Кездейсоқ шаманың математикалық күтуі. Математикалық күтудің қасиеттері Кездейсоқ шаманың математикалық күтуін табу

Дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамалардың негізгі сандық сипаттамалары: күтілетін мән, дисперсия және стандартты ауытқу. Олардың қасиеттері мен мысалдары.

Тарату заңы (тарату функциясы және таралу қатары немесе ықтималдық тығыздығы) мінез-құлықты толығымен сипаттайды кездейсоқ шама. Бірақ бірқатар мәселелерде қойылған сұраққа жауап беру үшін зерттелетін шаманың кейбір сандық сипаттамаларын білу жеткілікті (мысалы, оның орташа мәні және одан ықтимал ауытқу). Дискретті кездейсоқ шамалардың негізгі сандық сипаттамаларын қарастырайық.

Анықтама 7.1.Математикалық күтуДискретті кездейсоқ шама - оның мүмкін мәндері мен олардың сәйкес ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысы:

М(X) = X 1 Р 1 + X 2 Р 2 + … + x p p p.(7.1)

Кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің саны шексіз болса, онда алынған қатар абсолютті жинақталса.

Ескерту 1.Кейде математикалық күту деп аталады орташа өлшенген, өйткені ол эксперименттердің үлкен саны бойынша кездейсоқ шаманың байқалған мәндерінің орташа арифметикалық мәніне шамамен тең.

Ескерту 2.Математикалық күтудің анықтамасынан оның мәні кездейсоқ шаманың ең кіші мүмкін мәнінен кем емес және ең үлкенінен көп емес екендігі шығады.

Ескерту 3.Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуі кездейсоқ емес(тұрақты. Үздіксіз кездейсоқ шамаларға да солай болатынын кейінірек көреміз.

Мысал 1. Кездейсоқ шаманың математикалық күтуін табыңыз X- 10 бөліктен тұратын партиядан таңдалған үшеуінің ішінде стандартты бөлшектердің саны, оның ішінде 2 ақаулы. үшін тарату сериясын жасайық X. Проблемалық шарттардан былай шығады X 1, 2, 3 мәндерін қабылдай алады. Содан кейін

Мысал 2. Кездейсоқ шаманың математикалық күтуін анықтаңыз X- Елтаңбаның алғашқы пайда болуына дейін лақтырылған монеталардың саны. Бұл шама мәндердің шексіз санын қабылдауы мүмкін (мүмкін мәндер жиыны натурал сандар жиыны). Оның таралу сериясы келесі формада болады:

X			…	П	…
Р	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)П	…

+ (есептеу кезінде шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысының формуласы екі рет қолданылды: , мұндағы ).

Математикалық күтудің қасиеттері.

1) Тұрақтының математикалық күтуі тұрақтының өзіне тең:

М(МЕН) = МЕН.(7.2)

Дәлелдеу. Егер қарастырсақ МЕНтек бір мәнді қабылдайтын дискретті кездейсоқ шама ретінде МЕНықтималдықпен Р= 1, онда М(МЕН) = МЕН?1 = МЕН.

2) Тұрақты коэффициентті математикалық күту белгісінен шығаруға болады:

М(CX) = СМ(X). (7.3)

Дәлелдеу. Кездейсоқ шама болса Xтаралу қатарларымен берілген

Содан кейін М(CX) = Cx 1 Р 1 + Cx 2 Р 2 + … + Cx p p p = МЕН(X 1 Р 1 + X 2 Р 2 + … + x p r p) = СМ(X).

Анықтама 7.2.Екі кездейсоқ шама деп аталады тәуелсіз, егер олардың біреуінің таралу заңы екіншісінің қандай мәндерді қабылдағанына байланысты болмаса. Әйтпесе, кездейсоқ айнымалылар тәуелді.

Анықтама 7.3.Қоңырау шалайық тәуелсіз кездейсоқ шамалардың туындысы XЖәне Ы кездейсоқ шама XY, оның мүмкін мәндері барлық мүмкін мәндердің көбейтінділеріне тең Xбарлық мүмкін мәндер үшін Ы, ал сәйкес ықтималдықтар факторлардың ықтималдықтарының көбейтінділеріне тең.

3) Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең:

М(XY) = М(X)М(Ы). (7.4)

Дәлелдеу. Есептеулерді жеңілдету үшін біз өзімізді қашан болған жағдаймен шектейміз XЖәне Ытек екі мүмкін мәнді қабылдайды:

Демек, М(XY) = x 1 ж 1 ?б 1 g 1 + x 2 ж 1 ?б 2 g 1 + x 1 ж 2 ?б 1 g 2 + x 2 ж 2 ?б 2 g 2 = ж 1 g 1 (x 1 б 1 + x 2 б 2) + + ж 2 g 2 (x 1 б 1 + x 2 б 2) = (ж 1 g 1 + ж 2 g 2) (x 1 б 1 + x 2 б 2) = М(X)?М(Ы).

Ескерту 1.Осы сипатты факторлардың мүмкін мәндерінің көбірек саны үшін дәл осылай дәлелдей аласыз.

Ескерту 2. 3-қасиет математикалық индукция арқылы дәлелденген тәуелсіз кездейсоқ шамалардың кез келген санының көбейтіндісі үшін дұрыс.

Анықтама 7.4.анықтайық кездейсоқ шамалардың қосындысы XЖәне Ы кездейсоқ шама ретінде X+Y, оның мүмкін мәндері әрбір мүмкін мәннің қосындысына тең Xбарлық мүмкін мәндермен Ы; мұндай қосындылардың ықтималдылықтары мүшелердің ықтималдықтарының көбейтінділеріне тең (тәуелді кездейсоқ шамалар үшін – бір мүшесінің ықтималдығының көбейтінділері шартты ықтималдықекінші).

4) Екі кездейсоқ шама (тәуелді немесе тәуелсіз) қосындысының математикалық күтуі терминдердің математикалық күтулерінің қосындысына тең:

М (X+Y) = М (X) + М (Ы). (7.5)

Дәлелдеу.

3-қасиеттің дәлелдеуінде берілген таралу қатарымен анықталған кездейсоқ шамаларды қайтадан қарастырайық. Сонда мүмкін мәндер X+Yболып табылады X 1 + сағ 1 , X 1 + сағ 2 , X 2 + сағ 1 , X 2 + сағ 2. Олардың ықтималдықтарын сәйкесінше деп белгілейік Р 11 , Р 12 , Р 21 және Р 22. Біз табамыз М(X+Ы) = (x 1 + ж 1)б 11 + (x 1 + ж 2)б 12 + (x 2 + ж 1)б 21 + (x 2 + ж 2)б 22 =

= x 1 (б 11 + б 12) + x 2 (б 21 + б 22) + ж 1 (б 11 + б 21) + ж 2 (б 12 + б 22).

Соны дәлелдеп көрейік Р 11 + Р 22 = Р 1 . Шынында да, бұл оқиға X+Yқұндылықтарды қабылдайды X 1 + сағ 1 немесе X 1 + сағ 2 және оның ықтималдығы Р 11 + Р 22 оқиғамен сәйкес келеді X = X 1 (оның ықтималдығы Р 1). Осыған ұқсас жолмен дәлелденген б 21 + б 22 = Р 2 , б 11 + б 21 = g 1 , б 12 + б 22 = g 2. білдіреді,

М(X+Y) = x 1 б 1 + x 2 б 2 + ж 1 g 1 + ж 2 g 2 = М (X) + М (Ы).

Түсініктеме. 4-қасиеттен кездейсоқ шамалардың кез келген санының қосындысы терминдердің математикалық күтулерінің қосындысына тең болатыны шығады.

Мысал. Бес сүйек лақтыру кезінде алынған ұпайлар санының қосындысының математикалық күтуін табыңыз.

Бір сүйекті лақтырған кезде лақтырылған ұпайлар санының математикалық болжамын табайық:

М(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Дәл сол сан кез келген сүйекке лақтырылған ұпайлар санының математикалық күтуіне тең. Сондықтан қасиет бойынша 4 М(X)=

Дисперсия.

Кездейсоқ шаманың мінез-құлқы туралы түсінікке ие болу үшін оның тек математикалық күтуін білу жеткіліксіз. Екі кездейсоқ шаманы қарастырыңыз: XЖәне Ы, пішіннің таралу қатарымен көрсетілген

X
Р	0,1	0,8	0,1

Ы
б	0,5	0,5

Біз табамыз М(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, М(Ы) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Көріп отырғаныңыздай, екі шаманың да математикалық күтулері тең, бірақ Х.М(X) кездейсоқ шаманың әрекетін жақсы сипаттайды, оның ең ықтимал мәні (және қалған мәндер 50-ден көп айырмашылығы жоқ), содан кейін мәндер Ыайтарлықтай жойылды М(Ы). Сондықтан, математикалық күтумен қатар, кездейсоқ шаманың мәндері одан қаншалықты ауытқығанын білген жөн. Бұл көрсеткішті сипаттау үшін дисперсия қолданылады.

