Алгебралық бөлшектің негізгі қасиеті: тұжырымдау, дәлелдеу, қолдану мысалдары. Алгебралық бөлшектің негізгі қасиеті Бөлшектер және олардың қасиеттері

Жай бөлшектерді зерттегенде біз бөлшектің негізгі қасиеттері туралы ұғымдарды кездестіреміз. Қарапайым бөлшектері бар мысалдарды шешу үшін оңайлатылған тұжырым қажет. Бұл мақала алгебралық бөлшектерді қарастыруды және оларға негізгі қасиет қолдануды қамтиды, оны қолдану аясының мысалдарымен тұжырымдалады.

Формуласы және негіздемесі

Бөлшектің негізгі қасиеті келесі түрде болады:

Анықтама 1

Алым мен бөлгішті бір уақытта бірдей санға көбейткенде немесе бөлгенде, бөлшектің мәні өзгеріссіз қалады.

Яғни, a · m b · m = a b және a: m b: m = a b эквивалент екенін аламыз, мұнда a b = a · m b · m және a b = a: m b: m әділ деп саналады. a, b, m мәндері кейбір натурал сандар.

Алым мен бөлгішті санға бөлуді a · m b · m = a b түрінде көрсетуге болады. Бұл 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3 мысалын шешуге ұқсас. Бөлу кезінде a: m b түріндегі теңдік қолданылады: m = a b, содан кейін 8 12 = 2 · 4 2 · 4 = 2 3. Оны a · m b · m = a b түрінде де көрсетуге болады, яғни 8 12 = 2 · 4 3 · 4 = 2 3.

Яғни, a · m b · m = a b және a b = a · m b · m бөлігінің негізгі қасиеті a: m b: m = a b және a b = a: m b: m айырмашылығымен егжей-тегжейлі қарастырылатын болады.

Алым мен бөлгіш құрамында болса нақты сандар, содан кейін сипат қолданылады. Алдымен барлық сандар үшін жазылған теңсіздіктің дұрыстығын дәлелдеу керек. Яғни, барлық нақты a , b , m үшін a · m b · m = a b бар екенін дәлелдеңіз, мұндағы b және m нөлге бөлінбеу үшін нөлден басқа мәндер.

Дәлел 1

a b түріндегі бөлшек z жазбасының бөлігі деп есептелсін, басқаша айтқанда, a b = z, онда a · m b · m z сәйкес келетінін дәлелдеу керек, яғни a · m b · m = z. . Сонда бұл a · m b · m = a b теңдігінің бар екенін дәлелдеуге мүмкіндік береді.

Бөлшек сызығы бөлу белгісін білдіреді. Көбейту және бөлумен байланысты қолданып, a b = z-ден түрлендіруден кейін a = b · z шығатынын көреміз. Сандық теңсіздіктердің қасиеттері бойынша теңсіздіктің екі жағын нөлден басқа санға көбейту керек. Содан кейін m санына көбейтеміз, a · m = (b · z) · m екенін аламыз. Меншігі бойынша өрнекті a · m = (b · m) · z түрінде жазуға құқығымыз бар. Бұл анықтамадан a b = z болатынын білдіреді. Бұл a · m b · m = a b өрнегінің барлық дәлелі.

a · m b · m = a b және a b = a · m b · m түріндегі теңдіктер a , b , m орнына көпмүшеліктер болғанда, ал b және m орнына олар нөлден тыс болғанда мағыналы болады.

Алгебралық бөлшектің негізгі қасиеті: алым мен бөлгішті бір уақытта бірдей санға көбейткенде, бастапқымен бірдей өрнек аламыз.

Сипат жарамды болып саналады, өйткені көпмүшелері бар әрекеттер сандармен әрекеттерге сәйкес келеді.

1-мысал

3 · x x 2 - x y + 4 · y 3 бөлігінің мысалын қарастырайық. 3 · x · (x 2 + 2 · x · y) (x 2 - x y + 4 · y 3) · (x 2 + 2 · x · y) түріне түрлендіруге болады.

x 2 + 2 · x · y көпмүшелігіне көбейту орындалды. Дәл осылай негізгі қасиет 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) түріндегі берілген бөлшекте 5 x + 5 x 3 + түріндегі х 2-ден құтылуға көмектеседі. 3. Бұл жеңілдету деп аталады.

