Сызықтық, квадраттық және бөлшек теңсіздіктерді шешуге арналған бағдарлама есептің жауабын беріп қана қоймайды, ол түсіндірулермен егжей-тегжейлі шешімді ұсынады, т.б. математика және/немесе алгебра бойынша білімді тексеру үшін шешу процесін көрсетеді.

Сонымен қатар, егер теңсіздіктердің бірін шешу барысында, мысалы, квадрат теңдеуді шешу қажет болса, онда оның егжей-тегжейлі шешімі де көрсетіледі (ол спойлерде бар).

Бұл бағдарлама жоғары сынып оқушылары үшін дайындық кезінде пайдалы болуы мүмкін сынақтар, ата-аналарға балаларының теңсіздіктерді шешу жолдарын бақылау үшін.

Бұл бағдарлама жалпы білім беретін мектептердің жоғары сынып оқушылары үшін сынақтар мен емтихандарға дайындалу кезінде, Бірыңғай мемлекеттік емтихан алдында білімдерін тексеру кезінде және ата-аналар үшін математика мен алгебрадан көптеген есептердің шешімін бақылау үшін пайдалы болуы мүмкін. Немесе сізге репетитор жалдау немесе жаңа оқулықтар сатып алу тым қымбат болуы мүмкін бе? Немесе оны мүмкіндігінше тезірек аяқтағыңыз келе ме? үй жұмысыматематикада немесе алгебрада? Бұл жағдайда сіз егжей-тегжейлі шешімдері бар біздің бағдарламаларды да пайдалана аласыз.

Осылайша сіз өзіңіздің оқуыңызды және/немесе кіші іні-қарындастарыңызды оқытуды жүргізе аласыз, бұл ретте проблемаларды шешу саласындағы білім деңгейі артады.

Теңсіздіктерді енгізу ережелері

Кез келген латын әрпі айнымалы ретінде әрекет ете алады.
Мысалы: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), т.б.

Сандарды бүтін немесе бөлшек сандар ретінде енгізуге болады.
Оның үстіне бөлшек сандарды ондық бөлшек түрінде ғана емес, жай бөлшек түрінде де енгізуге болады.

Ондық бөлшектерді енгізу ережелері.
Ондық бөлшектерде бөлшек бөлігін бүтін бөліктен нүкте немесе үтір арқылы бөлуге болады.
Мысалы, енгізуге болады ондық бөлшектеркелесідей: 2,5x - 3,5x^2

Жай бөлшектерді енгізу ережелері.
Бөлшектің алымы, бөлімі және бүтін бөлігі ретінде тек натурал сан әрекет ете алады.

Бөлгіш теріс болуы мүмкін емес.

Кіргенде сандық бөлшекАлым бөлгіштен бөлу таңбасымен бөлінеді: /
Бүкіл бөлік бөлшектен амперсанд белгісімен бөлінеді: &
Енгізу: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Нәтиже: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

Өрнектерді енгізу кезінде жақшаларды қолдануға болады. Бұл жағдайда теңсіздіктерді шешкенде алдымен өрнектер жеңілдетіледі.
Мысалы: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Қажетті теңсіздік белгісін таңдап, төмендегі өрістерге көпмүшелерді енгізіңіз.

Теңсіздіктер жүйесін шешу

Бұл мәселені шешуге қажетті кейбір сценарийлер жүктелмегені және бағдарлама жұмыс істемеуі мүмкін екені анықталды.
Сізде AdBlock қосылған болуы мүмкін.
Бұл жағдайда оны өшіріп, бетті жаңартыңыз.

Браузеріңізде JavaScript өшірілген.
Шешім пайда болуы үшін JavaScript қосу керек.
Мұнда браузерде JavaScript-ті қосу туралы нұсқаулар берілген.

Өйткені Мәселені шешуге ниет білдірушілер көп, өтінішіңіз кезекке қойылды.
Бірнеше секундтан кейін шешім төменде пайда болады.
Өтінемін, күте тұрыңыз сек...

Егер сіз шешімдегі қатені байқады, содан кейін бұл туралы Кері байланыс пішінінде жаза аласыз.
Ұмытпаңыз қандай тапсырманы көрсетіңізнені өзіңіз шешесіз өрістерге енгізіңіз.

Біздің ойындар, басқатырғыштар, эмуляторлар:

Кішкене теория.

