Туынды құралдарды есептеу ережелері. Күрделі функция

Функциялар күрделі түрі«Күрделі функция» терминін қолдану мүлдем дұрыс емес. Мысалы, бұл өте әсерлі көрінеді, бірақ бұл функция күрделі емес, айырмашылығы.

Бұл мақалада біз тұжырымдаманы түсінеміз күрделі функция, біз оны элементар функциялардың бөлігі ретінде анықтауды, оның туындысын табу формуласын беруді және типтік мысалдардың шешімін егжей-тегжейлі қарастыруды үйренеміз.

Мысалдарды шешу кезінде біз үнемі туындылар кестесін және дифференциалдау ережелерін қолданамыз, сондықтан оларды көз алдыңызда ұстаңыз.

Күрделі функцияаргументі де функция болып табылатын функция.

Біздің көзқарасымыз бойынша, бұл анықтама ең түсінікті. Шартты түрде оны f(g(x)) деп белгілеуге болады. Яғни, g(x) f(g(x)) функциясының аргументі сияқты.

Мысалы, f арктангенс функциясы және g(x) = lnx натурал логарифм функциясы болсын, онда f(g(x)) күрделі функциясы arctan(lnx) болады. Тағы бір мысал: f – төртінші дәрежеге көтеру функциясы, және тұтас рационал функция (қараңыз), онда .

Өз кезегінде g(x) да күрделі функция бола алады. Мысалы, . Шартты түрде мұндай өрнекті былай белгілеуге болады . Мұндағы f – синус функциясы, квадрат түбір функциясы, - бөлшек рационал функция. Функциялардың орналасу дәрежесі кез келген шекті болуы мүмкін деп есептеу қисынды натурал сан.

деп аталатын күрделі функцияны жиі естисіз функциялардың құрамы.

Күрделі функцияның туындысын табу формуласы.

Мысал.

Күрделі функцияның туындысын табыңыз.

Шешім.

Бұл мысалда f – квадраттық функция және g(x) = 2x+1 – сызықтық функция.

Мұнда күрделі функцияның туынды формуласын қолданатын егжей-тегжейлі шешім берілген:

Алдымен бастапқы функцияның түрін жеңілдету арқылы осы туындыны табайық.

Демек,

Көріп отырғаныңыздай, нәтиже бірдей.

Қай функция f, қайсысы g(x) екенін шатастырмауға тырысыңыз.

Назарларыңызды аудару үшін мұны мысалмен түсіндірейік.

Мысал.

Күрделі функциялардың туындыларын табыңыз және.

Шешім.

Бірінші жағдайда f - квадраттық функция және g(x) синус функциясы, сондықтан
.

Екінші жағдайда f - синус функциясы, ал дәреже функциясы. Сондықтан күрделі функцияның туындысының формуласы бойынша бізде

Функцияның туынды формуласының пішіні бар

Мысал.

Функцияны дифференциалдау .

Шешім.

Бұл мысалда күрделі функцияны шартты түрде былай жазуға болады , мұндағы сәйкесінше синус функциясы, үшінші дәреже функциясы, негізгі e логарифм функциясы, арктангенс функциясы және сызықтық функция.

Күрделі функцияның туындысының формуласы бойынша

Енді табамыз

Алынған аралық нәтижелерді біріктірейік:

Қорқынышты ештеңе жоқ, ұя салатын қуыршақ сияқты күрделі функцияларды талдаңыз.

Бұл мақаланың соңы болуы мүмкін, егер бір нәрсе болмаса ...

Дифференциалдау ережелері мен туындылар кестесін қашан қолдану керектігін және күрделі функцияның туындысы формуласын қашан қолдану керектігін нақты түсінген жөн..

ҚАЗІР ӨТЕ САҚ БОЛЫҢЫЗ. Біз күрделі функциялар мен күрделі функциялардың айырмашылығы туралы айтатын боламыз. Туынды құралдарды табудағы табысыңыз осы айырмашылықты қаншалықты көретініңізге байланысты болады.

Қарапайым мысалдардан бастайық. Функция комплекс ретінде қарастыруға болады: g(x) = tanks , . Сондықтан күрделі функцияның туындысының формуласын бірден қолдануға болады

Және бұл функция Оны енді күрделі деп атауға болмайды.

Бұл функция үш функцияның қосындысы, 3tgx және 1. Дегенмен - күрделі функция: - дәреже функциясы (квадрат парабола), ал f - жанама функция. Сондықтан алдымен қосынды дифференциалдау формуласын қолданамыз:

Күрделі функцияның туындысын табу керек:

Сондықтан .

Сіз түйінді түсіндіңіз деп үміттенеміз.

