Марков процестерінің негізгі түсініктері. Дискретті уақыт Марков процесі

астында кездейсоқ процессбұрын белгісіз кездейсоқ түрде кейбір физикалық жүйе күйлерінің уақыт бойынша өзгеруін түсіну. Бола тұра физикалық жүйе деп айтамызкез келген техникалық құрылғы, құрылғылар тобы, кәсіпорын, сала, биологиялық жүйе және т.б.

Кездейсоқ процессжүйедегі ағын деп аталады Марковский – егер уақыттың кез келген сәтіне, процестің ықтималдық сипаттамалары болашақта (t > ) оның берілген уақыттағы күйіне ғана тәуелді ( қазіргі ) және жүйенің бұл күйге қашан және қалай келгеніне байланысты емес өткенде .(Мысалы, ғарыштық бөлшектердің санын жазатын Гейгер есептегіші).

Марков процестері әдетте 3 түрге бөлінеді:

1. Марков тізбегі – күйлері дискретті процесс (яғни оларды қайта нөмірлеуге болады) және оның қарастырылатын уақыты да дискретті (яғни процесс уақыттың белгілі бір уақытында ғана күйлерін өзгерте алады). Мұндай процесс қадамдармен (басқаша айтқанда, циклдармен) жүреді (өзгереді).

2. Дискретті Марков процесі – күйлер жиыны дискретті (тізімдеуге болады), ал уақыт үздіксіз (бір күйден екінші күйге өту – кез келген уақытта).

3. Үздіксіз Марков процесі – күйлер мен уақыт жиыны үздіксіз.

Тәжірибеде Марков процестері таза түрінде жиі кездесе бермейді. Дегенмен, көбінесе тарихқа дейінгі кезеңнің әсерін елемеуге болатын процестермен айналысу керек. Сонымен қатар, егер «болашақ» тәуелді болатын «өткендегі» барлық параметрлер жүйенің «қазіргі» күйіне қосылса, оны Марковиандық деп те қарастыруға болады. Дегенмен, бұл жиі ескерілетін айнымалылар санының айтарлықтай өсуіне және мәселенің шешімін алу мүмкін еместігіне әкеледі.

Операциялық зерттеулерде деп аталатындар Марковтың дискретті күйлері және үздіксіз уақыты бар кездейсоқ процестері.

Процесс деп аталады дискретті күйлері бар процесс, егер оның барлық мүмкін күйлері , ,... алдын ала тізімге (қайта нөмірлеуге) болады. Жүйе күйден күйге дерлік лезде — секіріспен ауысады.

Процесс деп аталады үздіксіз уақыт процесі, егер күйден күйге өту сәттері уақыт осінде кез келген кездейсоқ мәндерді қабылдай алатын болса.

Мысалы : Техникалық құрылғы S екі түйіннен тұрады , олардың әрқайсысы кездейсоқ уақытта істен шығуы мүмкін ( бас тарту). Осыдан кейін құрылғыны жөндеу дереу басталады ( қалпына келтіру), ол кездейсоқ уақытқа жалғасады.

Келесі жүйе күйлері мүмкін:

Екі түйін де жұмыс істейді;

Бірінші агрегат жөнделсе, екіншісі жұмыс істеп тұр.

– екінші агрегат жөнделіп жатыр, біріншісі жұмыс істеп тұр

Екі қондырғы да жөнделіп жатыр.

Жүйенің күйден күйге ауысуы уақыттың кездейсоқ сәттерінде, бірден дерлік болады. Жүйенің күйлері мен олардың арасындағы байланысты пайдалану арқылы ыңғайлы түрде көрсетуге болады күй графигі .

мемлекеттер

Өтулер

Себебі ауысулар жоқ элементтердің істен шығуы мен қалпына келтіруі тәуелсіз және кездейсоқ түрде орын алады, ал екі элементтің бір уақытта істен шығу (қалпына келтіру) ықтималдығы шексіз аз және оны елемеу мүмкін.

Егер барлық оқиға ағындары жүйені тасымалдаса Сштаттан мемлекетке – қарапайымдылар, Бұл процесс,мұндай жүйеде ағып жатыр Марковский болады. Бұл ең қарапайым ағынның кейінгі әсері жоқтығына байланысты, яғни. онда «болашақ» «өткенге» тәуелді емес, сонымен қатар, оның қарапайымдылық қасиеті бар - екі немесе одан да көп оқиғалардың бір уақытта пайда болу ықтималдығы шексіз аз, яғни күйден күйге көшу. бірнеше аралық күйлерден өтпей мемлекет болуы мүмкін емес.

Түсінікті болу үшін күй графигінде әрбір ауысу көрсеткісінде берілген көрсеткі бойынша жүйені күйден күйге көшіретін оқиғалар ағынының қарқындылығын көрсету ыңғайлы ( -жүйені күйден ауыстыратын оқиғалар ағынының қарқындылығы В. Мұндай график деп аталады белгіленген.

Белгіленген жүйе күйінің графигін пайдалана отырып, сіз осы процестің математикалық моделін құра аласыз.

Жүйенің белгілі бір күйден алдыңғы немесе кейінгі күйге өтуін қарастырайық. Бұл жағдайда күй графының фрагменті келесідей болады:

Уақыт сәтінде жүйеге рұқсат етіңіз ткүйде.

(t)- деп белгілейік жүйенің i-ші күйінің ықтималдығы– уақыт сәтіндегі жүйенің ықтималдығы ткүйде. Кез келген t уақыты үшін =1 ақиқат.

Уақыт моментіндегі ықтималдығын анықтайық t+∆t жүйеде болады. Бұл келесі жағдайларда болуы мүмкін:

1) және ∆ t уақыт ішінде оны қалдырған жоқ. Бұл ∆t уақытында дегенді білдіреді пайда болған жоқжүйені күйге ауыстыратын оқиға (интенсивтілігі бар ағын) немесе оны күйге ауыстыратын оқиға (интенсивтілігі бар ағын). Кіші ∆t үшін мұның ықтималдығын анықтайық.

