Туынды 2 4. Туынды қалай табылады? Шешімдердің мысалдары

Дәрежелік функцияның туындысының формуласын шығару (х-ның а дәрежесіне). х-тің түбірлерінен алынған туындылар қарастырылады. Дәрежелік функцияның туындысының формуласы жоғары тәртіп. Туындыларды есептеу мысалдары.

Мазмұны

Сондай-ақ қараңыз: Дәрежелік функция және түбірлер, формулалар және график
Қуат функциясының графиктері

Негізгі формулалар

х-тің а дәрежесіне туындысы х-тің минус бір дәрежесіне көбейтілгеніне тең:
(1) .

х-тің n-ші түбірінің m-ші дәрежесіне туындысы:
(2) .

Дәрежелік функцияның туындысының формуласын шығару

Жағдай x > 0

Дәрежесі а болатын х айнымалысының дәрежелік функциясын қарастырайық:
(3) .
Мұнда а ерікті нақты сан. Алдымен істі қарастырайық.

(3) функциясының туындысын табу үшін дәрежелік функцияның қасиеттерін қолданып, оны келесі түрге түрлендіреміз:
.

Енді туындыны қолданып табамыз:
;
.
Мұнда .

Формула (1) дәлелденді.

n дәрежелі түбірдің х дәрежесінің m дәрежесіне дейінгі туындысының формуласын шығару

Енді келесі пішіннің түбірі болатын функцияны қарастырыңыз:
(4) .

Туындыны табу үшін түбірді дәреже функциясына түрлендіреміз:
.
(3) формуламен салыстырсақ, мұны көреміз
.
Содан кейін
.

(1) формуланы пайдаланып, туындыны табамыз:
(1) ;
;
(2) .

Практикада (2) формуланы жаттаудың қажеті жоқ. Алдымен түбірлерді дәрежелік функцияларға түрлендіру, содан кейін (1) формуланы пайдаланып олардың туындыларын табу әлдеқайда ыңғайлы (беттің соңындағы мысалдарды қараңыз).

Жағдай x = 0

Егер болса, онда қуат функциясы х = айнымалысының мәні үшін анықталады 0 . (3) функциясының x = кезіндегі туындысын табайық 0 . Ол үшін туынды анықтамасын қолданамыз:
.

х = орнына қоямыз 0 :
.
Бұл жағдайда туынды деп біз оның оң жақ шегін түсінеміз.

Сонымен, біз таптық:
.
Бұдан , үшін екені түсінікті.
, .
, .
Бұл нәтиже (1) формуладан да алынады:
(1) .
Демек, (1) формула х = үшін де жарамды 0 .

Жағдай x< 0

(3) функциясын қайта қарастырыңыз:
(3) .
a тұрақтысының белгілі мәндері үшін ол х айнымалысының теріс мәндері үшін де анықталады. Атап айтқанда, а рационал сан болсын. Сонда оны азайтылмайтын бөлшек түрінде беруге болады:
,
мұндағы m және n - ортақ бөлгіші жоқ бүтін сандар.

Егер n тақ болса, онда қуат функциясы х айнымалысының теріс мәндері үшін де анықталады. Мысалы, n = болғанда 3 және m = 1 бізде x-тің текше түбірі бар:
.
Ол х айнымалысының теріс мәндері үшін де анықталған.

Ол анықталған a тұрақтысының рационал мәндері үшін (3) дәреже функциясының туындысын табайық. Ол үшін х-ті келесі түрде көрсетейік:
.
Содан кейін,
.
Тұрақтыны туындының белгісінің сыртына қойып, күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолдану арқылы туындыны табамыз:

.
Мұнда . Бірақ
.
Сол уақыттан бері
.
Содан кейін
.
Яғни (1) формула мыналар үшін де жарамды:
(1) .

Жоғары ретті туындылар

Енді дәреже функциясының жоғары ретті туындыларын табайық
(3) .
Біз бірінші ретті туындыны таптық:
.

