Жай бөлшектердің шығу тарихы. «Бөлшектердің тарихынан» жобасы Ғылыми жұмыс Периодты бөлшектер туралы қызықты деректер

Ищенко Александра

6-сынып оқушыларының «Бөлшектердің тарихынан» жобасы аясында жасаған баяндамаларының бірі. кезінде ғылыми-зерттеу қызметістуденттер сұраққа жауап беру керек болды: жай бөлшек математиктердің өнертабысы немесе тұжырымдамасы практикалық іс-шараларадам. Бөлшектердің әртүрлі елдерде және әртүрлі тарихи дәуірлерде пайда болу тарихын зерттей отырып, студенттер бұл сұраққа жауап береді. Презентация құрамында қызықты фактілержәне антикварлық математикалық кітаптардың фотосуреттері ұсынылған. Бұл презентацияны пәнге деген қызығушылықты дамыту үшін «Бөлшек» тақырыбы бойынша сабақтарда пайдалануға болады.

Жүктеп алу:

Слайдтағы жазулар:

Ежелгі заманнан бері адамдар тек заттарды санап қана қоймай,

ол натурал сандарды, сонымен қатар ұзындықты, уақытты, ауданды өлшеуді талап етті. Өлшеу нәтижесі әрқашан көрсетілмейді натурал сан, бөлшектер мен үлестерді есепке алу керек болды. Бөлшектер осылай пайда болды.

Ищенко Саша, 6D сыныбы,

«No87 гимназия» коммуналдық білім беру мекемесі, 2009 ж.

Фракциялар туралы алғашқы ескертулер Ежелгі Вавилонның саз тақталарында табылған.

Бұл мемлекет Тигр және Евфрат өзендерінің аңғарларында шамамен б.з.д. үш мың жыл бұрын орналасқан.

Вавилондық «мәтіндер» бізге әдетте алақанның көлеміндей балшық тақтайшалар түрінде келеді. Олар сына жазуымен, сына тәрізді әліпбимен жазылған.

Олардың арифметикасының негізі 60 болды, вавилондық математикада олар бүтін және бөлшектер үшін сексуалдық кіші жүйені қолданды, бөлшектер 60-қа тең тұрақты бөлгішпен жазылды.

Мысалы,

Кейінірек ежелгі египеттіктер 1/2, 1/3, 1/28 бөлшектерін енгізді - олар негізгі немесе бірлік деп аталды; 2/3 бөлшек үшін арнайы белгілеу болды, ол басқа фракциялардың белгілеулерімен сәйкес келмеді.

Мысырлықтар қалған барлық бөлшектерді үлестердің қосындысы ретінде жазуға тырысты, яғни. 1/n түріндегі бөлшектер.

Мысалы, 8/15 орнына 1/3+1/5 деп жазды. Кейде бұл ыңғайлы болды

Ежелгі Египет папирусы біздің дәуірімізге дейінгі 2000 ж.

Бірлік бөлшектерді қолданып есептеу әдістері мысырлықтардан Грецияға, гректерден арабтарға және олардан Батыс Еуропа.

Бөлшектердің қызықты жүйесі болды Ежелгі Рим. Масса бірлігі 1 асс 12 бөлікке бөлінді, сәйкесінше римдіктер он екі ондық бөлшектерді пайдаланды.

Біз 1/12 деп атайтын бөлшекті римдіктер «унция» деп атаған, тіпті ол ұзындықты немесе басқа шаманы өлшеу үшін қолданылса да; біз 1/8 деп атайтын бөлшекті римдіктер және сол сияқтылар «бір жарым унция» деп атаған.

Римдік адам 7 унция жол жүрдім немесе 5 унция кітап оқыдым деп айта алады. Бұл ретте, әрине, олар жолды да, кітапты да таразылаған жоқ.

Бұл жолдың 7/12 бөлігі жабылғанын немесе кітаптың 5/12 бөлігі оқылғанын білдіреді.

Бөлшектерді алымы мен бөлгішімен жазудың қазіргі жүйесі ежелгі Үндістанда жасалған, бірақ үндістер бөлшек сызықтарды жазбаған.
Үнді ғалымы Брахмагупта (б.з. 8 ғ.) белгілеген бөлшектермен амалдар жасау ережелері бізден сәл ғана ерекшеленеді.Үнділердің бөлшектерді белгілеу және олармен әрекет ету ережелері 9 ғасырда мұсылман елдерінде игерілген. Өзбек ғалымы Мұхаммед Хорезмдік (әл-Хорезми) .

Оларды Батыс Еуропаға Пизадан итальяндық көпес және ғалым Леонардо Фибоначчи әкелді (13 ғ.).

Пизалық Леонардо

шамамен 1170 - 1250

Ежелгі Русьтегі бөлшектер акциялар, кейінірек сынған сандар деп аталды. Сонымен 1 саны бар бөлшектердің өз атаулары болды.

1/2 - жартысы, жартысы.

1\3 - үштен бір.

1\4 - жұп.

1\6 - үштен жартысы.

1\8 - жартысы.

1\12 - үштен жартысы.

1\10 – ондық (1,09 га)

МАГНИЦКИ

Леонтий Филиппович (1669-1739)

Бірінші бет

«Арифметика» орыс оқулығы

Ресейде славяндық нөмірлеу 16 ғасырға дейін қолданылған. Ал Петр I тұсында ғана ондық санау жүйесі енгізілді, ол бүгінгі күнге дейін сақталған. 1903 жылы Л.Ф.Магнитскийдің «Арифметикасы» жарық көрді. Онда бірінші бөлім бүтін сандармен операцияларды сипаттайды, екіншісі - сынық сандармен, яғни. бөлшекте.

Бұл тақырыпты әртүрлі әдебиеттерде және Интернетте зерттегеннен кейін,

Мен мынадай қорытындыға келдім:

Жай бөлшек математиктердің ойлап тапқаны емес, бұл ұғым

қандай адамдар әртүрлі елдержәне әртүрлі тарихи кезеңдерде

Біз оны ойлап тауып, өмірімізде қолдандық.

Әр халық өз атаулары мен бөлшектердің белгілерін ойлап тапты.

Математиктер тек осы және

Біз ыңғайлы тіркеу формасын ойлап таптық.

4. http://images.yandex.ru/yandsearch?

5. http://ru.wikipedia.org/wiki

3. http://kosilova.textdriven.com/narod/studia3/math/translatio/babylon.htm

Әдебиет

2. Энциклопедия. Мен әлемді зерттеп жатырмын. Ұлы ғалымдар. – М.: «АСТ» баспасы» ЖШС, 2003;

1.Энциклопедия. Мен әлемді зерттеп жатырмын. Математика. – М.: «АСТ баспасы» ЖШС,

Ондық бөлшектер 3 ғасырда пайда болды. BC. ондық санау жүйесі қолданылған ежелгі Қытайда. 3 ғасырдағы қытай математигі. Лю Хуэй бөлгіші 10, 100 және т.б. болатын бөлшектерді пайдалануды ұсынды. шаршы түбірлерді алу кезінде. Ол ережені білдіреді

оны кейіннен көптеген араб және еуропалық математиктер жиі қолданды. Дәл осы ереже басқа да есептеу техникаларымен қатар ондық бөлшектердің ғылымға енуіне үлкен үлес қосты.

15 ғасырда Ондық бөлшектердің толық теориясын Самарқандтық астроном Джемшид әл-Каши «Арифметика кілті» (1427) трактатында жасаған. Ондық бөлшектермен жұмыс істеу ережелерін толық айтып берді. Әл-Каши ондықтардың Қытайда қолданылғанын білмеген болуы мүмкін. Оның өзі оларды өзінің өнертабысы деп санады. Ондық бөлшектерді үнемі қолдану және олармен жұмыс істеу ережелерін сипаттау ғалымның тікелей сіңірген еңбегі екені даусыз. Бірақ оның трактаттары еуропалық ғалымдарға белгісіз еді. Олар өз бетінше ондық бөлшектер теориясын жасады.

Мұндай бөлшектер жүйесін құру идеясы 13 ғасырдан бастап арифметика оқулықтарында мезгіл-мезгіл пайда болды. Бұл туралы Джордан Неморариус өзінің «Он кітаптағы арифметика» атты еңбегінде жазған.

Француз ғалымы Франсуа Вьет 1579 жылы Парижде «Математикалық канон» атты еңбегін басып шығарды, онда ол құрастыруда ондық бөлшектерді пайдаланған тригонометриялық кестелерді ұсынды. Ондық бөлшектерді жазғанда ол белгілі бір әдісті ұстанбаған: кейде ол бүтін бөлшекті бөлшек бөлігінен тік сызықпен бөлді, кейде бүтін бөліктің сандарын қоюмен бейнеледі, кейде бөлшек бөлігінің сандарын жазды. кіші әріптермен. Осылайша, Виетаның арқасында ондық бөлшектер ғылыми есептеулерге ене бастады, бірақ олар күнделікті тәжірибеге енбеді.

Голландиялық ғалым Саймон Стевин ондық бөлшектерді барлық практикалық есептеулерде қолдану керек деп есептеді. Ол өзінің «Ондық» (1585) еңбегін осыған арнап, онда ондық бөлшектерді енгізіп, ережелерін жасады. арифметикалық амалдаролармен бірге ақша бірліктерінің, өлшемдер мен салмақтардың ондық жүйесін ұсынды.

«Ондық» Еуропада тез танымал болды. Кітапты 1585 жылы фламанд тілінде басып шығарған автор оны аударған француз тілі, ал 1601 жылы ағылшын тілінде жарық көрді.

Стивин бөлшектерді қазіргіден басқаша жазды. Бөлшек бөлігін көрсету үшін дөңгелектелген 0 пайдаланылды. Алғаш рет бөлшекті жазу кезінде үтір 1592 жылы қолданылған.Англияда үтірдің орнына нүкте қолданылған, АҚШ-та ол әлі күнге дейін қолданылады. Ол 1616-1617 жылдары үтірді нүкте сияқты бөлу белгісі ретінде қолдануды ұсынды. атақты Ағылшын математигіДжон Непьер. Астроном Иоганнес Кеплер өз еңбектерінде ондық бөлшекті қолданған.

Ресейде ондық бөлшектер туралы ілімді алғаш рет Л.Ф. Магнитский өзінің «Арифметикасында».

Павликова Е.В. (, МАОУ Дятковская No5 орта мектебі)

1. Анищенко Е.А. Сан математиканың негізгі ұғымы ретінде. Мариуполь, 2002 ж.

2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. 5-сынып: білім беру оқу орындары. – 26-шы басылым, өшірілген. – М.: Мнемосине, 2009. – 280 б.

3. Гейзер Г.И. Мектептегі математика тарихы. Мұғалімдерге арналған нұсқаулық. – М.: Білім, 1981. – 239 б.

4. Математика. 5-сынып: жалпы білім беретін оқу. мекемелер / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. 11-бас., қайта қаралған. – М.: Білім, 2016. – 272 б. – (ММУ – мектеп).

5. Математикалық энциклопедиялық сөздік. – М., 1988 ж.

6. Драгунский В. Сізде әзіл-оспақ болуы керек. – Кіру режимі: http://peskarlib.ru/lib.phpid_sst=248.

7. Бөлшектердің тарихынан. Қол жеткізу режимі: http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm.

8. Уикипедия материалы – еркін энциклопедия. Қол жеткізу режимі: http://ru.wikipedia.org/wiki.

9. Дәйексөз. Қол жеткізу режимі: http://citaty.socratify.net/lev-toltoi/25013.

Бөлшектерді зерттеуді өмірдің өзі талап етеді. Әртүрлі есептеулер мен есептеулерді орындау қабілеті әр адамға қажет, өйткені біз бөлшек сандарда кездесеміз. Күнделікті өмір. Мен бұл сандардың аты қайдан шыққанын білгім келді; Бұл сандарды кім ойлап тапты, біз мектепте оқитын «Бөлшек сандар» тақырыбы менің өміріме қажет.

Зерттеу нысаны:жай бөлшектердің шығу тарихы.

Зерттеу пәні: жай бөлшектер.

Гипотеза: Бөлшектер болмаса, математика дами алар ма еді?

Жұмыс мақсаты: математика кабинетіндегі «Айналамыздағы математика» стендін бөлшектер туралы қызықты деректермен безендіру.

Тапсырмалар:

1. Математикадағы бөлшектердің пайда болу тарихын зерттеу;

2. Стендтің бөлімдерін құрастыру үшін қолдануға болатын бөлшектер туралы ең қызықты фактілерді таңдаңыз.

3. Математика кабинетінде стенд орнату.

Бөлшектермен қоршалғандықтан, біз оларды әрдайым анық байқамаймыз. Дегенмен, біз оны жиі кездестіреміз: үйде, көшеде, дүкенде. Таңертең оянғанда біз оятқышқа қарап, бөлшектерді кездестіреміз. Дүкендердегі заттарды таразылағанда біз фракцияларды қолданамыз. Өлшемдерде, жүк көлемін анықтау кезінде. Бөлшектер бізді барлық жерде қоршайды. Бөлшектердің көмегімен ұзындықтарды өлшеп, бүтінді бөліктерге бөлуге болады. Бөлшектерді білмей адамның биіктігін немесе объектілер арасындағы қашықтықты қалай өлшеуге болады? Айналаның бәрі бөлшек!

Сәйкестік: Қазіргі өмір бөлшек есептерін өзекті етеді, өйткені бөлшектерді практикалық қолдану аясы кеңейіп келеді.

Зерттеу әдістері:

1. Бөлшектер туралы ақпаратты әртүрлі көздерден іздеңіз: Интернеттен, көркем әдебиет, оқулықтар.

2. Ақпаратты талдау, салыстыру, синтездеу және жүйелеу.

