Дискретті кездейсоқ шаманың биномдық таралуы. Биномдық үлестірім биномдық үлестірудің тудырушы функциясы

Осы және келесі бірнеше мақалада біз кездейсоқ оқиғалардың математикалық модельдерін қарастырамыз. Математикалық моделькездейсоқ шаманы білдіретін математикалық өрнек. Дискретті кездейсоқ шамалар үшін бұл математикалық өрнек тарату функциясы ретінде белгілі.

Егер мәселе кездейсоқ шаманы білдіретін математикалық өрнекті анық жазуға мүмкіндік берсе, оның кез келген мәндерінің нақты ықтималдығын есептеуге болады. Бұл жағдайда тарату функциясының барлық мәндерін есептеп, тізімдеуге болады. Кездейсоқ шамалардың әртүрлі таралулары іскерлік, социологиялық және медициналық қолданбалы салаларда кездеседі. Ең пайдалы үлестірімдердің бірі биномдық болып табылады.

Биномдық үлестірімкелесі мүмкіндіктермен сипатталатын жағдайларды имитациялау үшін қолданылады.

• Үлгі элементтердің белгіленген санынан тұрады n, белгілі бір сынақтың нәтижелерін білдіреді.
• Әрбір үлгі элементі барлық үлгі кеңістігін пайдаланатын екі өзара ерекше санаттың біріне жатады. Әдетте бұл екі категория сәттілік және сәтсіздік деп аталады.
• Табысқа жету ықтималдығы Ртұрақты болып табылады. Демек, сәтсіздікке ұшырау ықтималдығы 1 – б.
• Кез келген сынақтың нәтижесі (яғни сәтті немесе сәтсіздігі) басқа сынақтың нәтижесіне байланысты емес. Нәтижелердің тәуелсіздігін қамтамасыз ету үшін үлгі элементтері әдетте екі түрлі әдіс арқылы алынады. Әрбір үлгі элементі шексіздіктен кездейсоқ алынған халыққайтарымсыз немесе қайтарымы бар шектеулі популяциядан.

Жазбаны немесе пішімінде жүктеп алыңыз, пішімдегі мысалдар

Биномдық үлестірім мыналардан тұратын таңдамадағы табыстар санын бағалау үшін қолданылады nбақылаулар. Мысал ретінде тапсырысты алайық. Саксон компаниясының тұтынушылары тапсырыс беру үшін интерактивті электронды нысанды пайдаланып, оны компанияға жібере алады. Содан кейін ақпараттық жүйе тапсырыстардағы қателерді, толық емес немесе дұрыс емес мәліметтерді тексереді. Қарастырылып отырған кез келген тапсырыс жалаушамен белгіленеді және күнделікті ерекшелік есебіне қосылады. Компания жинаған деректер тапсырыстардағы қателердің ықтималдығы 0,1 екенін көрсетеді. Компания берілген үлгідегі қате тапсырыстардың белгілі бір санын табу ықтималдығы қандай екенін білгісі келеді. Мысалы, тұтынушылар төртеуін аяқтады делік электрондық формалар. Барлық тапсырыстардың қатесіз болу ықтималдығы қандай? Бұл ықтималдықты қалай есептеу керек? Сәттілік арқылы біз пішінді толтыру кезіндегі қатені түсінеміз, ал қалған барлық нәтижелер сәтсіз болып саналады. Еске салайық, бізді берілген үлгідегі қате тапсырыстардың саны қызықтырады.

Біз қандай нәтижелерді көре аламыз? Егер үлгі төрт реттен тұрса, бір, екі, үш немесе төртеуі дұрыс емес және олардың барлығы дұрыс болуы мүмкін. Қате толтырылған пішіндердің санын сипаттайтын кездейсоқ шама кез келген басқа мәнді қабылдай ала ма? Бұл мүмкін емес, себебі қате пішіндердің саны үлгі өлшемінен аспауы керек nнемесе теріс болыңыз. Осылайша биномдық таралу заңына бағынатын кездейсоқ шама 0-ден дейінгі мәндерді қабылдайды n.

Төрт тапсырыс үлгісінде келесі нәтижелер байқалады деп есептейік:

Көрсетілген тәртіпте төрт тапсырыс үлгісінде үш қате бұйрықты табу ықтималдығы қандай? Алдын ала зерттеулер нысанды толтыру кезіндегі қатенің ықтималдығы 0,10 болатынын көрсеткендіктен, жоғарыда аталған нәтижелердің ықтималдығы келесідей есептеледі:

Нәтижелер бір-біріне тәуелді болмағандықтан, нәтижелердің көрсетілген реттілігінің ықтималдығы мынаған тең: p*p*(1–p)*p = 0,1*0,1*0,9*0,1 = 0,0009. Таңдаулар санын есептеу қажет болса X nэлементтер үшін комбинация формуласын (1) пайдалану керек:

қайда n! = n * (n –1) * (n – 2) * … * 2 * 1 - санның факториалы n, және 0! = 1 және 1! = 1 анықтамасы бойынша.

Бұл өрнек жиі деп аталады. Осылайша, егер n = 4 және X = 3 болса, 4 іріктеу өлшемінен алынған үш элементтен тұратын тізбектер саны келесі формуламен анықталады:

Сондықтан үш қате тапсырысты анықтау ықтималдығы келесідей есептеледі:

(Мүмкін тізбектер саны) *
(белгілі бір реттілік ықтималдығы) = 4 * 0,0009 = 0,0036

Сол сияқты, сіз төрт тапсырыстың арасында бір немесе екі қате болу ықтималдығын, сондай-ақ барлық тапсырыстар қате немесе барлығы дұрыс болу ықтималдығын есептей аласыз. Дегенмен, үлгі көлемінің ұлғаюымен nнәтижелердің белгілі бір тізбегінің ықтималдығын анықтау қиындай түседі. Бұл жағдайда таңдау санының биномдық таралуын сипаттайтын сәйкес математикалық модельді қолдану керек. Xбар таңдаудағы нысандар nэлементтері.