Оқиғалардың ең қарапайым ағынына сәйкес келетін көршілес екі сұраныс арасындағы уақытты бөлудің экспоненциалды заңымен ∆t уақыт аралығында қарқындылығы бар ағында бірде-бір талаптың туындамауы ықтималдығы. λ 1тең болады

f(t) функциясын Тейлор қатарына кеңейту (t>0) аламыз (t=∆t үшін)

f(∆t)=f(0)+ (0)* ∆t + *∆ + *∆ +…=

= +(-l) *∆t+ (∆ + *(∆ +...) 1-l*∆t ∆t®0 кезінде

Сол сияқты, λ 2 қарқындылығы бар ағын үшін де аламыз .

∆t уақыт аралығының ықтималдығы (∆t®0 кезінде) талап болмайды, тең болады

(∆t)/ = (∆t/ * (∆t/ = (1- *∆t)(1- *∆t) =

1 - - *∆t + 1 - ( + )*∆t + б.м.

Осылайша, жүйенің ∆t уақыт ішінде күйден шықпау ықтималдығы тең болады

P( / )=1 – ( + )* ∆t

2) Жүйе күйде болды S i -1 және уақыт үшін S i мемлекетіне өтті . Яғни, қарқындылығы бар ағында кем дегенде бір оқиға орын алды. Мұның ықтималдығы қарқындылығы бар ең қарапайым ағын үшін тең λ ерік

Біздің жағдайымыз үшін мұндай ауысу ықтималдығы тең болады

3)Жүйе күйде болды және уақыт ішінде ∆t күйге ауысады . Мұның ықтималдығы болады

Сонда жүйенің (t+∆t) уақытындағы S i күйінде болу ықтималдығы мынаған тең.

Екі жағынан P i (t) шегеріп, ∆t-ке бөлейік және ∆t→0 шегіне өткенде, аламыз.

Күйлерден күйге өту қарқындылығының сәйкес мәндерін ауыстыра отырып, уақыт функциясы ретінде жүйе күйлерінің ықтималдықтарының өзгеруін сипаттайтын дифференциалдық теңдеулер жүйесін аламыз.

Бұл теңдеулер теңдеулер деп аталады Колмогоров-Чапман дискретті Марков процесі үшін.

Бастапқы шарттарды анықтап (мысалы, P 0 (t=0)=1,P i (t=0)=0 i≠0) және оларды шешкеннен кейін, функция ретінде жүйе күйінің ықтималдық өрнектерін аламыз. уақыт. Аналитикалық шешімдерді алу өте оңай, егер теңдеулердің саны ≤ 2,3 болса. Егер олар көп болса, онда теңдеулер әдетте компьютерде сандық түрде шешіледі (мысалы, Рунге-Кутта әдісімен).

Кездейсоқ процестер теориясында дәлелденген , Не егер n саны жүйе күйлері Әрине және олардың әрқайсысынан сіз (шектелген қадамдар санымен) кез келген басқасына өте аласыз, онда шек бар , Ықтималдықтар қай кезде бейім t→ . Мұндай ықтималдықтар деп аталады соңғы ықтималдықтар күйлер, ал тұрақты күй стационарлық режим жүйенің жұмыс істеуі.

Барлығы стационарлық режимде болғандықтан , сондықтан бәрі = 0. Теңдеулер жүйесінің сол жақтарын 0-ге теңестіру және оларды =1 теңдеуімен толықтыру арқылы біз сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз, оны шешуде соңғы ықтималдықтардың мәндерін табамыз.

Мысал. Жүйедегі элементтердің істен шығу және қалпына келтіру жылдамдығы келесідей болсын:

Сәтсіздіктер 1el:

2el:

Жөндеу 1el:

2el:

P 0 +P 1 +P 2 +P 3 =1

0=-(1+2)P 0 +2P 1 +3 P 2

0=-(2+2)P 1 +1P 0 +3P 3

0=-(1+3)P 2 +2P 0 +2P 3

0=-(2+3)P 3 +2P 1 +1P 2

Бұл жүйені шешіп, біз аламыз

P 0 =6/15=0,4; P 1 =3/15=0,2; P 2 =4/15=0,27; P 3 =2/15≈0,13.

Анау. стационарлық күйде жүйе орташа

40% S 0 күйінде (екі түйін де жұмыс істейді),

20% - S 1 жағдайда (1-ші блок жөндеуде, 2-ші жұмыс істейді),

27% - S 2 күйінде (2-ші электр блогы жөнделуде, 1-ші блок жұмыс жағдайында),

13% - S 3 күйінде - екі қондырғы да жөндеуде.

Соңғы ықтималдықтарды білу мүмкіндік береді жүйенің орташа тиімділігін және жөндеу қызметінің жұмыс көлемін бағалау.

S 0 күйіндегі жүйе 8 шартты бірлік кірісін тудырсын. уақыт бірлігіне; күйінде S 1 - кіріс 3 шартты бірлік; S 2 күйінде – табыс 5; S 3 күйінде – табыс = 0

Бағасы жөндеу жұмыстары уақыт бірлігіне 1- 1(S 1, S 3) элементі үшін шартты бірлік, 2-элемент (S 2, S 3) 2 шартты бірлік. Содан кейін стационарлық режимде:

Жүйелік кірісуақыт бірлігінде болады:

W ext =8P 0 +3P 1 +5P 2 +0P 3 =8·0,4+3·0,2+5·0,27+0·0,13=5,15 шартты бірлік.

Жөндеу құныбірліктерде уақыт:

W rem =0P 0 +1P 1 +2P 2 +(1+2)P 3 =0·0,4+1·0,2+2·0,27+3·0,13=1,39 шартты бірлік.

Пайдауақыт бірлігіне

W= W дем шығару -W жөндеу =5,15-1,39= 3,76 шартты бірлік

Белгілі бір шығындарды жұмсай отырып, сіз λ және μ қарқындылығын және сәйкесінше жүйенің тиімділігін өзгерте аласыз. Мұндай шығындардың орындылығын P i қайта есептеу арқылы бағалауға болады. және жүйе өнімділігінің көрсеткіштері.

Марковианның мүмкін күйлерін қарастырайық

процестер.

0 Қолжетімді күйлер: күй / күйге әкеледі j(/->/ арқылы белгіленеді) егер жол бар болса i 0 =i, i=jбарлық өту ықтималдығы i, - d j > 0 болатындай, Кімге = 0,..., n-1.

Күріш. 12.13.

Суретте. 12.13-суретте бір күйден екінші күйге дейінгі жол көрсетілген. Олар шарт дейді jмемлекеттен қол жетімді /.