Анықтама 7.5.Дисперсия (шашырау)Кездейсоқ шама – оның математикалық күтуінен ауытқу квадратының математикалық күтуі:

D(X) = М (X-M(X))². (7.6)

Кездейсоқ шаманың дисперсиясын табайық X(таңдалғандар арасындағы стандартты бөліктердің саны) осы дәрістің 1-мысалында. Әрбір мүмкін мәннің математикалық күтуден квадраттық ауытқуын есептейік:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Демек,

Ескерту 1.Дисперсияны анықтау кезінде орташа мәннен ауытқудың өзі емес, оның квадраты бағаланады. Бұл әртүрлі белгілердің ауытқулары бірін-бірі жоққа шығармау үшін жасалады.

Ескерту 2.Дисперсиялық анықтамадан бұл шама тек теріс емес мәндерді қабылдайтыны шығады.

Ескерту 3.Дисперсияны есептеудің есептеулер үшін ыңғайлы формуласы бар, оның дұрыстығы келесі теоремада дәлелденген:

Теорема 7.1.D(X) = М(X²) - М²( X). (7.7)

Дәлелдеу.

Нені пайдаланып М(X) тұрақты шама болып табылады және математикалық күтудің қасиеттерін (7.6) формуланы мына түрге түрлендіреміз:

D(X) = М(X-M(X))² = М(X² - 2 X?M(X) + М²( X)) = М(X²) - 2 М(X)?М(X) + М²( X) =

= М(X²) - 2 М²( X) + М²( X) = М(X²) - М²( X), бұл дәлелдеуді қажет етті.

Мысал. Кездейсоқ шамалардың дисперсиясын есептейік XЖәне Ыосы бөлімнің басында талқыланады. М(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

М(Ы) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Демек, екінші кездейсоқ шаманың дисперсиясы біріншісінің дисперсиясынан бірнеше мың есе артық. Осылайша, бұл шамалардың таралу заңдарын білмей-ақ, белгілі дисперсия мәндеріне сүйене отырып, біз мынаны айта аламыз: Xүшін, ал оның математикалық күтуінен аз ауытқиды Ыбұл ауытқу айтарлықтай маңызды.

Дисперсиялық қасиеттері.

1) Дисперсия тұрақты мән МЕНнөлге тең:

D (C) = 0. (7.8)

Дәлелдеу. D(C) = М((СМ(C))²) = М((C-C)²) = М(0) = 0.

2) Тұрақты коэффициентті квадраттау арқылы дисперсия белгісінен шығаруға болады:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Дәлелдеу. D(CX) = М((CX-M(CX))²) = М((CX-CM(X))²) = М(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) Екі тәуелсіз кездейсоқ шама қосындысының дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең:

D(X+Y) = D(X) + D(Ы). (7.10)

Дәлелдеу. D(X+Y) = М(X² + 2 XY + Ы²) - ( М(X) + М(Ы))² = М(X²) + 2 М(X)М(Ы) +

+ М(Ы²) - М²( X) - 2М(X)М(Ы) - М²( Ы) = (М(X²) - М²( X)) + (М(Ы²) - М²( Ы)) = D(X) + D(Ы).

Қорытынды 1.Бірнеше өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындысының дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең.

Қорытынды 2.Тұрақты шама мен кездейсоқ шама қосындысының дисперсиясы кездейсоқ шаманың дисперсиясына тең.

4) Екі тәуелсіз кездейсоқ шама арасындағы айырмашылықтың дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең:

D(X-Y) = D(X) + D(Ы). (7.11)

Дәлелдеу. D(X-Y) = D(X) + D(-Ы) = D(X) + (-1)² D(Ы) = D(X) + D(X).

Дисперсия кездейсоқ шаманың орташа мәннен квадраттық ауытқуының орташа мәнін береді; Ауытқудың өзін бағалау үшін стандартты ауытқу деп аталатын мән қолданылады.