Кеңірек қарастыратын болсақ, күрделі типтегі функциялар күрделі функциялардың бөлігі болуы мүмкін, ал күрделі функциялар күрделі типтегі функциялардың құрамдас бөлігі болуы мүмкін деп айтуға болады.

Мысал ретінде функцияны оның құрамдас бөліктеріне талдап көрейік .

Біріншіден, бұл күрделі функция, оны ретінде көрсетуге болады, мұндағы f — 3 негізгі логарифмдік функция, ал g(x) — екі функцияның қосындысы Және . Яғни, .

Екіншіден, h(x) функциясын қарастырайық. қатынасын білдіреді .

Бұл екі функцияның қосындысы және , Қайда - сандық коэффициенті 3-ке тең күрделі функция. - куб функциясы, - косинус функциясы, - сызықтық функция.

Бұл екі функцияның қосындысы және мұндағы - күрделі функция, - көрсеткіштік функция, - дәреже функциясы.

Осылайша, .

Үшіншіден, -ға өтіңіз, ол күрделі функцияның туындысы болып табылады және бүкіл рационал функция

Квадрат функциясы e негізіне логарифмдік функция болып табылады.

Демек, .

Қорытындылай келе:

Енді функцияның құрылымы түсінікті және оны дифференциалдау кезінде қандай формулаларды және қандай ретпен қолдану керектігі белгілі болды.

Функцияны дифференциалдау (туындыны табу) бөлімінде ұқсас есептердің шешімімен танысуға болады.

Күрделі түрдегі функциялар күрделі функцияның анықтамасына сәйкес келе бермейді. Егер у = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 түріндегі функция болса, онда y = sin 2 x сияқты күрделі деп санауға болмайды.

Бұл мақалада күрделі функция түсінігі және оның идентификациясы көрсетіледі. Қорытындыда шешу мысалдарымен туындыны табу формулаларымен жұмыс жасайық. Туынды кестені және дифференциалдау ережелерін қолдану туындыны табу уақытын едәуір қысқартады.

Негізгі анықтамалар

Анықтама 1

Күрделі функция деп аргументі де функция болып табылатын функцияны айтады.

Ол былай белгіленеді: f (g (x)). Бізде g (x) функциясы f (g (x)) аргументі ретінде қарастырылады.

Анықтама 2

Егер f функциясы болса және ол котангенс функция болса, g(x) = ln x натурал логарифмдік функция болады. f (g (x)) күрделі функциясы arctg(lnx) түрінде жазылатынын көреміз. Немесе f функциясы, ол 4-ші дәрежеге көтерілген функция, мұнда g (x) = x 2 + 2 x - 3 бүтін сан болып саналады. рационал функция, f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 екенін табамыз.

Әлбетте, g(x) күрделі болуы мүмкін. y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 мысалынан g мәні бөлшектің текше түбірі болатыны анық. Бұл өрнекті y = f (f 1 (f 2 (x))) деп белгілеуге болады. Бізде f - синус функциясы, ал f 1 - квадрат түбірдің астында орналасқан функция, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - бөлшек рационал функция.

Анықтама 3

Ұя салу дәрежесі кез келген натурал санмен анықталады және y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... f n (x)))))) түрінде жазылады.

Анықтама 4

Функция құрамы ұғымы есеп шарттарына сәйкес кірістірілген функциялар санын білдіреді. Шешу үшін пішіннің күрделі функциясының туындысын табу формуласын қолданыңыз

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Мысалдар

1-мысал

y = (2 x + 1) 2 түріндегі күрделі функцияның туындысын табыңыз.

Шешім

Шарт f квадраттық функция, ал g(x) = 2 x + 1 сызықтық функция болып есептелетінін көрсетеді.

Күрделі функцияның туынды формуласын қолданып, былай жазайық:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x)))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Функцияның жеңілдетілген бастапқы түрі бар туындыны табу керек. Біз алып жатырмыз:

у = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Осыдан бізде бұл бар

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Нәтижелері бірдей болды.

Осы типтегі есептерді шешу кезінде f және g (x) түріндегі функциялардың қайда орналасатынын түсіну маңызды.

2-мысал

y = sin 2 x және y = sin x 2 түріндегі күрделі функциялардың туындыларын табу керек.

Шешім

Функцияның бірінші белгілеуінде f – квадраттық функция, ал g(x) – синус функция. Сонда біз мұны аламыз

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Екінші жазба f синус функциясы, ал g(x) = x 2 дәреже функциясын білдіреді. Бұдан күрделі функцияның туындысын былай жазатынымыз шығады

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))) туындысының формуласы y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (.)) түрінде жазылады. .. ( f n (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (f n (x))))) · · f 2 "(f 3 (... (f n (x)) ))) ))) . . . fn "(x)

3-мысал

y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) функциясының туындысын табыңыз.