Биномдық үлестірім

Қайда P(X)- ықтималдық Xберілген үлгі өлшемі үшін табыс nжәне табысқа жету ықтималдығы Р, X = 0, 1, … n.

Формула (2) интуитивті қорытындылардың формализациясы екенін ескеріңіз. Кездейсоқ мән Xбиномдық үлестірімге бағынатын 0-ден бастап аралықта кез келген бүтін мәнді қабылдай алады n. Жұмыс РX(1 – б)n – Xтұратын белгілі бір реттілік ықтималдығын білдіреді Xтең үлгі көлеміндегі табыс n. Мән тұратын мүмкін комбинациялар санын анықтайды Xтабысты nсынақтар. Сондықтан берілген сынақтар саны үшін nжәне табысқа жету ықтималдығы Ртұратын тізбектің ықтималдығы Xтабыс, тең

P(X) = (мүмкін тізбектер саны) * (белгілі бір реттілік ықтималдығы) =

(2) формуланың қолданылуын суреттейтін мысалдарды қарастырайық.

1. Пішінді қате толтыру ықтималдығы 0,1 деп алайық. Толтырылған төрт пішіннің ішінде үшеуі дұрыс емес болу ықтималдығы қандай? (2) формуланы пайдалана отырып, біз төрт реттен тұратын үлгідегі үш қате тапсырысты анықтау ықтималдығы тең екенін табамыз.

2. Пішінді қате толтыру ықтималдығы 0,1 деп алайық. Толтырылған төрт пішіннің ішінде кем дегенде үшеуі дұрыс емес болу ықтималдығы қандай? Алдыңғы мысалда көрсетілгендей, төрт толтырылған пішіннің ішінде үшеуінің қате болу ықтималдығы 0,0036. Төрт толтырылған пішіннің ішінде кемінде үшеуі дұрыс емес болу ықтималдығын есептеу үшін толтырылған төрт пішіннің ішінде үшеуі дұрыс емес болу ықтималдығын және төрт толтырылған пішіннің ішінде барлығы дұрыс емес болу ықтималдығын қосу керек. Екінші оқиғаның ықтималдығы

Осылайша, толтырылған төрт пішіннің ішінде кем дегенде үшеуі дұрыс емес болу ықтималдығы тең

P(X > 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,0036 + 0,0001 = 0,0037

3. Пішінді қате толтыру ықтималдығы 0,1 деп алайық. Толтырылған төрт пішіннің үшеуінен кемі дұрыс емес болу ықтималдығы қандай? Бұл оқиғаның ықтималдығы

P(X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

(2) формуланы пайдаланып, осы ықтималдықтардың әрқайсысын есептейміз:

Сондықтан P(X< 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.

Ықтималдық P(X< 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х>3. Содан кейін P(X< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.

Үлгі мөлшері артқан сайын n 3-мысалдағыға ұқсас есептеулер қиынға соғады. Бұл асқынуларды болдырмау үшін көптеген биномдық ықтималдықтарды алдын ала кестеге келтіреді. Бұл ықтималдықтардың кейбірі суретте көрсетілген. 1. Мысалы, ықтималдығын алу үшін X= 2 кезінде n= 4 және б= 0,1, кестеден сызықтың қиылысындағы санды шығарып алу керек X= 2 және бағандар Р = 0,1.

Күріш. 1. Биномдық ықтималдық кезінде n = 4, X= 2 және Р = 0,1

Биномдық үлестіруді Excel функциясының =BINOM.DIST() көмегімен есептеуге болады (2-сурет), оның 4 параметрі бар: табыстар саны - X, сынақтар саны (немесе үлгі өлшемі) – n, табыс ықтималдығы – Р, параметр ажырамас, ол TRUE мәнін қабылдайды (бұл жағдайда ықтималдық есептеледі аз емес Xоқиғалар) немесе ЖАЛҒАН (бұл жағдайда ықтималдық есептеледі дәл Xоқиғалар).

Күріш. 2. Функция параметрлері =BINOM.DIST()

Жоғарыда келтірілген үш мысал үшін есептеулер суретте көрсетілген. 3 (сонымен қатар Excel файлын қараңыз). Әрбір баған бір формуладан тұрады. Сандар сәйкес санның мысалдарына жауаптарды көрсетеді).

Күріш. 3. Excel бағдарламасында биномдық үлестірімді есептеу n= 4 және б = 0,1

Биномдық үлестірімнің қасиеттері

Биномдық үлестірім параметрлерге байланысты nЖәне Р. Биномдық таралу симметриялы немесе асимметриялық болуы мүмкін. Егер p = 0,05 болса, биномдық үлестірім параметр мәніне қарамастан симметриялы болады. n. Алайда, егер p ≠ 0,05 болса, үлестірім бұрмаланады. Параметр мәні неғұрлым жақын болады Р 0,05-ке дейін және үлгі өлшемі неғұрлым үлкен болса n, бөлудің асимметриясы азырақ көрінеді. Осылайша, қате толтырылған бланкілер санының таралуы оңға қарай қисайғандықтан б= 0,1 (Cурет 4).

Күріш. 4. Биномдық таралу гистограммасы n= 4 және б = 0,1

Биномдық үлестіруді күтуүлгі көлемінің көбейтіндісіне тең nтабысқа жету ықтималдығы туралы Р:

(3) M = E(X) =п.п.

Орташа алғанда, төрт реттен тұратын үлгідегі сынақтардың жеткілікті ұзақ сериясымен p = E(X) = 4 x 0,1 = 0,4 қате толтырылған пішін болуы мүмкін.