Жай бөлшектердің тарихынан

Бөлшектердің пайда болуы

Ежелгі заманнан бері өмірлік маңызды мәселелерді шешу үшін адамдар заттарды санап, шамаларды өлшеуге тура келді, яғни «Қанша?» деген сұрақтарға жауап беру керек болды: табында қанша қой бар, егістіктен қанша өлшем астық жиналады? , аудан орталығынан қанша шақырым, т.б. Сонымен сандар пайда болды. Өлшеу нәтижесін немесе өнімнің өзіндік құнын натурал санмен көрсету әрқашан мүмкін болмады. Адамға жаңа - бөлшек - сандарды шығару қажет болғанда, бөлшектер пайда болды. Ежелгі уақытта бүтін және бөлшек сандар басқаша қарастырылды: артықшылықтар бүтін сандар жағында болды. Афина академиясының негізін қалаушы Платон: «Егер сіз бірлікті бөлгіңіз келсе, математиктер сізді келеке етеді және мұны істеуге рұқсат бермейді», - деп жазды.

Барлық өркениеттерде бөлшек ұғымы бүтінді тең бөліктерге бөлу процесінен туындады. Орысша «бөлшек» термині басқа тілдердегі аналогтары сияқты лат тілінен шыққан. «фрактура», бұл өз кезегінде араб тіліндегі бірдей мағынадағы терминнің аудармасы: үзу, үзу. Сондықтан барлық жерде бірінші бөлшектер 1/n түріндегі бөлшектер болған шығар. Әрі қарай дамытуӘрине, бұл бөлшектерді m/n - рационал сандар - құрайтын бөлшектер ретінде қарастыруға барады. Алайда бұл жолды барлық өркениеттер ұстанған жоқ: мысалы, ол ежелгі Египет математикасында ешқашан жүзеге асырылған жоқ.

Адамдардың бірінші бөлігі жарты болды. Келесі барлық бөлшектердің атаулары олардың бөлгіштерінің атауларымен байланысты болса да (үш - «үшінші», төрт - «төрттен» және т.б.), бұл жартысы үшін олай емес - оның барлық тілдердегі атауында ештеңе жоқ. «екі» сөзімен жасаңыз.

Бөлшектерді есепке алу жүйесі және олармен жұмыс істеу ережелері әртүрлі халықтар арасында айтарлықтай ерекшеленді. әртүрлі уақытсол адамдардан. Әртүрлі өркениеттер арасындағы мәдени байланыстар кезінде көптеген идеяларды алу да маңызды рөл атқарды.

Орыс тіліндегі бөлшектер

Орыс тілінде «бөлшек» сөзі 8 ғасырда пайда болды, ол «дроблит» етістігінен шыққан - бұзу, бөлшектеу. Бөлшектердің қазіргі заманғы белгіленуі осыдан басталады Ежелгі Үндістан: Арабтар да қолдана бастады.

Ескі нұсқаулықтарда біз келесідей бөлшек атауларын орыс тілінде кездестіреміз:

Ресейде славяндық нөмірлеу 16 ғасырға дейін қолданылды, содан кейін ондық позициялық санау жүйесі елге біртіндеп ене бастады. Ол Петр I кезіндегі славяндық нөмірлеуді ығыстырып шығарды.

Ресейде қолданылған жер өлшемі төрттен бір және одан кішірек жарты тоқсан болды, ол окмина деп аталды. Бұл нақты фракциялар, жердің ауданын өлшеу бірліктері болды, бірақ октина уақытты немесе жылдамдықты өлшей алмады және т.б. Кейінірек октина кез келген мәнді білдіре алатын 1/8 абстрактілі бөлшекті білдіре бастады. Бөлшектерді қолдану туралы Ресей XVIIғасырда В.Беллюстиннің «Адамдар нақты арифметикаға бірте-бірте жеткені» кітабынан мынаны оқи аласыз: «17 ғасырдағы қолжазбада. «Жарлықтың барлық бөлшектері туралы бап «бөлшектерді жазбаша белгілеуден және алым мен бөлгішті көрсетуден тікелей басталады. Бөлшектерді айту кезінде келесі ерекшеліктер қызықты: төртінші бөлік ширек деп аталды, ал 5-тен 11-ге дейінгі бөлгіші бар бөлшектер «ина» әрпімен аяқталатын сөздермен өрнектелді, осылайша 1/7 апта, 1/5 болады. бес ұпай, 1/10 - ондық; бөлгіштері 10-нан асатын акциялар «лоттар» сөздерімен оқылды, мысалы, 5/13 - лоттардың он үштен бесі. Бөлшектерді нөмірлеу тікелей батыс көздерінен алынған. Бөлгіш жоғарғы сан, ал төменгі сан деп аталды».

Антикалық дәуірдің басқа күйлеріндегі бөлшектер

Ежелгі египеттіктердің барлық санау ережелері қосу және азайту, екі еселенген сандар мен толық бөлшектерді біреуге қосуға негізделген. Бөлшектерге арналған арнайы белгілер болды. Мысырлықтар 1/n түріндегі бөлшектерді пайдаланды, мұндағы n – натурал сан. Мұндай бөлшектер аликвоттар деп аталады. Кейде олар m:n-ді бөлудің орнына m-ді көбейтті. n.

Осы мақсатта арнайы кестелер пайдаланылды. Бөлшектермен амалдар мысырлық арифметиканың ерекшелігі болғанын айту керек, онда қарапайым есептеулер кейде күрделі есептерге айналады. (Қолдану).

Қолдану

«Айналамыздағы математика» стенді

«Египеттегі бөлшектерді жазу» кестесі

Бұл кесте қабылданған канондарға сәйкес күрделі арифметикалық есептеулерді жүргізуге көмектесті. Қазір мектеп оқушылары көбейту кестесін жатқа айтатын болса керек, оны хатшылар жаттап алған сияқты. Бұл кесте сандарды бөлу үшін де қолданылған. Мысырлықтар бөлшекті көбейту мен бөлуді де білген. Бірақ көбейту үшін бөлшектерді бөлшекке көбейту керек болды, содан кейін кестені қайтадан пайдалану керек. Бөлінудің жағдайы одан да күрделі болды.

Мысырлықтар қазірдің өзінде ежелгі дәуіролар 2 алманы үш адамға қалай бөлуге болатынын білді: оларда бұл сан үшін арнайы белгіше де болды. Айтпақшы, бұл египет жазушыларының қолдануындағы алымдағы бірлік болмаған жалғыз бөлшек болды - барлық басқа бөлшектерде алымдағы 1 болды (негізгі бөлшектер деп аталады): 1/2, 1/3 , 1/17, ... және т.б. Бөлшектерге қатысты мұндай көзқарас өте ұзақ уақыт бойы бар. Өркениет әлдеқашан өлді ежелгі египет, бір кездері жасыл аймақты Сахараның құмдары жұтып қойды, ал фракциялар негізгілердің қосындысында - Ренессансқа дейін орналастырылды!

Қытайда қарапайым бөлшектермен арифметикалық амалдардың барлығы дерлік 2 ғасырға дейін орнатылды. BC д.; олар математикалық білімнің іргелі жиынтығында сипатталған ежелгі Қытай- «Тоғыз кітаптағы математика», соңғы басылымы Чжан Канға тиесілі. Евклид алгоритміне ұқсас ережеге сүйене отырып есептеу (алым мен бөлгіштің ең үлкен ортақ бөлгіші) қытай математиктері бөлшектерді қысқартты. Бөлшектерді көбейту ұзындығы мен ені бөлшек түрінде көрсетілген тікбұрышты жер учаскесінің ауданын табу ретінде қарастырылды. Бөлу бөлісу идеясын қолдана отырып қарастырылды, ал қытай математиктері бөлімге қатысушылардың саны бөлшек болуы мүмкін, мысалы, 3 1/2 адам болуы мүмкін деп шатастырмады.

Бастапқыда қытайлықтар монша иероглифімен аталған қарапайым фракцияларды пайдаланды:

Тыйым («жартысы») -1\2;

Шао бан («кіші жартысы») -1\3;

Тайбань («үлкен жарты») -2\3.

Бір қызығы, вавилондықтар тұрақты бөлгішті (60-қа тең, шамасы, олардың санау жүйесі сексаздық болғандықтан) артық көрді.

Римдіктер де 12-ге тең бір ғана бөлгіш пайдаланды.

Жай бөлшек ұғымының одан әрі дамуына Үндістанда қол жеткізілді. Бұл елдің математиктері бірлік бөлшектерден жалпы бөлшектерге жылдам ауыса алды. Мұндай фракциялар алғаш рет Апастамбаның (б.з.б. VII-V ғғ.) «Арқан ережелерінде» кездеседі, онда геометриялық конструкциялар мен кейбір есептеулердің нәтижелері бар. Үндістанда бөлшектің алымы азайғыштың үстіне жазылатын, бірақ бөлшек сызығы жоқ, бірақ бүкіл бөлшек бір жүйеге орналастырылған - мүмкін қытайлық және мүмкін грек тілінен шыққан белгі жүйесі қолданылды. төртбұрышты жақтау.

Қызықты бөлшектер

«Бөлшектерді білмейінше, ешкімді арифметиканы меңгерген деп тануға болмайды!»

Адамдар ақшаны пайдаланған сайын, олар әрқашан фракциялармен кездеседі: орта ғасырларда 1 ағылшын пенси = 1/12 шиллинг; Қазіргі уақытта ресейлік копейк = 1/100 рубль.

Өлшеу жүйелері фракцияларды тасымалдайды: 1 сантиметр = 1/10 дециметр = 1/100 метр.

Бөлшектер әрқашан сәнде болды. Үш ширек жең стилі әрқашан өзекті. Ал 7/8 қысқартылған шалбар - гардеробтың тамаша бөлігі.

Бөлшектерді әртүрлі сабақтарда кездестіруге болады. Мысалы, географияда: «КСРО болған кезде Ресей жердің алтыдан бір бөлігін алып жатты. Қазір Ресей құрлықтың тоғыздан бір бөлігін алып жатыр». IN бейнелеу өнері- адам фигурасын бейнелегенде. Музыкада ырғақ, музыкалық шығарманың метрі.

Адам өмірде «бөлшек» сөзін кездестіреді:

Аңшылық мылтықтан атуға арналған шағын қорғасын шарлары – ату.

Жиі, үзік-үзік дыбыстар – барабан соғу.

Әскери-теңіз флотында «атылды!» командасы. - атысты тоқтату.

Үйлерді нөмірлеу. Бөлшекпен бөлінген сан екі қиылысатын көше бойында нөмірленген үйлерге қойылады.

Бидегі бөлшек. Орыс халық биін бөлшек және жүгірусіз елестету мүмкін емес.

Тістеріңізбен бөлшекті қағып алыңыз - тістеріңізді дірілдетіңіз (суықтан дірілдеу, қорқыныш).

Көркем әдебиетте. Виктор Драгунскийдің «Сізде әзіл болуы керек» хикаясының кейіпкері Дениска бірде досы Мишкадан мәселе сұрады: екі алманы үшке қалай бөлуге болады? Мишка ақыры көнгенде, ол: «Компот жасаңыз!» - деп жауап берді. Мишка мен Денис бөлшектерді әлі үйренбеген және 2 саны 3-ке бөлінбейтінін анық білген?

Дәлірек айтқанда, «компот пісіру» - бұл фракциялармен операция. Біз алмаларды кесіп алайық және осы бөліктердің мөлшерін қосамыз және азайтамыз, көбейтеміз және бөлеміз - бізді кім тоқтатады?.. Бізге тек бір бүтін алманың қанша кішкене бөліктен тұратынын есте сақтау маңызды...

Бірақ олай емес жалғыз шешімбұл тапсырма! Әр алманы үш бөлікке бөліп, осындай екі бөлікті үшеуіне де бөлу керек.

Көптеген ғасырлар бойы халықтардың тілінде сынық сан бөлшек деп аталды. Мысалы, бір нәрсені тең бөлу керек, мысалы, кәмпит, алма, қант және т.б. Ол үшін қанттың бір бөлігін екі тең жартыға бөлу немесе бөлу керек. Сандармен бірдей, жартысын алу үшін бір бірлікті екі бөлікке бөлу немесе «үзу» керек. «Бұзылған» сандар атауы осыдан шыққан.

Бөлшектердің үш түрі бар:

1. Бірліктер (аликвоттар) немесе бөлшектер (мысалы, 1/2, 1/3, 1/4 және т.б.).

2. Жүйелі, яғни бөлгіші санның дәрежесімен өрнектелетін бөлшектер (мысалы, 10 немесе 60 дәрежесі, т.б.).

3. Алымы мен бөлгіші кез келген сан бола алатын жалпы тип.

«жалған» - тұрақты емес және «нақты» - дұрыс фракциялар бар.

Математикадағы бөлшек – бейнелеу түрі математикалық шамаларбастапқыда бүтін емес сандар немесе бөлшек ұғымын көрсететін бөлу операциясын қолдану. Ең қарапайым жағдайда - сандық бөлшек- екі санның қатынасы

m/n бөлігінде (оқыңыз: «em nths») түзудің үстінде орналасқан m саны алым деп аталады, ал сызықтың астында орналасқан n саны бөлгіш деп аталады. Бөлгіш бүтіннің неше тең бөлікке бөлінгенін, ал алым ондай неше бөлік алынғанын көрсетеді. Бөлшек сызығын бөлу белгісі деп түсінуге болады.

Бөлшектердің заманауи белгілерін қолданып, тарата бастаған бірінші еуропалық ғалым итальяндық көпес және саяхатшы, қалалық кеңсе қызметкері Фиббоначчидің ұлы (Пизалық Леонардо) болды.

1202 жылы «бөлшек» сөзін енгізді.

Алым және бөлгіш атауларын 13 ғасырда грек монахы, ғалымы және математигі Максимус Плануд енгізген.

Бөлшектерді жазудың заманауи жүйесі Үндістанда жасалды. Тек сонда ғана бөлгіштің жоғарғы жағына, алымының төменгі жағына жазып, бөлшек жолды жазбады. Ал арабтар қазіргідей бөлшекті жаза бастады. Орта ғасырларда бөлшектермен амалдар математиканың ең қиын саласы болып саналды. Немістер бүгінгі күнге дейін қиын жағдайға тап болған адам туралы «бөлшектерге түсті» дейді.

