Бастапқы нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық (ең қысқа). Бастапқы нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық (ең қысқа) Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық - теория, мысалдар, шешімдер

Бұл мақалада нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты анықтау туралы айтылады. Оны үш өлшемді кеңістікте берілген нүктеден қашықтықты табуға мүмкіндік беретін координат әдісі арқылы талдап көрейік. Мұны бекіту үшін бірнеше тапсырманың мысалдарын қарастырайық.

Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық нүктеден нүктеге дейінгі белгілі қашықтықты пайдаланып табылады, мұнда олардың біреуі берілген, ал екіншісі берілген жазықтыққа проекциясы болып табылады.

Кеңістікте χ жазықтығы бар M 1 нүктесі көрсетілгенде, нүкте арқылы жазықтыққа перпендикуляр түзу жүргізуге болады. H 1 - олардың ортақ қиылысу нүктесі. Бұдан M 1 H 1 кесіндісі М 1 нүктесінен χ жазықтығына жүргізілген перпендикуляр екенін аламыз, мұндағы H 1 нүктесі перпендикуляр табаны болып табылады.

Анықтама 1

Берілген нүктеден берілген нүктеден берілген жазықтыққа жүргізілген перпендикуляр табанына дейінгі қашықтық деп аталады.

Анықтаманы әртүрлі тұжырымдармен жазуға болады.

Анықтама 2

Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықберілген нүктеден берілген жазықтыққа жүргізілген перпендикуляр ұзындығы.

М 1 нүктесінен χ жазықтығына дейінгі қашықтық былай анықталады: М 1 нүктесінен χ жазықтығына дейінгі қашықтық берілген нүктеден жазықтықтың кез келген нүктесіне дейінгі ең кішісі болады. Егер H 2 нүктесі χ жазықтығында орналасса және H 2 нүктесіне тең болмаса, онда M 2 H 1 H 2 түріндегі тікбұрышты үшбұрышты аламыз. , ол тікбұрышты, мұнда M 2 H 1, M 2 H 2 катеті бар – гипотенуза. Бұл M 1 H 1 болатынын білдіреді< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 көлбеу деп саналады, ол М 1 нүктесінен χ жазықтығына жүргізілген. Бізде берілген нүктеден жазықтыққа жүргізілген перпендикуляр нүктеден берілген жазықтыққа жүргізілген көлбеуден кіші. Төмендегі суретте бұл жағдайды қарастырайық.

Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық – теория, мысалдар, шешімдер

Шешімдері нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты қамтуы керек бірқатар геометриялық есептер бар. Мұны анықтаудың әртүрлі жолдары болуы мүмкін. Шешу үшін Пифагор теоремасын немесе үшбұрыштардың ұқсастығын пайдаланыңыз. Шарт бойынша үш өлшемді кеңістіктің тікбұрышты координаталар жүйесінде берілген нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты есептеу қажет болғанда, ол координаталық әдіспен шешіледі. Бұл тармақ осы әдісті талқылайды.

Есептің шарттарына сәйкес, үш өлшемді кеңістікте координаталары M 1 (x 1, y 1, z 1) χ жазықтығы бар нүкте берілген, ол үшін M 1-ге дейінгі қашықтықты анықтау керек. χ жазықтығы. Бұл мәселені шешу үшін бірнеше шешу әдістері қолданылады.

Бірінші жол

Бұл әдіс М 1 нүктесінен χ жазықтығына перпендикуляр негізі болып табылатын Н 1 нүктесінің координаталары арқылы нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табуға негізделген. Әрі қарай, M 1 және H 1 арасындағы қашықтықты есептеу керек.

Есепті екінші жолмен шешу үшін берілген жазықтықтың қалыпты теңдеуін қолданыңыз.

Екінші жол

Шарт бойынша бізде H 1 перпендикуляр негізі болып табылады, ол M 1 нүктесінен χ жазықтығына түсірілген. Содан кейін Н 1 нүктесінің координаталарын (x 2, y 2, z 2) анықтаймыз. M 1-ден χ жазықтығына дейінгі қажетті қашықтық M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 формуласымен табылады, мұндағы M 1 (x 1, y 1, z 1) және H 1 (x 2, y 2, z 2). Шешу үшін H 1 нүктесінің координаталарын білу керек.