Шешім

Бұл мысалда функциялардың орнын жазу және анықтау қиындығы көрсетілген. Сонда у = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) белгілейді, мұндағы f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) синус функциясы, көтеру функциясы. 3 градусқа дейін, логарифмі және негізі е болатын функция, арктангенс және сызықтық функция.

Күрделі функцияны анықтау формуласынан біз мынаны аламыз

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Біз табу керек нәрсені аламыз

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) туындылар кестесіне сәйкес синустың туындысы ретінде, содан кейін f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4)) x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x))) дәреже функциясының туындысы ретінде, онда f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) логарифмдік туынды ретінде, онда f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) арктангенстің туындысы ретінде, онда f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. f 4 (x) = 2 x туындысын тапқанда, көрсеткіші 1-ге тең дәрежелі функцияның туындысының формуласын пайдаланып, туындының таңбасынан 2-ні алып тастаңыз, содан кейін f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Біз аралық нәтижелерді біріктіріп, оны аламыз

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Мұндай функцияларды талдау ұя салатын қуыршақтарды еске түсіреді. Дифференциалдау ережелерін туынды кестені пайдаланып әрқашан анық қолдануға болмайды. Көбінесе күрделі функциялардың туындыларын табу үшін формуланы қолдану қажет.

Күрделі көрініс пен күрделі функциялардың арасында кейбір айырмашылықтар бар. Бұны айыра білу қабілетімен туындыларды табу әсіресе оңай болады.

4-мысал

Мұндай мысал келтіруді қарастыру керек. y = t g 2 x + 3 t g x + 1 түріндегі функция болса, онда оны g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 түріндегі күрделі функция ретінде қарастыруға болады. . Күрделі туынды үшін формуланы қолдану керек екені анық:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 г (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 т g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 түріндегі функция күрделі деп саналмайды, өйткені оның t g x 2, 3 t g x және 1 қосындысы бар. Дегенмен, t g x 2 күрделі функция болып саналады, онда біз тангенс функциясы болып табылатын g (x) = x 2 және f түріндегі дәрежелік функцияны аламыз. Ол үшін сома бойынша ажыратыңыз. Біз мұны түсінеміз

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Күрделі функцияның туындысын табуға көшейік (t g x 2) «:

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Біз мынаны аламыз y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Күрделі түрдегі функциялар күрделі функцияларға, ал күрделі функциялардың өзі күрделі типті функциялардың құрамдастары болуы мүмкін.

5-мысал

Мысалы, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) түріндегі күрделі функцияны қарастырайық.

Бұл функцияны y = f (g (x)) түрінде көрсетуге болады, мұнда f мәні 3 логарифм негізінің функциясы, ал g (x) h (x) = түріндегі екі функцияның қосындысы болып саналады. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 және k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Әлбетте, y = f (h (x) + k (x)).

h(x) функциясын қарастырайық. Бұл l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 мен m (x) = e x 2 + 3 3 қатынасы.

Бізде l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) екі функцияның қосындысы n (x) = x 2 + 7 және p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , мұндағы p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) - сандық коэффициенті 3 болатын күрделі функция, ал p 1 - текше функция, p 2 косинус функциясы бойынша, p 3 (x) = 2 x + 1 сызықтық функция бойынша.

m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) q (x) = e x 2 және r (x) = 3 3 екі функцияның қосындысы екенін анықтадық, мұндағы q (x) = q 1 (q 2 (x)) – күрделі функция, q 1 – көрсеткіштік мәні бар функция, q 2 (x) = x 2 – дәрежелі функция.

Бұл h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) екенін көрсетеді. (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) түріндегі өрнекке көшкенде функция s ( комплексі түрінде берілгені анық. x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) рационал бүтін t (x) = x 2 + 1, мұндағы s 1 квадраттық функция, ал s 2 (x) = ln x логарифмдік. негізі e.

Бұдан өрнек k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) түрінде болатыны шығады.

Сонда біз мұны аламыз

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3) x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Функцияның құрылымдарына сүйене отырып, оны дифференциалдау кезінде өрнекті жеңілдету үшін қалай және қандай формулаларды қолдану керек екені белгілі болды. Мұндай есептер мен оларды шешу тұжырымдамасымен танысу үшін функцияны дифференциалдау, яғни оның туындысын табу нүктесіне көшу қажет.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Туындыны табу операциясы дифференциалдау деп аталады.

Аргумент өсімшесінің өсімшеге қатынасының шегі ретінде туындыны анықтау арқылы ең қарапайым (және өте қарапайым емес) функциялардың туындыларын табу есептерін шешу нәтижесінде туындылар кестесі және дифференциалдаудың нақты анықталған ережелері пайда болды. . Туындыларды табу саласында алғаш жұмыс істегендер Исаак Ньютон (1643-1727) және Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) болды.