Анықтама 7.6.Стандартты ауытқуσ кездейсоқ шама Xдисперсияның квадрат түбірі деп аталады:

Мысал. Алдыңғы мысалда стандартты ауытқулар XЖәне Ысәйкесінше тең

DSV сипаттамалары және олардың қасиеттері. Күту, дисперсия, стандартты ауытқу

Бөлу заңы кездейсоқ шаманы толық сипаттайды. Дегенмен, таралу заңын табу мүмкін болмағанда немесе бұл талап етілмесе, сіз кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары деп аталатын мәндерді табумен шектеле аласыз. Бұл мәндер кездейсоқ шаманың мәндері топтастырылған кейбір орташа мәнді және олардың осы орташа мәннің айналасында шашырау дәрежесін анықтайды.

Математикалық күтуДискретті кездейсоқ шама - бұл кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің және олардың ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысы.

Теңдіктің оң жағындағы қатар абсолютті жинақталса, математикалық күту бар.

Ықтималдылық тұрғысынан математикалық күту кездейсоқ шаманың байқалған мәндерінің орташа арифметикалық мәніне шамамен тең деп айтуға болады.

Мысал. Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы белгілі. Математикалық күтуді табыңыз.

X
б	0.2	0.3	0.1	0.4

Шешімі:

9.2 Математикалық күтудің қасиеттері

1. Тұрақты шаманың математикалық күтуі тұрақтының өзіне тең.

2. Тұрақты коэффициентті математикалық күтудің белгісі ретінде шығаруға болады.

3. Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең.

Бұл қасиет кездейсоқ шамалардың ерікті санына қатысты.

4. Екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық күтуі терминдердің математикалық күтулерінің қосындысына тең.

Бұл қасиет кездейсоқ шамалардың ерікті саны үшін де дұрыс.

n тәуелсіз сынақ орындалсын, А оқиғасының пайда болу ықтималдығы p-ке тең.

Теорема. n тәуелсіз сынақта А оқиғасының пайда болу санының M(X) математикалық күтуі сынақтар саны мен әрбір сынақта оқиғаның пайда болу ықтималдығының көбейтіндісіне тең.

Мысал. X және Y математикалық күтулері белгілі болса, Z кездейсоқ шамасының математикалық күтуін табыңыз: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Шешімі:

9.3 Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы

Дегенмен, математикалық күтуді толық сипаттай алмайды кездейсоқ процесс. Математикалық күтуден басқа кездейсоқ шама мәндерінің математикалық күтуден ауытқуын сипаттайтын мәнді енгізу қажет.

Бұл ауытқу кездейсоқ шама мен оның математикалық күтуінің айырмашылығына тең. Бұл жағдайда ауытқудың математикалық күтуі нөлге тең болады. Бұл кейбір мүмкін ауытқулардың оң, басқаларының теріс болуымен түсіндіріледі және олардың өзара жойылуы нәтижесінде нөл алынады.

Дисперсия (шашырау)дискретті кездейсоқ шама – кездейсоқ шаманың оның математикалық күтуінен квадраттық ауытқуының математикалық күтуі.

Практикада дисперсияны есептеудің бұл әдісі ыңғайсыз, өйткені әкеледі үлкен мөлшерлеркездейсоқ шаманың мәндері қиын есептеулерге.

Сондықтан басқа әдіс қолданылады.

Теорема. Дисперсия Х кездейсоқ шамасының квадратының математикалық күтуі мен оның математикалық күтуінің квадратының арасындағы айырмаға тең..

Дәлелдеу. М(Х) математикалық күту мен М2(Х) математикалық күтудің квадраты тұрақты шамалар екенін ескере отырып, мынаны жазуға болады:

Мысал. Бөлу заңымен берілген дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясын табыңыз.

X
X 2
Р	0.2	0.3	0.1	0.4

Шешімі: .

9.4 Дисперсиялық қасиеттер

1. Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең. .

2. Тұрақты коэффициентті квадраттау арқылы дисперсия белгісінен шығаруға болады. .

3. Екі тәуелсіз кездейсоқ шама қосындысының дисперсиясы осы айнымалылардың дисперсияларының қосындысына тең. .

4. Екі тәуелсіз кездейсоқ шама арасындағы айырмашылықтың дисперсиясы осы айнымалылардың дисперсияларының қосындысына тең. .

