Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы. Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы теоремасы

Теорема. Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы екі тік бұрышқа тең.

Кейбір ABC үшбұрышын алайық (208-сурет). Оның ішкі бұрыштарын 1, 2 және 3 сандарымен белгілейік. Соны дәлелдейміз

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Үшбұрыштың кейбір төбесінен, мысалы, В, АС-қа параллель MN түзуін жүргізейік.

В төбесінде үш бұрыш алдық: ∠4, ∠2 және ∠5. Олардың қосындысы түзу бұрыш, сондықтан ол 180°-қа тең:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Бірақ ∠4 = ∠1 параллель MN және AC түзулері және АВ секанты бар ішкі көлденең бұрыштар.

∠5 = ∠3 - бұл MN және AC параллель түзулері және BC секанты бар ішкі көлденең бұрыштар.

Бұл ∠4 және ∠5-ті олардың ∠1 және ∠3 теңдерімен ауыстыруға болатынын білдіреді.

Демек, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Теорема дәлелденді.

2. Үшбұрыштың сыртқы бұрышының қасиеті.

Шын мәнінде, ABC үшбұрышында (209-сурет) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, сонымен қатар ∠ВСD, бұл үшбұрыштың ∠1 және ∠2-ге іргелес емес сыртқы бұрышы да 180°-қа тең. - ∠3.

Осылайша:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Демек, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Үшбұрыштың сыртқы бұрышының туынды қасиеті үшбұрыштың сыртқы бұрышы туралы бұрын дәлелденген теореманың мазмұнын нақтылайды, ол тек үшбұрыштың сыртқы бұрышы оған іргелес емес үшбұрыштың әрбір ішкі бұрышынан үлкен екенін айтқан; енді сыртқы бұрыш оған іргелес емес екі ішкі бұрыштың қосындысына тең екені анықталды.

3. Бұрышы 30° тікбұрышты үшбұрыштың қасиеті.

ACB тікбұрышты үшбұрышындағы В бұрышы 30°-қа тең болсын (210-сурет). Сонда оның басқа сүйір бұрышы 60°-қа тең болады.

АС катеті АВ гипотенузасы жартысына тең екенін дәлелдейік. АС катетін С тік бұрышының төбесінен асырып, АС кесіндісіне тең СМ кесіндісін шетке шығарайық. М нүктесін В нүктесіне қосамыз. Пайда болған ВСМ үшбұрышы ACB үшбұрышына тең. Біз ABM үшбұрышының әрбір бұрышы 60°-қа тең екенін көреміз, сондықтан бұл үшбұрыш тең ​​қабырғалы үшбұрыш.

AC аяғы AM жартысына тең, ал AM АВ тең болғандықтан, AC аяғы АВ гипотенузаның жартысына тең болады.

Кешегі күннен бастап:

Геометрия ертегісі бойынша мозаикамен ойнайық:

Бір кездері үшбұрыштар болған. Ұқсастығы сонша, олар бір-бірінің көшірмелері ғана.
Олар әйтеуір бір түзу сызықта қатар тұрды. Олардың биіктігі бірдей болғандықтан -
онда олардың шыңдары бірдей деңгейде, сызғыштың астында болды:

Үшбұрыштар құлап, бастарына тұруды жақсы көретін. Олар жоғарғы қатарға шығып, акробаттар сияқты бұрышта тұрды.
Біз қазірдің өзінде білеміз - олар шыңдарымен бір сызықта тұрғанда,
онда олардың табандары да сызғышпен жүреді - өйткені біреудің бойы бірдей болса, онда олар да төңкерілген биіктікте!

Олар бәрінде бірдей болды - бірдей биіктік және бірдей табан,
ал бүйірлердегі сырғанақтардың - біреуі тік, екіншісі жалпақ - ұзындығы бірдей
және олардың еңістері бірдей. Ал, жай ғана егіздер! (тек әртүрлі киімде, әрқайсысында басқатырғыштың өз бөлігі бар).