Бізде H 1 - χ жазықтығының χ жазықтығына перпендикуляр орналасқан М 1 нүктесі арқылы өтетін а түзуімен қиылысу нүктесі. Бұдан шығатыны, берілген жазықтыққа перпендикуляр берілген нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін құрастыру керек. Дәл сол кезде біз Н 1 нүктесінің координаталарын анықтай аламыз. Түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесінің координаталарын есептеу керек.

Координаталары M 1 (x 1, y 1, z 1) нүктеден χ жазықтығына дейінгі қашықтықты табу алгоритмі:

Анықтама 3

М 1 нүктесі арқылы және бір уақытта өтетін а түзуінің теңдеуін құрастырыңдар
χ жазықтығына перпендикуляр;
Н 1 нүктесінің координаталарын (x 2 , y 2 , z 2) табу және есептеу, олар нүктелер болып табылады.
а түзуінің χ жазықтығымен қиылысуы;
M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 формуласы арқылы M 1-ден χ-қа дейінгі қашықтықты есептеңіз.

Үшінші жол

Берілген O x y z тік бұрышты координаталар жүйесінде χ жазықтығы бар, онда cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 түріндегі жазықтықтың қалыпты теңдеуін аламыз. Осыдан M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos формуласымен есептелетін χ жазықтығына түсірілген M 1 (x 1 , y 1 , z 1) нүктесімен M 1 H 1 арақашықтықты аламыз. γ z - p . Бұл формула дұрыс, өйткені ол теореманың арқасында бекітілген.

Теорема

Егер M 1 (x 1, y 1, z 1) нүктесі cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 түріндегі χ жазықтығының қалыпты теңдеуі бар үш өлшемді кеңістікте берілсе, онда нүктеден M 1 H 1 жазықтығына дейінгі қашықтықты есептеу M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p формуласынан алынады, өйткені x = x 1, y = y 1 , z = z 1.

Дәлелдеу

Теореманың дәлелі нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты табуға келеді. Бұдан M 1-ден χ жазықтығына дейінгі қашықтық M 1 радиус векторының координаталық басынан χ жазықтығына дейінгі арақашықтықпен сандық проекциясының айырмасының модулі екенін аламыз. Сонда M 1 H 1 = n p n → O M → - p өрнегін аламыз. χ жазықтығының нормаль векторы n → = cos α, cos β, cos γ пішініне ие және оның ұзындығы бірге тең, n p n → O M → O M → = (x 1, y 1) векторының сандық проекциясы. , z 1) n → векторымен анықталатын бағытта.

Скалярлық векторларды есептеу формуласын қолданайық. Содан кейін n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , n → = cos α, cos β, cos γ болғандықтан, n → , O M → = n → · n p n → O M → түріндегі векторды табу өрнекін аламыз. · z және O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Жазудың координаталық түрі n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , содан кейін M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x түрінде болады. 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Теорема дәлелденді.

Осы жерден M 1 (x 1, y 1, z 1) нүктесінен χ жазықтығына дейінгі қашықтық cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 мәнін мына жерге ауыстыру арқылы есептелетінін көреміз. жазықтықтың нормаль теңдеуінің сол жағы x, y, z координаталарының орнына x 1, y 1 және z 1, М 1 нүктесіне қатысты, алынған мәннің абсолютті мәнін алып.

Координаталары бар нүктеден берілген жазықтыққа дейінгі қашықтықты табу мысалдарын қарастырайық.

1-мысал

Координаталары M 1 (5, - 3, 10) нүктеден 2 x - y + 5 z - 3 = 0 жазықтығына дейінгі қашықтықты есептеңдер.

Шешім

Мәселені екі жолмен шешейік.

