Биологиядағы тригонометрия. Архитектурадағы тригонометрия

Қалалық бюджеттік білім беру мекемесі

No10 орта мектеп

жеке пәндерді тереңдетіп оқытумен

Жоба аяқталды:

Павлов Роман

10б сынып оқушысы

Жетекші:

математика мұғалімі

Болдырева Н.А

Елец, 2012 ж

1. Кіріспе.

3. Тригонометрия әлемі.

· Физикадағы тригонометрия.

· Планиметриядағы тригонометрия.

· Өнердегі және сәулеттегі тригонометрия.

· Медицина мен биологиядағы тригонометрия.

3.2 «Кішкене қызық» тригонометриялық функцияларды бастапқы қисық сызықтарға түрлендірудің графикалық бейнелері («Функциялар және графиктер» компьютерлік бағдарламасын пайдалану).

· Полярлық координаталардағы қисықтар (Розеткалар).

· Декарттық координаталардағы қисық сызықтар (Лиссаж қисықтары).

· Математикалық ою-өрнектер.

4. Қорытынды.

5. Пайдаланылған әдебиеттер тізімі.

Жобаның мақсаты - алгебра курсындағы «Тригонометрия» тақырыбын оқуға қызығушылықты дамыту және призма арқылы талдауды бастау. қолданылатын мәнзерттелетін материал; тригонометриялық функцияларды қамтитын графикалық кескіндерді кеңейту; физика және биология сияқты ғылымдарда тригонометрияны қолдану. Ол сондай-ақ медицинада маңызды рөл атқарады, және ең қызығы, тіпті музыка мен сәулет онсыз жасай алмайды.

Зерттеу объектісі - тригонометрия

Зерттеу пәні - тригонометрияның қолданбалы бағытын; тригонометриялық формулаларды пайдаланып кейбір функциялардың графиктерін.

Зерттеу мақсаттары:

1. Тригонометрияның пайда болу және даму тарихын қарастырыңыз.

2. Тригонометрияның әртүрлі ғылымдардағы практикалық қолданылуын нақты мысалдар арқылы көрсетіңіз.

3. Нақты мысалдарды пайдалана отырып, тригонометриялық функцияларды қолдану мүмкіндіктерін ашыңыз, олар «кішкене қызық» функцияларды графиктері өте ерекше көрініске ие функцияларға айналдыруға мүмкіндік береді.

Гипотеза – болжамдар: Тригонометрияның сыртқы әлеммен байланысы, тригонометрияның көптеген практикалық есептерді шешудегі маңызы, тригонометриялық функциялардың графикалық мүмкіндіктері мектеп оқушыларының білімін «материалдандыруға» мүмкіндік береді. Бұл тригонометрияны оқу арқылы алынған білімнің өмірлік қажеттілігін жақсы түсінуге мүмкіндік береді және осы тақырыпты оқуға деген қызығушылықты арттырады.

Зерттеу әдістері - осы тақырып бойынша математикалық әдебиеттерді талдау; осы тақырып бойынша нақты қолданбалы тапсырмаларды таңдау; компьютерлік бағдарлама негізінде компьютерлік модельдеу. Ашық математика «Функциялар және графиктер» (Physikon).

1. Кіріспе

«Бір нәрсе анық: әлем құрылымдалған

қорқынышты және әдемі ».

Рубцов Н

Тригонометрия – үшбұрыштардың бұрыштары мен қабырғаларының ұзындықтары арасындағы қатынастарды, сондай-ақ тригонометриялық функциялардың алгебралық сәйкестіктерін зерттейтін математиканың бөлімі. Елестету қиын, бірақ біз бұл ғылымды тек математика сабақтарында ғана емес, сонымен қатар біздің сабақта да кездестіреміз. Күнделікті өмір. Сіз бұған күдіктенбеген боларсыз, бірақ тригонометрия физика, биология сияқты ғылымдарда кездеседі, ол медицинада маңызды рөл атқарады, ең қызығы, тіпті музыка мен сәулет онсыз жасай алмайды. Математиканы оқуда алған теориялық білімдерін практикада қолдану дағдыларын қалыптастыруда практикалық мазмұнды есептер маңызды рөл атқарады. Математика пәнінің әрбір студенті алған білімінің қалай және қайда қолданылатынына қызығушылық танытады. Бұл жұмыс осы сұраққа жауап береді.

2. Тригонометрияның даму тарихы.

Сөз тригонометрия екі грек сөзінен құралған: τρίγονον (тригонон-үшбұрыш) және және μετρειν (metrein - өлшеу) сөзбе-сөз аудармада. үшбұрыштарды өлшеу.

Дәл осы тапсырма - үшбұрыштарды өлшеу немесе қазір айтқандай, үшбұрыштарды шешу, яғни үшбұрыштың барлық қабырғалары мен бұрыштарын оның үш белгілі элементінен (қабырғасы мен екі бұрышы, екі қабырғасы мен бұрышы немесе үш жағы) анықтау. - ерте заманнан бері тригонометрияның практикалық қолдануының негізі болды.

Кез келген басқа ғылым сияқты, тригонометрия адам тәжірибесінен, нақты практикалық мәселелерді шешу процесінде пайда болды. Тригонометрия дамуының алғашқы кезеңдері астрономияның дамуымен тығыз байланысты. Астрономия мен тығыз байланысты тригонометрияның дамуына кеменің ашық теңіздегі бағытын аспан денелерінің орналасуы бойынша дұрыс анықтау мүмкіндігін қажет ететін навигацияны дамыту қажеттіліктері үлкен әсер етті. Тригонометрияның дамуында географиялық карталарды құрастыру қажеттілігі және жер бетіндегі үлкен қашықтықтарды дұрыс анықтаудың тығыз байланысты қажеттілігі маңызды рөл атқарды.

Ежелгі грек астрономының еңбектері тригонометрияның пайда болу дәуірінде дамуы үшін іргелі маңызы болды. Гиппарх(б.з.б. 2 ғасырдың ортасы). Тригонометрияны ғылым ретінде, сөздің қазіргі мағынасында, тек Гиппарх ғана емес, сонымен қатар басқа ежелгі ғалымдар да таппаған, өйткені олар әлі күнге дейін бұрыштардың функциялары туралы түсініксіз және тіпті оларды енгізбеген. жалпы көрінісүшбұрыштың бұрыштары мен қабырғалары арасындағы байланыс туралы сұрақ. Бірақ мәні бойынша, өздеріне белгілі қарапайым геометрия құралдарын пайдалана отырып, олар тригонометриямен айналысатын мәселелерді шешті. Бұл жағдайда қажетті нәтижелерді алудың негізгі құралы тұрақты үш, төрт, бес және онбұрыштың қабырғалары мен шектелген шеңбердің радиусы арасындағы белгілі қатынастарға негізделген дөңгелек хордалардың ұзындықтарын есептеу мүмкіндігі болды. .

Гиппарх аккордтардың алғашқы кестелерін, яғни тұрақты радиусы бар шеңбердегі әртүрлі орталық бұрыштар үшін хорда ұзындығын білдіретін кестелерді құрастырды. Бұл жарты орталық бұрыштың қос синусы кестелері болды. Дегенмен, Гиппархтың түпнұсқа кестелері (ол жазған барлық дерлік сияқты) бізге жеткен жоқ және олар туралы түсінікті негізінен «Ұлы құрылыс» немесе (арабша аудармасында) атақты астрономның «Алмагест» еңбегінен алуға болады. Клавдий Птоломей, 2 ғасыр ортасында өмір сүрген. e.

Птолемей шеңберді 360 градусқа, ал диаметрін 120 бөлікке бөлді. Ол радиусты 60 бөлік (60¢¢) деп есептеді. Ол әрбір бөлікті 60¢-ға, әрбір минутты 60¢¢-ға, секундты 60¢¢¢-ға, секундты 60¢¢¢-ға (60¢¢¢) және т.б. бөлді, көрсетілген бөлуді пайдалана отырып, Птолемей қалыпты сызылған алтыбұрыштың немесе доғаға бағынатын хорданың жағын өрнектеген. 60° радиустың 60 бөлігі түрінде (60сағ) және іштей сызылған шаршының немесе 90° хорданың жағы 84h51¢10² санына теңестірілді.120° хордасы – іштей сызылған теңбүйірлі үшбұрыштың жағы – ол 103h55¢23² және т.б. санын білдірді. Шеңбердің диаметріне тең гипотенузасы бар тікбұрышты үшбұрыш үшін ол Пифагор теоремасы негізінде жазды: (аккорд а)2+(аккорд|180-а| )2=(диаметр)2, ол қазіргі sin2a+cos2a=1 формуласына сәйкес келеді.

Almagest әр жарты градуста 0°-тан 180°-қа дейінгі аккордтар кестесін қамтиды, бұл біздің қазіргі көзқарасымыз бойынша әр тоқсан сайын 0°-тан 90°-қа дейінгі бұрыштар үшін синустар кестесін білдіреді.

Гректер арасындағы барлық тригонометриялық есептеулер Гиппархқа белгілі Птолемей теоремасына негізделген: «Шеңберге сызылған төртбұрыштың диагональдарына салынған тіктөртбұрыш қарама-қарсы қабырғаларына салынған төртбұрыштардың қосындысына тең» (яғни, диагональдардың көбейтіндісі қарама-қарсы жақтардың көбейтінділерінің қосындысына тең). Осы теореманы пайдалана отырып, гректер (Пифагор теоремасын пайдалана отырып) осы бұрыштардың қосындысының хордасын (немесе айырманың хордасын) немесе екі бұрыштың хордаларынан берілген жарты бұрыштың хордасын есептей алды, яғни олар екі бұрыштың немесе жарты бұрыштың қосындысының (немесе айырмасының) синусының формулалары арқылы біз қазір алатын нәтижелерді ала аламыз.

Тригонометрияның дамуындағы жаңа қадамдар халықтардың математикалық мәдениетінің дамуымен байланысты Үндістан, Орталық Азияжәне Еуропа (V-XII).

5-12 ғасырлар арасындағы кезеңде индустар маңызды қадам жасады, олар гректерден айырмашылығы есептеулерде сәйкес орталық бұрыштың бүкіл MM¢ аккордасын (сызбаны қараңыз) қарастырып, қолдана бастады. тек оның жарты MR, яғни біз қазір орталық бұрыштың жартысының синус сызығы деп атаймыз.

Синустармен бірге үндістер тригонометрияға косинусты енгізді, дәлірек айтсақ, олар есептеулерде косинус сызығын қолдана бастады. (Косинус терминінің өзі еуропалық ғалымдардың еңбектерінде алғаш рет 16 ғасырдың аяғында «толықтауыштың синусы» деп аталатын сөзден, яғни берілген бұрышты толықтыратын бұрыштың синусынан кейінірек пайда болды. 90°.«Комплементтің синус» немесе (латын тілінде) sinus complementi қысқаша sinus co немесе co-sinus деп атала бастады.

Олар сондай-ақ cosa=sin(90°-a) және sin2a+cos2a=r2 қатынастарын, қосындының синусы мен екі бұрыштың айырымы формулаларын білген.

Тригонометрия дамуының келесі кезеңі елдермен байланысты

Орталық Азия, Таяу Шығыс, Закавказье(VII-XV ғасыр)

Астрономия және географиямен тығыз байланыста дами отырып, Орталық Азия математикасы айқын «есептеу сипатына» ие болды және өлшеу геометриясы мен тригонометрияның қолданбалы мәселелерін шешуге бағытталған, ал тригонометрия негізінен Орталық Азия ғалымдарының еңбектерінде арнайы математикалық пән болып қалыптасты. Олардың қол жеткізген ең маңызды жетістіктерінің ішінде, ең алдымен, барлық алты тригонометриялық сызықтардың енгізілуін атап өту керек: синус, косинус, тангенс, котангенс, секант және косекант, олардың тек алғашқы екеуі гректер мен индустарға белгілі болды.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image004_97.gif" width="41" height="44"> =a×ctgj белгілі бір ұзындықтағы полюстің (a=12) j= үшін 1°,2°,3°……

Абу-л-Вафа 10 ғасырда (940-998) өмір сүрген Хорасаннан осыған ұқсас «тангенс кестесін» құрастырған, яғни белгілі бір ұзындықтағы көлденең сырық құйған b=a×=a×tgj көлеңкенің ұзындығын есептеген. (a=60) тік қабырғада (сызбаны қараңыз).