Биномдық үлестірімнің стандартты ауытқуы

Мысалы, бухгалтерлік есепте қате толтырылған бланкілер санының стандартты ауытқуы ақпараттық жүйетең:

Levin et al. Statistics for Managers кітабының материалдары пайдаланылады. – М.: Уильямс, 2004. – б. 307–313

Барлық құбылыстар 1, 2, 3... 100500... сияқты сандық шкала бойынша өлшенбейді... Құбылыс әрқашан әртүрлі күйлердің шексіз немесе көп санын қабылдай алмайды. Мысалы, адамның жынысы M немесе F болуы мүмкін. Атқыш нысанаға тиеді немесе жіберіп алады. Сіз «Қолдап» немесе «Қарсы» және т.б. дауыс бере аласыз. және т.б. Басқаша айтқанда, мұндай деректер балама атрибуттың күйін көрсетеді - не «иә» (оқиға орын алды) немесе «жоқ» (оқиға болған жоқ). Болған оқиға (оң нәтиже) «табыс» деп те аталады.

Мұндай деректермен эксперименттер деп аталады Бернулли схемасы, қашан екенін анықтаған әйгілі швейцариялық математиктің құрметіне үлкен мөлшерлерсынақтар, оң нәтижелер мен сынақтардың жалпы санының арақатынасы осы оқиғаның пайда болу ықтималдығына бейім.

Баламалы сипаттамалық айнымалы

Талдауда математикалық аппаратты пайдалану үшін мұндай бақылаулардың нәтижелерін жазу керек сандық форма. Ол үшін оң нәтижеге 1 саны, теріс нәтижеге - 0 беріледі. Басқаша айтқанда, біз тек екі мәнді қабылдай алатын айнымалымен айналысамыз: 0 немесе 1.

Бұдан қандай пайда алуға болады? Шын мәнінде, қарапайым деректерден кем емес. Осылайша, оң нәтижелердің санын есептеу оңай - барлық мәндерді қорытындылау жеткілікті, яғни. барлығы 1 (сәттілік). Сіз әрі қарай жүре аласыз, бірақ бұл сізге бірнеше белгілерді енгізуді талап етеді.

Ең алдымен, оң нәтижелердің (1-ге тең) пайда болу ықтималдығы бар екенін атап өту керек. Мысалы, тиынды лақтырған кезде бас алу ½ немесе 0,5 құрайды. Бұл ықтималдық дәстүрлі түрде латын әрпімен белгіленеді б. Демек, балама оқиғаның орын алу ықтималдығы тең 1 - б, ол да белгіленеді q, яғни q = 1 – б. Бұл белгілерді айнымалы таралу кестесі түрінде нақты жүйелеуге болады X.

Біз мүмкін мәндер мен олардың ықтималдықтарының тізімін алдық. Есептеуге болады күтілетін мән Және дисперсия. Күту - бұл барлық мүмкін мәндердің және олардың сәйкес ықтималдықтарының көбейтінділерінің қосындысы:

Жоғарыдағы кестелердегі белгілерді пайдаланып күтуді есептейік.

Баламалы белгінің математикалық күтуі осы оқиғаның ықтималдығына тең екені белгілі болды - б.

Енді альтернативті атрибуттың дисперсиясы қандай екенін анықтайық. Дисперсия – математикалық күтуден ауытқудың орташа квадраты. Жалпы формула(дискретті деректер үшін) келесі пішінге ие:

Демек, альтернативті атрибуттың дисперсиясы:

Бұл дисперсияның максимум 0,25 (бар p=0,5).

Стандартты ауытқу дисперсияның түбірі болып табылады:

Максималды мән 0,5-тен аспайды.

Көріп отырғаныңыздай, баламалы атрибуттың математикалық күтуі де, дисперсиясы да өте жинақы пішінге ие.

Кездейсоқ шаманың биномдық таралуы

Жағдайды басқа қырынан қарастырайық. Шынында да, бір лақтырғанда бастың орташа шығыны 0,5 болатыны кімге алаңдайды? Тіпті елестету де мүмкін емес. Берілген лақтырулар саны үшін пайда болатын бастардың саны туралы сұрақ қою қызықтырақ.

Басқаша айтқанда, зерттеушіні көбінесе сәтті оқиғалардың белгілі бір санының болу ықтималдығы қызықтырады. Бұл тексерілген партиядағы ақаулы өнімдердің саны (1 – ақаулы, 0 – жақсы) немесе қалпына келтіру саны (1 – сау, 0 – ауру) және т.б. Мұндай «табыстар» саны айнымалының барлық мәндерінің қосындысына тең болады X, яғни. жалғыз нәтижелер саны.

Кездейсоқ мән Ббиномдық деп аталады және 0-ден дейінгі мәндерді қабылдайды n(сағ Б= 0 – барлық бөліктер жарамды, бар Б = n– барлық бөлшектер ақаулы). Барлық құндылықтар деп болжанады xбір-бірінен тәуелсіз. Биномдық айнымалының негізгі сипаттамаларын қарастырайық, яғни оның математикалық күтуін, дисперсиясын және таралуын орнатамыз.

Биномдық айнымалыны күту өте оңай. Шамалардың қосындысының математикалық күтуі әрбір қосылған шаманың математикалық күтулерінің қосындысы болып табылады және ол барлығына бірдей, сондықтан:

Мысалы, 100 лақтырылған бастар санының математикалық күтуі 100 × 0,5 = 50.

Енді биномдық айнымалының дисперсиясының формуласын шығарамыз. Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындысының дисперсиясы дисперсиялардың қосындысы болып табылады. Осы жерден

Сәйкесінше стандартты ауытқу

100 тиын лақтыру үшін бастар санының стандартты ауытқуы болып табылады

Соңында биномдық мәннің таралуын қарастырайық, яғни. кездейсоқ шаманың ықтималдығы Бәртүрлі құндылықтарды қабылдайды к, Қайда 0≤k≤n. Монета үшін бұл мәселе келесідей болуы мүмкін: 100 лақтырғанда 40 бас алу ықтималдығы қандай?

