0-мен тригонометрия. Тригонометрия

Бір кездері мектепте тригонометрияны оқытатын жеке курс болды. Сертификат үш математикалық пән бойынша бағаларды қамтыды: алгебра, геометрия және тригонометрия.

Содан кейін реформаның бір бөлігі ретінде мектептегі білімтригонометрия жеке пән ретінде өмір сүруін тоқтатты. IN заманауи мектепТригонометриямен алғашқы танысу 8-сыныптың геометрия курсында болады. Пәнді тереңірек оқыту 10-сыныптың алгебра курсында жалғасады.

Синус, косинус, тангенс және котангенс анықтамалары алдымен тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларының қатынасы арқылы геометрияда беріледі.

Тік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышы – қарама-қарсы қабырғасының гипотенузаға қатынасы.

КосинусТік бұрышты үшбұрыштағы сүйір бұрыш деп көршілес катеттің гипотенузаға қатынасын айтады.

ТангенсТік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышы – қарама-қарсы қабырғаның көршілес қабырғасына қатынасы.

КотангенсТік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышы деп іргелес жатқан қабырғаның қарама-қарсы қабырғасына қатынасын айтады.

Бұл анықтамалар тек сүйір бұрыштарға (0º - 90°) қатысты.

Мысалы,

АВС үшбұрышында, мұнда ∠C=90°, BC – А бұрышына қарама-қарсы катет, АС – А бұрышына іргелес катет, АВ – гипотенуза.

10-сынып алгебра курсы кез келген бұрышқа (соның ішінде теріс) синус, косинус, тангенс және котангенс анықтамаларымен таныстырады.

Центрі координат басында – О(0;0) нүктесінде радиусы R шеңберді қарастырайық. Абсцисса осінің оң бағытымен шеңбердің қиылысу нүктесін Р 0 деп белгілейік.

Геометрияда бұрыш екі сәулемен шектелген жазықтықтың бөлігі ретінде қарастырылады. Бұл анықтамамен бұрыш 0° пен 180° аралығында өзгереді.

Тригонометрияда бұрыш ОП 0 сәулесінің бастапқы О нүктесінің айналасында айналуының нәтижесі ретінде қарастырылады.

Сонымен бірге олар қозғалыстың оң бағыты ретінде сәулені сағат тіліне қарсы бұруды, ал сағат тіліне қарсы бұруды теріс деп қарастыруға келісті (бұл келісім Күннің Жерді айнала шынайы қозғалысымен байланысты).

Мысалы, OP 0 сәулесі О нүктесінің айналасында сағат тіліне қарсы α бұрышына бұрылғанда, P 0 нүктесі P α нүктесіне барады,

α бұрышымен сағат тілімен бұрылғанда - F нүктесіне.

Бұл анықтамамен бұрыш кез келген мәнді қабылдай алады.

Егер OP 0 сәулесін сағат тіліне қарсы айналдыруды жалғастырсақ, α°+360°, α°+360°·2,...,α°+360°·n бұрышы арқылы бұрылғанда, мұндағы n – бүтін сан (n∈) Ζ), тағы да P α нүктесіне келейік:

Бұрыштар градуспен және радианмен өлшенеді.

1° – дамыған бұрыштың градустық өлшемінің 1/180 бөлігіне тең бұрыш.

1 радиан – доғаның ұзындығы шеңбердің радиусына тең орталық бұрыш:

∠AOB=1 рад.

Радиандық белгілер әдетте жазылмайды. Жазбада дәреже белгісін алып тастауға болмайды.

Мысалы,

Р 0 нүктесінен OP 0 сәулесін О нүктесінің айналасында сағат тіліне қарсы α бұрышымен айналдыру арқылы алынған P α нүктесінің координаталары P α (x;y) болады.

P α нүктесінен абсцисса осіне перпендикуляр P α A түсірейік.

OP α A тікбұрышты үшбұрышында:

P α A - α бұрышына қарама-қарсы аяқ,

OA - α бұрышына іргелес аяқ,

OP α – гипотенуза.

P α A=y, OA=x, OP α =R.

Тікбұрышты үшбұрыштағы синус, косинус, тангенс және котангенс анықтамасы бойынша:

Осылайша, еркін радиустың басындағы центрі бар шеңбер жағдайында синусα бұрышы – P α нүктесі ординатасының радиус ұзындығына қатынасы.

Косинусα бұрышы – P α нүктесі абсциссасының радиус ұзындығына қатынасы.

Тангенсα бұрышы – P α нүктесінің ординатасының оның абсциссасына қатынасы.

Котангенсα бұрышы – P α нүктесі абсциссасының оның ординатасына қатынасы.

Синус, косинус, тангенс және котангенс мәндері тек α мәніне тәуелді және R радиусының ұзындығына тәуелді емес (бұл шеңберлердің ұқсастығынан туындайды).

Сондықтан R=1 таңдау ыңғайлы.

Центрінің басында және радиусы R=1 болатын шеңбер бірлік шеңбер деп аталады.

Анықтамалар

1) Синусα бұрышы бірлік шеңбердің P α (x;y) нүктесінің ординатасы деп аталады:

2) Косинусα бұрышы бірлік шеңбердің P α (x;y) нүктесінің абсциссасы деп аталады:

3) Тангенсα бұрышы – P α (x;y) нүктесінің ординатасының оның абсциссасына қатынасы, яғни sinα мен cosα қатынасы (мұндағы cosα≠0):

4) Котангенсα бұрышы – P α (x;y) нүктесінің абсциссасының оның ординатасына қатынасы, яғни cosα мен sinα қатынасы (мұндағы sinα≠0):

Осылайша енгізілген анықтамалар бұрыштардың тригонометриялық функцияларын ғана емес, сонымен қатар сандық аргументтердің тригонометриялық функцияларын да қарастыруға мүмкіндік береді (егер sinα, cosα, tanα және ctgα-ны бұрыштың α радиандағы сәйкес тригонометриялық функциялары ретінде қарастырсақ, яғни α санының синусы – α радианындағы бұрыштың синусы, α санының косинусы – α радианындағы бұрыштың косинусы және т.б.).

Тригонометриялық функциялардың қасиеттері 10-11-сыныптарда алгебра курсында жеке тақырып ретінде оқытылады. Тригонометриялық функциялар физикада кеңінен қолданылады.

Санат: |

«А алу» бейне курсы сізге қажет барлық тақырыптарды қамтиды сәтті аяқталуы 60-65 баллға математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтихан. Барлық есептер 1-13 Бейіндік Бірыңғай мемлекеттік емтиханматематикадан. Сондай-ақ математикадан Базалық Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсыруға жарамды. Бірыңғай мемлекеттік емтиханды 90-100 баллмен тапсырғыңыз келсе, 1 бөлімді 30 минутта қатесіз шешуіңіз керек!

10-11 сыныптарға, сондай-ақ мұғалімдерге арналған Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық курсы. Математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханның 1-бөлігін (алғашқы 12 есеп) және 13-есепті (тригонометрия) шешу үшін қажет нәрсенің бәрі. Ал бұл Бірыңғай мемлекеттік емтихандағы 70 ұпайдан жоғары және оларсыз 100 баллдық студент те, гуманитарлық пәннің студенті де істей алмайды.

Барлық қажетті теория. Бірыңғай мемлекеттік емтиханның жылдам шешімдері, қателері мен құпиялары. FIPI тапсырмалар банкінен 1-бөлімнің барлық ағымдағы тапсырмалары талданды. Курс 2018 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханның талаптарына толығымен сәйкес келеді.

Курс әрқайсысы 2,5 сағаттан тұратын 5 үлкен тақырыпты қамтиды. Әрбір тақырып нөлден бастап, қарапайым және түсінікті түрде беріледі.

Жүздеген Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмалары. Сөздік есептер және ықтималдықтар теориясы. Есептерді шешудің қарапайым және есте сақтау оңай алгоритмдері. Геометрия. теория, анықтамалық материал, Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмаларының барлық түрлерін талдау. Стереометрия. Күрделі шешімдер, пайдалы парақтар, кеңістіктік қиялды дамыту. Тригонометрия нөлден есеп 13. Тығыздау орнына түсіну. Күрделі ұғымдардың анық түсіндірмесі. Алгебра. Түбірлер, дәрежелер және логарифмдер, функция және туынды. Бірыңғай мемлекеттік емтиханның 2-бөлімінің күрделі есептерін шешуге негіз.

Бұл сабақта біз тригонометриялық функцияларды енгізу қажеттілігі қалай туындайтыны және олар не үшін зерттелетіні, осы тақырыпта нені түсіну керек және оны қай жерде жақсы меңгеру керек (техника дегеніміз не) туралы сөйлесеміз. Техника мен түсіну екі түрлі нәрсе екенін ескеріңіз. Келісіңіз, айырмашылық бар: велосипедпен жүруді үйрену, яғни оны қалай жасау керектігін түсіну немесе кәсіби велосипедші болу. Біз тригонометриялық функциялардың не үшін қажет екенін түсіну туралы арнайы сөйлесетін боламыз.

Төрт тригонометриялық функция бар, бірақ олардың барлығын сәйкестендірулерді (оларды байланыстыратын теңдіктерді) пайдалану арқылы көрсетуге болады.

Тікбұрышты үшбұрыштардағы сүйір бұрыштар үшін тригонометриялық функциялардың формальды анықтамалары (1-сурет).

СинусТік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышы – қарама-қарсы қабырғасының гипотенузаға қатынасы.

КосинусТік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышы деп көрші катеттің гипотенузаға қатынасын айтады.

ТангенсТік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышы деп қарама-қарсы қабырғасының көршілес қабырғасына қатынасын айтады.

КотангенсТік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышы деп іргелес қабырғасының қарама-қарсы қабырғасына қатынасын айтады.

Күріш. 1. Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышының тригонометриялық функцияларын анықтау

Бұл анықтамалар формальды. Бір ғана функция бар деу дұрысырақ, мысалы, синус. Егер олар технологияда соншалықты қажет болмаса (оншалықты жиі пайдаланылмайтын), соншалықты әртүрлі тригонометриялық функциялар енгізілмес еді.

Мысалы, бұрыштың косинусы () қосқандағы сол бұрыштың синусына тең. Сонымен қатар, бұрыштың косинусын әрқашан негізгі тригонометриялық сәйкестікті () пайдаланып, таңбасына дейін бірдей бұрыштың синусы арқылы көрсетуге болады. Бұрыштың тангенсі деп синустың косинусқа немесе инверттелген котангенске қатынасын айтады (2-сурет). Кейбіреулер котангентті мүлдем пайдаланбайды, оны ауыстырады. Сондықтан бір тригонометриялық функцияны түсіну және онымен жұмыс істей білу маңызды.

Күріш. 2. Әртүрлі тригонометриялық функциялар арасындағы байланыс

Бірақ мұндай функциялар не үшін қажет болды? Олар қандай практикалық есептерді шешу үшін қолданылады? Бірнеше мысалды қарастырайық.

Екі адам ( АЖәне IN) көлікті шалшықтан итеріңіз (Cурет 3). Адам INкөлікті жан-жаққа итеруі мүмкін, бірақ көмектесуі екіталай А. Екінші жағынан, оның күш-жігерінің бағыты бірте-бірте ауысуы мүмкін (Cурет 4).

Күріш. 3. INкөлікті жан-жаққа итереді

Күріш. 4. INкүш-жігерінің бағытын өзгерте бастайды

Олардың күш-жігері машинаны бір бағытта итергенде тиімді болатыны анық (5-сурет).

Күріш. 5. Күш-жігердің ең тиімді бірлескен бағыты

Қанша INмашинаны оның күшінің бағыты оның әрекет ететін күш бағытына жақын болатын дәрежеде итеруге көмектеседі. А, бұрыштың функциясы болып табылады және оның косинусы арқылы өрнектеледі (6-сурет).

Күріш. 6. Косинус күш тиімділігінің сипаттамасы ретінде IN

Қандай күштің шамасын көбейтсек IN, бұрыштың косинусында біз оның күшінің әрекет ететін күш бағытына проекциясын аламыз. А. Күштердің бағыттары арасындағы бұрыш неғұрлым жақын болса, соғұрлым бірлескен әрекеттердің нәтижесі тиімдірек болады. АЖәне IN(Cурет 7). Егер олар бірдей күшпен көлікті қарама-қарсы бағытта итерсе, машина орнында қалады (Cурет 8).

Күріш. 7. Бірлескен күш-жігердің тиімділігі АЖәне IN

Күріш. 8. Қарама-қарсы бағыткүштердің әрекеті АЖәне IN

Неліктен бұрышты (оның соңғы нәтижеге қосқан үлесі) косинуспен (немесе бұрыштың басқа тригонометриялық функциясымен) алмастыра алатынымызды түсіну маңызды. Шын мәнінде, бұл ұқсас үшбұрыштардың осы қасиетінен туындайды. Өйткені, біз мынаны айтып отырмыз: бұрышты екі санның қатынасымен ауыстыруға болады (бүйір-гипотенуза немесе бүйір жағы). Егер, мысалы, әртүрлі тікбұрышты үшбұрыштардың бір бұрышы үшін бұл қатынас әртүрлі болса, бұл мүмкін емес еді (9-сурет).

Күріш. 9. Ұқсас үшбұрыштардағы тең қабырғалардың қатынасы

Мысалы, егер қатынас пен қатынас әртүрлі болса, онда біз тангенс функциясын енгізе алмас едік, өйткені әртүрлі тікбұрышты үшбұрыштардағы бір бұрыш үшін жанама әртүрлі болар еді. Бірақ ұқсас тікбұрышты үшбұрыштардың катеттерінің ұзындықтарының қатынасы бірдей болғандықтан, функцияның мәні үшбұрышқа тәуелді болмайды, яғни сүйір бұрыш пен оның тригонометриялық функцияларының мәндері бір-бір.

Біз белгілі бір ағаштың биіктігін білеміз делік (10-сурет). Жақын ғимараттың биіктігін қалай өлшеуге болады?

Күріш. 10. 2-мысал шартының иллюстрациясы

Осы нүкте арқылы жүргізілген сызық пен үйдің төбесі ағаштың басынан өтетіндей нүктені табамыз (11-сурет).

Күріш. 11. 2-мысалдағы есептің шешімін иллюстрациялау

Біз осы нүктеден ағашқа дейінгі қашықтықты, одан үйге дейінгі қашықтықты өлшей аламыз және ағаштың биіктігін білеміз. Пропорциядан үйдің биіктігін табуға болады: .

Пропорцияекі санның қатынасының теңдігі болып табылады. Бұл жағдайда ұқсас тікбұрышты үшбұрыштардың катеттерінің ұзындықтарының қатынасының теңдігі. Оның үстіне бұл арақатынастар тригонометриялық функция арқылы өрнектелетін бұрыштың белгілі бір өлшеміне тең (анықтама бойынша бұл жанама). Әрбір сүйір бұрыш үшін оның тригонометриялық функциясының мәні бірегей болатынын көреміз. Яғни, синус, косинус, тангенс, котангенс шын мәнінде функциялар, өйткені әрбір сүйір бұрыш олардың әрқайсысының дәл бір мәніне сәйкес келеді. Демек, оларды әрі қарай зерттеуге және олардың қасиеттерін пайдалануға болады. Барлық бұрыштар үшін тригонометриялық функциялардың мәндері қазірдің өзінде есептелген және пайдалануға болады (оларды Bradis кестелерінен табуға болады немесе кез келген инженерлік калькулятор). Бірақ біз әрқашан кері есепті шеше алмаймыз (мысалы, синустың мәнін пайдаланып, оған сәйкес бұрыштың өлшемін қалпына келтіру).

Қандай да бір бұрыштың синусы тең немесе шамамен болсын (12-сурет). Бұл синус мәніне қандай бұрыш сәйкес келеді? Әрине, біз қайтадан Bradis кестесін қолданып, кейбір мәнді таба аламыз, бірақ ол жалғыз болмайтыны белгілі болды (Cурет 13).

Күріш. 12. Бұрыштың синусының мәні бойынша табу

Күріш. 13. Кері тригонометриялық функциялардың көп мағыналылығы

Демек, бұрыштың тригонометриялық функциясының мәнін қайта құру кезінде кері тригонометриялық функциялардың көпмәнді сипаты туындайды. Бұл қиын болып көрінуі мүмкін, бірақ іс жүзінде біз күнделікті осындай жағдайларға тап боламыз.

Терезелерді қоршап, сырттың жарық немесе қараңғы екенін білмесеңіз немесе үңгірге тап болсаңыз, оянғанда күндізгі сағат бірде ме, түнде ме, жоқ па, айту қиын. келесі күні (Cурет 14). Шын мәнінде, егер сіз бізден «Сағат неше болды?» деп сұрасаңыз, біз шынайы жауап беруіміз керек: «Сағат плюс қайда көбейтілген»

Күріш. 14. Сағат мысалы арқылы полисемияны иллюстрациялау

Бұл кезең (сағат дәл қазіргі уақытты көрсететін интервал) деп қорытынды жасауға болады. Тригонометриялық функциялардың да периодтары болады: синус, косинус, т.б. Яғни, олардың мәндері аргументтегі кейбір өзгерістерден кейін қайталанады.

Егер планетада күн мен түннің ауысуы немесе жыл мезгілдерінің ауысуы болмаса, онда біз мерзімдік уақытты пайдалана алмас едік. Өйткені, біз жылдарды тек өсу ретімен санаймыз, бірақ күндердің сағаттары бар, әр жаңа күн сайын санау жаңадан басталады. Айлардағы жағдай бірдей: егер қазір қаңтар болса, бірнеше айдан кейін қаңтар қайтадан келеді, т.б. Сыртқы анықтамалық нүктелер бізге уақытты (сағаттарды, айларды) мерзімді есептеуді қолдануға көмектеседі, мысалы, Жердің өз осінің айналасында айналуы және аспандағы Күн мен Айдың орналасуының өзгеруі. Егер Күн әрқашан бір қалыпта ілініп тұрса, уақытты есептеу үшін дәл осы есеп басталған сәттен бастап секундтар (минут) санын есептейтін едік. Күн мен уақыт келесідей болуы мүмкін: миллиард секунд.

Қорытынды: екіұштылық тұрғысынан қиындықтар жоқ кері функцияларЖоқ. Шынында да, бір синус үшін әртүрлі бұрыш мәндері болған кезде опциялар болуы мүмкін (Cурет 15).

Күріш. 15. Бұрышты оның синусының мәнінен қалпына келтіру

Әдетте, практикалық есептерді шешу кезінде біз әрқашан стандартты диапазонда жұмыс істейміз. Бұл диапазонда тригонометриялық функцияның әрбір мәні үшін бұрыш өлшемінің тек екі сәйкес мәні бар.

Құм төгілетін тесігі бар шелек түріндегі қозғалатын белдікті және маятникті қарастырайық. Маятник тербеледі, таспа қозғалады (Cурет 16). Нәтижесінде құм синустық толқын деп аталатын синус (немесе косинус) функциясының графигі түрінде із қалдырады.

Шындығында, синус пен косинустың графиктері бір-бірінен тек тірек нүктесінде ғана ерекшеленеді (егер сіз олардың біреуін салып, содан кейін координат осьтерін өшірсеңіз, қай графиктің салынғанын анықтай алмайсыз). Сондықтан косинустар графигін график деп атаудың қажеті жоқ (неге сол графикке бөлек атау ойлап табу керек)?

Күріш. 16. 4-мысалдағы мәселенің қойылымының иллюстрациясы

Функцияның графигі кері функциялардың неліктен көп мәндерге ие болатынын түсінуге де көмектеседі. Егер синустың мәні бекітілген болса, яғни. абсцисса осіне параллель түзу жүргіземіз, содан кейін қиылысында бұрыштың синусы берілгенге тең болатын барлық нүктелерді аламыз. Ондай нүктелердің шексіз көп болатыны анық. Уақыттың мәні -мен ерекшеленетін сағатпен мысалдағыдай, тек мұнда бұрыштың мәні сома бойынша ерекшеленеді (Cурет 17).

Күріш. 17. Синус үшін полисемияның иллюстрациясы

Егер сағат мысалын қарастыратын болсақ, онда нүкте (сағат тілімен ұшы) шеңбер бойымен қозғалады. Тригонометриялық функцияларды дәл осылай анықтауға болады - тікбұрышты үшбұрыштағы бұрыштарды емес, шеңбердің радиусы мен осьтің оң бағыты арасындағы бұрышты қарастырыңыз. Нүкте өтетін шеңберлердің саны (қозғалысты сағат тілімен минус белгісімен, ал сағат тіліне қарсы плюс белгісімен санауға келістік), бұл нүкте (18-сурет).

Күріш. 18. Шеңбердегі синустың мәні

Сонымен, кері функция белгілі бір интервалда бірегей түрде анықталады. Бұл аралық үшін біз оның мәндерін есептеп, қалғанын функцияның периодын қосу және азайту арқылы табылған мәндерден алуға болады.

Кезеңнің тағы бір мысалын қарастырайық. Көлік жол бойымен келе жатыр. Оның дөңгелегі бояуға немесе шалшыққа түсіп кетті деп елестетейік. Кейде жолдағы бояудан немесе шалшықтан іздерді көруге болады (19-сурет).

Күріш. 19. Кезеңнің суреті

Мектеп курсында тригонометриялық формулалар өте көп, бірақ жалпы алғанда біреуін ғана есте сақтау жеткілікті (20-сурет).

Күріш. 20. Тригонометриялық формулалар

Қос бұрыш формуласын қосындының синусынан ауыстыру арқылы оңай алуға болады (косинус үшін де). Сондай-ақ өнім формулаларын шығаруға болады.

Шындығында, сіз өте аз есте сақтауыңыз керек, өйткені есептерді шешу кезінде бұл формулалардың өздері есте қалады. Әрине, біреу көп нәрсені шешуге тым жалқау болады, бірақ содан кейін оған бұл техника қажет болмайды, демек формулалардың өзі.

Ал формулалар қажет емес болғандықтан, оларды жаттап алудың қажеті жоқ. Сізге тек тригонометриялық функциялар, мысалы, көпірлерді есептеу үшін қолданылатын функциялар деген идеяны түсіну керек. Ешбір механизм дерлік оларды пайдаланусыз және есептеусіз жасай алмайды.

1. Сымдар жерге абсолютті параллель бола ала ма деген сұрақ жиі туындайды. Жауап: жоқ, олар мүмкін емес, өйткені бір күш төмен қарай әрекет етеді, ал басқалары параллель әрекет етеді - олар ешқашан теңдестірмейді (21-сурет).

2. Аққу, шаян, шортан бір жазықтықта арба тартады. Аққу бір бағытта ұшады, шаян екінші бағытта, шортан үшінші бағытта ұшады (22-сурет). Олардың күштерін теңестіруге болады. Бұл теңдестіруді тригонометриялық функциялар арқылы есептеуге болады.

3. Аспалы көпір (Cурет 23). Тригонометриялық функциялар кабельдердің санын есептеуге көмектеседі, оларды қалай бағыттау және керу керек.

Күріш. 23. Аспалы көпір

Күріш. 24. «Жіпті көпір»

Күріш. 25. Үлкен Обуховский көпірі

ma-te-ri-a-ly сайтына сілтемелерInternetUrok

Математика 6 сынып:

Геометрия 8 сынып:

- -
Әдетте, біреуді ҚОРҚЫНДЫ МАТЕМАТИКАмен қорқытқысы келгенде, өте күрделі және жиіркенішті нәрсе ретінде синустар мен косинустардың барлық түрлерін мысалға келтіреді. Бірақ шын мәнінде, бұл түсінуге және шешуге болатын әдемі және қызықты бөлім.
Тақырып 9-сыныпта басталады және бірінші рет бәрі түсінікті бола бермейді, көптеген нәзіктіктер мен амалдар бар. Тақырып бойынша бірдеңе айтуға тырыстым.

Тригонометрия әлеміне кіріспе:
Формулаларға асығыс кіріспес бұрын, геометриядан синус, косинус және т.б. не екенін түсіну керек.
Бұрыш синусы- қарсы (бұрыш) қабырғасының гипотенузаға қатынасы.
Косинус- көршілестің гипотенузаға қатынасы.
Тангенс- көрші жаққа қарама-қарсы жағы
Котангенс- қарама-қарсы іргелес.

Енді координаталық жазықтықта бірлік радиусы бар шеңберді қарастырыңыз және оған қандай да бір альфа бұрышын белгілеңіз: (суреттерді шертуге болады, кем дегенде кейбіреулері)
-
-
Жіңішке қызыл сызықтар - бұл шеңбердің қиылысу нүктесінен перпендикуляр және ось пен ой осіндегі тік бұрыш. Қызыл x және y - осьтердегі x және y координаттарының мәні (сұр x және y - бұл жай сызықтар емес, координат осьтері екенін көрсету үшін ғана).
Айта кету керек, бұрыштар сағат тіліне қарсы ось осінің оң бағыты бойынша есептеледі.
Ол үшін синусын, косинусын т.б табайық.
sin a: қарама-қарсы жағы у-ға, гипотенуза 1-ге тең.
sin a = y / 1 = y
Мен у мен 1-ді қайдан алатынымды толық түсіну үшін, түсінікті болу үшін әріптерді реттеп, үшбұрыштарды қарастырайық.
- -
AF = AE = 1 - шеңбердің радиусы.
Сондықтан радиус ретінде AB = 1. AB – гипотенузасы.
BD = CA = y - oh мәні ретінде.
AD = CB = x - oh сәйкес мән ретінде.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Келесі косинус:
cos a: іргелес жағы - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Біз де шығарамыз жанама және котангенс.
tg a = y / x = sin a / cos a
cot a = x / y = cos a / sin a
Кенеттен біз тангенс пен котангенс формуласын шығардық.

Ал, мұның қалай шешілетінін нақты қарастырайық.
Мысалы, a = 45 градус.
Біз алып жатырмыз тікбұрышты үшбұрышбір бұрышта 45 градус. Бұл теңбүйірлі үшбұрыш екені кейбіреулерге бірден түсінікті, бірақ мен оны бәрібір сипаттаймын.
Үшбұрыштың үшінші бұрышын табайық (біріншісі 90, екіншісі 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Егер екі бұрыш тең ​​болса, онда олардың қабырғалары тең болады, ол солай естіледі.
Сонымен, осындай екі үшбұрышты бірінің үстіне бірін қоссақ, диагоналы радиусы = 1-ге тең шаршы шығады екен. Пифагор теоремасы бойынша қабырғасы а болатын шаршының диагоналы мынаған тең екенін білеміз. екі түбір.
Енді ойлаймыз. Егер 1 (гипотенузасы aka диагональ) квадраттың қабырғасына екінің түбірін көбейтуге тең болса, онда квадраттың қабырғасы 1/sqrt(2) тең болуы керек, ал егер бұл бөлшектің алымы мен бөлімін көбейтсек екінің түбірі бойынша біз sqrt(2)/2 аламыз. Ал үшбұрыш тең ​​қабырғалы болғандықтан, AD = АС => х = у болады
Тригонометриялық функцияларды табу:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
тг 45 = шаршы(2)/2 / шаршы(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Қалған бұрыш мәндерімен бірдей жұмыс істеу керек. Тек үшбұрыштар тең қабырғалы болмайды, бірақ қабырғаларды Пифагор теоремасы арқылы оңай табуға болады.
Осылайша біз әртүрлі бұрыштардан тригонометриялық функциялардың мәндерінің кестесін аламыз:
-
-
Оның үстіне, бұл кесте алдамшы және өте ыңғайлы.
Еш қиындықсыз оны өзіңіз қалай жасауға болады:Осындай кесте сызып, ұяшықтарға 1 2 3 сандарын жаз.
-
-
Енді осы 1 2 3-тен түбір алып, 2-ге бөлесің. Мынадай болып шығады:
-
-
Енді синусты сызып, косинусты жазамыз. Оның мәндері шағылыстырылған синус болып табылады:
-
-
Тангенсті шығару оңай - синус сызығының мәнін косинус сызығының мәніне бөлу керек:
-
-
Котангенс мәні тангенстің инверттелген мәні болып табылады. Нәтижесінде біз келесідей нәрсені аламыз:
- -

назар аударыңызбұл жанама, мысалы, P/2-де жоқ. Неге екенін ойла. (Нөлге бөлуге болмайды.)

Мұнда нені есте сақтау керек:синус – у мәні, косинус – х мәні. Тангенс – у-ның х-қа қатынасы, ал котангенс – керісінше. сондықтан синустар/косинустардың мәндерін анықтау үшін мен жоғарыда сипаттаған кестені және координаталық осьтері бар шеңберді салу жеткілікті (мәндерді 0, 90 бұрыштарында қарау ыңғайлы, 180, 360).
- -

Жақсы, сіз ажырата аласыз деп үміттенемін кварталдар:
- -
Оның синусының, косинусының және т.б. таңбасы бұрыштың қай ширекте орналасқанына байланысты. Дегенмен, абсолютті қарабайыр логикалық ойлау сізді дұрыс жауапқа жетелейді, егер сіз екінші және үшінші тоқсанда х теріс, ал үшінші және төртінші тоқсанда у теріс екенін ескерсеңіз. Қорқынышты немесе қорқынышты ештеңе жоқ.

Менің ойымша, бұл туралы айту дұрыс емес азайту формулаларыақиқат дәні бар ала аруақтар, жұрттың бәрі естиді. Мұндай формулалар жоқ, өйткені олар қажет емес. Бұл бүкіл әрекеттің мағынасы: біз бірінші тоқсандағы бұрыш мәндерін оңай табамыз (30 градус, 45, 60). Тригонометриялық функциялар периодты, сондықтан біз кез келген үлкен бұрышты бірінші тоқсанға апара аламыз. Сонда оның мағынасын бірден табамыз. Бірақ жай сүйреп апару жеткіліксіз - сіз белгі туралы есте сақтауыңыз керек. Төмендету формулалары осыған арналған.
Сонымен, бізде үлкен бұрыш, дәлірек айтсақ, 90 градустан жоғары: a = 120. Ал оның синусы мен косинусын табу керек. Ол үшін біз 120-ны жұмыс істей алатын келесі бұрыштарға бөлеміз:
күнә а = күнә 120 = күнә (90 + 30)
Бұл бұрыш екінші ширекте жатқанын көреміз, ондағы синус оң, сондықтан синустың алдындағы + таңбасы сақталады.
90 градустан құтылу үшін синусты косинусқа ауыстырамыз. Бұл есте сақтау керек ереже:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Немесе оны басқа жолмен елестете аласыз:
күнә 120 = күнә (180 - 60)
180 градустан құтылу үшін біз функцияны өзгертпейміз.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Біз бірдей мән алдық, сондықтан бәрі дұрыс. Енді косинус:
cos 120 = cos (90 + 30)
Екінші тоқсандағы косинус теріс, сондықтан минус белгісін қоямыз. Ал біз функцияны керісінше өзгертеміз, өйткені 90 градусты алып тастау керек.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1/2
Немесе:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2

Бұрыштарды бірінші тоқсанға ауыстыру үшін нені білу керек, не істей алуыңыз керек:
- бұрышты қорытылатын мүшелерге ажырату;
-бұрыштың қай ширекте екенін ескеріп, осы ширектегі функция теріс немесе оң болса, сәйкес таңбаны қою;
- қажетсіз нәрселерден құтылу:
*егер 90, 270, 450 және қалған 90+180n-ден құтылу керек болса, мұндағы n – кез келген бүтін сан, онда функция кері (синус косинусқа, тангенс котангенске және керісінше);
*егер 180 және қалған 180+180n-ден құтылу керек болса, мұндағы n кез келген бүтін сан болса, онда функция өзгермейді. (Мұнда бір ерекшелік бар, бірақ оны сөзбен түсіндіру қиын, бірақ жақсы).
Осымен болды. Бірнеше ережені есте сақтап, оларды оңай қолдана алатын болсаңыз, формулаларды жаттап алудың қажеті жоқ деп ойлаймын. Айтпақшы, бұл формулаларды дәлелдеу өте оңай:
-
-
Олар сондай-ақ қиын кестелерді құрастырады, содан кейін біз білеміз:
-
-

Тригонометрияның негізгі теңдеулері:сіз оларды өте, өте жақсы, жатқа білуіңіз керек.
Негізгі тригонометриялық сәйкестік(теңдік):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Сенбесеңіз, өзіңіз тексеріп, өз көзіңізбен көргеніңіз дұрыс. Әртүрлі бұрыштардың мәндерін ауыстырыңыз.
Бұл формула өте пайдалы, оны әрқашан есте сақтаңыз. оны пайдалану арқылы синусты косинус арқылы және керісінше өрнектеуге болады, бұл кейде өте пайдалы. Бірақ, кез келген басқа формула сияқты, оны қалай өңдеу керектігін білу керек. Тригонометриялық функцияның таңбасы бұрыш орналасқан квадрантқа байланысты екенін әрқашан есте сақтаңыз. Сондықтан түбірді шығарғанда ширегін білу керек.

Тангенс және котангенс:Біз бұл формулаларды ең басында шығардық.
tg a = sin a / cos a
cot a = cos a / sin a

Тангенс пен котангенстің көбейтіндісі:
tg a * ctg a = 1
Себебі:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - бөлшектер жойылады.

Көріп отырғаныңыздай, барлық формулалар ойын және комбинация болып табылады.
Міне, бірінші формуланың косинус квадратына және синус квадратына бөлуден алынған тағы екі:
-
-
Соңғы екі формуланы а бұрышының мәніне шектеумен пайдалануға болатынын ескеріңіз, өйткені нөлге бөлу мүмкін емес.

Қосу формулалары:векторлық алгебра арқылы дәлелденген.
- -
Сирек қолданылады, бірақ дәл. Сканерлеуде формулалар бар, бірақ олар оқылмауы мүмкін немесе цифрлық пішінді қабылдау оңайырақ:
- -

Екі бұрышты формулалар:
Олар қосу формулалары негізінде алынады, мысалы: қос бұрыштың косинусы cos 2a = cos (a + a) - бұл сізге бір нәрсені еске салады ма? Олар жай ғана бетаны альфамен ауыстырды.
- -
Келесі екі формула sin^2(a) = 1 - cos^2(a) және cos^2(a) = 1 - sin^2(a) бірінші алмастыруынан алынған.
Қос бұрыштың синусы қарапайым және жиі қолданылады:
- -
Ал арнайы бұрмалаушылар қос бұрыштың тангенсі мен котангенсін шығара алады, бұл жағдайда tan a = sin a / cos a және т.б.
-
-

Жоғарыда аталған тұлғалар үшін Үшбұрышты формулалар:олар 2а және а бұрыштарын қосу арқылы шығарылады, өйткені біз қос бұрыштардың формулаларын бұрыннан білеміз.
-
-

Жартылай бұрыш формулалары:
- -
Мен олардың қалай алынғанын, дәлірек айтқанда, оны қалай түсіндіруге болатынын білмеймін ... Егер негізгі тригонометриялық сәйкестікті a/2-ге ауыстырып, осы формулаларды жазсақ, онда жауап жинақталады.

Тригонометриялық функцияларды қосу және азайту формулалары:
-
-
Олар қосу формулаларынан алынады, бірақ ешкімге мән бермейді. Олар жиі бола бермейді.

Түсінгеніңіздей, әлі де көптеген формулалар бар, олардың тізімі мағынасыз, өйткені мен олар туралы адекватты бірдеңе жаза алмаймын, ал құрғақ формулаларды кез келген жерден табуға болады, және олар бұрынғы формулалармен ойын. Барлығы өте қисынды және дәл. Мен сізге соңғы рет айтамын Көмекші бұрыш әдісі туралы:
a cosx + b sinx өрнегін Acos(x+) немесе Asin(x+) түріне түрлендіру көмекші бұрыш (немесе қосымша аргумент) енгізу әдісі деп аталады. шешу үшін әдіс қолданылады тригонометриялық теңдеулер, экстремумдық есептердегі функциялардың мәндерін бағалау кезінде және ескеретін маңызды нәрсе, кейбір мәселелерді көмекші бұрышты енгізбестен шешу мүмкін емес.
Бұл әдісті қалай түсіндіруге тырыссаңыз да, одан ештеңе шықпады, сондықтан оны өзіңіз жасауыңыз керек:
-
-
Қорқынышты нәрсе, бірақ пайдалы. Егер сіз проблемаларды шешсеңіз, ол жұмыс істеуі керек.
Осы жерден, мысалы: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Келесі курста тригонометриялық функциялардың графиктері. Бірақ бұл бір сабаққа жеткілікті. Мектепте алты ай бойы осыны үйрететінін ескерсек.

Сұрақтарыңызды жазыңыз, мәселелерді шешіңіз, кейбір тапсырмалардың сканерлеуін сұраңыз, анықтаңыз, көріңіз.
Әрқашан сенікі, Дэн Фарадей.

Сонау 1905 жылы орыс оқырмандары Уильям Джеймстің «Психология» кітабынан оның «неліктен жаттап оқудың нашар оқу тәсілі?» деген пікірін оқи алады.

«Қарапайым жаттап оқу арқылы алынған білім із-түссіз мүлдем ұмытылады. Керісінше, есте сақтау арқылы бірте-бірте, күннен-күнге, әртүрлі контексттерге байланысты, басқа сыртқы оқиғалармен ассоциативті түрде байланысты және қайта-қайта талқылауға ұшыраған психикалық материал осындай жүйені құрайды, біздің өміріміздің басқа аспектілерімен осындай байланысқа түседі. интеллект сыртқы жағдайлардың көптігі арқылы жадта оңай қалпына келтіріледі, ол ұзақ уақыт бойы берік иемдену болып қала береді.

Содан бері 100 жылдан астам уақыт өтті және бұл сөздер таңқаларлық өзекті болып қала береді. Бұған мектеп оқушыларымен жұмыс істегенде күн сайын көз жеткізесіз. Білімдегі үлкен олқылықтардың үлкендігі соншалық, оны дәлелдеуге болады: дидактикалық және психологиялық тұрғыдан мектеп математика курсы жүйе емес, қысқа мерзімді есте сақтауды ынталандыратын және ұзақ мерзімді есте сақтауды мүлде ойламайтын құрылғы түрі. .

Мектептегі математика курсын білу – математиканың әрбір саласының материалын меңгеру және олардың кез келгенін кез келген уақытта жаңарту мүмкіндігі. Бұған қол жеткізу үшін олардың әрқайсысымен жүйелі түрде байланысу керек, бұл кейде сабақтағы ауыр жүктемеге байланысты әрқашан мүмкін бола бермейді.

Фактілер мен формулаларды ұзақ есте сақтаудың тағы бір жолы бар - бұл анықтамалық сигналдар.

Тригонометрия 8-9-сыныптарда геометрия курсында және 9-сыныпта алгебра, 10-сыныпта алгебра және элементар анализ курсында оқытылатын мектеп математикасының үлкен тарауларының бірі.

Тригонометрияда оқылатын материалдың ең үлкен көлемі 10-сыныпқа келеді. Бұл тригонометрия материалының көпшілігін үйренуге және есте сақтауға болады тригонометриялық шеңбер(центрі тік бұрышты координаталар жүйесінің басындағы бірлік радиусы бар шеңбер). Қосымша 1.ppt

Бұл келесі тригонометрия ұғымдары:

• бұрыштың синусын, косинусын, тангенсін және котангенсін анықтау;
• радиандық бұрышты өлшеу;
• тригонометриялық функциялардың мәндерінің диапазоны мен анықтау облысы
• сандық және бұрыштық аргументтің кейбір мәндері үшін тригонометриялық функциялардың мәндерін;
• тригонометриялық функциялардың периодтылығы;
• тригонометриялық функциялардың жұптығы мен тақтығын;
• тригонометриялық функциялардың өсу және кемуін;
• азайту формулалары;
• кері тригонометриялық функциялардың мәндерін;
• қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу;
• қарапайым теңсіздіктерді шешу;
• тригонометрияның негізгі формулалары.

Осы ұғымдарды тригонометриялық шеңбер бойынша зерттеуді қарастырайық.

1) Синус, косинус, тангенс және котангенс анықтамасы.

Тригонометриялық шеңбер (центрінің басында болатын бірлік радиусы бар шеңбер), бастапқы радиус (Ох осінің бағыты бойынша шеңбердің радиусы) және айналу бұрышы ұғымымен таныстырғаннан кейін оқушылар өз бетінше анықтама алады. тригонометриялық шеңбердегі синус, косинус, тангенс және котангенс үшін курс геометриясының анықтамаларын пайдалана отырып, яғни гипотенузасы 1-ге тең тікбұрышты үшбұрышты қарастыру.

Бұрыштың косинусы деп бастапқы радиусты берілген бұрышқа айналдырған кездегі шеңбердегі нүктенің абсциссасын айтады.

Бұрыштың синусы деп бастапқы радиусты берілген бұрышқа айналдырған кездегі шеңбердегі нүктенің ординатасын айтады.

2) Тригонометриялық шеңбердегі бұрыштардың радиандық өлшемі.

Бұрыштың радиандық өлшемін енгізгеннен кейін (1 радиан – центрлік бұрыш, ол шеңбер радиусының ұзындығына тең доғаның ұзындығына сәйкес келеді) оқушылар бұрыштың радиандық өлшемі мынаны айтады: сандық мәншеңбердегі айналу бұрышы, ұзындығына теңбастапқы радиусты берілген бұрышқа айналдыру кезіндегі сәйкес доға. .

Тригонометриялық шеңбер шеңбердің диаметрлері бойынша 12 тең бөлікке бөлінген. Бұрыштың радианмен болатынын біле отырып, еселік бұрыштар үшін радиан өлшемін анықтауға болады.

Ал бұрыштардың, еселіктердің радиандық өлшемдері ұқсас түрде алынады:

3) Тригонометриялық функциялардың мәндерінің диапазоны мен анықтау облысы.

Шеңбердегі нүктенің айналу бұрыштары мен координат мәндерінің арасындағы сәйкестік функция бола ма?

Әрбір айналу бұрышы шеңбердегі бір нүктеге сәйкес келеді, яғни бұл сәйкестік функция болып табылады.

Функцияларды алу

Тригонометриялық шеңберде функцияларды анықтау облысы барлық нақты сандар жиыны, ал мәндер диапазоны .

Тригонометриялық шеңбердегі жанама және котангенс түзулері ұғымдарын енгізейік.

1) рұқсат етіңіз Кез келген сандық аргумент үшін жанамалар анықталатын Oy осіне параллель көмекші түзуді енгізейік.

2) Сол сияқты котангенс сызығын аламыз. y=1 болсын, онда . Бұл котангенс мәндері Ox осіне параллель түзу сызықта анықталады дегенді білдіреді.

Тригонометриялық шеңберде тригонометриялық функциялардың анықтау облысы мен мәндер ауқымын оңай анықтауға болады:

жанама үшін -

котангенс үшін -

4) Тригонометриялық шеңбердегі тригонометриялық функциялардың мәндері.

Бұрышқа қарама-қарсы катет гипотенузаның жартысына тең, яғни Пифагор теоремасы бойынша екінші катет:

Бұл синусты, косинусты, тангенсті, котангентті анықтау арқылы еселік немесе радиандық бұрыштардың мәндерін анықтауға болатындығын білдіреді. Синус мәндері Oy осі бойынша, косинус Ox осі бойымен анықталады, ал тангенс пен котангенс мәндері сәйкесінше Oy және Ox осіне параллель қосымша осьтер арқылы анықталуы мүмкін.

Синус пен косинустың кестелік мәндері сәйкес осьтерде келесідей орналасқан:

Тангенс пен котангенстің кестелік мәндері -

5) Тригонометриялық функциялардың периодтылығы.

Тригонометриялық шеңберде синус пен косинус мәндері әр радиан сайын, ал тангенс пен котангенс әрбір радиан сайын қайталанатынын көруге болады.

6) Тригонометриялық функциялардың жұптығы мен тақтығы.

Бұл сипатты тригонометриялық функциялардың оң және қарама-қарсы айналу бұрыштарының мәндерін салыстыру арқылы алуға болады. Біз мұны түсінеміз

Бұл косинус жұп функция, қалған функциялардың барлығы тақ дегенді білдіреді.

7) Тригонометриялық өсу және кему функциялары.

Тригонометриялық шеңбер синус функциясының өсетінін көрсетеді және төмендейді

Осыған ұқсас пайымдау арқылы біз косинус, тангенс және котангенс функцияларының өсу және кему аралықтарын аламыз.

8) Қысқарту формулалары.

Бұрыш үшін тригонометриялық шеңбердегі бұрыштың кіші мәнін аламыз. Барлық формулалар таңдалған тікбұрышты үшбұрыштардың катеттері бойынша тригонометриялық функциялардың мәндерін салыстыру арқылы алынады.

Қысқарту формулаларын қолдану алгоритмі:

1) Берілген бұрыш арқылы айналу кезіндегі функцияның таңбасын анықтаңыз.

Бұрышқа бұрылғанда функция сақталады, бұрышпен айналдырғанда – бүтін, тақ сан, кофункция (

9) Кері тригонометриялық функциялардың мәндері.

Функцияның анықтамасын пайдаланып тригонометриялық функциялар үшін кері функцияларды енгізейік.

Тригонометриялық шеңбердегі синус, косинус, тангенс және котангенстің әрбір мәні айналу бұрышының бір ғана мәніне сәйкес келеді. Бұл функция үшін анықтау облысы , мәндер ауқымы - Функция үшін анықтау облысы , мәндер диапазоны . Сол сияқты косинус пен котангенс үшін кері функциялардың анықтау облысы мен мәндер ауқымын аламыз.

Кері тригонометриялық функциялардың мәндерін табу алгоритмі:

1) сәйкес ось бойынша кері тригонометриялық функция аргументінің мәнін табу;

2) кері тригонометриялық функция мәндерінің диапазонын ескере отырып, бастапқы радиустың айналу бұрышын табу.

Мысалы:

10) Тригонометриялық шеңбер бойынша қарапайым теңдеулерді шешу.

түріндегі теңдеуді шешу үшін шеңберден ординаталары тең нүктелерді тауып, функцияның периодын ескере отырып, сәйкес бұрыштарды жазамыз.

Теңдеу үшін абсциссалары тең нүктелерді табамыз және функцияның периодын ескере отырып, сәйкес бұрыштарды жазамыз.

Пішіннің теңдеулері үшін де солай Мәндер жанама және котангенс сызықтары бойынша анықталады және сәйкес айналу бұрыштары жазылады.

Тригонометрияның барлық ұғымдары мен формулаларын тригонометриялық шеңбер арқылы мұғалімнің нақты басшылығымен оқушылардың өздері меңгереді. Болашақта бұл «шеңбер» олар үшін анықтамалық сигнал ретінде қызмет етеді немесе сыртқы фактортригонометрия ұғымдары мен формулаларын жадта жаңғырту.

Тригонометриялық шеңберде тригонометрияны зерттеу мыналарға көмектеседі:

• берілген сабаққа оңтайлы қарым-қатынас стилін таңдау, оқу ынтымақтастығын ұйымдастыру;
• мақсаттарсабақтар әрбір студент үшін жеке маңызды болады;
• жаңа материалнегізделген жеке тәжірибеоқушының іс-әрекеті, ойлауы, сезімі;
• сабақта әртүрлі жұмыс формалары мен білімді алу мен игеру тәсілдері; өзара және өздігінен білім алу элементтері бар; өзін-өзі және өзара бақылау;
• түсінбеушілік пен қателікке жылдам жауап (бірлескен талқылау, қолдау бойынша кеңестер, өзара консультациялар) бар.