Айта кету керек, «тангенс» (сөзбе-сөз аударғанда «тиіп кету») және «котангенс» терминдерінің өздері латын тіліжәне Еуропада әлдеқайда кейінірек пайда болды (XVI-XVII ғасырлар). Орталық Азия ғалымдары сәйкес сызықтарды «көлеңке» деп атады: котангенс – «бірінші көлеңке», жанама – «екінші көлеңке».

Абу-л-Вафа тригонометриялық шеңбердегі жанама түзудің толық дәл геометриялық анықтамасын беріп, жанама және котангенс түзулеріне секант және косекант түзулерін қосты. Ол сондай-ақ барлық тригонометриялық функциялар арасындағы және, атап айтқанда, шеңбердің радиусы біреуге тең болған жағдайда, алгебралық тәуелділіктерді (ауызша) білдірді. Бұл аса маңызды істі еуропалық ғалымдар 300 жылдан кейін қарастырды. Ақырында, Абул-Вафа әрбір 10¢ сайын синустар кестесін құрастырды.

Орталық Азия ғалымдарының еңбектерінде тригонометрия астрономияға қызмет ететін ғылымнан дербес қызығушылық тудыратын ерекше математикалық пәнге айналды.

Тригонометрия астрономиядан бөлініп, дербес ғылымға айналады. Бұл бөлім әдетте әзірбайжан математигі есімімен байланысты Насиреддин Туси ().

Еуропалық ғылымда алғаш рет тригонометрияның үйлесімді тұсаукесері «Әртүрлі үшбұрыштар туралы» кітабында берілді. Иоганн Мюллер, математикада жақсы белгілі Regiomontana().Ол онда тікбұрышты үшбұрыштарды шешу әдістерін жалпылайды және 0,0000001 дәлдікпен синустар кестелерін береді. Бір қызығы, ол шеңбердің радиусын мильге тең деп есептеді, яғни тригонометриялық функциялардың мәндерін ондық бөлшектермен өрнектеп, шын мәнінде сексаздық санау жүйесінен ондық санау жүйесіне көшті.

14 ғасырдағы ағылшын ғалымы Брэдварддин ()Еуропада бірінші болып тригонометриялық есептеулерге «тікелей көлеңке» деп аталатын котангенсті және «кері көлеңке» деп аталатын тангенсті енгізді.

17 ғасырдың табалдырығында. Тригонометрияның дамуында жаңа бағыт – аналитикалық пайда болуда. Егер бұған дейін тригонометрияның негізгі мақсаты үшбұрыштарды шешу, элементтерді есептеу болып саналса геометриялық фигураларал тригонометриялық функциялар туралы ілім геометриялық негізде құрылды, содан кейін 17-19 ғғ. тригонометрия бірте-бірте математикалық талдау тарауларының біріне айналуда. Тригонометриялық функциялардың периодтылық қасиеттерін де білдім Вьетнам, оның алғашқы математикалық зерттеулері тригонометриямен байланысты.

Швейцариялық математик Иоганн Бернулли ()тригонометриялық функциялардың таңбаларын қолданды.

19 ғасырдың бірінші жартысында. Француз ғалымы Дж. Фурьекез келген периодты қозғалысты қарапайым гармоникалық тербелістердің қосындысы ретінде көрсетуге болатынын дәлелдеді.

Әйгілі петерборлық академиктің еңбегі тригонометрия тарихында үлкен маңызға ие болды Леонхард Эйлер (),ол бүкіл тригонометрияға заманауи көрініс берді.

Эйлер өзінің «Анализге кіріспе» (1748) еңбегінде тригонометрияны тригонометриялық функциялар туралы ғылым ретінде дамытып, бірнеше негізгі формулалардан тригонометриялық формулалардың барлық жиынтығын шығара отырып, оған аналитикалық презентация берді.

Эйлер шеңбердің барлық ширектеріндегі тригонометриялық функциялардың белгілері туралы сұрақтың түпкілікті шешіміне және жалпы жағдайлар үшін азайту формулаларын шығаруға жауапты болды.

Математикаға жаңа функцияларды – тригонометриялық функцияларды енгізе отырып, бұл функцияларды шексіз қатарға кеңейту мәселесін қою орынды болды. Мұндай кеңейтулер мүмкін екендігі белгілі болды:

Sinx=x-https://pandia.ru/text/78/114/images/image008_62.gif" width="224" height="47">

Бұл қатарлар тригонометриялық шамалардың кестелерін құрастыруды және оларды кез келген дәлдік дәрежесімен табуды айтарлықтай жеңілдетеді.

Эйлер бастаған тригонометриялық функциялар теориясының аналитикалық құрылысы жұмыста аяқталды. , Гаусс, Коши, Фурье және т.б.

«Геометриялық пайымдаулар, - деп жазады Лобачевский, - тригонометрияның басына дейін, тригонометриялық функциялардың ерекше қасиеттерін ашуға қызмет еткенше қажет... Осыдан бастап тригонометрия геометриядан толық тәуелсіз болады және талдаудың барлық артықшылықтарына ие болады».

Қазіргі уақытта тригонометрия математиканың дербес саласы ретінде қарастырылмайды. Оның ең маңызды бөлігі, тригонометриялық функциялар туралы ілім, біртұтас көзқараспен құрылған, математикалық талдауда зерттелетін функциялар туралы жалпылама ілімнің бөлігі болып табылады; екінші бөлігі – үшбұрыштарды шешу – геометрияның тарауы ретінде қарастырылады.

3. Тригонометрия әлемі.

3.1 Тригонометрияның әртүрлі ғылымдарда қолданылуы.

Тригонометриялық есептеулер геометрияның, физиканың және техниканың барлық дерлік салаларында қолданылады.

Үлкен мәнастрономиядағы жақын жұлдыздарға, географиядағы бағдарлар арасындағы қашықтықты өлшеуге және спутниктік навигация жүйелерін басқаруға мүмкіндік беретін триангуляция әдісі бар. Тригонометрияның келесі салалардағы қолданбалары назар аударарлық: навигация технологиясы, музыка теориясы, акустика, оптика, қаржы нарығын талдау, электроника, ықтималдықтар теориясы, статистика, биология, медицина (соның ішінде ультрадыбыстық), компьютерлік томография, фармацевтика, химия, сандар теориясы, сейсмология, метеорология, океанология, картография, физиканың көптеген салалары, топография, геодезия, сәулет, фонетика, экономика, электроника, машина жасау, компьютерлік графика, кристаллография.

Физикадағы тригонометрия.

Гармоникалық тербелістер.

Нүкте түзу бойымен бір немесе басқа бағытта кезектесіп қозғалса, нүкте нүкте деп аталады ауытқулар.

Тербелістердің қарапайым түрлерінің бірі шеңбер бойымен біркелкі айналатын М нүктесінің проекциясының осі бойымен қозғалу. Бұл тербелістер заңының нысаны бар x=Rcos(https://pandia.ru/text/78/114/images/image010_59.gif" width="19" height="41 src="> .

Әдетте, бұл жиіліктің орнына біз қарастырамыз циклдік жиілікw=,секундына радианмен көрсетілген айналудың бұрыштық жылдамдығын көрсетеді. Бұл белгіде бізде: x=Рcos(wt+а). (2)

Сан ашақырды тербелістің бастапқы фазасы.

Барлық түрдегі тербелістерді зерттеу өте маңызды, өйткені біз тербелмелі қозғалыстарды немесе толқындарды қоршаған әлемде жиі кездестіреміз және оларды үлкен табыспен пайдаланамыз (дыбыс толқындары, электромагниттік толқындар).

Механикалық тербеліс.

Механикалық тербеліс – денелердің бірдей уақыт аралықтарында дәл (немесе шамамен) қайталанатын қозғалысы. Қарапайым тербелмелі жүйелердің мысалдары серіппеге немесе маятникке түсетін жүктеме болып табылады. Мысалы, серіппеге ілінген салмақты алайық (суретті қараңыз) және оны төмен итеріңіз. Салмақ төмен және жоғары тербеле бастайды..gif" align="left" width="132 height=155" height="155">.gif" width="72" height="59 src=">.jpg" " align= "left" width="202 height=146" height="146"> Тербеліс графигі (2) солға жылжу арқылы бұрылу графигінен (1) алынады

бойынша. а саны бастапқы фаза деп аталады.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image020_33.gif" ені="29" биіктігі="45 src=">), мұнда лмаятниктің ұзындығы, ал j0 – ауытқудың бастапқы бұрышы. Маятник неғұрлым ұзын болса, соғұрлым ол баяу тербеледі.(Бұл 1-7-суретте, VIII қосымшада анық көрінеді). 8-16, VIII қосымшада сіз бастапқы ауытқудың өзгеруі маятниктің тербеліс амплитудасына қалай әсер ететінін анық көре аласыз, ал период өзгермейді. Ұзындығы белгілі маятниктің тербеліс периодын өлшей отырып, жер бетінің әртүрлі нүктелеріндегі ауырлық күшінің g үдеуін есептеуге болады.

Конденсатордың разряды.

Синусоидалық заң бойынша көптеген механикалық тербелістер ғана емес. Ал синусоидалы тербелістер электрлік тізбектерде болады. Сонымен модельдің жоғарғы оң жақ бұрышында көрсетілген схемада конденсатор пластиналарының заряды q = CU + (q0 – CU) cos ωt заңына сәйкес өзгереді, мұндағы C - конденсатордың сыйымдылығы, U - кернеу. ағымдағы көзде, L - катушканың индуктивтілігі, https: //pandia.ru/text/78/114/images/image022_30.jpg" align="left" width="348" height="253 src=" >«Функциялар мен графиктер» бағдарламасында қол жетімді конденсатор үлгісінің арқасында тербелмелі контурдың параметрлерін орнатуға және сәйкес g(t) және I(t) графиктерін құруға болады. 1-4 графиктер кернеудің өзгеріске қалай әсер ететінін анық көрсетеді. конденсатордың ток күші мен зарядында және оң кернеуде зарядтың да оң мәндер алатыны анық.IX қосымшаның 5-8 суретінде конденсатордың сыйымдылығын өзгерту кезінде (катушаның индуктивтілігін өзгерткенде) көрсетілген. IX қосымшаның 9-14-суретінде) және басқа параметрлерді тұрақты ұстай отырып, тербеліс периоды өзгереді, яғни контурдағы токтың тербеліс жиілігі өзгереді және конденсаторды зарядтау жиілігі өзгереді..(IX қосымшаны қараңыз).

Екі құбырды қалай қосуға болады.

Келтірілген мысалдар синусоидтар тек тербелістерге байланысты пайда болатындай әсер қалдыруы мүмкін. Алайда олай емес. Мысалы, екі цилиндрлік құбырларды бір-біріне бұрышта қосу кезінде синус толқындары қолданылады. Екі құбырды осылай қосу үшін оларды диагональ бойынша кесу керек.

Егер сіз қиғаш кесілген құбырды ашсаңыз, ол жоғарғы жағынан синусоидпен шектелген болып шығады. Мұны шамды қағазға орап, диагональ бойынша кесіп, қағазды ашу арқылы тексеруге болады. Сондықтан, құбырды біркелкі кесу үшін, алдымен металл парақты жоғарыдан синусоид бойымен кесіп, оны құбырға айналдыруға болады.

Кемпірқосақ теориясы.

Кемпірқосақ теориясы алғаш рет берілген 1637 жылы Рене Декарт. Ол кемпірқосақтарды жаңбыр тамшыларындағы жарықтың шағылысуымен және сынуымен байланысты құбылыс деп түсіндірді.

