөлу заңы Ыболған жағдайда.

Шешім. Шартты ықтималдықтарқұрамдас бөліктер XЖәне Ыформулалар арқылы есептеледі

Шартты бөлу заңы Xнысаны болған жағдайда

Бақылау: .

Екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу заңын формада көрсетуге болады бөлу функциялары, ол әрбір сан жұбының ықтималдығын анықтайды Xмәнінен кіші мәнді қабылдайды X, және оның ішінде Ымәнінен кіші мәнді қабылдайды ж:

Геометриялық тұрғыдан функция кездейсоқ нүктенің нүктесінде төбесі бар шексіз шаршыға түсу ықтималдығын білдіреді (6.1.1-сурет).

қасиеттерін атап өтейік.

• 1. Функция мәндерінің диапазоны , яғни. .
• 2. Функция – әрбір аргумент үшін кемімейтін функция.
• 3. Шектеулі қатынастар бар:

Жүйенің таралу функциясы компоненттің таралу функциясына тең болғанда X, яғни. .

Сияқты, .

Осыны біле отырып, кездейсоқ нүктенің ABCD тіктөртбұрышының ішіне түсу ықтималдығын табуға болады.

Атап айтқанда,

6.1.3-мысал. Екі өлшемді дискретті кездейсоқ шама тарату кестесімен анықталады

Бөлу функциясын табыңыз.

Шешім. Дискретті компоненттер жағдайындағы мән XЖәне Ыбарлық ықтималдықтарды индекстермен қосу арқылы табылады менЖәне j, ол үшін, . Сонда, егер және, онда (оқиғалар және мүмкін емес). Сол сияқты біз аламыз:

егер және, онда;

егер және, онда;

егер және, онда;

егер және, онда;

егер және, онда;

егер және, онда;

егер және, онда;

егер және, онда;

егер және болса, онда.

Алынған нәтижелерді мәндер кестесі (6.1.3) түрінде көрсетейік:

Үшін екі өлшемді үздіксізкездейсоқ шама, ықтималдық тығыздығы түсінігі енгізіледі

Геометриялық ықтималдық тығыздығы – кеңістіктегі таралу беті

Екі өлшемді ықтималдық тығыздығы келесі қасиеттерге ие:

3. Бөлу функциясын формула арқылы көрсетуге болады

4. Үздіксіз кездейсоқ шаманың аймаққа түсу ықтималдығы тең

5. Функцияның (4) қасиетіне сәйкес келесі формулалар орындалады:

6.1.4-мысал.Екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу функциясы берілген