Сондықтан біздің заманымызда кез келген функцияның туындысын табу үшін функцияның өсімшесінің аргумент өсіміне қатынасының жоғарыда айтылған шегін есептеудің қажеті жоқ, тек мына кестені пайдалану керек: туындылар және дифференциалдау ережелері. Туындыны табу үшін келесі алгоритм қолайлы.

Туындыны табу, сізге жай таңбаның астындағы өрнек керек қарапайым функцияларды құрамдас бөліктерге бөлужәне қандай әрекеттерді анықтау (өнім, қосынды, үлес)бұл функциялар байланысты. Әрі қарай, элементар функциялардың туындыларын туындылар кестесінен, ал туындының, қосындының және үлестің туындыларының формулаларын дифференциалдау ережелерінен табамыз. Туынды кесте және дифференциалдау ережелері алғашқы екі мысалдан кейін берілген.

1-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Шешім. Дифференциалдау ережелерінен біз функциялар қосындысының туындысы функциялардың туындыларының қосындысы екенін анықтаймыз, яғни.

Туындылар кестесінен «х» туындысы бірге, ал синустың туындысы косинусқа тең екенін білеміз. Бұл мәндерді туындылар қосындысына ауыстырамыз және есеп шарты бойынша талап етілетін туындыны табамыз:

2-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Шешім. Екінші мүшесі тұрақты көбейткіші бар қосындының туындысы ретінде ажыратамыз, оны туындының белгісінен шығаруға болады:

Егер бірдеңенің қайдан шыққаны туралы әлі де сұрақтар туындаса, олар әдетте туындылар кестесімен және дифференциацияның қарапайым ережелерімен танысқаннан кейін жойылады. Біз қазір оларға көшеміз.

Қарапайым функциялардың туындыларының кестесі

1. Тұрақтының (санның) туындысы. Функция өрнегіндегі кез келген сан (1, 2, 5, 200...). Әрқашан нөлге тең. Мұны есте сақтау өте маңызды, өйткені бұл өте жиі қажет
2. Тәуелсіз айнымалының туындысы. Көбінесе «X». Әрқашан бірге тең. Мұны да ұзақ уақыт есте сақтау маңызды
3. Дәреженің туындысы. Есептерді шығарғанда квадрат емес түбірлерді дәрежелерге түрлендіру керек.
4. Айнымалының -1 дәрежесіне туындысы
5. Квадрат түбірдің туындысы
6. Синустың туындысы
7. Косинустың туындысы
8. Тангенстің туындысы
9. Котангенс туындысы
10. Арксинустың туындысы
11. Доғалық косинустың туындысы
12. Арктангенс туындысы
13. Доға котангенсінің туындысы
14. Натурал логарифмнің туындысы
15. Логарифмдік функцияның туындысы
16. Көрсеткіштің туындысы
17. Көрсеткіштік функцияның туындысы

Дифференциация ережелері

1. Қосындының немесе айырманың туындысы
2. Өнімнің туындысы
2а. Тұрақты көбейткішке көбейтілген өрнектің туындысы
3. Бөлімшенің туындысы
4. Күрделі функцияның туындысы

1-ереже.Функциялар болса

бір нүктеде дифференциалданатын болса, онда функциялар бір нүктеде дифференциалданатын болады

және

анау. функциялардың алгебралық қосындысының туындысы осы функциялардың туындыларының алгебралық қосындысына тең.

Салдары. Егер екі дифференциалданатын функция тұрақты мүшемен ерекшеленсе, олардың туындылары тең болады, яғни.

2-ереже.Функциялар болса

бір нүктеде дифференциалданатын болса, олардың көбейтіндісі сол нүктеде дифференциалданатын болады

және

анау. Екі функцияның туындысының туындысы осы функциялардың әрқайсысының туындысы мен екіншісінің туындысының қосындысына тең.

Қорытынды 1. Тұрақты көбейткішті туындының таңбасынан шығаруға болады:

Қорытынды 2. Бірнеше дифференциалданатын функциялардың туындысының туындысы әрбір фактордың және барлық басқаларының туындыларының көбейтінділерінің қосындысына тең.

Мысалы, үш көбейткіш үшін:

3-ереже.Функциялар болса

белгілі бір уақытта дифференциалданады Және , онда бұл кезде олардың бөлшегі де дифференциалданадыu/v , және

анау. екі функцияның бөліндісінің туындысы бөлшекке тең, оның алымы азайғыш пен алымның туындысы мен алым мен азалғыштың туындысының айырмасы, ал бөлгіш - -ның квадраты. бұрынғы алым.

