Түзу мен жазықтықтың орналасуы. Түзу мен жазықтықтың өзара орналасуы

Сызық жазықтыққа жатады, егер оның екі ортақ нүктесі немесе бір ортақ нүктесі болса және жазықтықта жатқан қандай да бір түзуге параллель болса. Сызбадағы жазықтық екі қиылысатын түзу арқылы берілсін. Бұл жазықтықта осы шарттарға сәйкес m және n екі түзуін салу қажет ( Г(a b)) (4.5-сурет).

Шешуі 1. Түзу жазықтыққа жататындықтан, оның қиылысу нүктелерінің проекцияларын түзулермен белгілеңіз. ажәне бжәне олардың көлденең проекцияларын анықтаңыз, m 1-ден 1-ге дейін және 2 1-ге дейін сызыңыз.

2. Нүкте арқылы Жазықтыққа n 2 ║m 2 және n 1 ║m 1 саламыз.

Жазықтыққа параллель түзуегер ол жазықтықта жатқан кез келген түзуге параллель болса.

Түзу мен жазықтықтың қиылысуы.Проекциялық жазықтықтарға қатысты түзу мен жазықтықтың орналасуының үш жағдайы бар. Осыған байланысты түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесі анықталады.

Бірінші жағдай - түзу және жазықтық - проекциялау орны. Бұл жағдайда сызбада қиылысу нүктесі бар (оның екі проекциясы), оны тек белгілеу керек.

МЫСАЛ Сызбада жазықтық Σ іздері арқылы берілген. сағ 0 f0)– көлденең проекциялық позиция – және түзу л- алдыңғы проекциялық позиция. Олардың қиылысу нүктесін анықтаңыз (4.6-сурет).

Сызбада қиылысу нүктесі қазірдің өзінде бар - K (K 1 K 2).

Екінші жағдай- немесе түзу сызық, немесе жазықтық - проекциялық позиция. Бұл жағдайда проекциялық жазықтықтардың бірінде қиылысу нүктесінің проекциясы бар, ол белгіленуі керек, ал екінші проекциялық жазықтықта тиесілілігі бойынша табылуы керек.

МЫСАЛДАР. Суретте. 4.7, бірақ жазықтық алдыңғы проекциялық позицияның және түзу сызықтың ізімен бейнеленген л- жалпы позиция. Сызбадағы K 2 қиылысу нүктесінің проекциясы қазірдің өзінде бар, ал K 1 проекциясын К нүктесіне түзу сызыққа жатқызу арқылы табу керек. л. Үстінде
күріш. 4.7, b - жалпы позициядағы жазықтық, ал m түзуі фронталь проекцияда, онда K 2 бұрыннан бар (m 2 сәйкес келеді), ал K 1 нүктесі жазықтыққа жататын шарттан табылуы керек. Ол үшін Қ арқылы өту керек
түзу сызық ( h- көлденең) жазықтықта жатқан.

Үшінші жағдай- түзу де, жазықтық та - жалпы позиция. Бұл жағдайда түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесін анықтау үшін медиатор деп аталатын проекциялық жазықтықты пайдалану қажет. Ол үшін түзу арқылы көмекші секант жазықтығы жүргізіледі. Бұл жазықтық берілген жазықтықты түзу бойымен қиып өтеді. Егер бұл түзу берілген түзуді қиып өтсе, онда түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесі болады.

МЫСАЛДАР. Суретте. 4.8 жазықтық ABC үшбұрышымен – жалпы жағдайда – және түзумен бейнеленген л- жалпы позиция. Қиылысу нүктесін анықтау үшін K арқылы қажет лфронталь проекциялаушы Σ жазықтығы сызыңыз, үшбұрышта Δ және Σ қиылысу сызығын салыңыз (сызбада бұл 1.2 кесінді), K 1 және тиесілігі бойынша K 2 анықтаңыз. Содан кейін сызықтың көрінуі анықталады лүшбұрышқа қатысты бәсекелес нүктелер арқылы. Р 1 нүктесінде 3 және 4 нүктелер бәсекелес нүктелер ретінде қабылданады.4 нүктенің проекциясы P 1 нүктесінде көрінеді, өйткені оның Z координатасы 3 нүктеден үлкен, сондықтан проекция л 1осы нүктеден бастап K 1 көрінбейтін болады.

Р 2 бойынша бәсекелес нүктелер АВ-ға жататын 1-тармақ және 5-тармаққа жатады. л. 1 нүкте көрінетін болады, өйткені оның Y координаты 5 нүктеден үлкен, сондықтан түзудің проекциясы л 2К 2 дейін көрінбейді.

Стереометрия

Түзулер мен жазықтықтардың өзара орналасуы

Ғарышта

Түзулер мен жазықтықтардың параллелдігі

Кеңістіктегі екі түзу деп аталады параллель егер олар бір жазықтықта жатса және қиылыспаса.

Түзу және жазықтық деп аталады параллель егер олар қиылыспаса.

Екі ұшақ шақырылады параллель егер олар қиылыспаса.

Қиылыспайтын және бір жазықтықта жатпайтын түзулер деп аталады шағылыстыру .

Түзу мен жазықтықтың параллельдік белгісі. Егер жазықтыққа жатпайтын түзу сол жазықтықтағы қандай да бір түзуге параллель болса, онда ол да жазықтықтың өзіне параллель болады.

Параллель жазықтықтардың белгісі. Егер бір жазықтықтың екі қиылысатын түзуі басқа жазықтықтың екі түзуіне сәйкесінше параллель болса, онда бұл жазықтықтар параллель болады.

Қиылысатын түзулердің белгісі. Егер екі түзудің бірі жазықтықта жатса, ал екіншісі осы жазықтықты бірінші түзуге жатпайтын нүктеде қиып өтсе, онда бұл түзулер қиылысады.

Параллель түзулер мен параллель жазықтықтар теоремасы.

1. Үшінші түзуге параллель екі түзу параллель.

2. Екі параллель түзудің біреуі жазықтықты қиып өтсе, онда екінші түзу осы жазықтықты қиып өтеді.

3. Берілген түзудің сыртындағы нүкте арқылы берілген түзуге параллель түзу жүргізуге болады және тек бір ғана.

4. Егер түзу екі қиылысатын жазықтықтың әрқайсысына параллель болса, онда ол олардың қиылысу сызығына параллель болады.

5. Екі параллель жазықтық үшінші жазықтықпен қиылса, онда қиылысу түзулері параллель болады.

6. Берілген жазықтықта жатпайтын нүкте арқылы берілгенге параллель, тек бір ғана жазықтықты жүргізуге болады.

7. Үшіншіге параллель екі жазықтық өзара параллель.

8. Параллель жазықтықтардың арасына салынған параллель түзулердің кесінділері тең.

Түзулер мен жазықтықтар арасындағы бұрыштар

Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыштүзу мен оның жазықтыққа проекциясы арасындағы бұрыш деп аталады (1-суреттегі бұрыш).

Қисық сызықтар арасындағы бұрыш- берілген қиғаш сызықтарға сәйкесінше параллель қиылысатын түзулер арасындағы бұрыш.

екібұрышты бұрышОртақ түзулері бар екі жарты жазықтықтан құралған фигура деп аталады. Жарты ұшақтар деп аталады беттер , түзу сызық жиегі екібұрышты бұрыш.

