Механикалық жүйенің тепе-теңдігінің қажетті шарттары. Статика

Механикалық тепе-теңдік

Механикалық тепе-теңдік- механикалық жүйенің күйі, онда оның әрбір бөлшектеріне әсер ететін барлық күштердің қосындысы нөлге тең және кез келген еркін айналу осіне қатысты денеге әсер ететін барлық күштердің моменттерінің қосындысы да нөлге тең болады.

Тепе-теңдік күйінде дене таңдалған санақ жүйесінде тыныштықта болады (жылдамдық векторы нөлге тең), не түзу сызықта бірқалыпты қозғалады немесе тангенциалды үдеусіз айналады.

Жүйе энергиясы арқылы анықтау

Энергия мен күштер іргелі қатынастармен байланысты болғандықтан, бұл анықтама біріншіге тең. Дегенмен, энергия тұрғысынан анықтаманы тепе-теңдік жағдайының тұрақтылығы туралы ақпарат беру үшін кеңейтуге болады.

Баланс түрлері

Бір еркіндік дәрежесі бар жүйеге мысал келтірейік. Бұл жағдайда тепе-теңдік жағдайының жеткілікті шарты зерттелетін нүктеде жергілікті экстремумның болуы болады. Белгілі болғандай дифференциалданатын функцияның жергілікті экстремумының шарты оның бірінші туындысының нөлге тең болуы болып табылады. Бұл нүктенің минималды немесе максимум екенін анықтау үшін оның екінші туындысын талдау керек. Тепе-теңдік жағдайының тұрақтылығы келесі нұсқалармен сипатталады:

• тұрақсыз тепе-теңдік;
• тұрақты тепе-теңдік;
• бейтарап тепе-теңдік.

Тұрақсыз тепе-теңдік

Екінші туынды теріс болған жағдайда жүйенің потенциалдық энергиясы жергілікті максимум күйінде болады. Бұл тепе-теңдік жағдайын білдіреді тұрақсыз. Егер жүйе аз қашықтыққа ығыстырылса, ол жүйеге әсер ететін күштердің әсерінен қозғалысын жалғастырады.

Тұрақты тепе-теңдік

Екінші туынды > 0: жергілікті минимумдағы потенциалдық энергия, тепе-теңдік күй тұрақты(Тепе-теңдік тұрақтылығы туралы Лагранж теоремасын қараңыз). Егер жүйе аз қашықтыққа ығыстырылса, ол қайтадан тепе-теңдік күйіне оралады. Тепе-теңдік тұрақты болады, егер дененің ауырлық центрі барлық ықтимал көрші позициялармен салыстырғанда ең төменгі орынды алса.

Индифферентті тепе-теңдік

Екінші туынды = 0: бұл аймақта энергия өзгермейді және тепе-теңдік жағдайы немқұрайлы. Жүйе аз қашықтыққа жылжытылса, ол жаңа орнында қалады.

Еркіндік дәрежесі көп жүйелердегі тұрақтылық

Егер жүйенің бірнеше еркіндік дәрежесі болса, онда кейбір бағыттағы ығысуларда тепе-теңдік тұрақты, ал басқаларында ол тұрақсыз болып шығуы мүмкін. Мұндай жағдайдың ең қарапайым мысалы - «ершік» немесе «өту» (бұл жерде суретті орналастыру жақсы болар еді).

Бірнеше еркіндік дәрежесі бар жүйенің тепе-теңдігі ол тұрақты болған жағдайда ғана тұрақты болады барлық бағытта.

Викимедиа қоры. 2010.

Басқа сөздіктерде «Механикалық тепе-теңдік» деген не екенін қараңыз:

механикалық тепе-теңдік- mechaninė pusiausvyra statusas T sritis fizika atitikmenys: ағылшын. механикалық тепе-теңдік вок. механика Глейхгевихт, орыс. механикалық тепе-теңдік, n pranc. équilibre mécanique, m … Физикалық терминų žodynas

- ... Википедия

Фазалық ауысулар I мақала ... Уикипедия

Термодинамикалық жүйенің оқшаулану жағдайында жеткілікті үлкен уақыт кезеңінен кейін өздігінен келетін күйі қоршаған орта, содан кейін жүйе күйінің параметрлері уақыт өте өзгермейді. Оқшаулау... ... Ұлы Совет энциклопедиясы

