Сандық шеңберде пи бар сандарды қалай белгілеуге болады? Сабақ «Бірлік шеңбердегі синус пен косинустың анықтамасы» Қорытынды және негізгі формулалар.

«Координаталық жазықтықтағы сандық шеңбер» тақырыбына сабақ және презентация

Қосымша материалдар
Құрметті қолданушылар, өз пікірлеріңізді, пікірлеріңізді, тілектеріңізді қалдыруды ұмытпаңыздар! Барлық материалдар антивирустық бағдарлама арқылы тексерілді.

1С-тен 10-сыныпқа арналған Integral интернет-дүкеніндегі нұсқаулықтар мен тренажерлар
Параметрлері бар алгебралық есептер, 9–11 сынып
Геометриядан есептер шығарамыз. 7-10 сыныпқа арналған интерактивті құрылыс тапсырмалары

Біз нені зерттейміз:
1. Анықтама.
2. Сандық шеңбердің маңызды координаталары.
3. Сандық шеңбердің координатасын қалай табуға болады?
4. Сандық шеңбердің негізгі координаталары кестесі.
5. Есептерді шығару мысалдары.

Координаталық жазықтықтағы сандық шеңбердің анықтамасы

Сандық шеңберді координаталық жазықтыққа шеңбердің центрі координаталар бас нүктесімен сәйкес келетіндей етіп орналастырып, оның радиусын бірлік кесінді ретінде алайық. А сандық шеңберінің бастапқы нүктесі (1;0) нүктесімен тураланған.

Сандық шеңбердегі әрбір нүктенің координаталық жазықтықта өзінің х және у координаталары болады және:
1) $x > 0$, $y > 0$ үшін - бірінші тоқсанда;
2) $x 0$ үшін - екінші тоқсанда;
3) $x үшін 4) $x > 0$, $y үшін
Сандық шеңбердегі кез келген $M(x; y)$ нүктесі үшін келесі теңсіздіктер орындалады: $-1
Сандық шеңбердің теңдеуін есте сақтаңыз: $x^2 + y^2 = 1$.

Біз үшін суретте берілген сандық шеңбердегі нүктелердің координаталарын табуды үйрену маңызды.

$\frac(π)(4)$ нүктесінің координатасын табайық

$M(\frac(π)(4))$ нүктесі бірінші тоқсанның ортасы. М нүктесінен ОА түзуіне перпендикуляр MR түсіріп, OMP үшбұрышын қарастырайық.AM доғасы AB доғасының жартысы болғандықтан, $∠MOP=45°$.
Сонымен, OMP үшбұрышы тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрышжәне $OP=MP$, яғни. М нүктесінде абсцисса мен ордината тең: $x = y$.
$M(x;y)$ нүктесінің координаталары сандар шеңберінің теңдеуін қанағаттандыратындықтан, оларды табу үшін теңдеулер жүйесін шешу керек:
$\begin (жағдайлар) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \end (жағдайлар)$
Бұл жүйені шешіп, біз мынаны аламыз: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Бұл $\frac(π)(4)$ санына сәйкес келетін M нүктесінің координаталары $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( болатынын білдіреді. 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Алдыңғы суретте келтірілген нүктелердің координаталары ұқсас жолмен есептеледі.

Сандық шеңбердегі нүктелердің координаталары

Мысалдарды қарастырайық

1-мысал.
Сандық шеңбердегі нүктенің координатасын табыңыз: $P(45\frac(π)(4))$.

Шешімі:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Бұл $45\frac(π)(4)$ саны $\frac(5π)(4)$ саны сияқты сандар шеңберіндегі бірдей нүктеге сәйкес келетінін білдіреді. Кестедегі $\frac(5π)(4)$ нүктесінің мәніне қарап, мынаны аламыз: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

2-мысал.
Сандық шеңбердегі нүктенің координатасын табыңыз: $P(-\frac(37π)(3))$.