Сызықтық бұрыш екібұрышты бұрыш – жиектің бір нүктесінен шығатын және шетіне перпендикуляр болатын екібұрышты бұрыштың беттеріне жататын жарты сызықтар арасындағы бұрыш (2-суреттегі бұрыш).

Екібұрышты бұрыштың градустық (радиандық) өлшемі оның сызықтық бұрышының градустық (радиандық) өлшеміне тең.

Түзулер мен жазықтықтардың перпендикулярлығы

Екі жол деп аталады перпендикуляр егер олар тік бұрышта қиылса.

Жазықтықты қиып өтетін түзу деп аталады перпендикуляр бұл жазықтық, егер ол осы түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесі арқылы өтетін жазықтықтағы кез келген түзуге перпендикуляр болса.

Екі ұшақ шақырылады перпендикуляр , егер қиылысатын болса, олар тік екібұрышты бұрыштар құрайды.

Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық белгісі. Егер жазықтықты қиып өтетін түзу сол жазықтықтағы екі қиылысатын түзуге перпендикуляр болса, онда ол жазықтыққа перпендикуляр болады.

Екі жазықтықтың перпендикулярлық белгісі. Егер жазықтық басқа жазықтыққа перпендикуляр түзу арқылы өтсе, онда бұл жазықтықтар перпендикуляр болады.

Перпендикуляр түзулер мен жазықтықтар туралы теоремалар.

1. Егер жазықтық екі параллель түзудің біріне перпендикуляр болса, онда ол екіншісіне де перпендикуляр болады.

2. Егер екі түзу бір жазықтыққа перпендикуляр болса, онда олар параллель болады.

3. Егер түзу екі параллель жазықтықтың біріне перпендикуляр болса, онда ол екіншісіне де перпендикуляр болады.

4. Егер екі жазықтық бір түзуге перпендикуляр болса, онда олар параллель болады.

Перпендикуляр және қиғаш

Теорема. Егер жазықтықтан тыс бір нүктеден перпендикуляр және қиғаш түзу жүргізілсе, онда:

1) көлбеу, проекциялары бірдей, тең;

2) көлбеу екінің, проекциясы үлкені үлкен;

3) тең қиғаштардың проекциялары бірдей;

4) екі проекцияның үлкен көлбеуіне сәйкес келетіні үлкенірек.

Үш перпендикуляр теоремасы. Жазықтықта жатқан түзу көлбеу сызыққа перпендикуляр болуы үшін бұл түзудің көлбеу түзудің проекциясына перпендикуляр болуы қажет және жеткілікті (3-сурет).

Көпбұрыштың жазықтыққа ортогональ проекциясының ауданы туралы теорема.Көпбұрыштың жазықтыққа ортогональ проекциясының ауданы көпбұрыштың ауданы мен көпбұрыш жазықтығы мен проекция жазықтығы арасындағы бұрыштың косинусының көбейтіндісіне тең.

Құрылыс.

1. Ұшақта атүзу сызық сызыңыз а.

3. Жазықтықта бнүкте арқылы БІРАҚтүзу сызық сызайық б, сызыққа параллель а.

4. Түзу сызықты тұрғызды бжазықтыққа параллель а.

Дәлелдеу.Түзу мен жазықтықтың, түзудің параллелдігі негізінде бжазықтыққа параллель а, өйткені ол түзуге параллель аұшаққа жатады а.

Оқу.Мәселеде сызықтан бері шексіз көп шешімдер бар ажазықтықта аерікті түрде таңдалады.

2-мысалНүктенің жазықтықтан қаншалықты алыс екенін анықтаңыз БІРАҚтүзу болса ABжазықтықты нүктеден қашықтығы 45º бұрышпен қиып өтеді БІРАҚНүктеге AT, жазықтыққа жататын, см-ге тең?

Шешім.Сурет салайық (5-сурет):

AC- жазықтыққа перпендикуляр а, AB- көлбеу, бұрыш ABC- түзу арасындағы бұрыш ABжәне ұшақ а. Үшбұрыш ABC- тікбұрышты AC- перпендикуляр. Нүктеден қалаған қашықтық БІРАҚұшаққа - бұл аяқ ACтікбұрышты үшбұрыш. Бұрыш пен гипотенузаны см біле отырып, біз аяқты табамыз AC:

Жауап: 3 см

3-мысалҮшбұрыштың табаны мен биіктігі 8 см болса, үшбұрыштың әрбір төбесінен 13 см қашықтықта орналасқан нүкте тең қабырғалы үшбұрыштың жазықтығынан қанша қашықтықта екенін анықтаңыз?

Шешім.Сурет салайық (6-сурет). Нүкте Снүктелерден алыс БІРАҚ, ATжәне FROMбірдей қашықтыққа. Сондай бейім SA, СБжәне SCтең, SO- осы көлбеулердің ортақ перпендикуляры. Көлбеу және проекция теоремасы бойынша AO = BO = CO.

Нүкте О- үшбұрыштың айналасында сызылған шеңбердің центрі ABC. Оның радиусын табайық:

қайда Күн- негіз;

ADберілген тең қабырғалы үшбұрыштың биіктігі.

Үшбұрыштың қабырғаларын табу ABCтікбұрышты үшбұрыштан АҚШПифагор теоремасы бойынша:

Енді табамыз О.В:

Үшбұрышты қарастырайық SOB: СБ= 13 см, О.В= = 5 см.Перпендикуляр ұзындығын табыңыз SOПифагор теоремасы бойынша:

Жауап: 12 см

4-мысалПараллель жазықтықтар берілген ажәне б. Нүкте арқылы М, олардың ешқайсысына жатпайтын, түзу сызықтар сызылады ажәне б, қай крест анүктелерде БІРАҚ 1 және AT 1 , және ұшақ б- нүктелерде БІРАҚ 2 және AT 2. Табу БІРАҚ 1 AT 1 егер бұл белгілі болса М.А 1 = 8 см, БІРАҚ 1 БІРАҚ 2 = 12 см, БІРАҚ 2 AT 2 = 25 см.

Шешім.Өйткені шарт екі жазықтыққа қатысты нүктенің қалай орналасқанын айтпайды М, онда екі опция мүмкін: (Cурет 7, а) және (Cурет 7, b). Олардың әрқайсысын қарастырайық. Екі қиылысатын сызық ажәне бжазықтықты анықтаңыз. Бұл жазықтық екі параллель жазықтықты қиып өтеді ажәне бпараллель түзулер бойымен БІРАҚ 1 AT 1 және БІРАҚ 2 ATПараллель түзулер мен параллель жазықтықтар туралы 5-теорема бойынша 2.

үшбұрыштар М.А 1 AT 1 және М.А 2 AT 2 ұқсас (бұрыштар БІРАҚ 2 MV 2 және БІРАҚ 1 MV 1 - тік, бұрыштар М.А 1 AT 1 және М.А 2 AT 2 - параллель түзулермен жатқан ішкі крест БІРАҚ 1 AT 1 және БІРАҚ 2 AT 2 және секант БІРАҚ 1 БІРАҚ 2). Үшбұрыштардың ұқсастығынан қабырғалардың пропорционалдығы шығады:

а нұсқасы):

b нұсқасы):

Жауап: 10 см және 50 см.

