Эйлер шеңберлері қандай қатынасты көрсету үшін қолданылады. Эйлер шеңберлері – жиындарды шартты түрде көрсететін фигуралар
Леонхард Эйлер - математиктердің ең ұлысы 850-ден астам ғылыми еңбек жазды.Олардың бірінде бұл шеңберлер пайда болды.
Ғалым осылай деп жазды«Олар біздің ойларымызды жеңілдету үшін өте қолайлы».
Эйлер шеңберлері құбылыстар мен ұғымдар арасындағы логикалық байланыстарды табуға және/немесе анықтауға көмектесетін геометриялық диаграмма болып табылады. Ол сондай-ақ жиынтық пен оның бөлігі арасындағы байланысты бейнелеуге көмектеседі.
Мәселе 1Саяхатқа баратын 90 туристің 30-ы неміс тілін, 28-і ағылшын тілін, 42-і француз тілінде сөйлейді.Бір мезгілде 8 адам ағылшын және неміс тілдерінде, 10 адам ағылшын және француз тілдерінде, 5 адам неміс және француз тілдерінде, 3 адам үш тілде де сөйлейді. Ешбір тіл білмейтін қанша турист бар?
Шешімі:
Есептің шартын графикалық түрде көрсетейік – үш шеңберді пайдаланып
Жауап: 10 адам.
Мәселе 2
Біздің сыныптағы көптеген балалар футболды, баскетболды, волейболды жақсы көреді. Ал кейбіреулерінде бұл спорттың екі-үш түрі бар. Сыныптан 6 адам тек волейбол, 2 адам тек футбол, 5 адам тек баскетбол ойнайтыны белгілі. Тек 3 адам волейбол мен футбол ойнай алады, 4 адам футбол және баскетбол ойнай алады, 2 волейбол мен баскетбол ойнай алады.Сыныптан бір адам барлық ойынды ойнай алады, 7 адам ешбір ойынды ойнай алмайды. табу керек:
Сыныпта неше адам бар?
Қанша адам футбол ойнай алады?
Қанша адам волейбол ойнай алады?
Мәселе 3
Балалар лагерінде 70 бала болды. Оның 20-сы драма үйірмесіне тартылса, 32-сі хорда ән айтады, 22-сі спортқа бейім. Драма үйірмесінде 10 хор бала, хорда 6 спортшы, драма үйірмесінде 8 спортшы, драма үйірмесіне де, хорға да 3 спортшы қатысады. Хорда ән айтпайтын, спортқа қызықпайтын, драма үйірмесіне қатыспаған балалар қаншама? Қанша жігіт тек спортпен айналысады?
Мәселе 4
Компания қызметкерлерінің 16-сы Францияда, 10-ы Италияда, 6-сы Англияда болды. Англия мен Италияда – бес, Англия мен Францияда – 6, үш елде де – 5 қызметкер. Компанияда барлығы 19 адам жұмыс істейтін болса және олардың әрқайсысы осы елдердің кем дегенде біреуіне барған болса, Италияға да, Францияға да қанша адам барды?
Мәселе 5
Алтыншы сынып оқушылары өздерінің сүйікті мультфильмдері туралы сауалнама толтырды. Олардың көпшілігіне «Белоснежка мен жеті гном», «Губка Боб» және «Қасқыр мен лақ» ұнайтыны белгілі болды. Сыныпта 38 оқушы бар. 21 оқушыға Ақшақар мен Жеті гном ұнайды. Оның үстіне олардың үшеуі «Қасқыр мен бұзауды», алтауы «Губка Бобты» жақсы көреді, ал бір бала үш мультфильмді бірдей жақсы көреді. «Қасқыр мен бұзаудың» 13 жанкүйері бар, олардың бесеуі сауалнамада екі мультфильмді атады. Бізге қанша алтыншы сынып оқушысы Спанч Боб шаршы шалбарын ұнататынын анықтауымыз керек.
Оқушыларға шешуге болатын есептер
1. Сыныпта 35 оқушы бар. Олардың барлығы мектеп, аудандық кітапханалардың оқырмандары. Оның 25-і кітаптан алынған мектеп кітапханаларыд, 20 – ауданда. Олардың қаншасы:
а) мектеп кітапханасының оқырмандары емес;
б) аудандық кітапхананың оқырмандары болып табылмайды;
в) тек мектеп кітапханасының оқырмандары болып табылады;
г) тек облыстық кітапхананың оқырмандары болып табылады;
д) екі кітапхананың да оқырмандары ма?
2.Сыныптағы әрбір оқушы ағылшын тілін немесе неміс тілі, немесе осы тілдің екеуі де. Ағылшын тілі 25 адам неміс тілін, 27 адам неміс тілін, 18 адам екеуін де оқиды. Сыныпта неше оқушы бар?
3. Қағаз парағына ауданы 78 см2 шеңбер мен ауданы 55 см2 шаршы сызыңыз. Шеңбер мен шаршының қиылысу ауданы 30 см2. Парақтың шеңбер мен шаршы алмаған бөлігінің ауданы 150 см2. Парақтың ауданын табыңыз.
4. Туристер тобында 25 адам бар. Оның ішінде 30 жасқа дейінгі 20 адам, 20 жастан асқан 15 адам. Бұл рас болуы мүмкін бе? Егер солай болса, қандай жағдайда?
5. Б балабақша 52 бала. Олардың әрқайсысы тортты немесе балмұздақты немесе екеуін де жақсы көреді. Балалардың жартысы тортты, ал 20 адам торт пен балмұздақты жақсы көреді. Қанша бала балмұздақты жақсы көреді?
6. Сыныпта 36 адам бар. Бұл сыныптың оқушылары математикалық, физика-химиялық үйірмелерге барады, математика үйірмесіне 18 адам, физика үйірмесіне 14, химиялық үйірмелерге 10 адам барады.Сонымен қатар үш үйірмеге де 2 адам, математикалық және физикалық, 8 адам баратыны белгілі. 5 – математикалық және химиялық шеңберлер, 3 – физикалық және химиялық шеңберлер. Сыныпта қанша оқушы ешбір үйірмеге бармайды?
7. Каникулдан кейін сынып жетекшісі балалардың қайсысы театрға, киноға немесе циркке барғанын сұрады. 36 студенттің екеуі бұрын-соңды кинотеатрға, театрға, циркке бармаған болып шықты. Кинотеатрға 25 адам келді; театрда - 11; циркте - 17; кинода да, театрда да – 6; кинотеатрда да, циркте де – 10; театрда да, циркте де – 4. Театрға, киноға, циркке бір мезгілде қанша адам келді?
Шешім Бірыңғай мемлекеттік емтихан мәселелеріЭйлер шеңберлерін пайдаланады
Мәселе 1
Іздеу жүйесінің сұрау тілінде логикалық «НЕМЕСЕ» операциясын белгілеу үшін «|» белгісі, ал логикалық «ЖӘНЕ» операциясы үшін «&» таңбасы қолданылады.
Крейсер және жауынгерлік кеме? Сұраныстарды орындау кезінде барлық ізделетін сөздерді қамтитын беттер жиыны өзгермейтіндей етіп, барлық сұрақтар дерлік бір уақытта орындалады деп болжанады.
| Сұраныс | Табылған беттер (мыңдаған) |
| Крейсер | Жауынгерлік кеме | 7000 |
| Крейсер | 4800 |
| Жауынгерлік кеме | 4500 |
Шешімі:
Эйлер шеңберлерінің көмегімен есептің шарттарын бейнелейміз. Бұл жағдайда алынған аумақтарды белгілеу үшін 1, 2 және 3 сандарын қолданамыз.