ТУРАЛЫ Байланыстағы мемлекеттер: күйлері /" және jкоммуникация (/ арқылы белгіленеді), егер i~>jжәне y-»/- Байланыстағы күйлерді эквиваленттік класқа топтастыруға болады. Класс ішінде барлық күйлер байланысады. Әр түрлі таптағы екі мемлекет бір-бірімен байланыспайды. Мұндай сыныптар деп аталады азайтылмайтын.Қайталанбайтын класс құрайтын күйлері бар Марков тізбегі деп аталады азайтылмайтын.

Күріш. 12.14.

Эргодикалық Марков тізбегінің барлық күйлері байланысады және күйлердің эргодикалық жиынтығын құрайды. Марков тізбегі деп аталады эргодикалық, егер барлық күйлер эргодикалық болса (12.14-сурет).

ТУРАЛЫ Қалпына келтірілмейтін күйлер: күй Кімгемұндай күй бар болса, қайтымсыз деп аталады j (k f j)және осындай бірқатар қадамдар P,бұл d.,(«)> 0, 71., (Т)= Барлығы үшін t>б.Тізбектей кездері болады

бір-бірімен байланыспайтын бірнеше эргодикалық жиынтықтардан тұрады (көпкомпонентті график). Бір эргодикалық жиынтықта процесс оны ешқашан тастап кете алмайды. Бұл жиын бастапқыға қатысты қайтымсыз, ал оған кіретін күйлер қайтымсыз деп аталады.

ТУРАЛЫ Сіңіргіш күй: күй / шақырылады сіңірусодан кейін және тек мен және (p)= 1 кез келген үшін П.Күйлердің жиынтығы деп аталады жабық,егер олардың ешқайсысы осы жинаққа кірмейтін күйге әкелмесе. Егер эргодикалық жиынтық бір күйден тұрса, онда бұл күй сіңеді, сондықтан сіз оған кіргеннен кейін одан әрі кете алмайсыз. Егер Марков тізбегінің барлық күйлерінің ішінде кем дегенде бір жұтатыны болса, онда мұндай тізбек деп аталады сіңіру.

Әрбір күй өтпелі немесе қайталанатын болуы мүмкін.

ТУРАЛЫ Өткізу күйі: жүйенің оған ешқашан оралмауының нөлдік емес ықтималдығы болса, күй /" өтеді. Күйлердің ішкі жиыны деп аталады. өтпелі(өту) егер осы ішкі жиынға кіру және шығу мүмкін болса. Өтпелі күйлерге тек шектеулі рет баруға болады.

ТУРАЛЫ Қайталанатын күй: қайтып келу ықтималдығы 1 болса, күй қайталанатын болады. Қайталанатын күйлерді осы күйге бірінші оралу уақытына байланысты жіктеуге болады: егер бұл уақыт шексіздіктен аз болса, онда күйлер деп аталады. оң қайталанатын; егер уақыт шексіз болса, онда нөлдік қайталану.Қайталанатын күйлер болуы мүмкін мерзімдіЖәне мерзімді емес.Периодты емес оң рекуррентті күйлер эргодикалық деп аталады.

Марков тізбегінің күйлерінің түріне байланысты өтпелі ықтималдықтардың матрицасы жолдар мен бағандарды қайта орналастыру арқылы сол немесе басқа түрде ұсынылуы мүмкін. Егер өтпелі ықтималдықтардың матрицасы блоктар түрінде ұсынылуы мүмкін

онда S күйлер жиынына жататын белгілі бір күйден шығатын процесс ешқашан Q жиынына жататын күйде кез келген қадамдар санымен аяқтала алмайды және керісінше. P матрицасы деп аталады ыдырайтын,және екі қарастырылған мемлекеттер жиынтығы жабық.Бұл мәлімдеме анық, өйткені

онда барлық жұп дәрежелер үшін матрица блок-диагональды болады, ал тақ дәрежелер үшін оның бастапқы пішіні болады. Мысалы:

Процесс кезекпен Т-ға жататын күйлерден R-ға жататын күйлерге және кері қарай жылжиды. Мұндай процесс болады мерзімді.

Егер өту ықтималдығы матрицасы пішінге ие болса

онда процестің Q-ға жататын күйлердің бірінде болу ықтималдығы қадамдар санына қарай өспейді. Q-ға жататын кез келген күйден S-ке жататын күйлердің біріне өту, егер R болса мүмкін φ 0, бірақ кері өту мүмкін емес. Демек, Q-ға сәйкес күйлер қайтымсыз, ал S жұту.

Жұтатын тізбектің ауысу ықтималдығының матрицасы келесі канондық түрде жазылады:

0 ішкі матрицасы тек нөлдерден тұрады, I ішкі матрицасы жұтылатын күйлердің бірлік матрицасы, Q ішкі матрицасы қайтарылмайтын күйлер жиынынан шыққанға дейінгі процестің әрекетін сипаттайды, R қосалқы матрицасы қайтарылмайтын күйден жұтатын күйге өтуге сәйкес келеді.

Дәріс 9

Марков процестері
Дәріс 9
Марков процестері



1

Марков процестері

Марков процестері
Жүйеде болатын кездейсоқ процесс деп аталады
Марковиан, егер оның салдары болмаса. Анау.
егер процестің ағымдағы жағдайын қарастырсақ (t 0) – сияқты
қазіргі, мүмкін күйлердің жиынтығы ((s),s t) - ретінде
өткен, мүмкін күйлер жиыны ( (u),u t) - ретінде
болашақ, содан кейін тіркелген үшін Марков процесі үшін
қазіргі, болашақ өткенге байланысты емес, бірақ анықталады
тек қазіргі уақытта және қашан және қалай жүйеге байланысты емес
осы күйге келді.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
2

Марков процестері

Марков процестері
Марковтың кездейсоқ процестері кездейсоқ шамалардың ықтималдық байланысын зерттеуді алғаш бастаған көрнекті орыс математигі А.А.Марковтың есімімен аталады.
және «динамика» деп атауға болатын теорияны құрды
ықтималдықтар.» Кейіннен бұл теорияның негізі болды
кездейсоқ процестердің жалпы теориясының бастапқы негізі, сондай-ақ диффузиялық процестер теориясы, сенімділік теориясы, кезек теориясы сияқты маңызды қолданбалы ғылымдар және т.б.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
3