Бөлшектер музыкада да рөл атқарды. Ал енді белгілі бір нотада ұзын нота – бүтін – жарты (жартысы ұзын), ширек, он алтыншы және отыз секундқа бөлінеді. Сонымен, кез келген музыкалық шығарманың ырғақ үлгісі, ол қаншалықты күрделі болса да, қарапайым бөлшектер арқылы анықталады. Гармония фракциялармен тығыз байланысты болды, бұл еуропалықтардың негізгі идеясын растады: «Сан әлемді билейді».

«Адам бөлшек сияқты: алым – өзі, ал бөлгіш – өзі туралы ойлайтыны. Бөлгіш неғұрлым үлкен болса, бөлшек соғұрлым аз болады» (Л.Н. Толстой).

Зерттеудің негізгі нәтижелері

Бөлшектерді зерттеу барлық уақытта және барлық халықтар арасында математиканың ең қиын бөлімі болып саналды. Бөлшектерді білетіндер үлкен құрметке ие болды. 15 ғасырдағы көне славян қолжазбасының авторы. былай деп жазады: «Бұл ... тұтастай алғанда керемет емес, бірақ бөліктерде ... мақтауға тұрарлық».

Жұмыс барысында мен көптеген жаңа және қызықты нәрселерді білдім. Мен энциклопедиялардан көптеген кітаптар мен бөлімдерді оқыдым. Адамдар алғаш амал жасаған бөлшектермен, аликвоттық бөлшек ұғымымен таныстым және бөлшек ілімінің дамуына үлес қосқан ғалымдардың жаңа есімдерін білдім. Жұмысты орындау барысында мен көптеген жаңа нәрселерді білдім, бұл білімнің сабағыма пайдасы тиеді деп ойлаймын.

Қорытынды: Бөлшектердің қажеттілігі адам дамуының өте ерте кезеңінде пайда болды. Өмірде адамға тек заттарды санап қана қоймай, шамаларды да өлшеуге тура келді. Адамдар ұзындықты, жер аумақтарын, көлемді, дене массасын, уақытты өлшеп, сатып алынған немесе сатылған тауарлар үшін төлем жасады. Өлшеу нәтижесін немесе өнімнің өзіндік құнын натурал санмен көрсету әрқашан мүмкін болмады. Бөлшектер мен оларды өңдеу ережелері осылай пайда болды.

Жұмыстың практикалық маңыздылығы

Мәтіндік редакторда жұмыс істеу дағдыларын игеріп, интернет ресурстарымен жұмыс жасадым. Математика кабинетіндегі «Айналамыздағы математика» стендін бөлшектер туралы қызықты деректермен безендіру үшін материал таңдадым (Қосымша). Және стенд әзірледі (Қосымша).

Зерттеу нәтижесінде мен гипотезаны растадым: адамдар бөлшексіз жасай алмайды, бөлшексіз математика дамымайды.

Библиографиялық сілтеме

Балбутская А.А. БЕЙЛЕКТЕР ТУРАЛЫ ҚЫЗЫҚ // Ғылымнан бастау. – 2017. – No 5-2. – 265-268 б.;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=874 (кіру күні: 29.08.2019).

Қалалық бюджеттік білім беру мекемесі

No2 орта мектеп

АНСТРАТ

Пәні: «Математика»

осы тақырып бойынша: «Ерекше бөлшектер»

Орындаған:

5 сынып оқушысы

Фролова Наталья

Жетекші:

Друщенко Е.А.

математика мұғалімі

Стрежевой, Томск облысы


	Кіріспе
	Жай бөлшектердің тарихынан.
	Бөлшектердің пайда болуы.
	Ежелгі Египеттегі бөлшектер.
	Ежелгі Вавилондағы бөлшектер.
	Ежелгі Римдегі бөлшектер.
	Бөлшектер Ежелгі Греция.
	Орыс тіліндегі бөлшектер.
	Ежелгі Қытайдағы бөлшектер.
	Антикалық және орта ғасырлардағы басқа мемлекеттердегі фракциялар.
	Жай бөлшектерді қолдану.
	Аликвоттық бөлшектер.
	Кішкентай лобтардың орнына үлкендер.
	Қиын жағдайларда бөлімшелер.
III.	Қызықты бөлшектер.
	Домино фракциялары.
	Ғасырлар қойнауынан.
	Қорытынды
	Әдебиеттер тізімі
	Қосымша 1. Табиғи масштаб.
	Қосымша 2. Жай бөлшектерді қолданатын көне есептер.
	Қосымша 3. Жай бөлшектерге арналған көңілді есептер.
	Қосымша 4. Домино бөлшектері

Кіріспе

Осы жылы біз бөлшектерді үйрене бастадық. Өте ерекше сандар, олардың әдеттен тыс белгілерінен басталып, аяқталады күрделі ережелеролармен әрекеттер. Олармен алғашқы танысудан-ақ біз оларсыз қарапайым өмірде де жасай алмайтынымыз белгілі болды, өйткені біз күн сайын бір бүтінді бөліктерге бөлу мәселесіне тап боламыз, тіпті белгілі бір сәтте маған бұдан былай бүтін сандар емес, бөлшек сандар қоршалған. Олармен бірге әлем күрделірек, бірақ сонымен бірге қызықтырақ болды. Менің сұрақтарым бар. Бөлшектер қажет пе? Олар маңызды ма? Бөлшектердің бізге қайдан келгенін, олармен жұмыс істеу ережелерін кім ойлап тапқанын білгім келді. Ойлап шығарылған сөз өте қолайлы емес шығар, өйткені математикада барлығын тексеру керек, өйткені біздің өміріміздегі барлық ғылымдар мен салалар бүкіл әлемде қолданылатын нақты математикалық заңдарға негізделген. Біздің елде бөлшекті қосу бір ереже бойынша орындалатын болуы мүмкін емес, бірақ Англияда бұл басқаша.

Эссемен жұмыс істеу барысында мен біраз қиындықтарға тап болдым: жаңа терминдер мен ұғымдармен миымды жинап, проблемаларды шешуге және ежелгі ғалымдар ұсынған шешімді талдауға тура келді. Сондай-ақ теру кезінде мен бірінші рет бөлшек және бөлшек өрнектерді теру қажеттілігіне тап болдым.

Эссенің мақсаты: жай бөлшек ұғымының даму тарихын қадағалап, практикалық есептерді шешуде жай бөлшектерді қолданудың қажеттілігі мен маңыздылығын көрсету. Менің алдыма қойған міндеттерім: эссе тақырыбы бойынша материал жинау және оны жүйелеу, көне мәселелерді зерттеу, өңделген материалды қорытындылау, жалпылама материалды дайындау, презентация дайындау, реферат ұсыну.

Менің жұмысым үш тараудан тұрады. Оқу, ғылыми және энциклопедиялық әдебиеттер мен веб-сайтты қамтитын 7 дереккөздің материалдарын зерттеп, өңдедім. Мен ежелгі дереккөздерден алынған есептердің таңдауын, қарапайым бөлшектерге арналған кейбір қызықты есептерді қамтитын қосымшаны құрастырдым, сонымен қатар Power Point редакторында жасалған презентацияны дайындадым.

I. Жай бөлшектердің тарихынан

1.1 Бөлшектердің пайда болуы

Көптеген тарихи-математикалық зерттеулер бөлшек сандар әр түрлі халықтар арасында ерте заманда, натурал сандардан кейін көп ұзамай пайда болғанын көрсетеді. Бөлшектердің пайда болуы практикалық қажеттіліктермен байланысты: бөліктерге бөлу қажет болатын тапсырмалар өте кең таралған. Сонымен қатар, адам өмірде заттарды санап қана қоймай, шамаларды да өлшеуге мәжбүр болды. Адамдар денелердің ұзындықтарын, жер аудандарын, көлемдерін және массаларын өлшеуге тап болды. Бұл жағдайда өлшем бірлігі өлшенген мәндегі бүтін санға сәйкес келмеді. Мысалы, кесіндінің ұзындығын қадамдармен өлшеу кезінде адам келесі құбылысқа тап болды: он қадам ұзындыққа сәйкес келеді, ал қалғаны бір қадамнан аз болды. Сондықтан бөлшек сандардың пайда болуының екінші маңызды себебін таңдалған өлшем бірлігін пайдаланып шамаларды өлшеуді қарастырған жөн.

Осылайша, барлық өркениеттерде бөлшек ұғымы бүтіннің тең бөліктерге бөліну процесінен пайда болды. Орысша «бөлшек» термині басқа тілдердегі аналогтары сияқты лат тілінен шыққан. fractura, бұл өз кезегінде араб терминінің аудармасы бірдей мағынасы бар: үзу, үзу. Сондықтан барлық жерде бірінші бөлшектер 1/n түріндегі бөлшектер болған шығар. Әрі қарайғы даму табиғи түрде бұл бөлшектерді m/n - рационал сандарды құрайтын бөлшектер ретінде қарастыруға қарай жылжиды. Алайда бұл жолды барлық өркениеттер ұстанған жоқ: мысалы, ол ежелгі Египет математикасында ешқашан жүзеге асырылған жоқ.

Адамдардың бірінші бөлігі жарты болды. Келесі барлық бөлшектердің атаулары олардың бөлгіштерінің атауларымен байланысты болса да (үш - «үшінші», төрт - «ширек» және т.б.), бұл жартысы үшін дұрыс емес - оның барлық тілдердегі атауында ештеңе жоқ. «екі» сөзімен жасаңыз.

Бөлшектерді есепке алу жүйесі және олармен жұмыс істеу ережелері әртүрлі халықтар арасында және әр уақытта бір адамдар арасында айтарлықтай ерекшеленді. Әртүрлі өркениеттер арасындағы мәдени байланыстар кезінде көптеген идеяларды алу да маңызды рөл атқарды.

1.2 Ежелгі Египеттегі бөлшектер

Ежелгі Египетте олар алымы бірге тең болатын ең қарапайым бөлшектерді ғана пайдаланды («бөлшек» деп атайтындар). Математиктер мұндай бөлшектерді аликвот (латын тілінен аликвот - бірнеше) деп атайды. Негізгі бөлшектер немесе бірлік бөлшектер атауы да қолданылады.

Мысырлықтар қойды иероглиф

(е, "[бірінің]" немесе қайта, ауыз) санның үстіне кәдімгі жазуда бірлік бөлшекті көрсету үшін қойылады, бірақ қасиетті мәтіндерде сызық қолданылған. Мысалыға:

көздің көп бөлігі

1/2 (немесе 32/64)

1/8 (немесе 8/64)

көз жасы (?)

1/32 (немесе ²/64)

Сонымен қатар, мысырлықтар иероглифтерге негізделген жазу формаларын пайдаланды Хорустың көзі (Ваджет). Ертедегілерге Күн мен көз бейнесінің тоғысуы тән болған. Мысыр мифологиясында қанатты Күнді бейнелейтін және ең кең таралған қасиетті символдардың бірі болып табылатын Хорус құдайы жиі айтылады. Сет бейнесінде бейнеленген Күннің жауларымен шайқаста Хорус бастапқыда жеңіледі. Сет одан Көзді - ғажайып көзді - жұлып алып, оны жұлып алады. Тот - білімнің, ақылдың және әділеттің құдайы - «Хордың сау көзін» жасай отырып, көздің бөліктерін қайтадан біртұтас етіп біріктірді. Кесілген Көз бөліктерінің суреттері Ежелгі Египетте жазбаша түрде 1/2-ден 1/64-ке дейінгі бөлшектерді көрсету үшін қолданылған.

Ваджетке енгізілген және ортақ бөлгішке келтірілген алты таңбаның қосындысы: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

Мұндай бөлшектер бөлу үшін мысырлық бөлшектердің басқа түрлерімен бірге қолданылды хекат, Ежелгі Египеттегі көлемнің негізгі өлшемі. Бұл біріктірілген жазба астық, нан және сыраның көлемін өлшеу үшін де пайдаланылды. Егер шаманы Хорус көзінің бөлігі ретінде жазғаннан кейін біраз қалдық болса, ол әдеттегі түрде rho-ға еселік, гекаттың 1/320-ге тең өлшем бірлігі ретінде жазылды.

Мысалы, келесідей:

Бұл жағдайда «ауыз» барлық иероглифтердің алдына қойылды.

Хекатарпа: 1/2 + 1/4 + 1/32 (яғни, арпаның 25/32 ыдысы).

Хекатшамамен 4,785 литр болды.

Мысырлықтар кез келген басқа бөлшекті аликвоттық бөлшектердің қосындысы ретінде көрсетті, мысалы, 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 және т.б.

Ол былай жазылды: /2 /16; /2 /4 /8.

Кейбір жағдайларда бұл жеткілікті қарапайым болып көрінеді. Мысалы, 2/7 = 1/7 + 1/7. Бірақ мысырлықтардың тағы бір ережесі бөлшек қатарында қайталанатын сандардың болмауы болды. Яғни, 2/7 олардың ойынша 1/4 + 1/28 болды.

Енді бірнеше аликвоттық бөлшектердің қосындысы египеттік бөлшек деп аталады. Басқаша айтқанда, қосындының әрбір бөлігінде бірге тең алымы және натурал санға тең бөлгіш болады.

Әртүрлі есептеулер жүргізу, барлық бөлшектерді бірлікпен өрнектеу, әрине, өте қиын және көп уақытты қажет етті. Сондықтан Мысыр ғалымдары хатшының жұмысын жеңілдетуге қамқорлық жасады. Олар бөлшектің жай бөлшектерге ыдырауының арнайы кестелерін құрастырды. Ежелгі Египеттің математикалық құжаттары математика бойынша ғылыми трактаттар емес, өмірден алынған мысалдармен практикалық оқулықтар болып табылады. Жазушы мектебінің оқушысы шешуі тиіс тапсырмалардың ішінде қора сыйымдылығы, қоржын көлемі, егістік алаңы, мұрагерлер арасында мүлікті бөлу және т.б. есептер болды. Жазушы бұл үлгілерді есте сақтауы және оларды есептеулер үшін жылдам пайдалана білуі керек еді.