5-мысалНүкте арқылы БІРАҚұшақ gтікелей ABжазықтықпен бұрыш құру а. Түзу сызық арқылы ABсызылған ұшақ r, жазықтықпен қалыптастыру gбұрыш б. Түзу проекциясының арасындағы бұрышты табыңыз ABұшаққа gжәне ұшақ r.

Шешім.Сурет салайық (8-сурет). Бір нүктеден ATжазықтыққа перпендикуляр түсіріңіз g. Жазықтықтар арасындағы сызықтық екібұрышты бұрыш gжәне rбұрыш болып табылады AD DBC, түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы негізінде, бері және Жазықтықтардың перпендикулярлығы негізінде, жазықтық rүшбұрыштың жазықтығына перпендикуляр DBC, өйткені ол сызық арқылы өтеді AD. Перпендикулярды нүктеден түсіріп, қалаған бұрышты саламыз FROMұшаққа r, оны белгілеңіз Тікбұрышты үшбұрыштың осы бұрышының синусын табыңыз ӨЗІМ. Біз көмекші сегментті енгіземіз а = күн. Үшбұрыштан ABC: Үшбұрыштан Әскери-теңіз күштерітабу

Содан кейін қажетті бұрыш

Жауап:

Өз бетінше шешуге арналған тапсырмалар

I деңгей

1.1. Нүкте арқылы берілген екі қиғаш сызыққа перпендикуляр түзу жүргізіңіз.

1.2. Неше түрлі жазықтықтар салуға болатынын анықтаңыз:

1) үш түрлі нүкте арқылы;

2) үшеуі бір жазықтықта жатпайтын төрт түрлі нүкте арқылы?

1.3. үшбұрыштың төбелері арқылы ABC, екі параллель жазықтықтың бірінде жатып, екінші жазықтықты нүктелерде қиып өтетін параллель түзулер сызылады. БІРАҚ 1 , AT 1 , FROMбір . Үшбұрыштардың тең екенін дәлелдеңдер ABCжәне БІРАҚ 1 AT 1 FROM 1 .

1.4. Жоғарыдан БІРАҚтөртбұрыш А Б С Дперпендикуляр тұрғызылған AMоның жазықтығына.

1) үшбұрыштар екенін дәлелде MBCжәне MDC- төртбұрыш;

2) сегменттер арасында көрсетіңіз МБ, MC, MDжәне М.Аең үлкен және ең кіші ұзындықтың кесіндісі.

1.5. Бір екібұрышты бұрыштың беттері сәйкесінше екіншісінің беттеріне параллель. Осы екі қырлы бұрыштардың мәндері арасындағы байланыс қандай екенін анықтаңыз.

1.6. Бір бетке алынған нүктеден шетіне дейінгі қашықтық нүктеден екінші беттің жазықтығына дейінгі қашықтыққа 2 есе көп болса, екібұрышты бұрыштың мәнін табыңыз.

1.7. Жазықтықтан арақашықтықпен бөлінген нүктеден 60º бұрыш құрайтын екі бірдей көлбеу түзу жүргізілген. Көлбеу жазықтықтардың проекциялары өзара перпендикуляр. Қиғаштардың ұзындықтарын табыңыз.

1.8. Жоғарыдан ATшаршы А Б С Дперпендикуляр тұрғызылған БОЛУЫшаршы жазықтығына. Үшбұрыш жазықтығының көлбеу бұрышы ACEшаршы жазықтығына тең j, шаршының қабырғасы а ACE.

II деңгей

2.1. Қиылысатын екі түзудің ешқайсысына жатпайтын нүкте арқылы берілген екі түзуді де қиып өтетін түзу жүргізіңіз.

2.2. Параллель сызықтар а, бжәне біргебір жазықтықта жатпаңыз. Нүкте арқылы БІРАҚтүзу сызықта атүзулерге перпендикуляр жүргізілген бжәне бірге, оларды тиісінше нүктелерінде қиылысу ATжәне FROM. Сызық екенін дәлелдеңіз Күнтүзулерге перпендикуляр бжәне бірге.

2.3. Жоғарғы арқылы БІРАҚтікбұрышты үшбұрыш ABCпараллель жүргізілген жазықтық Күн. Үшбұрышты аяқтары AC= 20 см, Күн\u003d 15 см.Қайттардың бірінің жазықтықтағы проекциясы 12 см.Гипотенузаның проекциясын табыңыз.

2.4. 30º тең екібұрышты бұрыштың беттерінің бірінде нүкте бар М. Одан бұрыштың шетіне дейінгі қашықтық 18 см.Нүкте проекциясынан қашықтықты табыңдар Мекінші жиектен бірінші жиекке.

2.5. Жол аяқталады AB 90º тең екібұрышты бұрыштың беттеріне жатады. Нүктелерден қашықтық БІРАҚжәне ATшетіне дейін сәйкесінше тең А.А 1 = 3 см, BB 1 \u003d 6 см, шетіндегі нүктелер арасындағы қашықтық Сегменттің ұзындығын табыңыз AB.

2.6. Жазықтықтан қашықтыққа бөлінген нүктеден а, жазықтықпен 45º және 30º бұрыштар, ал олардың арасында 90º бұрыш құрайтын екі көлбеу сызылған. Еңістердің табандары арасындағы қашықтықты табыңыз.

2.7. Үшбұрыштың қабырғалары 15 см, 21 см және 24 см.Нүкте Мүшбұрыштың жазықтығынан 73 см-ге жойылған және оның төбелерінен бірдей қашықтықта орналасқан. Осы қашықтықты табыңыз.

2.8. Орталықтан Оүшбұрышқа сызылған шеңбер ABC, үшбұрыш жазықтығына перпендикуляр ОМ. Нүктеден қашықтықты табыңыз Мүшбұрыштың қабырғаларына, егер AB = BC = 10 см AC= 12 см, ОМ= 4 см.

2.9. Нүктеден арақашықтықтар Мтік бұрыштың қабырғалары мен төбелері сәйкесінше 4 см, 7 см және 8 см.Нүктеден қашықтықты табыңыз. Мтік бұрыш жазықтығына.

2.10. База арқылы ABтең қабырғалы үшбұрыш ABCбұрышпен сызылған жазықтық бүшбұрыштың жазықтығына. Шың FROMқашықтықта ұшақтан шығарылады а. Үшбұрыштың ауданын табыңыз ABCнегізі болса ABтең қабырғалы үшбұрыштың биіктігі оның биіктігіне тең.

III деңгей

3.1. Тіктөртбұрыштың орналасуы А Б С Дтараптармен ажәне бдиагональ бойынша бүктелген BDүшбұрыштардың жазықтықтары болатындай нашаржәне BCDөзара перпендикуляр болады. Кесіндінің ұзындығын табыңыз AC.

3.2. Бұрыштары 60º екі тікбұрышты трапеция перпендикуляр жазықтықта жатыр және олардың ортақ табаны үлкенірек. Үлкен бүйір қабырғалары 4 см және 8 см.Түзулердің төбелері мен трапецияның доғал бұрыштарының төбелері арасындағы қашықтықты табыңдар, егер олардың сүйір бұрыштарының төбелері сәйкес келсе.