Шешімі:

Өйткені $t$ және $t+2π*k$ сандары, мұндағы k - бүтін сан, сандар шеңберінің бірдей нүктесіне сәйкес келеді, онда:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Бұл $-\frac(37π)(3)$ саны $–\frac(π)(3)$ саны және –$\frac(π) саны сияқты сандар шеңберінің бірдей нүктесіне сәйкес келетінін білдіреді. (3)$ $\frac(5π)(3)$ нүктесіне сәйкес келеді. Кестедегі $\frac(5π)(3)$ нүктесінің мәніне қарап, мынаны аламыз:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

3-мысал.
Ординатасы $y =\frac(1)(2)$ болатын сандар шеңберінен нүктелерді табыңыз және олар қандай $t$ сандарына сәйкес келетінін жазыңыз?

Шешімі:
$y =\frac(1)(2)$ түзу сызығы сан шеңберін M және P нүктелерінде қиып өтеді. M нүктесі $\frac(π)(6)$ санына сәйкес келеді (кесте деректерінен). Бұл пішіннің кез келген санын білдіреді: $\frac(π)(6)+2π*k$. P нүктесі $\frac(5π)(6)$ санына, демек $\frac(5π)(6) +2 π*k$ түрінің кез келген санына сәйкес келеді.
Біз мұндай жағдайларда жиі айтылатындай, екі мәнді алдық:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ және $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Жауабы: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ және $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

4-мысал.
$x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ абсциссасы бар сандар шеңберінен нүктелерді тауып, олар қандай $t$ сандарына сәйкес келетінін жазыңыз.

Шешімі:

$x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ түзу M және P нүктелерінде сандар шеңберін қиып өтеді. $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ теңсіздігі сәйкес PM доғасының нүктелеріне. M нүктесі $3\frac(π)(4)$ санына сәйкес келеді (кесте деректерінен). Бұл $-\frac(3π)(4) +2π*k$ түрінің кез келген санын білдіреді. P нүктесі $-\frac(3π)(4)$ санына, демек $-\frac(3π)(4) +2π*k$ түрінің кез келген санына сәйкес келеді.

Сонда $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$ аламыз.

Жауабы: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Өз бетінше шешілетін мәселелер

1) Сандық шеңбердегі нүктенің координатасын табыңыз: $P(\frac(61π)(6))$.
2) Сандық шеңбердегі нүктенің координатасын табыңыз: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Ординатасы $y = -\frac(1)(2)$ болатын сандар шеңберінен нүктелерді тауып, олардың қай $t$ сандарына сәйкес келетінін жазыңыз.
4) Ординатасы $y ≥ -\frac(1)(2)$ болатын сандар шеңберінен нүктелерді тауып, олардың қандай $t$ сандарына сәйкес келетінін жазыңыз.
5) $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ абсциссасы бар сандар шеңберінен нүктелерді тауып, олар қандай $t$ сандарына сәйкес келетінін жазыңыз.

Мектепте тригонометрияны оқыған кезде әрбір оқушы өте қызықты «сандар шеңбері» ұғымына тап болады. Оқушының кейінірек тригонометрияны қаншалықты меңгеруі мектеп мұғалімінің оның не екенін және оның не үшін қажет екенін түсіндіре білуіне байланысты. Өкінішке орай, әрбір мұғалім бұл материалды нақты түсіндіре алмайды. Осының салдарынан көптеген студенттер тіпті қалай белгілеу керектігін білмей де абдырап қалады сандар шеңберіндегі нүктелер. Егер сіз осы мақаланы аяғына дейін оқып шықсаңыз, мұны еш қиындықсыз қалай жасауға болатынын білесіз.

Ендеше, бастайық. Радиусы 1-ге тең шеңбер салайық. Осы шеңбердің «ең оң жақ» нүктесін әріппен белгілейік. О:

Құттықтаймыз, сіз жаңа ғана бірлік шеңберін сыздыңыз. Бұл шеңбердің радиусы 1 болғандықтан, оның ұзындығы .

