Ықтималдық теориясында p a дегеніміз не. Ықтималдықтар теориясының және математикалық статистиканың негіздері

Анасы жақтауды жуды

Ұзақ уақыттың соңында жазғы демалыстарбаяу жоғары математикаға оралу және жаңа бөлім құруды бастау үшін бос Verdov файлын салтанатты түрде ашу уақыты келді - . Мойындаймын, бірінші жолдар оңай емес, бірақ бірінші қадам жарты жол, сондықтан мен барлығына кіріспе мақаланы мұқият оқып шығуды ұсынамын, содан кейін тақырыпты меңгеру 2 есе оңайырақ болады! Мен мүлдем асыра айтқан жоқпын. …Келесі 1 қыркүйек қарсаңында бірінші сыныпты және праймерді есіме түсірдім…. Әріптерден буын, буыннан сөз, сөзден қысқа сөйлемдер - Мама жақтауды жуды. Турвер мен математикалық статистиканы меңгеру оқуды үйрену сияқты оңай! Дегенмен, бұл үшін негізгі терминдерді, ұғымдар мен белгілерді, сонымен қатар осы сабақтың тақырыбы болып табылатын кейбір нақты ережелерді білу қажет.

Бірақ алдымен құттықтауымды қабыл алыңыз (жалғасы, аяқталуы, сәйкесінше ескертіңіз) оқу жылыжәне сыйлықты қабыл алыңыз. Ең жақсы сыйлық - кітап, және үшін өзіндік жұмысМен келесі әдебиеттерді ұсынамын:

1) Гмурман В.Е. Ықтималдық теориясы және математикалық статистика

Аңызға айналған оқу құралы, ол оннан астам қайта басып шығарудан өтті. Ол өзінің түсініктілігімен және материалды өте қарапайым баяндауымен ерекшеленеді, ал бірінші тараулар 6-7 сынып оқушылары үшін толық қолжетімді деп ойлаймын.

2) Гмурман В.Е. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистикадағы есептерді шешуге арналған нұсқаулық

Сол Владимир Ефимовичтің егжей-тегжейлі мысалдары мен мәселелері бар шешім кітабы.

МІНДЕТТІекі кітапты интернеттен жүктеп алыңыз немесе олардың қағаз түпнұсқаларын алыңыз! 60-70-ші жылдардағы нұсқа да жұмыс істейді, бұл манекендерге жақсырақ. «Манекендерге арналған ықтималдық теориясы» деген сөз өте күлкілі болып көрінсе де, барлығы дерлік қарапайым біліммен шектеледі. арифметикалық амалдар. Алайда, олар кейбір жерлерде өткізіп жібереді туындыларЖәне интегралдар, бірақ бұл тек орындарда.

Мен презентацияның дәл осындай анықтығына қол жеткізуге тырысамын, бірақ менің курсымның бағытталғанын ескертемін Мәселені шешужәне теориялық есептеулер ең төменгі деңгейде сақталады. Осылайша, егжей-тегжейлі теория, теоремалардың дәлелдері (теорема-теоремалар!) қажет болса, оқулыққа жүгініңіз. Кім қалайды мәселелерді шешуге үйретуықтималдықтар теориясы мен математикалық статистикада мүмкіндігінше қысқа мерзімде, менің артымнан ер!

Бастау үшін бұл жеткілікті =)

Мақалаларды оқи отырып, қарастырылған түрлердің қосымша тапсырмаларымен (кем дегенде қысқаша) танысқан жөн. Бетінде Жоғары математикаға арналған дайын шешімдерШешім мысалдары бар сәйкес pdf файлдары орналастырылады. Сондай-ақ айтарлықтай көмек көрсетіледі IDZ 18.1 Рябушко(қарапайым) және Чудесенко жинағы бойынша ИДЗ шешілді(қиынырақ).

1) Сомаекі оқиға және оқиға болады деп аталады немесеоқиға немесеоқиға немесеекі оқиға бір уақытта. Оқиғалар болған жағдайда үйлесімсіз, соңғы опция жоғалады, яғни орын алуы мүмкін немесеоқиға немесеоқиға.

Ереже терминдердің көбірек санына да қолданылады, мысалы, оқиға болатын нәрсе кем дегенде біреуіоқиғалардан , А оқиғалар үйлесімсіз болса – содан кейін бір нәрсе және бір ғана нәрсеосы сомадан оқиға: немесеоқиға, немесеоқиға, немесеоқиға, немесеоқиға, немесеоқиға.

Мысалдар көп:

Оқиғалар (сүйек лақтырған кезде 5 ұпай пайда болмайды) пайда болады немесе 1, немесе 2, немесе 3, немесе 4, немесе 6 ұпай.

Оқиға (келеді артық керек емесекі нүкте) 1 пайда болады немесе 2ұпай.

Оқиға (ұпайлардың жұп саны болады) пайда болады немесе 2 немесе 4 немесе 6 ұпай.

Оқиға палубадан қызыл карточка (жүрек) алынады немеседомбыра) және оқиға – «суреттің» шығарылатыны туралы (джек немесеханым немесепатша немесе ace).

Бірлескен оқиғаларға қатысты жағдай біршама қызық:

Іс-шара палубадан сойыл тартылады немесеЖеті немесежеті клуб Жоғарыда келтірілген анықтамаға сәйкес, кем дегенде бір нәрсе- немесе кез келген клуб немесе кез келген жеті немесе олардың «қиылысы» - жеті клуб. Бұл оқиға 12 қарапайым нәтижеге сәйкес келетінін есептеу оңай (9 клуб картасы + 3 қалған жеті).

Оқиға ертең сағат 12.00-де келеді Бірлескен жиынтық оқиғалардың КЕМІНДЕ БІРІ, атап айтқанда:

– немесе тек жаңбыр / тек найзағай / тек күн болады;
– немесе тек кейбір жұп оқиғалар болады (жаңбыр + найзағай / жаңбыр + күн / найзағай + күн);
– немесе барлық үш оқиға бір уақытта пайда болады.

Яғни, шара 7 ықтимал нәтижені қамтиды.

Оқиғалар алгебраның екінші тірегі:

2) Жұмысыекі оқиға және осы оқиғалардың бірігіп пайда болуынан тұратын оқиға деп аталады, басқаша айтқанда, көбейту кейбір жағдайларда болатынын білдіреді. Жәнеоқиға, Жәнеоқиға. Ұқсас мәлімдеме оқиғалардың көп саны үшін дұрыс, мысалы, жұмыс белгілі бір жағдайларда оның болатынын білдіреді Жәнеоқиға, Жәнеоқиға, Жәнеоқиға, …, Жәнеоқиға.

Екі монета лақтырылатын сынақты қарастырайық және келесі оқиғалар:

– 1-ші монетада бастар пайда болады;
– 1-ші монета қондырады;
– 2-ші монетада бастар пайда болады;
– 2-ші монета басы түседі.

Содан кейін:
Және 2) бастар пайда болады;
– оқиға екі монетада да (1-де Және 2) бұл басшылар болады;
– оқиға 1-ші монета бастары қонады Және 2-ші монета - құйрықтар;
– оқиға 1-ші монета бастары қонады Және 2-ші монетада қыран бейнеленген.

