Шеңберге сызылған тең бүйірлі трапеция қасиеттері. Трапецияның қасиеттері

ФГКОУ «МКК» РФ Қорғаныс министрлігінің оқушыларына арналған интернат үйі»

«БЕКІТІЛГЕН»

Жеке пәннің меңгерушісі

(математика, информатика және АКТ)

Ю.В.Крылова _____________

«___» _____________ 2015 ж

« Трапеция және оның қасиеттері»

Әдістемелік өңдеу

математика мұғалімі

Шаталина Елена Дмитриевна

Қаралды және

ПМО отырысында _________________

Хаттама №______

Мәскеу

2015

Мазмұны

Кіріспе 2

Анықтамалар 3

Тең қабырғалы трапецияның қасиеттері 4

Іштей және сызылған шеңберлер 7

Іштей сызылған және сызылған трапециялардың қасиеттері 8

Трапециядағы орташа мәндер 12

Ерікті трапецияның қасиеттері 15

Трапецияның белгілері 18

Трапециядағы қосымша конструкциялар 20

Трапецияның ауданы 25

10. Қорытынды

Библиография

Қолдану

Трапецияның кейбір қасиеттерінің дәлелі 27

Өзіндік жұмысқа арналған тапсырмалар

Күрделілігі жоғары «Трапеция» тақырыбына есептер

«Трапеция» тақырыбы бойынша скринингтік тест

Кіріспе

Бұл жұмыс трапеция деп аталатын геометриялық фигураға арналған. «Қарапайым фигура» дейсіз, бірақ олай емес. Ол көптеген құпиялар мен құпияларға толы, егер сіз оны мұқият зерттеп, тереңірек зерттесеңіз, сіз геометрия әлемінде көптеген жаңа нәрселерді ашасыз, бұрын шешілмеген мәселелер сізге оңай көрінеді.

Трапеция – грек сөзі trapezion – «үстел». Қарыз алу 18 ғасырда лат. тілі, мұнда трапеция грекше. Бұл қарама-қарсы екі қабырғасы параллель болатын төртбұрыш. Трапецияны алғаш рет ежелгі грек ғалымы Посидониус (б.з.б. 2 ғ.) кездестірді. Біздің өмірімізде неше түрлі фигуралар бар. 7-сыныпта үшбұрышпен жақын таныстық, 8-сыныпта мектеп бағдарламасы бойынша трапецияны зерттей бастадық. Бұл көрсеткіш бізді қызықтырды және оқулықта бұл туралы аз жазылған. Сондықтан біз бұл мәселені өз қолымызға алып, трапеция туралы ақпаратты табуды шештік. оның қасиеттері.

Жұмыста оқулықта қарастырылған материалдан оқушыларға таныс, бірақ көбінесе күрделі есептерді шешуге қажетті белгісіз қасиеттер қарастырылады. Шешілетін мәселелердің саны неғұрлым көп болса, оларды шешуде соғұрлым көп сұрақтар туындайды. Бұл сұрақтардың жауабы кейде жұмбақ болып көрінеді, трапецияның жаңа қасиеттерін, есептер шығарудың әдеттен тыс әдістерін, сонымен қатар қосымша құрылыстар техникасын үйрену арқылы біз трапецияның құпияларын біртіндеп ашамыз. Интернетте, егер сіз оны іздеу жүйесіне терсеңіз, «трапеция» тақырыбындағы мәселелерді шешу әдістері туралы әдебиеттер өте аз. Жобамен жұмыс істеу барысында студенттерге геометрияны тереңдетіп оқуға көмектесетін ақпараттың үлкен көлемі табылды.

Трапеция.

Анықтамалар

Трапеция – тек бір жұп қабырғалары параллель болатын төртбұрыш (ал қалған қабырғалары параллель емес).

Трапецияның параллель қабырғалары деп аталадысебептері. Қалған екеуі - тараптар .
Егер қабырғалары тең болса, оны трапеция деп атайдытең қабырғалы

Бүйірлерінде тік бұрыштары бар трапеция деп аталадытікбұрышты

Қабырғалардың ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді деп аталадытрапецияның ортаңғы сызығы.

Табандар арасындағы қашықтық трапеция биіктігі деп аталады.

2 . Тең қабырғалы трапецияның қасиеттері

3. Тең қабырғалы трапецияның диагональдары тең.

1
0. Тең бүйірлі трапецияның бүйір қабырғасының үлкен табанға проекциясы табандарының айырымының жартысына тең, ал диагональының проекциясы табандарының қосындысына тең.

