Функцияның кемитінін дәлелдеңдер. Сабақтың тақырыбы: «Функциялардың өсу және кему»

Қазіргі уақытта математика сабағында жоғары сынып оқушыларының шығармашылық, белсенділік, дербестік, өзін-өзі жүзеге асыруды көрсету қажеттілігі мен оған берілген уақыттың шектеулілігі арасында қарама-қайшылық бар. 2006 жылдан бастап математика сабағында оқушыларға саналы таңдау жасау мақсатында Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешковтың математиканы тереңдетіп оқытатын «Алгебра 7, 8, 9» оқулықтарын пайдаланып келемін. оқушылардың оқу мотивациясын дамыта отырып, жоғары математикалық талаптар деңгейінде жұмыс істеу мүмкіндігін қамтамасыз ететін білім беру бейіні.
Жаңа қасиеттер мен қарым-қатынастарды өздері «ашуы» және оларды мұғалімнен дайын түрде қабылдамауы үшін студенттерді өз бетінше зерттеу әрекетіне қалай қосуға болады? Көп жылдық жұмыс тәжірибесі мен оқытуға қатысты дәстүрлі идеяларды өзгертуге деген ұмтылыс мені математика сабақтарында зерттеушілік әрекеттерді қолдануға итермеледі. Әрине, жұмыс әдісін, сабақ құрылымын өзгерту және оқу үдерісін ұйымдастырушы функциясын алу, интеллектуалдық деңгейіне қарамастан әрбір оқушыны негізгі іс-әрекетке жүйелі түрде қосуды қамтамасыз ететін функцияны алу мені талап етті. белгілі бір білімі және өзін-өзі дамытуға дайын болуы.
Студенттің іс-әрекетке араласуы оның білімінің тереңдігі мен беріктігіне, оның құндылықтар жүйесінің қалыптасуына, яғни өзін-өзі тәрбиелеуге әсер етеді деп ойлаймын. Студенттердің өзін-өзі дамыту және өзін-өзі тәрбиелеу қабілеті оларға қоғаммен қайшылыққа түспей, үнемі өзгеріп отыратын сыртқы жағдайларға сәтті бейімделуге мүмкіндік береді.

Бөлім тақырыбы:«Функциялардың қасиеттері».

Сабақтың тақырыбы:«Қосатын және кемітетін функциялар».

Сабақтың түрі:жаңа материалды оқу және қолдану сабағы.

Негізгі мақсаттар:

Оқушыларда монотонды функция туралы жаңа ұғымның қалыптасуына ықпал ету;
Білімге деген оң көзқарасты, жұппен жұмыс жасай білуге тәрбиелеу;
Аналитикалық ойлауды, ішінара ізденіс танымдық әрекет дағдыларын дамытуға ықпал ету.

САБАҚ КЕЗІНДЕ

I. Анықтамалық білімді жаңарту

– Функцияны анықтаңыз.
– Сызбада графиктері көрсетілген функциялар қандай формуламен анықталады. (2-қосымша)

II. Жаңа білімді қалыптастыру

Функция f(x) X жиынында аргументтің кез келген екі мәні үшін өсу деп аталады X 1 және X 2 X жинағы, осылайша X 2 > X f(x 2 ) > f(x 1 ) .
Функция (X)Аргументтің кез келген екі мәні үшін X жиынында кему деп аталады X 1 және X 2 X жинағы, осылайша X 2 > X 1, теңсіздік орындалады f(x 2 ) <f(x 1 ) .
Х жиынында өсетін немесе Х жиынында кемитін функция X жиынындағы монотонды деп аталады.

Функциялардың кейбір түрлерінің монотондылық сипатын анықтайық: (4-қосымша)
Функция f(x)= – ұлғайту. Дәлелдейік.
Өрнек тек қашан мағыналы болады X > 0. Сондықтан Д (f)=. n функциясы үшін f(x) = x nанықтаудың барлық облысы бойынша, яғни (– ; +) интервалында артады. (7-қосымша)
Кері пропорционалдық, яғни функция f(x)= (– ; 0) және (0; + ) аралықтарының әрқайсысында к> 0 төмендейді және қашан к < 0 возрастает. (Приложение 8)

Монотонды функциялардың кейбір қасиеттерін қарастырайық (9-қосымша):

IV. Практикалық дағдыларды қалыптастыру

Мұнда монотонды функциялардың қасиеттерін пайдалану мысалдары берілген:

Түзу қанша нүктеде тұрғанын білейік сағ= 9 функциясының графигін қиып өтеді f(x) = + + .