Туындының таңбасынан тыс а тұрақтысын алып, екінші ретті туындыны табамыз:
.
Сол сияқты үшінші және төртінші ретті туындыларды табамыз:
;

.

Осыдан-ақ екені анық ерікті n-ші ретті туындыкелесі нысаны бар:
.

байқа, бұл егер а болса натурал сан , онда n-ші туынды тұрақты болады:
.
Сонда барлық кейінгі туындылар нөлге тең болады:
,
кезінде.

Туындыларды есептеу мысалдары

Мысал

Функцияның туындысын табыңыз:
.

Түбірлерді дәрежелерге түрлендірейік:
;
.
Содан кейін бастапқы функция келесі пішінді алады:
.

Дәрежелердің туындыларын табу:
;
.
Тұрақтының туындысы нөлге тең:
.

Туынды

Математикалық функцияның туындысын есептеу (дифференциация) жоғары математиканы шешу кезінде өте кең таралған мәселе болып табылады. Қарапайым (элементар) математикалық функциялар үшін бұл өте қарапайым мәселе, өйткені элементар функциялар үшін туынды кестелер бұрыннан құрастырылған және оңай қол жетімді. Дегенмен, күрделі математикалық функцияның туындысын табу тривиальды тапсырма емес және көбінесе айтарлықтай күш пен уақытты қажет етеді.

Туындыны желіден табыңыз

Біздің онлайн қызмет сізге мағынасыз ұзақ есептеулерден және құтылуға мүмкіндік береді туындыны желіден табыңызбір сәтте. Сонымен қатар, веб-сайтта орналасқан біздің сервисті пайдалану www.site, есептей аласыз онлайн туындыэлементар функциядан да, аналитикалық шешімі жоқ өте күрделі функциядан да. Біздің сайттың басқалармен салыстырғандағы негізгі артықшылықтары: 1) туындыны есептеу үшін математикалық функцияны енгізу әдісіне қатаң талаптар жоқ (мысалы, синус x функциясын енгізгенде, оны sin x немесе sin ретінде енгізуге болады. (x) немесе sin[x] және т.б. d.); 2) онлайн туынды есептеу режимде бірден пайда болады желідежәне мүлдем Тегін; 3) функцияның туындысын табуға мүмкіндік береміз кез келген тапсырыс, туындының ретін өзгерту өте оңай және түсінікті; 4) біз кез келген дерлік математикалық функцияның туындысын онлайн табуға мүмкіндік береміз, тіпті басқа қызметтермен шешілмейтін өте күрделі. Берілген жауап әрқашан дәл және қателерді қамтуы мүмкін емес.

Біздің серверді пайдалану сізге 1) қате немесе қате жіберуі мүмкін уақытты қажет ететін және жалықтыратын есептеулерді болдырмай, туынды құралды сіз үшін онлайн есептеуге мүмкіндік береді; 2) егер сіз математикалық функцияның туындысын өзіңіз есептесеңіз, біз сізге алынған нәтижені біздің қызметіміздің есептеулерімен салыстыруға және шешімнің дұрыстығына көз жеткізуге немесе еніп кеткен қатені табуға мүмкіндік береміз; 3) қажетті функцияны табу үшін көп уақытты қажет ететін қарапайым функциялардың туынды кестелерін пайдаланудың орнына біздің қызметті пайдаланыңыз.

Сізге қажет нәрсенің бәрі туындыны желіден табыңыз- біздің қызметті пайдалану

Есте сақтау өте оңай.

Алысқа бармай-ақ қояйық, бірден қарайық кері функция. Қандай функция көрсеткіштік функцияға кері функция? Логарифм:

Біздің жағдайда негіз сан болып табылады:

Мұндай логарифм (яғни негізі бар логарифм) «табиғи» деп аталады және біз ол үшін арнайы белгілерді қолданамыз: орнына жазамыз.

Ол неге тең? Әрине, .

Натурал логарифмнің туындысы да өте қарапайым:

Мысалдар:

1. Функцияның туындысын табыңыз.
2. Функцияның туындысы дегеніміз не?

