Кез келген фигураның ауданын қалай табуға болады. Фигуралар үшін аумақтық теоремалар

Сынып: 5

Менің ойымша, мұғалімнің міндеті тек білім беру ғана емес, оқушының танымдық қызығушылығын дамыту. Сондықтан мүмкіндігінше сабақ тақырыптарын практикалық тапсырмалармен байланыстырамын.

Сабақ барысында студенттер мұғалімнің жетекшілігімен «күрделі фигура» ауданын табуға есептер шығару жоспарын құрастырады (жөндеу сметасын есептеу үшін), ауданды табуға есептер шығару дағдыларын бекітеді; зейінін, қабілетін дамыту ғылыми-зерттеу қызметі, белсенділікке, дербестікке тәрбиелеу.

Жұптық жұмыс білімі барлар мен оны меңгерушілер арасында қарым-қатынас жағдайын жасайды; Бұл жұмыс пән бойынша оқыту сапасын арттыруға негізделген. Оқу процесіне қызығушылықтың дамуына және оқу материалын тереңірек меңгеруге ықпал етеді.

Сабақ оқушылардың білімін жүйелеп қана қоймай, шығармашылық және талдау қабілеттерін дамытуға ықпал етеді. Сабақта практикалық мазмұндағы есептерді пайдалану күнделікті өмірде математикалық білімнің өзектілігін көрсетуге мүмкіндік береді.

Сабақтың мақсаттары:

Тәрбиелік:

• тік төртбұрыштың, тікбұрышты үшбұрыштың ауданы формулалары туралы білімдерін бекіту;
• «күрделі» фигураның ауданын есептеу тапсырмаларын және оларды орындау әдістерін талдау;
• білім, білік, дағдыны тексеруге арналған тапсырмаларды өз бетінше орындау.

Тәрбиелік:

• ақыл-ой және зерттеу іс-әрекетінің әдістерін әзірлеу;
• тыңдау және шешім қабылдау барысын түсіндіру қабілеттерін дамыту.

Тәрбиелік:

• оқушылардың оқу дағдыларын дамыту;
• ауызша және жазбаша математикалық сөйлеу мәдениетін тәрбиелеу;
• сыныпта достық қарым-қатынасты және топпен жұмыс істеу қабілетін дамыту.

Сабақтың түрі:біріктірілген.

Жабдық:

• Математика: 5-сыныпқа арналған оқулық. жалпы білім беру мекемелер/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов т.б., М.: «Мнемосине», 2010 ж.
• Күрделі пішіннің ауданын есептеуге арналған пішіндері бар студенттер топтарына арналған карталар.
• Сурет салу құралдары.

Сабақ жоспары:

1. Ұйымдастыру уақыты.
2. Білімді жаңарту.
   а) Теориялық сұрақтар (тест).
   б) Проблеманы баяндау.
3. Жаңа материалды меңгерді.
   а) мәселенің шешімін табу;
   б) мәселені шешу.
4. Материалды бекіту.
   а) мәселені ұжымдық шешу;
   Дене шынықтыру минуты.
   б) өзіндік жұмыс.
5. Үй жұмысы.
6. Сабақты қорытындылау. Рефлексия.

Сабақтар кезінде

I. Ұйымдастыру кезеңі.

Біз сабақты мына қоштасу сөздерімен бастаймыз:

Математика, достар,
Ол барлығына қажет.
Сабақта тыңғылықты жұмыс жасау
Ал сізді сәттілік күтіп тұрғаны сөзсіз!

II. Білімді жаңарту.

A)Сигнал карталарымен фронтальды жұмыс (әр студентте 1, 2, 3, 4 сандары бар карточкалар болады; тест сұрағына жауап бергенде студент дұрыс жауаптың нөмірі жазылған картаны көтереді).

1. Шаршы сантиметр дегеніміз:

1. қабырғасы 1 см болатын шаршының ауданы;
2. жағы 1 см шаршы;
3. периметрі 1 см болатын шаршы.

2. Суретте көрсетілген фигураның ауданы мынаған тең:

1. 8 дм;
2. 8 дм 2;
3. 15 дм 2.

3. Тең фигуралардың тең периметрлері мен аудандары тең екені рас па?