Шешімі:

Функциялар сағ= , у = және у = өсетін функциялар (4-қасиет). Өсу функцияларының қосындысы өсетін функция (3-қасиет). Ал өсетін функция өзінің әрбір мәнін бір аргумент мәні үшін ғана қабылдайды (1-қасиет). Демек, у = 9 түзуінің функция графигімен ортақ нүктелері болса f(x)= + + , онда тек бір нүкте.
Таңдау арқылы оны табуға болады f(x)= 9 сағ X= 3. Демек, ол түзу сағ= 9 функциясының графигін қиып өтеді f(x) M(3; 9) нүктесінде = + +.

Теңдеуді шешейік X 3 – + = 0.

Шешімі:

Мұны көру оңай X= 1 – теңдеудің түбірі. Бұл теңдеудің басқа түбірі жоқ екенін көрсетейік. Шынында да, функцияның анықталу облысы y = x 3 – + – оң сандар жиыны. Бұл жиында функция артады, өйткені функциялардың әрқайсысы сағ = X 3 , сағ= – және сағ= аралықта артады (0; +). Демек, бұл теңдеудің басқа түбірлері бар X= 1, жоқ.

Арту және кему функциясы

функциясы ж = f(x) аралықта өсу деп аталады [ а, б], егер кез келген ұпай жұбы болса XЖәне X", a ≤ x теңсіздігі орындалады f(x) ≤ f (x"), ал қатаң өсу – теңсіздік орындалса f (x) f(x"). Азайтқыш және қатаң кемімелі функциялар да осылай анықталады. Мысалы, функция сағ = X 2 (күріш. , а) , және кесіндісінде қатаң өседі

(күріш. , б) осы сегментте қатаң төмендейді. Көбейтетін функциялар белгіленген f (x) және азаяды f (x)↓. Дифференциалданатын функция үшін f (x) сегментте өсті [ А, б], оның туындысы қажет және жеткілікті f"(x) теріс емес болды [ А, б].

Функцияның кесіндідегі өсуі мен кемуімен қатар функцияның нүктедегі өсуі мен кемуін қарастырамыз. Функция сағ = f (x) нүктесінде өсу деп аталады x 0, егер нүктені қамтитын интервал (α, β) болса x 0, ол кез келген нүкте үшін Xбастап (α, β), x> x 0 теңсіздік орындалады f (x 0) ≤ f (x) және кез келген нүкте үшін Xбастап (α, β), x 0 , теңсіздік орындалады f (x) ≤ f (x 0). Функцияның нүктедегі қатаң өсімі де осылай анықталады x 0 . Егер f"(x 0) > 0, содан кейін функция f(x) нүктеде қатаң түрде артады x 0 . Егер f (x) интервалдың әрбір нүктесінде артады ( а, б), содан кейін ол осы аралықта артады.

Стечкин.

Ұлы Совет энциклопедиясы. - М.: Совет энциклопедиясы. 1969-1978 .

Басқа сөздіктерде «ұлғайту және азайту функциялары» деген не екенін қараңыз:

Математикалық талдаудың түсініктері. f(x) функциясын ХАЛЫҚТЫҢ ЖАСТЫ ҚҰРЫЛЫМЫ сегментінде өсетін халықтың әртүрлі жас топтары санының қатынасы деп атайды. Туу мен өлім көрсеткіштеріне, адамдардың өмір сүру ұзақтығына байланысты... Үлкен энциклопедиялық сөздік

Математикалық талдаудың түсініктері. f(x) функциясы кесіндіде өседі деп аталады, егер x1 және x2 нүктелерінің кез келген жұбы үшін a≤x1 ... энциклопедиялық сөздік