3. Іштей және сызылған шеңбер

Егер трапеция табандарының қосындысы қабырғаларының қосындысына тең болса, онда оған шеңберді жазуға болады.

Е
Егер трапеция тең қабырғалы болса, онда оның айналасында шеңберді сипаттауға болады.

4 . Іштей сызылған және сызылған трапециялардың қасиеттері

2.Егер шеңберді тең қабырғалы трапецияға сызуға болатын болса, онда

табандарының ұзындықтарының қосындысы жақтарының ұзындықтарының қосындысына тең. Демек, бүйірдің ұзындығы трапецияның орта сызығының ұзындығына тең.

4 . Егер шеңбер трапецияға сызылған болса, онда оның центрінен қабырғалары 90° бұрышта көрінеді.

Егер шеңбер трапецияға сызылған болса және оның қабырғаларының біріне тиіп тұрса, ол оны кесінділерге бөледі мжәне n , онда іштей сызылған шеңбердің радиусы осы кесінділердің геометриялық ортасына тең.

1

0 . Егер диаметрі бойынша трапецияның кіші табанына шеңбер тұрғызылып, диагональдардың ортаңғы нүктелері арқылы өтіп, төменгі табанына тиіп тұрса, онда трапецияның бұрыштары 30°, 30°, 150°, 150° болады.

5. Трапециядағы орташа мәндер

Геометриялық орта

Негіздері бар кез келген трапецияда а Және б Үшін а > бтеңсіздік ақиқат :

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Ерікті трапецияның қасиеттері

1
. Трапецияның диагональдарының ортаңғы нүктелері мен бүйір қабырғаларының ортаңғы нүктелері бір түзуде жатыр.

2. Трапецияның бүйір қабырғаларының біріне іргелес жатқан бұрыштардың биссектрисалары перпендикуляр және трапецияның ортаңғы сызығында жатқан нүктеде қиылысады, яғни олар қиылысқан кезде гипотенузасы бүйір жағына тең тікбұрышты үшбұрыш пайда болады. жағы.

3. Трапецияның бүйір қабырғалары мен диагональдарымен қиылысатын трапеция табандарына параллель түзу сызықтың бүйір қабырғасы мен диагональ арасына қоршалған кесінділері тең.

Ерікті трапецияның қабырғаларының жалғасының қиылысу нүктесі, оның диагональдарының қиылысу нүктесі және табандарының ортаңғы нүктелері бір түзуде жатыр.

5. Ерікті трапецияның диагональдары қиылысқан кезде, ортақ төбесі бар төрт үшбұрыш пайда болады, ал табандарына іргелес үшбұрыштар ұқсас, ал қабырғаларына іргелес үшбұрыштар өлшемдері бойынша тең (яғни аудандары бірдей).

6. Ерікті трапецияның диагональдарының квадраттарының қосындысы табандарының екі есе көбейтіндісіне қосылған бүйір қабырғаларының квадраттарының қосындысына тең.

г 1 2 + г 2 2 = в 2 + г 2 + 2 аб

7
. Тік бұрышты трапецияда диагональдардың квадраттарының айырмасы табандарының квадраттарының айырмасына тең г 1 2 - г 2 2 = а 2 – б 2

8 . Бұрыштың қабырғаларын қиып өтетін түзулер бұрыштың қабырғаларынан пропорционалды кесінділерді кесіп тастайды.

9. Табандарына параллель және диагональдардың қиылысу нүктесінен өтетін кесінді соңғысына екіге бөлінеді.

7. Трапецияның белгілері

8 . Трапециядағы қосымша конструкциялар

1. Қабырғалардың ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді трапецияның ортаңғы сызығы болып табылады.

2
. Трапецияның бүйір жақтарының біріне параллель болатын кесінді, оның бір ұшы екінші бүйір қабырғасының ортасымен сәйкес келеді, екіншісі негізін қамтитын түзу сызыққа жатады.

3
. Егер трапецияның барлық қабырғалары берілсе, кіші табанының төбесінен бүйіріне параллель түзу жүргізіледі. Нәтижесінде трапецияның бүйір қабырғалары мен табандарының айырмашылығына тең қабырғалары бар үшбұрыш шығады. Герон формуласын пайдаланып, үшбұрыштың ауданын, содан кейін трапеция биіктігіне тең үшбұрыштың биіктігін табыңыз.