Есептің шарттарына сүйене отырып, теңдеулерді құрамыз:
- Крейсер | Жауынгерлік кеме: 1 + 2 + 3 = 7000
- Крейсер: 1 + 2 = 4800
- Жауынгерлік кеме: 2 + 3 = 4500
Табу Крейсер және жауынгерлік кеме(сызбада 2-аудан ретінде көрсетілген), (2) теңдеуді (1) теңдеуге ауыстырыңыз және мынаны табыңыз:
4800 + 3 = 7000, одан 3 = 2200 аламыз.
Енді осы нәтижені (3) теңдеуге қойып, мынаны таба аламыз:
2 + 2200 = 4500, одан 2 = 2300.
Жауап: 2300 - сұрау бойынша табылған беттер саныКрейсер және жауынгерлік кеме.
Мәселе 2Белгілеу үшін іздеу жүйесінде сұрау тілінде
| Сұраныс | Табылған беттер (мыңдаған) |
| Торттар | Пирогтар | 12000 |
| Торттар мен пирогтар | 6500 |
| Пирогтар | 7700 |
Сұрау үшін қанша бет (мыңмен) табылады? Торттар?
Шешім 
Есепті шешу үшін Торттар мен Бәліштер жиындарын Эйлер шеңберлері түрінде көрсетейік.
A B C).
Мәселе туралы мәлімдемеден келесідей:
Торттар │Бәліштер = A + B + C = 12000
Торттар мен пирогтар = B = 6500
Пирогтар = B + C = 7700
Торттардың санын табу үшін (торттар = A + B ), секторды табуымыз керекТорттар│Бәліштер ) Pies жиынын шегеріңіз.
Торттар│Бәліштер – Пирогтар = A + B + C -(B + C) = A = 1200 – 7700 = 4300
А секторы сондықтан 4300-ге тең
Торттар = A + B = 4300+6500 = 10800
Мәселе 3
|», ал логикалық операция үшін «ЖӘНЕ» – «&» белгісі.
| Сұраныс | Табылған беттер (мыңдаған) |
| Торттар және пісіру | 5100 |
| Торт | 9700 |
| Торт | Наубайхана | 14200 |
Сұрау үшін қанша бет (мыңмен) табылады? Наубайхана?
Барлық сұраулар дерлік бір уақытта орындалды деп саналады, сондықтан барлық ізделетін сөздерді қамтитын беттер жиынтығы сұрауларды орындау кезінде өзгермейді.
Шешім
Мәселені шешу үшін біз жиынтықтарды көрсетемізТорттар және Эйлер шеңберлері түрінде пісіру.
Әрбір секторды бөлек әріппен белгілейік ( A B C).
Мәселе туралы мәлімдемеден келесідей:
Торттар мен кондитерлік өнімдер = B = 5100
Торт = A + B = 9700
Торт │ Торттар = A + B + C = 14200
Пісіру мөлшерін табу үшін (Пісіру = B + C ), секторды табуымыз керек IN , бұл үшін жалпы жиынтықтан (Торт │ Пісіру) жиынын алып тастаңызТорт.
Торт │ Пісіру – Торт = A + B + C -(A + B) = C = 14200–9700 = 4500Б секторы 4500-ге тең, сондықтан Пісіру = B + C = 4500+5100 = 9600
Мәселе 4төмендеу
Белгілеу үшін«НЕМЕСЕ» логикалық операциясы «таңбасын пайдаланады.|», ал логикалық операция үшін «ЖӘНЕ» – «&» белгісі.
Шешім
секторларды әріптермен белгілейтін Эйлер шеңберлері түріндегі шопан иттерінің, терьерлердің және спаниелдердің жиынтықтарын елестетейік (
А Б С Д ).бірге паниельдер │(терьер және шопандар) = G + B
бірге паниел│қойшы иттер= G + B + C
спаниельдер│терьерлер│қойшылар= A + B + C + D
терьер және шопан =Б
Сұраныс нөмірлерін беттер санының кему ретімен орналастырайық:3 2 1 4
Мәселе 5Кесте іздеу серверіне сұрауларды көрсетеді. Сұраныс нөмірлерін ретімен орналастырыңыз ұлғайтуіздеу жүйесі әрбір сұрау үшін табатын беттер саны.
Белгілеу үшін«НЕМЕСЕ» логикалық операциясы «таңбасын пайдаланады.|», ал логикалық операция үшін «ЖӘНЕ» – «&» белгісі.
| 1 | барокко | классицизм | империялық стиль |
| 2 | барокко | (классицизм және империя стилі) |
| 3 | классицизм және империялық стиль |
| 4 | барокко | классицизм |
Шешім
Секторларды әріптермен белгілейтін Эйлер шеңберлері түріндегі классицизм, империялық стиль және классицизм жиынтығын елестетіп көрейік (А Б С Д ).
Есеп шартын секторлар қосындысы түрінде түрлендірейік:
барокко│ классицизм│империя = A + B + C + DБарокко │(классицизм және империя) = G + B
классицизм және империя стилі = B
барокко│классицизм = G + B + A
Сектор сомаларынан қай сұраныс көбірек беттер шығарғанын көреміз.
Сұраныс нөмірлерін беттер санының өсу ретімен орналастырайық:3 2 4 1
Мәселе 6
Кесте іздеу серверіне сұрауларды көрсетеді. Сұраныс нөмірлерін ретімен орналастырыңыз ұлғайтуіздеу жүйесі әрбір сұрау үшін табатын беттер саны.
Белгілеу үшін«НЕМЕСЕ» логикалық операциясы «таңбасын пайдаланады.|», ал логикалық операция үшін «ЖӘНЕ» – «&» белгісі.
| 1 | канарейлар | алтынқұстар | мазмұны
|
| 2 | канарейкалар және мазмұн |
| 3 | канарейкалар мен алтынқұстар және мазмұны |
| 4 | өсіру және ұстау және канарейкалар мен алтын шыбындар |
Шешім
Мәселені шешу үшін Эйлер шеңберлері түріндегі сұрауларды елестетейік.
K - канарейлер,
Ш – алтынқұстар,
R – өсіру.
| канареялар | терьер | мазмұны | канарейкалар және мазмұн | канарейкалар мен алтынқұстар және мазмұны | өсіру және ұстау және канарейкалар мен алтын шыбындар |
 |  |  |  |
Бірінші сұрауда көлеңкеленген секторлардың ең үлкен ауданы бар, содан кейін екіншісінде, содан кейін үшіншіде және төртінші сұрауда ең аз болады.
Беттердің саны бойынша өсу ретімен сұраулар келесі ретпен ұсынылады: 4 3 2 1
Бірінші сұрауда Эйлер шеңберлерінің толтырылған секторларында екінші сұраудың толтырылған секторлары, ал екінші сұраудың толтырылған секторларында үшінші сұраудың толтырылған секторлары және үшінші сұраудың толтырылған секторлары бар екенін ескеріңіз. төртінші сұраудың толтырылған секторы.
Осындай жағдайларда ғана біз мәселені дұрыс шешкенімізге сенімді бола аламыз.
7 есеп (Бірыңғай мемлекеттік емтихан 2013 ж.)