Бұл оқиғаларды көру оңай үйлесімсіз (өйткені, мысалы, ол бір уақытта 2 бас және 2 құйрық бола алмайды)және пішін толық топ (есепке алынғаннан бері Барлықекі тиын лақтырудың ықтимал нәтижелері). Осы оқиғаларды қорытындылайық: . Бұл жазбаны қалай түсіндіруге болады? Өте қарапайым – көбейту логикалық жалғаулықты білдіреді ЖӘНЕ, және қосу – НЕМЕСЕ. Осылайша, сома түсінікті адам тілінде оңай оқылады: «екі бас пайда болады немесеекі бас немесе 1-ші монета басы түседі Және 2-ші құйрықтарда немесе 1-ші монета басы түседі Және 2-ші монетада қыран бар»

Бұл кездегі мысал болды бір сынақтабірнеше нысандар қатысады, бұл жағдайда екі монета. Практикалық есептердегі тағы бір кең таралған схема қайта сынау , мысалы, бір матрица қатарынан 3 рет оралғанда. Демонстрация ретінде келесі оқиғаларды қарастырыңыз:

– 1-ші лақтыруда сіз 4 ұпай аласыз;
– 2-ші лақтыруда сіз 5 ұпай аласыз;
– 3-ші лақтыруда сіз 6 ұпай аласыз.

Содан кейін оқиға 1-ші лақтырғанда 4 ұпай аласыз Және 2-ші лақтыруда сіз 5 ұпай аласыз Және 3-ші орамда сіз 6 ұпай аласыз. Текше жағдайында тиын лақтырғанымызға қарағанда, комбинациялар (нәтижелер) айтарлықтай көп болатыны анық.

...Түсінемін, олар жақсы түсінбейтін шығар қызықты мысалдар, бірақ бұл мәселелерде жиі кездесетін нәрселер және олардан құтылу мүмкін емес. Сізді тиын, текше және карталар палубасынан басқа, түрлі-түсті шарлары бар урналар, нысанаға оқ атқан бірнеше анонимді адамдар және кейбір бөлшектерді үнемі ұнтақтайтын тынымсыз жұмысшы күтеді =)

Оқиғаның ықтималдығы

Оқиғаның ықтималдығы ықтималдықтар теориясының орталық концепциясы болып табылады. ...Қисынды нәрсе, бірақ бір жерден бастау керек болды =) Оны анықтауға бірнеше тәсілдер бар:

;
Ықтималдықтың геометриялық анықтамасы ;
Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы .

Бұл мақалада мен білім беру тапсырмаларында кеңінен қолданылатын ықтималдықтың классикалық анықтамасына тоқталамын.

Белгілер. Белгілі бір оқиғаның ықтималдығы бас латын әрпімен белгіленеді, ал оқиғаның өзі дәлел ретінде әрекет ететін жақшаға алынады. Мысалы:

Сондай-ақ, кіші әріп ықтималдықты белгілеу үшін кеңінен қолданылады. Атап айтқанда, оқиғалардың және олардың ықтималдығының ауыр белгілерінен бас тартуға болады келесі стильдің пайдасына:

– тиын лақтырылғанда бастардың пайда болу ықтималдығы;
– сүйектің лақтырылуы 5 ұпай алу ықтималдығы;
– палубадан клубтық костюм картасын алу ықтималдығы.

Бұл опция практикалық есептерді шешу кезінде танымал, өйткені ол шешімнің жазылуын айтарлықтай азайтуға мүмкіндік береді. Бірінші жағдайдағыдай, мұнда «сөйлейтін» жазылуларды/жоғарғы жазуларды пайдалану ыңғайлы.

Барлығы мен жоғарыда жазған сандарды бұрыннан болжап келген, енді олардың қалай шыққанын білеміз:

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы:

Белгілі бір сынақта болатын оқиғаның ықтималдығы қатынас деп аталады, мұндағы:

– жалпы саныбарлығы бірдей мүмкін, бастауышосы тесттің нәтижелері, қандай пішін оқиғалардың толық тобы;

- саны бастауышнәтижелер, қолайлы оқиға.

Монетаны лақтырған кезде бастар немесе құйрықтар түсіп кетуі мүмкін - бұл оқиғалар пайда болады толық топ, осылайша, нәтижелердің жалпы саны; сонымен бірге олардың әрқайсысы бастауышЖәне бірдей мүмкін. Оқиғаға нәтиже (басшылар) ұнайды. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы бойынша: .

Сол сияқты, марқұмды лақтыру нәтижесінде толық топты құрайтын элементарлық бірдей ықтимал нәтижелер пайда болуы мүмкін және оқиға бір нәтижемен жақсырақ болады (бестік домалау). Сондықтан: БҰЛ ЖАСАУҒА ҚАБЫЛДАМАЙДЫ (бірақ сіздің басыңыздағы пайыздарды есептеуге тыйым салынбаған).

Бірліктің бөлшектерін пайдалану әдеттегідей, және, анық, ықтималдық шегінде өзгеруі мүмкін. Оның үстіне, егер , онда оқиға болып табылады мүмкін емес, Егер - сенімді, ал егер болса, онда біз айтып отырмыз кездейсоқоқиға.

! Егер қандай да бір мәселені шешу кезінде сіз басқа ықтималдық мәнін алсаңыз, қатені іздеңіз!

Ықтималдылықты анықтаудың классикалық тәсілінде экстремалды мәндер (нөл және бір) дәл осындай пайымдаулар арқылы алынады. 10 қызыл шар бар белгілі бір урнадан кездейсоқ 1 шар тартылсын. Келесі оқиғаларды қарастырыңыз:

бір сынақта ықтималдығы төмен оқиға болмайды.

Сондықтан, егер бұл оқиғаның ықтималдығы, айталық, 0,00000001 болса, сіз лотереяда джекпот ұтпайсыз. Иә, иә, бұл сіз – белгілі бір айналымдағы жалғыз билетпен. Дегенмен, көп билеттер мен сызбалардың көп саны сізге көмектеспейді. ...Мен бұл туралы басқаларға айтсам, мен әрдайым дерлік жауап естимін: «бірақ біреу жеңеді». Жарайды, онда келесі тәжірибені жасайық: бүгін немесе ертең кез келген лотереяға билет сатып алыңыз (кідірмеңіз!). Ал егер сіз ұтып алсаңыз... жақсы, кем дегенде 10 килорубль артық болса, міндетті түрде жазылыңыз - мен мұның себебін түсіндіремін. Процент үшін, әрине =) =)

Бірақ қайғырудың қажеті жоқ, өйткені қарама-қарсы принцип бар: егер қандай да бір оқиғаның ықтималдығы біреуге өте жақын болса, онда ол бір сынақта болады. дерлік сенімдіболады. Сондықтан, парашютпен секірер алдында, қорқудың қажеті жоқ, керісінше, күліңіз! Өйткені, екі парашюттің де істен шығуы үшін мүлдем ойға келмейтін және фантастикалық жағдайлар туындауы керек.

Мұның бәрі лиризм болғанымен, оқиғаның мазмұнына қарай бірінші ұстаным көңілді, екіншісі – мұңды болып шығуы мүмкін; немесе тіпті екеуі де параллель.

