Жай бөлшектерді бөлу: ережелер, мысалдар, шешімдер. Бөлшектер

Бөлшектерді қоса алғанда, сіз бәрін жасай аласыз. Бұл мақалада бөлу көрсетілген жай бөлшектер. Анықтамалар беріліп, мысалдар талқыланады. Бөлшектерді натурал сандарға және керісінше бөлуге егжей-тегжейлі тоқталайық. Жай бөлшекті аралас санға бөлу талқыланады.

Бөлшектерді бөлу

Бөлу - көбейтуге кері. Бөлу кезінде белгісіз фактор табылады атақты шығармажәне басқа фактор, мұнда оның берілген мағынасы жай бөлшектермен сақталады.

Егер a b жай бөлігін c d бөлу қажет болса, онда мұндай санды анықтау үшін бөлгіш c d көбейту керек, бұл ең соңында a b дивидендін береді. Санды алып, оны жазайық a b · d c , мұндағы d c - c d санына кері сан. Теңдіктерді көбейтудің қасиеттерін пайдалана отырып жазуға болады, атап айтқанда: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, мұндағы a b · d c өрнегі a b-ны с d-ге бөлудің бөлімі.

Осы жерден жай бөлшектерді бөлу ережесін аламыз және тұжырымдаймыз:

Анықтама 1

Жай бөлшекті a b-ға c d бөлу үшін дивидендті бөлгіштің кері бөлігіне көбейту керек.

Ережені өрнек түрінде жазайық: a b: c d = a b · d c

Бөлу ережелері көбейтуге дейін жетеді. Оны ұстану үшін сіз бөлшектерді көбейтуді жақсы түсінуіңіз керек.

Жай бөлшектерді бөлуді қарастыруға көшейік.

1-мысал

9 7 санын 5 3-ке бөліңіз. Нәтижені бөлшек түрінде жаз.

Шешім

5 3 саны 3 5 кері бөлшек. Жай бөлшектерді бөлу ережесін қолдану қажет. Бұл өрнекті былай жазамыз: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Жауап: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Бөлшектерді азайту кезінде алым азайтқыштан үлкен болса, бүтін бөлікті ажыратыңыз.

2-мысал

8 15-ке бөліңіз: 24 65. Жауабын бөлшек түрінде жаз.

Шешім

Шешу үшін бөлуден көбейтуге көшу керек. Оны мына түрде жазайық: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Қысқартуды жасау керек және ол келесідей орындалады: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Бүкіл бөлікті таңдап, 13 9 = 1 4 9 алыңыз.

Жауап: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Төтенше бөлшекті натурал санға бөлу

Біз бөлшекті бөлу ережесін қолданамыз натурал сан: a b-ны n натурал санына бөлу үшін азайғышты n-ге көбейту керек. Осыдан мына өрнекті аламыз: a b: n = a b · n.

Бөлу ережесі - көбейту ережесінің салдары. Сондықтан натурал санды бөлшек түрінде көрсету осы түрдегі теңдік береді: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Бөлшекті санға бөлуді қарастырайық.

3-мысал

16 45 бөлігін 12 санына бөл.

Шешім

Бөлшекті санға бөлу ережесін қолданайық. 16 45: 12 = 16 45 · 12 түріндегі өрнекті аламыз.

Бөлшекті азайтайық. Біз 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 аламыз.

Жауап: 16 45: 12 = 4 135 .

Натурал санды бөлшекке бөлу

Бөлу ережесі ұқсас Онатурал санды жай бөлшекке бөлу ережесі: натурал n санын жай a b бөліміне бөлу үшін n санын a b бөліміне кері көбейту керек.

Ережеге сүйене отырып, бізде n болады: a b = n · b a және натурал санды жай бөлшекке көбейту ережесінің арқасында n түрінде өрнек аламыз: a b = n · b a. Бұл бөлуді мысалмен қарастыру қажет.

4-мысал

25-ті 15-ке бөліңіз 28.

Шешім

Біз бөлуден көбейтуге көшуіміз керек. Оны 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 өрнегі түрінде жазайық. Бөлшекті азайтып, нәтижесін 46 2 3 бөлшек түрінде алайық.

Жауап: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Бөлшекті аралас санға бөлу

Жай бөлшекті аралас санға бөлгенде, жай бөлшектерді оңай бөлуге болады. Аралас санды бұрыс бөлшекке айналдыру керек.

5-мысал

35 16 бөлігін 3 1 8-ге бөліңіз.