Басқа беттердегі заттарды қайдан іздеу керек

Нақты есептердегі көбейтіндінің туындысын және көбейтіндіні табу кезінде әрқашан бірден бірнеше дифференциалдау ережелерін қолдану қажет, сондықтан мақалада бұл туындыларға көбірек мысалдар бар«Функциялардың туындысы мен бөлімі».

Пікір.Тұрақтыны (яғни санды) қосындыдағы мүше ретінде және тұрақты көбейткіш ретінде шатастырмау керек! Термин жағдайында оның туындысы нөлге тең, ал тұрақты көбейткіште туындылардың таңбасынан алынады. Бұл типтік қате, күні орын алады бастапқы кезеңтуындыларды зерттейді, бірақ олар бірнеше бір және екі бөліктен тұратын мысалдарды шешетіндіктен, орташа оқушы енді бұл қатені жібермейді.

Ал егер өнімді немесе үлесті саралау кезінде сізде термин болса u"v, онда u- сан, мысалы, 2 немесе 5, яғни тұрақты, онда бұл санның туындысы нөлге тең болады, демек, бүкіл мүше нөлге тең болады (бұл жағдай 10-мысалда талқыланады).

Тағы бір жиі кездесетін қателік күрделі функцияның туындысын қарапайым функцияның туындысы ретінде механикалық жолмен шешу болып табылады. Сондықтан күрделі функцияның туындысыжеке мақала арналған. Бірақ алдымен туындыларды табуды үйренеміз қарапайым функциялар.

Жолда сіз өрнектерді түрлендірусіз жасай алмайсыз. Мұны істеу үшін нұсқаулықты жаңа терезелерде ашу қажет болуы мүмкін. Күштері мен тамыры бар әрекеттерЖәне Бөлшектермен амалдар .

Егер сіз дәрежелері мен түбірлері бар бөлшектердің туындыларының шешімдерін іздесеңіз, яғни функция қай кезде көрінеді , содан кейін «Дәрежелері мен түбірі бар бөлшектердің қосындыларының туындысы» сабағын орындаңыз.

сияқты тапсырма болса , содан кейін «Қарапайым тригонометриялық функциялардың туындылары» сабағын өтесіз.

Қадамдық мысалдар – туындыны қалай табуға болады

3-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Шешім. Функция өрнегінің бөліктерін анықтаймыз: бүкіл өрнек туындыны білдіреді, ал оның көбейткіштері қосындылар болып табылады, екіншісінде терминдердің бірінде тұрақты фактор бар. Біз туынды дифференциалдау ережесін қолданамыз: екі функцияның туындысының туындысы осы функциялардың әрқайсысының екіншісінің туындысына көбейтіндісінің қосындысына тең:

Әрі қарай, қосындыны дифференциалдау ережесін қолданамыз: функциялардың алгебралық қосындысының туындысы осы функциялардың туындыларының алгебралық қосындысына тең. Біздің жағдайда әрбір қосындыда екінші мүшенің минус таңбасы болады. Әрбір қосындыда туындысы бірге тең тәуелсіз айнымалыны да, туындысы нөлге тең тұрақтыны да (сан) көреміз. Сонымен, «X» бірге айналады, ал минус 5 нөлге айналады. Екінші өрнекте «x» 2-ге көбейтіледі, сондықтан біз «x» туындысы сияқты екі бірлікке көбейтеміз. Біз келесі туынды мәндерді аламыз:

Табылған туындыларды көбейтінділердің қосындысына ауыстырамыз және есеп шарты талап ететін барлық функцияның туындысын аламыз:

Сіз туынды есептің шешімін мына жерден тексере аласыз.

4-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Шешім. Бөлімнің туындысын табу керек. Бөлімді дифференциалдау формуласын қолданамыз: екі функцияның бөлімінен алынған туынды бөлшекке тең, оның алымы азайғыш пен алым мен алым мен туындының туындысы арасындағы айырма болып табылады. бөлгіш, ал бөлгіш бұрынғы алымның квадраты болып табылады. Біз алып жатырмыз:

Біз 2-мысалдағы алымдағы көбейткіштердің туындысын таптық. Сонымен қатар ағымдағы мысалдағы алымдағы екінші көбейткіш болып табылатын көбейтіндінің минус таңбасымен алынғанын ұмытпайық:

Егер сіз түбірлер мен дәрежелердің үздіксіз үйіндісі болатын функцияның туындысын табу қажет есептердің шешімін іздесеңіз, мысалы, , онда сабаққа қош келдіңіз «Дәрежелері мен түбірлері бар бөлшектердің қосындыларының туындысы» .