Теорема. Әрқайсысында оқиғаның пайда болу ықтималдығы p тұрақты болып табылатын n тәуелсіз сынақта А оқиғасының пайда болу санының дисперсиясы сынақтар санының пайда болу ықтималдығы мен болмауының көбейтіндісіне тең. әрбір сынақта оқиғаның болуы.

9.5 Дискретті кездейсоқ шаманың стандартты ауытқуы

Стандартты ауытқу X кездейсоқ шама дисперсияның квадрат түбірі деп аталады.

Теорема. Өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың соңғы санының қосындысының стандартты ауытқуы осы айнымалылардың стандартты ауытқуларының квадраттарының қосындысының квадрат түбіріне тең.

1. Тұрақты шаманың математикалық күтуі тұрақтының өзіне тең M(S)=C .
2. Тұрақты коэффициентті математикалық күту белгісінен шығаруға болады: M(CX)=CM(X)
3. Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық күтуі терминдердің математикалық күтулерінің қосындысына тең: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Теорема. n тәуелсіз сынақта А оқиғаларының пайда болу санының математикалық күтуі M(x) осы сынақтардың әрбір сынақта оқиғалардың пайда болу ықтималдығының көбейтіндісіне тең: M(x) = np.

Болсын X - кездейсоқ шама және M(X) – оның математикалық күтуі. Жаңа кездейсоқ шама ретінде айырмашылықты қарастырайық X - M(X).

Ауытқу – кездейсоқ шама мен оның математикалық күтуінің айырмашылығы.

Ауытқудың келесі таралу заңы бар:

Шешуі: Математикалық күтуді табайық:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Квадраттық ауытқудың таралу заңын жазайық:

Шешуі: M(x)-ның математикалық күтуін табайық: M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5

Х 2 кездейсоқ шамасының таралу заңын жазайық

X 2
П	0.1	0.6	0.3

Математикалық күтуді табайық M(x 2):M(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Қажетті дисперсия D(x)=M(x 2)- 2 =13,3-(3,5) 2 =1,05

Дисперсиялық қасиеттері:

1. Тұрақты шаманың дисперсиясы МЕН нөлге тең: D(C)=0
2. Тұрақты коэффициентті квадраттау арқылы дисперсия белгісінен шығаруға болады. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындысының дисперсиясы осы айнымалылардың дисперсияларының қосындысына тең. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Дисперсия биномдық үлестірімсынақтар санының көбейтіндісіне және бір сынақта оқиғаның пайда болу және болмау ықтималдылығына тең D(X)=npq

Кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің оның орташа мәнінің айналасында дисперсиясын бағалау үшін дисперсиядан басқа кейбір басқа сипаттамалар да қолданылады. Оларға стандартты ауытқу жатады.

Кездейсоқ шаманың стандартты ауытқуы Xдисперсияның квадрат түбірі деп аталады:

σ(X) = √D(X) (4)

Мысал. Кездейсоқ шама Х үлестіру заңымен берілген

X
П	0.1	0.4	0.5

Стандартты ауытқуды табыңыз σ(x)

Шешуі: Х-тің математикалық үмітін табайық: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
X 2-нің математикалық үмітін табайық: M(x 2)=2 2 0,1+3 2 0,4+10 2 0,5=54
Дисперсияны табайық: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6,4 2 =13,04
Қажетті стандартты ауытқу σ(X)=√D(X)=√13,04≈3,61

Теорема. Өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың соңғы санының қосындысының стандартты ауытқуы осы айнымалылардың стандартты ауытқуларының квадраттарының қосындысының квадрат түбіріне тең:

Мысал. Сөреде 6 кітап, математикадан 3 кітап және физикадан 3 кітап бар. Үш кітап кездейсоқ таңдалады. Таңдалған кітаптар арасында математика бойынша кітаптар санының таралу заңын табыңыз. Осы кездейсоқ шаманың математикалық күтуін және дисперсиясын табыңыз.

D(X)= M(X 2) - M(X) 2 = 2,7 – 1,5 2 = 0,45

Кездейсоқ айнымалыКездейсоқ себептерге байланысты әрбір сынақтың нәтижесінде бұрын белгісіз бір мән алатын айнымалы шама деп аталады. Кездейсоқ шамалар латынның бас әріптерімен белгіленеді: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Түріне қарай кездейсоқ шама болуы мүмкін. дискреттіЖәне үздіксіз.