Шешім

3 1 8 аралас сан болғандықтан, оны бұрыс бөлшек түрінде көрсетейік. Сонда біз 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 аламыз. Енді бөлшектерді бөлейік. Біз 35 16 аламыз: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Жауап: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Аралас санды бөлу жай сандар сияқты орындалады.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Бөлшектерді көбейту және бөлу.

Назар аударыңыз!
Қосымша бар
555 арнайы бөлімдегі материалдар.
Өте «өте емес...» дегендер үшін
Ал «өте...» дегендер үшін)

Бұл операция қосу-алуға қарағанда әлдеқайда жақсы! Өйткені бұл оңайырақ. Еске сала кетейік, бөлшекті бөлшекке көбейту үшін алымдарды (бұл нәтиженің алымы болады) және бөлгіштерді (бұл бөлгіш болады) көбейту керек. Яғни:

Мысалы:

Барлығы өте қарапайым. Және ортақ бөлгіш іздемеуіңізді өтінемін! Бұл жерде оның керегі жоқ...

Бөлшекті бөлшекке бөлу үшін кері бұру керек екінші(бұл маңызды!) бөлшек және оларды көбейтіңіз, яғни:

Мысалы:

Егер сіз бүтін және бөлшек сандармен көбейту немесе бөлуді кездестірсеңіз, бәрібір. Қосу сияқты, бөлгіште бір бар натурал саннан бөлшек жасаймыз - және алға! Мысалы:

Орта мектепте жиі үш қабатты (немесе тіпті төрт қабатты!) Бөлшектермен күресуге тура келеді. Мысалы:

Бұл бөлшекті қалай лайықты етіп көрсетуге болады? Иә, өте қарапайым! Екі нүктелік бөлуді қолданыңыз:

Бірақ бөлу тәртібі туралы ұмытпаңыз! Көбейтуден айырмашылығы, бұл жерде бұл өте маңызды! Әрине, 4:2 немесе 2:4-ті шатастырмаймыз. Бірақ үш қабатты бөлшекте қателесу оңай. Мысалы, ескеріңіз:

Бірінші жағдайда (сол жақтағы өрнек):

Екіншісінде (оң жақтағы өрнек):

Сіз айырмашылықты сезінесіз бе? 4 және 1/9!

Бөлу ретін не анықтайды? Жақшалармен немесе (мұнда сияқты) көлденең сызықтардың ұзындығымен. Көзіңізді дамытыңыз. Ал егер жақшалар немесе сызықшалар болмаса, мысалы:

содан кейін бөлу және көбейту ретімен, солдан оңға қарай!

Және тағы бір өте қарапайым және маңызды техника. Дәрежелері бар әрекеттерде бұл сізге өте пайдалы болады! Бірді кез келген бөлшекке бөлейік, мысалы, 13/15:

Оқ аударылды! Және бұл әрқашан болады. 1-ді кез келген бөлшекке бөлгенде, нәтиже бірдей бөлшек болады, тек төңкерілген.

Бөлшектермен операцияларға арналған. Бұл өте қарапайым, бірақ ол жеткілікті қателер береді. Ескерту практикалық кеңес, және олардың (қателер) аз болады!

Практикалық кеңестер:

1. Бөлшек өрнектермен жұмыс жасауда ең бастысы – дәлдік пен ұқыптылық! Бұл жалпы сөздер емес, жақсы тілектер емес! Бұл өте қажеттілік! Бірыңғай мемлекеттік емтихандағы барлық есептеулерді толыққанды, мақсатты және түсінікті тапсырма ретінде жасаңыз. Ойша есептеулер жасағанда шатасудан гөрі жобаңызға қосымша екі жолды жазған дұрыс.

2. бар мысалдарда әртүрлі түрлерібөлшек – жай бөлшектерге өту.

3. Барлық бөлшектерді тоқтағанша азайтамыз.

4. Көпдеңгейлі бөлшек өрнектерді екі нүкте арқылы бөлу арқылы жай өрнектерге келтіреміз (бөлу ретін сақтаймыз!).

5. Бөлшекті жай ғана төңкеріп, басыңыздағы бірлікті бөлшекке бөліңіз.

Міне, сіз міндетті түрде орындауыңыз керек тапсырмалар. Барлық тапсырмалардан кейін жауаптар беріледі. Осы тақырып бойынша материалдарды және практикалық кеңестерді пайдаланыңыз. Қанша мысалды дұрыс шеше алғаныңызды есептеңіз. Бірінші реттен! Калькуляторсыз! Және дұрыс қорытынды жасаңыз...