Бәлкім, қазір сабақта бұл жеткілікті Классикалық ықтималдық есептеріформуладан барынша пайда аламыз. Осы мақаланың соңғы бөлігінде біз бір маңызды теореманы қарастырамыз:

Толық топты құрайтын оқиғалардың ықтималдығының қосындысы біреуге тең. Дөрекі сөзбен айтқанда, егер оқиғалар толық топты құраса, онда 100% ықтималдықпен олардың біреуі орын алады. Қарапайым жағдайда толық топ қарама-қарсы оқиғалар арқылы құрылады, мысалы:

– тиын лақтыру нәтижесінде бастар пайда болады;
– тиын лақтыру нәтижесі бас болады.

Теорема бойынша:

Бұл оқиғалардың бірдей мүмкін екендігі және олардың ықтималдылығы бірдей екені анық .

Ықтималдықтардың теңдігіне байланысты бірдей ықтимал оқиғалар жиі аталады бірдей ықтимал . Міне, интоксикация дәрежесін анықтауға арналған тіл бұрау =)

Текше бар мысал: оқиғалар қарама-қарсы, сондықтан .

Қарастырылып отырған теорема қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығын жылдам табуға мүмкіндік беретіндігімен ыңғайлы. Сонымен, егер бестіктің оралу ықтималдығы белгілі болса, оның оралмау ықтималдығын есептеу оңай:

Бұл бес қарапайым нәтиженің ықтималдығын қорытындылаудан әлдеқайда қарапайым. Айтпақшы, қарапайым нәтижелер үшін бұл теорема да дұрыс:
. Мысалы, егер атқыштың нысанаға тию ықтималдығы болса, онда оның жіберіп алу ықтималдығы.

! Ықтималдықтар теориясында әріптерді кез келген басқа мақсаттарда пайдалану қажет емес.

Білім күніне орай мен сұрамаймын үй жұмысы=), бірақ келесі сұрақтарға жауап беру өте маңызды:

- Оқиғаның қандай түрлері бар?
– Оқиғаның кездейсоқтығы мен тең мүмкіндігі дегеніміз не?
– Оқиғалардың үйлесімділігі/үйлесімсіздігі терминдерін қалай түсінесіз?
– Оқиғалардың толық тобы, қарама-қарсы оқиғалар дегеніміз не?
– Оқиғаларды қосу және көбейту нені білдіреді?
– Ықтималдықтың классикалық анықтамасының мәні неде?
– Толық топ құрайтын оқиғалардың ықтималдығын қосу теоремасы не үшін пайдалы?

Жоқ, сізге ештеңені толтырудың қажеті жоқ, бұл ықтималдықтар теориясының негіздері - сіздің басыңызға тез сәйкес келетін праймер түрі. Бұл мүмкіндігінше тезірек болуы үшін мен сізге сабақтармен танысуды ұсынамын

Шындықта немесе біздің қиялымызда болатын оқиғаларды 3 топқа бөлуге болады. Бұл міндетті түрде болатын белгілі оқиғалар, мүмкін емес оқиғалар және кездейсоқ оқиғалар. Ықтималдық теориясы кездейсоқ оқиғаларды зерттейді, яғни. болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін оқиғалар. Бұл мақалада көрсетіледі қысқашаықтималдықтар теориясы формулалары және математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханның 4-тапсырмасында болатын ықтималдықтар теориясының есептерін шешу мысалдары (бейінді деңгей).

Бізге ықтималдық теориясы не үшін қажет?

Тарихи тұрғыдан бұл мәселелерді зерттеу қажеттілігі 17 ғасырда құмар ойындардың дамуы мен кәсібилендіруіне және казинолардың пайда болуына байланысты туындады. Бұл өзіндік зерттеуді, зерттеуді қажет ететін нағыз құбылыс еді.

Ойын карталары, сүйектер және рулетка бірдей ықтимал оқиғалардың шектеулі санының кез келгені орын алуы мүмкін жағдайларды тудырды. Белгілі бір оқиғаның орын алу мүмкіндігінің сандық бағасын беру қажеттілігі туындады.

20-шы ғасырда бұл жеңіл көрінетін ғылым микроәлемде болып жатқан іргелі процестерді түсінуде маңызды рөл атқаратыны белгілі болды. Құрылды қазіргі заманғы теорияықтималдықтар.

Ықтималдықтар теориясының негізгі түсініктері

Ықтималдықтар теориясының зерттеу объектісі болып оқиғалар және олардың ықтималдықтары табылады. Егер оқиға күрделі болса, онда оны ықтималдықтарды оңай табуға болатын қарапайым компоненттерге бөлуге болады.

А және В оқиғаларының қосындысы С оқиғасы деп аталады, ол не А оқиғасының, не В оқиғасының, не А және В оқиғаларының бір уақытта орын алуынан тұрады.

А және В оқиғаларының туындысы С оқиғасы болып табылады, бұл А оқиғасы да, В оқиғасы да орын алғанын білдіреді.

А және В оқиғалары бір уақытта бола алмаса, үйлесімсіз деп аталады.

А оқиғасы орындалмайтын болса, мүмкін емес деп аталады. Мұндай оқиға таңбамен көрсетіледі.

А оқиғасы, егер ол міндетті түрде болатын болса, белгілі деп аталады. Мұндай оқиға таңбамен көрсетіледі.

Әрбір А оқиғасы P(A) санымен байланысты болсын. Бұл сәйкестікпен келесі шарттар орындалса, бұл P(A) саны А оқиғасының ықтималдығы деп аталады.

Маңызды ерекше жағдай - бірдей ықтимал элементарлық нәтижелер болған жағдай және бұл нәтижелердің еріктілігі А оқиғаларын құрайды. Бұл жағдайда ықтималдық формуланы пайдаланып енгізілуі мүмкін. Осы жолмен енгізілген ықтималдық классикалық ықтималдық деп аталады. Бұл жағдайда 1-4 қасиеттер қанағаттандырылатынын дәлелдеуге болады.

Математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханда пайда болатын ықтималдықтар теориясының есептері негізінен классикалық ықтималдықпен байланысты. Мұндай тапсырмалар өте қарапайым болуы мүмкін. Ықтималдық теориясындағы мәселелер әсіресе қарапайым демо опциялары. Қолайлы нәтижелердің санын есептеу оңай, барлық нәтижелердің саны шартта дұрыс жазылған.

Жауабын формула арқылы аламыз.

Ықтималдылықты анықтау бойынша математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтихандағы есептің мысалы

Үстелде 20 пирог бар – 5 қырыққабат, 7 алма және 8 күріш. Марина пирогты алғысы келеді. Оның күріш тортын алу ықтималдығы қандай?

Шешім.

20 бірдей ықтимал қарапайым нәтижелер бар, яғни Марина 20 пирогтың кез келгенін қабылдай алады. Бірақ біз Маринаның күріш бәлішін алу ықтималдығын бағалауымыз керек, яғни мұнда А - күріш бәлішін таңдау. Бұл қолайлы нәтижелердің саны (күріш қосылған пирогтарды таңдау) бар болғаны 8 екенін білдіреді. Сонда ықтималдық мына формуламен анықталады:

Тәуелсіз, қарама-қарсы және ерікті оқиғалар

Дегенмен, в ашық банкаКүрделі міндеттер туындай бастады. Сондықтан оқырманның назарын ықтималдықтар теориясында зерттелетін басқа да мәселелерге аударайық.

А және В оқиғалары тәуелсіз деп аталады, егер әрқайсысының ықтималдығы басқа оқиғаның орын алуына байланысты болмаса.