Әрқайсысына нақты саннүктеден бастап сандық шеңбер бойымен траекторияның ұзындығын сәйкестендіре аласыз О. Қозғалыс бағыты сағат тіліне қарсы оң бағыт ретінде қабылданады. Теріс үшін – сағат тілімен:

Сандық шеңбердегі нүктелердің орналасуы

Жоғарыда атап өткеніміздей, сандық шеңбердің (бірлік шеңберінің) ұзындығы -ге тең. Сонда бұл шеңберде нөмір қайда орналасады? Әлбетте, нүктеден Осағат тіліне қарсы біз шеңбердің жарты ұзындығына баруымыз керек және біз өзімізді қалаған нүктеде табамыз. Оны әріппен белгілейік Б:

Сол нүктеге теріс бағытта жарты шеңбер бойымен жүру арқылы жетуге болатынын ескеріңіз. Содан кейін бірлік шеңберіне санды саламыз. Яғни сандар бір нүктеге сәйкес келеді.

Оның үстіне дәл осы нүкте , , сандарына және жалпы алғанда , түрінде жазылатын сандардың шексіз жиынына сәйкес келеді, мұндағы , яғни бүтін сандар жиынына жатады. Мұның бәрі нүктеден Бкез келген бағытта «әлемді айналып» саяхат жасай аласыз (шеңберді қосу немесе азайту) және сол нүктеге жетуге болады. Біз түсінуді және есте сақтауды қажет ететін маңызды қорытынды аламыз.

Әрбір сан сандық шеңбердегі бір нүктеге сәйкес келеді. Бірақ сандық шеңбердегі әрбір нүкте сандардың шексіз санына сәйкес келеді.

Енді сандық шеңбердің жоғарғы жарты шеңберін нүкте арқылы бірдей ұзындықтағы доғаларға бөлейік C. Доғаның ұзындығын көру оңай О.К.тең . Енді мәселеден кейінге қалдырайық Cсағат тіліне қарсы бағытта бірдей ұзындықтағы доға. Нәтижесінде біз мәселеге келеміз Б. Нәтиже күтілуде, өйткені . Бұл доғаны қайтадан сол бағытта саламыз, бірақ енді нүктеден Б. Нәтижесінде біз мәселеге келеміз D, ол қазірдің өзінде нөмірге сәйкес келеді:

Бұл нүкте тек санға ғана емес, сонымен қатар, мысалы, санға сәйкес келетінін тағы да ескеріңіз, өйткені бұл нүктеге нүктеден алыстау арқылы жетуге болады. Осағат тілімен ширек шеңбер (теріс бағытта).

Және, тұтастай алғанда, бұл нүкте пішінде жазылуы мүмкін шексіз көп сандарға сәйкес келетінін тағы да атап өтеміз. . Бірақ оларды формада жазуға болады. Немесе, қаласаңыз, түрінде. Бұл жазбалардың барлығы мүлдем эквивалентті және оларды бір-бірінен алуға болады.

Енді доғаны екіге бөлейік О.К.жарты нүкте М. Енді доғаның ұзындығы қандай екенін анықтаңыз ОМ? Дұрыс, доғаның жартысы О.К.. Яғни . Нүкте қандай сандарға сәйкес келеді? Мсандық шеңберде? Енді сіз бұл сандарды жазуға болатынын түсінесіз деп сенімдімін.

Бірақ оны басқаша жасауға болады. Алайық. Сонда біз оны аламыз . Яғни, бұл сандарды формада жазуға болады . Дәл осындай нәтижені сандар шеңбері арқылы алуға болады. Жоғарыда айтқанымдай, екі жазба да баламалы және оларды бір-бірінен алуға болады.

Енді сіз нүктелер сәйкес келетін сандарға оңай мысал келтіре аласыз Н, ПЖәне Қсандық шеңберде. Мысалы, , және сандары:

Көбінесе бұл сандар шеңберіндегі сәйкес нүктелерді белгілеу үшін ең аз оң сандар алынады. Бұл мүлдем қажет болмаса да, кезең Н, сіз білетіндей, басқа сандардың шексіз санына сәйкес келеді. Соның ішінде, мысалы, сан.