Кемпірқосақ күн сәулесінің сыну заңына сәйкес ауада ілінген су тамшыларымен сынуынан пайда болады:

мұндағы n1=1, n2≈1,33 – ауа мен судың сыну көрсеткіштері, сәйкесінше α – түсу бұрышы, β – жарықтың сыну бұрышы.

Солтүстік шамдар

Зарядталған күн желінің бөлшектерінің планеталар атмосферасының жоғарғы қабаттарына енуі өзара әрекеттесу арқылы анықталады. магнит өрісіпланеталардан күн желі.

Магнит өрісінде қозғалатын зарядталған бөлшекке әсер ететін күш күш деп аталады Лоренц.Ол бөлшектің зарядына және өрістің векторлық көбейтіндісіне және бөлшектің жылдамдығына пропорционал

Практикалық мазмұны бар тригонометриялық есептер.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image026_24.gif" width="25" height="41">.

Үйкеліс коэффициентін анықтау.

Көлбеу бұрышы а болатын көлбеу жазықтыққа салмағы P дене қойылған. Дене өз салмағының әсерінен t секундта S жеделдетілген жолды жүріп өтті. Үйкеліс коэффициентін анықтаңыз k.

Көлбеу жазықтықтағы дене қысымының күші =kPcosa.

Денені төмен түсіретін күш F=Psina-kPcosa=P(sina-kcosa) тең.(1)

Егер дене көлбеу жазықтық бойымен қозғалса, онда үдеу a=https://pandia.ru/text/78/114/images/image029_22.gif" width="20" height="41">==gF; сондықтан, .( 2)

(1) және (2) теңдіктерінен g(sina-kcosa)=https://pandia.ru/text/78/114/images/image032_21.gif" width="129" height="48"> =gtga-.

Планиметриядағы тригонометрия.

Тригонометрияның көмегімен геометриялық есептерді шешудің негізгі формулалары:

sin²α=1/(1+ctg²α)=tg²α/(1+tg²α); cos²α=1/(1+tg²α)=ctg²α/(1+ctg²α);

sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ; cos(α±β)=cosα*cos+sinα*sinβ.

Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштарының қатынасы:

1) Тік бұрышты үшбұрыштың катеті екінші катет пен қарама-қарсы бұрыштың жанамасының көбейтіндісіне тең.

2) Тік бұрышты үшбұрыштың катеті гипотенузасы мен көршілес бұрыштың синусының көбейтіндісіне тең.

3) Тік бұрышты үшбұрыштың катеті гипотенузасы мен көршілес бұрыштың косинусының көбейтіндісіне тең.

4) Тік бұрышты үшбұрыштың катеті екінші катет пен көршілес бұрыштың котангенсінің көбейтіндісіне тең.

1-тапсырма:АВ және С жақтарындаD тең қабырғалы трапецияABCD нүктелері M жәнеN түзу сызық болатындай етіпMN трапеция табандарына параллель. Әрқайсысында шағын трапециялар түзілетіні белгіліMBCN жәнеAMND біз шеңберді сыза аламыз және бұл шеңберлердің радиустары теңr жәнесәйкес R. Себептерді табыңызAD жәнеб.з.д.

Берілген: ABCD-трапеция, AB=CD, MєAB, NєCD, ​​MN||AD, радиусы r және R шеңберді MBCN және AMND трапецияларына сәйкесінше жазуға болады.

Табу: AD және BC.

Шешімі:

O1 және O2 шағын трапецияларға сызылған шеңберлердің центрі болсын. Тікелей O1K||CD.

∆ O1O2K ішінде cosα =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).

∆O2FD тікбұрышты болғандықтан, онда O2DF = α/2 => FD=R*ctg(α/2). Өйткені AD=2DF=2R*ctg(α/2),

сол сияқты BC = 2r* тан(α/2).

cos α = (1-тг²α/2)/(1+тг²(α/2)) => (R-r)/(R+r)= (1-тг²(α/2))/(1+тг²(α) /2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-тг²α/2)/(1+тг²(α/2)) => тг (α/2)=√ (r/R) => ctg(α/2)= √(R/r), онда AD=2R*ctg(α/2), BC=2r*tg(α/2), жауабын табамыз.

Жауап : AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).

Мәселе 2:Үшбұрышта ABC белгілі партиялар б, c және медиана мен шыңнан келетін биіктік арасындағы бұрыш A. Үшбұрыштың ауданын есептеңдер ABC.

Берілген: ∆ ABC, AD-биіктігі, AE-медиана, DAE=α, AB=c, AC=b.

Табу: S∆ABC.

Шешімі:

CE=EB=x, AE=y, AED=γ болсын. Косинус теоремасы бойынша ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosγ(1); және ∆ACE-де косинус теоремасы бойынша c²=x²+y²+2xy*cosγ(2). 1-ден 2 теңдігін алып тастасақ, c²-b²=4xy*cosγ(3) аламыз.

T.K. S∆ABC=2S∆ACE=xy*sinγ(4), содан кейін 3 теңдікті 4-ке бөлсек: (c²-b²)/S=4*ctgγ, бірақ ctgγ=tgαb, сондықтан S∆ABC= ( с²) -b²)/4*tgα.

Жауабы: (s²- b² )/4*тг α .

Өнердегі және сәулеттегі тригонометрия.

Архитектура ғылымның жалғыз саласы емес тригонометриялық формулалар. Композициялық шешімдердің көпшілігі мен сызбаларды салу дәл геометрияның көмегімен жүзеге асты. Бірақ теориялық деректер аз. Алтын ғасыр өнерінің француз шеберінің бір мүсіннің құрылысын мысалға келтіргім келеді.

Мүсін тұрғызудағы пропорционалды қатынас идеалды болды. Алайда, мүсін биік тұғырға көтерілгенде шіркін. Мүсінші перспективада көкжиекке қарай көптеген бөлшектердің кішірейіп, төменнен жоғары қарай қараған кезде оның идеалдылығы туралы әсер енді қалыптаспайтынын ескермеді. Фигураның болуы үшін көптеген есептеулер жүргізілді биіктікпропорционалды көрінді. Олар негізінен көру әдісіне, яғни көзбен шамамен өлшеуге негізделген. Дегенмен, белгілі бір пропорциялардың айырмашылық коэффициенті фигураны идеалға жақындатуға мүмкіндік берді. Осылайша, мүсіннен көзқарас нүктесіне дейінгі шамамен қашықтықты, атап айтқанда мүсіннің жоғарғы жағынан адамның көзіне дейін және мүсіннің биіктігін біле отырып, кестені пайдаланып көріністің түсу бұрышының синусын есептей аламыз ( біз төменгі көзқараспен де солай жасай аламыз), осылайша нүктелік көзқарасты табамыз (1-сурет)

Жағдай өзгереді (2-сурет), өйткені мүсін АС биіктікке көтеріліп, NS жоғарылайды, біз С бұрышының косинусының мәндерін есептей аламыз және кестеден біз көзқарастың түсу бұрышын табамыз. . Процесс барысында сіз AN-ді, сондай-ақ C бұрышының синусын есептей аласыз, бұл негізгі тригонометриялық сәйкестікті пайдаланып нәтижелерді тексеруге мүмкіндік береді. cos 2a+күнә 2a = 1.

Бірінші және екінші жағдайларда AN өлшемдерін салыстыру арқылы пропорционалдық коэффициентін табуға болады. Кейіннен біз суретті аламыз, содан кейін мүсін, көтерілген кезде фигура көзбен идеалға жақын болады.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image037_18.gif" width="162" height="101">.gif" width="108 height=132" height="132">

Медицина мен биологиядағы тригонометрия.

Биоритм үлгісі

Биоритмдердің моделін тригонометриялық функциялардың көмегімен құруға болады. Биоритм үлгісін құру үшін адамның туған күнін, анықтамалық күнін (күні, айы, жылы) және болжам ұзақтығын (күндер саны) енгізу керек.

Балықтардың судағы қозғалысы синус немесе косинус заңына сәйкес пайда болады, егер сіз құйрықта нүктені бекітіп, содан кейін қозғалыс траекториясын қарастырсаңыз. Жүзу кезінде балықтың денесі y=tgx функциясының графигіне ұқсайтын қисық пішінді алады.

Жүрек формуласы

Иран университетінің студенті жүргізген зерттеу нәтижесінде Вахид-Реза Аббасидің Шираз,Алғаш рет дәрігерлерге қатысты ақпаратты ұйымдастыра алды электрлік белсенділікжүрек немесе, басқаша айтқанда, электрокардиография.
Тегеран деп аталатын формула географиялық медицинаның 14-ші конференциясында, содан кейін Нидерландыда өткен кардиологияда компьютерлік технологияны қолдану жөніндегі 28-ші конференцияда жалпы ғылыми қауымға ұсынылды. Бұл формула 8 өрнектен, 32 коэффициенттен және 33 негізгі параметрден тұратын күрделі алгебралық-тригонометриялық теңдеу, оның ішінде аритмия жағдайында есептеуге арналған бірнеше қосымша параметрлер бар. Дәрігерлердің айтуынша, бұл формула жүрек қызметінің негізгі параметрлерін сипаттау процесін айтарлықтай жеңілдетеді, осылайша диагнозды және емдеудің өзін бастауды тездетеді.

Тригонометрия біздің миымызға объектілерге дейінгі қашықтықты анықтауға көмектеседі.

Американдық ғалымдар ми жер жазықтығы мен көру жазықтығы арасындағы бұрышты өлшеу арқылы объектілерге дейінгі қашықтықты бағалайды деп мәлімдейді. Дәлірек айтқанда, «бұрыштарды өлшеу» идеясы жаңа емес. Көбірек суретшілер Ежелгі Қытайолар перспектива заңдарын біршама елемей, алыстағы объектілерді көру өрісінде жоғарырақ тартты. Бұрыштарды бағалау арқылы қашықтықты анықтау теориясын 11 ғасырдағы араб ғалымы Альхазен тұжырымдаған. Ұзақ уақыт ұмытылғаннан кейін бұл идеяны өткен ғасырдың ортасында психолог Джеймс Гибсон жаңғыртып, әскери авиация ұшқыштарымен жұмыс тәжірибесі негізінде өз тұжырымдарын жасады. Алайда, содан кейін теория туралы

қайтадан ұмытылды.

Жаңа зерттеудің нәтижелері роботтарға арналған навигациялық жүйелерді құрастыратын инженерлерді, сондай-ақ ең шынайы виртуалды модельдерді жасаумен айналысатын мамандарды қызықтырады деп болжауға болады. Медицина саласындағы қолдану мидың белгілі бір аймақтары зақымдалған науқастарды қалпына келтіруде де мүмкін.

3.2 «Кішкене қызық» тригонометриялық функцияларды бастапқы қисық сызықтарға түрлендірудің графикалық бейнелері.

Полярлық координаталардағы қисықтар.

бірге. 16is. 19 Розеткалар.

Полярлық координаттарда бір сегмент таңдалады e,полюсі O және полярлық осі Ox. Кез келген М нүктесінің орны полярлық радиусы OM және OM сәулелері мен Ox сәулелері арқылы пайда болған j полярлық бұрышымен анықталады. OM ұзындығын өрнектейтін r саны e(OM=re) және j бұрышының градуспен немесе радианмен көрсетілген сандық мәні М нүктесінің полярлық координаталары деп аталады.

О нүктесінен басқа кез келген нүкте үшін 0≤j мәнін қарастыруға болады<2p и r>0. Дегенмен, r=f(j) түріндегі теңдеулерге сәйкес қисықтарды тұрғызу кезінде j айнымалысына кез келген мәндерді (оның ішінде теріс және 2p-ден асатын) тағайындау заңды және r оң немесе оң болуы мүмкін. теріс.

(j, r) нүктесін табу үшін О нүктесінен Ox осімен j бұрышын құрайтын сәулені саламыз және оның үстіне (r>0 үшін) немесе қарама-қарсы бағытта (r үшін) оның жалғасысын саламыз. >0) ½ r ½e сегменті.