3.3 Текше беріледі ABCDA 1 Б 1 C 1 Dбір . Түзу арасындағы бұрышты табыңыз CD 1 және ұшақ бдк 1 .

3.4. шетінде ABКуба ABCDA 1 Б 1 C 1 D 1 ұпай алынды Росы жиектің ортасы болып табылады. Нүктелер арқылы өтетін жазықтық арқылы текше қимасын салу C 1 ПДжәне текшенің шеті болса, осы бөліктің ауданын табыңыз а.

3.5. Бүйір жағынан ADтөртбұрыш А Б С Дсызылған ұшақ асондықтан диагональ BDосы жазықтықпен 30 градус бұрыш жасайды. Тіктөртбұрыштың жазықтығы мен жазықтықтың арасындағы бұрышты табыңыз а, егер AB = а, AD=b. Қандай қатынас екенін анықтаңыз ажәне бмәселенің шешімі бар.

3.6. Үшбұрыштың қабырғаларымен анықталған түзулерден бірдей қашықтықта орналасқан нүктелердің орнын табыңыз.

Призма. Параллелепипед

призмаекі беті n-бұрыштары тең көп қырлы деп аталады (негіздер) , параллель жазықтықтарда жатқан, ал қалған n беті параллелограммдар (бүйір беттер) . Бүйір қабырғасы призма – бүйір бетінің негізге жатпайтын жағы.

Бүйір қырлары табандарының жазықтықтарына перпендикуляр болатын призма деп аталады Түзу призма (Cурет 1). Егер бүйір қырлары табандардың жазықтықтарына перпендикуляр болмаса, онда призма деп аталады қиғаш . Дұрыс Призма – табандары дұрыс көпбұрыштар болатын түзу призма.

Биіктігіпризма негіздері жазықтықтарының арасындағы қашықтық деп аталады. Диагональ Призма - бір бетке жатпайтын екі төбені қосатын кесінді. диагональды кесінді Призманың бір бетке жатпайтын екі бүйір жиегі арқылы өтетін жазықтықтың кесіндісі деп аталады. Перпендикуляр қима призманың бүйір жиегіне перпендикуляр жазықтықпен кесінді деп аталады.

Бүйір бетінің ауданы призма - барлық бүйір беттерінің аудандарының қосындысы. Толық бетінің ауданы призманың барлық беттерінің аудандарының қосындысы деп аталады (яғни, бүйір беттерінің аудандары мен табандарының аудандарының қосындысы).

Ерікті призма үшін формулалар ақиқат болады:

қайда лбүйір қабырғасының ұзындығы;

Х- биіктігі;

П

Q

S жағы

S толы

S негізгінегіздердің ауданы болып табылады;

Впризманың көлемі болып табылады.

Түзу призма үшін келесі формулалар дұрыс:

қайда б- негіздің периметрі;

лбүйір қабырғасының ұзындығы;

Х- биіктік.

ПараллелепипедТабаны параллелограмм болатын призма деп аталады. Бүйір шеттері табандарына перпендикуляр болатын параллелепипед деп аталады тікелей (Cурет 2). Егер бүйір қырлары табандарына перпендикуляр болмаса, онда параллелепипед деп аталады қиғаш . Табаны тіктөртбұрыш болатын тік параллелепипед деп аталады тікбұрышты. Барлық шеттері тең тікбұрышты параллелепипед деп аталады текше.

Параллелепипедтің ортақ төбелері жоқ беттері деп аталады қарама-қарсы . Бір шыңнан шығатын шеттердің ұзындықтары деп аталады өлшемдер параллелепипед. Қорап призма болғандықтан, оның негізгі элементтері призмалар үшін анықталғандай анықталады.

Теоремалар.

1. Параллелепипедтің диагональдары бір нүктеде қиылысады және оны екіге бөледі.

2. Тік бұрышты параллелепипедте диагональ ұзындығының квадраты оның үш өлшемінің квадраттарының қосындысына тең:

3. Тік бұрышты параллелепипедтің барлық төрт диагональдары бір-біріне тең.

Ерікті параллелепипед үшін келесі формулалар дұрыс:

қайда лбүйір қабырғасының ұзындығы;

Х- биіктігі;

Пперпендикуляр қиманың периметрі болып табылады;

Q– перпендикуляр қиманың ауданы;

S жағыбүйір бетінің ауданы болып табылады;

S толыжалпы бетінің ауданы;

S негізгінегіздердің ауданы болып табылады;

Впризманың көлемі болып табылады.

Дұрыс параллелепипед үшін мына формулалар дұрыс:

қайда б- негіздің периметрі;

лбүйір қабырғасының ұзындығы;

Хоң жақ параллелепипедтің биіктігі.

Тік бұрышты параллелепипед үшін келесі формулалар дұрыс:

қайда б- негіздің периметрі;

Х- биіктігі;

г- диагональ;

a,b,c– параллелепипедтің өлшемдері.

Текше үшін дұрыс формулалар:

қайда ақабырғаның ұзындығы;

гтекшенің диагоналы болып табылады.

1-мысалТіктөртбұрышты кубоидтың диагоналы 33 дм, өлшемдері 2:6:9 қатынасындай.Кубоидтың өлшемдерін табыңыз.

Шешім.Параллелепипедтің өлшемдерін табу үшін (3) формуланы қолданамыз, яғни. кубоидтың гипотенузасы квадраты оның өлшемдерінің квадраттарының қосындысына тең екендігі. арқылы белгілеңіз кпропорционалдық коэффициенті. Сонда параллелепипедтің өлшемдері 2-ге тең болады к, 6кжәне 9 к. Есептік деректерге формула (3) жазамыз:

Бұл теңдеуді шешу к, Біз алып жатырмыз:

Демек, параллелепипедтің өлшемдері 6 дм, 18 дм және 27 дм.

Жауап: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

2-мысалЕгер табаны қабырғасы 8 см тең бүйірлі үшбұрыш болатын көлбеу үшбұрышты призманың көлемін табыңыз, егер бүйір шеті табанның қабырғасына тең болса және табанына 60º бұрыш жасап көлбеу болса.

Шешім . Сурет салайық (3-сурет).

Көлбеу призманың көлемін табу үшін оның табанының ауданы мен биіктігін білу керек. Бұл призманың табанының ауданы - қабырғасы 8 см болатын теңбүйірлі үшбұрыштың ауданы, оны есептейік:

Призманың биіктігі деп оның табандарының арасындағы қашықтықты айтады. Жоғарыдан БІРАҚЖоғарғы негіздің 1 төменгі табанының жазықтығына перпендикуляр түсіреміз БІРАҚ 1 D. Оның ұзындығы призманың биіктігіне тең болады. D қарастырайық БІРАҚ 1 AD: өйткені бұл бүйірлік қабырғаның көлбеу бұрышы БІРАҚ 1 БІРАҚбазалық жазықтыққа БІРАҚ 1 БІРАҚ= 8 см.Осы үшбұрыштан табамыз БІРАҚ 1 D:

Енді көлемді формула (1) арқылы есептейміз:

Жауап: 192 см3.

3-мысалКәдімгі алтыбұрышты призманың бүйір шеті 14 см.Ең үлкен диагональ қимасының ауданы 168 см 2. Призманың толық бетінің ауданын табыңыз.