Негізгі қасиет a · m b · m = a b және a b = a · m b · m өрнектері түрінде жазылуы мүмкін, бұл кезде a, b, m көпмүшелер немесе қарапайым айнымалылар, ал b және m нөлден тыс болуы керек.

Алгебралық бөлшектің негізгі қасиетінің қолдану аймақтары

Негізгі сипатты қолдану жаңа бөлгішке келтіруге немесе бөлшекті азайтуға қатысты.

Анықтама 2

Ортақ бөлгішке келтіру дегеніміз жаңасын алу үшін алым мен бөлгішті ұқсас көпмүшеге көбейту. Алынған бөлшек бастапқыға тең.

Яғни, х + y · x 2 + 1 (x + 1) · x 2 + 1 түріндегі бөлшек x 2 + 1-ге көбейтіліп, ортақ бөлгішке (х + 1) келтірілгенде · (x 2 + 1) ) x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1 пішінін алады.

Көпмүшелермен амалдарды орындағаннан кейін, алгебралық бөлшек х 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1 түрленетінін көреміз.

Бөлшектерді қосу немесе азайту кезінде де ортақ бөлімге келтіру орындалады. Егер бөлшек коэффициенттер берілсе, онда алдымен қарапайымдылық жасалуы керек, ол сыртқы түрін және ортақ бөлгішті анықтауды жеңілдетеді. Мысалы, 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.

Бөлшектерді азайту кезіндегі қасиетті қолдану 2 кезеңде жүзеге асырылады: ортақ m табу үшін алым мен бөлгішті көбейткіштерге ыдырату, содан кейін a · m b · түріндегі теңдік негізінде a b бөлшек түріне көшу. m = a b.

Егер 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 түріндегі бөлшек кеңейтілгеннен кейін x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y түрлендірілсе, жалпы көбейткіштің болатыны анық. 4 x 2 − y көпмүшесі болсын. Сонда бөлшекті оның негізгі қасиетіне қарай азайтуға болады. Біз мұны түсінеміз

x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. Бөлшек жеңілдетілген, содан кейін мәндерді ауыстырған кезде көп нәрсені орындау қажет болады аз әрекеттүпнұсқаға ауыстырғанға қарағанда.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Математикада бөлшек деп бірліктің бір немесе бірнеше бөліктерінен (бөлшектерінен) тұратын санды айтады. Жазу формасы бойынша бөлшектер жай (мысалы, \frac(5)(8)) және ондық (мысалы, 123,45) болып бөлінеді.

Анықтама. Жай бөлшек (немесе жай бөлшек)

Жай (жай) бөлшек\pm\frac(m)(n) түріндегі сан деп аталады, мұндағы m және n натурал сандар. m саны шақырылады алымбұл бөлшек, ал n саны оның бөлгіш.

Көлденең немесе қиғаш сызық бөлу белгісін көрсетеді, яғни \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

Жай бөлшектер екі түрге бөлінеді: дұрыс және бұрыс.

Анықтама. Дұрыс және бұрыс бөлшектер

ДұрысАлымы бөлімінен кіші бөлшек бөлшек деп аталады. Мысалы, \frac(9)(11) , өйткені 9

ҚатеАлым модулі бөлгіштің модулінен үлкен немесе оған тең бөлшек деп аталады. Мұндай бөлшек модулі біреуден үлкен немесе оған тең рационал сан болып табылады. Мысал \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1) бөлшектер болуы мүмкін.

Бұрыс бөлшекпен қатар аралас бөлшек (аралас сан) деп аталатын санның тағы бір көрінісі бар. Бұл жай бөлшек емес.

Анықтама. Аралас бөлшек (аралас сан)

Аралас бөлшекнатурал сан және меншікті бөлшек түрінде жазылған бөлшек және осы сан мен бөлшектің қосындысы деп түсініледі. Мысалы, 2\frac(5)(7)

(аралас сан түрінде жазылған) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19) )(7) (бұрыс бөлшек түрінде жазылады)

Бөлшек - бұл жай ғана санның көрінісі. Бірдей сан әртүрлі бөлшектерге, жай және ондық бөлшектерге сәйкес келуі мүмкін. Екі жай бөлшектің теңдігінің белгісін құрайық.