Алдымен радиустары e, 2e, 3e және т.б. (центрі О полюсінде) және j = 0°, 10°, 20° болатын сәулелерден тұратын концентрлік шеңберлерден тұратын координаталық торды құрастырсаңыз, бәрі айтарлықтай жеңілдетіледі. ... ,340°,350°; бұл сәулелер j үшін де қолайлы болады<0°, и при j>360°; мысалы, j=740° және j=-340° кезінде j=20° болатын сәулеге түсеміз.

Графикалық деректерді зерттеу көмектеседі «Функциялар және графиктер» компьютерлік бағдарлама. Бұл бағдарламаның мүмкіндіктерін пайдалана отырып, біз тригонометриялық функциялардың кейбір қызықты графиктерін зерттейміз.

1 .Теңдеулер арқылы берілген қисықтарды қарастырайық:r=a+күнә3j

I. r=sin3j (шамрок ) (Cурет 1)

II. r=1/2+sin3j (2-сурет), III. r=1+ sin3j (3-сурет), r=3/2+ sin3j (4-сурет) .

IV қисық r=0,5 ең кіші мәнге ие және гүл жапырақшалары аяқталмаған көрініске ие. Осылайша, a > 1 болғанда, трефол жапырақшалары аяқталмаған көрініске ие болады.

2. Қисықтарды қарастырыңызa=0 болғанда; 1/2; 1;3/2

a=0 (1-сурет), a=1/2 (2-сурет), a=1 (3-сурет) кезінде гүл жапырақшалары аяқталған көрініске ие, a=3/2 кезінде бес аяқталмаған гүл жапырақшалары болады. ., (Cурет .4).

3. Жалпы алғанда, қисықr=https://pandia.ru/text/78/114/images/image042_15.gif" width="45 height=41" height="41">), себебі бұл секторда 0°≤≤180°.. gif" width="20" height="41">.gif" width="16" height="41"> бір жапырақша үшін сізге 360°-тан асатын «сектор» қажет болады.

1-4 суретте жапырақшалардың сыртқы түрі көрсетілген =https://pandia.ru/text/78/114/images/image044_13.gif" width="16" height="41 src=">.gif" width= "16" биіктігі="41 src=">.

4.Неміс математигі және табиғат зерттеушісі тапқан теңдеулер ХабенихтҮшін геометриялық фигураларөсімдіктер әлемінде кездеседі. Мысалы, r=4(1+cos3j) және r=4(1+cos3j)+4sin23j теңдеулері 1.2-суретте көрсетілген қисықтарға сәйкес келеді.

Декарттық координаталардағы қисықтар.

Лиссажу қисықтары.

Декарттық координаттарда көптеген қызықты қисықтарды салуға болады. Теңдеулері параметрлік түрде берілген қисықтар ерекше қызықты көрінеді:

Мұндағы t – көмекші айнымалы (параметр). Мысалы, жалпы алғанда теңдеулермен сипатталатын Лиссажу қисықтарын қарастырайық:

Егер t параметрі ретінде уақытты алсақ, онда Лиссажу фигуралары өзара перпендикуляр бағытта орындалатын екі гармоникалық тербелмелі қозғалыстардың қосылуының нәтижесі болады. Жалпы алғанда, қисық қабырғалары 2a және 2b болатын тіктөртбұрыштың ішінде орналасқан.

Мұны келесі мысалдар арқылы қарастырайық

I.x=sin3t; y=sin 5t (1-сурет)

II. x=sin 3t; y=cos 5t (2-сурет)

III. x=sin 3t; y=sin 4t.(Cурет 3)

Қисықтар жабық немесе ашық болуы мүмкін.

Мысалы, I теңдеулерді мына теңдеулермен ауыстыру: x=sin 3t; y=sin5(t+3) ашық қисықты тұйық қисыққа айналдырады.(4-сурет)

Пішіннің теңдеулеріне сәйкес келетін сызықтар қызықты және ерекше

сағ=arcsin(sin k(x-а)).

y=arcsin(sinx) теңдеуінен былай шығады:

1) және 2) siny=sinx.

Осы екі жағдайда y=x функциясы қанағаттандырады. Оның графигін (-;https://pandia.ru/text/78/114/images/image053_13.gif" width="77" height="41"> аралықта салу арқылы бізде y=p-x болады, өйткені sin( p-x)=sinx және осы аралықта

. Мұнда график BC сегментімен бейнеленген.

sinx периоды 2p болатын периодты функция болғандықтан, (,) интервалында салынған сынған АВС басқа бөлімдерде қайталанады.

y=arcsin(sinkx) теңдеуі нүктесі бар үзік сызыққа сәйкес болады https://pandia.ru/text/78/114/images/image058_13.gif" width="79 height=48" height="48" >

синусоидтың үстінде (олар үшін y>sinx) және y=-sinx қисығының астында бір уақытта жатқан нүктелердің координаталарын қанағаттандырады, яғни жүйенің «шешім аймағы» 1-суретте көлеңкеленген аудандардан тұрады.

2. Теңсіздіктерді қарастырыңыз

1) (y-sinx)(y+sinx)<0.

Бұл теңсіздікті шешу үшін алдымен функция графиктерін саламыз: y=sinx; y=-sinx.

Содан кейін y>sinx және бір уақытта у болатын аймақтарды бояймыз<-sinx; затем закрашиваем области, где y< sinx и одновременно y>-синкс.

Бұл теңсіздік 2-суретте көлеңкеленген аудандармен қанағаттандырылады

2)(y2-arcsin2(sinx))(y2-arcsin2(sin(x+))))<0

Келесі теңсіздікке көшейік:

(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx))( y-arcsin(sin(x+))))(y+arcsin(sin(x+))}<0

Бұл теңсіздікті шешу үшін алдымен функциялардың графиктерін саламыз: y=±arcsin(sinx); y=±arcsin(sin(x+ )) .

Мүмкін болатын шешімдер кестесін жасайық.

1 көбейткіш белгісі бар	2 көбейткіш белгісі бар	3 көбейткіш белгісі бар	4 көбейткіш белгісі бар

Содан кейін біз келесі жүйелердің шешімдерін қарастырамыз және көлеңкелейміз.

)| және |y|>|sin(x-)|.

2) Екінші көбейткіш нөлден кіші, яғни.gif" width="17" height="41">)|.

3) Үшінші фактор нөлден аз, яғни. |ж|<|sin(x-)|, другие множители положительны, т. е. |y|>|sinx| және |y|>|sin(x+Academic disciplines" href="/text/category/uchebnie_distciplini/" rel="bookmark">академиялық пәндер, технология, күнделікті өмірде.

«Функциялар мен графиктер» модельдеу бағдарламасын пайдалану зерттеу жүргізу мүмкіндіктерін едәуір кеңейтті және физикадағы тригонометрияның қолдануын қарастыру кезінде білімді материалдандыруға мүмкіндік берді. Осы бағдарламаның арқасында маятник тербелістерінің мысалында механикалық тербелістердің компьютерлік зертханалық зерттеулері жүргізіліп, электр тізбегіндегі тербелістер қарастырылды. Компьютерлік бағдарламаны пайдалану көмегімен анықталған қызықты математикалық қисықтарды зерттеуге мүмкіндік берді тригонометриялық теңдеулержәне полярлық және декарттық координаталардағы графиктерді салу. Тригонометриялық теңсіздіктердің графикалық шешімі қызықты математикалық заңдылықтарды қарастыруға әкелді.

5. Пайдаланылған әдебиеттер тізімі.

1. ., Атанасов практикалық мазмұны бар математикалық есептер: Кітап. ұстаз үшін.-М.: Білім, б.

2. Виленкин табиғатта және технологияда: Кітап. сыныптан тыс оқуға арналған IX-X сыныптар-М.: Ағартушылық, 5с (Білім әлемі).

3. Үй шаруасындағы ойындар мен ойын-сауық. Мемлекет ред. физика және математика жанды. М, 9 бет.

4. Техникалық оқу орындарына арналған Кожуров тригонометриясы. Мемлекет ред. техникалық-теориялық жарық. М., 1956 ж

5. Кітап. орта мектепте математикадан сыныптан тыс оқуға арналған. Мемлекет тәрбиелік педагогикалық ред. Мин. Ағарту РФ, М., б.

6. ,Тараканова тригонометрия. 10-сынып..-М.: Бөтелке, б.

7. Тригонометрия туралы және ол туралы ғана емес: 9-11 сынып оқушыларына арналған оқу құралы.-М.: Білім, 1996-80б.

8. Математиканы оқытудағы практикалық мазмұнды Шапиро есептері. Кітап ұстазға.-М.: Білім, 1990-96 б.

Кіріспе

Айналадағы әлемдегі нақты процестер әдетте айнымалылардың үлкен санымен және олардың арасындағы тәуелділіктермен байланысты. Бұл тәуелділіктерді функциялар арқылы сипаттауға болады. «Функция» ұғымы танымда үлкен рөл атқарды және әлі де ойнайды шынайы әлем. Функциялардың қасиеттерін білу жүріп жатқан процестердің мәнін түсінуге, олардың даму барысын болжауға және оларды басқаруға мүмкіндік береді. Оқыту функциялары болып табылады қатыстыӘрқашан.

Мақсат: тригонометриялық функциялар мен қоршаған дүние құбылыстары арасындағы байланысты анықтау және бұл функциялардың өмірде кеңінен қолданылатынын көрсету.

тапсырмалар:

1. Жоба тақырыбы бойынша әдебиеттерді және қашықтан қол жеткізу ресурстарын оқу.

2. Тригонометриялық функциялар қандай табиғат заңдары өрнектелетінін табыңыз.

3. Тригонометриялық функцияларды сыртқы дүниеде қолдану мысалдарын табыңыз.

4. Қолда бар материалды талдап, жүйелеу.

5. Жобаланған материалды талаптарға сәйкес дайындаңыз ақпараттық жоба.

6. Жобаның мазмұнына сәйкес электронды презентация әзірлеу.

7. Конференцияда атқарылған жұмыстың қорытындысымен сөз сөйлеңіз.

Дайындық кезеңіндеМен осы тақырып бойынша материал таптым және оны оқыдым, гипотезаларды алға тарттым және жобамның мақсатын тұжырымдадым. Мен қажетті ақпаратты іздей бастадым, тақырыбым бойынша әдебиеттерді және қашықтан қол жеткізу ресурстарынан материалдарды зерттей бастадым.

Негізгі кезеңде, тақырып бойынша ақпарат іріктеліп жинақталды, табылған материалдар талданды. Тригонометриялық функциялардың негізгі қолданыстарын білдім. Барлық деректер жинақталып, жүйеленді. Содан кейін ақпараттық жобаның жан-жақты қорытынды нұсқасы әзірленіп, зерттеу тақырыбы бойынша презентация құрастырылды.

Соңғы кезеңдеБайқауға арналған жұмыстың тұсаукесері талданды. Бұл кезеңде іс-шаралар барлық жүктелген тапсырмаларды орындау, нәтижелерді қорытындылау, яғни өз қызметін бағалау күтілді.

Күннің шығуы мен батуы, ай фазаларының өзгеруі, жыл мезгілдерінің ауысуы, жүрек соғысы, дененің өміріндегі циклдар, дөңгелектің айналуы, теңіздің көтерілуі мен ағындары - осы әртүрлі процестердің модельдері тригонометриялық функциялармен сипатталады.

Физикадағы тригонометрия.

Технологияда және бізді қоршаған әлемде біз жиі жүйелі түрде қайталанатын мерзімді (немесе мерзімді дерлік) процестермен айналысуға тура келеді. Мұндай процестер тербелмелі деп аталады. Әртүрлі физикалық табиғаттағы тербелмелі құбылыстар жалпы заңдылықтарға бағынады. Мысалы, электр тізбегіндегі ток тербелістерін және математикалық маятниктің тербелістерін бірдей теңдеулер арқылы сипаттауға болады. Тербелмелі заңдылықтардың ортақтығы әртүрлі сипаттағы тербелмелі процестерді бір көзқараспен қарастыруға мүмкіндік береді. Прогрессивті және бірге айналмалы қозғалыстарДенелер механикасында тербелмелі қозғалыстар да үлкен қызығушылық тудырады.