Марков Андрей Андреевич Марков Андрей Андреевич Марков Андрей Андреевич

Марков процестері
Марков Андрей Андреевич
1856-1922
орыс математигі.
70-ке жуық еңбек жазды
теориялар
сандар,
теориялар
функцияның жуықтаулары, теориясы
ықтималдықтар. Заңның қолданылу аясын айтарлықтай кеңейтті
үлкен сандар және орталық
шектеу теоремасы. Бұл
кездейсоқ процестер теориясының негізін салушы.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
4

Марков процестері

Марков процестері
Тәжірибеде Марков процестері әдетте таза түрінде болады
кездеспеңіз. Бірақ зерттеу кезінде «тарихқа дейінгі» әсерді елемеуге болатын процестер бар
Мұндай процестер үшін Марков модельдерін қолдануға болады. IN
Қазіргі уақытта Марков процестерінің теориясы және оның қолданылуы әртүрлі салаларда кеңінен қолданылады.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
5

Марков процестері

Марков процестері
Биология: туу және өлу процестері – популяциялар, мутациялар,
эпидемиялар.
Физика:
радиоактивті
ыдырау,
теория
есептегіштер
элементар бөлшектер, диффузиялық процестер.
Химия:
теория
іздер
В
ядролық
фото эмульсиялар,
химиялық кинетиканың ықтималдық үлгілері.
Images.jpg
Астрономия: флуктуация теориясы
Құс жолының жарықтығы.
Кезек теориясы: телефон станциялары,
жөндеу шеберханалары, билет кассалары, ақпараттық үстелдер,
машиналық және басқа да технологиялық жүйелер, басқару жүйелері
икемді өндірістік жүйелер, ақпаратты серверлермен өңдеу.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
6

Марков процестері

Марков процестері
Ағымдағы сәтте t0 жүйеде болсын
белгілі күй S0. ерекшеліктерін білеміз
жүйенің қазіргі күйі және t кезінде болған барлық нәрсе< t0
(процестің фоны). Болашақты болжай аламыз ба,
анау. t > t0 кезінде не болады?
Дәл емес, бірақ кейбір ықтималдық сипаттамалар
процесті болашақта табуға болады. Мысалы, ықтималдығы
бұл біраз уақыттан кейін
S жүйесі күйде болады
S1 немесе S0 күйінде қалады, т.б.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
7

Марков процестері. Мысал.

Марков процестері
Марков процестері. Мысал.
S жүйесі – әуедегі ұрысқа қатысатын ұшақтар тобы. x шама болсын
«қызыл» ұшақтар, у – «көк» ұшақтар саны. t0 уақытында аман қалған (атылған емес) ұшақтардың саны
тиісінше – x0, y0.
Бізді сол сәттегі ықтималдығы қызықтырады
t 0 сандық басымдық «қызылдар» жағында болады. Бұл ықтималдық жүйенің күйіне байланысты
Ұшақтар t0 қайтыс болғанға дейін қашан және қандай ретпен түсірілген емес, t0 уақыт сәтінде.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
8

Марковтың дискретті тізбектері

Марков процестері
Марковтың дискретті тізбектері
Ақырлы немесе есептелетін саны бар Марков процесі
күйлер мен уақыт моменттері дискретті деп аталады
Марков тізбегі. Күйден күйге өту уақыттың бүтін моментінде ғана мүмкін болады.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
9

10. Марковтың дискретті тізбектері. Мысал

Марков процестері

Айталық
Не
сөйлеу
келе жатыр
О
монеталардың кезекті лақтырылуы
лақтыру ойыны; монета лақтырылады
уақыттың шартты моменттері t =0, 1, ... және at
әрбір қадамда ойыншы ±1 с ұтады
бірдей
ықтималдық
1/2,
бұл сияқты
Осылайша, t моментінде оның жалпы өсімі j = 0, ±1, ... мүмкін мәндері бар ξ(t) кездейсоқ шама болып табылады.
ξ(t) = k болған жағдайда, келесі қадамда өтем болады
ξ(t+1) = k ± 1-ге тең, j = k ± 1 мәндерін бірдей 1/2 ықтималдығымен қабылдайды. Мұнда сәйкес ықтималдықпен ξ(t) = k күйінен ξ(t+1) = k ± 1 күйіне ауысу орын алады деп айта аламыз.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
10

11. Дискретті Марков тізбектері

Марков процестері
Марковтың дискретті тізбектері
Бұл мысалды жалпылай отырып, біз жүйені елестете аламыз
уақыт өте келе ықтимал күйлердің есептелетін саны
дискретті уақыт t = 0, 1, ... күйден күйге кездейсоқ ауысады.
Кездейсоқ ауысулар тізбегі нәтижесінде оның t уақытындағы орны ξ(t) болсын
ξ(0) -> ξ(1) -> ... -> ξ(t) -> ξ(t+1) ->...-> ... .
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
11

12. Дискретті Марков тізбектері

Марков процестері
Марковтың дискретті тізбектері
Кездейсоқ процестерді дискретті күйлерімен талдау кезінде геометриялық схеманы – графикті қолдану ыңғайлы.
мемлекеттер. Графиктің шыңдары жүйенің күйлері болып табылады. График доғалары
– күйден күйге өту мүмкіндігі.
Лақтыру ойыны.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
12

13. Марковтың дискретті тізбектері

Марков процестері
Марковтың дискретті тізбектері
Барлық мүмкін күйлерді i = 0, ±1, ... бүтін сандармен белгілейік.
Белгілі ξ(t) =i күйі үшін келесі қадамда жүйе шартты ықтималдықпен ξ(t+1) = j күйіне өтеді деп алайық.
P( (t 1) j (t) i)
оның бұрынғы мінез-құлқына қарамастан, дәлірек айтқанда, қарамастан
t моментіне өту тізбегінен:
P( (t 1) j (t) i; (t 1) it 1;...; (0) i0 )
P( (t 1) j (t) i)
Бұл қасиет Марковиан деп аталады.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
13

14. Дискретті Марков тізбектері

Марков процестері
Марковтың дискретті тізбектері
Сан
pij P( (t 1) j (t) i)
ықтималдық деп аталады
бір қадамда жүйенің i күйінен j күйіне ауысуы
уақыт t 1.
Егер ауысу ықтималдығы t-ге тәуелді болмаса, онда тізбек
Марков біртекті деп аталады.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
14