Анықтама. Бөлшектердің теңдігінің белгісі

\frac(a)(b) және \frac(c)(d) екі бөлшек тең, егер a\cdot d=b\cdot c . Мысалы, \frac(2)(3)=\frac(8)(12) 2\cdot12=3\cdot8 болғандықтан

Бұл атрибуттан бөлшектің негізгі қасиеті шығады.

Меншік. Бөлшектің негізгі қасиеті

Берілген бөлшектің алымы мен бөлімін нөлге тең емес бірдей санға көбейтсе немесе бөлсе, берілгенге тең бөлшек шығады.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

Бөлшектің негізгі қасиетін пайдаланып, берілген бөлшекті берілгенге тең, бірақ алымы мен бөлімі кішірек басқа бөлшекпен ауыстыруға болады. Бұл ауыстыру бөлшекті азайту деп аталады. Мысалы, \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (мұнда алым мен бөлгіш алдымен 2-ге, сосын тағы 2-ге бөлінді). Бөлшекті азайтуға болады, егер оның алымы мен бөлімі өзара жай сандар болмаса. Егер берілген бөлшектің алымы мен бөлімі өзара жай болса, онда бөлшекті азайтуға болмайды, мысалы, \frac(3)(4) азайтылмайтын бөлшек.

Оң бөлшектер үшін ережелер:

Екі бөлшектен бірдей бөлгіштерменАлымы үлкен бөлшек үлкен болады. Мысалы, \frac(3)(15)

Екі бөлшектен бірдей сандарменБөлгіші кішірек бөлшек үлкенірек болады. Мысалы, \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

Алымдары мен бөлгіштері әртүрлі екі бөлшекті салыстыру үшін екі бөлшекті де бөлгіштері бірдей болатындай түрлендіру керек. Бұл түрлендіру бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру деп аталады.

Бұл тақырып өте маңызды, әрі қарай барлық математика мен алгебра бөлшектердің негізгі қасиеттеріне негізделген. Қарастырылған бөлшектердің қасиеттері, олардың маңыздылығына қарамастан, өте қарапайым.

Түсіну бөлшектердің негізгі қасиеттеріШеңберді қарастырайық.

Шеңберде мүмкін болатын сегіз бөліктің 4 бөлігі немесе көлеңкеленгенін көруге болады. Алынған бөлшекті жазайық \(\frac(4)(8)\)

Келесі шеңберде екі ықтимал бөліктің біреуі көлеңкеленгенін көруге болады. Алынған бөлшекті жазайық \(\frac(1)(2)\)

Егер мұқият қарасақ, бірінші жағдайда, екінші жағдайда бізде шеңбердің жартысы көлеңкеленгенін көреміз, сондықтан алынған бөлшектер \(\frac(4)(8) = \frac(1)( 2)\), бұл бірдей сан.

Мұны математикалық жолмен қалай дәлелдеуге болады? Бұл өте қарапайым, көбейту кестесін есте сақтаңыз және бірінші бөлшекті көбейткіштерге жазыңыз.

\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \color(red)(1) = \frac(1)(2)\)

Біз не істедік? Алым мен бөлгішті \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\), сосын \(\frac(1) бөлшектерін бөлдік. ) (2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4))\). Төрт төртке бөлгенде 1 болады, ал біреуді кез келген санға көбейткенде санның өзі шығады. Жоғарыдағы мысалда жасаған әрекетіміз деп аталады бөлшектерді азайту.

Басқа мысалды қарастырып, бөлшекті азайтайық.

\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \color(red) (2))(5 \cdot \color(red) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \color(red) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \color(red)(1) = \frac(3)(5)\)

Алым мен бөлгішті тағы да көбейткіштерге бөліп, сол сандарды алым мен бөлгішке азайттық. Яғни, екіні екіге бөлгенде бір, ал біреуін кез келген санға көбейткенде бірдей сан шығады.

Бөлшектің негізгі қасиеті.