Іздеу жүйесінің сұрау тілінде логикалық «НЕМЕСЕ» операциясын белгілеу үшін «|» таңбасы, ал логикалық «ЖӘНЕ» операциясы үшін «&» таңбасы қолданылады.
Кестеде Интернеттің белгілі бір сегменті үшін табылған сұраулар мен беттер саны көрсетілген.
| Сұраныс | Беттер табылды (мыңдаған) |
|---|---|
| Фрегат | Жоюшы | 3400 |
| Фрегат және жойғыш | 900 |
| Фрегат | 2100 |
Сұрау үшін қанша бет (мыңмен) табылады? Жоюшы?
Барлық сұраулар дерлік бір уақытта орындалды деп саналады, сондықтан барлық ізделетін сөздерді қамтитын беттер жиынтығы сұрауларды орындау кезінде өзгермейді.
Эйлер шеңберлері – жиындарды шартты түрде көрсететін және жиындардағы амалдардың кейбір қасиеттерін көрнекі түрде көрсететін фигуралар. Әдебиетте Эйлер шеңберлерін кейде Венн диаграммасы (немесе Эйлер-Венн диаграммасы) деп те атайды. Жиындардағы негізгі операцияларды суреттейтін Эйлер шеңберлері 1-суретте берілген. 1.2 (осы операциялардың нәтижесінде алынған жиынтықтар көлеңкелеумен белгіленеді). AR 00 ABV сур. 1.2 1.8-мысал. Эйлер шеңберлерін пайдалана отырып, біз алдымен жиындардың бірігуі мен қиылысуы операцияларының үлестіргіш қасиетін білдіретін бірінші қатынастың дұрыстығын анықтаймыз. 1.3, ал А жиынын бейнелейтін шеңбер тігінен, ал В және С жиындарының қиылысына сәйкес келетін аймақ көлденең көлеңкеленген.Нәтижесінде A U (BPS) жиынын бейнелейтін аймақ бір немесе басқа жолмен көлеңкеленген. Суретте. 1.3.5, A және B жиындарының бірігуіне сәйкес аудан тігінен көлеңкеленген, ал көлденеңінен - A және C жиындарының бірігуі, осылайша екі жолмен де жиынды білдіретін аудан (A U B) P (A U C) және суреттегі кез келген әдіспен көлеңкеленген аймаққа сәйкес келеді. 1.3,а. Осылайша, Эйлер шеңберлері (1.10) дұрыстығын орнатуға мүмкіндік береді. Енді Де Морганның екінші заңын қарастырайық (1.7) суретте көлеңкеленген. 1.4, ал аймақ LIV жиынын бейнелейді, ал Q тіктөртбұрышының көлеңкеленбеген бөлігі (көлеңкеленген бөлікке сыртқы) LIV жиынына сәйкес келеді. Суретте. Тік және көлденең көлеңкеленген 12 тіктөртбұрыштың 1.4,5 бөліктері сәйкесінше А және В сәйкес келеді.Содан кейін B Lie жиыны көрсетілген жолдардың кем дегенде біреуімен көлеңкеленген аймаққа сәйкес келеді. Ол суретте көлеңкеленбеген аймаққа сәйкес келеді. 1.4,a және (1.11) тармағының жарамдылығын белгілейтін LPB жиынтығына сәйкес. Сұрақтар мен тапсырмалар 1.1. m|n жазуы, мұндағы m,n € Z, m саны n санын толығымен бөлетінін білдіреді (онда ол n санының бөлгіші болады). x € N шартымен берілген жиындарды сипаттаңыз: 1.2. Мына қатынастарды дәлелдеп, Эйлер шеңберлерімен суреттеңіз: . 1.3. X және Y жиындарының қандай қатынаста орналасқанын (X C Y, X E Y немесе X = Y) анықтаңыз, егер: a Иллюстрация үшін Эйлер шеңберлерін пайдаланыңыз. 1.4. Берілген шеңберге сызылған кейбір үшбұрыштың қабырғаларын құрайтын нүктелер жиыны Aj болсын. Барлық осындай жиындардың бірігуін және қиылысуын сипаттаңыз, егер үшбұрыштар: а) ерікті; б) дұрыс; в) тікбұрышты. Жиындардың берілген отбасылары үшін IK және flAi ieN i en табыңыз: 1.6. Төмендегі қатынастардың қайсысы дұрыс емес екенін көрсетіңіз және себебін түсіндіріңіз: 1. 7. Жиындардың қайсысы бір-біріне тең екенін көрсетіңіз: . 1.8. B, AG\B, A\B, BA\A Lie жиындарын табыңыз және оларды сан түзуінде бейнелеңіз, егер A = (1,0. Кесінді әмбебап жиын деп есептеп, сан түзуінің толықтауыштарын тауып, бейнелеңіз. жиындар: 1.10 Төмендегі сипаттамаларға сәйкес адамдар жиыны, әрбір жазба үшін жиындар тіліндегі мәлімдемелерді таңдаңыз. орынды мақалнемесе мақал. Бұл халық мәтелдерінің мән-мағынасын тағы бір рет талдауға мүмкіндік береді деп сенеміз. Мысалы, егер Z - бұл не туралы айтып жатқанын дұрыс білмейтін адамдар жиынтығы болса, онда x £ Z жазбасын «Ол қоңырауды естіді, бірақ оның қайда екенін білмейді» деген мақалға жатқызуға болады. олар көрсетілген қасиетке ие адам туралы дәл солай айтады (бұл жағдайда Z жиынының сипаттамалық қасиеті, 1.1 қараңыз). Адамдар жиыны ft – барлық адамдардың әмбебап жиыны, L – мейірімді, 5е В – ерекше, қабілеттері зор, S – ақымақ, D – ақылды, Е – өзінше әрекет ету, кеңеске құлақ аспау, F – байланысты. эгоисттік қарым-қатынастар, G - көп уәде беретіндер , I - уәдесінде тұрмайтындар, J - қызметтік жағдайын асыра пайдаланатындар, К - өзін-өзі тым маңызды, тым маңызды адамдар, L - бір нәрсеге араласатындар өз ісінен басқа, М – іскер, епті, ұйымшылдықты білетіндер, Р – бірден бірнеше істі қолға алатындар, Q – жемісті жұмыс істейтіндер, S – қателесетіндер, Т – өзін кінәлі сезіну және мүмкіндігі. жазалаудың, У - нәтижеге жете алмау, V - мінез-құлқымен өзін сатқындық жасау, W - көрегендік, Х - бірігіп әрекет ету, бір-біріне опасыздық жасамау, У - тәжірибелі, тәжірибелі адамдар. heK жиындары тілінде операторларды жазу; xeGnH; xCBCiQ; x£jr\U; xeJ; heM; heSPE; xCTnV; xEPDU; xGE; x € FnX; xeYnS; xeDOW. Мақал-мәтелдер - Тірі сиырға Алла мүйіз бермейді. - Үлкен кеме үшін, ұзақ сапар. - Ерік бостандығы. - Қарғаның көзін қарға жұтпайды. – Ақымақтарға заң жоқ. -Екі қоянды қусаң да ұстамайсың. -Мысық кімнің етін жегенін біледі. - Крикет сіздің ұяңызды біледі. – Ал кемпірдің басына қиындық түсіп қалуы мүмкін. - Тауық апа емес, шошқа апа емес. - Оны батылдықпен жеген. – Әрбір дана адамға қарапайымдылық жеткілікті. - Титмаус өзінің атын шығарды, бірақ теңізді өртеп жібермеді. – Дүние жақсы адамдарсыз болмайды. 1.11. (1.2) қатынастарының дұрыстығын дәлелдеңіз. 1.12. Бірлесу және қиылысу амалдарының үлестіргіштік қасиетінің қатынастарының екіншісінің дұрыстығын тура және қайшылық арқылы дәлелдеңіз. 1.13. Математикалық индукция әдісін қолдана отырып, кез келген үшін дәлелдей аламыз натурал сан n n^2n~1 және (l + :r)n ^ 1 + ns, Vs>-1 теңсіздіктері (Бернулли теңсіздігі) жарамды. 1.14. n санының арифметикалық ортасы оң болатынын дәлелдеңдер нақты сандаролардың геометриялық ортасынан кем емес, яғни. 1.15-тармақ. Браун, Джонс және Смитке банк тонауға қатысы бар деген айып тағылды. Ұрылар өздерін күтіп тұрған көлікке отырып қашып кеткен. Тергеу барысында Браун оның көк түсті Buick, Джонс көк Крайслер, ал Смит Форд Мустанг екенін, бірақ көк емес екенін айтты.Машинаның түсі қандай және қандай маркалы болғаны белгілі болса, тергеуді шатастырғысы келіп, әрқайсысы олардың ішінде тек машинаның маркасы, әлде оның түсі ғана дұрыс көрсетілген бе?1.1c Полярлық экспедиция үшін сегіз өтініш беруші A, B, C, D J5, F, G және I ішінен алты маман таңдалуы керек: а биолог, гидролог, синоптик, радиотелефонист, механик және дәрігер.Биологтың міндеттерін Е және Г, гидрологты - В және Ф, синоптикті - Ф және Г, радио оператор - С атқара алады. және D, механик - C және Z, дәрігер - A және D, бірақ олардың әрқайсысы, егер экспедицияға шықса, бір ғана міндетті орындай алады. Егер F бара алмаса, экспедицияға кім және кім апарылуы керек. D-сіз - Менсіз және С-сыз, С G-мен, ал D В-мен жүре алмайды?