4. Тіктөртбұрыштың ауданы мына формуламен анықталады:

1. S = a 2 ;
2. S = 2 (a + b);
3. S = a b.

5. Суретте көрсетілген фигураның ауданы мынаған тең:

1. 12 см;
2. 8 см;
3. 16 см.

б) (Мәселені құрастыру). Тапсырма. Келесі пішіні бар еденді бояу үшін қанша бояу қажет (суретті қараңыз), егер 1 м2-ге 200 г бояу жұмсалса?

III. Жаңа материалды меңгерту.

Соңғы мәселені шешу үшін не білуіміз керек? («Күрделі фигураға» ұқсайтын еденнің ауданын табыңыз.)

Оқушылар сабақтың тақырыбы мен мақсатын тұжырымдайды (қажет болған жағдайда мұғалім көмектеседі).

Тіктөртбұрышты қарастырайық А Б С Д. Оған сызық сызайық KPMN, тіктөртбұрышты бұзу А Б С Декі бөлікке: ABNMPKЖәне KPMNCD.

Аудан қандай? А Б С Д? (15 см 2)

Фигураның ауданы қандай? ABMNPK? (7 см 2)

Фигураның ауданы қандай? KPMNCD? (8 см 2)

Нәтижелеріңізді талдаңыз. (15= = 7 + 8)

Қорытынды? (Бүкіл фигураның ауданы оның бөліктерінің аудандарының қосындысына тең.)

S = S 1 + S 2

Бұл сипатты мәселемізді шешу үшін қалай қолдануға болады? (Күрделі фигураны бөліктерге бөліп, бөліктердің аудандарын, содан кейін бүкіл фигураның ауданын табайық.)

S 1 = 7 2 = 14 (м 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (м 2)
S 3 = 7 3 = 21 (м 2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (м2)

Жасалайық «Күрделі фигураның» ауданын табуға есептер шығару жоспары:

1. Біз фигураны қарапайым фигураларға бөлеміз.
2. Қарапайым фигуралардың аудандарын табу.

а) 1-тапсырма. Келесі өлшемдегі сайтты орналастыру үшін қанша плитка қажет болады:

S = S 1 + S 2
S 1 = (60 – 30) 20 = 600 (дм 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (дм 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (дм 2)

Шешудің басқа жолы бар ма? (Біз ұсынылған нұсқаларды қарастырамыз.)

Жауабы: 2100 дм 2.

2-тапсырма. (ұжымдық шешім тақтада және дәптерде.)Келесі пішіндегі бөлмені жөндеу үшін қанша м2 линолеум қажет:

S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (м 2)
S 2 = ((5 – 3) 2) : 2 = 2 (м 2)
S = 6 + 2 = 8 (м2)

Жауабы: 8 м2.

Дене шынықтыру минуты.

Ал енді, балалар, орындарынан тұрыңдар.
Олар тез қолдарын жоғары көтерді.
Бүйірлерге, алға, артқа.
Оңға, солға бұрылды.
Олар тыныш отырды да, жұмысқа қайта кірісті.

б) Өздік жұмыс (білім беру) .

Оқушылар топқа бөлінеді (No5–8 күштірек). Әр топ жөндеушілер тобы.

Командаларға тапсырма: 1 м2 үшін 200 г бояу қажет болса, картада көрсетілген фигураның пішіні бар еденді бояу үшін қанша бояу қажет екенін анықтаңыз.

Сіз бұл фигураны дәптеріңізге құрастырып, барлық деректерді жазып, тапсырманы бастайсыз. Шешімді талқылауға болады (бірақ тек өз тобыңызда!). Кейбір топ тапсырманы тез орындаса, оларға қосымша тапсырма беріледі (өздік жұмысын тексергеннен кейін).

Топтарға арналған тапсырмалар:

V. Үйге тапсырма.

18-тармақ, N 718, N 749.

Қосымша тапсырма.Жазғы бақ жоспарының диаграммасы (Санкт-Петербург). Оның ауданын есептеңдер.

VI. Сабақты қорытындылау.

Рефлексия.Сөйлемді жалғастыр:

• Бүгін мен білдім ...
• Қызық болды…
• Бұл қиын болды…
• Енді мен…
• Маған өмірлік сабақ берді...