В оқиғасы - бұл А оқиғасы болмаған, яғни. В оқиғасы А оқиғасына қарама-қарсы. Қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығы тікелей оқиғаның ықтималдығын шегергенге тең, яғни. .

Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары, формулалар

А және В ерікті оқиғалары үшін бұл оқиғалардың қосындысының ықтималдығы олардың бірлескен оқиғасының ықтималдылығынсыз олардың ықтималдықтарының қосындысына тең, яғни. .

Тәуелсіз А және В оқиғалары үшін бұл оқиғалардың пайда болу ықтималдығы олардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең, яғни. Бұл жағдайда .

Соңғы 2 тұжырым ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремасы деп аталады.

Нәтижелердің санын санау әрқашан оңай емес. Кейбір жағдайларда комбинаторика формулаларын қолдану қажет. Ең бастысы - белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын оқиғалардың санын санау. Кейде мұндай есептеулер дербес тапсырмаларға айналуы мүмкін.

6 бос орындыққа 6 оқушыны неше тәсілмен отырғызуға болады? Бірінші оқушы 6 орынның кез келгенін алады. Бұл нұсқалардың әрқайсысы екінші оқушының орын алуының 5 тәсіліне сәйкес келеді. Үшінші оқушыға 4 бос орын қалды, төртіншіге 3, бесіншіге 2, ал алтыншы қалған жалғыз орын алады. Барлық опциялардың санын табу үшін 6 белгісімен белгіленген өнімді табу керек! және «алты факториалды» оқиды.

Жалпы жағдайда бұл сұрақтың жауабы n элементтің орын ауыстыру санының формуласы арқылы беріледі.Біздің жағдайда.

Енді студенттерімізбен тағы бір жағдайды қарастырайық. 6 бос орындыққа 2 оқушыны неше тәсілмен отырғызуға болады? Бірінші оқушы 6 орынның кез келгенін алады. Бұл нұсқалардың әрқайсысы екінші оқушының орын алуының 5 тәсіліне сәйкес келеді. Барлық опциялардың санын табу үшін өнімді табу керек.

Жалпы, бұл сұрақтың жауабы n элементтің k элементтің үстінен орналасу санының формуласы арқылы беріледі.

Біздің жағдайда.

Және осы сериядағы соңғы жағдай. 6 оқушыдан үш оқушыны неше тәсілмен таңдауға болады? Бірінші оқушыны 6 тәсілмен, екіншісін 5 тәсілмен, үшіншісін төрт тәсілмен таңдауға болады. Бірақ бұл нұсқалардың ішінде бірдей үш оқушы 6 рет шығады. Барлық опциялардың санын табу үшін мәнді есептеу керек: . Жалпы алғанда, бұл сұрақтың жауабы элементтер бойынша элементтер комбинацияларының санының формуласы арқылы беріледі:

Біздің жағдайда.

Ықтималдылықты анықтау үшін математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханның есептерін шешу мысалдары

1-тапсырма. Редакциялаған жинақтан. Ященко.

Тарелкада 30 пирог бар: 3-еуі ет, 18-і қырыққабат және 9-ы шие. Саша кездейсоқ бір пирог таңдайды. Оның шиемен аяқталу ықтималдығын табыңыз.

.

Жауабы: 0,3.

2-тапсырма. Редакциялаған жинақтан. Ященко.

1000 шамның әрбір партиясында орта есеппен 20-сы ақаулы. Топтамадан кездейсоқ алынған шамның жұмыс істеу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі: Жұмыс істейтін шамдар саны 1000-20=980. Сонда партиядан кездейсоқ алынған шамның жұмыс істеу ықтималдығы:

Жауабы: 0,98.

Математикадан тестілеу кезінде U оқушының 9-дан астам есептерді дұрыс шешу ықтималдығы 0,67. U. 8-ден көп есептерді дұрыс шешу ықтималдығы 0,73. U дәл 9 есепті дұрыс шешу ықтималдығын табыңыз.

Сан түзуін елестетіп, оған 8 және 9 нүктелерін белгілесек, онда «U. тура 9 есепті дұрыс шешеді» шартына «У. 8-ден астам есептерді дұрыс шешеді», бірақ «У. 9-дан астам мәселені дұрыс шешеді».

Алайда, шарты «У. 9-дан астам есептерді дұрыс шешеді» шартында «У. 8-ден астам мәселені дұрыс шешеді». Сонымен, оқиғаларды белгілейтін болсақ: «У. тура 9 есепті дұрыс шешеді» - А арқылы, «Ұ. 8-ден астам есептерді дұрыс шешеді» - Б арқылы, «У. 9-дан астам есептерді дұрыс шешеді» C арқылы. Бұл шешім келесідей болады:

Жауабы: 0,06.

Геометрия емтиханында студент емтихан сұрақтарының тізімінен бір сұраққа жауап береді. Бұл тригонометрия сұрағы болу ықтималдығы 0,2. Бұл сыртқы бұрыштар бойынша сұрақ болу ықтималдығы 0,15. Бұл екі тақырыпқа бір мезгілде қатысты сұрақтар жоқ. Студенттің емтиханда осы екі тақырыптың біреуі бойынша сұрақ алу ықтималдығын табыңыз.

Бізде қандай оқиғалар бар екенін ойланайық. Бізге екі үйлесімсіз оқиға беріледі. Яғни, сұрақ «Тригонометрия» тақырыбына немесе «Сыртқы бұрыштар» тақырыбына қатысты болады. Ықтималдықтар теоремасы бойынша үйлеспейтін оқиғалардың ықтималдығы әрбір оқиғаның ықтималдығының қосындысына тең, осы оқиғалардың ықтималдығының қосындысын табу керек, яғни:

Жауабы: 0,35.

Бөлме үш шамы бар шаммен жарықтандырылған. Бір жыл ішінде бір шамның жану ықтималдығы 0,29. Ең болмағанда бір шамның жыл бойы жанып кетпеу ықтималдығын табыңыз.

Мүмкін болатын оқиғаларды қарастырайық. Бізде үш шам бар, олардың әрқайсысы басқа шамдарға тәуелсіз күйіп кетуі де мүмкін. Бұл тәуелсіз оқиғалар.

Содан кейін біз осындай оқиғалардың нұсқаларын көрсетеміз. Мына белгілерді қолданайық: - шам жанды, - шам жанып кетті. Ал бірден келесі оқиғаның ықтималдығын есептейміз. Мысалы, үш тәуелсіз оқиға болған оқиғаның ықтималдығы «шамның жануы», «шамның жануы», «шамның жануы»: , мұндағы оқиғаның ықтималдығы «шам шамы». қосулы» мәні «шам қосылмаған» оқиғасына қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығы ретінде есептеледі, атап айтқанда: .

КІРІСПЕ

Көп нәрсе бізге түсініксіз, өйткені біздің түсініктеріміз әлсіз;
бірақ бұл заттар біздің ұғымдарымыздың ауқымына кірмегендіктен.
Козьма Прутков

Математиканы орта арнаулы ортада оқытудың негізгі мақсаты оқу орындарыстуденттерге математиканы сол немесе басқа дәрежеде қолданатын басқа бағдарламалық пәндерді оқуға, практикалық есептеулерді орындауға, логикалық ойлауды қалыптастыруға және дамытуға қажетті математикалық білім мен дағдылардың жиынтығын беру болып табылады.