Логика. Оқу құралыГусев Дмитрий Алексеевич
1.6. Эйлер шеңберінің диаграммалары
1.6. Эйлер шеңберінің диаграммалары
Бізге белгілі болғандай, логикада ұғымдар арасындағы қатынастардың алты нұсқасы бар. Кез келген екі салыстырмалы ұғым міндетті түрде осы қатынастардың бірінде болады. Мысалы, ұғымдар жазушыЖәне орысқиылысына қатысты, жазушыЖәне Адам- тапсыру, МәскеуЖәне Ресей астанасы- эквиваленттілік, МәскеуЖәне Петербург- бағыныштылық, дымқыл жолЖәне құрғақ жол- қарама-қарсы, АнтарктидаЖәне материк- тапсыру, АнтарктидаЖәне Африка– бағыныштылық және т.б., т.б.
Біз, мысалы, екі ұғым бөлікті және бүтінді білдіретініне назар аударуымыз керек айЖәне жыл, онда олар айдың ішіне кіретіндіктен, олардың арасында бағыну қатынасы бар сияқты көрінгенімен, бағыныңқы қатынаста болады. Алайда, егер ұғымдар айЖәне жылбағыныштылар болса, онда бір ай міндетті түрде жыл, ал жыл міндетті түрде ай емес деп айту керек еді (түсініктердің мысалын пайдалана отырып, бағыну қатынасын есте сақтаңыз мөңке балығыЖәне балық: мөңке балық міндетті түрде балық, бірақ балық міндетті түрде мөңке емес). Ай - жыл емес, ал жыл - ай емес, бірақ екеуі де уақыт кезеңі, сондықтан ай және жыл ұғымдары, сондай-ақ ұғымдар кітапЖәне кітап беті, көлікЖәне автомобиль дөңгелегі, молекулаЖәне атомт.б. бағыныштылық қатынаста болады, өйткені бөлік пен бүтін түр мен текке бірдей емес.
Бастапқыда ұғымдардың салыстырмалы және салыстыруға болмайтыны айтылған. Қарастырылған алты қарым-қатынас нұсқасы тек мыналарға ғана қатысты деп есептеледі салыстырмалы ұғымдар. Дегенмен, барлық салыстыруға келмейтін ұғымдар бір-бірімен бағыну қатынасында байланысады деп бекітуге болады. Мысалы, сияқты теңдесі жоқ ұғымдар пингвинЖәне аспан денесібағынышты деп санауға болады, өйткені пингвин аспан денесі емес және керісінше, бірақ сонымен бірге ұғымдардың шеңбері пингвинЖәне аспан денесіүшінші ұғымның кең ауқымына кіреді, оларға қатысты жалпылама: бұл ұғым болуы мүмкін қоршаған дүниенің объектісінемесе материяның нысаны(ақыр соңында, пингвин де, аспан денесі де қоршаған әлемнің әртүрлі объектілері немесе материяның әртүрлі формалары). Егер бір ұғым материалды, ал екіншісі - материалдық емес нәрсені білдірсе (мысалы, ағашЖәне ой), онда бұл (айтуға болатындай) бағыныңқы ұғымдар үшін жалпы ұғым болып табылады болмыс формасы, өйткені ағаш, ой және басқа нәрсе болмыстың әртүрлі формалары.
Бізге белгілі болғандай, ұғымдар арасындағы байланыс Эйлердің дөңгелек диаграммалары арқылы бейнеленген. Оның үстіне, осы уақытқа дейін біз екі ұғымның байланысын схемалық түрде бейнелеп келдік және мұны көптеген ұғымдармен жасауға болады. Мысалы, ұғымдар арасындағы қатынастар боксшы, қараЖәне Адам
Өзара реттеушеңберлер бұл ұғымдарды көрсетеді боксшыЖәне қара адамқиылысуға қатысты (боксшы қара адам болуы мүмкін және болмауы мүмкін, ал қара адам боксшы болуы мүмкін және біреу болмауы мүмкін) және ұғымдар боксшыЖәне Адам,ұғымдар сияқты қара адамЖәне Адамбағыныштылық қатынаста болады (кез келген боксшы мен кез келген негр міндетті түрде адам, бірақ адам боксшы да, негр де болмауы мүмкін).
Ұғымдар арасындағы байланыстарды қарастырайық ата, әке, ер, адамдөңгелек диаграмманы қолдану:
Көріп отырғанымыздай, бұл төрт ұғым бірізділік бағыныңқы қатынаста болады: ата – міндетті түрде әке, әке – міндетті түрде ата емес; кез келген әке міндетті түрде еркек, бірақ әрбір адам әке емес; және, сайып келгенде, адам міндетті түрде тұлға, бірақ адам ғана емес тұлға бола алады. Ұғымдар арасындағы байланыстар жыртқыш, балық, акула, пиранья, шортан, тірі жануаркелесі диаграммамен бейнеленген:
Осы диаграммаға түсініктеме беруге тырысыңыз, ондағы ұғымдар арасындағы байланыстардың барлық түрлерін белгілеңіз.