Есіңізде болсын - дұрыс жауап екінші (әсіресе үшінші) уақыттан алынғандар есепке алынбайды!Қатал өмір осындай.

Сонымен, емтихан режимінде шешу ! Айтпақшы, бұл Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық. Мысалды шешеміз, тексереміз, келесісін шешеміз. Біз бәрін шештік - біріншіден соңғысына дейін қайтадан тексердік. Бірақ тек Содан кейінжауаптарды қараңыз.

Есептеу:

Сіз шештіңіз бе?

Біз сізге сәйкес келетін жауаптарды іздейміз. Мен оларды әдейі ретсіз, азғырудан аулақ, былайша айтқанда, жазып қойдым... Міне, нүктелі үтірмен жазылған жауаптар.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Енді біз қорытынды жасаймыз. Егер бәрі ойдағыдай болса, мен сен үшін қуаныштымын! Бөлшектермен негізгі есептеулер сіздің мәселеңіз емес! Сіз одан да маңызды нәрселер жасай аласыз. Егер жоқ...

Сондықтан сізде екі мәселенің бірі бар. Немесе екеуі де бірден.) Білімсіздік және (немесе) зейінсіздік. Бірақ бұл шешілетін Мәселелер.

Егер сізге бұл сайт ұнаса...

Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)

Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге ​​болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Үйренейік - қызығушылықпен!)

Функциялармен және туындылармен танысуға болады.

Өткен жолы біз бөлшектерді қосу және азайтуды үйрендік («Бөлшектерді қосу және азайту» сабағын қараңыз). Бұл әрекеттердің ең қиын бөлігі бөлшектерді ортақ бөлгішке келтіру болды.

Енді көбейту мен бөлумен айналысатын кез келді. Жақсы жаңалық мынада, бұл амалдар қосу және азайтудан да оңайырақ. Алдымен, бөлінген бүтін бөлігі жоқ екі оң бөлшек болатын қарапайым жағдайды қарастырайық.

Екі бөлшекті көбейту үшін олардың алымдары мен бөлгіштерін бөлек көбейту керек. Бірінші сан жаңа бөлшектің алымы болады, ал екіншісі азайғыш болады.

Екі бөлшекті бөлу үшін бірінші бөлшекті «инверттелген» екінші бөлшекке көбейту керек.

Белгіленуі:

Анықтамадан бөлшектерді бөлу көбейтуге дейін азайтатыны шығады. Бөлшекті «аудару» үшін алым мен бөлгішті ауыстырыңыз. Сондықтан сабақ бойы біз негізінен көбейтуді қарастырамыз.

Көбейту нәтижесінде азайтылатын бөлшек пайда болуы мүмкін (және жиі пайда болады) - оны, әрине, азайту керек. Егер барлық қысқартулардан кейін бөлшек дұрыс емес болып шықса, бүкіл бөлікті бөлектеу керек. Бірақ көбейту кезінде міндетті түрде болмайтын нәрсе - ортақ бөлгішке келтіру: айқаспалы әдістер жоқ, ең үлкен факторлар және ең аз ортақ еселіктер.

Анықтама бойынша бізде:

Бөлшектерді бүтін бөлшектермен және теріс бөлшектермен көбейту

Бөлшектерде бүтін бөлік болса, оларды дұрыс емес бөліктерге айналдыру керек - содан кейін ғана жоғарыда көрсетілген схемаларға сәйкес көбейтіледі.

Бөлшектің алымында, бөлгішінде немесе оның алдында минус болса, оны келесі ережелер бойынша көбейтуден шығаруға немесе толығымен алып тастауға болады:

1. Плюс минус минус береді;
2. Екі болымсыз септік растайды.

Осы уақытқа дейін бұл ережелер теріс бөлшектерді қосу және азайту кезінде, толық бөліктен құтылу қажет болғанда ғана кездесті. Жұмыс үшін оларды бірден бірнеше кемшіліктерді «жағу» үшін жалпылауға болады:

1. Терістерді толық жоғалғанша жұппен сызып тастаймыз. Төтенше жағдайларда бір минус аман қалуы мүмкін - жұбайы болмаған;
2. Егер минус қалмаса, операция аяқталды - көбейтуді бастауға болады. Егер жұп болмағандықтан соңғы минус сызылмаса, біз оны көбейту шегінен шығарамыз. Нәтиже теріс бөлшек.