4

. Кіші табанының төбесінен тартылған тең қабырғалы трапецияның биіктігі үлкен табанды кесінділерге бөледі, олардың бірі табандарының айырмасының жартысына, ал екіншісі трапеция табандарының қосындысының жартысына тең, яғни трапецияның орта сызығы.

5. Бір табанның төбелерінен түсірілген трапецияның биіктіктері екінші табаны, бірінші табанына тең кесіндісі бар түзу бойымен қиылады.

6
. Трапецияның диагональдарының біріне параллель кесінді төбе арқылы жүргізілген - екінші диагональдың соңы болатын нүкте. Нәтижесінде екі қабырғасы трапецияның диагональдарына тең, ал үшіншісі табандарының қосындысына тең үшбұрыш шығады.

7
.Диагональдардың ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді трапеция табандарының айырмасының жартысына тең.

8. Трапецияның бүйір қабырғаларының біріне іргелес жатқан бұрыштардың биссектрисалары перпендикуляр және трапецияның ортаңғы сызығында жатқан нүктеде қиылысады, яғни олар қиылысқан кезде гипотенузасы бүйір жағына тең тікбұрышты үшбұрыш пайда болады. жағы.

9. Трапециялық бұрыштың биссектрисасы тең қабырғалы үшбұрышты кесіп тастайды.

1
0. Ерікті трапецияның диагональдары қиылысқан кезде ұқсастық коэффициенті табандарының қатынасына тең екі ұқсас үшбұрышты және бүйір қабырғаларына іргелес екі тең үшбұрышты құрайды.

1
1. Ерікті трапецияның диагональдары қиылысқанда, ұқсастық коэффициенті табандарының қатынасына тең екі ұқсас үшбұрышты және бүйір қабырғаларына іргелес екі тең үшбұрышты құрайды.

1
2. Трапецияның қабырғаларының қиылысуға дейін жалғасуы ұқсас үшбұрыштарды қарастыруға мүмкіндік береді.

13. Егер шеңбер тең қабырғалы трапецияға сызылған болса, онда трапецияның биіктігін – трапеция табандарының көбейтіндісінің геометриялық ортасын немесе ол кіретін бүйір қабырғасының кесінділерінің көбейтіндісінің геометриялық ортасының екі есесін есептеңіз. жанасу нүктесіне бөлінеді.

9. Трапецияның ауданы

1 . Трапецияның ауданы табандары мен биіктігінің қосындысының жартысының көбейтіндісіне тең С = ½( а + б) hнемесе

П

Трапецияның ауданы трапецияның орта сызығы мен оның биіктігінің көбейтіндісіне тең С = м h .

2. Трапецияның ауданы екінші қабырғасының ортасынан бірінші қабырғасы бар түзуге жүргізілген қабырға мен перпендикулярдың көбейтіндісіне тең.

Іштей сызылған шеңбер радиусы тең қабырғалы трапецияның ауданы rжәне негіздегі бұрышα :

10. Қорытынды

ТРАПЕЦА ҚАЙДА, ҚАЛАЙ ЖӘНЕ НЕ ҮШІН ҚОЛДАНЫЛАДЫ?

Спорттағы трапеция: трапеция, әрине, адамзаттың прогрессивті өнертабысы. Ол қолымызды жеңілдетуге және виндсерфингті ыңғайлы және жеңіл демалуға арналған. Трапециясыз қысқа тақтамен жүрудің мағынасы жоқ, өйткені онсыз қадам мен аяқтың арасындағы тартымды дұрыс бөлу және тиімді жылдамдату мүмкін емес.

Сәндегі трапеция: Киімдегі трапеция орта ғасырларда, 9-11 ғасырлардағы романдық дәуірде танымал болды. Ол кезде әйелдер киімінің негізін еденге арналған тондар құрайтын, ал төменгі жағына қарай күрте айтарлықтай кеңейіп, трапеция әсерін тудырды. Тұлпардың жаңғыруы 1961 жылы орын алып, жастық, тәуелсіздік пен талғампаздықтың гимніне айналды. Твигги деп аталатын нәзік модель Лесли Хорнби трапецияны танымал етуде үлкен рөл атқарды. Анорексикалық денелі және үлкен көздері бар қысқа бойжеткен дәуірдің символына айналды, ал оның сүйікті киімдері қысқа көйлектер болды.

Табиғатта трапеция: Трапеция табиғатта да кездеседі. Адамдарда трапеция бұлшықеті бар, ал кейбір адамдарда трапеция тәрізді бет бар. Гүл жапырақтары, шоқжұлдыздар және, әрине, Килиманджаро тауы да трапеция пішініне ие.