Егер сіз доғаны бұзсаңыз О.К.нүктелері бар үш бірдей доғаға СЖәне Л, сондықтан мәселе осы Снүктелер арасында орналасады ОЖәне Л, содан кейін доғаның ұзындығы ОЖ-ға және доғаның ұзындығына тең болады OL-ге тең болады. Сабақтың алдыңғы бөлігінде алған білімдеріңізді пайдалана отырып, сандар шеңберіндегі қалған нүктелердің қалай шыққанын оңай анықтауға болады:

Сандар шеңберіндегі π еселігі емес сандар

Енді өзімізге сұрақ қойып көрейік: 1 санына сәйкес нүктені сан түзуінің қай жерінде белгілеуіміз керек? Мұны істеу үшін бірлік шеңберінің ең «оң» нүктесінен бастау керек Оұзындығы 1-ге тең болатын доғаның графигін салыңыз. Біз қалаған нүктенің орнын шамамен ғана көрсете аламыз. Келесідей жалғастырайық.

Сіз сандар шеңбері туралы оқып шықтыңыз деп үміттенемін және оның неліктен сандық шеңбер деп аталатынын, координаталардың басы онда және қай жағында оң бағыт екенін білесіз. Олай болмаса, жүгір! Әрине, сіз сандар шеңберінен нүктелерді таба алмасаңыз.

\(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) сандарын белгілейміз. (2 )\)

Алдыңғы мақаладан белгілі болғандай, сандар шеңберінің радиусы \(1\) болады. Бұл шеңбердің \(2π\) тең екенін білдіреді (\(l=2πR\) формуласы арқылы есептеледі). Осыны ескере отырып, сандар шеңберіне \(2π\) белгілейміз. Бұл санды белгілеу үшін сандық шеңбер бойымен \(0\) нүктесінен оң бағытта \(2π\)-ге тең қашықтыққа өтуіміз керек және шеңбердің ұзындығы \(2π\ болғандықтан, ол айналады. біз жасаймыз толық айналым. Яғни \(2π\) және \(0\) саны бір нүктеге сәйкес келеді. Уайымдамаңыз, бір нүкте үшін бірнеше мәндер сандар шеңбері үшін қалыпты болып табылады.

Енді сандар шеңберіне \(π\) санын белгілейік. \(π\) - \(2π\) жартысы. Осылайша, осы санды және сәйкес нүктені белгілеу үшін \(0\) нүктесінен оң бағытта жарты шеңберге өту керек.

нүктені белгілейік \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) - \(π\ санының жартысы, сондықтан бұл санды белгілеу үшін \(0\) нүктесінен оң бағытта \(-дің жартысына тең қашықтыққа өту керек. π\), бұл ширек шеңбер.

Шеңбердегі нүктелерді белгілейік \(-\)\(\frac(π)(2)\) . Біз өткен жолғыдай қашықтықты жылжытамыз, бірақ теріс бағытта.

\(-π\) қоямыз. Ол үшін теріс бағытта жарты шеңберге тең қашықтықты жүрейік.

Енді күрделірек мысалды қарастырайық. Шеңберге \(\frac(3π)(2)\) санын белгілейік. Ол үшін \(\frac(3)(2)\) бөлігін \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ түріне аударамыз. ), яғни е. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . Бұл \(0\) нүктесінен оң бағытта жарты шеңбер және тағы бір ширек қашықтыққа бару керек дегенді білдіреді.

1-жаттығу. Сандық шеңбердегі \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) нүктелерін белгілеңіз.

\(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\) сандарын белгілейміз.

Жоғарыда сандар шеңберінің \(x\) және \(y\) осьтерімен қиылысу нүктелеріндегі мәндерді таптық. Енді аралық нүктелердің орнын анықтайық. Алдымен \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) және \(\frac(π)(6)\) нүктелерін салайық.
\(\frac(π)(4)\) жартысы \(\frac(π)(2)\) (яғни, \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , сондықтан \(\frac(π)(4)\) қашықтық жарты ширек шеңберге тең.

\(\frac(π)(4)\) \(π\) үштен бір бөлігі (басқаша айтқанда,\(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), сондықтан қашықтық \ (\frac(π)(3)\) жарты шеңбердің үштен бір бөлігі.

\(\frac(π)(6)\) - \(\frac(π)(3)\) жартысы (ақыр соңында, \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) сондықтан \(\frac(π)(6)\) қашықтықтың жартысы \(\frac(π)(3)\) .

Олар бір-біріне қатысты осылай орналасады:

Пікір:\(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) мәні бар нүктелердің орналасуы ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) есте сақтаған жөн. Оларсыз сандық шеңбер, мониторы жоқ компьютер сияқты, пайдалы нәрсе болып көрінеді, бірақ пайдалану өте ыңғайсыз.