Шешім.Сурет салайық (4-сурет)

Ең үлкен диагональ қимасы – тіктөртбұрыш А.А 1 ДД 1 , диагональдан бері ADтұрақты алтыбұрыш ABCDEFең үлкені болып табылады. Призманың бүйір бетінің ауданын есептеу үшін негіздің бүйір жағын және бүйір қабырғасының ұзындығын білу қажет.

Диагональды қиманың (тіктөртбұрыш) ауданын біле отырып, біз негіздің диагоналын табамыз.

Өйткені, онда

Сол уақыттан бері AB= 6 см.

Сонда негіздің периметрі:

Призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз:

Қабырғасы 6 см болатын дұрыс алтыбұрыштың ауданы:

Призманың толық бетінің ауданын табыңыз:

Жауап:

4-мысалОң жақ параллелепипедтің негізі ромб. Диагональды қималардың аудандары 300 см 2 және 875 см 2. Параллелепипедтің бүйір бетінің ауданын табыңыз.

Шешім.Сурет салайық (5-сурет).

Ромбтың жағын белгілеңіз а, ромбтың диагональдары г 1 және г 2 , қораптың биіктігі h. Түзу параллелепипедтің бүйір бетінің ауданын табу үшін табанның периметрін биіктікке көбейту керек: (формула (2)). Негізгі периметрі p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, өйткені А Б С Д- ромб. H = AA 1 = h. Бұл. Табу керек ажәне h.

Диагональды кесінділерді қарастырыңыз. А.А 1 SS 1 – тіктөртбұрыш, оның бір қабырғасы ромбтың диагоналы AC = г 1 , екінші - бүйірлік жиегі А.А 1 = h, содан кейін

Бөлім үшін де солай BB 1 ДД 1 аламыз:

Параллелограммның диагональдарының квадраттарының қосындысы оның барлық қабырғаларының квадраттарының қосындысына тең болатындай қасиетін пайдаланып, теңдігін аламыз Келесіні аламыз:

Алғашқы екі теңдіктен біз өрнектеп, үшіншіге ауыстырамыз. Біз аламыз: онда

1.3. Көлбеу үшбұрышты призмада бүйір жиегіне 12 см-ге тең перпендикуляр кесінді жүргізілген.Алынған үшбұрышта ұзындығы см және 8 см екі қабырғасы 45° бұрыш жасайды. Призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

1.4. Тік параллелепипедтің табаны қабырғасы 4 см, сүйір бұрышы 60° ромб. Бүйір жиегінің ұзындығы 10 см болса, параллелепипедтің диагональдарын табыңыз.

1.5. Оң жақ параллелепипедтің табаны диагоналы см-ге тең шаршы.Параллелепипедтің бүйір шеті 5см.Параллелепипедтің жалпы бетінің ауданын табыңыз.

1.6. Көлбеу параллелепипедтің табаны қабырғалары 3 см және 4 см болатын тіктөртбұрыш болып табылады.См-ге тең бүйір жиегі негіз жазықтығына 60 ° бұрышпен көлбеу. Параллелепипедтің көлемін табыңыз.

1.7. Бір төбеден шығатын екі шеті мен диагоналы сәйкесінше 11 см, см және 13 см болса, куб тәрізді беттің ауданын есептеңіз.

1.8. Тік бұрышты параллелепипедтің пішіні бар, өлшемдері 0,3 м, 0,3 м және 2,5 м болатын тас бағананың салмағын анықтаңыз, егер материалдың меншікті салмағы 2,2 г/см3 болса.

1.9. Кубтың диагональ қимасының ауданын табыңыз, егер оның бетінің диагоналы дм болса.

1.10. Кубтың бір бетінде жатпайтын екі төбесінің арақашықтығы см болса, оның көлемін табыңыз.

II деңгей

2.1. Көлбеу призманың табаны қабырғасы см болатын тең бүйірлі үшбұрыш.Бүйір қыры табан жазықтығына 30° бұрышпен көлбеу. Призманың бүйір жиегі арқылы өтетін көлденең қимасының ауданын және призманың биіктігін табыңыз, егер жоғарғы табанның бір төбелері төменгі табанның қабырғасының ортасына проекцияланғаны белгілі болса.

2.2. Көлбеу призманың табаны қабырғасы 3 см-ге тең АВС теңбүйірлі үшбұрышы.А 1 төбесі АВС үшбұрышының центріне проекцияланған. AA 1 қабырғасы негіз жазықтығымен 45° бұрыш жасайды. Призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

2.3. Көлбеу үшбұрышты призманың көлемін есептеңдер, егер табанының қабырғалары 7 см, 5 см және 8 см, ал призманың биіктігі табан үшбұрышының төменгі биіктігіне тең болса.

2.4. Дұрыс төртбұрышты призманың диагоналы бүйір бетіне 30° бұрышпен көлбеу. Негізгі жазықтыққа көлбеу бұрышын табыңыз.

2.5. Түзу призманың табаны – тең қабырғалы трапеция, оның табандары 4 см және 14 см, ал диагоналы 15 см.Призманың екі бүйір беті төртбұрыштар. Призманың толық бетінің ауданын табыңыз.

2.6. Дұрыс алтыбұрышты призманың диагональдары 19см және 21см.Оның көлемін табыңдар.

2.7. Диагоналы 8 дм, бүйір беттерімен 30° және 40° бұрыш жасайтын тікбұрышты параллелепипедтің өлшемдерін табыңыз.

2.8. Түзу параллелепипедтің табанының диагональдары 34 см және 38 см, ал бүйір беттерінің аудандары 800 см 2 және 1200 см 2. Параллелепипедтің көлемін табыңыз.

2.9. Бір төбесінен шығатын бүйір беттерінің диагональдары 4 см және 5 см болатын және 60° бұрыш құрайтын кубидің көлемін анықтаңдар.

2.10. Кубтың диагоналынан қиылыспайтын шетіне дейінгі қашықтық мм болса, оның көлемін табыңыз.

III деңгей

3.1. Тұрақты үшбұрышты призмада табанның бүйір жағы мен қарама-қарсы бүйір жиегінің ортасы арқылы кесінді жүргізеді. Негіздің ауданы 18 см2, ал бүйір бетінің диагоналы негізге 60 ° бұрышпен көлбеу. Секциялық ауданды табыңыз.

3.2. Призманың табаны ABCD квадраты болып табылады, оның барлық төбелері жоғарғы табанының A 1 төбесінен бірдей қашықтықта орналасқан. Бүйір жиегі мен негіз жазықтығы арасындағы бұрыш 60°. Табаның қабырғасы 12 см.Призманың АА 1 шетіне перпендикуляр С төбесінен өтетін жазықтықпен кесіндісін салып, ауданын табыңдар.

3.3. Оң жақ призманың табаны – тең қабырғалы трапеция. Диагональды қиманың ауданы мен параллель бүйір беттерінің ауданы сәйкесінше 320 см 2, 176 см 2 және 336 см 2 құрайды. Призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

3.4. Түзу үшбұрышты призманың табанының ауданы 9 см 2, бүйір беттерінің ауданы 18 см 2, 20 см 2 және 34 см 2. Призманың көлемін табыңыз.

3.5. Оның беттерінің диагональдары 11 см, 19 см және 20 см болатынын біле отырып, текшенің диагональдарын табыңдар.