Күнделікті өмірде трапеция: Трапеция күнделікті өмірде де қолданылады, өйткені оның пішіні практикалық. Ол экскаватор шелегі, үстел, бұранда, станок сияқты нысандарда кездеседі.

Трапеция - инк сәулетінің символы. Инк сәулетіндегі басым стилистикалық форма қарапайым, бірақ әсем - трапеция. Ол тек қана функционалдық мәнге ие емес, сонымен қатар қатаң шектелген көркем дизайнға ие. Трапеция тәрізді есіктер, терезелер және қабырғалық тауашалар барлық типтегі ғимараттарда, ғибадатханаларда да, неғұрлым өрескел құрылыстағы ғимараттарда да кездеседі. Трапеция заманауи сәулет өнерінде де кездеседі. Ғимараттардың бұл формасы әдеттен тыс, сондықтан мұндай ғимараттар әрқашан өтіп бара жатқан адамдардың назарын аударады.

Технологиядағы трапеция: Трапеция ғарыштық техника мен авиацияда бөлшектерді жобалауда қолданылады. Мысалы, ғарыш станцияларындағы кейбір күн панельдерінің пішіні трапеция тәрізді, өйткені олардың ауданы үлкен, яғни олар күн энергиясын көбірек жинақтайды.

21 ғасырда адамдар өміріндегі геометриялық фигуралардың мәні туралы іс жүзінде енді ойламайды. Оларға үстелінің, көзілдірігінің немесе телефонының пішіні мүлдем мән бермейді. Олар жай ғана практикалық пішінді таңдайды. Бірақ объектінің қолданылуы, оның мақсаты, жұмыстың нәтижесі сол немесе басқа заттың формасына байланысты болуы мүмкін. Бүгін біз сіздерді адамзаттың ең үлкен жетістіктерінің бірі – трапециямен таныстырдық. Біз ғажайып фигуралар әлемінің есігін аштық, трапецияның қыр-сырын айтып, геометрияның айналамызда екенін көрсеттік.

Библиография

Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Математика теориясы мен мәселелері. 1-кітап Талапкерлерге арналған оқу құралы M.1998 MPEI баспасы.

Быков А.А., Малышев Г.Ю., ГУВС ЖОО-ға дейінгі дайындық факультеті. Математика. Оқу-әдістемелік құрал 4 бөлім М2004

Гордин Р.К. Планиметрия. Проблемалық кітап.

Иванов А.А. Иванов А.П., Математика: Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындалуға және ЖОО-ға түсуге арналған нұсқаулық - М: MIPT баспасы, 2003-288б. ISBN 5-89155-188-3

Пиголкина Т.С., Ресей Федерациясы Білім және ғылым министрлігі, «ZFTSH Мәскеу физика-техникалық институты (Мемлекеттік университет)» балаларға арналған қосымша білім беру федералды мемлекеттік бюджеттік оқу орны. Математика. Планиметрия. 10-сыныптарға арналған No2 тапсырмалар (2012-2013 оқу жылы).

Пиголкина Т.С., Планиметрия (1 бөлім).Талапкердің математикалық энциклопедиясы. М., Орыс ашық университетінің баспасы 1992 ж.

Шарыгин И.Ф. Университеттердегі конкурстық емтихандарға арналған геометриядан таңдамалы есептер (1987-1990) Львов журналы «Квантор» 1991 ж.

«Аванта плюс» энциклопедиясы, Математика М., Аванта энциклопедиялары әлемі 2009 ж.

Қолдану

1. Трапецияның кейбір қасиеттерін дәлелдеу.

1. Трапецияның табандарына параллель диагональдарының қиылысу нүктесі арқылы өтетін түзу трапецияның бүйір жақтарын нүктелерде қиып өтеді.Қ Және Л . Трапецияның табандары тең болатынын дәлелдеңдер А Және б , Бұл сегмент ұзындығы KL трапеция табандарының геометриялық ортасына тең. Дәлелдеу

БолсынТУРАЛЫ - диагональдардың қиылысу нүктесі,AD = а, күн = б . Тікелей KL негізіне параллельAD , демек,Қ ТУРАЛЫ║ AD , үшбұрыштарIN Қ ТУРАЛЫ ЖәнеЖАМАН ұқсас, сондықтан

(1)

(2)

(1) орнына (2) қоямыз, аламыз KO =

сияқты Л.О.= Содан кейін Қ Л = Қ.О. + Л.О. =

IN Кез келген трапеция үшін табандарының ортасы, диагональдарының қиылысу нүктесі және бүйір қабырғаларының жалғасуының қиылысу нүктесі бір түзуде жатыр.