Қорытындылай келе, ұғымдар арасындағы қатынастар олардың көлемдері арасындағы қатынастар екенін атап өтеміз. Бұл ұғымдар арасындағы қарым-қатынасты орнату мүмкіндігі болуы үшін олардың көлемі өткір және мазмұны, сәйкесінше, анық, яғни бұл ұғымдар белгілі болуы керек дегенді білдіреді. Жоғарыда талқыланған белгісіз ұғымдарға келетін болсақ, олардың арасында нақты байланыстарды орнату өте қиын, шын мәнінде мүмкін емес, өйткені олардың мазмұнының анық еместігі мен көлемінің бұлыңғырлығына байланысты кез келген екі белгісіз ұғымды эквивалентті немесе қиылысатын немесе ретінде сипаттауға болады. бағыныңқы және т.б.Мысалы, анық емес ұғымдар арасында байланыс орнатуға болады ма салақтықЖәне немқұрайлылық? Бұл эквиваленттілік немесе бағыну бола ма, оны нақты айту мүмкін емес. Сонымен, белгісіз ұғымдар арасындағы қатынастар да белгісіз. Демек, ұғымдар арасындағы байланыстарды анықтауда дәлдік пен бірмәнділік талап етілетін интеллектуалдық және сөйлеу тәжірибесінің жағдайларында анық емес ұғымдарды қолдану қажет емес екені анық.
Epiphany кітабынан автор Ефимов Виктор Алексеевич Ғылым және технология философиясы кітабынан автор Степин Вячеслав СеменовичТеориялық схемалар және техникалық теорияның абстрактілі объектілері Теориялық схемалар – бір жағынан сәйкес математикалық аппаратты пайдалануға, ал екінші жағынан, ойлау эксперименті,
Миф диалектикасы кітабынан автор Лосев Алексей Федорович2. Схема, аллегория және символ диалектикасы Бұл қатынастың қандай түрлері жалпы мүмкін болады? Олардың саны өте көп. Бірақ Шеллингтен кейін үш негізгі түрді анықтауға болады. Сонымен бірге, біз «ішкі» және «сыртқы» терминдеріміз өте жалпы терминдер және олар болуы мүмкін екенін есте ұстаймыз.
Суқұйғыш дәуірінің курсы кітабынан. Апокалипсис немесе қайта туылу автор Ефимов Виктор Алексеевич Таңдамалы шығармалар кітабынан автор Щедровицкий Георгий Петрович Адам ілімдер арасындағы кітаптан автор Кротов Виктор ГавриловичТүсініктемелер мен сызбалар Жеке адамның ішкі жұмысына негізделген ілім жаңа тұлғалардың жаңа ішкі жұмысының толқынынсыз бұл тұлғаның өзінен өмір сүре алмады. Бұл ілімде өздері үшін ерекше мәнді көргендер. Болмыстың шарттары өзгереді, ол келеді
«Дұрыс ойлау өнері» кітабынан автор Ивин Александр АрхиповичДҰРЫС ДҰРЫС ОЙЛАНДЫРУ СҰХБАЛАРЫ Ғасыр басындағы орыс юмористі В.Билибиннің әңгімесіндегі дедуктивті тұжырымдардың екі мысалын келтіреміз. «Егер әлемде күн болмаса, біз үнемі майшам мен керосин жағуға мәжбүр болар едік. Үнемі шырақ пен керосин жағуға тура келсе, онда шенеуніктер
«Махаббат этикасы және өзіндік ерік метафизикасы: моральдық философия мәселелері» кітабынан. автор Давыдов Юрий НиколаевичНигилизмнің ницшелік схемасы аясындағы Толстой мен Достоевскийдің моральдық философиясы Өткен ғасырдың соңғы ширегінен бастап нигилизм мәселесі Батыс Еуропа философиясының маңызды мәселелерінің арасында алғашқы орындардың біріне келді. Өзінің «мәртебесімен» ол бірінші кезекте
Тіл кеңістігіндегі нормалар кітабынан автор Федяева Наталья Дмитриевна2.1.1. Сөйлеу қарым-қатынасының нормалары мен схемалары: сөйлеу этикеті Бірінші проблемалық сала – сөйлеу этикетінің таңдалуы мынаған байланысты. Норманың маңызды сипаттамаларын анықтаған кезде біз одан қозғала бастадық әлеуметтік нормалар, олардың бар екенін байқаған кезде толық
Спиральды динамика кітабынан [21-ші ғасырдағы құндылықтарды, көшбасшылықты және өзгерістерді басқару] Бек Дон2.1.2. Семиотикалық тұрақты нормалар-схемалар: жанрлар Әлеуметтік және семиотикалық тұрақты нормаларды қарама-қарсы қоюдың негізі, I тарауда айтылғандай, олардың әлеуметтік-мәдени тәжірибеде бекітілу тәсілі. Біріншісі – жазылмаған заңдар – бағдарламаларға, схемаларға айналады
Логика және аргументация кітабынан: Оқулық. университеттерге арналған нұсқаулық. автор Рузавин Георгий Иванович Архитектура және иконография кітабынан. Классикалық әдістеме айнасындағы «таңбаның денесі». автор Ванеян Степан С.9.1. Аргументация құрылымының графикалық диаграммалары Кез келген аргумент белгілі бір фактілерді орнатудан және талқылаудан басталады, олар әрі қарай деректер деп аталады және олардың көмегімен белгілі бір қорытынды алға тартылады және негізделеді. Оған қоса, көшу үшін
Автордың кітабынанИконография әдістер жүйесі ретінде: схемалар мен қауіптер Иконографиялық талдау тәжірибесінің өзі дәйекті зерттеу әрекеттерінің «сыналған схемасын» қалыптастырды. Схема мынаны білдіреді: – мотивтің тарихи маңызын – уақыт (момент) тұрғысынан
Бөлімдер: Есептеу техникасы
1. Кіріспе
Негізгі және жоғары мектептің Информатика және АКТ курсында мыналар талқыланады: маңызды тақырыптар«Логика негіздері» және «Интернеттен ақпарат іздеу» сияқты. Есептің белгілі бір түрін шешкенде Эйлер шеңберлерін (Эйлер-Венн диаграммалары) қолданған ыңғайлы.
Математикалық анықтама. Эйлер-Венн диаграммалары ең алдымен жиындар теориясында бірнеше жиындардың барлық мүмкін қиылысуларының схемалық көрінісі ретінде қолданылады. Жалпы алғанда, олар n қасиеттердің барлық 2 n комбинациясын білдіреді. Мысалы, n=3 болғанда Эйлер-Венн диаграммасы әдетте тең бүйірлі үшбұрыштың төбелерінде орналасқан орталықтары және үшбұрыштың қабырғасының ұзындығына тең радиусы бірдей үш шеңбер ретінде бейнеленген.
2. Логикалық жалғаулықтардың іздеу сұрауларында көрсетілуі
«Интернеттен ақпаратты іздеу» тақырыбын оқу кезінде орыс тіліндегі «және», «немесе» жалғауларына мағынасы ұқсас логикалық жалғауларды қолданатын іздеу сұрауларының мысалдары қарастырылады. Логикалық қосылыстардың мағынасы, егер оларды графикалық диаграмма – Эйлер шеңберлері (Эйлер-Венн диаграммалары) арқылы суреттесеңіз, түсінікті болады.
| Логикалық жалғаулық | Мысал сұрау | Түсіндіру | Эйлер шеңберлері |
| & - «ЖӘНЕ» | Париж & университет | Екі сөз де бар барлық беттер: Париж және университет таңдалады | 1-сурет |
| | - «НЕМЕСЕ» | Париж | университет | Париж және/немесе университет сөздері көрсетілген барлық беттер таңдалады | 2-сурет
|
3. Логикалық амалдардың жиындар теориясымен байланысы
Эйлер-Венн диаграммалары логикалық операциялар мен жиындар теориясы арасындағы байланысты визуализациялау үшін пайдаланылуы мүмкін. Демонстрация үшін слайдтарды пайдалануға болады 1-қосымша.