Жауаптары: Көрсеткіштік және натурал логарифм туынды перспективада ерекше қарапайым функциялар болып табылады. Кез келген басқа базасы бар көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың басқа туындысы болады, оны дифференциалдау ережелерінен өткеннен кейін кейінірек талдаймыз.

Дифференциация ережелері

Ненің ережелері? Тағы да жаңа термин, тағы?!...

Дифференциациятуындыны табу процесі болып табылады.

Бар болғаны. Бұл процесті бір сөзбен тағы қалай атауға болады? Туынды емес... Математиктер дифференциалды функцияның бірдей өсімі деп атайды. Бұл термин латынның дифференция - айырмашылық сөзінен шыққан. Мұнда.

Осы ережелердің барлығын шығарған кезде біз екі функцияны қолданамыз, мысалы, және. Бізге олардың өсімдері үшін формулалар қажет болады:

Барлығы 5 ереже бар.

Тұрақты шама туынды таңбадан алынады.

Егер - кейбір тұрақты сан (тұрақты), онда.

Әлбетте, бұл ереже айырмашылық үшін де жұмыс істейді: .

Дәлелдейік. Бұл болсын, немесе қарапайымырақ.

Мысалдар.

Функциялардың туындыларын табыңыз:

1. нүктеде;
2. нүктеде;
3. нүктеде;
4. нүктесінде.

Шешімдер:

1. (туынды барлық нүктелерде бірдей, өйткені бұл сызықтық функция, есіңізде ме?);

Өнімнің туындысы

Мұнда бәрі ұқсас: жаңа функцияны енгізіп, оның өсімін табайық:

Туынды:

Мысалдар:

1. және функцияларының туындыларын табыңыз;
2. Функцияның нүктедегі туындысын табыңыз.

Шешімдер:

Көрсеткіштік функцияның туындысы

Енді сіздің біліміңіз көрсеткішті ғана емес, кез келген экспоненциалды функцияның туындысын табуды үйрену үшін жеткілікті (сіз оның не екенін әлі ұмыттыңыз ба?).

Сонымен, қандай да бір сан қайда.

Біз функцияның туындысын бұрыннан білеміз, сондықтан функциямызды жаңа негізге келтіруге тырысайық:

Ол үшін қарапайым ережені қолданамыз: . Содан кейін:

Жақсы болды. Енді туындыны табуға тырысыңыз және бұл функция күрделі екенін ұмытпаңыз.

Болды ма?

Міне, өзіңізді тексеріңіз:

Формула дәреже көрсеткішінің туындысына өте ұқсас болып шықты: бұрынғыдай, ол өзгеріссіз қалады, тек қана фактор пайда болды, ол жай ғана сан, бірақ айнымалы емес.

Мысалдар:
Функциялардың туындыларын табыңыз:

Жауаптары:

Бұл калькуляторсыз есептелмейтін сан, яғни оны бұдан былай жазу мүмкін емес. қарапайым түрде. Сондықтан жауапта оны осы формада қалдырамыз.

Назар аударыңыз, мұнда екі функцияның бөлігі берілген, сондықтан біз сәйкес дифференциалдау ережесін қолданамыз:

Бұл мысалда екі функцияның туындысы:

Логарифмдік функцияның туындысы

Бұл жерде ұқсас: сіз табиғи логарифмнің туындысын білесіз:

Сондықтан, басқа негізі бар ерікті логарифмді табу үшін, мысалы:

Біз бұл логарифмді негізге келтіруіміз керек. Логарифмнің негізін қалай өзгертуге болады? Бұл формуланы есте сақтайсыз деп үміттенемін:

Оның орнына енді ғана жазамыз:

Бөлгіш жай ғана тұрақты (айнымалысы жоқ тұрақты сан). Туынды өте қарапайым түрде алынады:

Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындылары Бірыңғай мемлекеттік емтиханда ешқашан кездеспейді, бірақ оларды білу артық болмайды.

Күрделі функцияның туындысы.