Синустардың, косинустардың, тангенстердің және басқалардың туындылары туралы көбірек білу қажет болса тригонометриялық функциялар, яғни функция көрінгенде , онда сізге сабақ «Қарапайым тригонометриялық функциялардың туындылары» .

5-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Шешім. Бұл функцияда біз көбейтіндіні көреміз, оның факторларының бірі тәуелсіз айнымалының квадрат түбірі болып табылады, оның туындысымен біз туындылар кестесінде таныстық. Квадрат түбір туындысының туындысын және кестелік мәнін дифференциалдау ережесін пайдаланып, мынаны аламыз:

Туынды есептің шешімін мына жерден тексеруге болады туынды құралдардың онлайн калькуляторы .

6-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Шешім. Бұл функцияда дивиденді тәуелсіз айнымалының квадрат түбірі болатын бөлінді көреміз. Біз 4-мысалда қайталап және қолданатын үлесті дифференциалдау ережесін және квадрат түбір туындысының кестелік мәнін пайдалана отырып, біз мынаны аламыз:

Алымдағы бөлшектен құтылу үшін алым мен бөлгішті көбейту керек.

Күрделі функцияның туындысының формуласы арқылы туындыларды есептеуге мысалдар келтірілген.

Мазмұны

Сондай-ақ қараңыз: Күрделі функцияның туындысының формуласын дәлелдеу

Негізгі формулалар

Мұнда біз келесі функциялардың туындыларын есептеу мысалдарын келтіреміз:
; ; ; ; .

Егер функция күрделі функция ретінде келесі формада ұсынылуы мүмкін болса:
,
онда оның туындысы мына формуламен анықталады:
.
Төмендегі мысалдарда біз бұл формуланы келесідей жазамыз:
.
Қайда.
Мұнда туынды белгісінің астында орналасқан немесе таңбашалары дифференциалдау орындалатын айнымалыларды білдіреді.

Әдетте туынды кестелерде х айнымалысынан функциялардың туындылары беріледі. Дегенмен, x - ресми параметр. x айнымалысын кез келген басқа айнымалымен ауыстыруға болады. Сондықтан функцияны айнымалыдан ажыратқанда, біз туындылар кестесіндегі х айнымалысын u айнымалысына жай ғана өзгертеміз.

Қарапайым мысалдар

1-мысал

Күрделі функцияның туындысын табыңыз
.

Берілген функцияны эквивалентті түрде жазайық:
.
Туындылар кестесінде мыналарды табамыз:
;
.

Күрделі функцияның туындысының формуласына сәйкес, бізде:
.
Мұнда .

2-мысал

Туындыны табыңыз
.

Туынды таңбадан 5 тұрақтысын алып, туындылар кестесінен табамыз:
.

.
Мұнда .

3-мысал

Туындыны табыңыз
.

Тұрақтыны шығарамыз -1 туындының белгісі үшін және туындылар кестесінен табамыз:
;
Туындылар кестесінен мынаны табамыз:
.

Күрделі функцияның туындысы үшін формуланы қолданамыз:
.
Мұнда .

Неғұрлым күрделі мысалдар

Көбірек күрделі мысалдаркүрделі функцияны дифференциалдау ережесін бірнеше рет қолданамыз. Бұл жағдайда біз туындыны соңынан есептейміз. Яғни, функцияны құрамдас бөліктерге бөліп, қарапайым бөлшектердің туындыларын пайдалана отырып табамыз туындылар кестесі. Біз де қолданамыз қосындыларды дифференциалдау ережелері, туындылар және фракциялар. Содан кейін алмастырулар жасап, күрделі функцияның туындысының формуласын қолданамыз.

4-мысал

Туындыны табыңыз
.

Формуланың ең қарапайым бөлігін таңдап, оның туындысын табайық. .

.
Мұнда біз белгіні қолдандық
.

Алынған нәтижелер арқылы бастапқы функцияның келесі бөлігінің туындысын табамыз. Қосындыны дифференциалдау ережесін қолданамыз:
.

Күрделі функцияларды дифференциалдау ережесін тағы да қолданамыз.

.
Мұнда .

5-мысал

Функцияның туындысын табыңыз
.

Формуланың ең қарапайым бөлігін таңдап, туындылар кестесінен оның туындысын табайық. .

Күрделі функцияларды дифференциалдау ережесін қолданамыз.
.
Мұнда
.

Алынған нәтижелер арқылы келесі бөлікті ажыратайық.
.
Мұнда
.

Келесі бөлімді ажыратайық.

.
Мұнда
.

Енді қажетті функцияның туындысын табамыз.

.
Мұнда
.