Мысыр фракциялары туралы алғашқы белгілі сілтемелердің бірі - Ринд математикалық папирусы. Мысыр фракциялары туралы айтылған үш ескі мәтін - Египеттің математикалық былғары шиыршығы, Мәскеу математикалық папирусы және Ахмим ағаш тақтасы.

Мысыр математикасының ең көне ескерткіші «Мәскеу папирусы» - б.з.б. 19 ғасыр құжаты. Оны 1893 жылы ежелгі қазыналарды жинаушы Голенищев сатып алып, 1912 жылы Мәскеу бейнелеу өнері мұражайының меншігіне айналды. Онда 25 түрлі мәселе қамтылған.

Мысалы, 37-ні (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7) түрінде берілген санға бөлу есебін қарастырады. Бұл бөлшекті дәйекті түрде екі еселеп, 37 мен нәтиже арасындағы айырмашылықты өрнектеп, жалпы бөлгішті табуға ұқсас процедураны қолданып, жауап мынандай болады: бөлім 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

Ең үлкен математикалық құжат – хатшы Ахместің есептеу нұсқаулығындағы папирусты 1858 жылы ағылшын коллекционері Райнд тапты. Папирус біздің дәуірімізге дейінгі 17 ғасырда құрастырылған. Оның ұзындығы 20 метр, ені 30 сантиметр. Онда мысырлық бөлшектер түрінде жазылған 84 математикалық есеп, олардың шешімдері мен жауаптары бар.

Ахмес папирусы кестеден басталады, онда 2\n түріндегі 2/5-тен 2/99-ға дейінгі барлық бөлшектер аликвоттық бөлшектердің қосындысы түрінде жазылады. Мысырлықтар бөлшекті көбейту мен бөлуді де білген. Бірақ көбейту үшін бөлшектерді бөлшекке көбейту керек болды, содан кейін кестені қайтадан пайдалану керек. Бөлінудің жағдайы одан да күрделі болды. Мысалы, 5-ті 21-ге бөлу әдісі:

Ахмес папирусынан жиі кездесетін мәселе: «Саған айтайын: 10 өлшеп арпаны 10 адамға бөл; әрбір адам мен оның көршісінің айырмашылығы - өлшемнің 1/8. Орташа үлес бір өлшем. 10-нан бірді алу; қалдық 9. Айырмашылықтың жартысын толтыру; бұл 1/16. 9 рет алыңыз. Мұны ортаңғы соққыға жағыңыз; соңына жеткенше әрбір бет үшін өлшемнің 1/8 бөлігін алып тастаңыз».

Ахмес папирусынан аликвоттық фракциялардың қолданылуын көрсететін тағы бір мәселе: «7 нанды 8 адамға бөліңіз».
Егер сіз әрбір нанды 8 бөлікке бөлсеңіз, 49 кесінді жасауыңыз керек.
Ал Египетте бұл мәселе осылай шешілді. 7/8 бөлімі бөлшек түрінде жазылды: 1/2 + 1/4 + 1/8. Бұл әр адамға жарты нан, төрттен бір бөлке, сегізден бір бөлке беру керек дегенді білдіреді; Сондықтан біз төрт нанды екіге бөлеміз, екі нанды 4 бөлікке және бір нанды 8 бөлікке бөлеміз, содан кейін әрқайсысына бір бөліктен береміз.

Мысырдың бөлшек кестелері және әртүрлі вавилондық кестелер - есептеулерді жеңілдетудің ең көне белгілі құралы.

Ежелгі Грецияда және кейіннен олар туралы ежелгі математиктердің түсініктемелеріне қарамастан, египеттік фракциялар орта ғасырларға дейін бүкіл әлем математиктерімен қолданыла берді. Мысалы, Клавдий Птоломей египеттік бөлшектерді вавилондық жүйемен (позициялық санау жүйесі) салыстырғанда қолданудың қолайсыздығы туралы айтты. Мысыр бөлшектерін зерттеу бойынша маңызды жұмысты 13 ғасырдың математигі Фибоначчи өзінің «Либер Абачи» еңбегінде жүргізді - бұл ондық және жай бөлшектерді қолданатын есептеулер, олар ақырында мысырлық бөлшектерді ауыстырды. Фибоначчи бөлшектердің күрделі белгісін, соның ішінде аралас негізді және бөлшек қосындысын белгілеуді пайдаланды, сонымен қатар мысырлық бөлшектер де жиі қолданылды. Кітапта қарапайым бөлшектерден мысырлық бөлшектерге түрлендіру алгоритмдері де берілген.

1.3 Ежелгі Вавилондағы бөлшектер.

Ежелгі Вавилонда олар жыныстық кіші санау жүйесін қолданғаны белгілі. Ғалымдар бұл фактіні Вавилондық ақша және салмақ өлшем бірліктерінің тарихи жағдайларға байланысты 60 тең бөлікке бөлінуімен байланыстырады: 1 талант = 60 мин; 1 мина = 60 шекель. Алпысыншы жылдар вавилондықтардың өмірінде әдеттегідей болды. Сондықтан олар ылғи бөлгіші 60 немесе оның дәрежелері болатын секси кіші бөлшектерді пайдаланды: 60 2 = 3600, 60 3 = 216000, т.б. Бұл әлемдегі алғашқы жүйелік бөлшектер, яғни. бөлгіші бірдей санның дәрежелері болатын бөлшектер. Осындай бөлшектерді пайдалана отырып, вавилондықтар шамамен көптеген бөлшектерді көрсетуге мәжбүр болды. Бұл осы фракциялардың кемшілігі және сонымен бірге артықшылығы. Бұл бөлшектер 15 ғасырға дейін грек, содан кейін араб тілді және ортағасырлық еуропалық ғалымдар үшін ғылыми есептеулердің тұрақты құралы болды, олар ондық бөлшектерге орын берді. Бірақ барлық халықтардың ғалымдары астрономияда 17 ғасырға дейін сексуалдық бөлшектерді қолданып, оларды астрономиялық бөлшектер деп атады.

Сегіздік кіші санау жүйесі әртүрлі кестелер үшін Вавилон математикасында үлкен рөлді алдын ала анықтады. Толық Вавилондық көбейту кестесінде біздің көбейту кестеміздегідей 45 емес, 1x1-ден 59x59-ға дейінгі көбейтінділер, яғни 1770 сан болады. Мұндай кестені жаттау мүмкін емес дерлік. Тіпті жазбаша түрде бұл өте қиын болар еді. Сондықтан, көбейту үшін, бөлу үшін де, әртүрлі кестелердің кең жиынтығы болды. Вавилондық математикадағы бөлу операциясын «бірінші мәселе» деп атауға болады. Вавилондықтар m санын n санына бөлуді азайтып, m санын 1\ n бөлігіне көбейтті, тіпті оларда «бөлу» термині болған жоқ. Мысалы, біз x = m: n деп жазатынымызды есептегенде, олар әрқашан былай тұжырымдады: n-ге кері мәнді алсаңыз, 1\ n көресіз, m-ді 1\ n-ге көбейтіңіз, сонда сіз х көресіз. Әрине, біздің әріптердің орнына Вавилон тұрғындары нақты сандарды атады. Осылайша, вавилондық математикадағы ең маңызды рөлді көптеген өзара есептер кестелері атқарды.

Сонымен қатар, бөлшектермен есептеулер үшін вавилондықтар негізгі бөлшектерді сексуалды бөлшектермен өрнектейтін кең кестелер құрастырды. Мысалы:

1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .

Вавилондықтардың бөлшектерді қосу және азайту біздің позициялық санау жүйеміздегі натурал сандармен және ондық бөлшектермен сәйкес операцияларға ұқсас орындалды. Бірақ бөлшекті бөлшекке қалай көбейтті? Өлшеу геометриясының жеткілікті жоғары дамуы (жерге түсіру, аумақты өлшеу) вавилондықтар бұл қиындықтарды геометрияның көмегімен жеңді деп болжайды: сызықтық масштабтың 60 есе өзгеруі аудан масштабының 60 60 есе өзгеруін береді. Айта кету керек, Вавилонда натурал сандар өрісінің оң рационал сандар аймағына дейін кеңеюі түпкілікті орын алған жоқ, өйткені вавилондықтар аймақта бөлу әрқашан мүмкін бола бермейтін шекті сексаздық бөлшектерді ғана қарастырған. Сонымен қатар, вавилондықтар 1\2,1\3,2\3,1\4,1\5,1\6,5\6 бөлшектерді пайдаланды, олар үшін жеке белгілер болды.

Вавилондық кішігірім санау жүйесінің іздері уақыт пен бұрыштарды өлшеуде қазіргі ғылымда сақталды. Сағатты 60 минутқа, минутты 60 секундқа, шеңберді 360 градусқа, градусты 60 минутқа, минутты 60 секундқа бөлу күні бүгінге дейін сақталған. Минут латын тілінен аударғанда «кіші бөлік», екінші деген мағынаны білдіреді. «екінші»

(шағын бөлік).

1.4. Ежелгі Римдегі бөлшектер.

Римдіктер негізінен абстрактілі бөліктерді қолданылған өлшемдердің бөлімдерімен алмастыратын нақты фракцияларды ғана пайдаланды. Бөлшектердің бұл жүйесі салмақ бірлігін 12 бөлікке бөлуге негізделген, ол асс деп аталды. Римдік он екі ондық бөлшектер осылай пайда болды, яғни. бөлімі әрқашан он екі болатын бөлшектер. Астың он екінші бөлігі унция деп аталды. Римдіктер 1/12 орнына «бір унция», 5/12 – «бес унция» т.б. Үш унция ширек, төрт унция үшінші, алты унция жарты деп аталды.

Ал жол, уақыт және басқа да шамалар көрнекі нәрсе – салмақпен салыстырылды. Мысалы, римдік адам жеті унция жолмен жүрдім немесе кітаптың бес унциясын оқыдым деп айтуы мүмкін. Бұл ретте, әрине, жолды да, кітапты да таразылау емес еді. Бұл саяхаттың 7/12 бөлігі аяқталды немесе кітаптың 5/12 бөлігі оқылды дегенді білдіреді. Ал бөлгіші 12 болатын бөлшектерді азайту немесе он екіден кішірек бөлшектерге бөлу арқылы алынған бөлшектер үшін арнайы атаулар болды. Бөлшектердің барлығы 18 түрлі атауы қолданылған. Мысалы, келесі атаулар қолданылды:

«скрупулус» - 1/288 асса,

«жартылай» - жартылай асса,

«Sextance» - оның алтыншы бөлігі,

«жарты унция» - жарты унция, яғни. 1/24 есектер және т.б.

Мұндай бөлшектермен жұмыс істеу үшін қосу кестесін және осы бөлшектерді көбейту кестесін есте сақтау қажет болды. Сондықтан Рим саудагерлері триендерді (1/3 асса) және секстандарды қосқанда нәтиже жартылай болатынын, ал импті (2/3 асса) секунцияға (2/3 унция, яғни 1/8 асса) көбейткенде, нәтиже болатынын нық білді. нәтиже - унция. Жұмысты жеңілдету үшін арнайы кестелер құрастырылды, олардың кейбіреулері бізге жетті.

Унция сызықпен – жарты асса (6 унция) – S әрпімен белгіленді (латын тіліндегі біріншісі Semis – жартысы). Бұл екі белгі кез келген он екі ондық бөлшекті жазуға қызмет етті, олардың әрқайсысының өз атауы бар. Мысалы, 7\12 былай жазылды: S-.

Біздің дәуірімізге дейінгі бірінші ғасырда Римнің көрнекті шешені және жазушысы Цицерон: «Бөлшектерді білмейінше, арифметиканы білетін ешкімді де тануға болмайды!» — деген.

Біздің дәуірімізге дейінгі 1 ғасырдағы атақты Рим ақыны Горацийдің сол дәуірдегі Рим мектептерінің біріндегі мұғалім мен оқушының әңгімесі туралы шығармасынан мынадай үзінді тән:

Мұғалім: Албиннің баласы бес унциядан бір унция алынса, қанша қалатынын айтсын!

Оқушы: Үштен бірі.

Мұғалім: Дұрыс, сен бөлшектерді жақсы білесің, өз мүлкіңді сақтай аласың.

1.5. Ежелгі Грециядағы бөлшектер.

Ежелгі Грецияда арифметика ғылым болып табылады жалпы қасиеттерісандар – логистикадан бөлінген – есептеу өнері. Гректер фракцияларды тек логистикада қолдануға болады деп есептеді. Гректер бөлшектермен барлық арифметикалық амалдарды еркін орындады, бірақ оларды сандар деп танымады. Гректердің математика бойынша еңбектерінде бөлшектер кездеспеді. Грек ғалымдары математика тек бүтін сандармен айналысу керек деп есептеді. Олар фракцияларды өңдеуді саудагерлерге, қолөнершілерге, сондай-ақ астрономдарға, геодезистерге, механиктерге және басқа да «қара адамдарға» қалдырды. Афины академиясының негізін қалаушы Платон: «Егер сіз бірлікті бөлгіңіз келсе, математиктер сізді мазақ етеді және оны жасауға рұқсат бермейді», - деп жазды.

Бірақ ежелгі грек математиктерінің бәрі Платонмен келісе бермейді. Осылайша, Архимед өзінің «Шеңбердің өлшемі туралы» трактатында бөлшектерді пайдаланады. Александриялық Герон да фракцияларды еркін өңдеді. Мысырлықтар сияқты, ол бөлшекті негізгі бөлшектердің қосындысына бөледі. 12\13 орнына 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, 5\12 орнына 1\3 + 1\12, т.б. Тіпті натурал сандарға қасиетті тебіреніспен қараған Пифагордың өзі музыкалық масштаб теориясын жасағанда негізгі музыкалық интервалдарды бөлшектермен байланыстырды. Рас, Пифагор мен оның шәкірттері бөлшек ұғымының өзін пайдаланбаған. Олар тек бүтін сандардың қатынасы туралы айтуға мүмкіндік берді.