Есептеу әдісін түсіну үшін монета тек 4 рет лақтырылғанын елестетіңіз. Кез келген тарап әр уақытта құлап кетуі мүмкін. Біз өзімізге сұрақ қоямыз: 4 лақтырудан 2 бас алу ықтималдығы қандай? Әрбір лақтыру бір-бірінен тәуелсіз. Бұл кез келген комбинацияны алу ықтималдығы әрбір жеке лақтыру үшін берілген нәтиженің ықтималдығының көбейтіндісіне тең болатынын білдіреді. О бас болсын, П құйрық болсын. Сонда, мысалы, бізге сәйкес келетін комбинациялардың бірі OOPP сияқты көрінуі мүмкін, яғни:

Мұндай комбинацияның ықтималдығы бастардың алынуының екі ықтималдығының және бастардың алынбаудың тағы екі ықтималдығының көбейтіндісіне тең (кері оқиға, келесі түрде есептелген). 1 - б), яғни. 0,5×0,5×(1-0,5)×(1-0,5)=0,0625. Бұл бізге сәйкес келетін комбинациялардың бірінің ықтималдығы. Бірақ мәселе кейбір қырандар туралы емес, жалпы саны туралы болды белгілі бір тәртіпте. Содан кейін дәл 2 басы бар барлық комбинациялардың ықтималдығын қосу керек. Олардың барлығы бірдей екені анық (факторлар өзгерген кезде өнім өзгермейді). Сондықтан олардың санын есептеп, содан кейін кез келген осындай комбинацияның ықтималдығына көбейту керек. 2 бастың 4 лақтырылуының барлық комбинацияларын санап көрейік: RROO, RORO, ROOR, ORRO, OROR, OORR. Барлығы 6 нұсқа бар.

Демек, 4 лақтырғаннан кейін 2 басты алудың қалаған ықтималдығы 6×0,0625=0,375.

Алайда бұл жолмен санау жалықтырады. Қазірдің өзінде 10 монета үшін опциондардың жалпы санын дөрекі күшпен алу өте қиын болады. Сондықтан, ақылды адамдар бұрыннан әртүрлі комбинациялардың санын есептейтін формуланы ойлап тапты nэлементтері бойынша к, Қайда n- элементтердің жалпы саны; к– орналасу нұсқалары есептелетін элементтер саны. комбинация формуласы nэлементтері бойынша кбұл:

Комбинаторика бөлімінде де осындай жағдайлар орын алады. Өз білімін жетілдіргісі келетіндерді сонда жіберемін. Демек, биномдық үлестірімнің атауы (жоғарыдағы формула Ньютон биномының кеңеюінің коэффициенті).

Ықтималдылықты анықтау формуласын кез келген шамаға оңай жалпылауға болады nЖәне к. Нәтижесінде биномдық үлестірімнің формуласы келесі түрге ие болады.

Шартты қанағаттандыратын комбинациялар саны олардың біреуінің ықтималдығына көбейтіледі.

Практикалық қолдану үшін биномдық таралу формуласын білу жеткілікті. Немесе сіз тіпті білмеуіңіз мүмкін - төменде Excel көмегімен ықтималдықты қалай анықтау керектігін көрсетеміз. Бірақ білген жөн.

Осы формуланы пайдалана отырып, 100 лақтыруда 40 бас алу ықтималдығын есептейміз:

Немесе бар болғаны 1,08%. Салыстыру үшін, бұл эксперименттің математикалық күту ықтималдығы, яғни 50 бас, 7,96% тең. Биномдық шаманың максималды ықтималдығы математикалық күтуге сәйкес мәнге жатады.

Excel бағдарламасында биномдық таралу ықтималдығын есептеу

Егер сіз тек қағазды және калькуляторды пайдалансаңыз, онда интегралдардың жоқтығына қарамастан биномдық таралу формуласын қолданатын есептеулер өте қиын. Мысалы, мән 100! – 150-ден астам таңбадан тұрады. Бұрын және қазір де мұндай шамаларды есептеу үшін шамамен формулалар қолданылған. Қазіргі уақытта MS Excel сияқты арнайы бағдарламалық жасақтаманы қолданған жөн. Осылайша, кез келген қолданушы (тіпті оқыту бойынша гуманист) биномдық үлестірілген мәннің ықтималдығын оңай есептей алады. кездейсоқ шама.

Материалды біріктіру үшін біз қазір Excel бағдарламасын кәдімгі калькулятор ретінде қолданамыз, яғни. Биномдық таралу формуласын қолданып, кезең-кезеңімен есептеу жүргізейік. Мысалы, 50 бас алу ықтималдығын есептеп көрейік. Төменде есептеу қадамдары мен соңғы нәтиже бар сурет берілген.

Көріп отырғаныңыздай, аралық нәтижелер барлық жерде қолданылғанымен, олар ұяшыққа сәйкес келмейтін масштабта болады. қарапайым функциялартүрлері: FACTOR (факторлық есептеу), POWER (санды дәрежеге көтеру), сонымен қатар көбейту және бөлу операторлары. Оның үстіне, бұл есептеу өте ауыр, кез келген жағдайда ол жинақы емес, өйткені көптеген жасушалар қатысады. Иә, және оны бірден анықтау қиын.

Жалпы алғанда, Excel биномдық үлестірімнің ықтималдығын есептеуге арналған дайын функцияны ұсынады. Функция шақырылады BINOM.DIST.

Табыстар саны – сәтті сынақтар саны. Бізде олардың 50-і бар.

Тесттер саны – лақтырулар саны: 100 рет.

Табысқа жету ықтималдығы – бір лақтырғанда бастың пайда болу ықтималдығы 0,5.