15. Дискретті Марков тізбектері

Марков процестері
Марковтың дискретті тізбектері
Элементтері ықтималдықтар болатын P матрицасы
өтпелі pij ауысу матрицасы деп аталады:
p11...p1n
P p 21 ... p 2n
б
n1...pnn
Бұл стохастикалық, яғни.
pij 1 ;
мен
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
p ij 0 .
15

16. Дискретті Марков тізбектері. Мысал

Марков процестері
Марковтың дискретті тізбектері. Мысал
Лақтыру ойынының өтпелі матрицасы
...
k 2
k 2
0
k 1
1/ 2
к
0
k 1
к
k 1
k 2
0
1/ 2
0
0
1/ 2
0
1/ 2
0
1/ 2
0
0
0
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
...
k 1 k 2
0
0
0
1/ 2
0
1/ 2
...
0
0
1/ 2
0
16

17. Дискретті Марков тізбектері. Мысал

Марков процестері
Марковтың дискретті тізбектері. Мысал
Топырақты химиялық талдау нәтижесінде бағбан бағалайды
оның шарты үш санның бірі – жақсы (1), қанағаттанарлық (2) немесе нашар (3). Көптеген жылдар бойы бақылау нәтижесінде бағбан байқады
ағымдағы топырақтың өнімділігі
жылы тек оның жағдайына байланысты
өткен жыл. Сондықтан ықтималдықтар
топырақтың бір күйден ауысуы
басқасын келесідей көрсетуге болады
Р1 матрицасы бар Марков тізбегі:
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
17

18. Марковтың дискретті тізбектері. Мысал

Марков процестері
Марковтың дискретті тізбектері. Мысал
Дегенмен, ауылшаруашылық тәжірибелерінің нәтижесінде бағбан Р1 матрицасындағы өтпелі ықтималдықтарды өзгерте алады.
Содан кейін P1 матрицасы ауыстырылады
P2 матрицасына:
0.30 0.60 0.10
0.10 0.60 0.30
0.05 0.40 0.55
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
18

19. Дискретті Марков тізбектері

Марков процестері
Марковтың дискретті тізбектері
Процесс күйлерінің уақыт бойынша қалай өзгеретінін қарастырайық. Процесті 0 моментінен бастап уақыт бойынша кезекті моменттерде қарастырамыз. Бастапқы ықтималдық үлестірімін p(0) ( p1 (0),..., pm (0)) белгілейік, мұндағы m – күйлер саны. процесінің, pi (0) - табу ықтималдығы
уақыттың бастапқы сәтіндегі i күйіндегі процесс. pi(n) ықтималдығы күйдің шартсыз ықтималдығы деп аталады
i n 1 уақытында.
p (n) векторының құрамдас бөліктері тізбектің n уақытындағы мүмкін күйлерінің қайсысы көбірек екенін көрсетеді.
ықтимал.
м
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
pk(n) 1
k 1
19

20. Марковтың дискретті тізбектері

Марков процестері
Марковтың дискретті тізбектері
N 1 үшін ( p (n)) ретін білу,... уақыт бойынша жүйенің әрекеті туралы түсінік алуға мүмкіндік береді.
3-мемлекеттік жүйеде
p11 p12 p13
P p21
б
31
б22
б32
б23
б33
p2 (1) p1 (0) p12 p2 (0) p22 p3 (0) p32
p2 (n 1) p1 (n) p12 p2 (n) p22 p3 (n) p32
Жалпы алғанда:
p j (1) pk (0) pkj
p j (n 1) pk (n) pkj
к
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
к
p(n 1) p(n) P
20

21. Дискретті Марков тізбектері. Мысал

Марков процестері
Марковтың дискретті тізбектері. Мысал
Матрица
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
Қадам
(p(n))
n
0
1, 0, 0
n
1
0.2 , 0.5 , 0.3
n
2
0.04 , 0.35 , 0.61
n
3
0.008 , 0.195 , 0.797
n
4
0.0016 , 0.1015 , 0.8969
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
21

22. Дискретті Марков тізбектері

Марков процестері
Марковтың дискретті тізбектері
n
P(n) P қадамдары үшін өту матрицасы.
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
p(2) p(0) P
2
p(2)
P(2) P2
1, 0, 0
0.0016
0.
0.
0.0016
0.
0.
0.1015
0.0625
0.
0.1015
0.0625
0.
0.8969
0.9375
1.
0.8969
0.9375
1.
0.04 , 0.35 , 0.61
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
22

23. Марковтың дискретті тізбектері

Марков процестері
Марковтың дискретті тізбектері
Марков тізбегі n үшін қалай әрекет етеді?
Біртекті Марков тізбегі үшін белгілі бір жағдайларда келесі қасиет орындалады: n үшін p (n).
0 ықтималдығы бастапқы үлестірімге тәуелді емес
p(0) , және тек P матрицасы арқылы анықталады. Бұл жағдайда ол стационарлық таралу деп аталады, ал тізбектің өзі эргодикалық деп аталады. Эргодизм қасиеті n өскен сайын дегенді білдіреді
күйлердің ықтималдығы іс жүзінде өзгеруді тоқтатады және жүйе тұрақты жұмыс режиміне өтеді.
мен
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
23

24. Дискретті Марков тізбектері. Мысал

Марков процестері
Марковтың дискретті тізбектері. Мысал
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
0 0 1
P() 0 0 1
0 0 1
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
p()(0,0,1)
24

25. Марковтың дискретті тізбектері. Мысал

Марков процестері
Марковтың дискретті тізбектері. Мысал
0.30 0.60 0.10
0.10 0.60 0.30
0.05 0.40 0.55
0.1017 0.5254 0.3729
P() 0,1017 0,5254 0,3729
0.1017 0.5254 0.3729
p() (0,1017,0,5254,0,3729)
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
25