Шеңбердегі әртүрлі қашықтықтар анық көрсетілген:

\(\frac(7π)(6)\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\) сандарын белгілейміз.

Шеңбердегі нүктені белгілейік \(\frac(7π)(6)\) , ол үшін келесі түрлендірулерді орындаймыз: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π)( 6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\frac( π)(6)\) . Бұдан біз нөлден оң бағытта \(π\) қашықтықты, содан кейін тағы бір \(\frac(π)(6)\) қашықтықты жүру керек екенін көреміз.

Шеңбердегі \(-\)\(\frac(4π)(3)\) нүктесін белгілеңіз. Түрлендіру: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . Бұл \(0\) бастап теріс бағытта \(π\) және де \(\frac(π)(3)\) қашықтыққа өту керек дегенді білдіреді.

\(\frac(7π)(4)\) нүктесін салайық, ол үшін \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4) түрлендіреміз. )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π) )(4) \) . Бұл \(\frac(7π)(4)\) мәні бар нүктені орналастыру үшін \(2π\) мәні бар нүктеден \(\) қашықтықта теріс жағына өту керек дегенді білдіреді. frac(π)(4)\) .

2-тапсырма. \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) нүктелерін белгілеңіз сандық шеңбер (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .

\(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π) сандарын белгілейміз. )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)

\(10π\) \(5 \cdot 2π\) түрінде жазайық. Еске салайық, \(2π\) қашықтық ұзындығына теңшеңберлер, сондықтан \(10π\) нүктесін белгілеу үшін нөлден \(5\) шеңберге тең қашықтыққа өту керек. Біз қайтадан \(0\) нүктесінде болатынымызды болжау қиын емес, тек бес айналым жасаңыз.

Бұл мысалдан қорытынды жасауға болады:

\(2πn\) айырмашылығы бар сандар, мұндағы \(n∈Z\) (яғни, \(n\) кез келген бүтін сан) бір нүктеге сәйкес келеді.

Яғни, мәні \(2π\)-ден үлкен (немесе \(-2π\)-ден кіші) санды қою үшін одан жұп санды \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) және тастаңыз. Осылайша, біз нүктенің орнына әсер етпейтін сандардан «бос төңкерістерді» алып тастаймыз.

Тағы бір қорытынды:

\(0\) сәйкес келетін нүкте \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…) барлық жұп шамаларға да сәйкес келеді.

Енді шеңберге \(-3π\) қолданайық. \(-3π=-π-2π\), яғни \(-3π\) және \(–π\) шеңбердің бір орнында (өйткені олар \(-2π ішінде "бос бұрылыспен" ерекшеленеді) \)).

Айтпақшы, барлық тақ \(π\) де сонда болады.

\(π\) сәйкес келетін нүкте \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…) барлық тақ шамаларға да сәйкес келеді.

Енді \(\frac(7π)(2)\) санын белгілейік. Әдеттегідей түрлендіреміз: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . Біз екі пиді тастаймыз және \(\frac(7π)(2)\) санын белгілеу үшін нөлден оң бағытта \(π+\)\(\) қашықтыққа өту керек екені белгілі болды. frac(π)(2)\ ) (яғни жарты шеңбер және тағы бір ширек).

Жоғары сынып оқушылары оқуда қиындықтар туындаған кезде ешқашан білмейді. Мектепте оқылатын кез келген пән орыс тілінен бастап өмір қауіпсіздігіне дейін қиындық тудыруы мүмкін. Бірі академиялық пәндерМектеп оқушыларын ұдайы терлететін пән – алгебра. Алгебра ғылымы жетінші сыныптан бастап балалардың санасын үрейлендіре бастайды және оныншы және он бірінші оқу жылында бұл ісін жалғастырады. Жасөспірімдер әр түрлі құралдарды пайдалана отырып, өз өмірін жеңілдете алады.