Дәлелдеу: қабырғалардың ұзартулары нүктеде қиылыссынTO. Нүкте арқылыTO және кезеңТУРАЛЫ диагональды қиылысулартүзу сызық сызайық CO.

Бұл түзудің табандарды екіге бөлетінін дәлелдейік.

ТУРАЛЫ маңыздыВ.М = x, MS = у, А.Н = Және, Н.Д = v . Бізде бар:

∆ VKM ~ ∆AKN →

∆ МК C ~ ∆NKD → →

Құпиялықты сақтау біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялылық тәжірибелерімізді қарап шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерге жатады.

Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыздың кейбір мысалдары берілген.

Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:

Сайтта өтініш жіберген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, электрондық пошта мекенжайыңызды және т.б. жинай аламыз.

Жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:

Біз жинайтын жеке ақпарат бізге бірегей ұсыныстар, жарнамалық акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы сізбен байланысуға мүмкіндік береді.
Уақыт өте келе біз сіздің жеке ақпаратыңызды маңызды хабарламалар мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалана аламыз.
Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе ұқсас науқанға қатыссаңыз, біз сіз берген ақпаратты осындай бағдарламаларды басқару үшін пайдалана аламыз.

Ақпаратты үшінші тұлғаларға ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.

Ерекшеліктер:

Қажет болған жағдайда - заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізуде және/немесе Ресей Федерациясының мемлекеттік органдарының қоғамдық сұраныстары немесе сұраулары негізінде - жеке мәліметтеріңізді жария ету. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық маңызды мақсаттар үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті мұрагерге үшінші тарапқа бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалудан, ұрланудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.

Компания деңгейінде құпиялылығыңызды құрметтеу

Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік стандарттарын хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибесін қатаң түрде орындаймыз.

\[(\Үлкен(\мәтін(бос трапеция)))\]

Анықтамалар

Трапеция деп екі қабырғасы параллель, ал қалған екі қабырғасы параллель емес дөңес төртбұрышты айтады.

Трапецияның параллель қабырғалары оның табандары, ал қалған екі қабырғасы бүйір қабырғалары деп аталады.

Трапецияның биіктігі деп бір табанның кез келген нүктесінен екінші табанға жүргізілген перпендикулярды айтады.

Теоремалар: трапецияның қасиеттері

1) Бүйірдегі бұрыштардың қосындысы \(180^\circ\) .

2) Диагональдар трапецияны төрт үшбұрышқа бөледі, олардың екеуі ұқсас, ал қалған екеуі тең өлшемдер.

Дәлелдеу

1) Себебі \(AD\параллель BC\), онда \(\бұрыш BAD\) және \(\бұрыш ABC\) осы түзулер мен көлденең \(AB\) үшін бір жақты болады, сондықтан, \(\ бұрыш BAD +\ бұрыш ABC=180^\цирк\).

2) Себебі \(AD\параллель BC\) және \(BD\) секант, содан кейін \(\бұрыш DBC=\BDA бұрышы\) көлденең жатады.
Сондай-ақ \(\бұрыш BOC=\AOD бұрышы\) тік ретінде.
Сондықтан екі бұрышта \(\үшбұрыш BOC \sim \үшбұрыш AOD\).

Соны дәлелдеп көрейік \(S_(\үшбұрыш AOB)=S_(\үшбұрыш COD)\). \(h\) трапецияның биіктігі болсын. Содан кейін \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)\). Содан кейін: \

Анықтама

Трапецияның ортаңғы сызығы - қабырғалардың ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді.

Теорема

Трапецияның орта сызығы табандарына параллель және олардың жарты қосындысына тең.

Дәлелдеу*

1) Параллелизмді дәлелдейік.

\(M\) нүктесі арқылы \(MN"\параллель AD\) түзуін жүргізейік (\(N"\CD\-де\) ). Содан кейін, Фалес теоремасы бойынша (басқа \(MN"\параллель AD\параллель BC, AM=MB\)) \(N"\) нүктесі \(CD\) кесіндісінің ортасы. Бұл \(N\) және \(N"\) нүктелерінің сәйкес келетінін білдіреді.

2) Формуланы дәлелдеп көрейік.