26. Үздіксіз уақытпен Марков процестері

Марков процестері

Процесс үздіксіз уақыт процесі деп аталады, егер
Күйден күйге өтудің мүмкін болатын сәттері алдын ала белгіленбеген, бірақ белгісіз, кездейсоқ және болуы мүмкін.
кез-келген сәтте.
Мысал. S технологиялық жүйесі екі құрылғыдан тұрады,
олардың әрқайсысы кездейсоқ уақытта шығуы мүмкін
ғимарат, содан кейін қондырғыны жөндеу дереу басталады, сонымен қатар белгісіз, кездейсоқ уақытқа жалғасады.
Келесі жүйе күйлері мүмкін:
S0 - екі құрылғы да жұмыс істейді;
S1 - бірінші құрылғы жөнделуде, екіншісі дұрыс жұмыс істейді;
S2 - екінші құрылғы жөнделуде, біріншісі дұрыс жұмыс істейді;
S3 - екі құрылғы да жөнделіп жатыр.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
26

27. Үздіксіз уақытпен Марков процестері

Марков процестері
Үздіксіз уақыттық Марков процестері
S жүйесінің күйден күйге ауысуы орын алады
дерлік сәтсіздікке ұшыраған кездейсоқ сәттерде
сол немесе басқа құрылғы немесе
жөндеу жұмыстарын аяқтау.
Бір мезгілде болу ықтималдығы
екі құрылғының да істен шығуы
назардан тыс қалдыруға болады.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
27

28. Оқиғалар ағындары

Марков процестері
Оқиға ағындары
Оқиғалар ағыны - бұл кездейсоқ сәттерде бірінен соң бірі жалғасып келе жатқан біртекті оқиғалар тізбегі.
оқиғалардың орташа саны болып табылады
Оқиға ағынының қарқындылығы
уақыт бірлігіне.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
28

29. Оқиғалар ағындары

Марков процестері
Оқиға ағындары
Оқиғалар ағыны, егер оның ықтималдық сипаттамалары уақытқа тәуелді болмаса, стационар деп аталады.
Атап айтқанда, қарқындылық
тұрақты ағын тұрақты. Оқиғалар ағынында міндетті түрде конденсациялар немесе сиректеулер болады, бірақ олар тұрақты сипатқа ие емес, уақыт бірлігіндегі оқиғалардың орташа саны тұрақты және уақытқа тәуелді емес.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
29

30. Оқиғалар ағындары

Марков процестері
Оқиға ағындары
Оқиғалар ағыны салдары жоқ ағын деп аталады, егер for
кез келген екі қабаттаспайтын уақыт кезеңі және олардың біріне түсетін оқиғалар саны екіншісіне қанша оқиға түсетініне байланысты емес. Басқаша айтқанда, бұл ағымды құрайтын оқиғалардың белгілі бір сәтте пайда болуын білдіреді
уақыт бір-бірінен тәуелсіз және әрқайсысы өз себептерімен туындаған.
Оқиғалар ағыны қарапайым деп аталады, егер элементар t сегментінде екі немесе одан да көп оқиғаның пайда болу ықтималдығы бір оқиғаның пайда болу ықтималдығымен салыстырғанда шамалы болса.
оқиғалар, яғни. онда оқиғалар бірден бірнеше топта емес, бірінен соң бірі пайда болады
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
30

31. Оқиғалар ағындары

Марков процестері
Оқиға ағындары
Оқиғалар ағыны бірден үш қасиетке ие болса: 1) стационарлық, 2) қарапайым, 3) салдары болмаса, ең қарапайым (немесе стационарлық Пуассон) деп аталады.
Ең қарапайым ағынның ең қарапайым математикалық сипаттамасы бар. Ол ағындар арасында бірдей ерекше ойнайды
рөлі, басқалар арасында қалыпты таралу заңы сияқты
таралу заңдары. Атап айтқанда, тәуелсіз, стационарлық және кәдімгі жеткілікті үлкен санын қабаттастыру кезінде
ағындар (қарқындылығы бойынша бір-бірімен салыстырылады), нәтиже ең қарапайымға жақын ағын болып табылады.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
31

32. Оқиғалар ағындары

Марков процестері
Оқиға ағындары
Қарқындылығы бар қарапайым ағын үшін
интервал
Көрші оқиғалар арасындағы T уақыты экспоненциалды болады
тығыздығымен бөлу
p(x) e x , x 0 .
Экспоненциалды таралымы бар T кездейсоқ шама үшін математикалық күту параметрдің кері мәні болып табылады.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
32

33. Үздіксіз уақытпен Марков процестері

Марков процестері
Үздіксіз уақыттық Марков процестері
Дискретті күйлері және үздіксіз уақыты бар процестерді қарастыра отырып, S жүйесінің күйден күйге барлық ауысулары әсер етумен жүреді деп болжауға болады.
қарапайым оқиғалар ағындары (шақыру ағындары, ақаулар ағындары, қалпына келтіру ағындары және т.б.).
Егер S жүйесін күйден күйге көшіретін оқиғалардың барлық ағындары қарапайым болса, онда орын алатын процесс
жүйе Марковиандық болады.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
33

34. Үздіксіз уақытпен Марков процестері

Марков процестері
Үздіксіз уақыттық Марков процестері
Мемлекеттегі жүйе әрекет етсін
оқиғалардың ең қарапайым ағымы. Бұл ағынның бірінші оқиғасы пайда болғаннан кейін жүйе күйден «секіреді».
күйге.
- жүйені тасымалдайтын оқиғалар ағынының қарқындылығы
мемлекеттен
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
В
.
34

35. Үздіксіз уақытпен Марков процестері

Марков процестері
Үздіксіз уақыттық Марков процестері
Қарастырылып отырған S жүйесі болсын
мүмкін күйлер
. p ij (t) ықтималдығы t уақытындағы i күйінен j күйіне өту ықтималдығы.
i-ші күйдің ықтималдығы
ықтималдығы болып табылады
t уақытында жүйе күйде болады
. Әлбетте, кез келген уақытта сома
Күйдің барлық ықтималдықтарының саны біреуге тең:
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
35

36. Үздіксіз уақытпен Марков процестері

Марков процестері
Үздіксіз уақыттық Марков процестері
Күйдің барлық ықтималдықтарын табу
Қалай
уақыт функциялары, Колмогоров дифференциалдық теңдеулері құрастырылған және шешілген – белгісіз функциялары күйлердің ықтималдығы болатын теңдеудің ерекше түрі.
Өтпелі ықтималдықтар үшін:
p ij (t) p ik (t) kj
к
Шартсыз ықтималдықтар үшін:
p j (t) p k (t) kj
к
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
36