Геометриялық есептерді шешу үшін сіз үшбұрыштың ауданы немесе параллелограммның ауданы сияқты формулаларды, сондай-ақ біз қарастыратын қарапайым әдістерді білуіңіз керек.

Алдымен фигуралардың аудандарының формулаларын үйренейік. Біз оларды ыңғайлы үстелге арнайы жинадық. Басып шығарыңыз, үйреніңіз және қолданыңыз!

Әрине, барлық геометриялық формулалар біздің кестеде жоқ. Мысалы, екінші бөлімде геометрия мен стереометриядан есептерді шығару профильді Бірыңғай мемлекеттік емтиханМатематикада үшбұрыштың ауданы үшін басқа формулалар да қолданылады. Біз сізге олар туралы міндетті түрде айтып береміз.

Бірақ трапеция немесе үшбұрыштың ауданын емес, күрделі фигураның ауданын табу керек болса ше? Әмбебап әдістер бар! Біз оларды FIPI тапсырмалар банкінен мысалдар арқылы көрсетеміз.

1. Стандартты емес фигураның ауданын қалай табуға болады? Мысалы, ерікті төртбұрыш? Қарапайым әдіс - бұл фигураны біз бәрін білетіндерге бөліп, оның ауданын - осы фигуралардың аудандарының қосындысы ретінде табайық.

Көлденең сызығы бар осы төртбұрышты ортақ табаны -ге тең екі үшбұрышқа бөліңіз. Бұл үшбұрыштардың биіктіктері тең Және . Сонда төртбұрыштың ауданы екі үшбұрыштың аудандарының қосындысына тең болады: .

Жауап: .

2. Кейбір жағдайларда фигураның ауданын кейбір аудандардың айырмашылығы ретінде көрсетуге болады.

Бұл үшбұрыштың табаны мен биіктігі неге тең екенін есептеу оңай емес! Бірақ оның ауданы үш және қабырғасы бар шаршының аудандарының айырмасына тең деп айта аламыз тікбұрышты үшбұрыштар. Сіз оларды суретте көріп тұрсыз ба? Біз алып жатырмыз: .

Жауап: .

3. Кейде тапсырмада бүкіл фигураның ауданын емес, оның бір бөлігін табу керек. Әдетте біз сектордың ауданы - шеңбердің бөлігі туралы айтып отырмыз.Доғаның ұзындығы тең радиусы бар шеңбердің секторының ауданын табыңыз. .

Бұл суретте біз шеңбердің бір бөлігін көреміз. Бүкіл шеңбердің ауданы тең. Шеңбердің қай бөлігі бейнеленгенін анықтау қалады. Бүкіл шеңбердің ұзындығы тең болғандықтан (себебі ), ал берілген сектордың доғасының ұзындығы тең , демек, доғаның ұзындығы бүкіл шеңбердің ұзындығынан бірнеше есе аз. Бұл доғаның тұрған бұрышы да толық шеңберден (яғни градус) кіші коэффициент болып табылады. Бұл сектордың ауданы бүкіл шеңбердің ауданынан бірнеше есе аз болады дегенді білдіреді.

Алдыңғы бөлімде геометриялық мағынаны талдауға арналған анықталған интеграл, біз қисық сызықты трапеция ауданын есептеу үшін бірқатар формулаларды алдық:

S (G) = ∫ a b f (x) d x үздіксіз және теріс емес функция үшін [ a аралықтағы y = f (x) ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x үздіксіз және оң емес функция үшін y = f (x) [ a ; b].

Бұл формулалар салыстырмалы түрде қарапайым есептерді шешуге жарамды. Шындығында, біз жиі күрделі сандармен жұмыс істеуге тура келеді. Осыған байланысты біз бұл бөлімді функциялармен шектелген фигуралар ауданын есептеу алгоритмдерін талдауға арнаймыз, яғни. y = f(x) немесе x = g(y) сияқты.

Теорема

y = f 1 (x) және y = f 2 (x) функциялары [ a аралықта анықталған және үзіліссіз болсын; b ] , және f 1 (x) ≤ f 2 (x) кез келген х мәні үшін [ a ; b]. Сонда x = a, x = b, y = f 1 (x) және y = f 2 (x) сызықтарымен шектелген G фигурасының ауданын есептеу формуласы S (G) = ∫ сияқты болады. a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Ұқсас формула y = c, y = d, x = g 1 (y) және x = g 2 (y) сызықтарымен шектелген фигураның ауданы үшін де қолданылады: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Дәлелдеу

Формула жарамды болатын үш жағдайды қарастырайық.