Ажырамас – 1 немесе 0 көрсетіледі.Егер 0 болса, онда ықтималдық есептеледі P(B=k); егер 1 болса, онда биномдық таралу функциясы есептеледі, яғни. бастап барлық ықтималдықтардың қосындысы B=0бұрын B=kқоса алғанда.

OK түймесін басып, жоғарыдағыдай нәтижені алыңыз, тек барлығы бір функциямен есептелді.

Өте ыңғайлы. Тәжірибе үшін соңғы 0 параметрінің орнына 1 қоямыз. Біз 0,5398 аламыз. Бұл 100 тиын лақтырылған кезде 0 мен 50 арасындағы бастарды алу ықтималдығы 54% дерлік екенін білдіреді. Бірақ алғашында 50 пайыз болуы керек сияқты көрінді. Жалпы алғанда, есептеулер тез және оңай жасалады.

Нағыз талдаушы функцияның қалай әрекет ететінін түсінуі керек (оны бөлу дегеніміз не), сондықтан біз 0-ден 100-ге дейінгі барлық мәндер үшін ықтималдықтарды есептейміз. Яғни, біз сұрақ қоямыз: бір бүркіттің болмауының ықтималдығы қандай? пайда болады, 1 бүркіт пайда болады, 2, 3 , 50, 90 немесе 100. Есептеу келесі суретте көрсетілген. Көк сызық - биномдық үлестірімнің өзі, қызыл нүкте - k табыстардың белгілі бір санының ықтималдығы.

Биномдық үлестірім ұқсас па деген сұрақ туындауы мүмкін... Иә, өте ұқсас. Тіпті Мойвр (1733 жылы) үлкен үлгілері бар биномдық үлестірім жақындап келе жатқанын айтты (ол кезде оның қалай аталатынын білмеймін), бірақ оны ешкім тыңдамады. Тек Гаусс, содан кейін 60-70 жылдан кейін Лаплас ғана қайта ашылып, мұқият зерттелді. қалыпты заңбөлулер. Жоғарыда келтірілген график максималды ықтималдық математикалық күтуге түсетінін, ал одан ауытқыған сайын күрт төмендейтінін анық көрсетеді. Қалыпты заң сияқты.

Биномдық үлестірудің практикалық маңызы зор және жиі кездеседі. Excel көмегімен есептеулер тез және оңай жасалады.

Биномдық үлестірім дискретті өзгеретін кездейсоқ шаманың ең маңызды ықтималдық үлестірімдерінің бірі болып табылады. Биномдық үлестірім - бұл санның ықтималдық үлестірімі моқиғаның пайда болуы АВ nөзара тәуелсіз бақылаулар. Көбінесе оқиға Абақылаудың «табысы» деп аталады, ал қарама-қарсы оқиға «сәтсіздік» деп аталады, бірақ бұл белгілеу өте шартты.

Биномдық таралу шарттары:

• барлығы орындалды nоқиға болған сынақтар Аболуы мүмкін немесе болмауы мүмкін;
• оқиға Аәрбір сынақта бірдей ықтималдықпен орын алуы мүмкін б;
• сынақтар өзара тәуелсіз.

Оның ықтималдығы nсынау оқиғасы Адәл келеді мБернулли формуласы арқылы есептеуге болады:

Қайда б- оқиғаның болу ықтималдығы А;

q = 1 - б- қарама-қарсы оқиғаның орын алу ықтималдығы.

Оны анықтап көрейік Неліктен биномдық үлестірім Бернулли формуласымен жоғарыда сипатталған тәсілмен байланысты? . Оқиға – жетістіктер саны nсынақтар бірнеше нұсқаларға бөлінеді, олардың әрқайсысында табысқа қол жеткізіледі мсынақтар, және сәтсіздіктер - жылы n - мсынақтар. Осы нұсқалардың бірін қарастырайық - Б1 . Ықтималдықтарды қосу ережесін пайдаланып, қарама-қарсы оқиғалардың ықтималдықтарын көбейтеміз:

,

және белгілейтін болсақ q = 1 - б, Бұл

.

Кез келген басқа опция мтабыс және n - мсәтсіздіктер. Мұндай опциялардың саны мүмкін болатын жолдар санына тең nсынақ алу мжетістік.

Барлық ықтималдықтардың қосындысы моқиғаның пайда болу сандары А(0-ден бастап n) бірге тең:

мұндағы әрбір термин Ньютон биномындағы терминді білдіреді. Сондықтан қарастырылып отырған үлестірімді биномдық үлестірім деп атайды.

Іс жүзінде жиі ықтималдықтарды есептеу қажет « артық емес мтабысты nсынақтар» немесе «кем дегенде мтабысты nтестілер". Ол үшін келесі формулалар қолданылады.

Интегралдық функция, яғни ықтималдық Ф(м) ішінде не бар nбақылау оқиғасы Абұдан былай келмейді мбір рет, формуласы арқылы есептеуге болады:

Өз кезегінде ықтималдық Ф(≥м) ішінде не бар nбақылау оқиғасы Акем емес келеді мбір рет, мына формуламен есептеледі:

Кейде бұл ықтималдықты есептеу ыңғайлырақ nбақылау оқиғасы Абұдан былай келмейді мқарама-қарсы оқиғаның ықтималдығы арқылы:

.

Қай формуланы қолдану керектігі олардың қайсысында қосындысы азырақ терминдер бар екеніне байланысты.

Биномдық үлестірімнің сипаттамалары келесі формулалар арқылы есептеледі .

Күтілетін мән: .

Дисперсия: .

Стандартты ауытқу: .

MS Excel бағдарламасында биномдық үлестірім және есептеулер

Биномдық ықтималдық П n ( м) және интегралдық функцияның мәндері Ф(м) MS Excel бағдарламасының BINOM.DIST функциясы арқылы есептеуге болады. Сәйкес есептеуге арналған терезе төменде көрсетілген (үлкейту үшін сол жақ түймені басыңыз).