Дискретті кездейсоқ шама- бұл кездейсоқ шама, оның мәндері есептелетін, яғни ақырлы немесе есептелетін шамадан аспауы мүмкін. Есептеу деп біз кездейсоқ шаманың мәндерін нөмірлеуге болатындығын айтамыз.

1-мысал . Мұнда дискретті кездейсоқ шамалардың мысалдары берілген:

а) $n$ ату арқылы нысанаға тиген соққылар саны, мұнда мүмкін мәндер $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) монетаны лақтыру кезінде төмендеген эмблемалар саны, мұнда мүмкін мәндер $0,\ 1,\\нүктелер,\n$.

в) бортқа келген кемелер саны (мәндердің есептелетін жиынтығы).

d) АТС-ке келіп түсетін қоңыраулар саны (мәндердің есептелетін жиыны).

1. Дискретті кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірім заңы.

$X$ дискретті кездейсоқ шама $x_1,\dots,\ x_n$ мәндерін $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ ықтималдықтарымен қабылдай алады. Бұл мәндер мен олардың ықтималдықтарының арасындағы сәйкестік деп аталады дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы. Әдетте, бұл сәйкестік кесте арқылы көрсетіледі, оның бірінші жолында $x_1,\dots ,\ x_n$ мәндері көрсетіледі, ал екінші жолда $p_1,\dots ,\ p_n$ сәйкес келетін ықтималдықтар бар. бұл құндылықтар.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \нүктелер & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \нүктелер & p_n \\
\hline
\end(массив)$

2-мысал . Кездейсоқ шама $X$ шамасын лақтырған кезде алынған ұпайлар саны болсын. Мұндай кездейсоқ шама $X$ келесі мәндерді қабылдай алады: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Барлық осы мәндердің ықтималдығы $1/6$ тең. Сонда $X$ кездейсоқ шамасының ықтималдық таралу заңы:

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(массив)$

Түсініктеме. $X$ дискретті кездейсоқ шамасының таралу заңында $1,\ 2,\ \нүктелер ,\ 6$ оқиғалары оқиғалардың толық тобын құрайтындықтан, онда ықтималдықтардың қосындысы біреуге тең болуы керек, яғни $ \sum(p_i)=1$.

2. Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуі.

Кездейсоқ шаманы күтуоның «орталық» мағынасын белгілейді. Дискретті кездейсоқ шама үшін математикалық күту $x_1,\dots ,\ x_n$ мәндерінің және осы мәндерге сәйкес келетін $p_1,\dots,\ p_n$ ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысы ретінде есептеледі, яғни : $M\сол(X\оң)=\сома ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Ағылшын тіліндегі әдебиеттерде $E\left(X\right)$ басқа белгісі қолданылады.

Математикалық күтудің қасиеттері$M\сол(X\оң)$:

1. $M\left(X\right)$ ең кіші және арасында орналасқан ең жоғары мәндер$X$ кездейсоқ шама.
2. Тұрақты шаманың математикалық күтуі тұрақтының өзіне тең, яғни. $M\сол(C\оң)=C$.
3. Тұрақты коэффициентті математикалық күтудің белгісінен шығаруға болады: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Кездейсоқ шамалардың қосындысының математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің қосындысына тең: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

3-мысал . $2$ мысалынан $X$ кездейсоқ шамасының математикалық күтуін табайық.

$$M\сол(X\оң)=\қосынды^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\(6))+2\cdot ((1)\(6) үстінде )+3\cdot ((1)\(6) үстінде)+4\cdot ((1)\(6) үстінде)+5\cdot ((1)\(6) үстінде)+6\cdot ((1) )\артық (6))=3,5.$$

$M\left(X\right)$ $X$ кездейсоқ шамасының ең кіші ($1$) және ең үлкен ($6$) мәндерінің арасында жатқанын байқаймыз.

4-мысал . $X$ кездейсоқ шамасының математикалық күтуі $M\left(X\right)=2$ тең екені белгілі. $3X+5$ кездейсоқ шамасының математикалық күтуін табыңыз.

Жоғарыдағы қасиеттерді пайдалана отырып, $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ аламыз. cdot 2 +5=$11.

