Тригонометриялық теңдеулер – формулалар, шешімдер, мысалдар. Тригонометриялық теңдеулер – формулалар, шешімдер, мысалдар Тригонометриялық теңдеулерді USE тапсырмаларында шешу
A) 2(\sin x-\cos x)=tgx-1 теңдеуін шешіңіз.
б) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].
Шешімді көрсетуШешім
A)Жақшаларды ашып, барлық мүшелерді сол жаққа жылжытсақ, 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0 теңдеуін аламыз. \cos x \neq 0, 2 \sin x мүшесін 2 tan x \cos x деп ауыстыруға болатынын ескере отырып, теңдеуді аламыз. 1+2 тг x \cos x-2 \cos x-tg x=0,оны топтастыру арқылы (1-tg x)(1-2 \cos x)=0 түріне келтіруге болады.
1) 1-тг x=0, күңгірт x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;
2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.
б)Көмегімен сандық шеңберинтервалға жататын түбірлерді таңдаңыз \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].
x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,
x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
Жауап
A) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;
б) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.
Шарт
A)Теңдеуді шеш (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.
б)Осы теңдеудің интервалға жататын түбірлерін көрсетіңіз \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;
Шешімді көрсетуШешім
A) ODZ: \begin(жағдайлар) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(жағдайлар)
ODZ бойынша бастапқы теңдеу теңдеулер жиынына баламалы
\left[\!\!\begin(массив)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \соңы(массив)\оңға.
Бірінші теңдеуді шешейік. Ол үшін біз ауыстыру жасаймыз \cos 4x=t, t \in [-1; 1].Сонда \sin^24x=1-t^2. Біз алып жатырмыз:
2(1-t^2)-3t=0,
2т^2+3т-2=0,
t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\емес [-1; 1].
\cos 4x=\frac12,
4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,
x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.
Екінші теңдеуді шешейік.
tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.
Бірлік шеңберін пайдаланып, ОДЗ қанағаттандыратын шешімдерді табамыз.
«+» таңбасы tg x>0 болатын 1-ші және 3-ші тоқсандарды белгілейді.
Біз аламыз: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.
б)аралыққа жататын түбірлерді табайық \left(0;\,\frac(3\pi )2\right].
x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).
Жауап
A) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.
б) \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).
Дереккөз: «Математика. 2017 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық. Профиль деңгейі" Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.
Шарт
A)Теңдеуді шеш: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;
б)Интервалға жататын барлық түбірлерді көрсетіңіз \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right].
Шешімді көрсетуШешім
A)Өйткені \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6,Бұл \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6,Бұл берілген теңдеу \cos^2x=\cos ^22x теңдеуіне эквивалент екенін білдіреді, ол өз кезегінде \cos^2x-\cos ^2 2x=0 теңдеуіне тең.
Бірақ \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)Және
\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, сондықтан теңдеу болады
(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,
(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.
Сонда не 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, не 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.
Бірінші теңдеуді \cos x үшін квадрат теңдеу ретінде шешсек, мынаны аламыз:
(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4.Сондықтан \cos x=1 немесе \cos x=-\frac12.Егер \cos x=1, онда x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Егер \cos x=-\frac12,Бұл x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.
Сол сияқты, екінші теңдеуді шешіп, не \cos x=-1 немесе аламыз \cos x=\frac12.Егер \cos x=-1 болса, онда түбірлер x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z.Егер \cos x=\frac12,Бұл x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.
Алынған шешімдерді біріктірейік:
x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.
б)Берілген интервалға түсетін түбірлерді сандар шеңберін пайдаланып таңдап алайық.
Біз алып жатырмыз: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.
Жауап
A) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;
б) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.
Дереккөз: «Математика. 2017 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық. Профиль деңгейі». Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.
Шарт
A)Теңдеуді шеш 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).
б)Осы теңдеудің интервалға жататын түбірлерін көрсетіңіз \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\right).
Шешімді көрсетуШешім
A) 1. Қысқарту формуласы бойынша, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx.Теңдеудің анықталу облысы \cos x \neq 0 және tan x \neq -1 болатындай x мәндері болады. Қос бұрышты косинус формуласын пайдаланып теңдеуді түрлендірейік 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x.Теңдеуді аламыз: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).