Бірінші жағдайда, ауданның аддитивтік қасиетін ескере отырып, G 1 фигурасы мен қисық сызықты трапецияның аудандарының қосындысы G 2 фигурасының ауданына тең. Соны білдіреді

Демек, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Анықталған интегралдың үшінші қасиетін пайдаланып соңғы көшуді орындай аламыз.

Екінші жағдайда теңдік ақиқат: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 () x) - f 1 (x)) d x

Графикалық иллюстрация келесідей болады:

Егер екі функция да оң емес болса, мынаны аламыз: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Графикалық иллюстрация келесідей болады:

y = f 1 (x) және y = f 2 (x) О х осімен қиылысатын кездегі жалпы жағдайды қарастыруға көшейік.

Қиылысу нүктелерін x i, i = 1, 2, деп белгілейміз. . . , n - 1. Бұл нүктелер сегментті бөледі [a; b ] n бөлікке x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, мұндағы α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Демек,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f () x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Анықталған интегралдың бесінші қасиетін пайдаланып, соңғы ауысуды жасай аламыз.

Графиктегі жалпы жағдайды көрсетейік.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x формуласын дәлелденген деп санауға болады.

Енді y = f (x) және x = g (y) сызықтарымен шектелген фигуралардың ауданын есептеу мысалдарын талдауға көшейік.

Біз мысалдардың кез келгенін қарастыруды график құру арқылы бастаймыз. Кескін бізге күрделі фигураларды қарапайым пішіндердің бірігуі ретінде көрсетуге мүмкіндік береді. Егер олар бойынша графиктер мен фигуралар салу қиын болса, функцияны оқып-үйрену кезінде негізгі элементар функциялар, функциялардың графиктерін геометриялық түрлендіру, сонымен қатар графиктер құру бөлімін оқуға болады.

1-мысал

y = - x 2 + 6 x - 5 параболасы және у = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 түзулерімен шектелген фигураның ауданын анықтау керек.

Шешім

Графиктегі сызықтарды декарттық координаталар жүйесінде сызайық.

Сегментте [ 1 ; 4 ] y = - x 2 + 6 x - 5 параболасының графигі у = - 1 3 x - 1 2 түзуінің үстінде орналасқан. Осыған байланысты жауапты алу үшін бұрын алынған формуланы, сондай-ақ Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы анықталған интегралды есептеу әдісін қолданамыз:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Жауабы: S(G) = 13

Неғұрлым күрделі мысалды қарастырайық.

2-мысал

y = x + 2, y = x, x = 7 сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеу керек.

Шешім

Бұл жағдайда бізде x осіне параллель орналасқан бір ғана түзу бар. Бұл x = 7. Бұл интеграцияның екінші шегін өзіміз табуды талап етеді.

График тұрғызып, оған есептер шығарылымында берілген сызықтарды саламыз.

График көз алдымызда бола отырып, біз интегралдаудың төменгі шегі y = x түзуінің графигінің және у = x + 2 жартылай параболасының қиылысу нүктесінің абсциссасы болатынын оңай анықтай аламыз. Абциссаны табу үшін теңдіктерді қолданамыз:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Қиылысу нүктесінің абсциссасы х = 2 болады.

Назарларыңызды сызбадағы жалпы мысалда у = х + 2, у = х сызықтары (2; 2) нүктесінде қиылысатынына аударамыз, сондықтан мұндай егжей-тегжейлі есептеулер қажетсіз болып көрінуі мүмкін. Біз бұл жерде осындай егжей-тегжейлі шешімді ұсындық, өйткені күрделі жағдайларда шешім соншалықты айқын болмауы мүмкін. Бұл түзулердің қиылысу координаталарын аналитикалық жолмен есептеу әрқашан жақсы дегенді білдіреді.

[ 2 аралықта ; 7] y = x функциясының графигі у = x + 2 функциясының графигінің үстінде орналасқан. Ауданды есептеу үшін формуланы қолданайық:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Жауабы: S (G) = 59 6

3-мысал

y = 1 x және y = - x 2 + 4 x - 2 функцияларының графиктерімен шектелген фигураның ауданын есептеу керек.