ТЕҢЕК- 1) дененің қозғалмайтын механикалық күйі, оған әсер ететін R. күштерінің салдары (денеге әсер ететін барлық күштердің қосындысы нөлге тең болғанда, яғни ол үдеу бермейді) . Р. бөлінеді: а) тұрақты, ... ... шегінен ауытқыған кезде. Үлкен политехникалық энциклопедия

Механикалық жағдай жүйе, оның барлық нүктелері берілген анықтамалық жүйеге қатысты қозғалыссыз. Егер бұл анықтамалық жүйе инерциялық болса, онда Р.М. абсолютті, әйтпесе салыстырмалы. Ағзаның әрекетінен кейін... Үлкен энциклопедиялық политехникалық сөздік

Термодинамикалық тепе-теңдік - бұл барлық химиялық, диффузиялық, ядролық және басқа процестер үшін әрбір нүктеде тура реакция жылдамдығы кері реакцияның жылдамдығына тең болатын оқшауланған термодинамикалық жүйенің күйі. Термодинамикалық... ... Википедия

Тепе-теңдік- таңдауға қарамастан айнымалылар жүйенің толық сипаттамасымен тұрақты болып қалатын кезде заттың ең ықтимал макрокүйі. Тепе-теңдік ажыратылады: механикалық, термодинамикалық, химиялық, фазалық және т.б.: Қараңыз... ... энциклопедиялық сөздікметаллургияда

Мазмұны 1 Классикалық анықтама 2 Жүйе энергиясы арқылы анықтау 3 Тепе-теңдік түрлері ... Wikipedia

Фазалық ауысулар Мақала Термодинамика сериясының бөлігі болып табылады. Фаза түсінігі Фазалық тепе-теңдік Кванттық фазалық ауысу Термодинамика бөлімдері Термодинамика принциптері Күй теңдеуі ... Уикипедия

Механикалық жүйенің тепе-теңдігі- бұл механикалық жүйенің барлық нүктелері қарастырылып отырған эталондық жүйеге қатысты тыныштықта болатын күй. Егер санақ жүйесі инерциалды болса, тепе-теңдік деп аталады абсолютті, егер инерциялық болмаса - туыс.

Тепе-теңдік шарттарын абсолютті табу қаттыоны ойша әрқайсысы материалдық нүктемен бейнеленуі мүмкін жеткілікті шағын элементтердің үлкен санына бөлу қажет. Барлық осы элементтер бір-бірімен әрекеттеседі - бұл әрекеттесу күштері деп аталады ішкі. Сонымен қатар, сыртқы күштер дененің бірқатар нүктелеріне әсер етуі мүмкін.

Ньютонның екінші заңы бойынша нүктенің үдеуі нөлге (және тыныштықтағы нүктенің үдеуі нөлге) тең болуы үшін сол нүктеге әсер ететін күштердің геометриялық қосындысы нөлге тең болуы керек. Егер дене тыныштықта болса, онда оның барлық нүктелері (элементтері) де тыныштықта болады. Сондықтан дененің кез келген нүктесі үшін мынаны жаза аламыз:

мұндағы барлық әсер ететін сыртқы және ішкі күштердің геометриялық қосындысы мендененің ші элементі.

Теңдеу дене тепе-теңдікте болуы үшін осы дененің кез келген элементіне әсер ететін барлық күштердің геометриялық қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті екенін білдіреді.

Бұдан дененің (денелер жүйесінің) тепе-теңдігінің бірінші шартын оңай алуға болады. Ол үшін дененің барлық элементтері үшін теңдеуді қорытындылау жеткілікті:

.

Екінші қосынды Ньютонның үшінші заңы бойынша нөлге тең: жүйенің барлық ішкі күштерінің векторлық қосындысы нөлге тең, өйткені кез келген ішкі күш шамасына тең және бағыты бойынша қарама-қарсы күшке сәйкес келеді.

Демек,

.

Қатты дененің тепе-теңдігінің бірінші шарты(денелер жүйесі)денеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің геометриялық қосындысының нөлге теңдігі.

Бұл шарт қажет, бірақ жеткіліксіз. Мұны геометриялық қосындысы да нөлге тең болатын күштер жұбының айналу әрекетін есте сақтау арқылы тексеру оңай.

Қатты дененің тепе-теңдігінің екінші шартыкез келген оське қатысты денеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің моменттерінің қосындысының нөлге теңдігі.

Сонымен, сыртқы күштердің ерікті саны жағдайында қатты дененің тепе-теңдік шарттары келесідей болады:

.