Бір белгісізі бар теңсіздіктер жүйесі. Сандық интервалдар

Сіз 7-сыныпта жүйе ұғымымен таныстыңыз және жүйелерді шешу жолдарын үйрендіңіз сызықтық теңдеулерекі белгісіз. Әрі қарай бір белгісізі бар сызықтық теңсіздіктер жүйесін қарастырамыз. Теңсіздіктер жүйесінің шешімдер жиынын интервалдар (интервалдар, жарты интервалдар, кесінділер, сәулелер) арқылы жазуға болады. Сіз сондай-ақ сандар интервалдарының белгілеуімен танысасыз.

Егер \(4x > 2000\) және \(5x \leq 4000\) теңсіздіктерінде белгісіз х саны бірдей болса, онда бұл теңсіздіктер бірге қарастырылып, олар теңсіздіктер жүйесін құрайды делінеді: $$ \left\ (\begin( массив)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(массив)\оң. $$

Бұйра жақша жүйенің екі теңсіздігі де дұрыс сандық теңсіздіктерге айналатын x мәндерін табу керек екенін көрсетеді. Бұл жүйе бір белгісізі бар сызықтық теңсіздіктер жүйесінің мысалы болып табылады.

Бір белгісізі бар теңсіздіктер жүйесінің шешімі бұл жүйенің барлық теңсіздіктері шынайы сандық теңсіздіктерге айналатын белгісіздің мәні. Теңсіздіктер жүйесін шешу бұл жүйенің барлық шешімдерін табуды немесе олардың жоқтығын анықтауды білдіреді.

\(x \geq -2 \) және \(x \leq 3 \) теңсіздіктерін қос теңсіздік түрінде жазуға болады: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Бір белгісізі бар теңсіздіктер жүйесінің шешімдері әртүрлі сандық жиындар болып табылады. Бұл жинақтардың атаулары бар. Сонымен, сандар осінде \(-2 \leq x \leq 3 \) ұштары -2 және 3 нүктелерінде болатын кесіндімен бейнеленетіндей х сандар жиыны.

-2

3

Егер \(a кесінді және [a; b] арқылы белгіленсе

Егер \(a интервал болса және (a; b) арқылы белгіленсе

\(x\) теңсіздіктерін қанағаттандыратын сандар жиыны \(a \leq x жартылай интервалдар және сәйкесінше [a; b) және (a; b] деп белгіленеді.

Сегменттер, интервалдар, жарты интервалдар және сәулелер деп аталады сандық интервалдар.

Осылайша, сандық интервалдартеңсіздіктер түрінде көрсетуге болады.

Екі белгісіздегі теңсіздіктің шешімі берілген теңсіздікті шынайы сандық теңсіздікке айналдыратын (x; y) сандар жұбы болып табылады. Теңсіздікті шешу оның барлық шешімдерінің жиынын табуды білдіреді. Осылайша, x > y теңсіздігінің шешімдері, мысалы, (5; 3), (-1; -1) сандар жұбы болады, өйткені \(5 \geq 3 \) және \(-1 \geq - 1\)

Теңсіздіктер жүйесін шешу

Сіз бір белгісізі бар сызықтық теңсіздіктерді шешуді үйрендіңіз. Теңсіздіктер жүйесі және жүйенің шешімі не екенін білесіз бе? Сондықтан бір белгісізі бар теңсіздіктер жүйесін шешу процесі сізге ешқандай қиындық тудырмайды.

Дегенмен, еске сала кетейік: теңсіздіктер жүйесін шешу үшін әрбір теңсіздікті бөлек шешу керек, содан кейін осы шешімдердің қиылысуын табу керек.

Мысалы, теңсіздіктердің бастапқы жүйесі келесі түрге келтірілді:
$$ \left\(\begin(массив)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(массив)\оң. $$

Бұл теңсіздіктер жүйесін шешу үшін сан түзуіндегі әрбір теңсіздіктің шешімін белгілеп, олардың қиылысуын табыңыз:

-2

3

Қиылысу сегменті [-2; 3] - бұл теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің шешімі.

Алдын ала ақпарат

Анықтама 1

$f(x)$ және $g(x)$ бүтін рационал өрнектер болатын $f(x) >(≥)g(x)$ түріндегі теңсіздік бүтін рационал теңсіздік деп аталады.