Бірінші әдіс а түзуінің бағыт векторын есептеуден басталады. Шарт бойынша бізде берілген 2 x - y + 5 z - 3 = 0 теңдеуі жалпы жазық теңдеу, ал n → = (2, - 1, 5) берілген жазықтықтың нормаль векторы болып табылады. Ол берілген жазықтыққа перпендикуляр а түзуінің бағыт векторы ретінде қолданылады. Координаталары 2, - 1, 5 болатын бағыт векторы бар М 1 (5, - 3, 10) арқылы өтетін кеңістіктегі түзудің канондық теңдеуін жазу керек.

Теңдеу x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 болады.

Қиылысу нүктелерін анықтау керек. Мұны істеу үшін, канондық екі қиылысатын түзудің теңдеулеріне өту үшін теңдеулерді жүйеге ақырын біріктіріңіз. Осы нүктені H 1 деп алайық. Біз мұны түсінеміз

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Осыдан кейін жүйені қосу керек

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Гаусс жүйесінің шешу ережесіне көшейік:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Біз H 1 (1, - 1, 0) аламыз.

Берілген нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты есептейміз. Біз M 1 (5, - 3, 10) және H 1 (1, - 1, 0) нүктелерін алып, аламыз.

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Екінші шешім - алдымен берілген 2 x - y + 5 z - 3 = 0 теңдеуін қалыпты түрге келтіру. Нормалдау коэффициентін анықтаймыз және 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 аламыз. Осыдан 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 жазықтықтың теңдеуін аламыз. Теңдеудің сол жағы x = 5, y = - 3, z = 10 орнына қою арқылы есептеледі және M 1 (5, - 3, 10) пен 2 x - y + 5 z - қашықтықты алу керек. 3 = 0 модуль. Біз өрнекті аламыз:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Жауабы: 2 30.

χ жазықтығы жазықтықты көрсету әдістері бөліміндегі әдістердің бірімен көрсетілгенде, алдымен χ жазықтығының теңдеуін алу керек және кез келген әдіспен қажетті қашықтықты есептеу керек.

2-мысал

Үш өлшемді кеңістікте координаталары M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) нүктелері көрсетілген. М 1-ден А В С жазықтығына дейінгі қашықтықты есептеңдер.

Шешім

Алдымен M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( координаталарымен берілген үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазу керек. 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Бұдан шығатыны, мәселенің алдыңғыға ұқсас шешімі бар. Бұл М 1 нүктесінен А В С жазықтығына дейінгі қашықтықтың 2 30 мәні бар екенін білдіреді.

Жауабы: 2 30.

Жазықтықтағы берілген нүктеден немесе олар параллель орналасқан жазықтыққа дейінгі қашықтықты табу M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p формуласын қолдану арқылы ыңғайлырақ. . Бұдан жазықтықтардың нормаль теңдеулері бірнеше қадаммен алынатынын аламыз.

3-мысал

Координаталары M 1 (- 3, 2, - 7) берілген нүктеден O x y z координаталық жазықтығына және 2 у - 5 = 0 теңдеуімен берілген жазықтыққа дейінгі қашықтықты табыңыз.

Шешім

O y z координаталық жазықтығы х = 0 түріндегі теңдеуге сәйкес келеді. O y z жазықтығы үшін бұл қалыпты жағдай. Сондықтан өрнектің сол жағына x = - 3 мәндерін қойып, координаталары M 1 (- 3, 2, - 7) нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықтың абсолютті мәнін алу керек. Біз - 3 = 3-ке тең мән аламыз.

Түрлендіруден кейін 2 y - 5 = 0 жазықтықтың нормаль теңдеуі у - 5 2 = 0 түрінде болады. Сонда координаталары M 1 (- 3, 2, - 7) нүктеден 2 у - 5 = 0 жазықтығына қажетті қашықтықты табуға болады. Ауыстыратын және есептейтін болсақ, біз 2 - 5 2 = 5 2 - 2 аламыз.