5-мысал . $X$ кездейсоқ шамасының математикалық күтуі $M\left(X\right)=4$ тең екені белгілі. $2X-9$ кездейсоқ шамасының математикалық күтуін табыңыз.

Жоғарыдағы қасиеттерді пайдалана отырып, $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ аламыз. cdot 4 -9=-1$.

3. Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы.

Математикалық күтулері бірдей кездейсоқ шамалардың мүмкін мәндері олардың орташа мәндерінің айналасында әртүрлі дисперсті болуы мүмкін. Мысалы, екі студенттік топта орта баллықтималдықтар теориясы бойынша емтихан үшін ол 4-ке тең болды, бірақ бір топта барлығы жақсы студенттер болып шықты, ал екінші топта тек С және үздік студенттер болды. Сондықтан кездейсоқ шаманың сандық сипаттамасының қажеттілігі туындайды, ол кездейсоқ шаманың мәндерінің оның математикалық күтуінің айналасында таралуын көрсетеді. Бұл қасиет дисперсия болып табылады.

Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы$X$ мынаған тең:

$$D\сол(X\оң)=\қосынды^n_(i=1)(p_i(\сол(x_i-M\сол(X\оң)\оң))^2).\ $$

Ағылшын әдебиетінде $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ белгісі қолданылады. Көбінесе $D\left(X\right)$ дисперсиясы $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) формуласы арқылы есептеледі. солға(X \оңға)\оңға))^2$.

Дисперсиялық қасиеттер$D\сол(X\оң)$:

1. Дисперсия әрқашан нөлден үлкен немесе оған тең, яғни. $D\сол(X\оң)\ge 0$.
2. Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең, яғни. $D\сол(C\оң)=0$.
3. Тұрақты факторды дисперсия белгісінен шығаруға болады, егер оның квадраты болса, яғни. $D\сол(CX\оң)=C^2D\сол(X\оң)$.
4. Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындысының дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең, яғни. $D\сол(X+Y\оң)=D\сол(X\оң)+D\сол(Y\оң)$.
5. Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың айырмашылығының дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең, яғни. $D\сол(X-Y\оң)=D\сол(X\оң)+D\сол(Y\оң)$.

6-мысал . $2$ мысалынан $X$ кездейсоқ шамасының дисперсиясын есептейік.

$$D\сол(X\оң)=\қосынды^n_(i=1)(p_i(\сол(x_i-M\сол(X\оң)\оң))^2)=((1)\үстінде (6))\cdot (\сол(1-3,5\оң))^2+((1)\(6) үстінде)\cdot (\сол(2-3,5\оң))^2+ \нүкте +( (1)\(6))\cdot (\сол(6-3,5\оң))^2=((35)\(12))\шамамен 2,92.$$

7-мысал . $X$ кездейсоқ шамасының дисперсиясы $D\left(X\right)=2$ тең екені белгілі. $4X+1$ кездейсоқ шамасының дисперсиясын табыңыз.

Жоғарыдағы қасиеттерді пайдалана отырып, $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ сол(X\оң)=16\cdot 2=32$.

8-мысал . $X$ кездейсоқ шамасының дисперсиясы $D\left(X\right)=3$ тең екені белгілі. $3-2X$ кездейсоқ шамасының дисперсиясын табыңыз.

Жоғарыдағы қасиеттерді пайдалана отырып, $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ сол(X\оң)=4\cdot 3=12$.

4. Дискретті кездейсоқ шаманың таралу функциясы.

Дискретті кездейсоқ шаманы үлестірім қатары түрінде көрсету әдісі жалғыз емес, ең бастысы, ол әмбебап емес, өйткені үзіліссіз кездейсоқ шаманы үлестіру қатары арқылы көрсету мүмкін емес. Кездейсоқ шаманы бейнелеудің тағы бір жолы бар – тарату функциясы.

Тарату функциясы$X$ кездейсоқ шама $F\left(x\right)$ функциясы деп аталады, ол $X$ кездейсоқ шамасының $x$ қандай да бір тұрақты мәннен кіші мәнді қабылдау ықтималдығын анықтайды, яғни $F\ сол(x\оң )=P\сол(X< x\right)$

Бөлу функциясының қасиеттері:

1. $0\le F\left(x\оң)\le 1$.
2. $X$ кездейсоқ шамасының $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ интервалынан мән алу ықтималдығы осының соңындағы үлестіру функциясының мәндерінің айырмашылығына тең. аралығы: $P\left(\альфа< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - кемімейтін.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\ to +\infty ) F\left(x) \right)=1\ )$.

9-мысал . $2$ мысалынан $X$ дискретті кездейсоқ шамасының таралу заңы үшін $F\left(x\right)$ тарату функциясын табайық.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(массив)$

Егер $x\le 1$ болса, онда, анық, $F\left(x\right)=0$ (соның ішінде $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Егер $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Егер $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Егер $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Егер $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Егер $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

$x > 6$ болса, $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\оң) +P\сол(X=4\оң)+P\сол(X=5\оң)+P\сол(X=6\оң)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Сонымен $F(x)=\left\(\бастау(матрица)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,\ 1< x\le 2,\\
1/3, \ at\ 2< x\le 3,\\
1/2,\ 3< x\le 4,\\
2/3, \ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ at\ 4< x\le 5,\\
1, \ үшін\ x > 6.
\соңы(матрица)\оңға.$

Дискретті ықтималдық кеңістігінде берілген Х кездейсоқ шамасының математикалық күтуі (орташа мәні), егер қатар абсолютті жинақталса, m =M[X]=∑x i p i саны.

Қызметтің мақсаты. Онлайн қызметін пайдалану математикалық күту, дисперсия және стандартты ауытқу есептеледі(мысалды қараңыз). Сонымен қатар F(X) таралу функциясының графигі салынған.

Кездейсоқ шаманың математикалық күтуінің қасиеттері

1. Тұрақты шаманың математикалық күтуі өзіне тең: M[C]=C, C – тұрақты;
2. M=C M[X]
3. Кездейсоқ шамалардың қосындысының математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің қосындысына тең: M=M[X]+M[Y]
4. Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең: M=M[X] M[Y] , егер X және Y тәуелсіз болса.

Дисперсиялық қасиеттер

1. Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең: D(c)=0.
2. Тұрақты коэффициентті дисперсия белгісінің астынан квадраттап шығаруға болады: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Егер X және Y кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда қосындының дисперсиясы дисперсиялардың қосындысына тең болады: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Егер X және Y кездейсоқ шамалары тәуелді болса: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Келесі есептеу формуласы дисперсия үшін жарамды:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Мысал. X және Y екі тәуелсіз кездейсоқ шамалардың математикалық күтулері мен дисперсиялары белгілі: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 кездейсоқ шамасының математикалық күтуін және дисперсиясын табыңыз.
Шешім. Математикалық күтудің қасиеттеріне сүйене отырып: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Дисперсия қасиеттеріне қарай: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Математикалық күтуді есептеу алгоритмі

Дискретті кездейсоқ шамалардың қасиеттері: олардың барлық мәндерін қайта нөмірлеуге болады натурал сандар; Әрбір мәнге нөлдік емес ықтималдықты тағайындаңыз.

1. Біз жұптарды бір-бірден көбейтеміз: x i - p i .
2. Әрбір жұптың көбейтіндісін қосыңыз x i p i .
   Мысалы, n = 4 үшін: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу функциясыкезең-кезеңімен, ықтималдықтары оң болатын нүктелерде кенет өседі.

№1 мысал.

x i	1	3	4	7	9
p i	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

m = ∑x i p i формуласы арқылы математикалық күтуді табамыз.
Күту M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Дисперсияны d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 формуласы арқылы табамыз.
D[X] дисперсиясы.
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Стандартты ауытқу σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78

№2 мысал. Дискретті кездейсоқ шаманың келесі таралу қатары болады:

X	-10	-5	0	5	10
Р	А	0,32	2а	0,41	0,03

Осы кездейсоқ шаманың а мәнін, математикалық күтуін және стандартты ауытқуын табыңыз.

Шешім. а мәні мына қатынастан табылады: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 немесе 0,24=3 a , мұндағы a = 0,08

№3 мысал. Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңын анықтаңыз, егер оның дисперсиясы белгілі болса және x 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Шешім.
Мұнда d(x) дисперсиясын табу формуласын құру керек:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
мұндағы күту m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Біздің деректеріміз үшін
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1х 3) 2
немесе -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Сәйкесінше, теңдеудің түбірлерін табуымыз керек және олардың екеуі болады.
x 3 =8, x 3 =12
x 1 шартын қанағаттандыратын біреуін таңдаңыз x 3 =12

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3