Бұл жұмыста бағдарламада және орта кәсіптік білімнің мемлекеттік білім беру стандарттарында (РФ Білім министрлігі. М., 2002 ж.) қарастырылған «Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика негіздері» математика бөлімінің барлық негізгі ұғымдары берілген. ), дәйекті түрде енгізіледі, негізгі теоремалар тұжырымдалады, олардың көпшілігі дәлелденбейді. Негізгі мәселелер мен оларды шешу әдістері және осы әдістерді практикалық есептерді шешуге қолдану технологиялары қарастырылады. Презентация егжей-тегжейлі түсініктемелермен және көптеген мысалдармен сүйемелденеді.

Әдістемелік нұсқауларды оқытылатын материалмен алғашқы танысу үшін, дәрістерді конспектілеу кезінде, практикалық сабақтарға дайындалу үшін, алған білім, білік және дағдыларды бекіту үшін пайдалануға болады. Сонымен қатар, оқу құралы бакалавриат студенттеріне бұрын зерттелген нәрсені тез еске түсіруге мүмкіндік беретін анықтамалық құрал ретінде де пайдалы болады.

Жұмыстың соңында оқушылар өзін-өзі бақылау режимінде орындай алатын мысалдар мен тапсырмалар берілген.

Әдістемелік нұсқаулар сырттай және күндізгі бөлімде оқитын студенттерге арналған.

НЕГІЗГІ ТҮСІНІКТЕР

Ықтималдық теориясы жаппай кездейсоқ оқиғалардың объективті заңдылықтарын зерттейді. Ол бақылау нәтижелерін жинау, сипаттау және өңдеу әдістерін жасаумен айналысатын математикалық статистиканың теориялық негізі болып табылады. Бақылаулар арқылы (тесттер, эксперименттер), яғни. сөздің кең мағынасында тәжірибе, нақты дүние құбылыстарын білу орын алады.

Оның ішінде практикалық іс-шараларБіз нәтижесін болжауға болмайтын, нәтижесі кездейсоқтыққа байланысты құбылыстармен жиі кездесеміз.

Кездейсоқ құбылысты оның пайда болу санының сынақтар санына қатынасымен сипаттауға болады, олардың әрқайсысында барлық сынақтардың бірдей жағдайында ол орын алуы немесе болмауы мүмкін.

Ықтималдықтар теориясы – математиканың кездейсоқ құбылыстар (оқиғалар) зерттелетін және олар жаппай қайталанған кезде заңдылықтары анықталатын бөлімі.

Математикалық статистика – статистикалық мәліметтерді жинау, жүйелеу, өңдеу және ғылыми негізделген қорытындылар алу және шешім қабылдау үшін пайдалану әдістерін зерттейтін математика саласы.

Бұл жағдайда статистикалық деректер бізді қызықтыратын зерттелетін объектілердің сипаттамаларының сандық сипаттамаларын білдіретін сандар жиынтығы ретінде түсініледі. Статистикалық мәліметтер арнайы жасалған тәжірибелер мен бақылаулар нәтижесінде алынады.

Статистикалық мәліметтер өзінің мәні бойынша көптеген кездейсоқ факторларға тәуелді, сондықтан математикалық статистика оның теориялық негізі болып табылатын ықтималдықтар теориясымен тығыз байланысты.

I. ЫҚТИМАЛДЫҚ. ЫҚТИМАЛДЫҚТАРДЫ ҚОСУ ЖӘНЕ КӨБЕЙТУ ТЕОРЕМАЛАРЫ

1.1. Комбинаториканың негізгі түсініктері

Математиканың комбинаторика деп аталатын бөлімінде жиындарды қарастыруға және осы жиындардың элементтерінің әртүрлі комбинацияларының құрамына байланысты кейбір есептер шығарылады. Мысалы, 10 түрлі 0, 1, 2, 3,: , 9 сандарын алып, олардың комбинацияларын жасасақ, әртүрлі сандар шығады, мысалы 143, 431, 5671, 1207, 43, т.б.

Бұл комбинациялардың кейбіреулері цифрлардың ретімен ғана ерекшеленетінін көреміз (мысалы, 143 және 431), басқалары - оларға енгізілген цифрларда (мысалы, 5671 және 1207), ал басқалары цифрлар саны бойынша да ерекшеленеді. (мысалы, 143 және 43).

Осылайша, алынған комбинациялар әртүрлі шарттарды қанағаттандырады.

Композиция ережелеріне байланысты комбинациялардың үш түрін ажыратуға болады: ауыстырулар, орналастырулар, комбинациялар.

Алдымен ұғыммен танысайық факторлық.

Барлығының өнімі натурал сандар 1-ден n қоса алғанда, деп аталады n-факторлық және жазыңыз.

Есептеңіз: a) ; б) ; V) .

Шешім. A) .

б) бері , содан кейін оны жақшадан шығаруға болады

Сосын аламыз

V) .

Қайта реттеулер.

Бір-бірінен элементтердің орналасу ретімен ғана ерекшеленетін n элементтің комбинациясы ауыстыру деп аталады.

Орын ауыстырулар таңбамен көрсетіледі P n , мұндағы n - әрбір ауыстыруға енгізілген элементтер саны. ( Р- француз сөзінің бірінші әрпі ауыстыру- қайта реттеу).

Орын ауыстырулар санын формула арқылы есептеуге болады

немесе факториалды қолдану:

Соны еске алайық 0!=1 және 1!=1.

Мысал 2. Бір сөреге алты түрлі кітапты неше тәсілмен орналастыруға болады?

Шешім. Қажетті жолдар саны 6 элементтің ауыстыру санына тең, яғни.

Орналастырулар.

Хабарламалар мішіндегі элементтер nәрқайсысында бір-бірінен элементтердің өздері (кем дегенде біреуі) немесе орналасу реті бойынша ерекшеленетін мұндай қосылыстар деп аталады.

Орналастырулар таңбамен көрсетіледі, мұнда м- барлық қол жетімді элементтердің саны, n- әрбір комбинациядағы элементтер саны. ( A-француз сөзінің бірінші әрпі реттеу, яғни «орналастыру, ретке келтіру»).

Сонымен қатар, бұл деп саналады nm.

Орналастырулар санын формула арқылы есептеуге болады

,

анау. бастап барлық ықтимал орналастырулар саны мэлементтері бойынша nөнімге тең nқатарлы бүтін сандар, олардың ең үлкені м.

Бұл формуланы факторлық түрде жазайық:

Мысал 3. Бес өтініш беруші үшін әртүрлі профильдегі санаторийлерге үш жолдаманы бөлудің қанша нұсқасын құрастыруға болады?

Шешім. Опциялардың қажетті саны 3 элементтің 5 элементінің орналасу санына тең, яғни.

.

Комбинациялар.

Комбинациялар - барлық мүмкін болатын комбинациялар мэлементтері бойынша n, олар бір-бірінен кем дегенде бір элементпен ерекшеленеді (мұнда мЖәне n-натурал сандар, және n м).

комбинациялар саны мэлементтері бойынша nарқылы белгіленеді ( МЕН-француз сөзінің бірінші әрпі комбинациясы- комбинация).