Механикалық тербелістең уақыт аралықтарында дәл (немесе шамамен) қайталанатын денелердің қозғалысы. Тербелмелі дененің қозғалыс заңы х = f(t) уақыттың белгілі бір периодтық функциясы арқылы анықталады. Бұл функцияның графикалық көрінісі уақыт бойынша тербелмелі процестің визуалды көрінісін береді. Мұндай толқынның мысалы ретінде созылған резеңке жолақ бойымен немесе жіп бойымен қозғалатын толқындарды келтіруге болады.

Қарапайым тербелмелі жүйелердің мысалы ретінде серіппеге немесе математикалық маятникке түсетін жүктемені келтіруге болады (1-сурет).

1-сурет. Механикалық тербелмелі жүйелер.

Механикалық тербеліс, кез келген басқа физикалық табиғаттың тербелмелі процестері сияқты, еркін және мәжбүрлі болуы мүмкін. Еркін тербеліс жүйенің ішкі күштерінің әсерінен, жүйе тепе-теңдіктен шығарылғаннан кейін пайда болады. Серіппедегі салмақтың тербелісі немесе маятниктің тербелісі еркін тербелістер болып табылады. Сыртқы периодты түрде өзгеретін күштердің әсерінен болатын тербелістер мәжбүрлі деп аталады.

2-суретте гармоникалық тербелістерді орындайтын дененің координаталары, жылдамдығы және үдеуінің графиктері көрсетілген.

Тербелмелі процестің қарапайым түрі қарапайым гармоникалық тербелістер болып табылады, олар мына теңдеумен сипатталады:

x = m cos (ωt + f 0).

2-сурет - координаталар графиктері x(t), жылдамдық υ(t)

және гармоникалық тербелістерді орындайтын дененің a(t) үдеуі.

Дыбыс толқындарынемесе жай дыбыс – адам құлағы арқылы қабылданатын толқындардың атауы.

Егер қатты, сұйық немесе газ тәріздес ортаның кез келген жерінде бөлшектердің тербелісі қоздырылса, онда ортаның атомдары мен молекулаларының әрекеттесуіне байланысты тербеліс бір нүктеден екінші нүктеге шектеулі жылдамдықпен беріле бастайды. Тербелістердің ортада таралу процесі толқын деп аталады.

Қарапайым гармоникалық немесе синусты толқындар тәжірибе үшін үлкен қызығушылық тудырады. Олар бөлшектер тербелістерінің амплитудасымен, f жиілігімен және λ толқын ұзындығымен сипатталады. Синусоидалы толқындар біртекті ортада белгілі бір тұрақты жылдамдықпен тараладыυ.

Егер адамның көру қабілеті дыбысты, электромагниттік және радиотолқындарды көру қабілетіне ие болса, онда біз айналамыздағы көптеген синусоидтарды көретін едік.

Әрине, суға түсірілген заттардың көлемі мен пропорцияларын бірден өзгертетін құбылысты әркім бірнеше рет байқаған. Қызықты құбылыс: сіз қолыңызды суға батырасыз, ол бірден басқа біреудің қолына айналады. Неліктен бұл болып жатыр? Бұл сұрақтың жауабын және бұл құбылыстың егжей-тегжейлі түсіндірмесін, әдеттегідей, физика береді - бұл әлемде бізді қоршап тұрған барлық дерлік түсіндіре алатын ғылым.

Сонымен, шын мәнінде, суға батырылған кезде, заттар, әрине, олардың өлшемін де, контурын да өзгертпейді. Бұл жай ғана оптикалық әсер, яғни біз бұл нысанды көзбен басқаша қабылдаймыз. Бұл жарық сәулесінің қасиеттеріне байланысты болады. Жарықтың таралу жылдамдығына ортаның оптикалық тығыздығы деп аталатын нәрсе көп әсер етеді екен. Бұл оптикалық орта неғұрлым тығыз болса, жарық сәулесі соғұрлым баяу таралады.

Бірақ жарық сәулесінің жылдамдығының өзгеруі де біз қарастырып отырған құбылысты толық түсіндіре алмайды. Тағы бір фактор бар. Сонымен, жарық сәулесі ауа сияқты тығыздығы аз оптикалық орта мен су сияқты тығызырақ оптикалық орта арасындағы шекарадан өткенде, жарық сәулесінің бір бөлігі жаңа ортаға енбейді, бірақ оның бетінен шағылысады. Жарық сәулесінің басқа бөлігі ішке енеді, бірақ бағытын өзгертеді.

Бұл құбылыс жарықтың сынуы деп аталады және ғалымдар ұзақ уақыт бойы бақылап қана қоймай, бұл сыну бұрышын дәл есептей алды. Ең қарапайым тригонометриялық формулалар мен түсу бұрышының синусы мен сыну бұрышын білу жарық сәулесінің бір нақты ортадан екіншісіне ауысуының тұрақты сыну көрсеткішін анықтауға мүмкіндік беретіні анықталды. Мысалы, ауаның сыну көрсеткіші өте аз және 1,0002926 құрайды, судың сыну көрсеткіші сәл жоғары - 1,332986, алмас 2,419 коэффициентімен жарықты, ал кремний - 4,010 сындырады.

Бұл құбылыс деп аталатын нәрсенің негізінде жатыр Кемпірқосақ теориялары.Кемпірқосақ теориясын алғаш рет 1637 жылы Рене Декарт ұсынған. Ол кемпірқосақтарды жаңбыр тамшыларындағы жарықтың шағылысуымен және сынуымен байланысты құбылыс деп түсіндірді.

Кемпірқосақ күн сәулесінің сыну заңына сәйкес ауада ілінген су тамшыларымен сынуынан пайда болады:

мұндағы n 1 =1, n 2 ≈1,33 – ауа мен судың сыну көрсеткіштері, сәйкесінше α – түсу бұрышы, β – жарықтың сыну бұрышы.

Тригонометрияның өнерде және сәулетте қолданылуы.

Адам жер бетінде өмір сүре бастаған кезден бастап ғылым күнделікті өмірді және өмірдің басқа салаларын жақсартуға негіз болды. Адам жасаған барлық нәрсенің негізі жаратылыстану-математикалық ғылымдардың әртүрлі салалары болып табылады. Солардың бірі – геометрия. Архитектура тригонометриялық формулалар қолданылатын ғылымның жалғыз саласы емес. Композициялық шешімдердің көпшілігі мен сызбаларды салу дәл геометрияның көмегімен жүзеге асты. Бірақ теориялық деректер аз. Алтын ғасыр өнерінің француз шеберінің бір мүсін салу мысалын қарастырайық.

Мүсін тұрғызудағы пропорционалды қатынас идеалды болды. Алайда, мүсін биік тұғырға көтерілгенде шіркін. Мүсінші перспективада көкжиекке қарай көптеген бөлшектердің кішірейіп, төменнен жоғары қарай қараған кезде оның идеалдылығы туралы әсер енді қалыптаспайтынын ескермеді. Үлкен биіктіктегі фигураның пропорционалды болып көрінуін қамтамасыз ету үшін көптеген есептеулер жасалды. Олар негізінен көру әдісіне, яғни көзбен шамамен өлшеуге негізделген. Дегенмен, белгілі бір пропорциялардың айырмашылық коэффициенті фигураны идеалға жақындатуға мүмкіндік берді. Осылайша, мүсіннен көзқарас нүктесіне дейінгі шамамен қашықтықты, атап айтқанда мүсіннің жоғарғы жағынан адамның көзіне дейін және мүсіннің биіктігін біле отырып, біз кестені пайдаланып көріністің түсу бұрышының синусын есептей аламыз, осылайша көзқарасты табады (Cурет 4).

5-суретте жағдай өзгереді, өйткені мүсін АС биіктікке көтеріліп, NS өседі, біз С бұрышының косинусының мәндерін есептей аламыз және кестеден біз көзқарастың түсу бұрышын табамыз. Процесс барысында сіз AN-ді, сондай-ақ C бұрышының синусын есептей аласыз, бұл негізгі тригонометриялық сәйкестікті пайдаланып нәтижелерді тексеруге мүмкіндік береді. cos 2 a+ sin 2 a = 1.

Бірінші және екінші жағдайларда AN өлшемдерін салыстыру арқылы пропорционалдық коэффициентін табуға болады. Кейіннен біз суретті аламыз, содан кейін мүсін, көтерілген кезде фигура көзбен идеалға жақын болады.

Дүние жүзіндегі таңғажайып ғимараттар сәулет өнерінің кемеңгері деп санауға болатын математиканың арқасында жобаланған. Мұндай ғимараттардың кейбір танымал мысалдары: Барселонадағы Гауди балалар мектебі, Лондондағы Мэри Балта зәулім ғимараты, Испаниядағы Бодегас Исиос шарап зауыты, Аргентинадағы Лос-Манантиалестегі мейрамхана. Бұл ғимараттарды жобалау кезінде тригонометрия қатысты.

Биологиядағы тригонометрия.

Тірі табиғаттың іргелі қасиеттерінің бірі - онда болып жатқан процестердің көпшілігінің циклдік сипаты. Аспан денелері мен жердегі тірі организмдердің қозғалысы арасында байланыс бар. Тірі организмдер Күн мен Айдың жарығы мен жылуын ұстап қана қоймайды, сонымен қатар Күннің орнын дәл анықтайтын, толқындардың ырғағына, Айдың фазаларына және планетамыздың қозғалысына жауап беретін әртүрлі механизмдерге ие.

Биологиялық ырғақтар, биоритмдер - биологиялық процестердің сипаты мен қарқындылығының азды-көпті жүйелі өзгерістері. Тіршілік әрекетінде мұндай өзгерістер енгізу қабілеті тұқым қуалайды және барлық дерлік тірі организмдерде кездеседі. Оларды жеке жасушаларда, ұлпалар мен мүшелерде, тұтас организмдер мен популяцияларда байқауға болады. Биоритмдер болып бөлінеді физиологиялық, секундтың бөліктерінен бірнеше минутқа дейінгі кезеңдері бар және экологиялық,ұзақтығы кез келген ырғаққа сәйкес келеді қоршаған орта. Оларға күнделікті, маусымдық, жылдық, толқындық және ай ырғағы жатады. Жердің негізгі ырғағы күнделікті, Жердің өз осінің айналасында айналуымен анықталады, сондықтан тірі ағзадағы барлық дерлік процестер күнделікті кезеңділікке ие.

Бір топ қоршаған орта факторларыБіздің планетамызда, ең алдымен, жарық режимі, температура, ауа қысымы мен ылғалдылық, атмосфералық және электромагниттік өріс, теңіз толқындары осы айналудың әсерінен табиғи түрде өзгереді.

Біз жетпіс бес пайыз судан тұрамыз, ал егер толық ай тұсында дүниежүзілік мұхиттың суы теңіз деңгейінен 19 метр биіктікке көтеріліп, толқыны басталса, денеміздегі су да денеміздің жоғарғы бөліктеріне қарай ағылады. Ал қан қысымы жоғары адамдар бұл кезеңдерде аурудың өршуін жиі бастан кешіреді және емдік шөптерді жинайтын табиғат мамандары айдың қай фазасында «төбелерді - (жемістерді)» жинау керектігін және «тамырларды» қай жерде жинау керектігін біледі.

Белгілі бір кезеңдерде сіздің өміріңіз түсініксіз секірістерге ұшырайтынын байқадыңыз ба? Күтпеген жерден эмоциялар толып кетті. Сезімталдық күшейеді, бұл кенеттен толық апатияға жол беруі мүмкін. Шығармашылық пен жеміссіз күндер, бақытты және бақытсыз сәттер, кенеттен көңіл-күй өзгереді. Адам ағзасының мүмкіндіктері кезеңді түрде өзгеретіні атап өтілді. Бұл білім «үш биоритм теориясының» негізінде жатыр.