Шешім

Графикке сызықтарды саламыз.

Интеграцияның шектерін анықтайық. Ол үшін түзулердің қиылысу нүктелерінің координаталарын 1 х және - х 2 + 4 х - 2 өрнектерін теңестіру арқылы анықтаймыз. x нөл емес болған жағдайда, 1 x = - x 2 + 4 x - 2 теңдігі бүтін коэффициенттері бар үшінші дәрежелі - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 теңдеуіне эквивалент болады. Осындай теңдеулерді шешу алгоритмі туралы жадыңызды жаңарту үшін «Кубтық теңдеулерді шешу» бөліміне жүгінуге болады.

Бұл теңдеудің түбірі х = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 өрнекті x - 1 биномына бөлсек, мынаны аламыз: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

x 2 - 3 x - 1 = 0 теңдеуінен қалған түбірлерді таба аламыз:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Біз x ∈ 1 интервалын таптық; 3 + 13 2, онда G суреті көк түстің үстінде және қызыл сызықтың астында орналасқан. Бұл фигураның ауданын анықтауға көмектеседі:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Жауабы: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

4-мысал

y = x 3, y = - log 2 x + 1 қисық сызықтарымен және абсцисса осімен шектелген фигураның ауданын есептеу керек.

Шешім

Графикте барлық сызықтарды салайық. y = - log 2 x + 1 функциясының графигін y = log 2 x графигінен ала аламыз, егер оны х осіне симметриялы орналастырып, оны бір бірлік жоғары жылжытсақ. х осінің теңдеуі у = 0.

Түзулердің қиылысу нүктелерін белгілейік.

Суреттен көрініп тұрғандай, у = х 3 және у = 0 функцияларының графиктері (0; 0) нүктесінде қиылысады. Бұл х = 0 x 3 = 0 теңдеуінің жалғыз нақты түбірі болғандықтан орын алады.

x = 2 теңдеудің жалғыз түбірі - log 2 x + 1 = 0, сондықтан y = - log 2 x + 1 және y = 0 функцияларының графиктері (2; 0) нүктесінде қиылысады.

x = 1 - x 3 = - log 2 x + 1 теңдеуінің жалғыз түбірі. Осыған байланысты y = x 3 және y = - log 2 x + 1 функцияларының графиктері (1; 1) нүктесінде қиылысады. Соңғы мәлімдеме анық болмауы мүмкін, бірақ x 3 = - log 2 x + 1 теңдеуінде бірден көп түбір болуы мүмкін емес, өйткені y = x 3 функциясы қатаң өсуде, ал у = - log 2 x + 1 функциясы қатаң төмендейді.

Әрі қарай шешім бірнеше нұсқаны қамтиды.

№1 нұсқа

G фигурасын х осінен жоғары орналасқан екі қисық сызықты трапецияның қосындысы ретінде елестете аламыз, олардың біріншісі х ∈ 0 кесіндісінде ортаңғы сызықтан төмен орналасқан; 1, ал екіншісі х ∈ 1 кесіндісіндегі қызыл сызықтан төмен; 2. Бұл аудан S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x тең болатынын білдіреді.

№2 нұсқа

G суретін екі фигураның айырмасы ретінде көрсетуге болады, олардың біріншісі х осінің үстінде және х ∈ 0 кесіндісінде көк сызықтың астында орналасқан; 2, ал екіншісі х ∈ 1 кесіндісіндегі қызыл және көк сызықтар арасындағы; 2. Бұл ауданды келесідей табуға мүмкіндік береді:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Бұл жағдайда ауданды табу үшін S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y түріндегі формуланы қолдануға тура келеді. Шындығында, фигураны шектейтін сызықтар у аргументінің функциялары ретінде ұсынылуы мүмкін.

x-ке қатысты y = x 3 және - log 2 x + 1 теңдеулерін шешейік:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Біз қажетті аумақты аламыз:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Жауабы: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

5-мысал

y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеу керек.

Шешім

Қызыл сызықпен y = x функциясымен анықталған сызықты саламыз. y = - 1 2 x + 4 түзуін көк түспен, ал у = 2 3 x - 3 түзуін қара түспен саламыз.