Мен қарастырамын материалдық нүкте, оның қозғалысы бір ғана еркіндік дәрежесіне ие болатындай шектелген.

Бұл оның орнын x координатасы сияқты бір шама арқылы анықтауға болатындығын білдіреді. Мысал ретінде тік жазықтықта иілген қозғалмайтын сым бойымен үйкеліссіз сырғанап жатқан шарды келтіруге болады (26.1а-сурет).

Тағы бір мысал – серіппенің ұшына бекітілген, көлденең бағыттағышқа үйкеліссіз сырғанау (26.2, а-сурет).

Шарға консервативті күш әсер етеді: бірінші жағдайда ауырлық күші, екінші жағдайда деформацияланған серіппенің серпімді күші. Потенциалдық энергия графиктері суретте көрсетілген. 26.1, b және 26.2, b.

Шарлар сым бойымен үйкеліссіз қозғалатындықтан, сымның допқа әсер ету күші екі жағдайда да шардың жылдамдығына перпендикуляр болады, сондықтан шарда жұмыс істемейді. Демек, энергияны үнемдеу орын алады:

(26.1) тармақтан шығатыны, кинетикалық энергиятек көңілді энергияның төмендеуіне байланысты өсуі мүмкін. Демек, егер доп оның жылдамдығы нөлге тең және потенциалдық энергия минималды мәнге ие болса, онда сыртқы әсерсіз ол қозғала алмайды, яғни ол тепе-теңдікте болады.

U минимумдары графиктердегі тең мәндерге сәйкес келеді (26.2-суретте деформацияланбаған құрамның ұзындығы көрсетілген) Минималды потенциалдық энергияның шарты мына түрде болады.

t (22.4) сәйкес шарт (26.2) мынаған тең

(U тек бір айнымалының функциясы болған жағдайда, ). Сонымен, ең аз потенциалдық энергияға сәйкес позиция денеге әсер ететін күш нөлге тең болатын қасиетке ие.

Суретте көрсетілген жағдайда. 26.1, шарттар (26.2) және (26.3) тең x үшін де орындалады (яғни, U максималды үшін). Осы мәнмен анықталатын доптың орны да тепе-теңдік болады. Дегенмен, бұл тепе-теңдік тепе-теңдіктен айырмашылығы, тұрақсыз болады: допты осы позициядан аздап алып тастау жеткілікті және допты позициядан жылжытатын күш пайда болады. Допты тұрақты тепе-теңдік күйден ығыстырғанда пайда болатын күштер (ол үшін ) допты тепе-теңдік күйге қайтаруға бейім болатындай бағытталған.

Потенциалды энергияны өрнектейтін t функциясының түрін біле отырып, біз бөлшек қозғалысының табиғаты туралы бірқатар қорытындылар жасай аламыз. Мұны суретте көрсетілген график арқылы түсіндірейік. 26.1, б. Егер жалпы энергия суретте көрсетілген мәнге ие болса, онда бөлшек неден бастап, не шексіздікке дейінгі аралықта қозғала алады. Бөлшек аймаққа өте алмайды, өйткені потенциалдық энергия жалпы энергиядан жоғары бола алмайды (егер бұл орын алса, кинетикалық энергия теріс болады). Осылайша, аймақ жалпы энергияның берілген мөлшерін ескере отырып, бөлшек өте алмайтын потенциалды тосқауыл болып табылады. Бұл аймақ потенциалды ұңғыма деп аталады.

Егер бөлшек өз қозғалысы кезінде шексіздікке қарай жылжи алмаса, қозғалыс ақырлы деп аталады. Бөлшек қалағанша жүре алса, қозғалыс шексіз деп аталады. Потенциалды ұңғымадағы бөлшек шекті қозғалысқа ұшырайды. Теріс жағы бар бөлшектің қозғалысы толық қуаттартымды күштердің орталық өрісінде (потенциалды энергия шексіздікте жойылады деп есептеледі).

Идеал байланыстары бар жүйенің тепе-теңдігі үшін сол немесе жеткілікті болатыны белгілі. (7)

Жалпыланған координаталардың вариациялары бір-бірінен тәуелсіз және жалпы алғанда нөлге тең болмағандықтан, бұл қажет:
,
,…,
.