Тұтас рационал теңсіздіктерге мысал ретінде екі айнымалысы бар сызықтық, квадраттық және кубтық теңсіздіктерді келтіруге болады.

Анықтама 2

$1$ анықтамасындағы теңсіздік орындалатын $x$ мәні теңдеудің түбірі деп аталады.

Мұндай теңсіздіктерді шешудің мысалы:

1-мысал

$4x+3 >38-x$ толық теңсіздігін шешіңіз.

Шешім.

Мына теңсіздікті жеңілдетейік:

Біз сызықтық теңсіздікті алдық. Оның шешімін табайық:

Жауабы: $(7,∞)$.

Бұл мақалада біз барлық рационал теңсіздіктерді шешудің келесі әдістерін қарастырамыз.

Факторизация әдісі

Бұл әдіс келесідей болады: $f(x)=g(x)$ түріндегі теңдеу жазылады. Бұл теңдеу $φ(x)=0$ (мұндағы $φ(x)=f(x)-g(x)$) түріне келтіріледі. Сонда $φ(x)$ функциясы ең аз мүмкін дәрежелермен көбейткіштерге жіктеледі. Ереже қолданылады:Көпмүшелердің көбейтіндісі олардың біреуі нөлге тең болғанда нөлге тең болады. Әрі қарай табылған түбірлер сан сызығында белгіленіп, таңба қисығы салынады. Бастапқы теңсіздіктің белгісіне қарай жауабы жазылады.

Міне, осындай шешімдердің мысалдары:

2-мысал

Бөлшектеу арқылы шешу. $y^2-9

Шешім.

$y^2-9 теңдеуін шешейік

Квадраттардың айырымы формуласын пайдаланып, бізде

Көбейткіштердің көбейтіндісі нөлге тең деген ережені пайдаланып, келесі түбірлерді аламыз: $3$ және $-3$.

Белгілердің қисығын сызайық:

Бастапқы теңсіздіктің «кем» таңбасы болғандықтан, біз аламыз

Жауап: $(-3,3)$.

3-мысал

Бөлшектеу арқылы шешу.

$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$

Шешім.

Келесі теңдеуді шешейік:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

Алғашқы екі мүшенің және соңғы екі мүшесінің ортақ көбейткіштерін жақшаның ішінен алып тастайық

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

$(x^2+3)$ ортақ коэффициентін шығарайық

$(x^2+3)(x+2)=0$

Көбейткіштердің көбейтіндісі нөлге тең деген ережені қолданып, мынаны аламыз:

$x+2=0 \ және \ x^2+3=0$

$x=-2$ және "түбірлері жоқ"

Белгілердің қисығын сызайық:

Бастапқы теңсіздіктің «үлкен немесе тең» белгісі болғандықтан, біз аламыз

Жауап: $(-∞,-2]$.

Жаңа айнымалыны енгізу әдісі

Бұл әдіс келесідей: $f(x)=g(x)$ түріндегі теңдеуді жазыңыз. Біз оны келесідей шешеміз: теңдеуді алу үшін жаңа айнымалы енгіземіз, шешу әдісі бұрыннан белгілі. Біз оны кейіннен шешіп, ауыстыруға ораламыз. Одан бірінші теңдеудің шешімін табамыз. Әрі қарай табылған түбірлер сан сызығында белгіленіп, таңба қисығы салынады. Бастапқы теңсіздіктің белгісіне қарай жауабы жазылады.

Құпиялықты сақтау біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялылық тәжірибелерімізді қарап шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерге жатады.

Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыздың кейбір мысалдары берілген.

Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:

• Сіз сайтқа өтінім берген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, мекен-жайыңызды жинай аламыз Электрондық поштажәне т.б.

Жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:

• Біз жинаған Жеке ақпаратСізбен байланысуға және бірегей ұсыныстар, акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы хабарлауға мүмкіндік береді.
• Уақыт өте келе біз сіздің жеке ақпаратыңызды маңызды хабарламалар мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалана аламыз.
• Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
• Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе ұқсас науқанға қатыссаңыз, біз сіз берген ақпаратты осындай бағдарламаларды басқару үшін пайдалана аламыз.

Ақпаратты үшінші тұлғаларға ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.