Алгебрадан 10-11 сыныптарға арналған ГДЗ жинағы (Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева)негізгі кітапқа тамаша қосымша болып табылады. арқылы анықтамалық ақпаратоқушы кез келген жаттығуды шешуге дайын. Тапсырмалар келесі тақырыптарды талдауды қамтиды:

• тригонометриялық функциялар мен теңдеулер;
• логарифмдер;
• градус.

Берілген жауаптар мен түсініктемелерде балаға міндетті түрде көмектесетін қажетті авторлық ескертулер бар.

Сізге шешуші не үшін қажет?

Басылым барлық мектеп оқушыларына материалды өз бетінше пысықтауға, ал тақырыпты түсінбеген немесе жіберіп алған жағдайда сапасына нұқсан келтірмей өз бетінше өтуге мүмкіндік береді. Сондай-ақ, анықтамалық деректер болашақ тәуелсіз және тиімді дайындалуға мүмкіндік береді сынақтар. Ең ізденімпаз студенттер ілесе алады оқу бағдарламасыалға, бұл болашақта білімді меңгеруге және орташа баллдың өсуіне оң әсер етеді.

Оныншы, он бірінші сынып оқушыларынан басқа Алимовтың 10-11 сыныпқа арналған алгебра пәнінен оқу құралыАта-аналар мен мұғалімдер оны оңай пайдалана алады: біріншісі үшін ол баланың білімін бақылау құралына айналады, ал екіншісі үшін ол өз материалдарын әзірлеуге негіз болады және тест тапсырмаларысыныптағы іс-шараларға арналған.

Жинақ қалай ұйымдастырылған

Ресурс оқулықтың құрылымына толығымен сәйкес келеді. Ішінде пайдаланушы 1624 жаттығудың жауаптарын, сондай-ақ он үш тарауға бөлінген «Өзіңді сынап көр» бөлімінің тапсырмаларын көру мүмкіндігіне ие. Кілттер тәулігіне 24 сағат қол жетімді, нөмірді іздеу өрісі арқылы немесе ыңғайлы навигация арқылы табуға болады.

5. КЕЗ КЕЛГЕН АРГУМЕНТТІҢ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРЫ

§ 20. БІРЛІК ШЕҢБЕРІ

948. Бірлік шеңбердің доғасының ұзындығы мен оның радиандық өлшемі арасында қандай байланыс бар?

949. Бірлік шеңберде сандарға сәйкес нүктелерді тұрғызыңыз: 0; 1; 2; 3; 4; 5; .... Осы нүктелердің кез келгені сәйкес келуі мүмкін бе? Неліктен?

950. Сандар α = 1/2 формуласымен берілген к, Қайда к= 0; ±1; ±2; ....
Сан түзуіне және бірлік шеңберіне осы сандарға сәйкес нүктелерді сал. Сан түзуінде неше нүкте, бірлік шеңберде қанша нүкте болады?

951. Бірлік шеңберіндегі және сандар осіндегі сандарға сәйкес нүктелерді белгілеңіз:
1) α = π к, к= 0; ±1, ±2, ...;
2) α = π / 2 (2к + 1), к= 0; ± 1; ±2; ...;
3) α = π к / 6 , к= 0; ±1; ±2; ... .
Сан түзуінде неше нүкте, бірлік шеңберде қанша нүкте бар?

952. Сандар осінде және бірлік шеңберде орналасқан сандарға сәйкес нүктелер қалай аталады?
1) АЖәне - А; 2) АЖәне А±π; 3) А+ π және А- π; 4) АЖәне А+ 2π к, к= 0; ±1; ±2; ...?

953. Сандарды сан осіндегі нүктелермен бейнелеу мен бірлік шеңбердегі нүктелермен көрсетудің принципті айырмашылығы неде?

954. 1) Бірлік шеңбердің қиылысу нүктелеріне сәйкес келетін ең кіші теріс емес сандарды табыңыз: а) координата осьтерімен; б) координаталық бұрыштардың биссектрисаларымен.

2) Әр жағдайда жазыңыз жалпы формулабірлік шеңбердің көрсетілген нүктелеріне сәйкес келетін сандар.