Голономдық тежегіш, стационарлы, идеалды шектеулері бар жүйенің тепе-теңдігі үшін таңдалған жалпыланған координаталарға сәйкес келетін барлық жалпыланған күштердің нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Потенциалды күштердің жағдайы:

Егер жүйе потенциалдық күш өрісінде болса, онда

,
,…,

,
,…,

Яғни, жүйенің тепе-теңдік позициялары күш әрекет ететін жалпыланған координаталар мәндері үшін ғана болуы мүмкін. Ужәне потенциалдық энергия Пэкстремалды құндылықтарға ие ( макснемесе мин).

Тепе-теңдік тұрақтылығы туралы түсінік.

Жүйенің тепе-теңдікте болуы мүмкін позицияларды анықтай отырып, осы позициялардың қайсысы жүзеге асатын, қайсысы орындалмайтынын анықтауға болады, яғни қай позиция тұрақты, қайсысы тұрақсыз екенін анықтауға болады.

Жалпы, қажет тепе-теңдік тұрақтылығының белгісі Ляпуновтың пікірі бойынша келесідей тұжырымдауға болады:

Жалпыланған координаталар мен олардың жылдамдықтарының шағын модульдік мәндерін беру арқылы жүйені тепе-теңдік күйден шығарайық. Егер жүйені әрі қарай қарастырған кезде жалпыланған координаталар мен олардың жылдамдықтары шамалары бойынша шағын болып қалатын болса, яғни жүйе тепе-теңдік күйінен алыс ауытқымаса, онда мұндай тепе-теңдік жағдайы тұрақты болады.

Тепе-теңдік тұрақтылығының жеткілікті шарты жүйесі анықталады Лагранж-Дирихле теоремасы :

Егер идеалды байланыстары бар механикалық жүйенің тепе-теңдік күйінде потенциалдық энергия минималды мәнге ие болса, онда мұндай тепе-теңдік жағдайы тұрақты болады.

,
- тұрақты.

(16) § 107 және (35) немесе (38) теңдеулерін мына түрде көрсетейік:

§ 74-те баяндалған заңдардың салдары болып табылатын осы теңдеулерден статиканың барлық бастапқы нәтижелері алынатынын көрсетейік.

1. Егер механикалық жүйе тыныштықта болса, онда оның барлық нүктелерінің жылдамдықтары нөлге тең, демек, мұндағы О кез келген нүкте. Сонда (40) теңдеулер:

Сонымен (40) шарттар кез келген механикалық жүйенің тепе-теңдігінің қажетті шарттары болып табылады. Бұл нәтиже, атап айтқанда, § 2 тұжырымдалған қатаю принципін қамтиды.

Бірақ кез келген жүйе үшін шарттар (40) жеткілікті тепе-теңдік шарттары емес екені анық. Мысалы, суретте көрсетілген болса. 274 нүкте бос, содан кейін күштердің әсерінен олар бір-біріне қарай жылжи алады, дегенмен бұл күштер үшін шарттар (40) орындалады.

Механикалық жүйенің тепе-теңдігінің қажетті және жеткілікті шарттары § 139 және 144-те ұсынылатын болады.

2. Абсолют қатты денеге әсер ететін күштер үшін (40) шарттар тек қажетті ғана емес, сонымен қатар жеткілікті тепе-теңдік шарттары болатынын дәлелдеейік. Тыныштықтағы бос қатты денеге (40) шарттарды қанағаттандыратын күштер жүйесі әрекет ете бастасын, мұндағы О кез келген нүкте, яғни, атап айтқанда, С нүктесі. Сонда (40) теңдеулер , ал дене болғандықтан бастапқыда тыныштықта болды, содан кейін С нүктесінде қозғалыссыз және дене белгілі бір лездік осьтің айналасында тек c бұрыштық жылдамдықпен айнала алады (§ 60 қараңыз). Сонда (33) формулаға сәйкес денеде болады. Бірақ вектордың оське проекциясы бар, содан бері және қай жерден осыдан шығады, яғни (40) шарттар орындалғанда, дене тыныштықта қалады.

3. Алдыңғы нәтижелерден, атап айтқанда, § 2-де тұжырымдалған 1 және 2 бастапқы ережелері келесідей болады, өйткені суретте бейнеленген екі күш анық. 2, (40) шарттарды қанағаттандырады және теңдестірілген, және егер денеге әсер ететін күштерге теңдестірілген күштер жүйесін қоссақ (немесе олардан шегерсек), яғни шарттарды (40) қанағаттандыратын болсақ, онда бұл шарттар да, теңдеулер де (40) 40), дененің қозғалысын анықтау өзгермейді.