Не болды » күрделі функция«? Жоқ, бұл логарифм емес, арктангенс емес. Бұл функцияларды түсіну қиын болуы мүмкін (бірақ сіз логарифмді қиын деп тапсаңыз, «Логарифмдер» тақырыбын оқып шығыңыз және сіз жақсы боласыз), бірақ математикалық тұрғыдан «күрделі» сөзі «қиын» дегенді білдірмейді.

Кішкентай конвейерді елестетіңіз: екі адам отырады және кейбір заттармен кейбір әрекеттерді жасайды. Мысалы, біріншісі шоколадты қаптамаға орап, екіншісі оны таспамен байлайды. Нәтиже – композициялық нысан: лентамен оралған және байланған шоколадты батончик. Шоколадты жеу үшін кері әрекеттерді кері ретпен орындау керек.

Ұқсас математикалық құбырды құрайық: алдымен санның косинусын табамыз, содан кейін алынған санның квадратын аламыз. Сонымен, бізге сан (шоколад) беріледі, мен оның косинусын (орауын) табамын, сосын менің алғанымды шаршылайсыңдар (лентамен байлаңыз). Не болды? Функция. Бұл күрделі функцияның мысалы: оның мәнін табу үшін біз бірінші әрекетті тікелей айнымалымен орындаймыз, содан кейін бірінші әрекеттің нәтижесімен екінші әрекетті орындаймыз.

Басқа сөзбен, күрделі функция - аргументі басқа функция болатын функция: .

Біздің мысал үшін, .

Біз бірдей қадамдарды кері ретпен оңай жасай аламыз: алдымен сіз оны квадраттайсыз, содан кейін алынған санның косинусын іздеймін: . Нәтиже әрдайым дерлік басқаша болатынын болжау оңай. Күрделі функциялардың маңызды белгісі: әрекеттердің реті өзгергенде, функция да өзгереді.

Екінші мысал: (сол нәрсе). .

Соңғы орындайтын әрекетіміз шақырылады «сыртқы» функция, ал бірінші орындалатын әрекет – сәйкесінше «ішкі» функция(бұл бейресми атаулар, мен оларды материалды қарапайым тілмен түсіндіру үшін ғана қолданамын).

Қандай функция сыртқы және қайсысы ішкі екенін өзіңіз анықтап көріңіз:

Жауаптары:Ішкі және сыртқы функцияларды бөлу айнымалыларды өзгертуге өте ұқсас: мысалы, функцияда

1. Алдымен қандай әрекетті орындаймыз? Алдымен синусты есептейік, содан кейін ғана оны текшелейміз. Бұл ішкі функция, бірақ сыртқы функция екенін білдіреді.
   Ал бастапқы қызметі олардың құрамы: .
2. Ішкі: ; сыртқы: .
   Емтихан: .
3. Ішкі: ; сыртқы: .
   Емтихан: .
4. Ішкі: ; сыртқы: .
   Емтихан: .
5. Ішкі: ; сыртқы: .
   Емтихан: .

Біз айнымалыларды өзгертіп, функцияны аламыз.

Енді біз шоколадты батончиктен шығарып, туындысын іздейміз. Процедура әрқашан кері болады: алдымен сыртқы функцияның туындысын іздейміз, содан кейін нәтижені ішкі функцияның туындысына көбейтеміз. Бастапқы мысалға қатысты ол келесідей көрінеді:

Тағы бір мысал:

Сонымен, соңында ресми ережені тұжырымдаймыз:

Күрделі функцияның туындысын табу алгоритмі:

Бұл қарапайым сияқты, солай ма?

Мысалдармен тексерейік:

Шешімдер:

1) Ішкі: ;

Сыртқы: ;

2) Ішкі: ;

(Қазір оны кесуге тырыспаңыз! Косинустың астынан ештеңе шықпайды, есіңізде ме?)