37. Колмогоров Андрей Николаевич

Марков процестері
Колмогоров Андрей Николаевич
1903-1987
Ұлы орыс
математик.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
37

38. Үздіксіз уақытпен Марков процестері

Марков процестері
Үздіксіз уақыттық Марков процестері
- істен шығу ағынының қарқындылығы;
- қалпына келтіру ағынының қарқындылығы.
Жүйе күйінде болсын
S0. Ол ағынмен S1 күйіне ауысады
бірінші құрылғының ақаулары. Оның қарқындылығы
Қайда
- құрылғының орташа жұмыс уақыты.
Жүйе қалпына келтіру ағыны арқылы S1 күйінен S0 күйіне ауыстырылады
бірінші құрылғы. Оның қарқындылығы
Қайда
- бірінші станокты жөндеудің орташа уақыты.
Графиктің барлық доғалары бойымен жүйені тасымалдайтын оқиғалар ағындарының қарқындылығы ұқсас жолмен есептеледі.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
38

39. Кезекте тұру жүйелері

Марков процестері

Кезекке қызмет көрсету жүйелерінің (QS) мысалдары: телефон станциялары, жөндеу шеберханалары,
билет
кассалық машиналар,
анықтама
бюро,
станоктар мен басқа да технологиялық жүйелер,
жүйелер
басқару
икемді
өндірістік жүйелер,
серверлермен ақпаратты өңдеу және т.б.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
39

40. Кезекте тұру жүйелері

Марков процестері
Кезекте тұру жүйелері
QS қызмет көрсетудің белгілі бір санынан тұрады
бірліктер қызмет көрсету арналары деп аталады (бұлар
машиналар, роботтар, байланыс желілері, кассирлер және т.б.). Кез келген SMO
кездейсоқ уақытта келетін қосымшалар (талаптар) ағынына қызмет көрсетуге арналған.
Сұранысқа қызмет көрсету кездейсоқ уақытқа жалғасады, содан кейін арна босатылады және келесісін қабылдауға дайын болады
қолданбалар.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
40

41. Кезекте тұру жүйелері

Марков процестері
Кезекте тұру жүйелері
QS операциялық процесі дискретті кездейсоқ процесс
күйлер және үздіксіз уақыт. Кейбір оқиғалардың пайда болу сәтінде QS күйі күрт өзгереді
(жаңа сұраныстың келуі, қызметтің аяқталуы, сәт,
Күтуден шаршаған өтініш кезектен шыққанда).
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
41

42. Кезекте тұру жүйелері

Марков процестері
Кезекте тұру жүйелері
Кезекте тұру жүйелерінің классификациясы
1. Ақаулары бар QS;
2. Кезегі бар кезек.
Бас тартуы бар QS жүйесінде барлық арналар бос емес кезде қабылданған өтініш бас тартуды алады, QS-тен шығады және енді ол болмайды.
атқарды.
Кезегі бар QS жүйесінде барлық арналар бос емес уақытта келген сұраныс кетпейді, бірақ кезекке тұрып, қызмет көрсету мүмкіндігін күтеді.
Кезегі бар QS түріне байланысты әртүрлі түрлерге бөлінеді
кезектің қалай ұйымдастырылғанына байланысты - шектеулі немесе шектеусіз. Шектеулер кезек ұзақтығына да, уақытына да қолданылуы мүмкін
күту, «қызмет тәртібі».
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
42

43. Кезекте тұру жүйелері

Марков процестері
Кезекте тұру жүйелері
Кезек теориясының пәні құрылыс болып табылады
берілген шарттарды байланыстыратын математикалық модельдер
QS жұмысы (арналар саны, олардың өнімділігі, ережелері
жұмыс, қосымшалар ағынының сипаты) бізді қызықтыратын сипаттамалары бар - QS тиімділігінің көрсеткіштері. Бұл көрсеткіштер QS ағынмен күресу қабілетін сипаттайды
қолданбалар. Олар мыналар болуы мүмкін: уақыт бірлігінде QS қызмет көрсететін қосымшалардың орташа саны; бос емес арналардың орташа саны; кезектегі өтініштердің орташа саны; қызмет көрсетуді күтудің орташа уақыты және т.б.
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»
43

44.

РАҚМЕТ СІЗГЕ
НАЗАР АУДАРЫҢЫЗ!!!
44

45. Өтпелі графигін тұрғызыңыз

Марков процестері
Өту графигін құру
0.30
0.70
0.0
0.10
0.60
0.30
0.50
0.50
0.0
KHNURE, бөлім ПМ, оқытушы Кириченко Л.О.
«Ықтималдықтар теориясы, математикалық
статистика және кездейсоқ процестер»

Кездейсоқ процесс түрінде дамитын көптеген операцияларды математикалық сипаттау үшін Марковтың кездейсоқ процестері үшін ықтималдықтар теориясында жасалған математикалық аппаратты сәтті қолдануға болады.

Функция X(t)Кез келген аргумент үшін оның мәні кездейсоқ деп аталады т кездейсоқ шама болып табылады.

Кездейсоқ функция X(t), дәлелі уақыт болып табылады, деп аталады кездейсоқ процесс .

Марков процестері кездейсоқ процестердің ерекше түрі болып табылады. Кездейсоқ процестердің басқа кластары арасында Марков процестерінің ерекше орны келесі жағдайларға байланысты: Марков процестері үшін көптеген практикалық есептерді шешуге мүмкіндік беретін математикалық аппарат жақсы әзірленген; Марков процестерінің көмегімен өте күрделі жүйелердің әрекетін (дәл немесе шамамен) сипаттауға болады.

Анықтама.Жүйеде болатын кездейсоқ процесс С, деп аталады Марковиан (немесе салдары жоқ процесс), егер оның келесі қасиеті болса: уақыттың кез келген сәті үшін t 0болашақта жүйенің кез келген күйінің ықтималдығы (бар t > t 0) тек оның қазіргі жағдайына байланысты (мен t = t 0) және S жүйесі бұл күйге қашан және қалай келгеніне байланысты емес. Яғни, Марковтың кездейсоқ процесінде процестің болашақтағы дамуы оның бұрынғы тарихына байланысты емес.