Жалпы, саны мэлементтері бойынша nбастап орналастырулар санына тең мэлементтері бойынша n, бастап ауыстырулар санына бөлінеді nэлементтері:

Орналастырулар мен ауыстырулар саны үшін факторлық формулаларды пайдалана отырып, біз мыналарды аламыз:

Мысал 4. 25 адамнан тұратын командада белгілі бір аймақта жұмыс істеу үшін төртеуін бөлу керек. Мұны қанша жолмен жасауға болады?

Шешім. Таңдалған төрт адамның реті маңызды емес болғандықтан, мұны істеудің жолдары бар.

Бірінші формуланы пайдаланып табамыз

.

Сонымен қатар, есептерді шешу кезінде комбинациялардың негізгі қасиеттерін білдіретін келесі формулалар қолданылады:

(анықтама бойынша олар қабылдайды және);

.

1.2. Комбинаторлық есептерді шығару

Тапсырма 1. Факультетте 16 пән оқытылады. Дүйсенбі күнгі кестеңізге 3 пәнді енгізуіңіз керек. Мұны қанша жолмен жасауға болады?

Шешім. 16 элементті орналастыруды 3-ке реттеуге болатындай, 16 элементтің үшеуін жоспарлаудың көптеген жолдары бар.

Тапсырма 2. 15 нысанның ішінен 10 нысанды таңдау керек. Мұны қанша жолмен жасауға болады?

3-тапсырма.Сайысқа төрт команда қатысты. Олардың арасында орындарды бөлудің қанша нұсқасы мүмкін?

.

Есеп 4. Егер 80 солдат пен 3 офицер болса, үш солдат пен бір офицерден тұратын патрульді неше тәсілмен құруға болады?

Шешім. Сіз патрульдегі сарбазды таңдай аласыз

тәсілдермен, ал офицерлер тәсілдермен. Кез келген офицер әрбір сарбаздар командасымен бара алатындықтан, көптеген жолдар бар.

5-тапсырма. Табыңыз, егер ол белгілі болса.

бастап, біз аламыз

,

,

Комбинацияның анықтамасы бойынша мыналар шығады, . Бұл. .

1.3. Кездейсоқ оқиға туралы түсінік. Оқиға түрлері. Оқиғаның ықтималдығы

Белгілі бір жағдайлардың жиынтығында жүзеге асырылатын, бірнеше түрлі нәтижелері бар кез келген әрекет, құбылыс, бақылау деп аталады. сынақ.

Бұл әрекеттің немесе бақылаудың нәтижесі деп аталады оқиға .

Берілген шарттарда оқиға орын алуы немесе болмауы мүмкін болса, онда ол шақырылады кездейсоқ . Оқиға болатыны анық болғанда, ол шақырылады сенімді , және бұл анық мүмкін емес жағдайда, - мүмкін емес.

Оқиғалар деп аталады үйлесімсіз , егер олардың тек біреуі әр жолы пайда болуы мүмкін болса.

Оқиғалар деп аталады буын , егер берілген шарттарда осы оқиғалардың біреуінің орын алуы бір сынақ кезінде екіншісінің болуын жоққа шығармаса.

Оқиғалар деп аталады қарама-қарсы , егер сынақ жағдайында олар жалғыз нәтиже бола отырып, үйлесімсіз болса.

Оқиғалар әдетте латын әліпбиінің бас әріптерімен белгіленеді: А Б С Д, : .

A 1 , A 2 , A 3 , : , A n оқиғаларының толық жүйесі - берілген сынақ кезінде ең болмағанда біреуінің болуы міндетті болып табылатын үйлесімсіз оқиғалардың жиынтығы.

Егер толық жүйе екі үйлесімсіз оқиғадан тұратын болса, онда мұндай оқиғалар қарама-қарсы деп аталады және А және белгіленеді.

Мысал. Қорапта нөмірленген 30 шар бар. Төмендегі оқиғалардың қайсысы мүмкін емес, сенімді немесе керісінше екенін анықтаңыз:

нөмірленген допты алып шықты (A);

жұп саны бар доп алды (IN);

тақ саны бар доп алды (WITH);

нөмірі жоқ доп алды (D).

Олардың қайсысы толық топты құрайды?

Шешім . А- сенімді оқиға; D- мүмкін емес оқиға;

жылы және МЕН- қарама-қарсы оқиғалар.

Оқиғалардың толық тобы мыналардан тұрады АЖәне Д, ВЖәне МЕН.

Оқиғаның ықтималдығы кездейсоқ оқиғаның пайда болуының объективті мүмкіндігінің өлшемі ретінде қарастырылады.

1.4. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы

Оқиғаның болуының объективті мүмкіндігінің өлшемін білдіретін сан деп аталады ықтималдық бұл оқиға және таңбамен белгіленеді R(A).

Анықтама. Оқиғаның ықтималдығы Аберілген оқиғаның пайда болуын қолдайтын m нәтижелер санының қатынасы А, нөміріне nбарлық нәтижелер (біркелкі емес, тек мүмкін және бірдей мүмкін), яғни. .

Сондықтан оқиғаның ықтималдығын табу үшін сынақтың әртүрлі нәтижелерін қарастыра отырып, барлық мүмкін болатын сәйкес келмейтін нәтижелерді есептеу қажет. n,бізді қызықтыратын m нәтижелер санын таңдаңыз және арақатынасын есептеңіз мКімге n.

Бұл анықтамадан келесі қасиеттер шығады:

Кез келген сынақтың ықтималдығы біреуден аспайтын теріс емес сан болып табылады.

Шынында да, қажетті оқиғалардың m саны ішінде болады. Екі бөлікке бөлу n, Біз алып жатырмыз

2. Сенімді оқиғаның ықтималдығы біреуге тең, өйткені .

3. Мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы нөлге тең, өйткені .

Есеп 1. 1000 билеттен тұратын лотереяда 200 ұтыс бар. Бір билет кездейсоқ шығарылады. Бұл билеттің жеңімпаз болу ықтималдығы қандай?

Шешім. Әртүрлі нәтижелердің жалпы саны n=1000. Жеңіске қолайлы нәтижелер саны m=200. Формула бойынша біз аламыз

.

Есеп 2. 18 бөліктен тұратын партияда 4 ақауы бар. 5 бөлік кездейсоқ таңдалады. Осы 5 бөліктің екеуінің ақаулы болу ықтималдығын табыңыз.

Шешім. Барлық бірдей мүмкін тәуелсіз нәтижелердің саны n 18-ден 5-ке дейінгі комбинациялар санына тең, яғни.

А оқиғасына қолайлы m санын есептейік. Кездейсоқ алынған 5 бөліктің ішінде 3 жақсы және 2 ақаулы бөлік болуы керек. Ақаулы 4 бөліктен екі ақаулы бөлікті таңдау тәсілдерінің саны 4-тен 2-ге дейінгі комбинациялар санына тең:

14 қолжетімді сапалы бөліктен үш сапалы бөлікті таңдау тәсілдерінің саны тең

.

Жақсы бөлшектердің кез келген тобы ақаулы бөлшектердің кез келген тобымен біріктірілуі мүмкін, сондықтан комбинациялардың жалпы саны мқұрайды

А оқиғасының қажетті ықтималдығы осы оқиғаға қолайлы m нәтижелер санының барлық бірдей мүмкін болатын тәуелсіз нәтижелердің n санына қатынасына тең:

.