MS Excel бағдарламасы келесі деректерді енгізуді талап етеді:

• жетістіктер саны;
• сынақтар саны;
• табысқа жету ықтималдығы;
• интеграл – логикалық мән: 0 – ықтималдықты есептеу қажет болса П n ( м) және 1 - егер ықтималдық болса Ф(м).

1-мысал.Компания менеджері соңғы 100 күнде сатылған камералар саны туралы ақпаратты қорытындылады. Кесте ақпаратты жинақтайды және күніне белгілі бір камералар санының сатылу ықтималдығын есептейді.

13 немесе одан да көп камералар сатылса, күн табыспен аяқталады. Күннің пайдалы болуы ықтималдығы:

Бір күннің пайдасыз жұмыс істеу ықтималдығы:

Бір күннің пайдамен жұмыс істеу ықтималдығы тұрақты және 0,61-ге тең болсын, ал күніне сатылған камералар саны күніне байланысты емес. Содан кейін оқиға орын алатын биномдық үлестіруді қолдануға болады А- күн пайдамен жұмыс істейді, - пайдасыз.

Барлық 6 күннің пайдамен аяқталу ықтималдығы:

.

MS Excel BINOM.DIST функциясының көмегімен бірдей нәтиже аламыз (интегралдық мәннің мәні 0):

П 6 (6 ) = BINOM.DIST(6; 6; 0,61; 0) = 0,052.

6 күннің 4 немесе одан да көп күнінің пайдамен жұмыс істеу ықтималдығы:

Қайда ,

,

MS Excel BINOM.DIST функциясын пайдалана отырып, біз 6 күннен 3 күннен аспайтын уақыттың пайдамен аяқталу ықтималдығын есептейміз (интегралдық мәннің мәні 1):

П 6 (≤3 ) = BINOM.DIST(3; 6; 0,61; 1) = 0,435.

Барлық 6 күннің шығынмен аяқталу ықтималдығы:

,

Сол көрсеткішті MS Excel бағдарламасының BINOM.DIST функциясы арқылы есептей аламыз:

П 6 (0 ) = BINOM.DIST(0; 6; 0,61; 0) = 0,0035.

Мәселені өзіңіз шешіңіз, содан кейін шешімін көріңіз

2-мысал.Урнада 2 ақ шар және 3 қара шар бар. Урнадан доп шығарылады, түсі орнатылып, орнына қойылады. Әрекет 5 рет қайталанады. Ақ шарлардың пайда болу саны дискретті кездейсоқ шама X, биномдық заң бойынша бөлінеді. Кездейсоқ шаманың таралу заңын құрастырыңыз. Режимді, математикалық күтуді және дисперсияны анықтаңыз.

Мәселелерді бірге шешуді жалғастырайық

3-мысал.Курьерлік қызметтен біз сайттарға бардық n= 5 курьер. Әрбір курьер ықтимал б= 0,3, басқаларына қарамастан, объектіге кешігіп келеді. Дискретті кездейсоқ шама X- кешіктірілген курьерлердің саны. Осы кездейсоқ шама үшін таралу қатарын құрыңыз. Оның математикалық күтуін, дисперсиясын, стандартты ауытқуын табыңыз. Кем дегенде екі курьердің объектілерге кешігіп келу ықтималдығын табыңыз.

7-тарау.

Кездейсоқ шамаларды бөлудің ерекше заңдары

Дискретті кездейсоқ шамалардың таралу заңдарының түрлері

Мәндерді дискретті кездейсоқ шама алсын X 1 , X 2 , …, x n,…. Бұл мәндердің ықтималдықтарын әртүрлі формулалар арқылы есептеуге болады, мысалы, ықтималдықтар теориясының негізгі теоремаларын, Бернулли формуласын немесе кейбір басқа формулаларды пайдалана отырып. Осы формулалардың кейбірі үшін бөлу заңының өз атауы бар.

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңдары биномдық, геометриялық, гипергеометриялық және Пуассон таралу заңы болып табылады.

Биномдық таралу заңы

Ол өндірілсін nтәуелсіз сынақтар, олардың әрқайсысында оқиға пайда болуы немесе болмауы мүмкін А. Бұл оқиғаның әрбір жеке сынақта орын алу ықтималдығы тұрақты, сынақ санына тәуелді емес және оған тең Р=Р(А). Демек, оқиғаның болмау ықтималдығы Аәрбір сынақта да тұрақты және тең q=1–Р. Кездейсоқ шаманы қарастырыңыз Xоқиғаның орын алу санына тең АВ nсынақтар. Әлбетте, бұл шаманың мәндері тең

X 1 =0 – оқиға АВ nсынақтар пайда болмады;

X 2 =1 – оқиға АВ nсынақтарда бір рет пайда болды;

X 3 =2 – оқиға АВ nсынақтар екі рет пайда болды;

…………………………………………………………..

x n +1 = n- оқиға АВ nбәрі сынақтар кезінде пайда болды nбір рет.

Бернулли формуласы (4.1) арқылы бұл мәндердің ықтималдықтарын есептеуге болады:

Қайда Кімге=0, 1, 2, …,n .

Биномдық таралу заңы X, жылы табыстар санына тең nБернулли сынақтары, табысты болу ықтималдығы бар Р.

Сонымен, дискретті кездейсоқ шама биномдық үлестірімге ие (немесе биномдық заң бойынша таралады), егер оның мүмкін мәндері 0, 1, 2, ... болса, n, және сәйкес ықтималдықтар (7.1) формула арқылы есептеледі.

Биномдық үлестірім екіге байланысты параметрлері РЖәне n.