Гректер бөлшектермен тек кездейсоқ жұмыс істегендіктен, олар әртүрлі белгілерді қолданған. Герон мен Диофант алфавиттік түрде бөлшекті, алфавиттік бөлшекті бөлгіштің астына қойып жазды. Кейбір бөлшектер үшін бөлек белгілеулер қолданылды, мысалы, 1\2 - L′′ үшін, бірақ жалпы олардың алфавиттік нөмірленуі бөлшектерді белгілеуді қиындатты.

Бірлік бөлшектер үшін арнайы белгілеу қолданылды: бөлшектің бөлгіші оңға қарай штрихпен сүйемелденді, алым жазылмады. Мысалы,
алфавиттік жүйеде 32, ал " - бөлшек 1\32 дегенді білдіреді. Жай бөлшектердің жай бөлшектері бар алымы мен екі жай санымен екі рет алынған бөлімі бір қатарда қатар жазылады. Осылайша осылай жазылады. , мысалы, Александриялық Герон 3\4 бөлігін жазды:
.

Гректердің бөлшек сандарды белгілеуінің кемшілігі гректер «сан» сөзін бірліктердің жиыны деп түсінгенімен байланысты, сондықтан біз қазір біртұтас рационал сан – бөлшек деп қарастыратынымызды гректер олардың қатынасы деп түсінді. екі бүтін сан. Бұл грек арифметикасында бөлшектердің неліктен сирек кездесетінін түсіндіреді. Бірлік алымы бар бөлшектерге немесе кіші кіші бөлшектерге артықшылық берілді. Практикалық есептеулер дәл бөлшектерді ең қажет ететін сала астрономия болды және бұл жерде вавилондық дәстүрдің күшті болғаны соншалық, оны барлық халықтар, соның ішінде Греция да пайдаланды.

1.6. Орыс тіліндегі бөлшектер

Хронология және күнтізбе мәселелерімен бізге атымен белгілі бірінші орыс математигі, Новгород монастырының монахы Кирик айналысты. «Адамға барлық жылдардағы сандарды айтуды үйрету» (1136) атты қолжазба кітабында, т.б. «Адамның жылдарды қалай білуге болатыны туралы нұсқау» сағатты беске, жиырма беске және т.б. бөлшектерді ол «бөлшек сағаттар» немесе «сағаттар» деп атады. Ол жетінші бөлшек сағатқа жетеді, оның ішінде бір күнде немесе түнде 937 500 бар және жетінші бөлшек сағаттан ештеңе келмейтінін айтады.

Алғашқы математика оқулықтарында (7 ғ.) бөлшектер бөлшек, кейінірек «сынық сандар» деп аталды. Орыс тілінде бөлшек сөзі 8 ғасырда пайда болды, ол «бөлу» етістігінен шыққан - үзу, бөлшектеу. Санды жазу кезінде көлденең сызық пайдаланылды.

Ескі нұсқаулықтарда келесідей бөлшек атаулары орыс тілінде берілген:

1/2 - жартысы, жартысы

1/3 – үшінші

1/4 – жұп

1/6 – үштен жартысы

1/8 - жартысы

1/12 – үштен жартысы

1/16 - жарты жарты

1/24 – жарты және үштен жарты (үштен аз)

1/32 – жарты жартысы (кішкентай жартысы)

1/5 – пятина

1/7 - апта

1/10 - ондық.

Ресейде төрттен бір немесе одан аз жер өлшемі қолданылды -

жарты тоқсан, ол октина деп аталды. Бұл нақты фракциялар, жердің ауданын өлшеу бірліктері болды, бірақ октина уақытты немесе жылдамдықты өлшей алмады және т.б. Кейінірек октина кез келген мәнді білдіре алатын 1/8 абстрактілі бөлшекті білдіре бастады.

17 ғасырда Ресейдегі бөлшекті қолдану туралы В.Беллюстиннің «Адамдар нақты арифметикаға бірте-бірте жеткені» кітабынан мынаны оқи аласыз: «17 ғасырдағы қолжазбада. «Барлық бөлшектер жарлығы бойынша сандық бап» тікелей бөлшекті жазбаша белгілеуден және алым мен бөлгішті көрсетуден басталады. Бөлшектерді айту кезінде келесі ерекшеліктер қызықты: төртінші бөлік ширек деп аталды, ал 5-тен 11-ге дейінгі бөлгіші бар бөлшектер «ина» әрпімен аяқталатын сөздермен өрнектелді, осылайша 1/7 апта, 1/5 болады. бес, 1/10 - ондық; бөлгіштері 10-нан асатын акциялар «лоттар» сөздерімен оқылды, мысалы, 5/13 - лоттардың он үштен бесі. Бөлшектерді нөмірлеу батыстық дереккөздерден тікелей алынған... Алым жоғарғы сан деп аталды, азайғыш төменгі деп аталды».

16 ғасырдан бастап тақтай абакусы Ресейде өте танымал болды - ресейлік абакустың прототипі болған құрылғыны пайдаланып есептеулер. Ол күрделі арифметикалық амалдарды тез және оңай орындауға мүмкіндік берді. Планк шоты саудагерлер, Мәскеу ордендерінің қызметкерлері, «өлшеушілер» - жер зерттеушілер, монастырлық экономистер және т.б. арасында өте кең таралған.

Өзінің бастапқы түрінде тақта арифметикасы озық арифметика қажеттіліктеріне арнайы бейімделген. Бұл 15-17 ғасырлардағы Ресейдегі салық салу жүйесі, онда бүтін сандарды қосу, алу, көбейту және бөлумен қатар бөлшектермен бірдей операцияларды орындау қажет болды, өйткені салық салудың шартты бірлігі - соқа - бөліктерге бөлінді.

Планк есебі екі жиналмалы қораптан тұрды. Әрбір қорап екіге бөлінді (кейінірек тек төменгі жағында); екінші жәшік касса шотының сипатына байланысты қажет болды. Қораптың ішінде сүйектер керілген сымдарға немесе сымдарға байланған. Ондық санау жүйесіне сәйкес бүтін сандар қатарында 9 немесе 10 сүйек болды; бөлшектермен операциялар аяқталмаған жолдарда орындалды: үш сүйектің қатары үштен үш, төрт сүйектің қатары төрт ширек (төрт) болды. Ниже располагались ряды, в которых было по одной кости: каждая кость представляла половину от той дроби, под которой она располагалась (например, кость расположенная под рядом из трех костей, составляла половину от одной трети, кость под ней - половину от половины одной трети, және т.б.). Екі бірдей «бірікті» бөлшекті қосу жақынырақ жоғарырақ разрядтың бөлігін береді, мысалы, 1/12+1/12=1/6, т.б. Абакуста осындай екі бөлшекті қосу ең жақын жоғары доминоға жылжумен сәйкес келеді.

Бөлшектерді жалпы бөлгішке келтірмей қорытындылады, мысалы, «төрттен жарты үштен, жартыдан» (1/4 + 1/6 + 1/16). Кейде бөлшекпен операциялар бүтін (соқа) белгілі бір ақша сомасына теңестіру арқылы бүтін сияқты орындалды. Мысалы, соха = 48 ақша бірлігі болса, жоғарыдағы бөлшек 12 + 8 + 3 = 23 ақша бірлігі болады.

Жетілдірілген арифметикада кішірек бөлшектермен жұмыс істеу керек болды. Кейбір қолжазбаларда жаңа талқыланғандарға ұқсас, бірақ 1/128 және 1/96-ға дейінгі фракцияларды салуға болатын бір сүйектен тұратын жолдардың көп саны бар «санақ тақталарының» сызбалары мен сипаттамалары берілген. Сәйкес құралдардың да жасалғаны сөзсіз. Калькуляторларға ыңғайлы болу үшін «Ұсақ сүйектер коды» көптеген ережелері берілді, яғни. жалпы есептерде жиі қолданылатын фракцияларды қосу, мысалы: үш төрт соқа және жарты соқа және жарты соқа және т.б. жарты жарым жарты жарты соқаға дейін жарты жарты жарым жартысы жоқ соқа, яғни. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128, т.б.

Бірақ бөлшектердің тек 1/2 және 1/3 бөлігі ғана, сондай-ақ олардан 2-ге реттік бөлу арқылы алынғандар қарастырылды. Басқа қатардағы бөлшектермен операциялар үшін «тақтамен санау» жарамсыз болды. Олармен жұмыс істегенде, фракциялардың әртүрлі комбинацияларының нәтижелері берілген арнайы кестелерге сілтеме жасау қажет болды.

IN 1703 «Арифметика» атты математикадан орыс тілінде тұңғыш баспа оқулығы жарық көрді. Авторы Магнитский Леонтий Филлипович. Осы кітаптың 2-ші бөлімінде «Бөлінген немесе бөлшекті сандар туралы» бөлімде бөлшектерді зерттеу егжей-тегжейлі берілген.

Магнитскийдің дерлік заманауи сипаты бар. Магнитский қазіргі оқулықтарға қарағанда үлесті есептеуге толығырақ тоқталады. Магнитский бөлшектерді атаулы сандар ретінде қарастырады (тек 1/2 емес, 1/2 рубль, пуд т.б.), есептерді шығару процесінде бөлшектермен амалдарды зерттейді. Бұзылған сан бар деп Магнитский былай деп жауап береді: «Сынық сан басқа ештеңе емес, тек сан ретінде жарияланған заттың бір бөлігі ғана, яғни жарты рубль жарты рубль болып табылады және ол рубль түрінде немесе рубль немесе рубль, немесе бестен екі және сан ретінде жарияланған не бөлігі болып табылатын заттардың барлық түрлері, яғни сынық сан». Магнитский бөлгіштері 2-ден 10-ға дейінгі барлық дұрыс бөлшектердің атын береді.Мысалы, бөлімі 6 болатын бөлшектер: бір он алты, екі он алты, үш он алты, төрт он алты, бес он алты.

Магнитский алым, бөлгіш атауларын қолданады, бұрыс бөлшектерді, аралас сандарды қарастырады, барлық әрекеттермен қатар бұрыс бөлшектің бүтін бөлігін оқшаулайды.

Бөлшектерді зерттеу әрқашан арифметиканың ең қиын бөлімі болып қала берді, бірақ сонымен бірге алдыңғы дәуірлердің кез келгенінде адамдар бөлшектерді зерттеудің маңыздылығын түсінді, ал мұғалімдер өз шәкірттерін поэзия мен прозаға ынталандыруға тырысты. Л.Магнитский былай деп жазды:

Бірақ арифметика жоқ

Иджо - бүкіл айыпталушы,

Бұл акцияларда ештеңе жоқ,

Жауап беруге болады.

Өтінемін, өтінемін,

Бөлшектерге бөліну.

1.7. Ежелгі Қытайдағы бөлшектер

Қытайда қарапайым бөлшектермен арифметикалық амалдардың барлығы дерлік 2 ғасырға дейін орнатылды. BC д.; олар ежелгі Қытайдың математикалық білімінің іргелі жинағында сипатталған - «Тоғыз кітаптағы математика», оның соңғы басылымы Чжан Канға тиесілі. Евклид алгоритміне ұқсас ережеге сүйене отырып есептеу (алым мен бөлгіштің ең үлкен ортақ бөлгіші) қытай математиктері бөлшектерді қысқартты. Бөлшектерді көбейту ұзындығы мен ені бөлшек түрінде көрсетілген тікбұрышты жер учаскесінің ауданын табу ретінде қарастырылды. Бөлу бөлісу идеясын қолдану арқылы қарастырылды, ал қытай математиктері бөлімге қатысушылардың саны бөлшек болуы мүмкін, мысалы, 3⅓ адам болуы мүмкін екеніне ұялмады.

Бастапқыда қытайлықтар монша иероглифімен аталған қарапайым фракцияларды пайдаланды:

тыйым («жартысы») –1\2;

шао бан («кіші жартысы») –1\3;

тайбань («үлкен жарты») –2\3.

Келесі кезең бөлшек туралы жалпы түсінікті дамыту және олармен жұмыс істеу ережелерін қалыптастыру болды. Егер Ежелгі Мысырда тек аликвоттық бөлшектер қолданылса, Қытайда олар фракциялар-фен деп есептелді, мүмкін болатын жалғыз бөлшектер емес, бөлшек түрлерінің бірі ретінде қарастырылды. Қытай математикасы ежелден аралас сандармен айналысады. Математикалық мәтіндердің ең ертесі, Чжоу Би Сюань Цзин (Чжоу Гномонды есептеу каноны/Гномон туралы математикалық трактат) 247 933 / 1460 сияқты сандарды қуатқа көтеретін есептеулерді қамтиды.

«Цзю Чжан Сюань Шуда» («Тоғыз бөлімдегі санау ережелері») бөлшек бүтіннің бір бөлігі ретінде қарастырылады, ол бөлшектің n-санында өрнектеледі-fen – m (n)

Жалпы өрістерді өлшеуге арналған «Цзю Чжан Сюань Шудың» бірінші бөлімінде бөлшектерді азайту, қосу, азайту, бөлу және көбейту ережелері, сондай-ақ оларды салыстыру және «теңестіру» жеке берілген. олардың арифметикалық ортасын табу қажет болатын үш бөлшекті осындай салыстыру (кітапта екі санның арифметикалық ортасын есептеудің қарапайым ережесі жоқ).