байқа, бұл \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx),сондықтан теңдеу келесіге айналады: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx).Осы жерден \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cos x+\sin x =\frac65.
2. \sin x+\cos x мәнін азайту формуласы мен косинустар қосындысының формуласын пайдаланып түрлендіріңіз: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\оң), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\оң)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.
Осы жерден \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5.білдіреді, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,
немесе x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.
Сондықтан x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,
немесе x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.
Табылған x мәндері анықтау облысына жатады.
б)Алдымен k=0 және t=0 теңдеудің түбірлері қайда түсетінін анықтайық. Бұл сәйкесінше сандар болады a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5Және b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.
1. Көмекші теңсіздікті дәлелдеп көрейік:
\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.
Шынымен, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.
Мұны да ескеріңіз \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, білдіреді \frac(3\sqrt 2)5<1.
2. Теңсіздіктерден (1) Косинус доғасының қасиеті бойынша біз мынаны аламыз:
arccos 1 0 Осы жерден \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,
0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,
Сонымен не істеу керек? Иә, бұл қарапайым, бәрін бір жаққа жылжытып, ортақ факторды алып тастаңыз: Біз оны факторларға қостық, ура! Енді шешейік: Бірінші теңдеудің түбірі бар: Ал екіншісі: Бұл мәселенің бірінші бөлігін аяқтайды. Енді сіз тамырларды таңдауыңыз керек: Алшақтық келесідей: Немесе оны былай жазуға болады: Ендеше, тамырын алайық: Алдымен, бірінші эпизодпен жұмыс жасайық (және бұл, ең аз дегенде, қарапайымырақ!) Біздің интервал толығымен теріс болғандықтан, теріс еместерді алудың қажеті жоқ, олар бәрібір теріс емес түбірлерді береді. Алайық, сонда – тым көп, соқпайды. Болсын, содан кейін - мен оны қайтадан ұрмадым. Тағы бір әрекет - содан кейін - иә, мен түсіндім! Бірінші тамыр табылды! Мен тағы да атамын: сосын тағы да ұрдым! Ал, тағы бір рет: : - бұл қазірдің өзінде рейс. Сонымен бірінші қатардан интервалға жататын 2 түбір бар: . Біз екінші сериямен жұмыс істеп жатырмыз (құрып жатырмыз ережеге сәйкес билікке): Түсіріңіз! Тағы да сағындым! Тағы да сағындым! Түсіндім! Ұшу! Осылайша, менің интервалымның келесі тамырлары бар: Бұл барлық басқа мысалдарды шешу үшін қолданатын алгоритм. Тағы бір мысалмен бірге жаттығу жасайық. Шешімі: Тағы да әйгілі азайту формулалары: Қайтадан қысқартуға тырыспаңыз! Бірінші теңдеудің түбірі бар: Ал екіншісі: Енді қайтадан тамырларды іздеу. Мен екінші эпизодтан бастаймын, мен бұл туралы бәрін алдыңғы мысалдан білемін! Қараңыз және аралыққа жататын түбірлердің келесідей екеніне көз жеткізіңіз: Енді бірінші эпизод және ол оңайырақ: Егер - қолайлы Бұл да жақсы болса Егер бұл әлдеқашан рейс болса. Сонда тамырлар келесідей болады: Ал, техника сізге