Биномдық заңға сәйкес таратылатын кездейсоқ шаманың таралу қатары келесі түрде болады:

X			…	к	…	n
Р			…		…

Мысал 7.1 . Нысанаға үш тәуелсіз оқ атылады. Әр соққының түсу ықтималдығы 0,4. Кездейсоқ мән X– нысанаға тиген соққылар саны. Оның таралу қатарын құру.

Шешім. Кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері Xболып табылады X 1 =0; X 2 =1; X 3 =2; X 4 =3. Бернулли формуласы арқылы сәйкес ықтималдықтарды табайық. Мұнда бұл формуланы қолдану толығымен негізделгенін көрсету қиын емес. Бір оқпен нысанаға тимеу ықтималдығы 1-0,4=0,6 тең болатынын ескеріңіз. Біз алып жатырмыз

Тарату сериясы келесі формада болады:

X
Р	0,216	0,432	0,288	0,064

Барлық ықтималдықтардың қосындысы 1-ге тең екенін тексеру оңай. Кездейсоқ шаманың өзі Xбиномдық заң бойынша бөлінеді. ■

Биномдық заң бойынша бөлінген кездейсоқ шаманың математикалық күтуін және дисперсиясын табайық.

6.5-мысалды шешу кезінде оқиғаның пайда болу санының математикалық күтуі көрсетілді. АВ nтәуелсіз сынақтар, егер пайда болу ықтималдығы болса Аәрбір сынақта тұрақты және тең Р, тең n· Р

Бұл мысалда биномдық заңға сәйкес бөлінген кездейсоқ шама қолданылды. Демек, 6.5-мысалдың шешімі негізінен келесі теореманың дәлелі болып табылады.

Теорема 7.1.Биномдық заңға сәйкес бөлінген дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуі сынақтар саны мен «сәттілік» ықтималдығының көбейтіндісіне тең, яғни. М(X)=n· Р.

Теорема 7.2.Биномдық заңға сәйкес бөлінген дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы сынақтар санының «сәттілік» ықтималдығы мен «сәтсіздік» ықтималдығының көбейтіндісіне тең, яғни. D(X)=nрq.

Биномдық заң бойынша бөлінген кездейсоқ шаманың асимметриясы мен куртозы формулалар арқылы анықталады.

Бұл формулаларды бастапқы және орталық момент түсінігі арқылы алуға болады.

Биномдық таралу заңы көптеген нақты өмірлік жағдайлардың негізінде жатыр. Үлкен мәндер үшін nБиномдық үлестіруді басқа үлестірімдерді, атап айтқанда Пуассон үлестірімін пайдаланып жуықтап анықтауға болады.

Пуассонның таралуы

Бар болсын nБернулли сынақтары, сынақтар санымен nжеткілікті үлкен. Бұрын көрсетілгендей, бұл жағдайда (егер, оның үстіне, ықтималдық Роқиғалар Аөте кішкентай) оқиғаның ықтималдығын табу Апайда болу ТСынақтарда сіз Пуассон формуласын (4.9) пайдалана аласыз. Кездейсоқ шама болса Xоқиғаның орын алу санын білдіреді АВ nБернулли сынайды, содан кейін бұл ықтималдық Xмәнін алады кформула арқылы есептеуге болады

, (7.2)

Қайда λ = nр.

Пуассонның таралу заңыдискретті кездейсоқ шаманың таралуы деп аталады X, оның мүмкін мәндері теріс емес бүтін сандар және ықтималдықтар р тбұл мәндер (7.2) формуласы арқылы табылады.

Магнитудасы λ = nршақырды параметрПуассон үлестірімі.

Пуассон заңы бойынша бөлінген кездейсоқ шама шексіз мәндерді қабылдай алады. Өйткені бұл бөлу үшін ықтималдық РӘрбір сынақта оқиғаның пайда болуы аз болса, онда бұл бөлу кейде сирек оқиғалар заңы деп аталады.

Пуассон заңы бойынша бөлінген кездейсоқ шаманың таралу қатары пішінге ие

X					…	Т	…
Р					…		…

Екінші жолдың ықтималдығының қосындысы 1-ге тең екенін тексеру оңай. Бұл әрекетті орындау үшін функцияны кез келген үшін жинақталатын Маклаурин сериясына кеңейтуге болатынын есте сақтау керек. X. Бұл жағдайда бізде бар

. (7.3)

Белгілі бір шектеуші жағдайларда Пуассон заңы биномдық заңның орнын басады. Мысал ретінде кездейсоқ шаманы келтіруге болады X, оның мәндері техникалық құрылғыны қайталап пайдалану кезінде белгілі бір уақыт аралығындағы ақаулар санына тең. Бұл жоғары сенімді құрылғы деп болжанады, яғни. Бір қолданбадағы сәтсіздік ықтималдығы өте аз.

Мұндай шектеу жағдайларынан басқа практикада биномдық үлестіріммен байланыспаған Пуассон заңы бойынша бөлінген кездейсоқ шамалар бар. Мысалы, Пуассон үлестірімі белгілі бір уақыт аралығында болған оқиғалардың санын (бір сағат ішінде телефон стансасына түскен қоңыраулар саны, бір тәулік ішінде автокөлік жууға келген көліктер саны, аптасына машинаның тоқтау саны және т.б.). Осы оқиғалардың барлығы кезек теориясының негізгі ұғымдарының бірі болып табылатын оқиғалар ағыны деп аталатынды қалыптастыруы керек. Параметр λ оқиғалар ағынының орташа қарқындылығын сипаттайды.

Мысал 7.2 . Факультетте 500 студент білім алуда. 1 қыркүйекте осы бөлімнің үш студентінің туған күні болу ықтималдығы қандай?