Физикалық биоритм– дене белсенділігін реттейді. Физикалық циклдің бірінші жартысында адам жігерлі және өз іс-әрекетінде жақсы нәтижелерге қол жеткізеді (екінші жартысы - энергия жалқаулыққа жол береді).

Эмоционалды ырғақ– белсенділік кезеңінде сезімталдық артып, көңіл-күй көтеріледі. Адам әртүрлі сыртқы апаттарға қозғыш болады. Көңіл-күйі жақсы болса, ол ауада құлыптар тұрғызады, ғашық болуды армандайды және ғашық болады. Эмоциялық биоритм төмендегенде, ақыл-ой күші төмендейді, тілек пен қуанышты көңіл-күй жоғалады.

Интеллектуалдық биоритм -ол есте сақтауды, оқу қабілетін және логикалық ойлауды басқарады. Белсенділік фазасында көтерілу, ал екінші кезеңде шығармашылық белсенділіктің төмендеуі байқалады, сәттілік пен табыс болмайды.

Үш ырғақ теориясы.

· Физикалық цикл - 23 күн. Қуатты, күшті, төзімділікті, қозғалысты үйлестіруді анықтайды

· Эмоционалдық цикл – 28 күн. Мемлекет жүйке жүйесіжәне көңіл-күй

· Интеллектуалдық цикл – 33 күн. Жеке тұлғаның шығармашылық қабілетін анықтайды

Тригонометрия табиғатта да кездеседі. Балықтардың судағы қозғалысысинус немесе косинус заңына сәйкес пайда болады, егер сіз құйрықта нүктені бекітіп, содан кейін қозғалыс траекториясын қарастырсаңыз. Жүзу кезінде балықтың денесі y=tgx функциясының графигіне ұқсайтын қисық пішінді алады.

Құс ұшқанда қанаттарының соғу траекториясы синусоидты құрайды.

Медицинадағы тригонометрия.

Иранның Шираз университетінің студенті Вахид-Реза Аббаси жүргізген зерттеу нәтижесінде дәрігерлер алғаш рет жүректің электрлік белсенділігіне, басқаша айтқанда, электрокардиографияға қатысты ақпаратты жүйелей алды.

Тегеран деп аталатын формула географиялық медицинаның 14-ші конференциясында, содан кейін қолдану жөніндегі 28-ші конференцияда жалпы ғылыми қоғамдастыққа ұсынылды. компьютерлік жабдықНидерландыда өткен кардиология бойынша.

Бұл формула 8 өрнектен, 32 коэффициенттен және 33 негізгі параметрден тұратын күрделі алгебралық-тригонометриялық теңдеу, оның ішінде аритмия жағдайында есептеуге арналған бірнеше қосымша параметрлер бар. Дәрігерлердің айтуынша, бұл формула жүрек қызметінің негізгі параметрлерін сипаттау процесін айтарлықтай жеңілдетеді, осылайша диагнозды және емдеудің өзін бастауды тездетеді.

Көптеген адамдар жүректің кардиограммасын жасауы керек, бірақ аз адам жүрегінің кардиограммасы синус немесе косинус графигі екенін біледі.

Тригонометрия біздің миымызға объектілерге дейінгі қашықтықты анықтауға көмектеседі. Американдық ғалымдар ми жер жазықтығы мен көру жазықтығы арасындағы бұрышты өлшеу арқылы объектілерге дейінгі қашықтықты бағалайды деп мәлімдейді. Бұл қорытынды қатысушыларға қарауды сұраған бірқатар эксперименттерден кейін жасалды қоршаған ортаосы бұрышты арттыратын призмалар арқылы.

Бұл бұрмалау эксперименталды призма тасымалдаушылардың алыстағы объектілерді жақынырақ деп қабылдауына және қарапайым сынақтарға төтеп бере алмайтындығына әкелді. Тәжірибелерге қатысушылардың кейбірі денелерін жердің дұрыс емес елестетілген бетіне перпендикуляр етіп туралауға тырысып, тіпті алға қарай еңкейді. Алайда, 20 минуттан кейін олар бұрмаланған қабылдауға үйреніп, барлық проблемалар жойылды. Бұл жағдай мидың көру жүйесін өзгеретін сыртқы жағдайларға бейімдейтін механизмнің икемділігін көрсетеді. Бір қызығы, призмалар жойылғаннан кейін ол біраз уақыт байқалды кері әсер- қашықтықты асыра бағалау.

Жаңа зерттеудің нәтижелері роботтарға арналған навигациялық жүйелерді құрастыратын инженерлерді, сондай-ақ ең шынайы виртуалды модельдерді жасаумен айналысатын мамандарды қызықтырады деп болжауға болады. Медицина саласындағы қолдану мидың белгілі бір аймақтары зақымдалған науқастарды қалпына келтіруде де мүмкін.

Қорытынды

Қазіргі уақытта тригонометриялық есептеулер геометрияның, физиканың және техниканың барлық дерлік салаларында қолданылады. Астрономиядағы жақын жұлдыздарға дейінгі қашықтықты, географиядағы бағдарлар арасындағы қашықтықты өлшеуге және спутниктік навигация жүйелерін басқаруға мүмкіндік беретін триангуляция техникасы үлкен маңызға ие. Сондай-ақ музыка теориясы, акустика, оптика, қаржы нарығын талдау, электроника, ықтималдықтар теориясы, статистика, медицина (соның ішінде ультрадыбыстық және компьютерлік томография), фармацевтика, химия, сандар теориясы, сейсмология, метеорология, океанология сияқты салаларда тригонометрияның қолданылуын атап өтуге болады. , картография, физиканың көптеген салалары, топография және геодезия, сәулет, экономика, электроника, машина жасау, компьютерлік графика, кристаллография.

Қорытындылар:

· Біз тригонометрияның бұрыштарды өлшеу қажеттілігінен пайда болғанын білдік, бірақ уақыт өте ол тригонометриялық функциялар ғылымына айналды.

· Тригонометрияның физикамен, биологиямен тығыз байланысты екенін, табиғатта, сәулетте, медицинада кездесетінін дәлелдедік.

· Тригонометрия біздің өмірімізге өз жолын тапты және оның маңызды рөл атқаратын салалары одан әрі кеңейе береді деп ойлаймыз.

Әдебиет

1. Алимов Ш.А т.б. «Алгебра және анализ бастаулары» 10-11 сынып оқулығы. оқу орындары, М., Білім, 2010 ж.

2. Виленкин Н.Я. Табиғаттағы және техникадағы функциялар: Кітап. сыныптан тыс жұмыс үшін IX-XX сыныптардағы оқулар. – 2-бас., қайта өңделген – М: Просвещение, 1985 ж.

3. Глейзер Г.И. Мектептегі математика тарихы: IX-X сыныптар. – М.: Білім, 1983 ж.

4. Маслова Т.Н. «Студенттерге арналған математикалық нұсқаулық»

5. Рыбников Қ.А. Математика тарихы: Оқу құралы. - М.: Мәскеу мемлекеттік университетінің баспасы, 1994 ж.

6. Ucheba.ru

7. Math.ru «кітапхана»

Тригонометрия – тригонометриялық функцияларды және олардың геометрияда қолданылуын зерттейтін математиканың бөлімі. Тригонометриялық функцияларәртүрлі бұрыштардың, үшбұрыштардың және периодтық функциялардың қасиеттерін сипаттау үшін қолданылады. Тригонометрияны оқу бұл қасиеттерді түсінуге көмектеседі. Мектептегі іс-шаралар және өздік жұмыстригонометрия негіздерін меңгеруге және көптеген мерзімді процестерді түсінуге көмектеседі.

Қадамдар

Тригонометрия негіздерін білу

Үшбұрыш ұғымымен таныстыру.Негізінде тригонометрия үшбұрыштардағы әртүрлі қатынастарды зерттеу болып табылады. Үшбұрыштың үш қабырғасы және үш бұрышы бар. Кез келген үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180 градусқа тең. Тригонометрияны оқыған кезде сіз үшбұрыштармен және оларға қатысты ұғымдармен танысуыңыз керек, мысалы:

• гипотенуза – тікбұрышты үшбұрыштың ең ұзын қабырғасы;
• доғал бұрыш - 90 градустан жоғары бұрыш;
• өткір бұрыш - 90 градустан аз бұрыш.

1. Бірлік шеңберін салуды үйрету.Бірлік шеңбер кез келген тікбұрышты үшбұрышты гипотенузаға тең болатындай етіп салуға мүмкіндік береді. Бұл синус және косинус сияқты тригонометриялық функциялармен жұмыс істегенде пайдалы. Бірлік шеңберін меңгергеннен кейін белгілі бір бұрыштар үшін тригонометриялық функциялардың мәндерін оңай табуға және осы бұрыштары бар үшбұрыштарға қатысты есептерді шешуге болады.

   • Мысал 1. 30 градус бұрыштың синусы 0,50-ге тең. Бұл берілген бұрышқа қарама-қарсы жатқан катет ұзындығы гипотенузаның жарты ұзындығына тең екенін білдіреді.
   • Мысал 2. Осы қатынасты пайдалана отырып, бұрышы 30 градус болатын үшбұрыштың гипотенузасының ұзындығын, ал осы бұрышқа қарсы тұрған катетінің ұзындығы 7 сантиметрді есептеуге болады. Бұл жағдайда гипотенузаның ұзындығы 14 сантиметр болады.

2. Тригонометриялық функциялармен таныстыру.Тригонометрияны үйрену кезінде білу қажет алты негізгі тригонометриялық функция бар. Бұл функциялар тікбұрышты үшбұрыштың әртүрлі қабырғалары арасындағы қатынастарды білдіреді және кез келген үшбұрыштың қасиеттерін түсінуге көмектеседі. Бұл алты функция:

   • синус (күнә);
   • косинус (cos);
   • жанама(тг);
   • секант(сек);
   • косекант (косек);
   • котангенс (ctg).

3. Функциялар арасындағы байланысты есте сақтаңыз.Тригонометрияны үйрену кезінде барлық тригонометриялық функциялардың бір-бірімен байланысты екенін түсіну өте маңызды. Синус, косинус, тангенс және басқа функциялар әр түрлі қолданылғанымен, олардың арасында белгілі бір байланыстардың болуына байланысты олар кеңінен қолданылады. Бұл қатынастарды пайдалану арқылы оңай түсінуге болады бірлік шеңбер. Бірлік шеңберін пайдалануды үйреніңіз және сіз оны сипаттайтын қатынастарды пайдалана отырып, көптеген мәселелерді шеше аласыз.

   Тригонометрияның қолданылуы

   1. Тригонометрияны қолданатын ғылымның негізгі салаларын біліңіз.Тригонометрия математиканың және басқа ғылымдардың көптеген салаларында пайдалы. Тригонометрияның көмегімен бұрыштар мен түзу кесінділердің мәндерін табуға болады. Сонымен қатар, тригонометриялық функцияларды кез келген циклдік процесті сипаттау үшін пайдалануға болады.

      • Мысалы, серіппенің тербелістерін синус функциясы арқылы сипаттауға болады.

   2. Пакеттік процестер туралы ойланыңыз.Кейде математикадағы және басқа ғылымдардағы абстрактілі ұғымдарды түсіну қиын. Дегенмен, олар бізді қоршаған әлемде бар және бұл оларды түсінуді жеңілдетеді. Айналаңыздағы периодтық құбылыстарды мұқият қарап шығыңыз және оларды тригонометриямен байланыстыруға тырысыңыз.

      • Айдың болжамды циклі бар, ол шамамен 29,5 күнге созылады.

   3. Табиғи циклдарды қалай зерттеуге болатынын елестетіп көріңіз.Табиғатта көптеген периодты процестер бар екенін түсінгеннен кейін, бұл процестерді қалай зерттеуге болатынын ойлаңыз. Мұндай процестер графикте қалай көрінетінін ойша елестетіңіз. Графикті пайдалана отырып, бақыланатын құбылысты сипаттайтын теңдеу құруға болады. Бұл жерде тригонометриялық функциялар пайдалы болады.