3.6. Тік бұрышты параллелепипедтің табанының диагоналінің табанының қабырғасымен және параллелепипедтің диагоналімен жасалған бұрыштары сәйкесінше a және b-ке тең. Параллелепипедтің бүйір бетінің ауданын табыңыз, егер оның диагоналы d болса.

3.7. Кәдімгі алтыбұрышты текшенің сол қимасының ауданы см 2. Кубтың бетінің ауданын табыңыз.

Кеңістіктегі түзу мен жазықтықтың өзара орналасуы үш жағдайды қабылдайды. Түзу мен жазықтық бір нүктеде қиылысуы мүмкін. Олар параллель болуы мүмкін. Ақырында, сызық жазықтықта жатуы мүмкін. Түзу мен жазықтықтың нақты жағдайын табу олардың сипатталуына байланысты.

π жазықтығы жалпы π теңдеуімен берілген делік: Ax + By + Cz + D = 0, ал L түзуі канондық (x - x 0)/l = (y - y 0)/m теңдеулерімен берілген. = (z - z 0) /n. Түзу теңдеулері түзудегі M 0 (x 0; y 0; z 0) нүктесінің координаталарын және осы түзудің бағыттаушы векторының s = (l; m; n) координаталарын және жазықтықты береді. теңдеу – оның нормаль векторының координаталары n = (A; B; C).

Егер L түзуі мен π жазықтығы қиылысса, онда түзудің бағыт векторы s π жазықтығына параллель болмайды. Демек, жазықтықтың нормаль векторы n s векторына ортогональ емес, яғни. олардың нүктелік көбейтіндісі нөлге тең емес. Түзу мен жазықтық теңдеулерінің коэффициенттері бойынша бұл шарт A1 + Bm + Cn ≠ 0 теңсіздігі түрінде жазылады.

Егер түзу мен жазықтық параллель болса немесе түзу жазықтықта жатса, онда координаттарда Al + Bm + Cn = 0 теңдігіне келтіретін s ⊥ n шарты орындалады. "Параллель" және " түзу жазықтыққа жатады», бізге берілген жазықтықтағы түзудің нүктесі бар-жоғын тексеру керек.

Осылайша, сызық пен жазықтықтың өзара орналасуының барлық үш жағдайы сәйкес шарттарды тексеру арқылы бөлінеді:

Егер L сызығы оның жалпы теңдеулері арқылы берілсе:

онда түзу мен π жазықтығының өзара орналасуын былай талдауға болады. Түзудің жалпы теңдеулерінен және жазықтықтың жалпы теңдеуінен құрастырамыз үш сызықтық теңдеулер жүйесіүш белгісіз

Егер бұл жүйенің шешімдері болмаса, онда түзу жазықтыққа параллель болады. Егер оның бірегей шешімі болса, онда түзу мен жазықтық бір нүктеде қиылысады. Соңғысы мынаған тең жүйе квалификациясы (6.6)

нөлден өзгеше. Ақырында, егер (6.6) жүйеде шексіз көп шешімдер болса, онда түзу жазықтыққа жатады.

Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш. L сызығы арасындағы φ бұрышы: (x - x 0) / l \u003d (y - y 0) / m \u003d (z - z 0) / n және π жазықтығы: Ax + By + Cz + D \u003d 0 0 ° шегінде (параллелизм жағдайында) 90 ° дейін (түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы жағдайында). Бұл бұрыштың синусы |cosψ|-ке тең, мұндағы ψ - s түзуінің бағыт векторы мен жазықтықтың нормаль векторы n арасындағы бұрыш (6.4-сурет). Екі вектор арасындағы бұрыштың косинусын олардың координаталары бойынша есептеп (қараңыз (2.16)), біз аламыз

Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық шарты жазықтықтың нормаль векторы мен түзудің бағыт векторының коллинеар болуына эквивалентті. Векторлардың координаталары бойынша бұл шарт қос теңдік түрінде жазылады

БИЛЕТ 16.

Екі қырлы бұрыштары тең пирамиданың қасиеттері.

A) Егер пирамиданың бүйір беттері табанымен бірдей екібұрышты бұрыштарды құраса, онда пирамиданың бүйір беттерінің барлық биіктіктері тең (тұрақты пирамида үшін бұлар апотемдер), ал пирамиданың төбесі проекцияланады. негізі көпбұрышқа сызылған шеңбердің центрі.

B) Пирамиданың негізі көпбұрышқа шеңбер сызылған кезде оның табанында екібұрышты бұрыштары бірдей болуы мүмкін.

Призма. Анықтама. Элементтер. Призманың түрлері.

Призма-көпбұрыш болып табылады, оның екеуі параллель жазықтықтардағы тең көпбұрыштар, ал қалған беттері параллелограммдар.

Параллель жазықтықта орналасқан беттер деп аталады негіздерпризмалар, ал қалған беттер - бүйір беттеріпризмалар.

Призманың табанына байланысты мыналар болады:

1) үшбұрышты

2) төртбұрышты

3) алтыбұрышты

Бүйір шеттері табандарына перпендикуляр болатын призма деп аталады түзу призма.

Тік призма дұрыс деп аталады, егер оның табандары дұрыс көпбұрыштар болса.

БИЛЕТ 17.

Тік бұрышты параллелепипедтің диагональдарының қасиеті.

Барлық төрт диагональ бір нүктеде қиылысады және екіге бөлінеді.

Кубоидта барлық диагональдар тең болады.

Кубоидта кез келген диагоналдың квадраты оның үш өлшемінің квадраттарының қосындысына тең.

АС табанының диагоналін сала отырып, AC 1 C және DIA үшбұрыштарын аламыз. Олардың екеуі де тікбұрышты: біріншісі, өйткені қорап түзу, демек, CC 1 шеті негізге перпендикуляр; екіншісі, өйткені параллелепипед тікбұрышты, сондықтан оның табанында тіктөртбұрыш бар. Осы үшбұрыштардан табамыз:

AC 1 2 = AC 2 + CC 1 2 және AC 2 = AB 2 + BC 2

Демек, AC 1 2 \u003d AB 2 + BC 2 + CC 1 2 \u003d AB 2 + AD 2 + AA 1 2.

Екі жазықтықтың өзара орналасу жағдайлары.

МҮЛІК 1:

Екі параллель жазықтықтың үшінші жазықтықпен қиылысу түзулері параллель.

2-МҮЛІК:

Екі параллель жазықтықтың арасына салынған параллель түзулердің кесінділерінің ұзындығы бірдей.

МҮЛІК 3

Берілген жазықтықта жатпайтын кеңістіктегі әрбір нүкте арқылы осы жазықтыққа параллель жазықтықты, оның үстіне тек бір ғана жазықтықты жүргізуге болады.

18 БИЛЕТ.

Параллелепипедтің қарама-қарсы беттерінің қасиеті.

Параллелепипедтің қарама-қарсы беттері параллель және тең.