\(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) жасайық. Болсын \(BB"\қалпақ MN=M", CC"\қалпақ MN=N"\).

Сонда Фалес теоремасы бойынша \(M"\) және \(N"\) сәйкесінше \(BB"\) және \(CC"\) сегменттерінің ортаңғы нүктелері болып табылады. Бұл \(MM"\) - \(\triangle ABB"\) ортаңғы сызығы, \(NN"\) - \(\ DCC"\) үшбұрышының ортаңғы сызығы екенін білдіреді. Сондықтан: \

Өйткені \(MN\параллель AD\параллель BC\)және \(BB", CC"\perp AD\), одан кейін \(B"M"N"C"\) және \(BM"N"C\) тіктөртбұрыштар. Фалес теоремасы бойынша \(MN\параллельді AD\) және \(AM=MB\) -дан \(B"M"=M"B\) болатыны шығады.Осыдан \(B"M"N"C "\) және \(BM"N"C\) тең төртбұрыштар, сондықтан \(M"N"=B"C"=BC\) .

Осылайша:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\оң)=\dfrac12\left(AD+BC\оң)\]

Теорема: ерікті трапецияның қасиеті

Табандарының орта нүктелері, трапеция диагональдарының қиылысу нүктесі және бүйір қабырғаларының ұзартуларының қиылысу нүктесі бір түзуде жатыр.

Дәлелдеу*
«Үшбұрыштардың ұқсастығы» тақырыбын оқығаннан кейін дәлелдемемен танысу ұсынылады.

1) \(P\) , \(N\) және \(M\) нүктелерінің бір түзудің бойында жатқанын дәлелдеейік.

\(PN\) түзуін жүргізейік (\(Р\) - бүйір жақтарының ұзартуларының қиылысу нүктесі, \(N\) \(BC\) ортасы). Ол \(AD\) жағымен \(M\) нүктесінде қиылыссын. \(M\) \(AD\) ортаңғы нүктесі екенін дәлелдеп көрейік.

\(\triangle BPN\) және \(\triangle APM\) қарастырайық. Олар екі бұрышта ұқсас (\(\бұрыш APM\) – жалпы, \(\бұрыш PAM=\бұрыш PBN\) \(AD\параллель BC\) және \(AB\) секантта сәйкес келеді). білдіреді: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

\(\triangle CPN\) және \(\triangle DPM\) қарастырыңыз. Олар екі бұрышта ұқсас (\(\бұрыш DPM\) – жалпы, \(\бұрыш PDM=\бұрыш PCN\) \(AD\параллель BC\) және \(CD\) секантта сәйкес келеді). білдіреді: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Осы жерден \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Бірақ \(BN=NC\) сондықтан \(AM=DM\) .

2) \(N, O, M\) нүктелерінің бір түзудің бойында жатқанын дәлелдеейік.

\(N\) \(BC\) ортасы және \(O\) диагональдардың қиылысу нүктесі болсын. Түзу сызық жүргізейік \(NO\) , ол \(AD\) жағын \(M\) нүктесінде қиып өтеді. \(M\) \(AD\) ортаңғы нүктесі екенін дәлелдеп көрейік.

\(\үшбұрыш BNO\sim \үшбұрыш DMO\)екі бұрыш бойымен (\(\бұрыш OBN=\бұрыш ODM\) \(BC\параллель AD\) және \(BD\) секантта көлденең жатқан; \(\бұрыш BON=\DOM бұрышы\) тік ретінде). білдіреді: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

сияқты \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). білдіреді: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Осы жерден \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Бірақ \(BN=CN\) сондықтан \(AM=MD\) .

\[(\Үлкен(\мәтін(Тең бүйірлі трапеция)))\]

Анықтамалар

Трапецияның бір бұрышы тік болса, тікбұрышты деп аталады.

Трапецияның қабырғалары тең болса, оны тең қабырғалы деп атайды.

Теоремалар: тең қабырғалы трапецияның қасиеттері

1) Тең қабырғалы трапецияның табан бұрыштары тең.

2) Тең қабырғалы трапецияның диагональдары тең.

3) Диагональдары мен табанынан құралған екі үшбұрыш тең қабырғалы.

Дәлелдеу

1) \(ABCD\) тең қабырғалы трапецияны қарастырайық.

\(В\) және \(С\) төбелерінен сәйкес \(В\) және \(CN\) перпендикулярларды \(AD\) жағына түсіреміз. \(BM\perp AD\) және \(CN\perp AD\) болғандықтан, \(BM\параллель CN\) ; \(AD\параллель BC\) , онда \(MBCN\) параллелограмм болады, сондықтан \(BM = CN\) .