3) Ішкі: ;

Сыртқы: ;

Бұл үш деңгейлі күрделі функция екені бірден түсінікті: бұл қазірдің өзінде күрделі функция, біз одан түбірді де шығарамыз, яғни үшінші әрекетті орындаймыз (шоколадты қаптамаға салыңыз. және портфельдегі лентамен). Бірақ қорқудың қажеті жоқ: біз бұл функцияны әдеттегідей тәртіпте «ораймыз»: соңына дейін.

Яғни, алдымен түбірді, содан кейін косинусты, содан кейін ғана жақшадағы өрнекті ажыратамыз. Сосын барлығын көбейтеміз.

Мұндай жағдайларда әрекеттерді нөмірлеу ыңғайлы. Яғни, не білетінімізді елестетіп көрейік. Осы өрнектің мәнін есептеу үшін әрекеттерді қандай ретпен орындаймыз? Мысал қарастырайық:

Әрекет неғұрлым кеш орындалса, сәйкес функция соғұрлым «сыртқы» болады. Әрекеттер тізбегі бұрынғыдай:

Мұнда ұя салу әдетте 4 деңгейлі. Әрекет бағытын анықтайық.

1. Радикалды өрнек. .

2. Түбір. .

3. Синус. .

4. Шаршы. .

5. Барлығын біріктіру:

ТУЫНДЫ. НЕГІЗГІ НӘРСЕЛЕР ТУРАЛЫ ҚЫСҚА

Функцияның туындысы- функция өсімінің аргументтің шексіз аз өсімшесінің аргументінің өсіміне қатынасы:

Негізгі туындылар:

Дифференциация ережелері:

Тұрақты шама туынды таңбадан алынады:

Қосындының туындысы:

Өнімнің туындысы:

Бөлімшенің туындысы:

Күрделі функцияның туындысы:

Күрделі функцияның туындысын табу алгоритмі:

1. Біз «ішкі» функцияны анықтаймыз және оның туындысын табамыз.
2. «Сыртқы» функцияны анықтаймыз және оның туындысын табамыз.
3. Бірінші және екінші нүктелердің нәтижелерін көбейтеміз.

Көрсеткіштің туындысы (е х дәрежесіне) және көрсеткіштік функцияның (а х дәрежесіне) туындысының формулаларын дәлелдеу және шығару. e^2x, e^3x және e^nx туындыларын есептеу мысалдары. Жоғары ретті туындыларға арналған формулалар.

Мазмұны

Сондай-ақ қараңыз: Көрсеткіштік функция – қасиеттері, формулалары, графигі
Көрсеткіш, х дәрежесіне е – қасиеттері, формулалары, графиктері

Негізгі формулалар

Көрсеткіштің туындысы көрсеткіштің өзіне тең (e-нің х дәрежесіне туындысы e-дің х дәрежесіне тең):
(1) (e x )′ = e x.

Негізі а болатын көрсеткіштік функцияның туындысы функцияның өзін а-ның натурал логарифміне көбейткенге тең:
(2) .

Көрсеткіштік деп табаны e санына тең экспоненциалды функцияны айтады, ол келесі шек болып табылады:
.
Мұнда ол натурал сан да, нақты сан да болуы мүмкін. Әрі қарай, көрсеткіштің туындысы үшін (1) формуласын аламыз.

Көрсеткіштік туынды формуланың туындысы

Экспоненциалды, e-ден х дәрежесін қарастырайық:
y = e x.
Бұл функция барлығы үшін анықталған. Оның х айнымалысына қатысты туындысын табайық. Анықтау бойынша туынды келесі шек болып табылады:
(3) .

Бұл өрнекті белгіліге дейін қысқарту үшін түрлендірейік математикалық қасиеттержәне ережелер. Ол үшін бізге келесі фактілер қажет:
A)Көрсеткіш қасиеті:
(4) ;
B)Логарифмнің қасиеті:
(5) ;
IN)Үздіксіз функция үшін логарифмнің үзіліссіздігі және шектер қасиеті:
(6) .
Мұнда шегі бар функция берілген және бұл шектеу оң.
G)Екінші керемет шектің мағынасы:
(7) .