Математика туралы түсініктер. талдау. f(x) функциясы шақырылады. [a, b] кесіндісінде өсу, егер x1 және x2 нүктелерінің кез келген жұбы үшін, және<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Жаратылыстану. энциклопедиялық сөздік

Функциялардың туындылары мен дифференциалдарын және олардың функцияларды зерттеуге қолданылуын зерттейтін математиканың бөлімі. Дизайн D. және. дербес математикалық пәнге I. Ньютон және Г.Лейбниц есімдерімен байланысты (17 екінші жартысы ... Ұлы Совет энциклопедиясы

Туынды және дифференциал ұғымдары және олардың функцияларды зерттеуде қалай қолданылатыны зерттелетін математика саласы. Д-ның дамуы және. интегралдық есептеулердің дамуымен тығыз байланысты. Олардың мазмұны да ажырамас. Олар бірігіп негізді құрайды...... Математикалық энциклопедия

Бұл терминнің басқа да мағыналары бар, функцияны қараңыз. «Дисплей» сұрауы осында қайта бағытталады; басқа мағыналарды да қараңыз... Уикипедия

Аристотель және перипатетиктер- Аристотельдің сұрағы Аристотельдің өмірі Аристотель 384/383 жылы дүниеге келген. BC e. Македониямен шекаралас Стагирада. Оның әкесі Никомах, Филиптің әкесі Македония патшасы Аминтастың қызметінде дәрігер болған. Отбасымен бірге жас Аристотель... ... Батыс философиясы өзінің бастауынан бүгінгі күнге дейін

- (QCD), кванттық бейнеде салынған кварктар мен глюондардың күшті әрекеттесуінің кванттық өріс теориясы. электродинамика (QED) «түс» өлшеуіш симметриясына негізделген. QED-тен айырмашылығы, QCD құрамындағы фермиондардың қосымша қасиеттері бар. еркіндіктің кванттық дәрежесі саны,…… Физикалық энциклопедия

I Жүрек Жүрек (латынша cor, грекше cardia) — сорғыш қызметін атқара отырып, қан айналымы жүйесіндегі қанның қозғалысын қамтамасыз ететін қуыс талшықты бұлшықет органы. Анатомия Жүрек алдыңғы ортастинумда (Mediastinum) перикардта... ... арасында орналасқан. Медициналық энциклопедия

Өсімдіктің тіршілігі, кез келген басқа тірі ағзалар сияқты, өзара байланысты процестердің күрделі жиынтығы; Олардың ең маңыздысы, белгілі болғандай, қоршаған ортамен заттардың алмасуы. Қоршаған орта оның қайнар көзі....... Биологиялық энциклопедия

Өсуші функцияның анықтамасы.

Функция y=f(x)аралықта артады X, егер бар болса және теңсіздік сақталады. Басқаша айтқанда, аргументтің үлкен мәні функцияның үлкен мәніне сәйкес келеді.

Кемімелі функцияның анықтамасы.

Функция y=f(x)аралықта азаяды X, егер бар болса және теңсіздік сақталады . Басқаша айтқанда, аргументтің үлкен мәні функцияның кіші мәніне сәйкес келеді.

ЕСКЕРТПЕ: егер функция өсу немесе кему аралығының соңында анықталған және үздіксіз болса (а;б), яғни қашан x=aЖәне x=b, онда бұл нүктелер өсу немесе кему интервалына қосылады. Бұл интервалдағы өсу және кему функциясының анықтамаларына қайшы келмейді X.

Мысалы, негізгі элементар функциялардың қасиеттерінен біз мұны білеміз y=sinxаргументтің барлық нақты мәндері үшін анықталған және үздіксіз. Демек, синус функциясының аралықтағы ұлғаюынан оның аралықта өсетінін дәлелдей аламыз.

Функцияның экстремум нүктелері, экстремумдары.

Нүкте деп аталады максималды нүктефункциялары y=f(x), егер барлығы үшін xоның маңайынан теңсіздік жарамды. Функцияның максималды нүктесіндегі мәні шақырылады функцияның максимумыжәне белгілеңіз.