\(ABM\) және \(CDN\) тікбұрышты үшбұрыштарды қарастырайық. Олардың гипотенузалары тең және катет \(BM\) катетіне тең \(CN\) болғандықтан, бұл үшбұрыштар тең, демек, \(\бұрыш DAB = \бұрыш CDA\) .

Өйткені \(AB=CD, \бұрыш A=\бұрыш D, AD\)- жалпы, содан кейін бірінші белгі бойынша. Сондықтан, \(AC=BD\) .

3) Себебі \(\ABD үшбұрышы=\ACD үшбұрышы\), содан кейін \(\ BDA бұрышы =\ CAD бұрышы \) . Демек, \(\триangle AOD\) үшбұрышы тең қабырғалы. Сол сияқты \(\БОС үшбұрышының\) тең қабырғалы екені дәлелденді.

Теоремалар: тең қабырғалы трапеция белгілері

1) Трапецияның табан бұрыштары тең болса, онда ол тең қабырғалы болады.

2) Егер трапецияның диагональдары тең болса, онда ол тең қабырғалы болады.

Дәлелдеу

Трапецияның \(ABCD\) \(\бұрыш A = \бұрыш D\) болатындай етіп қарастырайық.

Суретте көрсетілгендей \(AED\) үшбұрышына трапецияны аяқтаймыз. \(\бұрыш 1 = \бұрыш 2\) болғандықтан, \(AED\) үшбұрыш тең қабырғалы және \(AE = ED\) . \(1\) және \(3\) бұрыштары \(AD\) және \(BC\) параллель түзулер мен \(AB\) секантының сәйкес бұрыштары ретінде тең. Сол сияқты, \(2\) және \(4\) бұрыштары тең, бірақ \(\бұрыш 1 = \бұрыш 2\), онда \(\бұрыш 3 = \бұрыш 1 = \бұрыш 2 = \бұрыш 4\), сондықтан \(BEC\) үшбұрышы да тең қабырғалы және \(BE = EC\) .

Ақырында \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), яғни \(AB = CD\), бұл дәлелдеуді қажет ететін нәрсе.

2) \(AC=BD\) болсын. Өйткені \(\үшбұрыш AOD\sim \үшбұрыш BOC\), онда олардың ұқсастық коэффициентін \(k\) деп белгілейміз. Сонда \(BO=x\) болса, \(OD=kx\) . \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) сияқты.

Өйткені \(AC=BD\) , содан кейін \(x+kx=y+ky \Оң жақ көрсеткі x=y\) . Бұл \(\үшбұрыш AOD\) тең бүйірлі және \(\ бұрыш OAD=\ODA бұрышы\) дегенді білдіреді.

Осылайша, бірінші белгі бойынша \(\ABD үшбұрышы=\ACD үшбұрышы\) (\(AC=BD, \бұрыш OAD=\бұрыш ODA, AD\)– жалпы). Сонымен, \(AB=CD\) , неге.

Трапеция – төрт бұрышы бар геометриялық фигура. Трапецияның құрылысы кезінде қарама-қарсы екі жағы параллель, ал қалған екеуі, керісінше, бір-біріне қатысты параллель емес екенін ескеру қажет. Бұл сөз қазіргі заманға Ежелгі Грециядан келді және «үстел», «асхана» дегенді білдіретін «трапедцион» сияқты естіледі.

Бұл мақалада шеңбермен шектелген трапецияның қасиеттері туралы айтылады. Сондай-ақ біз бұл фигураның түрлері мен элементтерін қарастырамыз.

Трапецияның геометриялық фигураның элементтері, түрлері және сипаттамалары

Бұл суреттегі параллель қабырғаларды табандар, ал параллель еместерін қабырғалар деп атайды. Бүйірлерінің ұзындығы бірдей болған жағдайда трапеция тең қабырғалы деп саналады. Қабырғалары табанына перпендикуляр 90° бұрыш жасап жатқан трапеция тікбұрышты деп аталады.