Оқиғалардың ақырлы санының қосындысы олардың ең болмағанда біреуінің пайда болуынан тұратын оқиға болып табылады.

Екі оқиғаның қосындысы A+B символымен және қосындымен белгіленеді n A 1 +A 2 + таңбасы бар оқиғалар: +A n.

Ықтималдық қосу теоремасы.

Екі үйлесімсіз оқиғаның қосындысының ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдығының қосындысына тең.

Қорытынды 1. Егер А 1, А 2, :,А n оқиғасы толық жүйені құраса, онда бұл оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы бірге тең.

Қорытынды 2. Қарама-қарсы оқиғалардың ықтималдығының қосындысы және бірге тең.

.

Есеп 1. 100 лотерея билеті бар. Белгілі болғандай, 5 билет 20 000 рубль, 10 билет 15 000 рубль, 15 билет 10 000 рубль, 25 билет 2 000 рубль ұтады. ал қалғандары үшін ештеңе жоқ. Сатып алынған билеттің 10 000 рубльден кем емес ұтыс алу ықтималдығын табыңыз.

Шешім. A, B және C сатып алынған билет сәйкесінше 20 000, 15 000 және 10 000 рубльге тең ұтысқа ие болатын оқиғалар болсын. А, В және С оқиғалары үйлесімсіз болғандықтан

2-тапсырма. Қосулы сырттайтехникум қалалардан математикадан тест алады А, БЖәне МЕН. Қаладан сынақ қағазын алу ықтималдығы А 0,6-ға тең, қаладан IN- 0,1. Келесінің ықтималдығын табыңыз бақылау жұмысықаладан келеді МЕН.

Екі оқиға арасындағы байланыстың ең қарапайым мысалы - бір оқиғаның болуы міндетті түрде екіншісінің пайда болуына әкелетін немесе керісінше, біреуінің пайда болуы екіншісінің пайда болу мүмкіндігін жоққа шығаратын себеп-салдарлық байланыс.

Кейбір оқиғалардың басқаларға тәуелділігін сипаттау үшін ұғым енгізіледі шартты ықтималдық.

Анықтама. Болсын АЖәне IN- бір сынақтың екі кездейсоқ оқиғасы. Содан кейін оқиғаның шартты ықтималдығы Анемесе В оқиғасы болған жағдайда А оқиғасының ықтималдығы сан деп аталады.

Шартты ықтималдықты белгілей отырып, формуланы аламыз

, .

Тапсырма 1. Бір бала, ұл, екінші ұл туылған отбасында дүниеге келу ықтималдығын есептеңіз.

Шешім. Оқиға болсын Аотбасында екі ұл бар екенін және оқиға IN- сол бір бала.

Барлық ықтимал нәтижелерді қарастырыңыз: ұл және ұл; ұл және қыз; қыз және ұл; қыз бен қыз.

Содан кейін формуланы қолданып табамыз

.

Оқиға Ашақырды тәуелсіз оқиғадан IN, егер оқиға орын алса INоқиғаның орын алу ықтималдығына ешқандай әсер етпейді А.

Ықтималдықтарды көбейту теоремасы

Екі тәуелсіз оқиғаның бір мезгілде пайда болу ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдығының көбейтіндісіне тең:

Жиынтықта тәуелсіз бірнеше оқиғалардың пайда болу ықтималдығы формула бойынша есептеледі

Есеп 2. Бірінші урнада 6 қара және 4 ақ шар, екінші урнада 5 қара және 7 ақ шар бар. Әр урнадан бір шар алынады. Екі шардың да ақ болу ықтималдығы қандай?

А және INоқиға бар AB. Демек,

б) Егер бірінші элемент жұмыс істесе, онда оқиға орын алады (оқиғаға қарама-қарсы А- бұл элементтің істен шығуы); егер екінші элемент жұмыс істесе - оқиға IN.Оқиғалардың ықтималдығын табайық және:

Сонда екі элементтің де жұмыс істейтін оқиғасы, демек,

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы тұжырымдамаға негізделген ықтималдық тәжірибесі,немесе ықтималдық эксперименті. Оның нәтижесі деп аталатын бірнеше ықтимал нәтижелердің бірі болып табылады қарапайым нәтижелер, және ықтималдық экспериментті қайталағанда кез келген элементарлық нәтиже басқаларға қарағанда жиірек пайда болады деп күтуге негіз жоқ. Мысалы, сүйек лақтырумен байланысты ықтималдық экспериментті қарастырайық. Бұл тәжірибенің нәтижесі текшенің бүйірлеріне сызылған 6 нүктенің біреуін жоғалту болып табылады.

Осылайша, бұл экспериментте 6 қарапайым нәтиже бар:

және олардың әрқайсысы бірдей күтіледі.

Оқиғаклассикалық ықтималдық экспериментінде элементар нәтижелер жиынтығының ерікті жиыны болып табылады. Өлшемді лақтырудың қарастырылған мысалында оқиға, мысалы, қарапайым нәтижелерден тұратын жұп ұпайлардың жоғалуы.

Оқиғаның ықтималдығы - бұл сан:

мұндағы оқиғаны құрайтын элементар нәтижелердің саны (кейде олар бұл оқиғаның пайда болуына қолайлы элементарлық нәтижелердің саны деп айтады) және барлық элементар нәтижелердің саны.

Біздің мысалда:

Комбинаторика элементтері.

Көптеген ықтималдық тәжірибелерді сипаттағанда, элементар нәтижелерді комбинаториканың келесі объектілерінің бірімен (ақырлы жиындар туралы ғылым) анықтауға болады.

Қайта реттеусандардың қайталанусыз ерікті реттелген көрінісі. Мысалы, үш саннан тұратын жиын үшін 6 түрлі ауыстыру бар:

, , , , , .

Еркін ауыстырулар саны үшін тең

(1-ден басталатын натурал қатардағы ретті сандардың көбейтіндісі).

комбинациясыжиынның кез келген элементтерінің ерікті ретсіз жиыны болып табылады. Мысалы, үш саннан тұратын жиын үшін 3-тен 2-ге дейінгі 3 түрлі комбинация бар:

Ерікті жұп үшін , бастап комбинациялар саны тең

Мысалы,

Гипергеометриялық таралу.

Келесі ықтималдық экспериментті қарастырыңыз. Ақ және қара шарлар бар қара жәшік бар. Шарлардың өлшемдері бірдей және қолмен ұстағанда айырмашылығы жоқ. Тәжірибе кездейсоқ түрде шарларды шығарудан тұрады. Ықтималдылығын табу қажет оқиға - бұл шарлардың кейбіреулері ақ, ал қалғандары қара.

Барлық шарларды 1-ден -ге дейінгі сандармен қайта нөмірлейік. 1, ¼ сандары ақ шарларға, ал ¼ сандары қара шарларға сәйкес болсын. Бұл тәжірибедегі элементар нәтиже жиыннан элементтердің ретсіз жиыны, яғни by комбинациясы. Демек, барлық қарапайым нәтижелер бар.

Оқиғаның пайда болуына қолайлы элементарлық нәтижелер санын табайық. Сәйкес жиынтықтар «ақ» және «қара» сандардан тұрады. «Ақ» сандардан сандарды үш жолмен, ал «қара» сандардан сандарды 3/4 тәсілмен таңдауға болады. Ақ және қара жиынтықтарды ерікті түрде қосуға болады, сондықтан оқиғаға қолайлы қарапайым нәтижелер ғана бар.