Осы фактілерді өз шегімізге қолданайық (3). Біз (4) сипатты пайдаланамыз:
;
.

Ауыстыру жасайық. Содан кейін; .
Көрсеткіштің үздіксіздігіне байланысты,
.
Сондықтан, қашан , . Нәтижесінде біз аламыз:
.

Ауыстыру жасайық. Содан кейін. , . Ал бізде:
.

Логарифм қасиетін қолданайық (5):
. Содан кейін
.

Меншікті қолданайық (6). Оң шек бар және логарифм үздіксіз болғандықтан, онда:
.
Мұнда біз екіншісін де қолдандық тамаша шек(7). Содан кейін
.

Осылайша, көрсеткіштің туындысы үшін (1) формуласын алдық.

Көрсеткіштік функцияның туындысының формуласын шығару

Енді базасы а дәрежелі көрсеткіштік функцияның туындысы үшін формуланы (2) шығарамыз. Біз бұған сенеміз және . Содан кейін көрсеткіштік функция
(8)
Барлығы үшін анықталған.

(8) формуласын түрлендірейік. Ол үшін көрсеткіштік функция мен логарифмнің қасиеттерін қолданамыз.
;
.
Сонымен, (8) формуланы келесі түрге айналдырдық:
.

Е-нің х дәрежесіне жоғары ретті туындылары

Енді жоғары дәрежелі туындыларды табайық. Алдымен көрсеткішті қарастырайық:
(14) .
(1) .

(14) функциясының туындысы (14) функциясының өзіне тең екенін көреміз. (1) дифференциалдау арқылы екінші және үшінші ретті туындыларды аламыз:
;
.

Бұл n-ші ретті туынды да бастапқы функцияға тең екенін көрсетеді:
.

Көрсеткіштік функцияның жоғары ретті туындылары

Енді базасы a дәрежесі бар экспоненциалды функцияны қарастырыңыз:
.
Біз оның бірінші ретті туындысын таптық:
(15) .

(15) дифференциалдау арқылы екінші және үшінші ретті туындыларды аламыз:
;
.

Әрбір дифференциалдау бастапқы функцияның көбейтіндісіне әкелетінін көреміз. Демек, n-ші ретті туынды келесі пішінге ие:
.

Сондай-ақ қараңыз:

Егер сіз анықтаманы ұстанатын болсаңыз, онда функцияның нүктедегі туындысы Δ функциясының өсімшесінің қатынасының шегі болады. жаргумент өсіміне Δ x:

Бәрі түсінікті сияқты. Бірақ, айталық, функцияның туындысын есептеу үшін осы формуланы пайдаланып көріңіз f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e xкүнә x. Егер сіз бәрін анықтама бойынша жасасаңыз, онда бірнеше беттік есептеулерден кейін сіз жай ұйықтайсыз. Сондықтан қарапайым және тиімдірек жолдар бар.

Алдымен біз функциялардың барлық алуан түрінен қарапайым функциялар деп аталатындарды ажыратуға болатынын атап өтеміз. Бұл салыстырмалы түрде қарапайым өрнектер, олардың туындылары бұрыннан есептеліп, кесте түрінде берілген. Мұндай функцияларды есте сақтау өте оңай - олардың туындыларымен бірге.

Элементар функциялардың туындылары

Қарапайым функциялар төменде көрсетілгендердің барлығы. Бұл функциялардың туындыларын жатқа білу керек. Сонымен қатар, оларды есте сақтау қиын емес - сондықтан олар қарапайым.

Сонымен, элементар функциялардың туындылары:

Аты	Функция	Туынды
Тұрақты	f(x) = C, C ∈ Р	0 (иә, нөл!)
Рационал көрсеткіші бар қуат	f(x) = x n	n · x n − 1
Синус	f(x) = күнә x	cos x
Косинус	f(x) = cos x	−күнә x(минус синус)
Тангенс	f(x) = тг x	1/cos 2 x
Котангенс	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Натурал логарифм	f(x) = журнал x	1/x
Ерікті логарифм	f(x) = журнал а x	1/(xлн а)
Көрсеткіштік функция	f(x) = e x	e x(ештеңе өзгерген жоқ)

Егер элементар функция ерікті тұрақтыға көбейтілсе, онда жаңа функцияның туындысы да оңай есептеледі:

(C · f)’ = C · f ’.