түсінікті ме? Тригонометриялық теңдеулерді шешу енді соншалықты қиын болып көрінбейді ме? Содан кейін келесі есептерді өзіңіз тез шешіңіз, содан кейін біз басқа мысалдарды шешеміз: Және тағы да азайту формуласы: Тамырлардың бірінші қатары: Тамырлардың екінші қатары: Біз бос орынды таңдауды бастаймыз Жауабы: , . Факторларға өте күрделі топтастыру (мен қос бұрышты синус формуласын қолданамын): содан кейін немесе Бұл жалпы шешім. Енді біз тамырларды таңдауымыз керек. Мәселе мынада, біз косинусы төрттен біріне тең бұрыштың нақты мәнін айта алмаймыз. Сондықтан мен доғаның косинусынан құтыла алмаймын - бұл ұят! Менің қолымнан келетіні - солай, солай, содан кейін екенін анықтау. Кестені құрайық: интервал: Ауыр ізденістердің нәтижесінде біз теңдеудің көрсетілген интервалда бір түбірі бар деген көңілсіз қорытындыға келдік: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi Қорқынышты көрінетін теңдеу. Дегенмен, оны қос бұрышты синус формуласын қолдану арқылы оңай шешуге болады: Оны 2-ге азайтайық: Бірінші мүшені екіншісімен, үшіншісін төртіншімен топтап, ортақ көбейткіштерді шығарайық: Бірінші теңдеудің түбірі жоқ екені анық, енді екіншісін қарастырайық: Жалпы, мен мұндай теңдеулерді шешуге сәл кейінірек тоқталмақ болдым, бірақ ол шыққандықтан, ештеңе істеу керек емес, мен оны шешуім керек ... Пішіннің теңдеуі: Бұл теңдеу екі жағын келесіге бөлу арқылы шешіледі: Осылайша, біздің теңдеуде түбірлердің бір қатары бар: интервалына жататындарды табу керек: . Бұрынғыдай кестені қайта құрайық: Жауап: . Пішінге келтірілген теңдеулер: Енді теңдеулердің екінші бөлігіне көшудің уақыты келді, әсіресе мен жаңа типтегі тригонометриялық теңдеулердің шешімі неден тұратынын айтып қойғанмын. Бірақ бұл теңдеу пішінді екенін қайталаған жөн Екі жағын косинусқа бөлу арқылы шешіледі: 1-мысал. Біріншісі өте қарапайым. Оңға жылжытыңыз және қос бұрышты косинус формуласын қолданыңыз: Иә! Пішіннің теңдеуі: . Мен екі бөлікті де бөлемін Біз түбірлік скрининг жасаймыз: Алшақтық: Жауап: 2-мысал. Барлығы да өте тривиальды: оң жақтағы жақшаларды ашайық: Негізгі тригонометриялық сәйкестік: Қос бұрыштың синусы: Соңында біз аламыз: Түбірлік скрининг: интервал. Жауап: . Сізге техника қалай ұнайды, бұл өте күрделі емес пе? Жоқ деп үміттенемін. Біз бірден ескертпе жасай аламыз: олардың таза түрінде жанама теңдеуіне бірден төмендейтін теңдеулер өте сирек кездеседі. Әдетте, бұл ауысу (косинус бойынша бөлу) күрделі мәселенің бір бөлігі ғана. Сізге жаттығу үшін мысал: Тексерейік: Теңдеуді бірден шешуге болады, екі жағын келесіге бөлу жеткілікті: Түбірлік скрининг: Жауап: . Қалай болғанда да, біз жаңа ғана қарастырған түрдегі теңдеулерді кездестіре алмаймыз. Дегенмен, біз оны күн деп атауға әлі ерте: біз талдамаған теңдеулердің тағы бір «қабаты» бар. Сонымен: Мұнда бәрі түсінікті: теңдеуге мұқият қараймыз, оны мүмкіндігінше жеңілдетеміз, ауыстыру жасаймыз, оны шешеміз, кері ауыстыру жасаймыз! Сөзбен айтқанда бәрі өте оңай. Іс жүзінде көрейік: Мысал. Міне, ауыстырудың өзі бізге өзін ұсынады! Сонда біздің теңдеу келесіге айналады: Бірінші теңдеудің түбірі бар: Ал екіншісі келесідей: Енді интервалға жататын түбірлерді табайық Жауап: . Бірге сәл күрделірек мысалды қарастырайық: Мұнда ауыстыру бірден көрінбейді, оның үстіне бұл өте айқын емес. Алдымен ойланайық: біз не істей аламыз? Біз, мысалы, елестете аламыз Және сонымен бірге Сонда менің теңдеуім келесідей болады: Ал енді назар аударыңыз, назар аударыңыз: Теңдеудің екі жағын келесіге бөлейік: Кенеттен сіз бен бізде квадрат теңдеу пайда болды! Ауыстыру жасайық, содан кейін біз аламыз: Теңдеудің келесі түбірі бар: Жағымсыз екінші тамырлар сериясы, бірақ ештеңе істеу мүмкін емес! Біз аралықта тамырларды таңдаймыз. Мұны да ескеруіміз керек Содан бері және содан кейін Жауап: Мәселелерді өзіңіз шешпес бұрын мұны күшейту үшін сізге тағы бір жаттығу: Мұнда сіз көзіңізді ашық ұстауыңыз керек: бізде қазір нөлге тең болуы мүмкін бөлгіштер бар! Сондықтан, әсіресе тамырларға мұқият болу керек! Ең алдымен, мен сәйкес ауыстыруды жасай алатындай теңдеуді қайта реттеуім керек. Мен тангентті синус пен косинус тұрғысынан қайта жазудан артық ештеңе ойлай алмаймын: Енді мен негізгі тригонометриялық сәйкестікті пайдаланып косинустан синусқа ауысамын: Соңында мен бәрін ортақ бөлгішке келтіремін: Енді мен теңдеуге көшуге болады: Бірақ at (яғни, at). Енді барлығы ауыстыруға дайын: Содан кейін немесе Дегенмен, ескеріңіз, егер болса, онда бір уақытта! Бұдан кім зардап шегеді? Тангенске қатысты мәселе косинус нөлге тең болғанда анықталмайды (нөлге бөлу орын алады). Сонымен, теңдеудің түбірлері: Енді біз аралықтағы тамырларды електен өткіземіз: Сонымен, теңдеуіміздің интервалда бір түбірі бар және ол тең. Көрдіңіз бе: бөлгіштің пайда болуы (тангенс сияқты, түбірлермен белгілі бір қиындықтарға әкеледі! Бұл жерде мұқият болу керек!). Міне, сіз бен біз тригонометриялық теңдеулерді талдауды аяқтадық, өте аз қалды - екі мәселені өз бетіңізше шешу. Міне олар. Шешті ме? Бұл өте қиын емес пе? Тексерейік: Теңдеуге ауыстырыңыз: Ауыстыруды жеңілдету үшін барлығын косинустар арқылы қайта жазайық: Енді ауыстыру оңай: Бұл бөтен түбір екені анық, өйткені теңдеудің шешімі жоқ. Содан кейін: Біз аралықта қажет тамырларды іздейміз Жауап: . Содан кейін немесе Жауап: Енді болды! Бірақ тригонометриялық теңдеулерді шешу мұнымен бітпейді, біз ең қиын жағдайларда артта қаламыз: теңдеулерде иррационалдық немесе әртүрлі «күрделі бөлгіштер» болған кезде. Жетілдірілген деңгейге арналған мақалада мұндай тапсырмаларды қалай шешуге болатынын қарастырамыз. Алдыңғы екі мақалада қарастырылған тригонометриялық теңдеулерден басқа, біз одан да мұқият талдауды қажет ететін басқа теңдеулер класын қарастырамыз. Бұл тригонометриялық мысалдарда не иррационалдық, не бөлгіш бар, бұл олардың талдауын қиындатады. Дегенмен, сіз емтихан қағазының С бөлігінде бұл теңдеулерді кездестіруіңіз мүмкін. Дегенмен, әрбір бұлттың күміс астары бар: мұндай теңдеулер үшін, әдетте, оның қай түбірлері берілген интервалға жатады деген сұрақ енді көтерілмейді. Бұтаның айналасында ұрып-соғуға болмайды, бірақ тікелей тригонометриялық мысалдарға көшейік. 