Қиылысу нүктелерін белгілейік.

y = x және y = - 1 2 x + 4 функцияларының графиктерінің қиылысу нүктелерін табайық:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Тексеріңіз: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 емес x 2 = теңдеуінің шешімі ме? 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 теңдеуінің шешімі ⇒ (4; 2) қиылысу нүктесі i y = x және y = - 1 2 x + 4

y = x және y = 2 3 x - 3 функцияларының графиктерінің қиылысу нүктесін табайық:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Тексер: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 – теңдеуінің шешімі ⇒ (9 ; 3) нүктесі a s y = x және y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Теңдеудің шешімі жоқ

y = - 1 2 x + 4 және y = 2 3 x - 3 түзулерінің қиылысу нүктесін табайық:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) ) қиылысу нүктесі y = - 1 2 x + 4 және y = 2 3 x - 3

№1 әдіс

Қажетті фигураның ауданын жеке фигуралардың аудандарының қосындысы ретінде елестетейік.

Сонда фигураның ауданы:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

№2 әдіс

Бастапқы фигураның ауданын басқа екі фигураның қосындысы ретінде көрсетуге болады.

Содан кейін біз x-ке қатысты сызықтың теңдеуін шешеміз, содан кейін ғана фигураның ауданын есептеу формуласын қолданамыз.

y = x ⇒ x = y 2 қызыл сызық y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 қара сызық y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Сонымен, аумақ:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Көріп отырғаныңыздай, мәндер бірдей.

Жауабы: S (G) = 11 3

Нәтижелер

Фигураның шектелген ауданын табу берілген сызықтаржазықтықта түзулерді тұрғызып, олардың қиылысу нүктелерін тауып, ауданды табу үшін формуланы қолдануымыз керек. Бұл бөлімде біз тапсырмалардың ең көп таралған нұсқаларын қарастырдық.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Аудан: Аудан - беттің өлшемін өлшейтін шама. Математикада фигураның ауданы геометриялық ұғым, өлшем жалпақ фигура. Бетінің ауданы - беттің сандық сипаттамасы. Архитектурадағы алаң, ашық... ... Википедия

Шаршы- Бұл терминнің басқа да мағыналары бар, Аймақ (мағыналарын) қараңыз. Аудан өлшемі L² SI бірлік м² ... Уикипедия

Үшбұрыштың ауданы- Стандартты белгілеу Үшбұрыш – 3 төбесі (бұрышы) және 3 қабырғасы бар ең қарапайым көпбұрыш; бір түзудің бойында жатпайтын үш нүктемен және осы нүктелерді жұппен қосатын үш кесіндімен шектелген жазықтықтың бөлігі. Үшбұрыштың шыңдары ... Уикипедия

Ленин алаңы (Петрозаводск)- Петрозаводск Ленин алаңы ... Уикипедия

Аудан (геометрия бойынша)- Аудан, геометриялық пішіндерге байланысты негізгі шамалардың бірі. Қарапайым жағдайларда ол жазық фигураны толтыратын бірлік квадраттар санымен өлшенеді, яғни қабырғасы бір ұзындық бірлігіне тең квадраттар. П.-ны есептеу ежелгі дәуірде болды ... ...

Квадрат- пәтердің сандық сипаттамаларының бірі геометриялық фигураларжәне беттер. Тіктөртбұрыштың ауданы көршілес екі қабырғасының ұзындықтарының көбейтіндісіне тең. Қадамдық фигураның ауданы (яғни, оны бірнеше іргелес... ... бөлуге болады. Үлкен энциклопедиялық сөздік

AREA (геометрия бойынша)- AREA, жазық геометриялық фигуралар мен беттердің сандық сипаттамаларының бірі. Тіктөртбұрыштың ауданы көршілес екі қабырғасының ұзындықтарының көбейтіндісіне тең. Қадамдық фигураның ауданы (яғни бірнешеге бөлуге болатын... ... энциклопедиялық сөздік

Квадрат- АУДАНЫ, шаршылар, алдыңғы. облыс туралы және (ескірген) облыс бойынша, көпше. және аймақтар, әйелдер. (кітап). 1. Сынық немесе қисық сызықпен (геом.) шектелген жазықтықтың бөлігі. Тіктөртбұрыштың ауданы. Қисық фигураның ауданы. 2. тек бірліктер. Ғарыш,… … СөздікУшакова