Жауап:М 1 (- 3, 2, - 7)-ден O y z-ге дейінгі қажетті қашықтық 3 мәніне, ал 2 у - 5 = 0-ге дейін 5 2 - 2 мәніне ие.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Бұл мақалада біз нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты анықтаймыз және үш өлшемді кеңістікте берілген нүктеден берілген жазықтыққа дейінгі қашықтықты табуға мүмкіндік беретін координаталық әдісті талдаймыз. Теорияны ұсынғаннан кейін біз бірнеше типтік мысалдар мен есептердің шешімдерін егжей-тегжейлі талдаймыз.

Бетті шарлау.

Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық – анықтама.

Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық арқылы анықталады, оның бірі – берілген нүкте, екіншісі – берілген нүктенің берілген жазықтыққа проекциясы.

Үш өлшемді кеңістікте M 1 нүктесі мен жазықтық берілсін. Жазықтыққа перпендикуляр M1 нүктесі арқылы а түзуін жүргізейік. Түзу а мен жазықтықтың қиылысу нүктесін H 1 деп белгілейік. M 1 H 1 сегменті деп аталады перпендикуляр, М 1 нүктесінен жазықтыққа түсірілген және Н 1 нүктесі – перпендикуляр негізі.

Анықтама.

берілген нүктеден берілген нүктеден берілген жазықтыққа жүргізілген перпендикуляр табанына дейінгі қашықтық.

Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықтың ең көп тараған анықтамасы келесідей.

Анықтама.

Осылай анықталған М 1 нүктесінен жазықтыққа дейінгі қашықтық берілген М 1 нүктесінен жазықтықтың кез келген нүктесіне дейінгі қашықтықтардың ең кішісі екенін ескеру қажет. Шынында да, H 2 нүктесі жазықтықта жатсын және Н 1 нүктесінен өзгеше болсын. Әлбетте, M 2 H 1 H 2 үшбұрышы тік бұрышты, ондағы M 1 H 1 катет, ал M 1 H 2 - гипотенуза, сондықтан . Айтпақшы, M 1 H 2 сегменті деп аталады бейімМ 1 нүктесінен жазықтыққа түсірілген. Сонымен, берілген нүктеден берілген жазықтыққа жүргізілген перпендикуляр әрқашан сол нүктеден берілген жазықтыққа жүргізілген көлбеуден кіші болады.

Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық – теория, мысалдар, шешімдер.

Кейбір геометриялық есептер шешудің кейбір сатысында нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табуды талап етеді. Бұл әдіс бастапқы деректерге байланысты таңдалады. Әдетте нәтижеге Пифагор теоремасын немесе үшбұрыштардың теңдігі мен ұқсастық белгілерін қолдану арқылы қол жеткізіледі. Үш өлшемді кеңістікте берілген нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табу керек болса, онда координаталық әдіс көмекке келеді. Мақаланың осы тармағында біз оны талдаймыз.

Алдымен мәселенің шартын тұжырымдап алайық.

Үш өлшемді кеңістіктегі Oxyz тікбұрышты координаталар жүйесінде нүкте берілген , жазықтық және М 1 нүктесінен жазықтыққа дейінгі қашықтықты табу керек.

Бұл мәселені шешудің екі жолын қарастырайық. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты есептеуге мүмкіндік беретін бірінші әдіс H 1 нүктесінің координаталарын - М 1 нүктесінен жазықтыққа түсірілген перпендикуляр негізін табуға, содан кейін нүктелер арасындағы қашықтықты есептеуге негізделген. M 1 және H 1. Берілген нүктеден берілген жазықтыққа дейінгі қашықтықты табудың екінші жолы берілген жазықтықтың қалыпты теңдеуін қолдануды қамтиды.

Нүктеден қашықтықты есептеуге мүмкіндік беретін бірінші әдіс ұшаққа.

М 1 нүктесінен жазықтыққа жүргізілген перпендикулярдың табаны H 1 болсын. Егер Н 1 нүктесінің координаталарын анықтасақ, онда М 1 нүктесінен жазықтыққа дейінгі қажетті қашықтықты нүктелер арасындағы қашықтық ретінде есептеуге болады. Және формула бойынша. Осылайша, H 1 нүктесінің координаталарын табу қалады.

Сонымен, нүктеден қашықтықты табу алгоритмі ұшаққаКелесі:

Нүктеден қашықтықты табу үшін қолайлы екінші әдіс ұшаққа.