Марков процестерінің классификациясы . Марковтың кездейсоқ процестерінің классификациясы функция мәндерінің жиынының үздіксіздігіне немесе дискреттілігіне байланысты жүзеге асырылады. X(t)және параметр т. Марковтың кездейсоқ процестерінің келесі негізгі түрлері бар:

· дискретті күйлермен және дискретті уақытпен (Марков тізбегі);

· үздіксіз күйлермен және дискретті уақытпен (Марков тізбегі);

· дискретті күйлермен және үздіксіз уақытпен (үздіксіз Марков тізбегі);

· үздіксіз күймен және үздіксіз уақытпен.

Мұнда тек дискретті күйлері бар Марков процестері қарастырылады S 1, S 2,…, S n. Яғни, бұл күйлерді бірінен соң бірі қайта нөмірлеуге болады, ал процестің өзі жүйенің өз күйін кенеттен кездейсоқ өзгертуінен тұрады.

Күй графигі.Дискретті күйлері бар Марков процестері күй графигі (1.1-сурет) көмегімен ыңғайлы түрде суреттелген, мұнда күйлер квадраттармен көрсетілген. S1, S2, ... жүйелері С, және көрсеткілер күйден күйге өту мүмкіндігін көрсетеді. График басқа күйлер арқылы өтуді емес, тек тікелей өтулерді белгілейді. Алдыңғы күйдегі ықтимал кешігулер «цикл» ретінде бейнеленген, яғни берілген күйден сол күйге бағытталған көрсеткі. Жүйе күйлерінің саны ақырлы немесе шексіз болуы мүмкін (бірақ есептелетін).

Күріш. 3.1. Жүйе күйінің графигі S

1-тапсырма.Жүйе С– бес штаттың бірінде болуы мүмкін көлік.

S 1– жақсы жұмыс жағдайында, жұмыс істеуде;

S 2– ақаулы, тексеруді күтуде;

S 3-тексереді;

S 4– жөндеу жұмыстары жүргізілуде;

S 5– есептен шығару.

Жүйе күйлерінің графигін тұрғызыңыз.

2-тапсырма.Техникалық құрылғы С 2 түйіннен тұрады: 1 және 2, олардың әрқайсысы кез келген уақытта істен шығуы мүмкін. Әрбір түйінде тек 2 күй болуы мүмкін. 1 – жұмысқа жарамды, 2 – ақаулы. Жүйе күйлерінің графигін тұрғызыңыз.

3-тапсырма.Процесс барысында түйіндер жөнделмейді деп есептей отырып, алдыңғы есептің шарттары бойынша күй графигін тұрғызыңыз.

4-тапсырма.Техникалық құрылғы С 2 түйіннен тұрады: 1 және 2, олардың әрқайсысы кез келген уақытта істен шығуы мүмкін. Әрбір қондырғы қалпына келтіруді бастамас бұрын ақауды анықтау үшін тексеріледі. Жүйе күйлері 2 индекспен нөмірленеді: S ij (мен– бірінші түйіннің күйі, j– екінші түйіннің күйі). Әрбір түйіннің үш күйі болады (жұмыс, тексеру, қалпына келтіру).

Сайт материалдарын пайдалану туралы келісім

Сайтта жарияланған жұмыстарды тек жеке мақсатта пайдалануыңызды сұраймыз. Материалдарды басқа сайттарда жариялауға тыйым салынады.
Бұл жұмыс (және басқалары) толығымен тегін жүктеп алуға болады. Сіз оның авторына және сайт командасына алғыс айта аласыз.

Жақсы жұмысыңызды білім қорына жіберу оңай. Төмендегі пішінді пайдаланыңыз

Білім қорын оқу мен жұмыста пайдаланатын студенттер, аспиранттар, жас ғалымдар сізге алғыстары шексіз.

Ұқсас құжаттар

Марков тізбектері теориясының негізгі түсініктері. Шектеулі ықтималдықтар теориясы. Марков тізбектерінің қолдану аймақтары. Басқарылатын Марков тізбектері. Стратегияны таңдау. Оңтайлы стратегия Марков болып табылады - ол шешім қабылданған уақытта да байланысты болуы мүмкін.

аннотация, 03/08/2004 қосылды


Марков тізбегі кездейсоқ оқиғалар тізбегінің қарапайым жағдайы ретінде, оның қолдану аймақтары. Марков тізбегіндегі ықтималдықтарды шектеу туралы теорема, Марковтың теңдік формуласы. Типтік және біртекті Марков тізбегіне, өтпелі матрицаны табуға мысалдар.

курстық жұмыс, 20.04.2011 қосылған


Марков тізбегі теориясының негізгі түсініктері, оларды жүйеде орналасқан құрылғылар санының ықтималдық үлестірімін есептеу үшін кезек теориясында қолдану. Ең жақсы таңдау мәселесін шешу әдістемесі. Қайталанатын және қайтарылмайтын күйлер туралы түсінік.

курстық жұмыс, 11.06.2011 қосылған


Марков тізбектері Бернулли сұлбасының жалпылауы ретінде, нәтижелердің ақырлы немесе есептік шексіз саны бар кездейсоқ оқиғалар тізбегін сипаттау; схемалардың қасиеттерін, олардың информатикадағы өзектілігін; қолдану: PageRank көмегімен мәтіннің авторлығын анықтау.

диссертация, 19.05.2011 қосылған


Математикадағы кездейсоқ процестің анықтамасы, осы процестің механизмін сипаттайтын бірқатар терминдер мен ұғымдар. Марков, дискретті күйлері бар стационар кездейсоқ процестер. Стационар кездейсоқ процестердің эргодикалық қасиетінің ерекшеліктері.

аннотация, 15.05.2010 қосылған


Кездейсоқ шамалардың тізбектерінің жинақтылығы. Тәуелсіз бірдей таралған кездейсоқ шамалар үшін орталық шекті теорема. Математикалық статистиканың негізгі міндеттері, олардың сипаттамасы. Смирнов гомогенділік критерийі арқылы гипотезаларды тексеру.

курстық жұмыс, 13.11.2012 қосылған


Кездейсоқ оқиғалардың классификациясы. Тарату функциясы. Дискретті кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары. Ықтималдылықтың біркелкі үлестірім заңы. Оқушыларды бөлу. Математикалық статистиканың есептері. Популяция параметрлерін бағалау.