Нүкте деп аталады ең төменгі нүктефункциялары y=f(x), егер барлығы үшін xоның маңайынан теңсіздік жарамды. Функцияның минимум нүктесіндегі мәні шақырылады минималды функцияжәне белгілеңіз.

Нүктенің көршілестігі интервал деп түсініледі , мұндағы жеткілікті аз оң сан.

Минималды және максималды нүктелер деп аталады экстремум нүктелері, және экстремум нүктелеріне сәйкес функция мәндері шақырылады функцияның экстремумы.

Функцияның экстремумын функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерімен шатастырмаңыз.

Бірінші суретте функцияның сегменттегі ең үлкен мәні максимум нүктесінде жетеді және функцияның максимумына тең, ал екінші суретте - нүктеде функцияның ең жоғары мәніне қол жеткізіледі. x=b, бұл максималды нүкте емес.

Функцияларды арттыру және азайту үшін жеткілікті шарттар.

Функцияның өсу және кемуінің жеткілікті шарттары (белгілері) негізінде функцияның өсу және кему аралықтары табылады.

Функциялардың аралықтағы өсу және кему белгілерінің тұжырымдары:

функцияның туындысы болса y=f(x)кез келген адам үшін оң xаралықтан X, содан кейін функция артады X;

функцияның туындысы болса y=f(x)кез келген адамға теріс xаралықтан X, содан кейін функция төмендейді X.

Сонымен, функцияның өсу және кему аралықтарын анықтау үшін қажет:

Алгоритмді түсіндіру үшін функциялардың өсу және кему аралықтарын табу мысалын қарастырайық.

Мысал.

Функциялардың өсу және кему аралықтарын табыңыз.

Шешім.

Бірінші қадам - функцияның анықтамасын табу. Біздің мысалда бөлгіштегі өрнек нөлге бармауы керек, сондықтан, .

Функцияның туындысын табуға көшейік:

Жеткілікті критерий негізінде функцияның өсу және кему аралықтарын анықтау үшін анықтау облысы бойынша теңсіздіктерді шешеміз. Интервал әдісінің жалпылауын қолданайық. Алымдардың жалғыз нақты түбірі x = 2, ал бөлгіш нөлге дейін барады x=0. Бұл нүктелер анықтау облысын функцияның туындысы таңбасын сақтайтын интервалдарға бөледі. Осы нүктелерді сандар түзуінде белгілейік. Туынды оң немесе теріс болатын аралықтарды шартты түрде плюс және минус арқылы белгілейміз. Төмендегі көрсеткілер сәйкес аралықта функцияның ұлғаюын немесе азаюын схемалық түрде көрсетеді.

Осылайша, Және .

Нүктеде x=2функция анықталған және үздіксіз, сондықтан оны өсу және кему аралықтарына қосу керек. Нүктеде x=0функция анықталмаған, сондықтан біз бұл нүктені қажетті аралықтарға қоспаймыз.

Онымен алынған нәтижелерді салыстыру үшін функцияның графигін ұсынамыз.

Жауап:

функциясы артады , аралықта азаяды (0;2] .

Функцияның әрекеті туралы өте маңызды ақпарат өсу және кему аралықтары арқылы беріледі. Оларды табу функцияны тексеру және графикті құру процесінің бөлігі болып табылады. Сонымен қатар, белгілі бір аралықта функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу кезінде өсуден кемуге немесе кемуден өсуге қарай өзгеретін шеткі нүктелерге ерекше назар аударылады.

Бұл мақалада біз қажетті анықтамаларды береміз, функцияның интервалдағы өсуі мен кемуінің жеткілікті критерийін және экстремумның болуы үшін жеткілікті шарттарды тұжырымдаймыз және осы теорияны мысалдар мен есептерді шешуге қолданамыз.

Бетті шарлау.

Интервалдағы өсу және кему функциясы.

Өсуші функцияның анықтамасы.

y=f(x) функциясы кез келген және үшін X интервалында артады теңсіздік сақталады. Басқаша айтқанда, аргументтің үлкен мәні функцияның үлкен мәніне сәйкес келеді.