Тапсырма. Өрнектің мағынасын табыңыз:

Біз барлық бөлшектерді бұрыс бөлшектерге айналдырамыз, содан кейін көбейтуден минустарды аламыз. Қалғанын кәдімгі ережелер бойынша көбейтеміз. Біз алып жатырмыз:

Бөлектелген бүтін бөлігі бар бөлшектің алдында пайда болатын минус оның бүкіл бөлігіне ғана емес, нақты бөлшекке қатысты екенін тағы бір рет еске сала кетейін (бұл соңғы екі мысалға қатысты).

Теріс сандарға да назар аударыңыз: көбейту кезінде олар жақшаға алынады. Бұл көбейту белгілерінен минустарды ажырату және бүкіл жазуды дәлірек ету үшін жасалады.

Бөлшектерді жылдам азайту

Көбейту өте көп еңбекті қажет ететін операция. Мұндағы сандар өте үлкен болып шықты және мәселені жеңілдету үшін бөлшекті одан әрі азайтуға болады. көбейту алдында. Шынында да, бөлшектің алымдары мен бөлгіштері жай көбейткіштер болып табылады, сондықтан оларды бөлшектің негізгі қасиетін пайдаланып азайтуға болады. Мысалдарға назар аударыңыз:

Тапсырма. Өрнектің мағынасын табыңыз:

Анықтама бойынша бізде:

Барлық мысалдарда қысқартылған сандар және олардың қалғандары қызыл түспен белгіленген.

Назар аударыңыз: бірінші жағдайда көбейткіштер толығымен азайтылды. Олардың орнында, жалпы айтқанда, жазуды қажет етпейтін бірліктер қалады. Екінші мысалда толық қысқартуға қол жеткізу мүмкін болмады, бірақ есептеулердің жалпы сомасы әлі де азайды.

Дегенмен, бөлшектерді қосу және азайту кезінде бұл әдісті ешқашан қолданбаңыз! Иә, кейде сіз жай ғана азайтқыңыз келетін ұқсас сандар бар. Міне, қараңыз:

Сіз мұны істей алмайсыз!

Қате пайда болады, себебі қосу кезінде бөлшектің алымы сандардың көбейтіндісін емес, қосынды шығарады. Демек, бөлшектің негізгі қасиетін қолдану мүмкін емес, өйткені бұл қасиет нақты сандарды көбейтумен айналысады.

Бөлшектерді азайтудың басқа себептері жоқ, сондықтан алдыңғы есептің дұрыс шешімі келесідей:

Дұрыс шешім:

Көріп отырғаныңыздай, дұрыс жауап соншалықты әдемі емес болып шықты. Жалпы, сақ болыңыз.

Бөлшек бүтіннің бір немесе бірнеше бөлігі болып табылады, әдетте бір (1) болып қабылданады. Натурал сандар сияқты, бөлшектермен де барлық негізгі арифметикалық амалдарды (қосу, алу, бөлу, көбейту) орындауға болады, ол үшін бөлшектермен жұмыс істеу ерекшеліктерін білу және олардың түрлерін ажырату қажет. Бөлшектердің бірнеше түрі бар: ондық және жай, немесе жай. Бөлшектердің әрбір түрінің өзіндік ерекшеліктері бар, бірақ сіз оларды қалай өңдеу керектігін жақсы түсінгеннен кейін, сіз бөлшектермен кез келген мысалдарды шеше аласыз, өйткені сіз бөлшектермен арифметикалық есептеулерді орындаудың негізгі принциптерін білесіз. Бөлшектердің әртүрлі түрлерін пайдаланып, бөлшекті бүтін санға бөлудің мысалдарын қарастырайық.

Жай бөлшекті натурал санға қалай бөлуге болады?
Жай немесе жай бөлшектер деп сандардың қатынасы түрінде жазылатын бөлшектерді айтады, оларда дивиденд (алым) бөлшектің жоғарғы жағында, ал бөлшектің бөлгіші (бөлгіші) төменгі жағында көрсетіледі. Мұндай бөлшекті натурал санға қалай бөлуге болады? Мысал қарастырайық! 8/12 бөлігін 2-ге бөлу керек делік.

Ол үшін біз бірқатар әрекеттерді орындауымыз керек:
Осылайша, егер біз бөлшекті бүтін санға бөлу міндетіне тап болсақ, шешім диаграммасы келесідей болады:

Сол сияқты кез келген жай (жай) бөлшекті бүтін санға бөлуге болады.