      • Теңіз жағасындағы судың ағысын елестетіп көріңізші. Толқын кезінде су белгілі бір деңгейге көтеріледі, содан кейін толқын келіп, су деңгейі төмендейді. Төмен толқыннан кейін қайтадан жоғары толқын пайда болады және су деңгейі көтеріледі. Бұл циклдік процесс шексіз жалғасуы мүмкін. Оны косинус сияқты тригонометриялық функция арқылы сипаттауға болады.

   Материалды алдын ала зерттеңіз

   1. Тиісті бөлімді оқыңыз.Кейбір адамдар бірінші рет тригонометрия ұғымдарын түсіну қиынға соғады. Сабақ алдында тиісті материалмен таныссаңыз, оны жақсырақ түсінесіз. Сіз оқып жатқан пәнді жиі қайталап көріңіз - осылайша сіз әртүрлі ұғымдар мен тригонометрия ұғымдары арасындағы көбірек байланыстарды табасыз.

      • Бұған қоса, бұл түсініксіз жерлерді алдын ала анықтауға мүмкіндік береді.

   2. Жазбалар алыңыз.Оқулықты сүзіп шығу жоқтан жақсырақ болғанымен, тригонометрияны үйрену баяу, мұқият оқуды қажет етеді. Кез келген бөлімді оқығанда, егжей-тегжейлі жазып алыңыз. Есіңізде болсын, тригонометрия туралы білім бірте-бірте жинақталады және жаңа материалбұрын үйренгендеріңізге негізделеді, сондықтан бұрын өткен нәрселерді жазып алу алға жылжуға көмектеседі.

      • Басқа нәрселермен қатар, мұғалімнен сұрай алатындай кез келген сұрақтарды жазыңыз.

   3. Оқулықта берілген есептерді шығару.Тригонометрия сізге оңай болса да, сіз әлі де есептерді шешуіңіз керек. Үйренген материалды шынымен түсінгеніңізге көз жеткізу үшін сабақ алдында бірнеше мәселені шешіп көріңіз. Егер сізде бұл мәселе туындаса, сабақ барысында нақты нені анықтау керектігін анықтайсыз.

      • Көптеген оқулықтар соңында есептерге жауап береді. Олардың көмегімен сіз мәселелерді дұрыс шешкеніңізді тексере аласыз.

   4. Сабаққа қажеттінің бәрін әкеліңіз.Жазбаларыңызды және мәселелердің шешімдерін ұмытпаңыз. Қолдағы бұл материалдар өтілген нәрселер туралы жадыңызды жаңартуға және материалды оқуда алға жылжуыңызға көмектеседі. Сондай-ақ оқулықты алдын ала оқу кезінде туындаған сұрақтарды нақтылаңыз.

ТРИГОНОМЕТРИЯ– (грек тілінен trigwnon – үшбұрыш және metrw – өлшем) – үшбұрыштардың бұрыштары мен қабырғалары арасындағы байланыстарды және тригонометриялық функцияларды зерттейтін математикалық пән.

«Тригонометрия» терминін 1595 жылы неміс математигі және теологы, тригонометрия және тригонометриялық кестелер бойынша оқулықтың авторы Барфоломей Питиск қолданысқа енгізді. 16 ғасырдың аяғында. Көптеген тригонометриялық функциялар бұрыннан белгілі болған, дегенмен тұжырымдаманың өзі әлі болмаған.

Тригонометрияда байланыстың үш түрі бар: 1) тригонометриялық функциялардың өздері арасында; 2) жазық үшбұрыштың элементтері арасындағы (жазықтықтағы тригонометрия); 3) сфералық үшбұрыштың элементтері арасында, яғни. шардың ортасынан өтетін үш жазықтықпен ойылған фигура. Тригонометрия дәл ең күрделі, сфералық бөліктен басталды. Ол ең алдымен практикалық қажеттіліктерден туындады. Ежелгі адамдар аспан денелерінің қозғалысын бақылаған. Ғалымдар күнтізбе жүргізіп, егіс пен егін жинаудың басталу уақытын, діни мерекелердің күндерін дұрыс анықтау үшін өлшеу деректерін өңдеді. Жұлдыздар кеменің теңіздегі орнын немесе шөлдегі керуеннің қозғалыс бағытын есептеу үшін пайдаланылды. Бақылаулар бойынша жұлдызды аспанЕжелден астрологтар да басқарды.

Әрине, аспандағы шамдардың орналасуына байланысты барлық өлшемдер жанама өлшемдер болып табылады. Тікелей сызықтарды тек Жер бетінде жүргізуге болатын, бірақ мұнда да кейбір нүктелер арасындағы қашықтықты тікелей анықтау әрдайым мүмкін болмады, содан кейін олар қайтадан жанама өлшемдерге жүгінді. Мысалы, олар ағаштың биіктігін оның көлеңкесінің ұзындығын биіктігі белгілі болған қандай да бір сырықтың көлеңкесінің ұзындығымен салыстыру арқылы есептеді. Теңіздегі аралдың көлемі де дәл осылай есептелді. Мұндай есептер оның кейбір элементтері басқалары арқылы өрнектелетін үшбұрышты талдауға түседі. Мұны тригонометрия жасайды. Ал жұлдыздар мен планеталарды ежелгі адамдар нүктелер ретінде бейнелеген аспан сферасы, содан кейін бірінші дами бастаған сфералық тригонометрия болды. Ол астрономияның бір саласы болып саналды.

Және бәрі өте ұзақ уақыт бұрын басталды. Тригонометрия туралы алғашқы үзінді ақпарат Ежелгі Вавилонның сына жазу тақталарында сақталған. Месопотамия астрономдары Жер мен Күннің орнын болжауды үйренді және дәл солардан бұрыштарды градустармен, минуттармен және секундтармен өлшеу жүйесі бізге келді, өйткені вавилондықтар сексаздық санау жүйесін қабылдаған.

Дегенмен, алғашқы шын мәнінде маңызды жетістіктер ежелгі грек ғалымдарына тиесілі болды. Мысалы, екінші кітаптың 12-ші және 13-ші теоремасы басталдыЕвклид (б.з.б. 4-3 ғ. соңы) косинус теоремасын мәні бойынша өрнектейді. 2 ғасырда. BC. Никей астрономы Гиппарх (б.з.д. 180–125) үшбұрыштар элементтері арасындағы байланыстарды анықтау үшін кесте құрастырған. Мұндай кестелер қажет, өйткені тригонометриялық функциялардың мәндерін олардың аргументтерінен арифметикалық амалдар арқылы есептеу мүмкін емес. Тригонометриялық функцияларды алдын ала есептеп, кестелерде сақтау керек болды. Гиппарх берілген радиусы бар шеңбердегі хордалардың ұзындығын 0-ден 180°-қа дейінгі барлық бұрыштарға, 7,5° еселіктеріне сәйкес есептеді. Негізінде бұл синустар кестесі. Гиппархтың шығармалары бізге жеткен жоқ, бірақ олардан көптеген мәліметтер енгізілген Almagest(II ғ.) – грек астрономы және математигі Клавдий Птоломейдің (б.з. 160 ж. шамасында өлген) 13 кітаптан тұратын әйгілі шығармасы. Ежелгі гректер синустарды, косинустарды және тангенстерді білмеді, олар бұл шамалардың кестелерінің орнына доғаның бойымен шеңбердің хордасын табуға мүмкіндік беретін кестелерді пайдаланды. IN Almagestавтор бірліктің 1/3600 дәлдігімен 0,5° қадаммен есептелген радиусы 60 бірлік шеңбердің хордаларының ұзындықтарының кестесін береді және бұл кестенің қалай құрастырылғанын түсіндіреді. Птолемейдің жұмысы бірнеше ғасырлар бойы астрономдар үшін тригонометрияға кіріспе болды.

Ежелгі ғалымдар тригонометриялық кестелерді қалай құрастырғанын түсіну үшін Птолемей әдісімен танысу керек. Әдіс теоремаға негізделген - шеңберге сызылған төртбұрыштың диагональдарының көбейтіндісі оның қарама-қарсы қабырғаларының көбейтінділерінің қосындысына тең.

Болсын А Б С Дсызылған төртбұрыш , AD –шеңбердің және нүктенің диаметрі О– оның ортасы (Cурет 1). Егер сіз аккордтарды кіші бұрыштарды қалай есептеу керектігін білсеңіз DOC= a және DOB =б, яғни жағы CDжәне диагональ B,онда Пифагор теоремасы бойынша тікбұрышты үшбұрыштардан ADVЖәне ADCтабуға болады АВ және айнымалы ток,содан кейін, Птолемей теоремасы бойынша, - б.з.д. = (AC· ВD – АВ· CD) /AD, яғни. бұрышқа бағынатын хорда VOS= b – а. 90, 60 және 45° бұрыштарға сәйкес келетін шаршының, дұрыс алтыбұрыштың және сегізбұрыштың қабырғалары сияқты кейбір хордаларды анықтау оңай. 72° доғаға созылатын дұрыс бесбұрыштың жағы да белгілі. Жоғарыдағы ереже осы бұрыштардың айырмашылығы үшін аккордтарды есептеуге мүмкіндік береді, мысалы 12° = 72° – 60°. Сонымен қатар, сіз жарты бұрыштардың хордаларын таба аласыз, бірақ бұл 1 ° доғаның хордасының неге тең екенін есептеу үшін жеткіліксіз, егер бұл бұрыштардың барлығы 3 ° еселенген болса. 1° аккорда үшін Птолемей бағалауды тапты, ол аккордтың 2/3 бөлігінен (3/2) ° артық және аккордтың 4/3 бөлігінен (3/4) ° кем - жеткілікті сәйкес келетін екі сан. оның кестелерінің дәлдігі.

Егер гректер аккордтарды бұрыштардан есептесе, онда үнді астрономдары 4–5 ғасырлардағы еңбектерінде. қос доғаның жартылай хордтарына көшті, яғни. дәл синус сызықтарына (Cурет 2). Олар сондай-ақ косинустың сызықтарын пайдаланды - дәлірек айтсақ, косинустың өзін емес, кейінірек Еуропада «синусқа қарсы» атауын алған «инверттелген» синус; енді бұл функция 1 - cos-ке тең a, енді пайдаланылмайды. Кейіннен дәл осындай көзқарас тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларының қатынасы тұрғысынан тригонометриялық функцияларды анықтауға әкелді.

Сегменттердің өлшем бірлігіне депутат,ОП,PAдоғалық минут алынды. Сонымен, доғаның синус сызығы AB= 90° иә О.Б.– шеңбердің радиусы; доға AL, радиусына тең, құрамында (дөңгелектелген) 57°18" = 3438" бар.

Бізге жеткен үнділік синус кестелері (ең көнесі біздің заманымыздың 4–5 ғасырларында құрастырылған) птолемейлік кестелер сияқты дәл емес; олар 3°45" аралықта (яғни, квадрант доғасының 1/24 бөлігінде) тұрады.

«Синус» және «косинус» терминдері үнділерден шыққан, бірақ қызық түсінбеушіліксіз емес. Үнділер жарты аккордты «ардхаджива» деп атады (санскрит тілінен аударғанда «садақтың жартысы»), содан кейін бұл сөзді «джива» деп қысқартты. Үнділерден тригонометрия білімін алған мұсылман астрономдары мен математиктері оны «жиба» деп қабылдап, кейін ол араб тілінде «дөңес», «синус» деген мағынаны білдіретін «джейбке» айналды. Ақырында, 7 ғасырда. «жибе» латын тіліне сөзбе-сөз аударғанда «синус» деп аударылған. , ол білдіретін ұғымға ешқандай қатысы жоқ. Санскриттік «котижива» - қалғанның синусы (90°-қа дейін), ал латын тілінде - sinus complementi, яғни. синускомплемент, 17 ғасырда. «косинус» сөзіне қысқартылған. «Тангенс» және «секант» (латын тілінен аударғанда «тангенс» және «секант» дегенді білдіреді) атауларын 1583 жылы неміс ғалымы Финк енгізген.