Логикалық операциялар олардың ақиқат кестелері арқылы көрсетіледі. IN 2-қосымшаЛогикалық амалдардың графикалық иллюстрациялары олардың ақиқат кестелерімен бірге егжей-тегжейлі талқыланады. Жалпы жағдайда диаграмманы құру принципін түсіндірейік. Диаграммада А атауы бар шеңбердің ауданы А тұжырымының ақиқаттығын көрсетеді (жиын теориясында А шеңбері берілген жиынға кіретін барлық элементтердің белгіленуі болып табылады). Сәйкесінше, шеңберден тыс аймақ сәйкес мәлімдеменің «жалған» мәнін көрсетеді. Диаграмманың қай аймағында логикалық операция көрсетілетінін түсіну үшін A және B жиындарындағы логикалық операцияның мәндері «ақиқатқа» тең болатын аймақтарды ғана көлеңкелеу керек.
Мысалы, импликация мәні үш жағдайда (00, 01 және 11) ақиқат болады. Ретімен көлеңкеленейік: 1) A=0, B=0 мәндеріне сәйкес келетін екі қиылысатын шеңберден тыс аумақ; 2) A=0, B=1 мәндеріне сәйкес келетін тек В шеңберіне (жарты ай) қатысты аудан; 3) А шеңберіне де, В шеңберіне де (қиылысу) қатысты аудан - A=1, B=1 мәндеріне сәйкес келеді. Осы үш аймақтың комбинациясы импликацияның логикалық әрекетінің графикалық көрінісі болады.
4. Логикалық теңдіктерді (заңдарды) дәлелдеуде Эйлер шеңберлерін пайдалану
Логикалық теңдіктерді дәлелдеу үшін Эйлер-Венн диаграммасы әдісін қолдануға болады. Мына теңдікті ¬(АvВ) = ¬А&¬В (де Морган заңы) дәлелдеп көрейік.
Теңдіктің сол жағын көрнекі түрде көрсету үшін оны ретімен орындайық: екі шеңберді сұр түспен бояңыз (дизъюнкцияны қолданыңыз), содан кейін инверсияны көрсету үшін шеңберлердің сыртындағы аумақты қара түспен бояңыз:
3-сурет 
4-сурет 
Теңдіктің оң жағын көрнекі түрде көрсету үшін оны ретімен орындайық: инверсияны көрсетуге арналған аумақты (¬A) сұр түспен және сол сияқты ¬B аймағын да сұр түспен бояңыз; содан кейін конъюнктураны көрсету үшін осы сұр аймақтардың қиылысын алу керек (қабаттасу нәтижесі қара түспен берілген):
5-сурет 
6-сурет 
7-сурет 
Сол және оң жақ бөліктерді көрсету аумақтары тең екенін көреміз. Q.E.D.
5. «Интернеттен ақпарат іздеу» тақырыбы бойынша Мемлекеттік емтихан және Бірыңғай мемлекеттік емтихан форматындағы мәселелер.
GIA 2013 демо нұсқасынан №18 есеп.
Кесте іздеу серверіне сұрауларды көрсетеді. Әрбір сұраныс үшін оның коды – А-дан G-ге дейінгі сәйкес әріп көрсетіледі. Сұраныс кодтарын солдан оңға қарай ретімен орналастырыңыз. төмендеуіздеу жүйесі әрбір сұрау үшін табатын беттер саны.
| Код | Сұраныс |
| А | (Fly & Money) | Самовар |
| Б | Fly & Money & Bazaar & Самовар |
| IN | Ұшу | Ақша | Самовар |
| Г | Fly & Money & Самовар |
Әрбір сұрау үшін Эйлер-Венн диаграммасын құрастырамыз:
| Өтініш А | Сұраныс В
|
Сұраныс В
|
Сұраныс Г
|
Жауап: VAGB.
2013 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханның демо нұсқасынан В12 мәселесі.
Кестеде Интернеттің белгілі бір сегменті үшін табылған сұраулар мен беттер саны көрсетілген.
| Сұраныс | Табылған беттер (мыңдаған) |
| Фрегат | Жоюшы | 3400 |
| Фрегат және жойғыш | 900 |
| Фрегат | 2100 |
Сұрау үшін қанша бет (мыңмен) табылады? Жоюшы?
Барлық сұраулар дерлік бір уақытта орындалды деп саналады, сондықтан барлық ізделетін сөздерді қамтитын беттер жиынтығы сұрауларды орындау кезінде өзгермейді.
Ф – сұраныс бойынша беттер саны (мыңмен). Фрегат;
E – сұраныс бойынша беттер саны (мыңдаған). Жоюшы;
X – аталған сұрауға арналған беттер саны (мыңдаған). ФрегатЖәне Жоқатап өтілді Жоюшы;
Y – аталған сұрауға арналған беттер саны (мыңдаған). ЖоюшыЖәне Жоқатап өтілді Фрегат.
Әрбір сұраныс үшін Эйлер-Венн диаграммаларын құрайық:
| Сұраныс | Эйлер-Венн диаграммасы | Беттердің саны |
| Фрегат | Жоюшы | 12-сурет
|
3400 |
| Фрегат және жойғыш | 13-сурет
|
900 |
| Фрегат | 14-сурет | 2100 |
| Жоюшы | 15-сурет | ? |
Диаграммаларға сәйкес бізде:
- X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. Осы жерден Y = 3400-2100 = 1300 табамыз.
- E = 900+U = 900+1300= 2200.
Жауабы: 2200.
6. Эйлер-Венн диаграммасы әдісі арқылы логикалық мағыналы есептерді шешу
Сыныпта 36 адам бар. Бұл сынып оқушылары математика, физика, химия үйірмесіне қатысады, математика үйірмесіне 18 адам, физикалық үйірмеге 14 адам, химиялық үйірмеге 10 адам.Сонымен қатар үш үйірмеге де 2 адам, 8 адам қатысатыны белгілі. математикалық және физикалық, 5 және математикалық және химиялық, 3 - физикалық және химиялық екі қатысады.
Сыныпта қанша оқушы ешбір үйірмеге бармайды?
Бұл мәселені шешу үшін Эйлер шеңберлерін пайдалану өте ыңғайлы және интуитивті.
Ең үлкен шеңбер – сыныптағы барлық оқушылардың жиынтығы. Шеңбер ішінде қиылысатын үш жиын бар: математикалық ( М), физикалық ( Ф), химиялық ( X) шеңберлер.
Болсын MFC- көп жігіттер, әрқайсысы үш үйірмеге де барады. MF¬X- көптеген балалар, олардың әрқайсысы математика және физика үйірмелеріне барады және Жоқхимиялық заттарға барады. ¬M¬FH- көп жігіттер, олардың әрқайсысы химия үйірмесіне барады, ал физика-математика үйірмелеріне бармайды.
Сол сияқты біз жиынтықтарды енгіземіз: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.