Мысалға , AA 1 B 1 B және DD 1 C 1 C параллелограммдарының жазықтықтары параллель, өйткені AA 1 B 1 жазықтығының қиылысатын AB және AA 1 түзулері DD 1 жазықтығының DC және DD 1 қиылысатын екі түзулеріне сәйкесінше параллель. C 1. AA 1 B 1 B және DD 1 C 1 C параллелограммдары тең (яғни, оларды үстіне қоюға болады), өйткені AB және DC, AA 1 және DD 1 қабырғалары тең, ал A 1 AB және D 1 DC бұрыштары тең. .

Призманың, пирамиданың, дұрыс пирамиданың бетінің аудандары.

Дұрыс пирамида: толық қайталау. =3SASB+Smain.

Сызық жазықтыққа жатуы да, болмауы да мүмкін. Егер оның кем дегенде екі нүктесі жазықтықта жатса, ол жазықтыққа жатады. 93-суретте Sum жазықтығы көрсетілген (axb).Түзу л Sum жазықтығына жатады, өйткені оның 1 және 2 нүктелері осы жазықтыққа жатады.

Егер түзу жазықтыққа жатпаса, ол оған параллель болуы немесе оны қиып өтуі мүмкін.

Түзу сол жазықтықтағы басқа түзуге параллель болса, жазықтыққа параллель болады. 93-сурет түзу м || сома, өйткені ол түзуге параллель лосы ұшаққа жатады.

Түзу сызық жазықтықты әртүрлі бұрыштармен қиып өтуі мүмкін және, атап айтқанда, оған перпендикуляр болуы мүмкін. Түзу сызықтың жазықтықпен қиылысу сызықтарын салу §61-де берілген.

93-сурет – Жазықтыққа жататын түзу

Жазықтыққа қатысты нүктені келесідей орналастыруға болады: оған тиесілі болу немесе жатпау. Нүкте жазықтыққа жатады, егер ол сол жазықтықтағы түзуде орналасса. 94-суретте екі параллель түзумен анықталған Қосынды жазықтығының күрделі сызбасы көрсетілген лжәне П.Сызық жазықтықта м.А нүктесі қосынды жазықтығында жатыр, өйткені ол түзуде жатыр м.Нүкте ATжазықтыққа жатпайды, өйткені оның екінші проекциясы түзудің сәйкес проекцияларында жатпайды.

94-сурет – Екі параллель түзумен анықталған жазықтықтың күрделі сызбасы

Конустық және цилиндрлік беттер

Конустық беттерге түзу сызықты генатрикстің орын ауыстыруынан пайда болған беттер жатады лиілген бағыттаушы бойымен м.Конустық беттің пайда болуының ерекшелігі - бұл жағдайда генератрицаның бір нүктесі әрқашан бекітіледі. Бұл нүкте конустық беттің төбесі (95-сурет, а).Конустық бетті анықтаушыға шыңы кіреді Сжәне нұсқаулық м,бола тұра л"~S; л"^ м.

Цилиндрлік беттерге түзу генератрикс арқылы түзілген / қисық сызықты бағыттаушы бойымен қозғалатын беттер жатады. тберілген бағытқа параллель С(95-сурет, б).Цилиндрлік бетті шыңы шексіздіктегі конустық беттің ерекше жағдайы ретінде қарастыруға болады. С.

Цилиндрлік бетті анықтауыш бағыттаушыдан тұрады тжәне S бағыты, қалыптастыру л, ал l" || S; л" ^ м.

Егер цилиндрлік беттің генераторлары проекциялар жазықтығына перпендикуляр болса, онда мұндай бет деп аталады. проекциялау. 95-сурет, жылыкөлденең проекциялық цилиндрлік бет көрсетілген.

Цилиндрлік және конустық беттерде берілген нүктелер олар арқылы өтетін генераторлардың көмегімен салынады. Сызық сияқты беттердегі сызықтар а 95 санына, жылынемесе көлденең h 95-суретте, a, b,осы сызықтарға жататын жеке нүктелер арқылы салынады.

95-сурет - Конустық және цилиндрлік беттер

Торстың беттері

Торсо беті – түзу сызықты генератрицадан түзілген бет л, оның қозғалысы кезінде оның барлық позицияларында белгілі бір кеңістіктік қисыққа тию т,шақырды қайтару жиегі(96-сурет). Қайтару жиегі торсоны толығымен анықтайды және бетті анықтауыштың геометриялық бөлігі болып табылады. Алгоритмдік бөлік генераторлардың шыңның жиегіне жанасуының көрсеткіші болып табылады.

Конустық бет - кері жиегі бар торстың ерекше жағдайы тнүктеге айналды С- конустық беттің жоғарғы жағы. Цилиндрлік бет - бұл торстың ерекше жағдайы, оның төбе шеті шексіздік нүктесі.

96-сурет – Торсаның беті

Фастикалық беттер

Фастикалық беттерге түзу сызықты генатрикстің орын ауыстыруынан пайда болған беттер жатады лсынық сызық бойымен м.Дегенмен, егер бір нүкте Сгенератрица қозғалыссыз, пирамидалық бет жасалады (97-сурет), егер генератрица қозғалыс кезінде берілген бағытқа параллель болса S,содан кейін призматикалық бет жасалады (98-сурет).

Фасеттік беттердің элементтері: шыңы С(призматикалық бетке жақын ол шексіздікте), бет (бағыттауыштың бір бөлімімен шектелген жазықтықтың бөлігі мжәне оған қатысты генератрикстің экстремалды позициялары л) және жиегі (іргелес беттердің қиылысу сызығы).

Пирамида бетінің детерминантына шыңы жатады S,генераторлар мен бағыттағыштар өтетін: л" ~ S; л^ т.

Призмалық бетті анықтауыш, бағыттаушыдан басқа т,бағытты қамтиды S,оған барлық генераторлар параллель лбеттер: l||S; л^ т.

97-сурет - Пирамидалық бет

98-сурет – Призмалық бет

Белгілі бір сан (кемінде төрт) беттерден құралған тұйық қырлы беттер көп қырлы деп аталады. Көп қырлылардың ішінде барлық беттері дұрыс және конгруентті көпбұрыштар, ал төбелеріндегі көп қырлы бұрыштары дөңес және беттердің саны бірдей болатын дұрыс көп қырлылар тобы ерекшеленеді. Мысалы: алты қырлы – текше (99-сурет, а),тетраэдр - дұрыс төртбұрыш (99, 6-сурет) октаэдр - көпбұрыш (99-сурет, жылы).Кристалдардың пішіні әртүрлі көп қырлы.

99-сурет – Көп қырлы

Пирамида- көпбұрыш, оның негізінде ерікті көпбұрыш, ал бүйір беттері ортақ төбесі бар үшбұрыштар С.

Күрделі сызбада пирамида олардың көріну мүмкіндігін ескере отырып, оның шыңдары мен шеттерінің проекциялары арқылы анықталады. Жиектің көрінуі бәсекелес нүктелер арқылы анықталады (100-сурет).

100-сурет – Бәсекелес нүктелер арқылы жиектің көрінуін анықтау

Призма- негізі екі бірдей және өзара параллель көпбұрыш, ал бүйір беттері параллелограмм болатын көпбұрыш. Призманың шеттері табан жазықтығына перпендикуляр болса, ондай призманы түзу деп атайды. Призманың қабырғалары кез келген проекция жазықтығына перпендикуляр болса, онда оның бүйір беті проекциялау деп аталады. 101-суретте көлденең проекциялық беті бар түзу төртбұрышты призманың күрделі сызбасы көрсетілген.