Мысалы, көрсетілген эсседегі бөлшектердің қосындысын алу үшін келесі нұсқау ұсынылады: «Кезекпен алымдарды бөлгіштерге көбейтіңіз (ху чэн). Қосу - бұл дивиденд (ши). Бөлгіштерді көбейтіңіз - бұл бөлгіш (fa). Дивиденд пен бөлгішті бір(лер)ге біріктіріңіз. Егер қалдық болса, оны бөлгішке қосыңыз». Бұл нұсқау егер бірнеше бөлшек қосылса, онда әрбір бөлшектің алымы басқа барлық бөлшектердің бөлгіштеріне көбейтілуі керек дегенді білдіреді. Дивидендті (осындай көбейту нәтижелерінің қосындысы ретінде) бөлгішпен (барлық бөлгіштердің көбейтіндісі) «біріктіргенде» бөлшек алынады, қажет болған жағдайда оны азайту керек және одан бүтін бөлігін бөлу арқылы бөлу керек. , онда “қалдық” алым, ал азайтылған бөлгіш – бөлгіш. Бөлшектер жиынының қосындысы бүтін сан мен бөлшектен тұратын осындай бөлудің нәтижесі болып табылады. «Бөлгіштерді көбейту» мәлімдемесі бөлшектерді ең үлкен ортақ бөлгішке дейін азайтуды білдіреді.

Джиу Чжан Суан Шудағы бөлшектерді азайту ережесі екі санның ең үлкен ортақ бөлгішін анықтауға арналған Евклид алгоритмімен сәйкес келетін алым мен бөлгіштің ең үлкен ортақ бөлгішін табу алгоритмін қамтиды. Бірақ егер соңғысы, белгілі болғандай, Принсипияда геометриялық тұжырымда берілсе, онда қытай алгоритмі таза арифметикалық түрде берілген. Дэн шу («бірдей сан») деп аталатын ең үлкен ортақ бөлгішті табудың қытайлық алгоритмі үлкенірек саннан кіші санды ретті азайту ретінде құрастырылған. Бөлшекті осы ден шу санына азайту керек. Мысалы, 49\91 бөлігін азайту ұсынылады. Тізбекті азайтуды орындаймыз: 91 – 49 = 42; 49 – 42 = 7; 42 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 0. Дан шу = 7. Бөлшекті осы санға азайт. Біз аламыз: 7\13.

Цзю Чжан Сюань Шудағы бөлшекті бөлу бүгінгі қабылданғаннан басқаша. «Цзин фэн» («бөлу реті») ережесінде бөлшектерді бөлер алдында оларды ортақ бөлгішке келтіру керектігі айтылған. Осылайша, бөлшектерді бөлу процедурасының қажетсіз қадамы бар: a/b: c/d = ad/bd: cb/bd = ad/cb. Тек 5 ғасырда. Чжан Циу-цзян «Чжан Циу-цзянь суан цзин» («Чжан Циу-цзянның санау каноны») еңбегінде одан құтылып, бөлшекті әдеттегі ереже бойынша бөледі: а/б: с/д = ад/ cb.

Бәлкім, қытай математиктерінің бөлшектерді бөлудің күрделі алгоритміне ұзақ уақыт бойы берілгендігі оның әмбебаптығын сақтауға және санау тақтасын қолдануға ұмтылуымен байланысты болуы мүмкін. Негізінен, ол бөлшектерді бөлуді бүтін сандарға бөлуден тұрады. Бұл алгоритм бүтін сан аралас санға бөлінетін болса жарамды. Мысалы, 2922-ні 182 5/8-ге бөлу кезінде екі сан да алдымен 8-ге көбейтілді, бұл бүтін сандарды одан әрі бөлуге мүмкіндік берді: 23376:1461= 16

1.8. Антикалық және орта ғасырлардағы басқа мемлекеттердегі фракциялар.

Мысалы, бөлшек ретінде жазылған

Үнді ғалымы Брамагупта (8 ғ.) келтірген бөлшекпен жұмыс істеу ережелерінің қазіргіден еш айырмашылығы жоқтың қасы. Қытайдағы сияқты Үндістанда да ортақ бөлгішке келтіру үшін барлық терминдердің бөлгіштері ұзақ уақыт бойы көбейтілді, бірақ 9 ғасырдан бастап. ең аз ортақ еселік қолданылған.

Ортағасырлық арабтар бөлшек жазудың үш жүйесін қолданған. Біріншіден, үнді тәсілімен алым астындағы бөлшекті жазу; Бөлшек сызық 12 ғасырдың аяғы - 13 ғасырдың басында пайда болды. Екіншіден, шенеуніктер, жерге орналастырушылар, саудагерлер аликвттық бөлшектердің есебін Египеттікіне ұқсас, бөлгіштері 10-нан аспайтын бөлшектерді қолданды (тек осындай бөлшектер үшін араб тілінде арнайы терминдер бар); жуық мәндер жиі қолданылды; Араб ғалымдары бұл есептеуді жақсарту үшін жұмыс істеді. Үшіншіден, араб ғалымдары гректер сияқты алфавиттік белгілерді қолданып, оны бүкіл бөліктерге тарататын вавилондық-гректік сексуалдық жүйені мұра етті.

Бөлшектердің үнділік белгісі және олармен жұмыс істеу ережелері 9 ғасырда қабылданған. мұсылман елдерінде Хорезмдік Мұхаммедтің (әл-Хорезми) арқасында. Ислам елдеріндегі сауда тәжірибесінде бірлік бөлшектер, ғылымда сексуалдық бөлшектер және біршама аз дәрежеде жай бөлшектер қолданылды. Әл-Караджи (X-XI ғ.), әл-Хасар (XII ғ.), әл-Каласади (XV ғ.) және басқа ғалымдар өз еңбектерінде жай бөлшектерді бірлік бөлшектердің қосындысы мен көбейтіндісі түрінде көрсету ережелерін көрсетті. Бөлшектер туралы мәліметтерді Батыс Еуропаға Пизадан итальяндық көпес және ғалым Леонардо Фибоначчи (13 ғ.) жеткізді. Ол бөлшек сөзін енгізіп, бөлшек сызығын (1202) қолдана бастады, бөлшекті негізгіге жүйелі түрде бөлу формулаларын берді. Алым және бөлгіш атауларын 13 ғасырда грек монахы, ғалымы және математигі Максимус Плануд енгізген. Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру әдісін 1556 жылы Н.Тарталья ұсынған. Жай бөлшектерді қосудың заманауи схемасы 1629 жылдан басталады. А. Жирардта.

II. Жай бөлшектерді қолдану

2.1 Аликвоттық бөлшектер

Аликвоттық бөлшектерді қолданатын есептер стандартты емес есептердің үлкен сыныбын құрайды, оның ішінде ерте заманнан келген. Аликвоттық бөлшектер бір нәрсені ең аз қадамдармен бірнеше бөлікке бөлу қажет болғанда қолданылады. 2/n және 2/(2n +1) түріндегі бөлшектердің екі аликвоттық бөлшекке ыдырауы формулалар түрінде жүйеленген.

Үш, төрт, бес және т.б. аликвоттық бөлшектерді мүшелердің біреуін екі бөлшекке, келесі мүшесін тағы екі аликвоттық бөлшекке ыдырату арқылы жасауға болады, т.б.

Санды аликвоттық бөлшектердің қосындысы ретінде көрсету үшін кейде ерекше тапқырлық көрсетуге тура келеді. 2/43 саны былай өрнектелді делік: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Сандарға арифметикалық амалдар жасау, оларды бірдің бөлшектерінің қосындысына ыдырату өте ыңғайсыз. Сондықтан аликвоттық бөлшектерді кіші аликвоттық бөлшектердің қосындысы түрінде ыдыратуға есептер шығару барысында бөлшектердің ыдырауын формула түрінде жүйелеу идеясы туындады. Бұл формула аликвоттық бөлшекті екі аликвоттық бөлшекке ыдырату қажет болған жағдайда жарамды.

Формула келесідей көрінеді:

1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)

Бөлшектердің кеңеюінің мысалдары:

1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.

Бұл формуланы келесі пайдалы теңдікті алу үшін түрлендіруге болады: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)

Мысалы, 1/6=1/(2 3)=1/2 -1/3

Яғни, аликвоттық бөлшекті екі аликвоттық бөлшектің айырмасымен немесе бөлгіштері олардың көбейтіндісіне тең ретті сандар болып табылатын екі аликвоттық бөлшектің айырмасымен көрсетуге болады.

Мысал. 1 санын әртүрлі аликвоттық бөлшектердің қосындысы ретінде көрсетіңіз

а) үш мүше 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

б) төрт термин

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

в) бес мерзім

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

2.2 Кіші бөлшектердің орнына үлкен бөлшектер

Машина жасау зауыттарында өте қызықты мамандық бар, оны маркер деп атайды. Маркер дайындамаға қажетті пішінді беру үшін осы дайындаманы өңдеу керек сызықтарды белгілейді.

Маркер қызықты, кейде қиын геометриялық есептерді шешуге, арифметикалық есептеулерді орындауға және т.б.
«12 бөліктің арасында 7 бірдей тікбұрышты пластинаны қандай да бір жолмен тең үлестерге бөлу керек болды.Олар осы 7 пластинаны маркерге әкеліп, мүмкін болса, олардың ешқайсысын өте ұсақ бөліктерге ұсақтап алмау үшін тақталарды белгілеуді сұрады. Сонымен, ең қарапайым шешім - әр пластинаны 12 тең бөлікке кесу жарамсыз болды, өйткені бұл көптеген ұсақ бөліктерге әкеледі.
Бұл пластиналарды үлкенірек бөліктерге бөлуге бола ма? Маркер ойланып, бөлшектермен арифметикалық есептеулер жүргізді және ақырында бұл тақталарды бөлудің ең үнемді әдісін тапты.
Кейіннен ол алты бөлікке тең үлестермен бөлу үшін 5 табақты оңай ұсақтады, 12 бөлікке 13 табақ, 36 бөлікке 13 табақ, 21 бөлікке 26 және т.б.

Белгілеуші 7\12 бөлігін 1\3 + 1\4 бірлік бөлшектердің қосындысы ретінде бергені белгілі болды. Бұл дегеніміз, егер берілген 7 пластинаның 4-і әрқайсысы бірдей үш бөлікке кесілсе, онда біз үштен 12, яғни әрбір бөлік үшін үштен бірін аламыз. Қалған 3 табақшаны әрқайсысы 4 тең бөлікке кесеміз, біз 12 ширек аламыз, яғни әрбір бөлікке төрттен бір. Сол сияқты, бөлшектерді бірлік бөлшектердің қосындысы түрінде бейнелеуді пайдалану 5\6=1\2+1\3; 13\121\3+3\4; 13\36=1\4+1\9.

2.3 Күрделі жағдайларда бөлімшелер

Әкесі ұлдарына 17 түйені қалдырып, оларды бір-біріне бөлуге бұйырған: үлкені жартысы, ортаншысы үштен бірі, кішісі тоғызыншы болып бөлінетіні туралы шығыстың әйгілі мысалы бар. Бірақ 17 саны 2-ге, 3-ке, 9-ға бөлінбейді. Ұлдары данышпанға бұрылды. Данышпан бөлшектерді жақсы білетін және бұл қиын жағдайда көмектесе алды.

Ол қулыққа барды. Данышпан түйесін үйірге уақытша қосты, сонда олардың саны 18 болды.Осы санды өсиетте айтылғандай бөліп, данышпан түйесін қайтарып алды. Мұның сыры, ұлдары өсиет бойынша үйірді бөлетін бөліктер 1-ге қосылмайды. Расында, 1\2 + 1\3 + 1\9 = 17\18.

Мұндай тапсырмалар өте көп. Мысалы, орыс оқулығынан 8 кредиттік жазбасы бар әмиянды тапқан 4 дос туралы мәселе: біреуі бір, үш, бес рубль, ал қалғаны он рубльге. Өзара келісім бойынша біреуі үштен бір бөлігін, екіншісі тоқсанды, үшіншісі бестен, төртіншісі алтыншы бөлігін алғысы келді. Алайда олар мұны өз бетімен жасай алмады: өтіп бара жатқан адам рубльін қосқаннан кейін көмектесті. Бұл қиындықты шешу үшін өтіп бара жатқан адам 1\3 + 1\4 + 1\5 + 1\6 = 57\60 бірлік бөлшектерін қосып, достарының өтінішін қанағаттандырып, өзі үшін 2 рубль тапты.

III.Қызықты бөлшектер

3.1 Домино бөлшектері

Домино - бүкіл әлемде танымал үстел ойыны. Домино ойыны көбінесе 28 төртбұрышты тақтайшалардан тұрады. Домино - төртбұрышты плитка, оның алдыңғы жағы сызықпен екі шаршы бөлікке бөлінген. Әрбір бөлік нөлден алтыға дейінгі нүктелерден тұрады. Кем дегенде бір жартысында (бос орындарда) ұпайлары жоқ сүйектерді алып тастасаңыз, қалған сүйектерді бөлшек ретінде қарастыруға болады. Екі жартысында бірдей нүктелер (қос) болатын сүйектер бірге тең бұрыс бөлшектер болып табылады. Осы артық сүйектерді алып тастасаңыз, сізде 15 сүйек қалады. Оларды әртүрлі тәсілдермен орналастыруға және қызықты нәтижелерге қол жеткізуге болады.

1. Әрқайсысының бөлшектерінің қосындысы 2-ге тең 3 қатарға орналасу.

;
;

2. Барлық 15 тақтайшаны әрқайсысы 5 тақтайшадан тұратын үш қатарға орналастырыңыз, кейбір домино тастарын 4/3, 6/1, 3/2 және т.б. сияқты дұрыс емес бөлшек ретінде пайдаланып, әр жолдағы бөлшектердің қосындысы болатындай етіп орналастырыңыз. 10 санына тең болды.

1\3+6\1+3\4+5\3+5\4=10

2\1+5\1+2\6+6\3+4\6=10

4\1+2\3+4\2+5\2+5\6=10

3. Қосындысы бүтін сан болатын (бірақ әр түрлі жолдарда әртүрлі) бөлшектерді жолдармен орналастыру.

3.2 Ежелден бері.