Oxyz тікбұрышты координаталар жүйесінде бізге жазықтық берілгендіктен, жазықтықтың қалыпты теңдеуін түрінде алуға болады. Содан кейін нүктеден қашықтық жазықтыққа дейін формула бойынша есептеледі. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табу үшін берілген формуланың дұрыстығы келесі теорема арқылы белгіленеді.

Теорема.

Тік бұрышты координаталар жүйесі Oxyz үш өлшемді кеңістікте бекітіліп, нүкте берілсін. және пішіннің қалыпты жазық теңдеуі. М 1 нүктесінен жазықтыққа дейінгі қашықтық жазықтықтың нормаль теңдеуінің сол жағындағы өрнектің абсолютті мәніне тең, -де есептелген, яғни.

Дәлелдеу.

Бұл теореманың дәлелі нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты табу бөлімінде келтірілген ұқсас теореманың дәлеліне абсолютті ұқсас.

М 1 нүктесінен жазықтыққа дейінгі қашықтық M 1 сандық проекциясы мен координат басынан жазықтыққа дейінгі қашықтықтың айырмасының модуліне тең екенін көрсету оңай, яғни , Қайда - жазықтықтың нормаль векторы, бірге тең, - вектормен анықталатын бағытқа.

Және анықтамасы бойынша тең, ал координаталық түрде. Сондықтан бұл дәлелдеуді қажет етті.

Осылайша, нүктеден қашықтығы жазықтыққа М 1 нүктесінің x 1, y 1 және z 1 координаталарын жазықтықтың қалыпты теңдеуінің сол жағына x, y және z орнына қойып, алынған мәннің абсолюттік мәнін алу арқылы есептеуге болады. .

Нүктеден қашықтықты табуға мысалдар ұшаққа.

Мысал.

Нүктеден қашықтықты табыңыз ұшаққа.

Шешім.

Бірінші жол.

Есептің қойылымында бізге түрінің жалпы жазық теңдеуі берілген, одан мынаны көруге болады бұл жазықтықтың нормаль векторы. Бұл векторды берілген жазықтыққа перпендикуляр түзудің бағыт векторы ретінде алуға болады. Сонда нүкте арқылы өтетін кеңістіктегі түзудің канондық теңдеулерін жаза аламыз және координаталары бар бағыт векторы бар, олар келесідей көрінеді.

Түзудің қиылысу нүктесінің координаталарын табуды бастайық және ұшақтар. Оны H 1 деп белгілейік. Ол үшін алдымен түзудің канондық теңдеулерінен қиылысатын екі жазықтықтың теңдеулеріне көшуді орындаймыз:

Енді теңдеулер жүйесін шешейік (қажет болса, мақаланы қараңыз). Біз қолданамыз:

Осылайша, .

Берілген нүктеден берілген жазықтыққа дейінгі қажетті қашықтықты нүктелер арасындағы қашықтық ретінде есептеу қалады Және :
.

Екінші шешім.

Берілген жазықтықтың нормаль теңдеуін аламыз. Ол үшін жазықтықтың жалпы теңдеуін қалыпты түрге келтіру керек. Нормалдаушы факторды анықтап , жазықтықтың нормаль теңдеуін аламыз . Алынған теңдеудің сол жағының мәнін есептеу қалады және алынған мәннің модулін алыңыз - бұл нүктеден қажетті қашықтықты береді ұшаққа:

Сондықтан мен осы бетте бірдеңе оқыдым (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

D = - D3DXVec3Dot(&vP1, &vҚалыпты);

мұндағы vP1 - жазықтықтағы нүкте, ал vНормал - жазықтықтың нормальі. Бұл сізге әлемнің басынан бастап қашықтықты қалай беретіні мені қызықтырады, өйткені нәтиже әрқашан 0 болады. Сондай-ақ, түсінікті болу үшін (жазық теңдеудің D бөлігінде әлі де аздап анық емеспін) d жазық теңдеуінде жазықтықтың басына дейінгі әлемнің басына дейінгі түзуден қашықтық?