- Үшбұрыштардың қабырғалары қай жерде бірдей? Бұрыштары қай жерде бірдей?

Үшбұрыштар бастарына тұрды, сонда тұрды, содан кейін сырғанап, төменгі қатарға жатуды шешті.
Олар төбеден сырғанап, сырғанап түсті; бірақ олардың слайдтары бірдей!
Сондықтан олар төменгі үшбұрыштардың арасына дәл сәйкес келеді, бос орындар жоқ және ешкім ешкімді шетке итермеді.

Біз үшбұрыштарды қарап шығып, бір қызық ерекшелікті байқадық.
Олардың бұрыштары қай жерде қосылса да, барлық үш бұрыш міндетті түрде кездеседі:
ең үлкені – «бас бұрышы», ең сүйір бұрышы және үшінші, орташа ең үлкен бұрышы.
Қайсысы екені бірден көрініп тұруы үшін олар тіпті түрлі-түсті ленталарды байлап қойды.

Үшбұрыштың үш бұрышы, егер сіз оларды біріктірсеңіз -
бір үлкен бұрышты, «ашық бұрышты» құрайды - ашық кітаптың мұқабасы сияқты,

______________________О ___________________

бұрылыс бұрышы деп аталады.

Кез келген үшбұрыш паспорт сияқты: үш бұрыш бірге ашылған бұрышқа тең.
Біреу сіздің есігіңізді қағады: - қағып-қағып, мен үшбұрышпын, түнеуге рұқсат етіңіз!
Ал сен оған айтасың - Бұрыштардың қосындысын кеңейтілген түрде көрсетіңіз!
Бұл нағыз үшбұрыш па, әлде алдамшы ма, бірден анық болады.
Сынақтан өтпеді - Жүз сексен градусқа бұрылып, үйге қайт!

Олар «180° бұрылу» дегенде артқа бұрылуды білдіреді және
қарсы бағытта жүріңіз.

Дәл сол нәрсе «бір кезде» жоқ, көбірек таныс өрнектерде:

АВС үшбұрышының OX осі бойымен параллель трансляциясын орындайық
векторға ABАВ негізінің ұзындығына тең.
Үшбұрыштардың С және С 1 төбелері арқылы өтетін DF сызығы
ОХ осіне параллель, себебі ОХ осіне перпендикуляр
h және h 1 кесінділері (тең үшбұрыштардың биіктіктері) тең.
Сонымен, A 2 B 2 C 2 үшбұрышының табаны АВ табанына параллель
және ұзындығы бойынша оған тең (С 1 шыңы С-қа қатысты АВ шамасына ығысқандықтан).
A 2 B 2 C 2 және ABC үшбұрыштары үш қабырғасы тең.
Демек, түзу бұрышты құрайтын ∠A 1 ∠B ∠C 2 бұрыштары ABC үшбұрышының бұрыштарына тең.
=> Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180°

Қозғалыстармен - «аудармалар» деп аталатын дәлелдеу қысқа және анық,
мозаика бөліктерін тіпті бала да түсіне алады.

Бірақ дәстүрлі мектеп:

параллель түзулерде кесілген ішкі көлденең жатқан бұрыштардың теңдігіне негізделген

Неліктен бұлай болғаны туралы түсінік беретіндігімен құнды,
Неліктенүшбұрыштың бұрыштарының қосындысы кері бұрышқа тең?

Өйткені, әйтпесе параллель сызықтар біздің әлемге таныс қасиеттерге ие болмас еді.

Теоремалар екі жолмен де жұмыс істейді. Параллель түзулер аксиомасынан ол шығады
көлденең жатқан және тік бұрыштардың теңдігі және олардан - үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы.

Бірақ керісінше де дұрыс: үшбұрыштың бұрыштары 180° болса, параллель түзулер болады.
(бір түзудің бойында жатпайтын нүкте арқылы берілгеннің бірегей || түзуін жүргізуге болады).
Бір күні әлемде бұрыштарының қосындысы ашылмаған бұрышқа тең емес үшбұрыш пайда болса -
сонда параллельдер параллель болуды тоқтатады, бүкіл дүние иіліп, қисаяды.