«Ол бұл мәселені мұқият зерттеді». Бұл мәселенің соңына дейін зерттелгенін, тіпті азғантай түсініксіздіктің қалмағанын білдіреді. «Ұқыпты» деген оғаш сөз 1/288 assa – «scrupulus» деген римдік атаудан шыққан.

«Бөлшектерге бөлу». Бұл өрнек қиын жағдайға тап болуды білдіреді.

«Асса» - фармакологиядағы массаның өлшем бірлігі (фармацевт фунты).

«Унция» - ағылшын өлшемдер жүйесіндегі масса бірлігі, фармакология мен химиядағы массаның өлшем бірлігі.

IV. Қорытынды.

Бөлшектердің тарихы көптеген кедергілер мен қиындықтардан тұратын бұралаң жол деп қорытындыладым. Эссемен жұмыс істеу барысында мен көптеген жаңа және қызықты нәрселерді білдім. Мен энциклопедиялардан көптеген кітаптар мен бөлімдерді оқыдым. Адамдар алғаш амал жасаған бөлшектермен, аликвоттық бөлшек ұғымымен таныстым және бөлшек ілімінің дамуына үлес қосқан ғалымдардың жаңа есімдерін білдім. Мен өзім олимпиадалық және ойын-сауық есептерін шығаруға тырыстым, жай бөлшектерді аликвоттық бөлшектерге бөлу мысалдарын өз бетімен таңдадым, мәтіндерде келтірілген мысалдар мен есептердің шешімін талдадым. Эссемен жұмысты бастамас бұрын өзіме қойған сұраққа жауап: қарапайым бөлшектер қажет, олар маңызды. Презентацияны дайындау қызықты болды, маған мұғалім мен сыныптастарымнан көмек сұрауға тура келді. Сондай-ақ теру кезінде бірінші рет бөлшек пен бөлшек өрнектерді теру қажеттілігіне тап болдым. Мен мектеп конференциясында рефератымды ұсындым. Сыныптастарының алдында да өнер көрсетті. Олар өте мұқият тыңдады және менің ойымша, олар қызығушылық танытты.

Реферат бойынша жұмысты бастамас бұрын қойған тапсырмаларды орындадым деп есептеймін.

Әдебиет.

1. Бородин А.И. Арифметика тарихынан. «Вища мектебі» бас баспасы-К., 1986 ж

2. Глейзер Г.И.Мектептегі математика тарихы: IV-VI сыныптар. Мұғалімдерге арналған нұсқаулық. – М.: Білім, 1981 ж.

3. Игнатьев Е.И. Тапқырлық патшалығында. «Наука» баспасының физика-математикалық әдебиеттер бас редакциясы, М., 1978 ж.

4. Кордемской Г.А.Математикалық тапқырлық.- 10-шы басылым, қайта қаралған. Және қосымша – М.: Unisam, MDS, 1994 ж.

5. Строик Д.Я. Қысқаша эссематематика тарихы. М.: Наука, 1990 ж.

6. Балаларға арналған энциклопедия. 11-том. Математика. Мәскеу, Аванта+, 1998 ж.

7. /wiki.Уикипедиядан алынған материал – еркін энциклопедия.

1-қосымша.

Табиғи масштаб

Пифагордың ғалым және, атап айтқанда, әйгілі теореманың авторы болғанын бәрі біледі. Бірақ оның тамаша музыкант болғаны соншалықты танымал емес. Осы таланттардың үйлесімі оған табиғи шкаланың бар екендігі туралы бірінші болып болжауға мүмкіндік берді. Мен оны әлі дәлелдеуім керек еді. Пифагор өзінің эксперименттері үшін жартылай аспап пен жарты құрылғыны - «монохорданы» жасады. Үстіне жіп тартылған ұзынша қорап еді. Жіптің астында, қораптың үстіңгі қақпағында, жіпті бөліктерге көзбен бөлуді жеңілдету үшін Пифагор масштабты сызды. Пифагор монокордпен көптеген тәжірибелер жасады және соңында дыбыстық жіптің әрекетін математикалық түрде сипаттады. Пифагор шығармалары біз қазір музыкалық акустика деп атайтын ғылымның негізін қалады. Музыка үшін октавадағы жеті дыбыс арифметикада қолдың он саусағы сияқты табиғи нәрсе болып шығады. Атқаннан кейін тербеліп тұрған алғашқы садақтың бауы біз әлі де дерлік өзгеріссіз қолданатын музыкалық дыбыстардың жиынтығын дайындап берді.

Физика тұрғысынан садақ пен жіп бір және бірдей. Ал ер адам садақтың қасиетіне мән беріп, жіп жасаған. Дыбыс беретін ішек тек тұтастай ғана емес, жарты, үштік, ширек, т.б. Енді бұл құбылысқа арифметикалық жағынан қарайық. Жартылар тұтас жіпке қарағанда екі есе жиі дірілдейді, үштен бірі - үш рет, төрттен - төрт рет. Бір сөзбен айтқанда, жіптің тербелетін бөлігі неше есе кіші болса, оның тербеліс жиілігі де сонша есе көп. Бүкіл жол 24 герц жиілікте тербеледі делік. Бөлшектердің он алтыншыға дейінгі тербелістерін санау арқылы кестеде көрсетілген сандар қатарын аламыз. Жиіліктердің бұл тізбегі табиғи деп аталады, яғни. табиғи, масштабты.

2-қосымша.

Жай бөлшектерді қолданатын көне есептер.

Әртүрлі елдердің көне қолжазбаларында және көне арифметика оқулықтарында бөлшектерге қатысты көптеген қызықты есептер кездеседі. Осы есептердің әрқайсысын шешу үшін айтарлықтай тапқырлық, тапқырлық және пайымдау қабілеті қажет.

1. Қойшы 70 өгізімен келеді. Одан сұралады:

Сіз көп отарыңыздан қанша әкелесіз?

Қойшы жауап береді:

Малдың үштен екісін әкелемін. Табында неше бұқа бар екенін есептеңіз?

Ахмес папирусы (Египет, шамамен б.з.б. 2000 ж.).

2. Біреу қазынадан 1/13 алды. Қалғанынан екіншісі 1/17 алды. Ол қазынаға 192 қалдырды.Алғашында қазынада қанша болғанын білгіміз келеді.

Акмим папирусы (VI ғ.)

3. Саяхатшы! Мұнда Диофанттың күлі жерленген. Оның қанша өмір сүргенін сандар арқылы білуге болады.

Оның алтыншы бөлімі тамаша балалық шақ болды.

Оның өмірінің он екінші бөлігі өтті - содан кейін иегі үлпілдек болды.
Диофант жетінші рет баласыз некеде болды.

Бес жыл өтті; ол өзінің әдемі тұңғыш ұлының дүниеге келуіне бата алды.
Кімге тағдыр әкесімен салыстырғанда жердегі әдемі және жарқын өмірдің жартысын ғана берді.

Қарт ұлынан айырылғанына төрт жыл өткен соң, жер бетіндегі тағдырының аяқталуын терең мұңмен қабылдады.

Айтыңызшы, Диофант өлімге қанша жыл төзді?

4. Біреу өліп бара жатып: «Егер менің әйелім ұл туса, оның 2/3 бөлігі оған, қалғаны әйеліне болсын. Егер қыз туылса, 1/3-і оған, 2/3-і әйеліне беріледі». Егіздер дүниеге келді - ұл мен қыз. Мүлікті қалай бөлуге болады?

Ежелгі Рим мәселесі (II ғ.)

Ең үлкені орташадан ең кішінің берілген бөлігіне, орташасы ең кішіге ең үлкенінің берілген бөлігіне, ал ең кішісі 10 санынан орташаның берілген бөлігіне артық болатындай үш санды табыңыз.

Диофант Александрияның «Арифметика» трактаты (б.з.б. 2-3 ғасырлар)

5. Жабайы үйрек Оңтүстік теңізден Солтүстік теңізге 7 күн ұшады. Жабайы қаз солтүстік теңізден оңтүстік теңізге 9 күн ұшады. Енді үйрек пен қаз қатар ұшып шығады. Олар неше күннен кейін кездеседі?

Қытай (б.з. 2 ғ.)

6. «Бір саудагер 3 қаладан өтіп, бірінші қалада оның мүлкінің жартысы мен үштен бір бөлігін, ал екінші қалада қалған мүлкінің жартысы мен үштен бірін, үшінші қалада үштен бір бөлігі үшін алым жинады. оның қалған мүлкінің жартысы үштен бірі. Ал үйіне келгенде 11 ақшасы қалды. Саудагердің басында қанша ақша болғанын біліңіз».

Ананий Ширакаци. «Сұрақтар мен жауаптар» жинағы (VIIғасыр).

Қадамба гүлі бар,

Бір жапырақ үшін

Аралардың бестен бірі түсіп қалды.

Мен жақын жерде өстім

Барлығы гүлдеді Сименгда,

Ал үшінші бөлік оған сәйкес келеді.

Олардың айырмашылығын табыңыз

Оны үш рет бүктеңіз

Ал сол араларды құтайға отырғыз.

Тек екеуі табылмады

Еш жерде өзіңізге орын жоқ

Барлығы алға-артқа ұшып бара жатты

Гүлдердің иісінен ләззат алды.

Енді айтшы

Санамда есептеп,

Барлығы неше ара бар?

Ескі үнді мәселесі (XI ғ.).

8. «Санның үштен бір бөлігін және төрттен бір бөлігін алып тастаса, 10 шығатынын біле тұра, санды тап».

Мұхаммед ибн Мұса әл Хорезми «Арифметика» (9 ғ.)

9. Бір әйел алма теруге бақшаға барды. Бақшадан шығу үшін оған төрт есіктен өту керек болды, олардың әрқайсысында күзетші бар. Әйел терген алмаларының жартысын бірінші есіктегі күзетшіге берді. Екінші күзетшіге жеткенде, әйел оған қалғандарының жартысын берді. Ол үшінші күзетшімен де солай істеді, ал төртінші күзетшімен алмаларды бөліскенде, оның 10 алмасы қалды. Ол бақшадан неше алма терді?

«1001 түн»

10. Тек «анау» мен «мынау», ал «анау» мен «мынаның» жартысы – «анау» мен «мынаның» төрттен үш бөлігінің қанша пайызы болады.

Кодекс ежелгі орыс(Х-ХІ ғасырлар)

11. Малшыға жылқы сатып алуға үш казак келді.

«Жарайды, мен саған жылқы сатамын», - деді малшы, - біріншісіне жарты табын, жарты жылқы сатамын, екіншісіне қалған жарты жылқы, үшіншісіне жарты жылқы сатамын. жарты жылқысы бар қалған жылқылардың.

Мен өзіме тек 5 жылқы қалдырамын».

Казактар малшының жылқыларды қалай бөліктерге бөлетініне таң қалды. Бірақ біраз ойланған соң олар тынышталып, мәміле орын алды.

Малшы казактардың әрқайсысына қанша жылқы сатты?

12. Біреу мұғалімнен: «Сыныбыңда қанша оқушы бар, айтшы, мен ұлымды саған жазғым келеді» деп сұрады. Мұғалім: «Егер мен сияқты көп, жартысы көп, төрттен бір және сіздің ұлыңыз келсе, менде 100 оқушы болады», - деп жауап берді. Сұрақ: мұғалімнің қанша оқушысы болды?

Л.Ф.Магнитский «Арифметика» (1703)

13. Жолаушы екіншісін қуып жетіп: «Алдағы ауылға дейін қанша жерде?» - деп сұрады. Тағы бір саяхатшы былай деп жауап берді: «Сен келе жатқан ауылдың қашықтығы барлық ауылдар арасындағы қашықтықтың үштен біріне тең. Ал тағы екі миль жүрсең, ауылдың дәл ортасында қаласың. Бірінші саяхатшының жүруіне қанша миль қалды?

Л.Ф.Магнитский «Арифметика» (1703)

14.Шаруа әйел базарда жұмыртқа сатып жүрген. Бірінші тұтынушы жұмыртқаның жартысын және жұмыртқаның тағы бір жартысын, қалғанының екінші жартысын және жұмыртқаның тағы бір жартысын, ал үшіншісі соңғы 10 жұмыртқаны сатып алды.

Шаруа әйел базарға қанша жұмыртқа әкелді?

Л.Ф.Магнитский «Арифметика» (1703)

15. Ерлі-зайыптылар бір сандықтағы ақшаны алды, ештеңе қалмады. Күйеуі барлық ақшаның 7/10 бөлігін, ал әйелі 690 рубльді алды. Барлық ақша қанша болды?

Л.Н.Толстой «Арифметика»

16. Санның сегізден бірі

Оны алыңыз және кез келген қосыңыз

Үш жүздің жартысы

Ал сегізі асып түседі

Аз емес – елу

Төрттен үш. Қуанышты боламын,

Есепті білетін адам болса

Ол маған нөмірді айтып береді.

Иоганн Хемелинг, математика мұғалімі.(1800)

17. Үш адам белгілі бір соманы ұтып алды. Біріншісі осы соманың 1/4 бөлігін, екіншісі -1/7, ал үшіншісі - 17 флоринді құрады. Жалпы ұтыс көлемі қанша?

Адам Ризе (Германия, 16 ғ.) 18. Бүкіл жинаған ақшасын барлық ұлдарына тең бөлуді ұйғарып, біреу өсиет жасады. «Ұлдарымның үлкені 1000 сом және қалғанының сегізден бірін алуы керек; келесісі - 2000 рубль және жаңа баланстың сегізден бір бөлігі; үшінші ұлы - 3000 рубль және келесі қалдықтың сегізден бірі және т.б. Ұлдарының санын және өсиет етілген аманат сомасын анықтаңыз.

Леонхард Эйлер (1780)

19. Үш адам 24 000 ливрге үй алғысы келеді. Біріншісі жартысын, екіншісі үштен бірін, үшіншісі қалғанын береді деп келісті. Үшіншісі қанша ақша береді?