Облыс бойынша үш үйірмеге де 2 адам қатысатыны белгілі MFC 2 санын енгізейік. Өйткені Математикалық және физикалық үйірмелерге 8 адам қатысады, олардың ішінде үш үйірмеге де 2 адам қатысады, содан кейін облыс бойынша MF¬X 6 адам (8-2) енгізейік. Қалған жиындардағы оқушылар санын дәл осылай анықтайық:
Барлық аймақтардағы халық санын қорытындылайық: 7+6+3+2+4+1+5=28. Демек, үйірмелерге сыныптан 28 адам қатысады.
Бұл 36-28 = 8 оқушы үйірмелерге бармайды деген сөз.
Қысқы демалыстан кейін сынып жетекшіжігіттердің қайсысы театрға, киноға немесе циркке барғанын сұрады. Сыныптағы 36 оқушының екеуі бұрын-соңды кинотеатрға бармаған болып шықты. театрда да, циркте де емес. 25 адам кинотеатрға, 11 адам театрға, 17 адам циркке барды; кинода да, театрда да – 6; кинотеатрда да, циркте де – 10; ал театр мен циркте – 4.
Киноға, театрға, циркке қанша адам барды?
Киноға, театрға және циркке барған балалардың саны х болсын.
Содан кейін сіз келесі диаграмманы құра аласыз және әр аймақтағы жігіттердің санын санай аласыз:
|
|
Кино мен театрға 6 адам барды, яғни кино мен театрға 6 адам ғана барды. Сол сияқты тек кино мен циркте (10-шы) адамдар. Тек театр мен циркте (4) адам. Кинотеатрға 25 адам барды, яғни оның 25-і тек кинотеатрға барды - (10-ы) - (6-сы) - x = (9+x). Сол сияқты тек театрда (1+х) адам болды. Циркте тек (3+x) адам болды. Театрға, кинотеатрға немесе циркке бармадым – 2 адам. Бұл 36-2=34 адам деген сөз. іс-шараларға қатысты. Екінші жағынан, театрда, кинода және циркте болған адамдардың санын қорытындылай аламыз: (9+x)+(1+x)+(3+x)+(10)+(6)+(4)+x = 34 Бұдан шығатыны, үш шараға да бір адам ғана қатысты. |
Осылайша, Эйлер шеңберлері (Эйлер-Венн диаграммалары) Бірыңғай мемлекеттік емтихан және мемлекеттік емтихан форматындағы есептерді шешуде және мағыналы логикалық есептерді шешуде практикалық қолдануды табады.
Әдебиет
- В.Ю. Лыскова, Е.А. Ракитина. Информатикадағы логика. М.: Информатика және білім, 2006. 155 б.
- Л.Л. Босова. Компьютерлердің арифметикалық және логикалық негіздері. М.: Информатика және білім, 2000. 207 б.
- Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Оқулық. 8-сыныпқа арналған информатика және АКТ: БИНОМ. Білім зертханасы, 2012. 220 б.
- Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Оқулық. 9-сыныпқа арналған информатика және АКТ: БИНОМ. Білім зертханасы, 2012. 244 б.
- FIPI веб-сайты: http://www.fipi.ru/
Сабақтың мақсаты:Оқушыларды шеңбер әдісі арқылы қарапайым логикалық есептерді шығарумен таныстыру
Сабақтың мақсаттары
- Тәрбиелік: оқушыларға Эйлер шеңбері әдісі туралы түсінік беру;
- Дамытушылық: логикалық және аналитикалық ойлауды дамыту;
- Тәрбиелік: басқа оқушылардың пікірін тыңдау, өз көзқарасын қорғау қабілеттерін дамыту.
Сабақтың материалы:тапсырмалар карточкалары, Л.Эйлердің портреті, тақта.
Сабақтар кезінде
- Ұйымдастыру кезеңі (3 мин)
- Қыздыру (5 мин)
- Жаңа материалды меңгерту (5 мин)
- Ерітінді әдісін бастапқы сынау (30 мин)
- Сабақты қорытындылау (2 мин)
- Ұйымдастыру уақыты.
Мұғалім: Сәлем жігіттер! Бүгін сабақта біз сіздерді логикалық есептерді шешудің жаңа әдісі – Эйлер шеңберлерімен таныстырамыз. Біз конкурстық және олимпиадалық есептер тобына кіретін кейбір есептерді шешуді үйренеміз. Сабағымыздың мақсаты: Шеңбер әдісі арқылы қарапайым логикалық есептерді шығарумен танысу.
Жылыту
Оқушыларға оқушылардың ойлауын белсендіруге бағытталған бірнеше күлдіргі логикалық тапсырмалар ұсынылады.
- Бір қаздың құны 20 рубльді және оның құнының жартысы. Қаздың құны қанша болды?
- Жарыста екі спортшы стадионды айналып 8 айналым жүгірді. Әр адам неше айналым жүгірді?
- Айырмашылығы қосындысына тең екі санды ата.
- Екі плюс екі есе екі нешеге тең?
Жаңа материалды меңгерту
Мұғалім: Математикада жиындарды бейнелейтін шеңбер түріндегі сызбалар өте ұзақ уақыт бойы қолданылып келеді. Бұл әдісті алғашқылардың бірі ретінде көрнекті неміс математигі және философы Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) қолданған. Оның дөрекі сызбаларында осындай шеңберлері бар сызбалар табылды. Содан кейін бұл әдісті Леонхард Эйлер өте мұқият әзірледі. Ол ұзақ жылдар Санкт-Петербург Ғылым академиясында жұмыс істеді.
Ұғымдарды және олардың арасындағы қатынастарды көрнекі геометриялық иллюстрациялау үшін Эйлер-Венн диаграммалары (Эйлер шеңберлері) қолданылады. Егер қандай да бір А, В, С және т.б. ұғымдар болса, онда әрбір ұғымның (жиынның) көлемін шеңбер түрінде, ал осы объектілер (жиындар) арасындағы қатынастарды қиылысатын шеңберлер түрінде көрсетуге болады.
Мәселені шешу алдында келесі сұрақтарға жауап беріңіз:
- Бұл есепте неше жиынтық туралы айтып отырмыз?
- Есепте келтірілген деректердің қайсысы бір уақытта әртүрлі жиынтықтарға жатады?
Шешім әдісінің бастапқы дамуы. Оқушыларға келесі тапсырмалар ұсынылады. Бірінші тапсырма егжей-тегжейлі талқыланады. Одан кейінгі есептерді оқушылар тақтада шешеді.
Тапсырма 1. Үй жануарлары. Менің барлық достарымның үй жануарлары бар. Олардың алтауы мысықтарды жақсы көреді және асырайды, ал бесеуі иттерді жақсы көреді. Ал екеуінде екеуі ғана бар. Менің қанша дос қызым бар деп ойлайсыз ба?
Шешуі: Үй жануарларының екі түрі болғандықтан, екі шеңбер сызайық. Бірінде мысықтардың, екіншісінде иттердің иелерін жазамыз. Кейбір достардың екі жануары бар болғандықтан, біз олардың ортақ бөлігі болатындай шеңбер сызамыз. Бұл жалпы бөлімде біз 2 санын қойдық, өйткені олардың екеуінде де мысықтар мен иттер бар. «Мысық» шеңберінің қалған бөлігіне біз 4 санын (6 - 2 = 4) қоямыз. «Ит» шеңберінің бос бөлігіне біз 3 санын (5 - 2 = 3) қоямыз. Ал енді суреттің өзі жалпы менің 4 + 2 + 3 = 9 қызым бар екенін көрсетеді.