математика

3 Жауап

Жалпы алғанда, p нүктесі мен жазықтық арасындағы қашықтықты формула арқылы есептеуге болады

Қайда -нүктелік өнімнің жұмысы

= ax*bx + ay*by + az*bz

және мұндағы p0 – жазықтықтағы нүкте.

Егер n бірлік ұзындығына ие болса, онда вектор мен оның арасындағы нүктенің көбейтіндісі вектордың Қалыптыға проекциясының (таңбаланған) ұзындығы болады.

Сіз хабарлаған формула тек p нүктесі бастапқы болған кездегі ерекше жағдай болып табылады. Бұл жағдайда

Қашықтық = = -

Бұл теңдік формальды түрде дұрыс емес, себебі нүкте туындысы нүктелерге емес, векторларға қатысты... бірақ ол әлі де сандық түрде сақталады. Ашық формуланы жазу арқылы сіз мұны аласыз

(0 - p0.x)*n.x + (0 - p0.y)*n.y + (0 - p0.z)*n.z

ол бірдей

- (p0.x*n.x + p0.y*n.y + p0.z*n.z)

Нәтиже әрқашан нөлге тең бола бермейді. Егер жазықтық координат басынан өткенде ғана нәтиже нөлге тең болады. (Мұнда ұшақ координат басынан өтпейді делік.)

Негізінде, сізге басынан бастап жазықтықтың қандай да бір нүктесіне дейінгі сызық беріледі. (Яғни, сізде бастапқыдан vP1-ге дейінгі вектор бар). Бұл векторға қатысты мәселе оның еңкейіп, жазықтықтағы ең жақын нүктеге емес, жазықтықта қандай да бір алыс жерге бағыт алуында. Сондықтан, егер сіз жай ғана vP1 ұзындығын алсаңыз, тым көп қашықтыққа ие боласыз.

Сізге не істеу керек - жазықтыққа перпендикуляр екенін білетін кейбір векторға vP1 проекциясын алу. Бұл, әрине, vNormal. Сонымен, vP1 және vNormal нүктелерінің көбейтіндісін алыңыз және оны vNormal ұзындығына бөліңіз, сонда сіз өз жауабыңызды аласыз. (Егер олар сізге vNormal беруге жеткілікті мейірімді болса, ол қазірдің өзінде бір мән болып табылады, онда бөлудің қажеті жоқ.)

Бұл мәселені Лагранж көбейткіштері арқылы шешуге болады:

Ұшақтың ең жақын нүктесі келесідей болуы керек екенін білесіз:

C = p + v

Мұндағы c - ең жақын нүкте және v - жазықтық бойындағы вектор (осылайша ол n-ге нормальға ортогональ). Сіз ең кіші нормамен (немесе норма квадратымен) c табуға тырысасыз. Сонымен, v мәні n-ге ортогональ болатынын ескере отырып, нүктені (c,c) азайтуға тырысасыз (осылайша нүкте (v, n) = 0).

Осылайша, Лагранжды орнатыңыз:

L = нүкте(c,c) + лямбда * (нүкте(v,n)) L = нүкте(p+v,p+v) + ламбда * (нүкте(v,n)) L = нүкте(p,p) + 2*нүкте(p,v) + нүкте(v,v) * лямбда * (нүкте(v,n))

Және алу үшін v-ге қатысты туындыны алыңыз (және 0-ге орнатыңыз):

2 * p + 2 * v + лямбда * n = 0

Жоғарыдағы теңдеудегі ламбда үшін нүкте қойып, екі жағын n-ге көбейту арқылы шешуге болады.