Бұл қарапайым болып көрінетін фигура оның сипаттамаларына ерекше назар аудара отырып, оған тән көптеген қасиеттерге ие:

Егер сіз бүйірлер бойымен ортаңғы сызық жүргізсеңіз, ол негіздерге параллель болады. Бұл сегмент негіздердің 1/2 айырмашылығына тең болады.
Трапецияның кез келген бұрышынан биссектриса тұрғызғанда тең бүйірлі үшбұрыш пайда болады.
Шеңбер бойымен сипатталған трапецияның қасиеттерінен параллель қабырғаларының қосындысы табандарының қосындысына тең болуы керек екені белгілі.
Қабырғаларының бірі трапецияның негізі болатын диагональды кесінділерді салу кезінде алынған үшбұрыштар ұқсас болады.
Қабырғаларының бірі бүйірлік болатын қиғаш кесінділерді салу кезінде алынған үшбұрыштардың ауданы тең болады.
Егер бүйірлік сызықтарды жалғастырып, негіздің ортасынан кесінді тұрғызсақ, онда қалыптасқан бұрыш 90°-қа тең болады. Негіздерді қосатын сегмент олардың айырмасының 1/2 бөлігіне тең болады.

Шеңберге сызылған трапецияның қасиеттері

Шеңберді трапецияға тек бір шартпен қоршауға болады. Бұл шарт тараптардың қосындысы негіздерінің қосындысына тең болуы керек. Мысалы, трапеция AFDM құрастыру кезінде AF + DM = FD + AM қолданылады. Тек осы жағдайда ғана шеңберді трапецияға салуға болады.

Сонымен, шеңбердің айналасында сипатталған трапецияның қасиеттері туралы толығырақ:

Егер шеңбер трапециямен қоршалған болса, онда оның фигураны жартысын қиып өтетін түзуінің ұзындығын табу үшін қабырғаларының ұзындықтарының қосындысының 1/2 бөлігін табу керек.

Шеңбердің айналасында сызылған трапецияны тұрғызған кезде, пайда болған гипотенуза шеңбердің радиусымен бірдей, ал трапецияның биіктігі де шеңбердің диаметріне тең болады.

Шеңбер бойымен сызылған тең қабырғалы трапецияның тағы бір қасиеті - оның қабырғасы шеңбердің центрінен 90° бұрышпен бірден көрінеді.

Шеңбермен қоршалған трапецияның қасиеттері туралы аздап

Шеңберге тек тең қабырғалы трапецияны жазуға болады. Бұл құрастырылған AFDM трапеция келесі талаптарға сәйкес келетін шарттарды орындау қажет екенін білдіреді: AF + DM = FD + MA.

Птолемей теоремасы шеңбермен қоршалған трапецияда диагональдардың көбейтіндісі бірдей және қарама-қарсы қабырғалардың көбейтіндісінің қосындысына тең екенін айтады. Бұл AFDM трапециясының айналасында шектелген шеңберді тұрғызу кезінде келесілер қолданылатынын білдіреді: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

Мектеп емтихандарында трапециямен есептерді шешуді қажет ететін мәселелер жиі кездеседі. Көптеген теоремаларды есте сақтау қажет, бірақ оларды бірден меңгере алмасаңыз, бұл маңызды емес. Оқулықтардағы кеңестерге мезгіл-мезгіл жүгінген дұрыс, бұл білім сіздің басыңызға еш қиындықсыз сыйып кетеді.

Трапеция- табандары болып табылатын екі параллель қабырғасы және қабырғалары болып табылатын екі параллель емес қабырғасы бар төртбұрыш.

сияқты атаулар да бар тең қабырғалынемесе тең жақты.

бүйір бұрыштары тік болатын трапеция.

Трапеция элементтері

a, b - трапеция негіздері(а параллель b),

м, n - жақтарытрапециялар,

d 1 , d 2 — диагоналдартрапециялар,

сағ - биіктігітрапеция (негіздерді қосатын және бір мезгілде оларға перпендикуляр болатын кесінді),

MN - ортаңғы сызық(жақтардың ортаңғы нүктелерін қосатын сегмент).

Трапецияның ауданы

a, b негіздері мен h биіктігінің жарты қосындысы арқылы: S = \frac(a + b)(2)\cdot h
MN орта сызығы арқылы және h биіктігі: S = MN\cdot h
d 1, d 2 диагональдары және олардың арасындағы бұрыш (\sin \varphi) арқылы: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)

Трапецияның қасиеттері

Трапецияның ортаңғы сызығы

ортаңғы сызықнегіздеріне параллель, олардың жарты қосындысына тең және негіздерін (мысалы, фигураның биіктігін) қамтитын түзу сызықтарда орналасқан ұштары бар әрбір сегментті екіге бөледі:

MN || a, MN || б, MN = \frac(a + b)(2)