Бұл бөлшектің негізгі қасиетін білдіреді:

Бөлшектің алымы да, бөлімі де бірдей санға көбейтілсе (нөлден басқа), онда бөлшектің мәні өзгермейді.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)

Сонымен қатар алым мен бөлгішті бір уақытта бірдей санға бөлуге болады.
Мысал қарастырайық:

\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \түс(қызыл) (2))(8 \div \түс(қызыл) (2)) = \frac(3)(4)\)

Бөлшектің алымы да, бөлімі де бірдей санға бөлінсе (нөлден басқа), онда бөлшектің мәні өзгермейді.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)

Алымында да, бөлгішінде де ортақ жай көбейткіштері бар бөлшектер деп аталады азайтылатын бөлшектер.

Қайталанатын бөлшектің мысалы: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), …\)

Сондай-ақ бар келтірілмейтін бөлшектер.

Қайталанбайтын бөлшекалымдары мен бөлгіштерінде ортақ жай көбейткіштері жоқ бөлшек.

Қайталанбайтын бөлшектің мысалы: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), …\)

Кез келген санды бөлшек түрінде көрсетуге болады, себебі кез келген сан бірге бөлінеді.Мысалы:

\(7 = \frac(7)(1)\)

Тақырып бойынша сұрақтар:
Кез келген бөлшекті азайтуға болады деп ойлайсыз ба, жоқ па?
Жауап: жоқ, қысқартылатын және азайтылмайтын бөлшектер бар.

Теңдіктің ақиқат екенін тексеріңіз: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)?
Жауабы: бөлшекті жаз \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\), иә, бұл әділ.

№1 мысал:
а) Бөлшегі 15-ке тең бөлшекті табыңыз \(\frac(2)(3)\).
б) Бөлімшеге тең 8 алымы бар бөлшекті табыңыз \(\ frac(1)(5)\).

Шешімі:
а) Азайғышта 15 саны керек.Енді бөлгіште 3 саны бар.15 шығу үшін 3 санын қандай санға көбейту керек? 3⋅5 көбейту кестесін еске түсірейік. Бөлшектердің негізгі қасиетін пайдаланып, бөлшектің алымы мен бөлімін көбейту керек. \(\frac(2)(3)\) 5 бойынша.

\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)

ә) Бөлімшеде 8 саны болуы керек.Енді 1 саны алымдағы.8 саны шығу үшін 1 санын қандай санға көбейту керек? Әрине, 1⋅8. Бөлшектердің негізгі қасиетін пайдаланып, бөлшектің алымы мен бөлімін көбейту керек. \(\ frac(1)(5)\)бойынша 8. Біз аламыз:

\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)

№2 мысал:
Бөлшекке тең азайтылмайтын бөлшекті табыңыз: а) \(\frac(16)(36)\),б) \(\frac(10)(25)\).

Шешімі:
A) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)

б) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)

№3 мысал:
Санды бөлшек түрінде жаз: а) 13 ә)123

Шешімі:
A) \(13 = \frac(13) (1)\)

б) \(123 = \фрак(123) (1)\)

Бөлшек- математикадағы санды бейнелеу формасы. Бөлшек жолағы бөлу операциясын білдіреді. Санаторбөлшек дивиденд деп аталады, және бөлгіш- бөлгіш. Мысалы, бөлшектің алымы 5-ке, ал бөлгіші 7-ге тең.

ДұрысАлым модулі бөлгіштің модулінен үлкен болатын бөлшек деп аталады. Бөлшек дұрыс болса, оның мәнінің модулі әрқашан 1-ден кіші болады. Барлық қалған бөлшектер қате.

Бөлшек деп аталады аралас, егер ол бүтін және бөлшек түрінде жазылса. Бұл осы сан мен бөлшектің қосындысымен бірдей:

Бөлшектің негізгі қасиеті

Бөлшектің алымы мен бөлімі бірдей санға көбейтілсе, онда бөлшектің мәні өзгермейді, яғни, мысалы:

Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру

Екі бөлшекті ортақ бөлімге келтіру үшін сізге қажет:

1. Бірінші бөлшектің алымын екінші бөлшектің бөліміне көбейт
2. Екінші бөлшектің алымын біріншінің бөліміне көбейт
3. Екі бөлшектің де бөлімін көбейтіндісіне ауыстыр

Бөлшектермен амалдар

Қосу.Екі бөлшекті қосу үшін сізге қажет

1. Екі бөлшектің де жаңа алымдарын қосып, бөлгішті өзгеріссіз қалдырыңыз

Мысалы:

Алу.Бір бөлшекті екіншісінен алу үшін сізге қажет

1. Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру
2. Бірінші бөлшектің алымынан екінші бөлшекті азайтып, бөлімін өзгеріссіз қалдырамыз.