2 * нүкте(p,n) + 2 * нүкте(v,n) + лямбда * нүкте(n,n) = 0 2 * нүкте(p,n) + ламбда = 0 ламбда = - 2 * нүкте(p,n) )

Тағы да назар аударыңыз, нүкте(n,n) = 1 және нүкте(v,n) = 0 (өйткені v жазықтықта және n оған ортогональ). Содан кейін алмастырғыш ламбда өндіру үшін қайтарылады:

2 * p + 2 * v - 2 * нүкте(p,n) * n = 0

және алу үшін v үшін шешіңіз:

V = нүкте(p,n) * n - p

Содан кейін оны алу үшін c = p + v ішіне қайта қосыңыз:

C = нүкте(p,n) * n

Бұл вектордың ұзындығы |нүкте(p,n)| , ал таңба нүктенің координат басынан қалыпты вектордың бағытында немесе координат басынан қарсы бағытта екенін көрсетеді.

жазықтықтың теңдеуін қолданып, жазықтықтан басына дейінгі ең қысқа қашықтық

Менде ax+by+cz=d жазықтық теңдеуі бар делік, жазықтықтан координаторға дейінгі ең қысқа қашықтықты қалай табуға болады? Мен бұл постқа қарама-қарсы бағытта жүрмін. Бұл постта олар...

Kinect-тен алынған тереңдік кескіні бастапқы нүктеге дейінгі қашықтықты немесе XY жазықтығына дейінгі қашықтықты көрсете ме?

Kinect (0,0,0) отырды және +Z бағытына қарап тұр делік. (1, 1, 1) нүктеде нысан бар делік және Kinect-тен алынған тереңдіктегі кескіндегі пикселдердің бірі сол нысанды білдіреді....

Бастапқы нүктеден кеңістіктегі нүктеге дейінгі қашықтық

Мен бастапқы нүктеден қашықтықты екі координаты бар деректер кадры арқылы нүктелер берілген барлық нүктелерге теңестіргім келеді. Менде барлық ұпайлар бар: x y 1 0,0 0,0 2 -4,0 -2,8 3 -7,0 -6,5 4 -9,0 -11,1...

сфералық координаттар – жазықтыққа дейінгі қашықтық

Анықтамалық ақпарат Мұнда көрсетілгенге ұқсас сфералық координаттар жүйесін қарастырыңыз: Координаттар жүйесі http://www.shokhirev.com/nikolai/projects/global/image013.gif Нақты нүкте үшін біз...

Перспективалық проекция үшін жақын қысқыш жазықтықтың қашықтығын әдістемелік түрде қалай таңдауға болады?

Менде 3D көрініс және gluPerspective арқылы анықталған камера бар. Менде бекітілген FOV бар және мен кез келген геометрияның камераға дейінгі ең аз қашықтығын білемін (бұл бірінші адамның көзқарасы, сондықтан ол...

3D-де нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты қалай алуға болады?

Менде A, B, C нүктелері және кеңістікте (P) нүктесі бар үшбұрыш бар. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты қалай алуға болады? Мен P-тен ұшаққа дейінгі қашықтықты есептеуім керек, тіпті менің...

CG нүктесін бұру бастапқы нүктеден қашықтықты өзгертеді

Мен CGPoint (қызыл тіктөртбұрыш) басқа CGPoint (көк төртбұрыш) айналасында бұрғым келеді, бірақ ол бастапқы нүктеден (көк төртбұрыш) қашықтықты өзгертеді... бұрышта 270 бергенде ол жасайды...

Жазықтық центр X, Y, Z, декарттық координаталарды алыңыз

Маған X, Y, Z жазықтықтың центрін, декарттық координаталарды алу керек. Менде жазықтықтың Қалыпты мәні және оның центрлік нүктеден басына дейінгі қашықтық бар. Мен нүкте(лерді) кез келген жерге қоя аламын және...

нүктеден белгілі бір бағыттағы жазықтыққа дейінгі қашықтық

Берілген: нүкте (x1, y1, z1) бағыт векторы (a1, b1, c1) жазықтық ax + by + cz + d = 0 Осы вектор бойымен нүктеден жазықтыққа дейінгі D қашықтықты қалай табуға болады? Рақмет сізге

Жазықтықты басқа координаталар жүйесіне түрлендіру

Менде айналу матрицасы R және әлемдік координаттар жүйесіне қатысты аударма T арқылы анықталған камера координаталар жүйесі бар. Жазықтық камера координатасында нормаль N және ондағы P нүктесі арқылы анықталады....