Шешім . Студенттердің санынан бастап n=500 өте үлкен және Р– студенттердің кез келгені үшін бірінші қыркүйекте туылу ықтималдығы тең, яғни. жеткілікті аз болса, кездейсоқ шама деп болжауға болады X– 1 қыркүйекте туылған студенттер саны параметрі бар Пуассон заңы бойынша бөлінеді. λ = п.п.= =1,36986. Содан кейін (7.2) формулаға сәйкес аламыз

Теорема 7.3.Кездейсоқ шама болсын XПуассон заңы бойынша бөлінеді. Сонда оның математикалық күтуі мен дисперсиясы бір-біріне тең және параметрдің мәніне тең болады λ , яғни. М(X) = D(X) = λ = п.п..

Дәлелдеу.Математикалық күтудің анықтамасы бойынша (7.3) формуланы және Пуассон заңы бойынша бөлінген кездейсоқ шаманың таралу қатарын пайдалана отырып, біз аламыз

Дисперсияны таппас бұрын алдымен қарастырылып отырған кездейсоқ шаманың квадратының математикалық күтуін табамыз. Біз алып жатырмыз

Осы жерден дисперсияның анықтамасы бойынша аламыз

Теорема дәлелденді.

Бастапқы және орталық момент ұғымдарын пайдалана отырып, Пуассон заңы бойынша бөлінген кездейсоқ шама үшін қиғаштық пен куртоздық коэффициенттер формулалар арқылы анықталатынын көрсетуге болады.

Мұны түсіну қиын емес, өйткені параметрдің мағыналық мазмұны λ = п.п.оң болса, онда Пуассон заңы бойынша бөлінген кездейсоқ шама әрқашан оң қиғаштық пен куртозға ие болады.

- (биномдық үлестірім) Бірқатар тәуелсіз оқиғаларды бақылау нәтижесінде алынған кез келген кездейсоқ оқиғаның пайда болу ықтималдығын есептеуге мүмкіндік беретін үлестірім, егер оның элементар құрамдас бөліктерінің пайда болу ықтималдығы ... ... Экономикалық сөздік

- (Бернулли үлестірімі) егер әрбір сынақта осы оқиғаның пайда болу ықтималдығы p(0 p 1) тең болса, қайталанатын тәуелсіз сынақтар кезінде белгілі бір оқиғаның пайда болу санының ықтималдық үлестірімі. Нақтырақ, саны? бұл оқиғаның оқиғалары ... ... Үлкен энциклопедиялық сөздік

биномдық үлестірім- - Телекоммуникация тақырыптары, негізгі ұғымдар EN биномдық бөлу ...

- (Бернулли үлестірімі), егер әрбір сынақта осы оқиғаның пайда болу ықтималдығы p (0≤p≤1) тең болса, қайталанатын тәуелсіз сынақтар кезінде белгілі бір оқиғаның пайда болу санының ықтималдық үлестірімі. Атап айтқанда, бұл оқиғаның μ пайда болу саны... ... энциклопедиялық сөздік

биномдық үлестірім- 1,49. биномдық үлестірім 0-ден n-ге дейінгі кез келген бүтін мәндерді қабылдайтын, x = 0, 1, 2, ..., n және n = 1, 2, ... және параметрлері үшін дискретті кездейсоқ шама Х ықтималдығының таралуы 0< p < 1, где Источник … Нормативтік-техникалық құжаттама терминдерінің сөздік-анықтамалығы

Бернулли үлестірімі, сәйкесінше ықтималдықтары бар бүтін мәндерді ала отырып, кездейсоқ шама Х ықтималдық үлестірімі (биномдық коэффициент; B. r. параметрінің p параметрі, мәндерді қабылдай отырып, оң нәтиже ықтималдығы деп аталады ... Математикалық энциклопедия

Қайталанатын тәуелсіз сынақтар кезінде белгілі бір оқиғаның пайда болу санының ықтималдық үлестірімі. Егер әрбір сынақ кезінде оқиғаның орын алу ықтималдығы 0 ≤ p ≤ 1 болғанда p-ке тең болса, онда n тәуелсіз... ... үшін осы оқиғаның пайда болу саны μ ... Үлкен Кеңес энциклопедиясы

- (Бернулли үлестірімі), қайталанатын тәуелсіз сынақтар кезінде белгілі бір оқиғаның орын алу санының ықтималдық үлестірімі, егер әрбір сынақта осы оқиғаның пайда болу ықтималдығы p (0) тең болса.<или = p < или = 1). Именно, число м появлений … Жаратылыстану. энциклопедиялық сөздік

Биномдық ықтималдық үлестірімі- (биномдық үлестірім) Әрбір тәуелсіз эксперименттің (статистикалық бақылау) нәтижесі екі мүмкін мәннің бірін алатын жағдайларда байқалатын бөлу: жеңіс немесе жеңіліс, қосу немесе алып тастау, плюс немесе ... Экономикалық-математикалық сөздік

биномдық ықтималдық үлестірімі- Әрбір тәуелсіз эксперименттің (статистикалық бақылау) нәтижесі екі мүмкін мәннің бірін алатын жағдайларда байқалатын бөлу: жеңіс немесе жеңіліс, қосу немесе алып тастау, плюс немесе минус, 0 немесе 1. Яғни... ... Техникалық аудармашыға арналған нұсқаулық

Кітаптар

• Есептердегі ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика. 360-тан астам есептер мен жаттығулар, Д.А.Борзых. Ұсынылған нұсқаулықта күрделілік деңгейі әртүрлі тапсырмалар бар. Дегенмен, негізгі екпін орташа күрделіліктегі тапсырмаларға аударылады. Бұл студенттерді ынталандыру үшін әдейі жасалады ...
• Есептердегі ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика 360-тан астам есептер мен жаттығулар, Д.Борзых Ұсынылып отырған оқу құралы күрделілік деңгейі әртүрлі есептер бар. Дегенмен, негізгі екпін орташа күрделіліктегі тапсырмаларға аударылады. Бұл студенттерді ынталандыру үшін әдейі жасалады ...