Жалпы, тұрақтыларды туындының таңбасынан шығаруға болады. Мысалы:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Әлбетте, элементар функцияларды бір-біріне қосуға, көбейтуге, бөлуге - және т.б. Осылайша жаңа функциялар пайда болады, олар енді ерекше қарапайым емес, сонымен қатар белгілі бір ережелерге сәйкес сараланады. Бұл ережелер төменде талқыланады.

Қосынды мен айырманың туындысы

Функциялар берілсін f(x) Және g(x), туындылары бізге белгілі. Мысалы, жоғарыда қарастырылған қарапайым функцияларды алуға болады. Сонда осы функциялардың қосындысы мен айырмасының туындысын табуға болады:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Сонымен, екі функцияның қосындысының (айырымы) туындысы туындылардың қосындысына (айырымы) тең. Қосымша шарттар болуы мүмкін. Мысалы, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Қатаң айтқанда, алгебрада «алу» ұғымы жоқ. «Жағымсыз элемент» деген ұғым бар. Сондықтан айырмашылық f − gқосынды түрінде қайта жазуға болады f+ (−1) g, содан кейін бір ғана формула қалады - қосындының туындысы.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Функция f(x) екі элементар функцияның қосындысы, сондықтан:

f ’(x) = (x 2 + күнә x)’ = (x 2)’ + (күнә x)’ = 2x+ cos x;

Функцияның себебін біз дәл осылай түсіндіреміз g(x). Тек үш термин бар (алгебра тұрғысынан):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Жауап:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Өнімнің туындысы

Математика - логикалық ғылым, сондықтан көп адамдар қосындының туындысы туындылардың қосындысына тең болса, туындының туындысы деп санайды. ереуіл">туындылардың көбейтіндісіне тең. Бірақ сізді бұрыңыз! Өнімнің туындысы мүлдем басқа формула арқылы есептеледі. Атап айтқанда:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула қарапайым, бірақ ол жиі ұмытылады. Ал мектеп оқушылары ғана емес, студенттер де. Нәтиже – қате шешілген мәселелер.

Тапсырма. Функциялардың туындыларын табыңыз: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Функция f(x) екі элементар функцияның туындысы, сондықтан бәрі қарапайым:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (кос x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− күнә x) = x 2 (3cos x − xкүнә x)

Функция g(x) бірінші көбейткіш сәл күрделірек, бірақ жалпы схема өзгермейді. Әлбетте, функцияның бірінші факторы g(x) көпмүше және оның туындысы қосындының туындысы болады. Бізде бар:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Жауап:
f ’(x) = x 2 (3cos x − xкүнә x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Соңғы қадамда туынды факторға бөлінетінін ескеріңіз. Ресми түрде мұны істеу қажет емес, бірақ туынды құралдардың көпшілігі өздігінен есептелмейді, бірақ функцияны тексеру үшін. Бұл дегеніміз, әрі қарай туынды нөлге теңестіріледі, оның белгілері анықталады және т.б. Мұндай жағдайда өрнекті көбейткіштерге жіктеген дұрыс.

Екі функция болса f(x) Және g(x), және g(x) Бізді қызықтыратын жиында ≠ 0 болса, біз жаңа функцияны анықтай аламыз h(x) = f(x)/g(x). Мұндай функция үшін туындыны да табуға болады:

Әлсіз емес, иә? Минус қайдан шықты? Неліктен g 2? Және осылай! Бұл ең күрделі формулалардың бірі - оны бөтелкесіз анықтай алмайсыз. Сондықтан оны нақты мысалдармен зерттеген дұрыс.