Кемімелі функцияның анықтамасы.

y=f(x) функциясы X интервалында кемиді, егер кез келген және болса теңсіздік сақталады . Басқаша айтқанда, аргументтің үлкен мәні функцияның кіші мәніне сәйкес келеді.

ЕСКЕРТПЕ: егер функция өсу немесе кему интервалының (a;b) ұштарында, яғни x=a және x=b нүктелерінде анықталған және үздіксіз болса, онда бұл нүктелер өсу немесе кему интервалына қосылады. Бұл Х интервалындағы өсу және кему функциясының анықтамаларына қайшы келмейді.

Мысалы, негізгі элементар функциялардың қасиеттерінен y=sinx аргументтің барлық нақты мәндері үшін анықталған және үздіксіз екенін білеміз. Демек, синус функциясының аралықтағы ұлғаюынан оның аралықта өсетінін дәлелдей аламыз.

Функцияның экстремум нүктелері, экстремумдары.

Нүкте деп аталады максималды нүкте y=f(x) функциясы, егер теңсіздік оның маңындағы барлық х үшін ақиқат болса. Функцияның максималды нүктесіндегі мәні шақырылады функцияның максимумыжәне белгілеңіз.

Нүкте деп аталады ең төменгі нүкте y=f(x) функциясы, егер теңсіздік оның маңындағы барлық х үшін ақиқат болса. Функцияның минимум нүктесіндегі мәні шақырылады минималды функцияжәне белгілеңіз.

Нүктенің көршілестігі интервал деп түсініледі , мұндағы жеткілікті аз оң сан.

Функцияның экстремумын функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерімен шатастырмаңыз.

Бірінші суретте функцияның сегменттегі ең үлкен мәніне максималды нүктеде қол жеткізіледі және функцияның максимумына тең, ал екінші суретте функцияның ең үлкен мәні x=b нүктесінде қол жеткізіледі. , бұл максималды нүкте емес.

Функцияларды арттыру және азайту үшін жеткілікті шарттар.

Функциялардың аралықтағы өсу және кему белгілерінің тұжырымдары:

егер y=f(x) функциясының туындысы Х интервалынан кез келген х үшін оң болса, онда функция Х-ке артады;
егер y=f(x) функциясының туындысы Х интервалынан кез келген х үшін теріс болса, онда функция X бойынша кемиді.

Сонымен, функцияның өсу және кему аралықтарын анықтау үшін қажет:

Алгоритмді түсіндіру үшін функциялардың өсу және кему аралықтарын табу мысалын қарастырайық.

Мысал.

Функциялардың өсу және кему аралықтарын табыңыз.

Шешім.

Бірінші қадам – функцияның анықталу облысын табу. Біздің мысалда бөлгіштегі өрнек нөлге бармауы керек, сондықтан, .

Функцияның туындысын табуға көшейік:

Жеткілікті критерий негізінде функцияның өсу және кему аралықтарын анықтау үшін анықтау облысы бойынша теңсіздіктерді шешеміз. Интервал әдісінің жалпылауын қолданайық. Алымның жалғыз нақты түбірі х = 2, ал бөлгіш x=0 кезінде нөлге барады. Бұл нүктелер анықтау облысын функцияның туындысы таңбасын сақтайтын интервалдарға бөледі. Осы нүктелерді сандар түзуінде белгілейік. Туынды оң немесе теріс болатын аралықтарды шартты түрде плюс және минус арқылы белгілейміз. Төмендегі көрсеткілер сәйкес аралықта функцияның ұлғаюын немесе азаюын схемалық түрде көрсетеді.

Осылайша, Және .

Нүктеде x=2 функциясы анықталған және үздіксіз, сондықтан оны өсу және кему аралықтарына қосу керек. x=0 нүктесінде функция анықталмаған, сондықтан бұл нүктені қажетті интервалдарға қоспаймыз.

Онымен алынған нәтижелерді салыстыру үшін функцияның графигін ұсынамыз.

Жауап:

Функция ретінде артады , (0;2] аралықта азаяды.

Функцияның экстремумының жеткілікті шарттары.