Мысалы:

Көбейту.Бір бөлшекті екінші бөлшекке көбейту үшін олардың алымдары мен бөлгіштерін көбейту керек.

Егжей-тегжейлі талқыланды бөлшектің негізгі қасиеті, оның тұжырымы келтіріліп, дәлелі мен түсіндірмелі мысал келтірілді. Бөлшектің негізгі қасиетінің бөлшектерді азайту және бөлшектерді жаңа бөлгішке келтіру кезінде қолданылуы да қарастырылады.

Бетті шарлау.

Бөлшектің негізгі қасиеті – тұжырымдау, дәлелдеу және түсіндіру мысалдары

Бөлшектің негізгі қасиетін көрсететін мысалды қарастырайық. Бізде 9 «үлкен» шаршыға бөлінген шаршы бар делік және осы «үлкен» шаршылардың әрқайсысы 4 «кіші» шаршыға бөлінген. Сонымен, бастапқы шаршы 4 9 = 36 «кіші» шаршыға бөлінгенін де айта аламыз. 5 «үлкен» шаршыны бояйық. Бұл жағдайда 4·5=20 «кіші» шаршылар көлеңкеленеді. Міне, біздің мысалға сәйкес сызба.

Көлеңкеленген бөлік бастапқы квадраттың 5/9 бөлігін құрайды немесе бірдей, бастапқы квадраттың 20/36 бөлігін құрайды, яғни 5/9 және 20/36 бөлшектері тең: немесе. Осы теңдіктерден, сондай-ақ 20=5·4, 36=9·4, 20:4=5 және 36:4=9 теңдіктерінен және мынау шығады.

Бөлшектелген материалды біріктіру үшін мысалдың шешімін қарастырыңыз.

Мысал.

Кейбіреулердің алымы мен бөлімі жай бөлшек 62-ге көбейтілді, содан кейін алынған бөлшектің алымы мен бөлімі 2-ге бөлінді. Алынған бөлшек бастапқы бөлшекке тең бе?

Шешім.

Бөлшектің алымы мен бөлімін кез келгенге көбейту натурал сан, атап айтқанда 62-де бөлшекті береді, ол бөлшектің негізгі қасиетіне байланысты бастапқыға тең. Бөлшектің негізгі қасиеті алынған бөлшектің алымы мен бөлімін 2-ге бөлгеннен кейін алынған бөлшек бастапқы бөлшекке тең болатынын айтуға мүмкіндік береді.

Жауап:

Иә, алынған бөлшек бастапқыға тең.

Бөлшектің негізгі қасиетін қолдану

Бөлшектің негізгі қасиеті негізінен екі жағдайда қолданылады: біріншіден, бөлшектерді жаңа бөлімге келтіруде, екіншіден, бөлшектерді азайтуда.

Бөлшектің негізгі қасиеті бөлшектерді азайтуға мүмкіндік береді, нәтижесінде бастапқы бөлшектен тең бөлшекке, бірақ алымы мен бөлімі кішірек болады. Бөлшекті азайту бастапқы бөлшектің алымы мен бөлімін біреуден басқа кез келген оң алымы мен бөліміне бөлуден тұрады (егер мұндай ортақ бөлгіштер болмаса, онда бастапқы бөлшекті азайтуға болмайды, яғни азайтуға болмайды). Атап айтқанда, бөлу бастапқы бөлшекті азайтылмайтын түрге келтіреді.

Әдебиеттер тізімі.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: 5-сыныпқа арналған оқулық. оқу орындары.
• Виленкин Н.Я. және т.б.Математика. 6-сынып: Жалпы білім беретін оқу орындарына арналған оқулық.

cleverstudent авторлық құқық

Барлық құқықтар сақталған.
Авторлық құқық туралы заңмен қорғалған. Сайттың ешбір бөлігін, оның ішінде ішкі материалдар мен сыртқы түрін авторлық құқық иесінің алдын ала жазбаша рұқсатынсыз кез келген нысанда көшіруге немесе пайдалануға болмайды.