Тригонометрияның дамуына Әл-Баттани (шамамен 900 ж.) сияқты араб ғалымдары үлкен үлес қосты. 10 ғасырда Абу-л-Вефа (940–997) деген атпен белгілі Бужандық бағдат ғалымы Мұхаммед синустар мен косинустар сызықтарына жанама, котангенс, секант және косекант сызықтарын қосты. Біздің оқулықтарымызда бар анықтамаларды оларға да береді. Әбіл-Вефа да осы жолдар арасындағы негізгі байланыстарды белгілейді.

Сонымен, 10 ғасырдың аяғында. Ислам әлемінің ғалымдары синус пен косинуспен бірге басқа төрт функцияны - тангенс, котангенс, секант және косекантпен жұмыс істеді; жазық және сфералық тригонометрияның бірнеше маңызды теоремаларын ашты және дәлелдеді; олар бірлік радиусының шеңберін пайдаланды (бұл қазіргі мағынада тригонометриялық функцияларды түсіндіруге мүмкіндік берді); сфералық үшбұрыштың полярлық үшбұрышын ойлап тапты. Араб математиктері дәл кестелерді құрастырды, мысалы, қадамы 1" және 1/700 000 000 дәлдігі бар синустар мен жанамалар кестелері. Қолданбалы маңызды тапсырма мынау болды: бес уақыт намаз үшін Меккеге бағытты анықтауды үйрену. мұсылман болды.

Ол тригонометрияның дамуына ерекше әсер етті. Толық төртбұрыш туралы трактатТустен шыққан астроном Насир-ед-Дин (1201–1274), ат-Туси деген атпен де белгілі. Бұл тригонометрия математиканың дербес саласы ретінде қарастырылған әлемдегі алғашқы жұмыс болды.

12 ғасырда -дан ауыстырылды арабЕуропалықтар тригонометриямен алғаш танысқан латын астрономиялық еңбектерінің сериясына.

Насыр-эд-Диннің трактаты неміс астрономы және математигі Иоганн Мюллерге (1436–1476) үлкен әсер қалдырды. Замандастары оны Региомонтана деген атпен жақсы білетін (оның есімі латын тіліне осылай аударылған). туғанКенигсберг, қазіргі Калининград). Regiomontanus синустардың кең кестелерін құрастырды (жетінші маңызды санға дейін 1 минут). Ол алғаш рет радиустың сексуалдық кіші бөлінуінен ауытқып, синус сызығының өлшем бірлігі ретінде радиустың он миллионнан бір бөлігін алды. Осылайша, синустар сексаздық бөлшектер ретінде емес, бүтін сандар ретінде көрсетілді. Кіріспе алдында ондық бөлшектерБір ғана қадам қалды, бірақ оған 100 жылдан астам уақыт кетті. Еңбек өңірі Барлық түрдегі үшбұрыштар туралы бес кітапеуропалық математикада мұсылман елдері ғылымындағы Насыр-эд-Диннің еңбегі сияқты рөл атқарды.

Regiomontanus кестелерінен кейін басқа да бірқатар кестелер, одан да егжей-тегжейлі. Коперниктің досы Ретик (1514–1576) бірнеше көмекшілерімен бірге оның шәкірті Отто 1596 жылы толтырып, басып шығарған кестелерде 30 жыл жұмыс істеді. Бұрыштар 10 «» арқылы өтті, ал радиус 1 000 000 000 000 000 бөлікке бөлінді, осылайша синустарда 15 дұрыс цифр болды.

Тригонометрияның одан әрі дамуы формулаларды жинақтау және жүйелеу, негізгі ұғымдарды нақтылау және терминология мен белгілердің дамуы жолымен жүрді. Көптеген еуропалық математиктер тригонометрия саласында жұмыс істеді. Олардың ішінде Николай Коперник (1473–1543), Тихо Браге (1546–1601) және Иоганнес Кеплер (1571–1630) сияқты ұлы ғалымдар бар. Франсуа Вьет (1540–1603) жазық және сфералық үшбұрыштарды шешудің әртүрлі жағдайларын толықтырып, жүйеледі, «жалпақ» косинус теоремасын және көп бұрыштардың тригонометриялық функцияларының формулаларын ашты. Исаак Ньютон (1643–1727) бұл функцияларды қатарға кеңейтіп, оларды математикалық талдауда қолдануға жол ашты. Леонхард Эйлер (1707–1783) функция ұғымын да, бүгінгі таңда қабылданған символизмді де енгізді. Сандар күнә x,кос xжәне т.б. ол оларды сандардың функциялары ретінде қарастырды x– сәйкес бұрыштың радиандық өлшемі. Эйлер нөмірді берді xмағыналардың барлық түрлері: оң, теріс және тіпті күрделі. Ол сонымен қатар тригонометриялық функциялар мен күрделі аргумент көрсеткіші арасындағы байланысты ашты, бұл көптеген және жиі өте күрделі тригонометриялық формулаларды қосу және көбейту ережелерінің қарапайым салдарына айналдыруға мүмкіндік берді. күрделі сандар. Ол сонымен қатар кері тригонометриялық функцияларды енгізді.

18 ғасырдың аяғында. тригонометрия ғылым ретінде қалыптасып үлгерді. Тригонометриялық функциялар математикалық талдауда, физикада, химияда, инженерияда - периодтық процестер мен тербелістермен күресуге тура келетін барлық жерде - акустика, оптика немесе маятниктің тербелісі сияқты қолдануды тапты.

Кез келген үшбұрыштарды шешу, сайып келгенде, тікбұрышты үшбұрыштарды (яғни, бұрыштарының бірі тік бұрыш болатын) шешуге келеді. Берілген сүйір бұрышы бар барлық тікбұрышты үшбұрыштар бір-біріне ұқсас болғандықтан, олардың сәйкес қабырғаларының қатынасы бірдей. Мысалы, тікбұрышты үшбұрышта ABCоның екі жағының қатынасы, мысалы, аяғы Агипотенузаға дейін бірге, сүйір бұрыштардың біреуінің өлшеміне байланысты, мысалы А. Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларының әртүрлі жұптарының қатынасы деп аталады тригонометриялық функциялароның сүйір бұрышы. Үшбұрышта осындай алты қатынас бар және оларға алты тригонометриялық функция сәйкес келеді (3-суреттегі үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштарының белгіленуі).

Өйткені А + IN= 90°, содан кейін

күнә А=cos Б= cos(90° – А),

А=ctg Б= ctg (90° – А).

Анықтамалардан бір бұрыштағы тригонометриялық функцияларды бір-бірімен байланыстыратын бірнеше теңдік шығады:

Пифагор теоремасын ескере отырып а 2 + б 2 = в 2, сіз барлық алты функцияны тек біреуі арқылы көрсете аласыз. Мысалы, синус пен косинус негізгі тригонометриялық сәйкестікпен байланысты

күнә 2 А+ cos 2 А = 1.

Функциялар арасындағы кейбір байланыстар:

Бұл формулалар кез келген бұрыштың тригонометриялық функциялары үшін де жарамды, бірақ оларды мұқият пайдалану керек, өйткені оң және сол жақтардың анықтау облыстары әртүрлі болуы мүмкін.

Тек екеуі бар тікбұрышты үшбұрыш, онда бұрыштардың екеуі де «жақсы» (бүтін санмен немесе градустардың рационал санымен өрнектеледі) және тараптардың қатынасының кем дегенде біреуі ұтымды болады. Бұл тең қабырғалы үшбұрыш (45, 45 және 90° бұрыштары бар) және жарты теңбүйірлі үшбұрыш (30, 60, 90° бұрыштары бар) - бұл тригонометриялық функциялардың мәндерін есептеуге болатын дәл екі жағдай. анықтамасы бойынша тікелей. Бұл мәндер кестеде берілген

n	0	1	2	3	4
Бұрыш	0	30°	45°	60°	90°
күнә
cos
тг
ctg			Синустар теоремасына кіретін қатынастар қарапайым геометриялық мағынаға ие. Егер сіз үшбұрыштың айналасындағы шеңберді сипаттасаңыз ABC(Cурет 4) және диаметрін сызыңыз BD, онда сызылған бұрыш теоремасы бойынша Р BCD= P Анемесе, егер бұрыш доғал болса, 180° - А. Бәрібір а = б.з.д. = BDкүнә А = 2 Ркүнә Анемесе Қайда Р– үшбұрыштың шектелген шеңберінің радиусы ABC. Бұл «күшейтілген» синустар теоремасы, ол ежелгі адамдардың аккордтық кестелері неліктен синус кестелері болғанын түсіндіреді. Косинус теоремасы да дәлелденген бірге 2 = А 2 + б 2 – 2аб cos МЕН. үшбұрыштың қалған екі қабырғасынан қабырғасын және олардың арасындағы бұрышты, сондай-ақ үш қабырғасының бұрыштарын табуға мүмкіндік береді. Мысалы, үшбұрыштың элементтері арасында басқа да бірқатар қатынастар бар. жанама теоремасы: мұндағы cos(а + б ) = cos a cos b – күнә күнә б, cos(а – б) = cos a cos b + күнә күнә б. Тригонометриялық функциялардың жалпы анықтамасы Нүкте центрі координат басында болатын бірлік шеңбер бойымен бірлік жылдамдықпен қозғалсын ТУРАЛЫсағат тіліне қарсы (Cурет 5). Қазіргі уақытта т= 0 ұпай өтеді P0(10). кезінде тнүкте ұзындығы доға арқылы өтеді тжәне позицияны алады П т, бұл сәуленің осы нүктеге бағытталған бұрышын білдіреді ТУРАЛЫ, сонымен қатар тең т.Осылайша, біз әр сәтті уақыт бойынша салыстырамыз, яғни. нүкте тнақты сызық, нүкте П тбірлік шеңбер. Бұл сызықты шеңберге салу кейде «орама» деп аталады. Егер біз нақты осьті шексіз созылмайтын жіп ретінде елестетсек, нүктені қолданыңыз t = 0 нүктеге дейін P0шеңберді айналдырып, жіптің екі ұшын шеңбер бойымен, содан кейін әрбір нүктені айналдыра бастаңыз торынға соғады П т. Бола тұра: 1) бір-бірінен шеңбер ұзындықтарының бүтін санымен, яғни 2-ге дейінгі қашықтықта орналасқан ось нүктелері pk(к=±1, ±2, …), шеңбердің бір нүктесіне түсу; 2) ұпай тЖәне –тқатысты симметриялы нүктелерге түседі Өгіз; 3) 0 Ј кезінде тЈ ббұрыш П 0 OPtжарты жазықтықта орналастырылған сағ i 0 және тең т(Cурет 8). Бұл үш шарт мұндай картаға түсірудің ресми анықтамасын құрайды - орама. 3-шартқа байланысты 0 = тЈ б p нүктесінің координаталары (cos т,күнә т). Бұл бақылау анықтаманы ұсынады: ерікті санның косинусы мен синусы тСәйкесінше нүктенің абсциссасы мен ординатасы деп аталады П т. Тангенс координаттар арқылы да анықталуы мүмкін. (1; 0) нүктесінде бірлік шеңберге жанама жүргізейік (7-сурет). Ол жанама ось деп аталады. Нүкте Qtтүзудің қиылысуы OPtжанама осімен координаталары бар (1; sin т/cos т), ал оның ординатасы анықтамасы бойынша tg-ге тең т. Абсолютті мәнде бұл тартылған жанама кесіндінің ұзындығы Qtшеңберге. Осылайша, «тангенс» атауының өзі толығымен негізделген. Айтпақшы, секант сияқты: суретте. 9 сек т- сызық сегменті OQ t,ол, дегенмен, бүкіл секант емес, оның бір бөлігі. Соңында, котангенс қиылысу нүктесінің абсциссасы ретінде анықталуы мүмкін OPtкотангенттар осімен – бірлік шеңберге (0, 1) нүктесінде жанама: ctg т=cos т/күнә т. Енді барлық сандар үшін тригонометриялық функциялар анықталған. Марина Федосова