Жауап. 9 қыз.
Тапсырма 2. Кітапханалар. Сыныпта 30 оқушы бар. Олардың барлығы мектеп, аудандық кітапханалардың оқырмандары. Оның ішінде 20 бала мектеп кітапханасынан, 15 бала аудандық кітапханадан кітап алады. Мектеп кітапханасының оқырманы емес қанша оқушы бар?
Шешуі: W шеңбері тек мектеп кітапханасының оқырмандарын, Р шеңбері тек ауданды көрсетсін. Сонда ШР бір мезгілде аудандық және мектеп кітапханаларының оқырмандарының бейнесі. Суреттен мектеп кітапханасының оқырманы болып табылмайтын оқушылардың саны мынаған тең екені шығады:
(Ш емес) = R - ШР. Барлығы 30 оқушы, W = 20 адам, P = 15 адам. Сонда ШР мәнін келесідей табуға болады (суретті қараңыз): ШР = (Ш + Р) - 30 = (20 + 15) - 30 = = 5, яғни. 5 оқушы бір мезгілде мектеп пен аудандық кітапхананың оқырманы. Сонда (Ш емес) = = Р - ШР= 15 - 5= 10.
Жауап: 10 оқушы мектеп кітапханасының оқырманы емес.
3-тапсырма. Сүйікті мультфильмдер. Бесінші сынып оқушылары арасында сүйікті мультфильмдері бойынша сауалнама жүргізілді. Ең танымал үш мультфильм болды: «Ақшақар және жеті ергежейлі», «Винни Пух», «Микки Маус». Сыныпта барлығы 28 адам бар. «Ақшақар мен жеті гномды» 16 оқушы таңдады, оның ішінде үшеуі «Микки Маус», алтауы «Винни Пух» деп аталды, ал біреуі үш мультфильмді жазды. «Микки Маус» мультфильмін 9 бала атады, олардың бесеуі екі мультфильмді таңдады. «Винни-Пух» мультфильмін қанша адам таңдады?
Шешуі: Бұл есепте 3 жиын бар, есептің шарттарынан олардың барлығы бір-бірімен қиылысатыны көрініп тұр. Тек Ақшақарды 16-6-3-1=6 адам таңдады. Тек «Микки Маусты» 9-3-2-1=3 адам таңдады.
Тек «Винни пухты» 28-(6+3+3+2+6+1)=7 адам таңдады. Сосын кейбіреулердің бірнеше мультфильм таңдағанын ескерсек, «Винни-Пухты» 7+6+1+2=16 адам таңдаған.
4-тапсырма. Хобби. 5-сыныпта оқитын 24 оқушының 10-ы музыка мектебінде, 8-і өнер мектебінде, 12-сі спорт мектебінде, 3-і музыка және өнер мектебінде, 2-і өнер және спорт мектебінде, 2 адам музыка және спорт мектебінде, Үш мектепте де 1 адам оқиды. Бір мектепте қанша оқушы оқиды? Қанша оқушы ешнәрседе өзін дамытпайды?
Шешуі: Бұл есепте 3 жиын бар, есептің шарттарынан олардың барлығы бір-бірімен қиылысатыны көрініп тұр. Тек музыка мектебінде 10-3-2-1=4 оқушы оқиды. Тек өнер мектебінде 8-3-2-1=2 оқушы оқиды. Тек спорт мектебінде 12-2-2-1=7 оқушы бар.
Бір ғана мектепте 4+2+7=13 оқушы оқиды.
24-(4+2+7+3+2+2+1)=3 оқушы ешнәрседе өзін дамытпайды.
Жауап. 13 оқушы бір ғана мектепте оқиды, 3 оқушы өзін-өзі дамытпайды.
5-тапсырма. Жұмбақтар туралы. 26 түрлі болды математикалық ойындар- жұмбақтар. Оның 4-інде Гриша да, Саша да ойнады. Игорь Гриша да, Саша да тиіспеген 7 ойынды және Гриша ойнаған екі басқатырғышты ойнауға тырысты. Гриша барлығы 11 математикалық ойын – жұмбақ ойнады. Саша неше жұмбақ ойнады?
Шешуі: Гриша барлығы 11 ойында жеңілгендіктен, оның 4-ін Саша, 2-ін Игорь шешкендіктен, 11 - 4 - 2 = 5 - ойында Гриша ғана жеңілді. Сондықтан 26 - 7 - 2 - 5 - 4 = 8 - жұмбақтарды Саша жалғыз шешті. Бірақ Сашаның барлығы ойын болды.
Жауап. 12 ойынды Саша шешті.
Мақсат 7. Барлығына арналған спорт. Сыныпта 38 адам бар. Оның 16-сы баскетбол, 17-сі хоккей, 18-і футбол ойнайды. Төртеуі спорттың екі түрін – баскетбол мен хоккейді, үшеуі – баскетбол мен футболды, бесеуі – футбол мен хоккейді жақсы көреді. Үшеуі баскетболға, хоккейге немесе футболға қызықпайды. Бір мезгілде үш спорт түріне қанша бала қызығады? Қанша бала осы спорт түрлерінің біреуіне ғана қызығады?
Шешім. Эйлер шеңберлерін қолданайық.
Үлкен шеңбер сыныптағы барлық оқушыларды, ал үш кіші шеңбер B, X және F сәйкесінше баскетбол, хоккей және футболшыларды көрсетсін. Содан кейін B, X және F шеңберлерінің ортақ бөлігі Z фигурасында үш спорт түріне әуес балалар бейнеленген. Эйлер шеңберлерін тексеруден бір ғана спорт түрі - баскетболды 16 - (4 + z + 3) = 9 - z ойнайтыны анық; тек хоккей 17 - (4 + z + 5) = 8 - z; жай ғана футбол
18 - (3 + z + 5) = 10 - z. Сынып балаларының жеке топтарына бөлінгенін пайдаланып, теңдеу құрамыз; әр топтағы жігіттер саны суретте дөңгелектенеді: 3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,z = 2. Сонымен, екі Жігіттер спорттың үш түрін де қызықтырады. 9 - z, 8 - z және 10 - z сандарын қоссақ, мұндағы z = 2, тек бір ғана спорт түріне қызығатын балалар санын табамыз: 21 адам.
Жауап: Екі жігіт адам спортының үш түрін де жақсы көреді. Бір ғана спорт түріне қызығатындар: 21 адам.
Үй жұмысы. Тапсырма 6. Спорт сабағы. Сыныпта 35 оқушы бар. Оның 24-і футбол, 18-і волейбол, 12-сі баскетбол ойнайды. 10 оқушы бір мезгілде футбол мен волейбол, 8-і футбол мен баскетбол, 5-і волейбол мен баскетбол ойнайды. Қанша оқушы бір уақытта футбол, волейбол және баскетбол ойнайды?
Сабақты қорытындылау
Оқушылар сабақты өз бетінше немесе жетекші сұрақтарға жауап беру арқылы қорытындылайды:
- Біз сабақта не білдік?
- Бұл қандай әдіс? Бұл не?
- Бүгін сабақта не білдік?
- Мәселені шешуді қайдан бастау керек?
- Қандай тапсырмалар сізге ең қиын болды? Неліктен?
Зат есімдердегі п және nn жазылуы
Сөздің мағынасы әрекет етеді
2-ші адам жалғыз. Жеке есімдіктер. Орыс тіліндегі адам санаты