Сондай-ақ қараңыз:

Ол бойынша біз ең қарапайым туындыларды қарастырдық, сонымен қатар дифференциалдау ережелерімен және туындыларды табудың кейбір техникалық әдістерімен таныстық. Осылайша, егер сіз функциялардың туындыларын жақсы білмесеңіз немесе осы мақаланың кейбір тармақтары толығымен түсініксіз болса, алдымен жоғарыдағы сабақты оқып шығыңыз. Маңызды көңіл-күйге ие болыңыз - материал қарапайым емес, бірақ мен оны қарапайым және түсінікті етіп көрсетуге тырысамын.

Практикада күрделі функцияның туындысымен өте жиі айналысуға тура келеді, тіпті туындыларды табу тапсырмалары берілгенде дерлік дерлік дер едім.

Күрделі функцияны дифференциалдау үшін ережедегі кестені (No5) қарастырамыз:

Оны анықтап көрейік. Ең алдымен, жазбаға назар аударайық. Мұнда бізде екі функция бар - және , және функция бейнелі түрде функцияның ішінде кірістірілген. Бұл түрдегі функция (бір функция басқа функцияның ішіне кірістірілгенде) күрделі функция деп аталады.

Мен функцияны шақырамын сыртқы функция, және функциясы – ішкі (немесе кірістірілген) функция.

! Бұл анықтамалар теориялық емес және тапсырмаларды түпкілікті ресімдеуде көрсетілмеуі керек. Мен «сыртқы функция», «ішкі» функция сияқты бейресми өрнектерді материалды түсінуді жеңілдету үшін ғана қолданамын.

Жағдайды түсіндіру үшін мыналарды қарастырыңыз:

1-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Синус астында бізде «Х» әрпі ғана емес, тұтас өрнек бар, сондықтан туындыны кестеден бірден табу жұмыс істемейді. Мұнда алғашқы төрт ережені қолдану мүмкін емес екенін байқаймыз, айырмашылық бар сияқты, бірақ синусын «бөлшектерге бөлуге» болмайды:

Бұл мысалда функцияның күрделі функция, ал көпмүшеліктің ішкі функция (енгізу) және сыртқы функция екендігі менің түсініктемелерімнен интуитивті түрде анық болды.

Алғашқы қадамкүрделі функцияның туындысын табу үшін не істеу керек Қандай функция ішкі, қайсысы сыртқы екенін түсіну.

Қарапайым мысалдарда көпмүше синусының астына енгізілгені анық көрінеді. Бірақ бәрі анық болмаса ше? Қандай функция сыртқы, қайсысы ішкі екенін қалай дәл анықтауға болады? Ол үшін мен ойша немесе жобада жасауға болатын келесі әдістемені қолдануды ұсынамын.

Калькулятордағы өрнектің мәнін есептеу керек деп елестетіп көрейік (бір санның орнына кез келген сан болуы мүмкін).

Алдымен нені есептейміз? Бірінші кезектекелесі әрекетті орындау керек: , сондықтан көпмүше ішкі функция болады:

Екіншідентабу керек, сондықтан синус – сыртқы функция болады:

Бізден кейін САТЫЛҒАНішкі және сыртқы функциялармен күрделі функцияларды дифференциалдау ережесін қолданудың уақыты келді .

Шешім қабылдауды бастайық. Сабақтан Туындыны қалай табуға болады?Кез келген туынды шешімнің дизайны әрқашан осылай басталатынын есте ұстаймыз - біз өрнекті жақшаға алып, жоғарғы оң жаққа штрих қоямыз:

Алғашқыдасыртқы функцияның (синус) туындысын табамыз, элементар функциялардың туындылары кестесін қарап, . Барлық кесте формулалары «x» күрделі өрнекпен ауыстырылса да қолданылады, бұл жағдайда:

Ішкі функцияны ескеріңіз өзгерген жоқ, біз оған тиіспейміз.

Ал, бұл анық

Формуланы қолдану нәтижесі оның соңғы түрінде ол келесідей көрінеді:

Тұрақты көбейткіш әдетте өрнектің басында орналасады:

Түсінбеушілік болса, шешімді қағазға жазып, түсініктемелерді қайта оқыңыз.