Аудан (сәулетші)- алаң, басқа қалалық кеңістіктер жүйесіне кіретін, кез келген ғимараттармен, құрылыстармен немесе жасыл кеңістіктермен қоршалған ашық, сәулеттік ұйымдастырылған кеңістік. Қалалық сарайлардың ізашарлары сарайлардың салтанатты аулалары мен... Ұлы Совет энциклопедиясы

Жад алаңы (Тюмень)- Тюмень жады алаңы Жалпы ақпарат ... Уикипедия

Кітаптар

• Математика, физика және табиғаттағы фигуралар. Шаршы, үшбұрыштар және шеңберлер, Кэтрин Шелдрик-Росс. Кітап туралы Кітаптың ерекшеліктері 75-тен астам ерекше шеберлік сабақтары геометрияны зерттеуді қызықты ойынға айналдыруға көмектеседі Кітапта негізгі фигуралар мүмкіндігінше егжей-тегжейлі сипатталған: шаршылар, шеңберлер және... 1206 рубльге сатып алыңыз
• Математика, физика және табиғаттағы фигуралар Шарлар, үшбұрыштар және шеңберлер, Шелдрик-Росс К.. 75-тен астам ерекше шеберлік сабақтары геометрияны зерттеуді қызықты ойынға айналдыруға көмектеседі. Кітапта негізгі фигуралар мүмкіндігінше егжей-тегжейлі сипатталған: шаршылар, шеңберлер, үшбұрыштар. Кітап үйретеді...

Жерді өлшеу туралы білім ерте заманда пайда болып, бірте-бірте геометрия ғылымында қалыптаса бастады. Бұл сөз грек тілінен «жерге орналастыру» деп аударылған.

Ұзындығы мен ені бойынша жердің жазық бөлігінің көлемінің өлшемі аудан болып табылады. Математикада ол әдетте латынның S әрпімен (ағылшынша «шаршы» - «аудан», «шаршы») немесе гректің σ (сигма) әрпімен белгіленеді. S - фигураның жазықтықтағы ауданын немесе дененің бетінің ауданын, ал σ - физикадағы сымның көлденең қимасының ауданы. Бұл негізгі белгілер, бірақ басқалары болуы мүмкін, мысалы, материалдардың беріктігі саласында, A - профильдің көлденең қимасының ауданы.

Байланыста

Есептеу формулалары

Қарапайым фигуралардың аудандарын біле отырып, күрделіректердің параметрлерін табуға болады.. Ежелгі математиктер оларды оңай есептеуге болатын формулаларды әзірледі. Мұндай фигуралар үшбұрыш, төртбұрыш, көпбұрыш, шеңбер.

Күрделі жазық фигураның ауданын табу үшін ол үшбұрыштар, трапециялар немесе тіктөртбұрыштар сияқты көптеген қарапайым фигураларға бөлінеді. Содан кейін математикалық әдістерді қолдана отырып, осы фигураның ауданы үшін формула шығарылады. Осыған ұқсас әдіс тек геометрияда ғана емес, қисық сызықтармен шектелген фигуралардың аудандарын есептеу үшін математикалық талдауда да қолданылады.

Үшбұрыш

Ең қарапайым фигурадан - үшбұрыштан бастайық. Олар тікбұрышты, тең қабырғалы және тең қабырғалы. Қабырғалары AB=a, BC=b және AC=c (∆ ABC) болатын кез келген ABC үшбұрышын алайық. Оның ауданын табу үшін мектептегі математика курсынан белгілі синус және косинус теоремаларын еске түсірейік. Барлық есептеулерден бас тарта отырып, біз келесі формулаларға келеміз:

• S=√ - барлығына белгілі Герон формуласы, мұндағы p=(a+b+c)/2 – үшбұрыштың жарты периметрі;
• S=a h/2, мұндағы h - а жағына түсірілген биіктік;
• S=a b (sin γ)/2, мұндағы γ - a және b қабырғаларының арасындағы бұрыш;
• S=a b/2, егер ∆ ABC тікбұрышты болса (мұндағы a және b катеттері);
• S=b² (sin (2 β))/2, егер ∆ ABC тең қабырғалы болса (мұнда b - «жамбастың» бірі, β - үшбұрыштың «жамбас» арасындағы бұрыш);
• S=a² √¾, егер ∆ ABC теңбүйірлі болса (мұндағы a - үшбұрыштың қабырғасы).