101-сурет – Көлденең проекциялық беті бар түзу төртбұрышты призманың күрделі сызбасы

Көпбұрыштың күрделі сызбасымен жұмыс істегенде оның бетіне сызықтар салу керек, ал түзу нүктелер жиыны болғандықтан, бетінде нүктелерді тұрғыза білу керек.

Фасеттік беттегі кез келген нүктені осы нүкте арқылы өтетін генератрикс көмегімен салуға болады. Беттегі 100 суретте ACSнүкте салынды Мгенератордың көмегімен S-5.

Бұрандалы беттер

Бұрандалы беттер – түзу сызықты генератрицаның бұрандалы қозғалысы кезінде жасалған беттер. Ережелі бұрандалы беттер деп аталады геликоидтар.

Түзу геликоид түзу сызықты генератрицаның қозғалысы арқылы түзіледі менекі бағыттаушы бойымен: спираль тжәне оның осьтері мен; құру кезінде лбұрандалы осьті тік бұрышпен кесіп өтеді (102-сурет, а). Тікелей спиралды станоктарда спиральды баспалдақтарды, бұрандаларды, сондай-ақ күштік жіптерді жасау үшін қолданылады.

Көлбеу геликоид генетрикстің бұрандалы бағыттаушы бойымен қозғалуынан пайда болады тжәне оның осьтері менсондықтан генератор лосін кесіп өтеді ментұрақты бұрышта φ тік бұрыштан басқа, яғни кез келген позицияда генератрица лшыңындағы бұрышы 2φ-ке тең бағыттаушы конустың генератрицаларының біріне параллель (102-сурет, б).Көлбеу геликоидтар жіптердің беттерін шектейді.

102-сурет – Геликоидтар

Революция беттері

Айналым беттеріне сызықтың айналуынан пайда болған беттер жатады л түзу сызықтың айналасында мен айналу осін көрсетеді. Оларды реттеуге болады, мысалы, конус немесе айналу цилиндрі және сызықты емес немесе қисық сызықты, мысалы, шар. Революция бетінің детерминантына генератрикс жатады л және ось мен . Айналу кезіндегі генератрицаның әрбір нүктесі жазықтығы айналу осіне перпендикуляр болатын шеңберді сипаттайды. Айналыс бетінің мұндай шеңберлері параллельдер деп аталады. Параллельдердің ең үлкені деп аталады экватор.Экватор.беттің көлденең контурын анықтайды, егер i _|_ P 1 . Бұл жағдайда параллельдер осы беттің горизонтальдары болып табылады.

Айналым осі арқылы өтетін жазықтықтармен беттің қиылысуы нәтижесінде пайда болатын айналу бетінің қисық сызықтары деп аталады. меридиандар.Бір беттің барлық меридиандары конгруентті. Фронталь меридиан негізгі меридиан деп аталады; ол революция бетінің фронтальды контурын анықтайды. Профиль меридианы революция бетінің профильді контурын анықтайды.

Беттік параллельдерді пайдалана отырып, айналымның қисық беттерінде нүкте тұрғызу ең қолайлы. 103-сурет нүкте М h 4 параллельге салынған.

103-сурет – Қисық бетке нүкте тұрғызу

Революцияның беткейлері инженерияда ең кең қолдануды тапты. Олар көптеген инженерлік бөліктердің беттерін шектейді.

Айналымның конустық беті түзу сызықтың айналуынан пайда болады менонымен қиылысатын түзудің айналасында – ось мен(104-сурет, а). Нүкте Мбетінде генератрикс көмегімен салынған лжәне параллельдер h.Бұл бетті айналу конусы немесе тік дөңгелек конус деп те атайды.

Цилиндрлік айналу беті түзу сызықтың айналуынан пайда болады лпараллель ось айналасында мен(104-сурет, б).Бұл бетті цилиндр немесе оң жақ дөңгелек цилиндр деп те атайды.

Шар шеңберді оның диаметріне айналдыру арқылы пайда болады (104-сурет, жылы). Шар бетіндегі А нүктесі бастапқы меридианға жатады f,нүкте AT- экватор сағ,нүкте Мкөмекші параллельге салынған h".

104-сурет – Айналым беттерінің түзілуі

Торус шеңберді немесе оның доғасын шеңбер жазықтығында жатқан осьтің айналасында айналдыру арқылы пайда болады. Егер ось қалыптасқан шеңбердің ішінде орналасса, онда мұндай торус жабық деп аталады (105-сурет, а). Егер айналу осі шеңберден тыс болса, онда мұндай торус ашық деп аталады (105-сурет, б).Ашық торус сақина деп те аталады.

105-сурет – Торустың түзілуі

Айналым беттерін екінші ретті басқа қисық сызықтармен де құруға болады. Революция эллипсоиды (106-сурет, а)эллипстің өз осінің бірінің айналасында айналуынан пайда болған; революция параболоиды (106-сурет, б) - параболаның өз осінің айналасында айналуы; революцияның бір парақтық гиперболоиды (106-сурет, жылы) гиперболаның қиял осі айналасында айналуынан түзілген және екі парақты (106-сурет, Г) - гиперболаның нақты ось айналасында айналуы.

106-сурет – Екінші ретті қисықтардың айналу беттерінің түзілуі

Жалпы жағдайда беттер генерациялайтын сызықтардың таралу бағыты бойынша шектелмеген түрде бейнеленген (97, 98-суреттерді қараңыз). Нақты есептерді шешу және геометриялық фигураларды алу үшін олар жазықтықтарды кесумен шектеледі. Мысалы, дөңгелек цилиндрді алу үшін цилиндрлік беттің кесіндісін кесілген жазықтықтармен шектеу керек (104-суретті қараңыз, б).Нәтижесінде біз оның жоғарғы және төменгі негіздерін аламыз. Егер кесілген жазықтықтар айналу осіне перпендикуляр болса, цилиндр түзу болады, ал болмаса, цилиндр көлбеу болады.

Дөңгелек конусты алу үшін (104-суретті қараңыз, а), шыңның бойымен және одан тыс кесу керек. Цилиндр табанының кесілген жазықтығы айналу осіне перпендикуляр болса, конус түзу болады, ал олай болмаса, көлбеу болады. Егер екі қиылған жазықтық та шыңнан өтпесе, конус қиылады.

Кесілген жазықтықтың көмегімен призма мен пирамида алуға болады. Мысалы, алтыбұрышты пирамида түзу болады, егер оның барлық шеттері қиылған жазықтыққа бірдей еңіске ие болса. Басқа жағдайларда ол қиғаш болады. Егер ол орындалса біргекесу жазықтықтарының көмегімен және олардың ешқайсысы жоғарғы жағынан өтпейді - пирамида кесілген.

Призманы (101-суретті қараңыз) призмалық беттің бір бөлігін екі кесілген жазықтықпен шектеу арқылы алуға болады. Егер қиылған жазықтық шеттеріне перпендикуляр болса, мысалы, сегізбұрышты призмаға, ол түзу, перпендикуляр болмаса, көлбеу болады.

Кесу жазықтықтарының сәйкес орнын таңдау арқылы шешілетін есептің шарттарына байланысты геометриялық фигуралардың әртүрлі пішіндерін алуға болады.