Функцияның максимумдары мен минимумдарын табу үшін экстремумның үш белгісінің кез келгенін қолдануға болады, әрине, егер функция олардың шарттарын қанағаттандырса. Ең кең таралған және ыңғайлы - олардың біріншісі.

Экстремум үшін бірінші жеткілікті шарт.

y=f(x) функциясы нүктенің - маңайында дифференциалданатын және нүктенің өзінде үзіліссіз болсын.

Басқа сөзбен:

Функцияның экстремумының бірінші белгісіне негізделген экстремум нүктелерін табу алгоритмі.

Функцияның анықталу облысын табамыз.
Функцияның туындысын анықтау облысы бойынша табамыз.
Біз алымның нөлдерін, туындының бөлгішінің нөлдерін және туындысы жоқ анықтау облысының нүктелерін анықтаймыз (барлық тізімделген нүктелер деп аталады ықтимал экстремум нүктелері, осы нүктелер арқылы өтіп, туынды тек таңбасын өзгерте алады).
Бұл нүктелер функцияның анықталу облысын туынды өз таңбасын сақтайтын интервалдарға бөледі. Әрбір интервал бойынша туындының белгілерін анықтаймыз (мысалы, белгілі бір аралықтағы кез келген нүктедегі функцияның туындысының мәнін есептеу арқылы).
Функция үзіліссіз болатын нүктелерді таңдаймыз және ол арқылы туынды таңба өзгереді - бұл экстремум нүктелері.

Сөздер тым көп, функцияның экстремумы үшін бірінші жеткілікті шартты пайдаланып функцияның экстремум нүктелері мен экстремумдарын табудың бірнеше мысалдарын қарастырайық.

Мысал.

Функцияның экстремумын табыңыз.

Шешім.

Функцияның анықталу облысы x=2-ден басқа нақты сандар жиыны болып табылады.

Туындыны табу:

Алымның нөлдері x=-1 және x=5 нүктелері, х=2 кезінде бөлгіш нөлге барады. Осы нүктелерді сандар осінде белгілеңіз

Әрбір аралықтағы туындының белгілерін анықтаймыз, ол үшін әрбір аралықтағы кез келген нүктедегі туындының мәнін есептейміз, мысалы, x=-2, x=0, x=3 және x=6.

Демек, аралықта туынды оң болады (суретте осы интервалға қосу белгісін қоямыз). сияқты

Сондықтан екінші интервалдың үстіне минус, үшіншіден минус, төртіншіден жоғары плюс қоямыз.

Функция үздіксіз және оның туындысы таңбасын өзгертетін нүктелерді таңдау қалады. Бұл экстремум нүктелері.

Нүктеде x=-1 функциясы үздіксіз және туынды таңбасын плюстен минусқа өзгертеді, сондықтан экстремумның бірінші белгісіне сәйкес х=-1 максималды нүкте, функцияның максимумы оған сәйкес келеді. .

Нүктеде x=5 функциясы үздіксіз және туынды таңбасын минустан плюсқа өзгертеді, сондықтан х=-1 ең кіші нүкте, функцияның минимумы оған сәйкес келеді. .

Графикалық иллюстрация.

Жауап:

ЕСКЕРТУ: экстремум үшін бірінші жеткілікті критерий нүктенің өзінде функцияның дифференциалдануын талап етпейді.

Мысал.

Функцияның экстремум нүктелері мен экстремумдарын табыңыз .

Шешім.

Функцияның анықталу облысы – нақты сандар жиыны. Функцияның өзін былай жазуға болады:

Функцияның туындысын табайық:

Нүктеде x=0 туындысы жоқ, өйткені аргумент нөлге ұмтылғанда бір жақты шектердің мәндері сәйкес келмейді:

Бұл ретте бастапқы функция x=0 нүктесінде үзіліссіз болады (үздіксіздік үшін функцияны зерттеу бөлімін қараңыз):

Туынды нөлге келетін аргументтің мәнін табайық:

Барлық алынған нүктелерді сандар түзуінде белгілеп, әрбір интервал бойынша туындының таңбасын анықтайық. Ол үшін туындының мәндерін әрбір интервалдың ерікті нүктелерінде есептейміз, мысалы, x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.