Төртбұрыш

AB=a, BC=b, CD=c, AD=d болатын ABCD төртбұрышы болсын. Ерікті 4бұрыштың S ауданын табу үшін оны диагональ бойынша екі үшбұрышқа бөлу керек, олардың аудандары жалпы жағдайда S1 және S2 тең емес.

Содан кейін оларды есептеу және қосу үшін формулаларды пайдаланыңыз, яғни S=S1+S2. Алайда, егер 4 бұрыш белгілі бір классқа жататын болса, онда оның ауданын бұрын белгілі формулалар арқылы табуға болады:

• S=(a+c) h/2=e h, егер тетрагон трапеция болса (мұндағы a және c - табандары, e - трапецияның орта сызығы, h - трапеция табандарының біріне түсірілген биіктік;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, егер ABCD параллелограмм болса (мұнда φ - a және b қабырғаларының арасындағы бұрыш, h - а жағына түсірілген биіктік, d1 және d2 - диагональдар);
• S=a b=d²/2, егер ABCD тіктөртбұрыш болса (d - диагональ);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, егер ABCD ромб болса (a - ромбтың қабырғасы, φ - оның бұрыштарының бірі, P - периметрі);
• S=a²=P²/16=d²/2, егер ABCD квадрат болса.

Көпбұрыш

n-бұрыштың ауданын табу үшін математиктер оны ең қарапайым тең фигураларға - үшбұрыштарға бөліп, олардың әрқайсысының ауданын тауып, содан кейін қосады. Бірақ егер көпбұрыш тұрақтылар класына жататын болса, онда формуланы қолданыңыз:

S=a n h/2=a² n/=P²/, мұндағы n – көпбұрыштың төбелерінің (немесе қабырғаларының) саны, a – n-бұрыштың қабырғасы, P – оның периметрі, h – апотема, яғни a. көпбұрыштың центрінен оның бір қабырғасына 90° бұрышпен жүргізілген кесінді.

Шеңбер

Шеңбер - қабырғаларының шексіз саны бар тамаша көпбұрыш. Шексіздікке ұмтылатын n жақтарының саны көпбұрыштың ауданы формуласында оң жақтағы өрнектің шегін есептеу керек. Бұл жағдайда көпбұрыштың периметрі R радиусы бар шеңбердің ұзындығына айналады, ол біздің шеңберіміздің шекарасы болады және P=2 π R тең болады. Осы өрнекті жоғарыдағы формуламен ауыстырыңыз. Біз аламыз:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Осы өрнектің шегін n→∞ түрінде табайық. Ол үшін n→∞ үшін lim (cos (180°/n)) cos 0°=1 тең (lim – шектің белгісі), ал n→∞ үшін lim = lim екенін ескереміз. 1/π тең (біз π rad=180° қатынасын пайдаланып, дәреже өлшемін радианға айналдырдық және бірінші кереметті қолдандық. шектеу лим(sin x)/x=1 кезінде x→∞). Алынған мәндерді S үшін соңғы өрнекке ауыстыра отырып, біз белгілі формулаға келеміз:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Өлшем бірлік

Жүйелік және жүйелік емес өлшем бірліктері қолданылады. Жүйелік блоктар SI (System International) жүйесіне жатады. Бұл шаршы метр (шаршы метр, м²) және одан алынған бірліктер: мм², см², км².

Квадрат миллиметрде (мм²), мысалы, олар электротехникадағы сымдардың көлденең қимасының ауданын өлшейді, шаршы сантиметрмен (см²) - құрылымдық механикада сәуленің көлденең қимасы, шаршы метрмен (м²) - пәтерде немесе үйде, шаршы километрде (км²) - географияда .

Дегенмен, кейде жүйелі емес өлшем бірліктері қолданылады, мысалы: тоқыма, ар (а), гектар (га) және акр (ак). Келесі қатынастарды көрсетейік:

• 1 өрім=1 а=100 м²=0,01 га;
• 1 га=100 a=100 акр=10000 м²=0,01 км²=2,471 акр;
• 1 ак = 4046,856 м² = 40,47 а = 40,47 акр = 0,405 га.