2-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

3-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Әдеттегідей, біз жазамыз:

Бізде қай жерде сыртқы функция бар, ал қай жерде ішкі функция бар екенін анықтайық. Ол үшін өрнектің мәнін (ойша немесе жобада) есептеуге тырысамыз. Алдымен не істеу керек? Ең алдымен, негіз неге тең екенін есептеу керек: сондықтан көпмүше ішкі функция болып табылады:

Сонда ғана дәреже көрсеткіші орындалады, демек, қуат функциясы сыртқы функция болып табылады:

Формула бойынша , алдымен сыртқы функцияның туындысын, бұл жағдайда дәрежесін табу керек. Қажетті формуланы кестеден іздейміз: . Тағы да қайталаймыз: кез келген кестелік формула тек «X» үшін ғана емес, күрделі өрнек үшін де жарамды. Осылайша, күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолдану нәтижесі Келесі:

Мен сыртқы функцияның туындысын алған кезде біздің ішкі функциямыз өзгермейтінін тағы да атап өтемін:

Енді ішкі функцияның өте қарапайым туындысын табу және нәтижені сәл бұрмалау ғана қалады:

4-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл сізге өзіңіз шешуге арналған мысал (сабақ соңында жауап беру).

Күрделі функцияның туындысы туралы түсінігіңді бекіту үшін мен түсініктемесіз мысал келтіремін, оны өз бетінше анықтауға тырысамын, себебі сыртқы және ішкі функция қайда, неге тапсырмалар осылай шешіледі?

5-мысал

а) Функцияның туындысын табыңыз

б) Функцияның туындысын табыңыз

6-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Мұнда бізде түбір бар, ал түбірді ажырату үшін оны қуат ретінде көрсету керек. Осылайша, алдымен функцияны дифференциалдау үшін қолайлы пішінге келтіреміз:

Функцияны талдай отырып, үш мүшенің қосындысы ішкі функция, ал дәрежеге көтеру сыртқы функция деген қорытындыға келеміз. Күрделі функцияларды дифференциалдау ережесін қолданамыз :

Біз қайтадан дәрежені радикал (түбір) ретінде көрсетеміз және ішкі функцияның туындысы үшін қосындыны дифференциалдаудың қарапайым ережесін қолданамыз:

Дайын. Сондай-ақ, өрнекті жақшадағы ортақ бөлгішке дейін азайтып, барлығын бір бөлшек түрінде жазуға болады. Бұл, әрине, әдемі, бірақ сіз ұзақ мерзімді туындыларды алған кезде мұны жасамағаныңыз жөн (шатастыру оңай, қажетсіз қателік жіберіңіз және мұғалімге тексеру ыңғайсыз болады).

7-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл сізге өзіңіз шешуге арналған мысал (сабақ соңында жауап беру).

Бір қызығы, кейде күрделі функцияны дифференциалдау ережесінің орнына бөлімді дифференциалдау ережесін қолдануға болады. , бірақ мұндай шешім әдеттен тыс бұрмалау сияқты болады. Міне, әдеттегі мысал:

8-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Мұнда бөлімді дифференциалдау ережесін қолдануға болады , бірақ күрделі функцияны дифференциалдау ережесі арқылы туындыны табу әлдеқайда тиімді:

Функцияны дифференциалдау үшін дайындаймыз - минусты туынды таңбадан шығарып, косинусты алымға көтереміз:

Косинус ішкі функция, дәрежеге шығару сыртқы функция.
Ережемізді қолданайық :

Ішкі функцияның туындысын табамыз және косинусты қайтадан төмендетеміз:

Дайын. Қарастырылған мысалда белгілерде шатастырмау маңызды. Айтпақшы, оны ережені пайдаланып шешуге тырысыңыз , жауаптары сәйкес болуы керек.

9-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл сізге өзіңіз шешуге арналған мысал (сабақ соңында жауап беру).

Осы уақытқа дейін бізде күрделі функцияда бір ғана ұя болған жағдайларды қарастырдық. Практикалық тапсырмаларда сіз көбінесе туындыларды таба аласыз, оларда ұя салатын қуыршақтар сияқты бірінің ішінде бірінің ішінде 3 немесе тіпті 4-5 функция бірден кірістірілген.

10-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Осы функцияның қосымшаларын түсінейік. Эксперименттік мәнді пайдаланып өрнекті есептеп көрейік. Калькуляторға қалай сенер едік?

Алдымен сіз оны табуыңыз керек, бұл доғаның ең терең кірістіру екенін білдіреді:

Бірдің бұл доғасының квадраты болуы керек:

Соңында біз жеті күшке көтереміз:

Яғни, бұл мысалда бізде үшеу бар әртүрлі функцияларжәне екі кірістіру, ішкі функциясы доға синусы және ең сыртқы функциясы экспоненциалды функция болып табылады.

Шешім қабылдауды бастайық

Ережеге сәйкес Алдымен сыртқы функцияның туындысын алу керек. Туындылар кестесін қарап, көрсеткіштік функцияның туындысын табамыз: Жалғыз айырмашылығы – «x» орнына күрделі өрнек бар, бұл формуланың дұрыстығын жоққа шығармайды. Сонымен, күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолдану нәтижесі Келесі.