Тапсырма. Функциялардың туындыларын табыңыз:

Әрбір бөлшектің алымы мен бөлгішінде қарапайым функциялар бар, сондықтан бізге тек бөлімнің туындысының формуласы қажет:

Дәстүр бойынша, алымды көбейткіштерге бөлейік - бұл жауапты айтарлықтай жеңілдетеді:

Күрделі функция міндетті түрде жарты километрлік формула емес. Мысалы, функцияны алу жеткілікті f(x) = күнә xжәне айнымалыны ауыстырыңыз x, айталық, қосулы x 2 + лн x. Бұл нәтиже береді f(x) = күнә ( x 2 + лн x) - бұл күрделі функция. Оның туындысы да бар, бірақ оны жоғарыда талқыланған ережелер арқылы табу мүмкін болмайды.

Не істейін? Мұндай жағдайларда күрделі функцияның туындысы үшін айнымалы мен формуланы ауыстыру көмектеседі:

f ’(x) = f ’(т) · т', Егер x-мен ауыстырылады т(x).

Әдетте, бұл формуланы түсінудегі жағдай бөліндінің туындысына қарағанда әлдеқайда қайғылы. Сондықтан оны нақты мысалдармен, көмегімен түсіндірген жөн егжей-тегжейлі сипаттамаәрбір қадам.

Тапсырма. Функциялардың туындыларын табыңыз: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = күнә ( x 2 + лн x)

Егер функцияда болса, ескеріңіз f(x) өрнектің орнына 2 x+ 3 оңай болады x, онда элементар функцияны аламыз f(x) = e x. Сондықтан біз ауыстыру жасаймыз: 2 болсын x + 3 = т, f(x) = f(т) = e т. Күрделі функцияның туындысын мына формула арқылы іздейміз:

f ’(x) = f ’(т) · т ’ = (e т)’ · т ’ = e т · т ’

Ал енді - назар аударыңыз! Біз кері ауыстыруды орындаймыз: т = 2x+ 3. Біз аламыз:

f ’(x) = e т · т ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Енді функцияны қарастырайық g(x). Оны ауыстыру керек екені анық x 2 + лн x = т. Бізде бар:

g ’(x) = g ’(т) · т' = (күнә т)’ · т' = cos т · т ’

Кері ауыстыру: т = x 2 + лн x. Содан кейін:

g ’(x) = cos ( x 2 + лн x) · ( x 2 + лн x)’ = cos ( x 2 + лн x) · (2 x + 1/x).

Осымен болды! Соңғы өрнектен көрініп тұрғандай, барлық мәселе туынды қосындыны есептеуге дейін қысқартылды.

Жауап:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) өйткені ( x 2 + лн x).

Мен сабақтарымда «туынды» терминінің орнына «бастапқы» сөзін жиі қолданамын. Мысалы, қосындының штрихы штрихтардың қосындысына тең. Бұл анық па? Міне жақсы.

Осылайша, туындыны есептеу жоғарыда талқыланған ережелерге сәйкес дәл сол соққылардан құтылуға келеді. Соңғы мысал ретінде рационал көрсеткіші бар туынды дәрежеге оралайық:

(x n)’ = n · x n − 1

Оны рөлде білетіндер аз nбөлшек сан болуы мүмкін. Мысалы, түбір x 0,5. Түбірдің астында сәнді нәрсе болса ше? Тағы да, нәтиже күрделі функция болады - олар мұндай конструкцияларды беруді ұнатады сынақтаржәне емтихандар.

Тапсырма. Функцияның туындысын табыңыз:

Алдымен түбірді рационал көрсеткіші бар дәреже ретінде қайта жазайық:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Енді біз ауыстыру жасаймыз: рұқсат етіңіз x 2 + 8x − 7 = т. Туындыны формула бойынша табамыз:

f ’(x) = f ’(т) · т ’ = (т 0,5)’ · т’ = 0,5 · т−0,5 · т ’.

Кері ауыстыруды жасайық: т = x 2 + 8x− 7. Бізде:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Соңында, тамырларға оралу: