Көпмүшені нақты сандар өрісіне кеңейту. Күрделі сандар алгебраның негізгі теоремасы

Көпмүшелердің қысқартылуы олардың қарастырылатын өрісіне байланысты. Көпмүше Q өрісінде азайтылмайтын (төменгі дәрежелі көбейткіштерге жіктелмейтін көпмүше) және R өрісінде қысқартылатын болады.

Қайталанбайтын көпмүшелердің қасиеттері:

1. Нөлдік дәрежелі көпмүше кез келген өрісте азайтылады
2. Көпмүше болса f(x) өрісте төмендетілмейді Р, онда a көпмүшесі f(x) өрісте де азайтылмайды Р.
3. Көпмүшелер f болсын (x)Және p(x) даланың үстінде Р, және p(x) – өріс бойынша азайтылмайтын Р, онда жағдайлар болуы мүмкін

1) көпмүшелер f (x)Және p(x) салыстырмалы түрде қарапайым

2) f(x):(толығымен) p(x)

Осы өрістің үстіндегі тұрақтыға тең емес кез келген көпмүшенің кем дегенде бір түбірі болса, өріс алгебралық жабық деп аталады. Безут теоремасынан мұндай өрісте кез келген тұрақты емес көпмүшені сызықтық факторлардың көбейтіндісіне ыдыратуға болатыны бірден шығады. Бұл мағынада алгебралық тұйық өрістер алгебралық емес тұйық өрістерге қарағанда құрылымы жағынан қарапайым. Біз нақты сандар өрісінде әрбір квадрат үшмүшенің түбірі болмайтынын білеміз, сондықтан ℝ өрісі алгебралық тұйық емес. Ол алгебралық тұйықталуға сәл ғана жетпейді екен. Басқаша айтқанда: теңдеу туралы белгілі бір мәселені шешіп, біз барлық басқа көпмүшелік теңдеулерді бір уақытта шештік.

АЛГЕБРАНЫҢ НЕГІЗГІ ТЕОРЕМАСЫ.Тұрақтыға тең емес ℂ өрісіндегі кез келген көпмүшенің кем дегенде бір күрделі түбірі болады.

ТЕРГЕУ.Күрделі сандар өрісіндегі тұрақтыға тең емес кез келген көпмүшені сызықтық көбейткіштердің көбейтіндісіне кеңейте аламыз:

Мұнда көпмүшенің жетекші коэффициенті, көпмүшенің барлық әр түрлі күрделі түбірлері және олардың еселігі болып табылады. Теңдік қанағаттандырылуы керек

Қорытындының дәлелі - көпмүше дәрежесі бойынша қарапайым индукция.

Басқа өрістерге қарағанда, көпмүшелердің ыдырауы тұрғысынан жағдай жақсы емес. Біріншіден, ол тұрақты шама болмаса, екіншіден, оны төменгі дәрежелі көпмүшелердің көбейтіндісіне ыдыратуға болмайтын болса, көпмүшені қысқартылмайтын деп атаймыз. Әрбір сызықтық көпмүшелік (кез келген өріс үстінде) келтірілмейтіні анық. Қорытындыны келесідей қайта тұжырымдауға болады: жетекші бірлік коэффициенті (басқаша айтқанда: унитарлық) күрделі сандар өрісіндегі келтірілмейтін көпмүшелер () түріндегі көпмүшелермен таусылады.

Квадрат үшмүшенің ыдырауы кем дегенде бір түбірдің болуына тең. Теңдеуді түрге түрлендіре отырып, квадрат үшмүшенің түбірі дискриминант К өрісінің қандай да бір элементінің квадраты болған жағдайда ғана болады деген қорытындыға келеміз (мұнда K өрісінде 2≠ 0 деп есептейміз). Осы жерден аламыз

ҰСЫНУ. K өрісіндегі 2≠ 0 азайтылмайтын квадрат үшмүше, егер оның K өрісінде түбірі болмаса ғана. Бұл дискриминант K өрісінің кез келген элементінің квадраты емес екендігіне балама. Атап айтқанда , нақты сандар өрісінің үстінде квадрат үшмүшелік Қайталанбайтын, егер және тек егер.

Сонымен, нақты сандар өрісінде азайтылмайтын көпмүшелердің кем дегенде екі түрі бар: сызықтық және квадраттық және теріс дискриминант. Бұл екі жағдай ℝ-ден асатын азайтылмайтын көпмүшелердің жиынын таусатыны белгілі болды.

ТЕОРЕМА.Нақты сандар өрісіндегі кез келген көпмүшені сызықтық факторлар мен теріс дискриминанттары бар квадраттық көбейткіштердің көбейтіндісіне ыдырай аламыз:

Мұнда көпмүшенің барлық әртүрлі нақты түбірлері, олардың еселіктері, барлық дискриминанттары нөлден кіші, ал квадрат үшмүшелер әр түрлі.

Алдымен лемманы дәлелдейміз

ЛЕММА.Егер бар болса, онда конъюгаттық сан да көпмүшенің түбірі болады.

Дәлелдеу. Көпмүшенің күрделі түбірі болсын. Содан кейін

онда біз жұп қасиеттерін қолдандық. Демек, . Осылайша, ол көпмүшенің түбірі. □

Теореманы дәлелдеу. Нақты сандар өрісі үстіндегі кез келген азайтылмайтын көпмүшенің не сызықтық, не теріс дискриминанты бар квадрат екенін дәлелдеу жеткілікті. Бірлік жетекші коэффициенті бар азайтылмайтын көпмүше болсын. Жағдайда біз бірден кейбір нақты алуға. Солай етейік. Күрделі сандар алгебрасының іргелі теоремасы бойынша бар бұл көпмүшені кез келген күрделі түбірмен белгілейік. Ол азайтылмайтын болғандықтан (Безут теоремасын қараңыз). Сонда лемма бойынша көпмүшенің басқа түбірі болады.

Көпмүшенің нақты коэффициенттері бар. Сонымен қатар, Безут теоремасы бойынша бөледі. Ол азайтылмайтын және бірлік жетекші коэффициенті болғандықтан, біз теңдік аламыз. Бұл көпмүшенің дискриминанты теріс, өйткені әйтпесе оның нақты түбірлері болады.□

МЫСАЛДАР. А.Көпмүшені азайтылмайтын көбейткіштерге бөлейік. Тұрақты 6 мүшесінің бөлгіштерінің арасынан көпмүшенің түбірлерін іздейміз. 1 және 2 түбір екеніне көз жеткіземіз. Осылайша көпмүше бөлінеді. Бөліп, табамыз

Өрістің соңғы кеңеюі, өйткені квадрат үшмүшесінің дискриминанты теріс, сондықтан оны нақты сандар өрісінде одан әрі кеңейту мүмкін емес. Квадрат үшмүшенің күрделі түбірлерін тапсақ, сол көпмүшенің күрделі сандар өрісіне кеңеюін аламыз. Олар – мәні. Содан кейін

Бұл көпмүшені кеңейту

B. Нақты және күрделі сандардың өрістерін кеңейтейік. Бұл көпмүшенің нақты түбірлері болмағандықтан, оны теріс дискриминанттары бар екі шаршы үшмүшеге ыдыратуға болады.

Ол көпмүшемен ауыстырылғанда өзгермейтіндіктен, мұндай ауыстыру кезінде квадрат үшмүшелікке өту керек және керісінше. Осы жерден. Біз алатын коэффициенттерді теңестіру Атап айтқанда, . Содан кейін қатынастан (алмастыру арқылы алынған, және ең соңында, . Сонымен,

Нақты сандар өрісін кеңейту.

Бұл көпмүшені комплекс сандарға кеңейту үшін немесе теңдеуін шешеміз. Тамыр болатыны анық. Біз барлық әртүрлі тамырларды аламыз. Демек,

Комплекс сандарға кеңею. Есептеу оңай

және нақты сандар өрісіне көпмүшені кеңейту мәселесінің басқа шешімін аламыз.

Жұмыстың аяқталуы -

Бұл тақырып келесі бөлімге жатады:

Негізгі және компьютерлік алгебра

Кіріспе.. іргелі және компьютерлік алгебра курсы қолданбалы математика мамандығының студенттеріне арналған.

Егер сізге осы тақырып бойынша қосымша материал қажет болса немесе сіз іздеген нәрсені таба алмасаңыз, біз жұмыстардың дерекқорындағы іздеуді пайдалануды ұсынамыз:

Алынған материалмен не істейміз:

Егер бұл материал сізге пайдалы болса, оны әлеуметтік желілердегі парақшаңызға сақтауға болады:

Осы бөлімдегі барлық тақырыптар:

Н.И.Дубровин
Спасский елді мекені 2012 Мазмұны Кіріспе. 4 Таңбалар мен терминдер тізімі. 5 1 BASIC туралы аздап. 6 2 Аңғал жиындар теориясы. 9

BASIC туралы аздап
Математикада олар әртүрлі сипаттағы сандар (натурал, бүтін, рационал, нақты, күрделі), бір және бірнеше айнымалы көпмүшелер, матрицалар сияқты объектілермен айналысады.

Аңғал жиындар теориясы
Математикалық мәтін анықтамалар мен мәлімдемелерден тұрады. Кейбір мәлімдемелер маңыздылығы мен басқа мәлімдемелермен байланысына байланысты келесі терминдердің бірі деп аталады:

Декарттық өнімдер
Реттелген жұп немесе жай ғана элементтер жұбы математикадағы іргелі конструкциялардың бірі болып табылады. Сіз оны екі орыны бар сөре ретінде елестете аласыз - бірінші және екінші. Көбінесе математикада олай емес

Бүтін сандар
Бірден қосу арқылы алуға болатын сандар (1,2,3,...) натурал сандар деп аталады және ℕ арқылы белгіленеді. Натурал сандардың аксиоматикалық сипаттамасы осылай болуы мүмкін (қараңыз.

Рекурсия
N1-N3 аксиомаларынан бастап бастауыш сыныптан бастап барлығына таныс натурал сандарды қосу және көбейту амалдарына, натурал сандарды бір-бірімен салыстыру және түрінің қасиеттеріне «мүшелердің орындарын ауыстырып қосудан қосынды болмайды.

Натурал сандар жиынындағы реттілік
Жиынның сызықтық реттік қатынасы бар. Айталық, n

Натурал сандардың бөлінгіштігі
Бөлу операциясы натурал сандар өрісінде әрқашан мүмкін бола бермейді. Бұл бізге бөлінгіштік қатынасты енгізу құқығын береді: n саны m санын кейбір қолайлы k∈ үшін m=nk болса бөледі делік.

Бүтін сандардың бөлінгіштігі
Бүтін сандар сақинасымен белгілейік. «Сақина» термині біз белгілі заңдарға бағынатын екі амал – қосу және көбейту – берілген R жиынымен айналысатынымызды білдіреді.

Евклид алгоритмі
Бүтін сандар (m,n) жұбы берілген. Біз n-ді 1 саны бар қалдық деп есептейміз. Евклид алгоритмінің бірінші қадамы m-ді қалдықпен n-ге бөлу, содан кейін бұл жаңадан алынғанша қалдықты жаңадан алынған қалдыққа бөлу.

Евклид алгоритмінің матрицалық интерпретациясы
Евклид алгоритміне матрицалық интерпретация берейік (матрицалар үшін келесі абзацты қараңыз). Қалдықпен бөлу тізбегін матрицалық түрде қайта жазайық: Әрқайсысында алмастыру

Логика элементтері
Математиктер объектілермен айналысады, мысалы, сандар, функциялар, матрицалар, жазықтықтағы түзулер және т.б., сонымен қатар мәлімдемелермен айналысады. Айтылым - баяндаудың қандай да бір түрі

Экспрессивті формалар
Өрнек мәлімдеме бола ма? Жоқ, бұл жазба бір айнымалының экспрессивті түрі. Егер айнымалының орнына жарамды мәндерді ауыстырсақ, біз әртүрлі мәлімдемелерді аламыз

Матрицалық алгебра
R сақинасының үстіндегі матрицалық алгебра (R - бүтін сандар сақинасы, рационал сандар өрісі, нақты сандар өрісі) амалдар жиынтығы бар ең көп қолданылатын алгебралық жүйе.

Детерминанттар
А квадрат матрицасының анықтауышы оның сандық сипаттамасы болып табылады, оны немесе деп белгілейді. Кіші өлшемді матрицалардың анықтауыштарынан бастайық 1,2,3: АНЫҚТАУ. Пу

Жазықтықтың сызықтық түрлендірулері
Қашықтықтарды сақтай отырып, ϕ жазықтығының кез келген түрлендіруі не векторға параллель трансляция, не О нүктесінің айналасында α бұрышымен айналуы немесе түзуге қатысты симметрия екені белгілі.

Күрделі сандар
Бұл бөлімде біз тек бір саланы – комплекс сандар өрісін ℂ зерттейміз. Геометриялық тұрғыдан алғанда бұл жазықтық, ал алгебралық тұрғыдан алғанда ол

Комплекс сандар өрісін құру
Біз алдыңғы абзацта күрделі сандар өрісін құрастырдық. Күрделі сандар өрісінің ерекше маңыздылығына байланысты оның тікелей құрылысын ұсынамыз. бар кеңістікті қарастырыңыз

Біріктірілген күрделі сандар
Күрделі сандар өрісі бізге жаңа қасиет береді – бірдей емес үздіксіз автоморфизмнің болуы (өзіне изоморфизм). Күрделі сан конъюгаттық және карта деп аталады

Күрделі сандарды жазудың тригонометриялық түрі
Комплекс санды вектор ретінде көрсетейік. Бұл вектордың ұзындығы, яғни. шама күрделі санның модулі деп аталады және белгіленеді. Біз мөлшерді санның нормасы деп атаймыз, кейде e пайдалану ыңғайлырақ

Күрделі көрсеткіш
Параграфтың (2) ережесі бізге таза ойдан шығарылған санның көрсеткішін анықтау құқығын береді: Шынында да, осылайша анықталған функция келесі қасиеттерге ие: &

Квадрат теңдеулерді шешу
Сызықтық көпмүшенің әрқашан түбірі болады. Квадрат үшмүшесінің нақты сандар өрісінде түбірлері болмайды. Күрделі сандар () өрісінің үстіндегі шаршы үшмүшелік болсын. Конвой

Эквиваленттік қатынас теоремасы
M жиынындағы « » эквиваленттік қатынас болсын. Элемент үшін оны эквиваленттік класпен белгілейміз. Сонда М жиыны эквиваленттілік кластарының бірлігіне бөлінеді; әрбір элементі M бастап

Бүтін сандар сақинасының үстіндегі көпмүше деп аталады қарапайым, егер оның коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгіші 1 болса. Рационал коэффициенттері бар көпмүше оң рационал санның көбейтіндісі ретінде бірегей түрде көрсетіледі, деп аталады мазмұныкөпмүше, және қарабайыр көпмүше. Қарапайым көпмүшелердің туындысы қарабайыр көпмүше болады. Осы фактіден шығатыны, егер бүтін коэффициенттері бар көпмүше рационал сандар өрісінде қысқартылатын болса, онда ол бүтін сандар сақинасы бойынша азайтылады. Осылайша, рационал сандар өрісіндегі көпмүшені азайтылмайтын көбейткіштерге көбейткіштерге бөлу мәселесі бүтін сандар сақинасындағы ұқсас есепке дейін қысқарады.

Бүтін коэффициенттері мен мазмұны 1 болатын көпмүше және оның рационал түбірі болсын. Көпмүшенің түбірін азайтылмайтын бөлшек ретінде елестетейік. Көпмүшелік f(x) қарабайыр көпмүшелердің туындысы түрінде берілген. Демек,

А. алым – бөлгіш,

B. бөлгіш – бөлгіш

C. кез келген бүтін сан үшін кмағынасы f(к) – (-ға қалдықсыз бөлінетін бүтін сан. bk-а).

Көрсетілген қасиеттер көпмүшенің рационал түбірлерін табу есебін ақырлы іздеуге дейін қысқартуға мүмкіндік береді. Ұқсас тәсіл көпмүшені кеңейтуде қолданылады fКронеккер әдісі арқылы рационал сандар өрісіндегі азайтылмайтын көбейткіштерге. Көпмүше болса f(x) градус nберілген болса, онда факторлардың бірінен жоғары емес дәреже болады n/2. Бұл факторды былай белгілейік g(x). Көпмүшелердің барлық коэффициенттері бүтін сандар болғандықтан, кез келген бүтін сан үшін амағынасы f(а) қалдықсыз бөлінеді g(а). Таңдаймыз m= 1+n/2 бөлек бүтін сан амен, мен=1,…,м. Сандар үшін g(аи) мүмкіндіктердің шектеулі саны бар (кез келген нөлден басқа санның бөлгіштерінің саны ақырлы), сондықтан бөлгіш бола алатын көпмүшелердің шектеулі саны бар f(x). Толық ізденіс жүргізіп, біз көпмүшенің қысқартылмайтындығын көрсетеміз немесе оны екі көпмүшенің көбейтіндісіне кеңейтеміз. Көрсетілген схеманы барлық факторлар келтірілмейтін көпмүшелерге айналғанша әрбір факторға қолданамыз.

Кейбір көпмүшелердің рационал сандар өрісіндегі келтірілмейтіндігін қарапайым Эйзенштейн критерийі арқылы анықтауға болады.

Болсын f(x) бүтін сандар сақинасының үстіндегі көпмүшелік. Егер жай сан болса б, Не

I. Көпмүшенің барлық коэффициенттері f(x), жоғары дәрежедегі коэффициенттен басқа, бөлінеді б

II. Ең жоғары дәрежедегі коэффициент келесіге бөлінбейді б

III. Еркін мүше бөлінбейді

Содан кейін көпмүше f(x) рационал сандар өрісінде азайтылмайтын.

Айта кету керек, Эйзенштейн критерийі көпмүшелердің қысқартылмайтындығы үшін жеткілікті шарттарды қамтамасыз етеді, бірақ қажет емес. Сонымен, көпмүше рационал сандар өрісінде азайтылмайтын, бірақ Эйзенштейн критерийін қанағаттандырмайды.

Көпмүше, Эйзенштейн критерийі бойынша, келтірілмейтін. Демек, рационал сандар өрісінде дәреженің келтірілмейтін полиномы бар. n, Қайда n 1-ден үлкен кез келген натурал сан.

F өрісінің кез келген оң дәрежелі көпмүшесінің F-да түбірі болса, F өрісі алгебралық тұйық деп аталады.

Теорема 5.1 (көпмүшелік алгебраның негізгі теоремасы).Күрделі сандар өрісі алгебралық тұйықталған.

Салдары 5 .1.1. Жоғарыда МЕНТек бірінші дәрежелі азайтылмайтын көпмүшелер бар.

Қорытынды 5.1.2. Көпмүшелік n- ші дәрежелі жоғары МЕНОнда бар nкүрделі тамырлар.

Теорема 5.2. If – көпмүшенің күрделі түбірі fнақты коэффициенттермен, онда күрделі конъюгаттық сан да түбір болады f.

Салдары 5 .2.1. Жоғарыда РТек бірінші немесе екінші дәрежелі қысқартылмайтын көпмүшелер бар.

Қорытынды 5.2.2. Көпмүшенің ойша түбірлері Ркүрделі конъюгаттардың жұптарына ыдырайды.

5.1-мысал. Қайталанбайтын факторларға көбейту МЕНжәне одан жоғары Ркөпмүшелік x 4 + 4.

Шешім. Бізде бар

x 4 + 4 =x 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (x 2 + 2) 2 – 4X 2 = (x 2 – 2X+ 2)(x 2 + 2X+ 2) –

кеңейту аяқталды Р. Жақшадағы екінші дәрежелі көпмүшелердің күрделі түбірлерін кәдімгі жолмен тауып, біз кеңейтуді аламыз. МЕН:

x 4 + 4 = (x – 1 – мен) (x – 1 + мен) (x + 1 – мен) (x + 1 + мен).

5.2-мысал. Түбірлері 2 және 1+ болатын нақты коэффициенттері бар ең кіші дәрежелі көпмүшені құрастыр мен.

Шешім. Қорытынды 5.2.2-ге сәйкес, көпмүшенің түбірлері 2, 1 – болуы керек. мен және 1+ мен. Оның коэффициенттерін Виета формулалары арқылы табуға болады:

 1 = 2 + (1 – мен) + (1 +мен) = 4;

 2 = 2(1 – мен) + 2(1 + мен) + (1 – мен)(1 + мен) = 6;

 3 = 2(1 – мен)(1 + мен) = 4.

Осы жерден f =x 3 – 4x 2 + 6x– 4.

Жаттығулар.

5.1. Қайталанбайтын факторларға көбейту МЕНжәне одан жоғары Ркөпмүшелер:

A) X 3 – 6X 2 + 11X – 6;

б) X 4 – 10X 2 + 1.

5.2. Қос түбірі 1 және жай түбірі 1 – 2 болатын нақты коэффициенттері бар ең кіші дәрежелі көпмүшені құру мен.

6. Рационал сандар өрісіндегі көпмүшелер

Теорема 6.1 (Эйзенштейн критерийі). Болсын f = a 0 + а 1 x + ...+ а n x n– бүтін коэффициенттері бар көпмүше. Егер мұндай жай сан болса б, Не а 0 , а 1 , … , а n-1-ге бөлінеді б, а nбойынша бөлінбейді б,а 0 санына бөлінбейді б 2, содан кейін f рационал сандар өрісінде азайтылмайтын.

6.1-жаттығу. Толықтырылмайтындығын дәлелдеңіз Qкөпмүшелер:

A) f= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6X+ 3;b) f= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.

Теорема 6.2. Болсын – көпмүшенің түбірі болатын азайтылмайтын бөлшек f = а 0 + а 1 x + … + а n x nбүтін коэффициенттері бар. Содан кейін

а 0  б, а n  q;

f(1)  p–q,f(–1)  p+q.

Бұл теорема бүтін коэффициенттері бар көпмүшенің рационал түбірлерін табу есебін шешуге мүмкіндік береді. Ол үшін бос мүшенің барлық бөлгіштерін және жетекші коэффициентті анықтаймыз және олардан барлық түрдегі азайтылмайтын бөлшектерді құрастырамыз. Барлық рационал түбірлер осы бөлшектердің арасында болады. Оларды анықтау үшін Хорнер схемасын қолдануға болады. Ондағы қажетсіз есептеулерді болдырмау үшін 6.2 теоремасының 2) мәлімдемесін қолданамыз.

6.1-мысал. Көпмүшенің рационал түбірлерін табыңыз

f = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.

Шешім. Алымы бар барлық бөлшектерді жазамыз б – бөлгіштері 18, ал бөлгіштері q– бөлгіштер 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

Біз оларды Хорнер схемасы бойынша тексереміз:

Түбір табу X 1 = –2 және көпмүшені бөлу X+ 2, жаңа –9 бос мүшесі бар көпмүшені аламыз (оның коэффициенттерінің асты сызылған). Қалған түбірлердің алымдары осы санның бөлгіштері болуы керек, ал бұл шартты қанағаттандырмайтын бөлшектер тізімнен шығарылуы мүмкін. Қалған бүтін мәндер алынып тасталды, себебі олар шартты қанағаттандырмайды f(1)б – q немесе f(–1)б + q. Мысалы, бізде 3 үшін бар б = 3, q= 1 және шарт орындалмаған f(1) = –21б – q(екінші шарт сияқты).

Сол сияқты, түбірін табу X 2 = 3/2, біз жаңа бос мүшесі 3 және жетекші коэффициенті 1 болатын көпмүшені алдық (түбір бөлшек болғанда, алынған көпмүшенің коэффициенттерін азайту керек). Тізімнен қалған бірде-бір сан енді оның түбірі бола алмайды және ұтымды түбірлер тізімі таусылды.

Табылған тамырлардың көптігін тексеру керек.

Егер шешу барысында біз екінші дәрежелі көпмүшеге келсек және бөлшектер тізімі әлі таусылмаса, онда қалған түбірлерді квадрат үшмүшенің түбірлері ретінде әдеттегі формулаларды пайдаланып табуға болады.

6.2-жаттығу. Көпмүшенің рационал түбірлерін табыңыз

A) X 3 – 6X 2 + 15X– 14;

б) X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;

2-де X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;

г) 4 X 4 – 7X 2 – 5X– 1.