955. Соны білу Абірлік шеңбердегі берілген нүктеге сәйкес сандардың бірі болып табылады, табыңыз:
1) берілген нүктеге сәйкес келетін барлық сандар;
2) бірлік шеңбердегі берілген нүктеге симметриялы нүктеге сәйкес келетін барлық сандар:
а) х осіне қатысты; б) ордината осіне қатысты; в) шығу тегіне қатысты.
Қабылдау арқылы мәселені шешіңіз А = 0; π / 2 ; 1 ; 2 ; π / 6; - π / 4 .

956. Сандар қанағаттандыратын шартты табыңыз А, сәйкес:
1) бірлік шеңбердің 1-ші ширегіндегі нүктелер;
2) бірлік шеңбердің 2-ші ширегіндегі нүктелер;
3) бірлік шеңбердің 3-ші ширегіндегі нүктелер;
4) бірлік шеңбердің 4-ші ширегіндегі нүктелер.

957. Бірлік шеңберге сызылған ABCDEFKL дұрыс сегізбұрышының А төбесінің координаталары (1; 0) болады (39-сурет).

1) Сегізбұрыштың қалған төбелерінің координаталарын анықтаңдар.
2) Бірлік шеңберінің доғаларының жалпы формуласын құрыңыз:
а) А, С, Е және К нүктелерінде; б) B, D, F және L нүктелерінде; в) A, B, C, D, E, F, K және L нүктелерінде.

958. 1) Ординатасы 0,5-ке тең бірлік шеңберге нүкте сал. Бірлік шеңбердің неше нүктесінде ордината берілген? Бұл нүктелер ордината осіне қатысты қалай орналасқан?

2) Соңында ординатасы 0,5 болатын абсолюттік мәндегі ең кіші доғаны транспортирмен (1° дәлдікпен) өлшеп, ординатасы бар нүктелерде аяқталатын бірлік шеңбер доғаларының жалпы формуласын құрастыр. 0,5.

959. Ординатаны алып, 958 есепті шешіңіз сағтең:

1) - 0,5; 2) 0 4; 3) 0,5√3 .

960. 1) Абсциссасы 0,5 болатын бірлік шеңберге нүкте сал. Бірлік шеңберде неше нүкте абсциссаға ие? Бұл нүктелер х осіне қатысты қалай орналасқан?

2) Соңында абсциссасы 0,5-ке тең болатын ең кіші оң доғаны транспортирмен (1° дәлдікпен) өлшеп, абсциссасы 0,5 нүктеде аяқталатын бірлік шеңбер доғаларының жалпы формуласын құрастыр.

961. Абциссаны алып, 960 есепті шешіңіз Xтең:

1) - 2 / 3 ; 2) 0,4; 3) 0,5√2 .

962. () формуласымен берілген бірлік шеңбер доғаларының ұштарының координаталарын анықтаңыз. к= 0; ±1; ±2; ...):

1) α = 30°(2 к+ 1); 2) α = π к / 3 .

963. Келесі бұрыштар қатарын өрнектеңіз ( к= 0; ±1; ±2; ...):

1) α 1 = 180° к+ 120° және α 2 = 180° к+ 30°;

2) α 1 = π к + π / 6 және α 2 = π к - π / 3 ;

3) α 1 = 90° кжәне α 2 = 45° (2 к + 1);

4) α 1 = π кжәне α 2 = π / 3 (3к± 1);

5) α 1 = 120° к± 15° және α 2 = 120° к± 45°;

6) α 1 = π к; α2 = 2π к ± π / 3 және α 3 = 2л к± 2π / 3 ;

7) α 1 = 180° к+ 140°; α 2 = 180° к+ 80° және α 3 = 180° к+ 20°;

8) α 1 = 180° к + (-1)к 60° және α 2 = 180° к - (-1)к 60°.

964. Келесі формулалардағы қайталанатын бұрыштарды жойыңыз ( к= 0-±1; ±2; ...):

1) α 1 = 90° кжәне α 2 = 60° к+ 30°;

2) α 1 = π к / 2 және α 2 = π к / 5 ;

3) α 1 = 1/4 π кжәне α 2 = 1/2 π к± 1/4 π;

4) α 1 = π (2 к+ 1) - π / 6 және α 2 = 2/5 π к+ 1 / 30 π;

5) α 1 = 72° к+ 36° және α 2 = 120° к+ 60°.