Үшбұрыш өрнектері бар жолақтар бірінің үстіне бірі орналастырылса -
сіз бүкіл өрісті плиткалары бар еден сияқты қайталанатын үлгімен жабуға болады:

мұндай торда әртүрлі пішіндерді қадағалай аласыз - алтыбұрыштар, ромбтар,
жұлдызды көпбұрыштар және әртүрлі паркеттер алыңыз

Ұшақты паркетпен қаптау - бұл тек қызықты ойын ғана емес, сонымен қатар өзекті математикалық мәселе:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Әрбір төртбұрыш тіктөртбұрыш, шаршы, ромб және т.б.
екі үшбұрыштан тұруы мүмкін,
сәйкес төртбұрыштың бұрыштарының қосындысы: 180° + 180° = 360°

Бірдей тең қабырғалы үшбұрыштар әртүрлі тәсілдермен шаршыларға бүктеледі.
2 бөліктен тұратын шағын шаршы. Орташа 4. Және 8-дің ең үлкені.
Сызбада 6 үшбұрыштан тұратын неше фигура бар?

Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180 градусқа тең екенін дәлелдей аласыз ба? және ең жақсы жауап алды

Top_ed[guru] жауабы
Неліктен өте, өте ұзақ уақыт бұрын дәлелденген нәрсені дәлелдеуге болады.
Евклид геометриясының классикалық теоремасы үшбұрыш бұрыштарының қосындысы теоремасы мынаны көрсетеді:
Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180°.
ABC еркін үшбұрыш болсын. В шыңы арқылы АС түзуіне параллель түзу жүргізейік. А және D нүктелері ВС түзуінің қарама-қарсы жағында болатындай етіп оған D нүктесін белгілейік.
DBC және ACB бұрыштары AC және BD параллель түзулерімен көлденең ВС түзген ішкі көлденең жатқан бұрыштар ретінде конгруентті. Демек, үшбұрыштың В және С төбелеріндегі бұрыштарының қосындысы ABD бұрышына тең.
Үшбұрыштың барлық үш бұрышының қосындысы ABD және BAC бұрыштарының қосындысына тең. Бұл параллель АС және BD және АВ секант үшін бір жақты ішкі бұрыштар болғандықтан, олардың қосындысы 180°. Теорема дәлелденді.

Жауабы Бориска(c)[гуру]
Мен аламын, бірақ қалай екені есімде жоқ))

Жауабы Мурашкина[гуру]
мүмкін. Бұл сізге шұғыл ма? ? Сіз бесінші сыныпқа емтихан тапсырасыз ба? ? :))

Жауабы Орий Семыкин[гуру]
1. Кеңістіктің геометриясына байланысты. Риман жазықтығында > 180, шаршыда. Лобачевский< 180. На Эвклидовой - равенство.
2. Төбесі арқылы қабырғалардың біріне параллель түзу жүргізіп, екі қабырға мен қосымша түзуден құралған көлденең бұрыштарды зерттеңіз. Алынған бұрыш (180) үшбұрыштың үш бұрышының қосындысына тең.

Дәлелдеу негізінен бір ғана параллель түзу жүргізуге болатындығына негізделген. Бұлай емес көптеген геометриялар бар.

Жауабы Юрий[гуру]
Неліктен дәлелденгенін дәлелдеңіз?)) Жаңалық қаласаңыз шаршыны екіге бөліңіз))

Жауабы Николай Евгеньевич[гуру]
Істей алмаймын.

Жауабы Алекс Бричка[сарапшы]
Иә, бұл жерде дәлелдейтін ештеңе жоқ, тек бір-біріне бұрыштарды қосу керек және бәрі де солай.

Жауабы 2 жауап[гуру]

Сәлеметсіз бе! Мұнда сіздің сұрағыңызға жауаптары бар тақырыптарды таңдау: Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180 градусқа тең екенін дәлелдей аласыз ба?