Ерекшеліктер:

• Қажет болған жағдайда – заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізу және/немесе қоғамдық өтініштер немесе өтініштер негізінде мемлекеттік органдарРесей Федерациясының аумағында - жеке ақпаратыңызды ашыңыз. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық маңызды мақсаттар үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
• Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті мұрагерге үшінші тарапқа бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалудан, ұрланудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.

Компания деңгейінде құпиялылығыңызды құрметтеу

Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік стандарттарын хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибесін қатаң түрде орындаймыз.

Мақалада біз қарастырамыз теңсіздіктерді шешу. туралы анық айтып береміз теңсіздіктердің шешімін қалай құрастыруға болады, айқын мысалдармен!

Мысалдар арқылы теңсіздіктерді шешуді қарастырмас бұрын, негізгі ұғымдарды түсінейік.

Теңсіздіктер туралы жалпы мәліметтер

Теңсіздікфункциялары қатынас белгілері арқылы байланысатын өрнек >, . Теңсіздіктер сандық та, әріптік те болуы мүмкін.
Қатынастың екі белгісі бар теңсіздіктер қос, үшеуі үштік, т.б. Мысалы:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) > немесе немесе - белгісі бар теңсіздіктер қатаң емес.
Теңсіздікті шешубұл теңсіздік ақиқат болатын айнымалының кез келген мәні.
"Теңсіздікті шешу« оның барлық шешімдерінің жиынтығын табу керек дегенді білдіреді. Әртүрлі теңсіздіктерді шешу әдістері. Үшін теңсіздік шешімдеріОлар шексіз сандық сызықты пайдаланады. Мысалы, теңсіздіктің шешімі x > 3 - 3-тен + аралығындағы интервал, ал 3 саны бұл интервалға кірмейді, сондықтан түзудегі нүкте бос шеңбермен белгіленеді, өйткені теңсіздік қатаң.
+
Жауап: x (3; +) болады.
x=3 мәні шешімдер жиынына кірмейді, сондықтан жақша дөңгелек. Шексіздік белгісі әрқашан жақшамен ерекшеленеді. Белгі «тиісті» дегенді білдіреді.
Таңбасы бар басқа мысалды пайдаланып, теңсіздіктерді қалай шешуге болатынын қарастырайық:
x 2
-+
x=2 мәні шешімдер жиынына кіреді, сондықтан жақша квадрат және түзудегі нүкте толтырылған шеңбермен көрсетілген.
Жауап: x болады. Шешім жиынының графигі төменде көрсетілген.

Қос теңсіздіктер

Екі теңсіздік сөз арқылы байланысқанда Және, немесе, содан кейін ол қалыптасады қос теңсіздік. Қос теңсіздік сияқты
-3 Және 2x + 5 ≤ 7
шақырды қосылған, өйткені ол пайдаланады Және. Жазба -3 Қос теңсіздіктерді теңсіздіктерді қосу және көбейту принциптері арқылы шешуге болады.

2-мысалШешу -3 ШешімБізде бар

Шешімдер жиыны (x|x ≤ -1 немесе x > 3). Шешімді интервал белгісін және таңбасын пайдаланып жаза аламыз бірлестіктернемесе екі жиынды қоса алғанда: (-∞ -1] (3, ∞). Шешім жиынының графигі төменде көрсетілген.

Тексеру үшін y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 және y 3 = 1 графиктерін салайық. (x|x ≤ -1) үшін ескеріңіз. немесе x > 3), y 1 ≤ y 2 немесе y 1 > y 3.

Абсолюттік мәні бар теңсіздіктер (модуль)

Теңсіздіктер кейде модульдерді қамтиды. Оларды шешу үшін келесі қасиеттер қолданылады.
a > 0 және x алгебралық өрнек үшін:
|x| |x| > a х немесе х > a эквиваленті.
|x| үшін ұқсас мәлімдемелер ≤ a және |x| ≥ a.

Мысалы,
|x| |ж| ≥ 1 y ≤ -1-ге баламалы немесе y ≥ 1;
және |2x + 3| ≤ 4 -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4-ке тең.

4-мысалТөмендегі теңсіздіктердің әрқайсысын шешіңіз. Шешімдер жиынының графигін салыңыз.
а) |3х + 2| б) |5 - 2х| ≥ 1

Шешім
а) |3х + 2|

Шешім жиыны (x|-7/3
б) |5 - 2х| ≥ 1
Шешім жиыны (x|x ≤ 2) болады немесе x ≥ 3) немесе (-∞, 2] )