Оқиғаның ықтималдығы

Алынған формула гипергеометриялық үлестірім деп аталады.

Мәселе 5.1.Қорапта бір типті 55 стандартты және 6 ақаулы бөлік бар. Кездейсоқ таңдалған үш бөліктің ең болмағанда біреуі ақаулы болу ықтималдығы қандай?

Шешім.Барлығы 61 бөлік бар, біз 3-ті аламыз. Элементар нәтиже 61-ден 3-ке тең. Барлық элементар нәтижелердің саны -ге тең. Қолайлы нәтижелер үш топқа бөлінеді: 1) бұл 1 бөлігі ақаулы, 2 бөлігі жақсы нәтижелер; 2) 2 бөлігі ақаулы, ал 1 бөлігі жақсы; 3) барлық 3 бөлік ақаулы. Бірінші типтегі жиындар саны -ге тең, екінші типтегі жиындар саны - -ге, үшінші типтегі жиындар саны - -ге тең. Демек, оқиғаның орын алуына қарапайым нәтижелер қолайлы. Оқиғаның ықтималдығы

Оқиғалар алгебрасы

Элементарлы оқиғалар кеңістігі берілген тәжірибеге қатысты барлық қарапайым нәтижелердің жиынтығы болып табылады.

Сомаекі оқиға оқиғаға немесе оқиғаға жататын қарапайым нәтижелерден тұратын оқиға деп аталады.

Жұмысыекі оқиға бір мезгілде оқиғаларға жататын элементар нәтижелерден тұратын оқиға деп аталады және .

Оқиғалар және үйлесімсіз деп аталады, егер .

Оқиға деп аталады қарама-қарсыоқиға, егер оқиға оқиғаға жатпайтын барлық қарапайым нәтижелерге ұнаса. Сондай-ақ, , .

СУЫНДЫҚ ТЕОРЕМА.

Сондай-ақ, .

Шартты ықтималдықоқиға болған жағдайда, қиылысуға жататын элементар нәтижелер санының -ге жататын элементар нәтижелер санына қатынасы деп аталады. Басқа сөздермен айтқанда, шартты ықтималдықоқиға классикалық ықтималдық формуласымен анықталады, онда жаңа ықтималдық кеңістігі . Оқиғаның шартты ықтималдығы арқылы белгіленеді.

Өнім ТЕОРЕМАСЫ. .

Оқиғалар деп аталады тәуелсіз, Егер . Тәуелсіз оқиғалар үшін туынды теоремасы қатынасты береді.

Қосынды және туынды теоремаларының нәтижесі келесі екі формула болып табылады.

Жалпы ықтималдық формуласы. Гипотезалардың толық тобы - үйлесімсіз оқиғалардың ерікті жиынтығы , ¼, , олар бірге бүкіл ықтималдық кеңістігін құрайды:

Бұл жағдайда ерікті оқиға үшін жалпы ықтималдық формуласы деп аталатын формула жарамды,

функциясы қайда Лаплас... Лаплас функциясы кесте түрінде берілген, оның берілген мән берілген мәндерін ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика бойынша кез келген оқулықтан табуға болады.

5.3-есеп.Бөлшектердің үлкен партиясында 11% ақау бар екені белгілі. Тестілеу үшін 100 бөлік таңдалады. Олардың ішінде 14-тен аспайтын ақаулардың болу ықтималдығы қандай? Жауапты Мовр-Лаплас теоремасы арқылы бағалаңыз.

Шешім.Біз сынақпен айналысамыз Бернулли, Қайда , , . Жетістік ақаулы бөліктің табылуы болып саналады, ал табыстар саны теңсіздікті қанағаттандырады. Демек,

Тікелей есептеу мыналарды береді:

, , , , , , , , , , , , , , .

Демек, . Енді Мовр-Лаплас интегралдық теоремасын қолданайық. Біз алып жатырмыз:

Функция мәндерінің кестесін пайдаланып, функцияның тақтығын ескере отырып, аламыз

Шамамен есептеудің қателігі аспайды.

Кездейсоқ айнымалылар

Кездейсоқ шама - ықтималдық эксперименттің сандық сипаттамасы, ол элементар нәтижелердің функциясы болып табылады. Егер , , ¼ элементар нәтижелер жиыны болса, онда кездейсоқ шама -ның функциясы болады. Алайда, кездейсоқ шаманы оның барлық мүмкін мәндерін және осы мәнді қабылдайтын ықтималдықтарды тізімдеу арқылы сипаттау ыңғайлырақ.

Мұндай кесте кездейсоқ шаманың таралу заңы деп аталады. Оқиғалар толық топ құрайтындықтан, ықтималдық нормалау заңы орындалады

Кездейсоқ шаманың математикалық күтуі немесе орташа мәні кездейсоқ шаманың мәндері мен сәйкес ықтималдықтардың көбейтіндісінің қосындысына тең сан.

Кездейсоқ шаманың дисперсиясы (математикалық күту төңірегінде мәндердің таралу дәрежесі) күтілетін мәнкездейсоқ шама,

Мұны көрсетуге болады

Магнитудасы

кездейсоқ шаманың орташа квадраттық ауытқуы деп аталады.

Кездейсоқ шама үшін таралу функциясы жиынға түсу ықтималдығы, яғни

Бұл 0-ден 1-ге дейінгі мәндерді қабылдайтын теріс емес, кемімейтін функция. Мәндердің ақырғы жиыны бар кездейсоқ шама үшін бұл күй нүктелерінде екінші түрдегі үзілістер болатын бөліктік тұрақты функция. Оның үстіне, және сол жақта үздіксіз.

5.4-есеп.Екі сүйек бірінен соң бірі лақтырылады. Егер бір сүйекте бір, үш немесе бес ұпай пайда болса, ойыншы 5 рубль жоғалтады. Егер екі немесе төрт ұпай аударылса, ойыншы 7 рубль алады. Егер алты ұпай жиналса, ойыншы 12 рубль жоғалтады. Кездейсоқ мән xойыншының екі сүйекті лақтырғандағы төлемі. Бөлу заңын табыңыз x, үлестіру функциясының графигін салыңыз, математикалық күту мен дисперсияны табыңыз x.

Шешім.Алдымен марқұмды лақтырған кезде ойыншының ұтысы неге тең болатынын қарастырайық. Оқиға 1, 3 немесе 5 ұпайларды айналдыру болсын. Содан кейін ұтыстар рубль болады. Оқиға 2 немесе 4 ұпай оралған болсын. Содан кейін ұтыстар рубль болады. Соңында, оқиға 6-ға айналдыруды білдірсін. Сонда ұтыстар рубльге тең болады.

Енді екі сүйек лақтырылған оқиғалардың барлық мүмкін комбинацияларын қарастырайық және әрбір осындай комбинация үшін ұтыс мәндерін анықтайық.

Егер оқиға орын алса, онда бір уақытта.

Егер оқиға орын алса, онда бір уақытта.

Сол сияқты, біз алған кезде , .

Барлық табылған күйлерді және осы күйлердің жалпы ықтималдықтарын кестеге жазамыз:

Ықтималдық нормалау заңының орындалуын тексереміз: нақты сызықта кездейсоқ шаманың осы интервалға түсу ықтималдығын анықтай білу керек 1) және ¼,