Бөлшектер "," Кәдімгі бөлшектер" Ойын «Олар ментальді арифметика үшін... не туралы сөйлесе алады». Тақырып бойынша тапсырмалар» Кәдімгі бөлшектержәне олардағы әрекеттер» 1. У... философ, жазушы. Б. Паскаль болды әдеттен тысталантты және жан-жақты, оның өмірі...

Жұмыс мәтіні суретсіз және формуласыз орналастырылған.
Толық нұсқажұмыс PDF форматындағы «Жұмыс файлдары» қойындысында қолжетімді

Кіріспе

Бөлшектерді зерттеуді өмірдің өзі талап етеді. Әртүрлі есептеулер мен есептеулерді орындау мүмкіндігі әрбір адамға қажет, өйткені біз күнделікті өмірде бөлшектерді кездестіреміз. Мен бұл сандардың аты қайдан шыққанын білгім келді; Бұл сандарды кім ойлап тапты, біз мектепте оқитын «Бөлшек сандар» тақырыбы менің өміріме қажет.

Зерттеу нысаны: жай бөлшектердің шығу тарихы.

Зерттеу пәні: жай бөлшектер.

Гипотеза: Бөлшектер болмаса, математика дами алар ма еді?

Жұмыс мақсаты: математика кабинетіндегі «Айналамыздағы математика» стендін бөлшектер туралы қызықты деректермен безендіру.

Тапсырмалар:

Математикадағы бөлшектердің тарихын оқу;

Стендтің бөлімдерін құрастыру үшін пайдалануға болатын фракциялар туралы ең қызықты фактілерді таңдаңыз.

Математика кабинетінде стенд орнату.

Сәйкестігі: Қазіргі өмір бөлшек есептерін өзекті етеді, өйткені бөлшектердің практикалық қолдану аясы кеңейеді.

Зерттеу әдістері:

1. Бөлшек туралы ақпаратты әртүрлі дереккөздерден іздеңіз: интернеттен, көркем әдебиеттен, оқулықтардан.

2. Ақпаратты талдау, салыстыру, синтездеу және жүйелеу.

1. Жай бөлшектердің тарихынан

1.1. Бөлшектердің пайда болуы

Барлық өркениеттерде бөлшек ұғымы бүтінді тең бөліктерге бөлу процесінен туындады. Орысша «бөлшек» термині басқа тілдердегі аналогтары сияқты лат тілінен шыққан. «фрактура», бұл өз кезегінде араб тіліндегі бірдей мағынадағы терминнің аудармасы: үзу, үзу. Сондықтан барлық жерде бірінші бөлшектер 1/n түріндегі бөлшектер болған шығар. Әрі қарайғы даму табиғи түрде бұл бөлшектерді m/n - рационал сандарды құрайтын бөлшектер ретінде қарастыруға қарай жылжиды. Алайда бұл жолды барлық өркениеттер ұстанған жоқ: мысалы, ол ежелгі Египет математикасында ешқашан жүзеге асырылған жоқ.

1.2. Орыс тіліндегі бөлшектер

Орыс тілінде «бөлшек» сөзі 8 ғасырда пайда болды, ол «дроблит» етістігінен шыққан - бұзу, бөлшектеу. Бөлшектердің қазіргі таңбасы Ежелгі Үндістанда пайда болды: оны арабтар да қолдана бастады.

Ескі нұсқаулықтарда біз келесідей бөлшек атауларын орыс тілінде кездестіреміз:

Ресейде қолданылған жер өлшемі төрттен бір және одан кішірек жарты тоқсан болды, ол окмина деп аталды. Бұл нақты фракциялар, жердің ауданын өлшеу бірліктері болды, бірақ октина уақытты немесе жылдамдықты өлшей алмады және т.б. Кейінірек октина кез келген мәнді білдіре алатын 1/8 абстрактілі бөлшекті білдіре бастады. 17 ғасырда Ресейдегі бөлшекті қолдану туралы В.Беллюстиннің «Адамдар нақты арифметикаға бірте-бірте жеткені» кітабынан мынаны оқи аласыз: «17 ғасырдағы қолжазбада. «Жарлықтың барлық бөлшектері туралы бап «бөлшектерді жазбаша белгілеуден және алым мен бөлгішті көрсетуден тікелей басталады. Бөлшектерді айту кезінде келесі ерекшеліктер қызықты: төртінші бөлік ширек деп аталды, ал 5-тен 11-ге дейінгі бөлгіші бар бөлшектер «ина» әрпімен аяқталатын сөздермен өрнектелді, осылайша 1/7 апта, 1/5 болады. бес ұпай, 1/10 - ондық; бөлгіштері 10-нан асатын акциялар «лоттар» сөздерімен оқылды, мысалы, 5/13 - лоттардың он үштен бесі. Бөлшектерді нөмірлеу тікелей батыс көздерінен алынған. Бөлгіш жоғарғы сан, ал төменгі сан деп аталды».

1.3. Антикалық дәуірдің басқа күйлеріндегі бөлшектер

Барлық тіркелгі ережелері ежелгі египеттіктерқосу және азайту, қосарланған сандар мен толық бөлшектерді бірге қосуға негізделген. Бөлшектерге арналған арнайы белгілер болды. Мысырлықтар 1/n түріндегі бөлшектерді пайдаланды, мұндағы n – натурал сан. Мұндай бөлшектер деп аталады аликвот. Кейде олар m:n бөлудің орнына m∙n көбейтті.

Ежелгі уақытта мысырлықтар 2 алманы үшке бөлуді білген: оларда бұл санға арнайы белгіше де болған. Айтпақшы, бұл египет жазушыларының қолдануындағы алымдағы бірлік болмаған жалғыз бөлшек болды - барлық басқа бөлшектерде алымдағы 1 болды (негізгі бөлшектер деп аталады): 1/2, 1/3 , 1/17, ... және т.б. Бөлшектерге қатысты мұндай көзқарас өте ұзақ уақыт бойы бар. Ежелгі Мысырдың өркениеті жойылып кетті, бір кездері жасыл жерді Сахараның құмдары жұтып қойды, ал фракциялар негізгілердің қосындысына сұрыпталды - Ренессансқа дейін!

ҚытайдаЖай бөлшектермен орындалатын арифметикалық амалдардың барлығы дерлік 2 ғасырда орнатылды. BC д.; олар ежелгі Қытайдың математикалық білімінің іргелі жинағында сипатталған - «Тоғыз кітаптағы математика», оның соңғы басылымы Чжан Цангқа тиесілі. Евклид алгоритміне ұқсас ережеге сүйене отырып есептеу (алым мен бөлгіштің ең үлкен ортақ бөлгіші) қытай математиктері бөлшектерді қысқартты. Бөлшектерді көбейту ұзындығы мен ені бөлшек түрінде көрсетілген тікбұрышты жер учаскесінің ауданын табу ретінде қарастырылды. Бөлу бөлісу идеясын қолдану арқылы қарастырылды, ал қытай математиктері бөлімге қатысушылардың саны бөлшек болуы мүмкін, мысалы, 3⅓ адам болуы мүмкін екеніне ұялмады.

Бастапқыда қытайлықтар монша иероглифімен аталған қарапайым фракцияларды пайдаланды:

banh («жартысы») -12;

шао бан («кіші жартысы») -13;

тайбань («үлкен жарты») -23. Мен не деп ойлаймын Вавилондықтаролар тұрақты бөлгішті (60-қа тең, шамасы, олардың санау жүйесі сексаздық болғандықтан) артық көрді.

РимдіктерОлар сондай-ақ 12-ге тең бір ғана бөлгішті пайдаланды.

Жай бөлшек ұғымының одан әрі дамуына қол жеткізілді Үндістан. Бұл елдің математиктері бірлік бөлшектерден жалпы бөлшектерге жылдам ауыса алды. Мұндай фракциялар алғаш рет Апастамбаның (б.з.б. VII-V ғғ.) «Арқан ережелерінде» кездеседі, онда геометриялық конструкциялар мен кейбір есептеулердің нәтижелері бар. Үндістанда бөлшектің алымы азайғыштың үстіне жазылатын, бірақ бөлшек сызығы жоқ, бірақ бүкіл бөлшек бір жүйеге орналастырылған - мүмкін қытайлық және мүмкін грек тілінен шыққан белгі жүйесі қолданылды. төртбұрышты жақтау.

Қызықты бөлшектер

«Бөлшектерді білмейінше, ешкімді арифметиканы меңгерген деп тануға болмайды!» (Цицерон)

Өлшеу жүйелері фракцияларды тасымалдайды: 1 сантиметр = 1/10 дециметр = 1/100 метр.

Бөлшектерді кездестіруге болады әртүрлі сабақтарда. Мысалы, географияда: «КСРО болған кезде Ресей жердің алтыдан бір бөлігін алып жатты. Қазір Ресей құрлықтың тоғыздан бір бөлігін алып жатыр». Бейнелеу өнерінде – адам бейнесін бейнелеу кезінде. Музыкада ырғақ, музыкалық шығарманың метрі.

Адам «бөлшек» сөзін кездестіреді өмірде:

Аңшылық мылтықтан атуға арналған шағын қорғасын шарлары – ату.

Жиі, үзік-үзік дыбыстар – барабан соғу.

Әскери-теңіз флотында «атылды!» командасы. - атысты тоқтату.

Үйлерді нөмірлеу. Бөлшекпен бөлінген сан екі қиылысатын көше бойында нөмірленген үйлерге қойылады.

Бидегі бөлшек. Орыс халық биін бөлшек және жүгірусіз елестету мүмкін емес.

Тістеріңізбен бөлшекті қағып алыңыз - тістеріңізді дірілдетіңіз (суықтан дірілдеу, қорқыныш).

Көркем әдебиетте. Виктор Драгунскийдің «Сізде әзіл болуы керек» хикаясының кейіпкері Дениска бірде досы Мишкадан мәселе сұрады: екі алманы үшке қалай бөлуге болады? Мишка ақыры көнгенде, ол: «Компот жасаңыз!» - деп жауап берді. Мишка мен Денис бөлшектерді әлі үйренбеген және 2 саны 3-ке бөлінбейтінін анық білген?

Бірақ бұл мәселенің жалғыз шешімі емес! Әр алманы үш бөлікке бөліп, үш бөлікке бірдей екі бөлікті бөлу керек.

Бөлшектердің үш түрі бар:

Бірліктер (аликвоттар) немесе бөлшектер (мысалы, 1/2, 1/3, 1/4 және т.б.).

Жүйелі, яғни бөлгіші санның дәрежесімен өрнектелетін бөлшектер (мысалы, 10 немесе 60 дәрежесі және т.б.).

Алымы мен бөлгіші кез келген сан бола алатын жалпы форма.

«жалған» - тұрақты емес және «нақты» - дұрыс фракциялар бар.

Математикадағы бөлшек- бастапқыда бүтін емес сандар немесе бөлшек ұғымын бейнелейтін бөлу операциясы арқылы математикалық шамаларды бейнелеу формасы. Ең қарапайым жағдайда сандық бөлшек екі санның қатынасы болып табылады.

m:n =m/н

Бөлшекте м/n(оқыңыз: “um nth”) саны м, түзудің үстінде орналасқаны алым, ал түзудің астында орналасқан n саны бөлгіш деп аталады. Бөлгіш бүтіннің неше тең бөлікке бөлінгенін, ал алым ондай неше бөлік алынғанын көрсетеді. Бөлшек сызығын бөлу белгісі деп түсінуге болады.

1202 жылы «бөлшек» сөзін енгізді.

Алым және бөлгіш атауларын 13 ғасырда грек монахы, ғалымы және математигі Максимус Плануд енгізген.

Зерттеудің негізгі нәтижелері

Қорытынды: Бөлшектердің қажеттілігі адам дамуының өте ерте кезеңінде пайда болды. Өмірде адамға тек заттарды санап қана қоймай, шамаларды да өлшеуге тура келді. Адамдар ұзындықты, жер аумақтарын, көлемді, дене массасын, уақытты өлшеп, сатып алынған немесе сатылған тауарлар үшін төлем жасады. Өлшеу нәтижесін немесе өнімнің өзіндік құнын натурал санмен көрсету әрқашан мүмкін болмады. Бөлшектер мен оларды өңдеу ережелері осылай пайда болды.

Жұмыстың практикалық маңыздылығы:

Мәтіндік редакторда жұмыс істеу дағдыларын игеріп, интернет ресурстарымен жұмыс жасадым. Математика кабинетіндегі «Айналамыздағы математика» стендін бөлшектер туралы қызықты деректермен безендіру үшін материал таңдадым (1-қосымша). Және стенд әзірледі (Қосымша).

Зерттеу нәтижесінде Мен гипотезаны растадым: адамдар бөлшексіз жасай алмайды, ал бөлшектерсіз математика дамымайды.

Әдебиеттер тізімі

Анищенко Е.А. Сан математиканың негізгі ұғымы ретінде. Мариуполь, 2002 ж.

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. 5-сынып: Жалпы білім беретін оқу орындарына арналған оқулық/- 26-бас., стер. - М.: Мнемосине, 2009. - 280 б.

Гейзер Г.И. Мектептегі математика тарихы. Мұғалімдерге арналған нұсқаулық. – М.: Білім, 1981. – 239 б.

Математика. 5-сынып: жалпы білім беретін оқу. мекемелер. [СМ. Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В. Шевкин]. — 11-бас., қайта қаралған. - М.: Білім, 2016. - 272 б. - (ММУ - мектеп).

Математикалық энциклопедиялық сөздік. - М., 1988 ж.

Электрондық ресурстарға қашықтан қол жеткізу (Интернет)

3. Уикипедия материалы – еркін энциклопедия. Қол жеткізу режимі: http://ru.wikipedia.org/wiki

Дәйексөздер. Қол жеткізу режимі: http://citaty.socratify.net/lev-toltoi/25013.

Қолданбалар

«Айналамыздағы математика» стенді

«Египеттегі бөлшектерді жазу» кестесі