1-мысал. Теңдеуді шешіп, кесіндіге жататын түбірлерді табыңдар. Шешімі: Бізде нөлге тең болмайтын бөлгіш бар! Сонда бұл теңдеуді шешу жүйені шешумен бірдей Теңдеулердің әрқайсысын шешейік: Ал енді екіншісі: Енді серияға назар аударайық: Бұл опция бізге сәйкес келмейтіні анық, өйткені бұл жағдайда біздің бөлгіш нөлге тең болады (екінші теңдеудің түбірлерінің формуласын қараңыз) Егер, онда бәрі тәртіппен, ал бөлгіш нөлге тең емес! Сонда теңдеудің түбірлері келесідей болады: , . Енді интервалға жататын түбірлерді таңдаймыз. Содан кейін тамырлар келесідей: Көрдіңіз бе, тіпті бөлгіш түріндегі кішкене бұзылыстың пайда болуы теңдеудің шешіміне айтарлықтай әсер етті: біз бөлгішті жоққа шығаратын бірқатар түбірлерді алып тастадық. Егер сіз қисынсыз тригонометриялық мысалдарды кездестірсеңіз, жағдай одан да күрделене түсуі мүмкін. 2-мысал. Теңдеуді шеш: Шешімі: Кем дегенде, тамырларды алып тастаудың қажеті жоқ, бұл жақсы! Алдымен иррационалдылыққа қарамастан теңдеуді шешейік: Сонымен, бәрі осы ма? Жоқ, өкінішке орай, бұл өте оңай болар еді! Түбірдің астында тек теріс емес сандар пайда болуы мүмкін екенін есте ұстауымыз керек. Содан кейін: Бұл теңсіздіктің шешімі: Енді бірінші теңдеудің түбірлерінің бір бөлігі байқаусызда теңсіздік орындалмайтын жерде аяқталды ма, жоқ па, соны анықтау қалды. Ол үшін кестені қайта пайдалануға болады: Осылайша, менің бір тамырым «құлап кетті»! Оны қойсаңыз, шығады. Сонда жауапты былай жазуға болады: Жауап: Көрдіңіз бе, тамыр одан да көп көңіл бөлуді қажет етеді! Оны күрделендірейік: енді менің түбірімнің астында тригонометриялық функция болсын. 3-мысал. Бұрынғыдай: алдымен әрқайсысын жеке шешеміз, содан кейін не істегенімізді ойлаймыз. Енді екінші теңдеу: Енді ең қиыны, егер біз бірінші теңдеудегі түбірлерді ауыстырсақ, арифметикалық түбірдің астында теріс мәндердің алынуын анықтау: Санды радиан деп түсіну керек. Радиан шамамен градус болғандықтан, радиандар градустар тәртібінде болады. Бұл екінші тоқсанның бұрышы. Екінші ширек косинустың таңбасы қандай? Минус. Ал синус туралы не деуге болады? Плюс. Сонымен, өрнек туралы не айта аламыз: Бұл нөлден аз! Бұл теңдеудің түбірі емес дегенді білдіреді. Енді уақыт келді. Бұл санды нөлмен салыстырайық. Котангенс – 1 ширекте кемитін функция (аргумент неғұрлым аз болса, соғұрлым котангенс үлкен болады). радиандар шамамен градус. Сол уақытта бері, содан кейін, сондықтан Жауап: . Бұл одан да күрделі болуы мүмкін бе? Өтінемін! Түбір әлі де тригонометриялық функция болса, ал теңдеудің екінші бөлігі қайтадан тригонометриялық функция болса, қиынырақ болады. Тригонометриялық мысалдар неғұрлым көп болса, соғұрлым жақсы, төменде қараңыз: 4-мысал. Шектеулі косинусқа байланысты түбір қолайлы емес Енді екіншісі: Сонымен қатар түбірдің анықтамасы бойынша: Біз бірлік шеңберді есте сақтауымыз керек: дәлірек айтқанда, синусы нөлден аз болатын кварталдар. Бұл қандай кварталдар? Үшінші және төртінші. Содан кейін біз үшінші немесе төртінші тоқсанда жатқан бірінші теңдеудің шешімдеріне қызығушылық танытамыз. Бірінші қатар үшінші және төртінші тоқсандардың қиылысында жатқан тамырларды береді. Екінші қатар - оған диаметральді қарама-қарсы - бірінші және екінші тоқсанның шекарасында жатқан тамырларды береді. Сондықтан бұл серия бізге жарамайды. Жауабы: , Және тағы да «қиын иррационалдық» тригонометриялық мысалдар. Бізде тригонометриялық функция қайтадан түбірдің астында ғана емес, енді ол бөлгіште де бар! 5-мысал. Ештеңе істеу мүмкін емес - біз бұрынғыдай жасаймыз. Енді бөлгішпен