Ондық бөлшекті бүтін санға қалай бөлуге болады?
Ондық бөлшек - бірлікті онға, мыңға және т.б. бөліктерге бөлу арқылы алынатын бөлшек. Ондық бөлшектермен арифметикалық амалдар өте қарапайым.

Бөлшекті бүтін санға бөлудің мысалын қарастырайық. 0,925 ондық бөлшекті 5 натурал санына бөлу керек делік.

Қорытындылай келе, ондық бөлшектерді бүтін санға бөлу операциясын орындау кезінде маңызды екі негізгі ойға тоқталайық:

• бөлу үшін ондықНатурал сан үшін бағанды ​​бөлу қолданылады;
  
• Дивидендтің барлық бөлігін бөлу аяқталған кезде үтір бөлікке қойылады.
  

Осы қарапайым ережелерді қолдану арқылы кез келген ондық немесе ондық бөлшекті оңай бөлуге болады жай бөлшекбүтін сан арқылы.

) және бөлгіш арқылы бөлгіш (көбейтіндінің азайғышын аламыз).

Бөлшектерді көбейту формуласы:

Мысалы:

Алымдар мен бөлгіштерді көбейтуді бастамас бұрын, бөлшекті азайтуға болатынын тексеру керек. Бөлшекті азайта алсаңыз, одан әрі есептеулер жасау оңайырақ болады.

Жай бөлшекті бөлшекке бөлу.

Натурал сандар қатысқан бөлшектерді бөлу.

Бұл көрінгендей қорқынышты емес. Қосу жағдайындағыдай, бүтін санды бөлгіште бір бар бөлшекке айналдырамыз. Мысалы:

Аралас бөлшектерді көбейту.

Бөлшектерді (аралас) көбейту ережелері:

• аралас бөлшектерді бұрыс бөлшекке айналдыру;
• бөлшектің алымы мен бөлімін көбейту;
• бөлшекті азайту;
• Егер сіз бұрыс бөлшек алсаңыз, онда бұрыс бөлшекті аралас бөлшекке айналдырамыз.

Назар аударыңыз!Аралас бөлшекті басқа аралас бөлшекке көбейту үшін алдымен оларды бұрыс бөлшек түріне айналдыру керек, содан кейін жай бөлшектерді көбейту ережесі бойынша көбейту керек.

Бөлшекті натурал санға көбейтудің екінші жолы.

Жай бөлшекті санға көбейтудің екінші әдісін қолдану ыңғайлырақ болуы мүмкін.

Назар аударыңыз!Бөлшекті натурал санға көбейту үшін бөлшектің бөлімін осы санға бөліп, алымын өзгеріссіз қалдыру керек.

Жоғарыда келтірілген мысалдан бұл опцияны бөлшектің бөлімін натурал санға қалдықсыз бөлгенде қолдану ыңғайлырақ екені анық.

Көп қабатты бөлшектер.

Орта мектепте үш қабатты (немесе одан да көп) фракциялар жиі кездеседі. Мысалы:

Мұндай бөлшекті әдеттегі пішінге келтіру үшін 2 нүктеге бөлуді пайдаланыңыз:

Назар аударыңыз!Бөлшектерді бөлу кезінде бөлу тәртібі өте маңызды. Сақ болыңыз, бұл жерде шатасу оңай.

Назар аударыңыз, Мысалы:

Бірді кез келген бөлшекке бөлгенде, нәтиже бірдей бөлшек болады, тек инверттелген:

Бөлшектерді көбейту және бөлу бойынша практикалық кеңестер:

1. Бөлшекті өрнектермен жұмыс жасауда ең бастысы – дәлдік пен зейінділік. Барлық есептеулерді мұқият және дәл, шоғырландырылған және анық жасаңыз. Ойша есептерде адасып кеткенше, жобаңызға қосымша бірнеше жол жазып алғаныңыз абзал.

2. Бөлшектердің әр түрі бар тапсырмаларда жай бөлшектің түріне өтіңіз.

3. Барлық бөлшектерді азайту мүмкін болмайынша азайтамыз.

4. Көп деңгейлі бөлшек өрнектерді 2 нүктеге бөлу арқылы жай өрнектерге айналдырамыз.

5. Бөлшекті жай ғана төңкеріп, басыңыздағы бірлікті бөлшекке бөліңіз.