жұмыс істейміз: Мен тригонометриялық теңсіздікті шешкім келмейді, сондықтан мен қулық жасаймын: мен өзімнің түбірлер қатарымды теңсіздікке ауыстырамын: Егер - жұп болса, бізде: өйткені көріністің барлық бұрыштары төртінші ширекте жатыр. Және тағы да қасиетті сұрақ: төртінші тоқсандағы синустың белгісі қандай? Теріс. Сонда теңсіздік Егер -тақ болса, онда: Бұрыш қай ширекте жатыр? Бұл екінші тоқсанның бұрышы. Содан кейін барлық бұрыштар қайтадан екінші тоқсанның бұрыштары болып табылады. Ондағы синус оң. Сізге қажет нәрсе! Сонымен қатар: Сәйкес келеді! Біз тамырлардың екінші сериясымен дәл осылай әрекет етеміз: Теңсіздігімізді ауыстырамыз: Егер - жұп болса, онда Бірінші ширек бұрыштары. Ондағы синус оң, яғни қатар қолайлы. Енді - тақ болса, онда: жарасады да! Ал, енді жауабын жазамыз! Жауап: Бұл ең көп еңбекті қажет ететін іс болды. Енді мен сізге өз бетінше шешуге болатын мәселелерді ұсынамын. Шешімдер: Екінші теңдеу: Аралыққа жататын түбірлерді таңдау Жауап: Немесе қарастырайық: . Егер - жұп болса, онда Жауабы: , . Немесе Екінші бөлім: Сонымен бірге, DZ сәйкес бұл талап етіледі Бірінші теңдеуде табылған түбірлерді тексереміз: Егер белгі: Тангенсі оң болатын бірінші ширек бұрыштар. Келмейді! Төртінші ширек бұрышы. Мұнда жанама теріс. Сәйкес келеді. Жауабын жазамыз: Жауабы: , . Біз осы мақалада күрделі тригонометриялық мысалдарды бірге қарастырдық, бірақ теңдеулерді өзіңіз шешуіңіз керек. Тригонометриялық теңдеу – белгісіз тригонометриялық функцияның таңбасының астында болатын теңдеу. Тригонометриялық теңдеулерді шешудің екі әдісі бар: Бірінші әдіс - формулаларды қолдану. Екінші жол - тригонометриялық шеңбер арқылы. Бұрыштарды өлшеуге, олардың синусын, косинусын және т.б.ЕСІҢІЗДЕ БОЛЫҢЫЗ: ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢДЕУДІҢ ЕКІ ҚАБЫРЫН ЕШҚАШАН ҚҰРАМЫНДА БЕЛГІСІЗ ФУНКЦИЯ АРҚЫЛЫ АЗАЙТУҒА БОЛМАЙДЫ! СОНДЫҚТАН ТАМЫРЛАРЫҢЫЗДАН ЖОҒАЛАЙСЫЗДАР!
Мысал 2. Қысқарту формулалары арқылы көбейткіштерге келтірілген теңдеу
Өздік жұмыс. 3 теңдеу.
Осы теңдеудің интервалдан жоғары жатқан барлық түбірлерін табыңыз.
Қиманың үстінде жатқан теңдеудің түбірлерін көрсетіңіз
Осы теңдеудің олардың арасында жатқан барлық түбірлерін табыңыз.1-теңдеу.
2-теңдеу. Өздік жұмысын тексеру.
3-теңдеу: Өз бетінше жұмысты тексеру.
Қиманың үстінде жатқан теңдеудің түбірлерін көрсетіңіз.
Олардың арасында жататын теңдеудің түбірлерін көрсетіңіз.Айнымалыларды өзгерту арқылы тригонометриялық теңдеулерді шешу
- жарасады
- шектен шығу
Осы теңдеудің кесіндінің үстінде жатқан барлық түбірлерін табыңыз.
Қиықтың үстінде орналасқан осы теңдеудің түбірлерін көрсетіңіз.
Мұнда ауыстыру бірден көрінеді:
- жарасады!
- жарасады!
- жарасады!
- жарасады!
- көптеген!
- сонымен қатар көп!
АРТТЫҚ ДЕҢГЕЙ
- келмейді
- жарасады
- жарасады
- жарасады
асып кету
асып кету
: , Бірақ
Жоқ!
Иә!
Иә!
,Тренинг
Бірінші теңдеу:
немесе
Түбірдің ODZ:
немесе
Бірақ
- келмейді!
Егер - тақ болса,: - қолайлы!
Бұл біздің теңдеуіміздің келесі түбірлер қатары бар екенін білдіреді:
немесе
Интервалдағы тамырларды таңдау:
- келмейді
- жарасады
- жарасады
- көптеген
- жарасады
көптеген
Өйткені, тангенс анықталмаған. Біз бұл тамырлар сериясын дереу тастаймыз!
Егер белгі:ҚОРЫТЫНДЫ ЖӘНЕ НЕГІЗГІ ФОРМУЛАР